Piramida. Piramida e cunguar
Piramidaështë një poliedron, njëra nga fytyrat e të cilit është një shumëkëndësh ( bazë ), dhe të gjitha fytyrat e tjera janë trekëndësha me një kulm të përbashkët ( fytyrat anësore ) (Fig. 15). Piramida quhet korrekte , nëse baza e saj është një shumëkëndësh i rregullt dhe maja e piramidës është projektuar në qendër të bazës (Fig. 16). Quhet një piramidë trekëndore me të gjitha skajet e barabarta katërkëndësh .
Brinjë anësore e një piramide është ana e faqes anësore që nuk i përket bazës Lartësia piramida është distanca nga maja e saj në rrafshin e bazës. Të gjitha brinjët anësore piramida e rregullt të barabarta me njëra-tjetrën, të gjitha faqet anësore janë të barabarta trekëndëshat dykëndësh. Lartësia e faqes anësore të një piramide të rregullt të nxjerrë nga kulmi quhet apotemë . Seksioni diagonal quhet një seksion i një piramide nga një rrafsh që kalon nëpër dy skaje anësore që nuk i përkasin të njëjtës faqe.
Sipërfaqja anësore piramida është shuma e sipërfaqeve të të gjitha faqeve anësore. Sipërfaqja totale quhet shuma e sipërfaqeve të të gjitha faqeve anësore dhe bazës.
Teorema
1. Nëse në një piramidë të gjitha skajet anësore janë të prirura në mënyrë të barabartë me rrafshin e bazës, atëherë maja e piramidës projektohet në qendër të rrethit të rrethuar pranë bazës.
2. Nëse të gjitha skajet anësore të një piramide kanë gjatësi të barabarta, atëherë maja e piramidës projektohet në qendër të një rrethi të rrethuar pranë bazës.
3. Nëse të gjitha faqet në një piramidë janë të prirura në mënyrë të barabartë me rrafshin e bazës, atëherë maja e piramidës projektohet në qendër të një rrethi të gdhendur në bazë.
Për të llogaritur vëllimin e një piramide arbitrare, formula e saktë është:
Ku V- vëllimi;
Baza S- zona e bazës;
H- lartësia e piramidës.
Për një piramidë të rregullt, formulat e mëposhtme janë të sakta:
Ku fq– perimetri i bazës;
h a– apotemë;
H- lartësia;
S plot
Ana S
Baza S- zona e bazës;
V– vëllimi i një piramide të rregullt.
Piramida e cunguar quhet pjesa e piramidës e mbyllur midis bazës dhe një rrafshi prerës paralel me bazën e piramidës (Fig. 17). Piramida e rregullt e cunguar quhet pjesa e një piramide të rregullt e mbyllur midis bazës dhe një rrafshi prerës paralel me bazën e piramidës.
Bazat piramida e cunguar - shumëkëndësha të ngjashëm. Fytyrat anësore – trapezoide. Lartësia e një piramide të cunguar është distanca midis bazave të saj. Diagonale një piramidë e cunguar është një segment që lidh kulmet e saj që nuk shtrihen në të njëjtën faqe. Seksioni diagonal është një seksion i një piramide të cunguar nga një rrafsh që kalon nëpër dy skaje anësore që nuk i përkasin të njëjtës faqe.
Për një piramidë të cunguar janë të vlefshme formulat e mëposhtme:
(4)
Ku S 1 , S 2 – zonat e bazave të sipërme dhe të poshtme;
S plot- sipërfaqja totale;
Ana S- sipërfaqja anësore;
H- lartësia;
V– vëllimi i një piramide të cunguar.
Për një piramidë të rregullt të cunguar, formula është e saktë:
Ku fq 1 , fq 2 – perimetrat e bazave;
h a– apotema e një piramide të rregullt të cunguar.
Shembulli 1. Në një piramidë të rregullt trekëndore, këndi dihedral në bazë është 60º. Gjeni tangjenten e këndit të prirjes së skajit anësor me rrafshin e bazës.
Zgjidhje. Le të bëjmë një vizatim (Fig. 18).
 |
Piramida është e saktë, që do të thotë në bazë trekëndësh barabrinjës dhe të gjitha faqet anësore janë trekëndësha të barabartë dykëndësh. Këndi dihedral në bazë është këndi i prirjes së faqes anësore të piramidës ndaj rrafshit të bazës. Këndi linear është këndi a ndërmjet dy pingulave: etj. Maja e piramidës është projektuar në qendër të trekëndëshit (qendra e rrethit dhe rrethi i brendashkruar i trekëndëshit ABC). Këndi i prirjes së skajit anësor (për shembull S.B.) është këndi midis vetë skajit dhe projeksionit të tij në rrafshin e bazës. Për brinjën S.B. ky kënd do të jetë këndi SBD. Për të gjetur tangjenten duhet të njihni këmbët KËSHTU QË Dhe O.B.. Lëreni gjatësinë e segmentit BDështë e barabartë me 3 A. Pika RRETH segmenti i linjës BD ndahet në pjesë: dhe Nga gjejmë KËSHTU QË: 
Nga gjejmë: 
Përgjigje:
Shembulli 2. Gjeni vëllimin e një piramide të rregullt katërkëndore të cunguar nëse diagonalet e bazave të saj janë të barabarta me cm dhe cm, dhe lartësia e saj është 4 cm.
Zgjidhje. Për të gjetur vëllimin e një piramide të cunguar, ne përdorim formulën (4). Për të gjetur sipërfaqen e bazave, duhet të gjeni anët e shesheve bazë, duke ditur diagonalet e tyre. Anët e bazave janë përkatësisht 2 cm dhe 8 cm. Kjo do të thotë sipërfaqet e bazave dhe duke zëvendësuar të gjitha të dhënat në formulë, ne llogarisim vëllimin e piramidës së cunguar:
Përgjigje: 112 cm 3.
Shembulli 3. Gjeni sipërfaqen e faqes anësore të një piramide të rregullt trekëndore të cunguar, anët e bazave të së cilës janë 10 cm dhe 4 cm, dhe lartësia e piramidës është 2 cm.
Zgjidhje. Le të bëjmë një vizatim (Fig. 19).
Faqja anësore e kësaj piramide është një trapezoid isosceles. Për të llogaritur sipërfaqen e një trapezi, duhet të dini bazën dhe lartësinë. Bazat jepen sipas kushtit, nuk dihet vetem lartesia. Ne do ta gjejmë atë nga A 1 E pingul nga një pikë A 1 në rrafshin e bazës së poshtme, A 1 D– pingul nga A 1 për AC. A 1 E= 2 cm, pasi kjo është lartësia e piramidës. Per te gjetur DE Le të bëjmë një vizatim shtesë që tregon pamjen e sipërme (Fig. 20). Pika RRETH– projeksioni i qendrave të bazave të sipërme dhe të poshtme. pasi (shih Fig. 20) dhe Nga ana tjetër Ne rregull– rrezja e gdhendur në rreth dhe 
OM- rrezja e gdhendur në një rreth:
MK = DE.
Sipas teoremës së Pitagorës nga
Zona anësore e fytyrës: 
Përgjigje:
Shembulli 4. Në bazën e piramidës shtrihet një trapez izoscelular, bazat e të cilit A Dhe b (a> b). Çdo faqe anësore formon një kënd të barabartë me rrafshin e bazës së piramidës j. Gjeni sipërfaqen totale të piramidës.
Zgjidhje. Le të bëjmë një vizatim (Fig. 21). Sipërfaqja totale e piramidës SABCD e barabartë me shumën e sipërfaqeve dhe sipërfaqes së trapezit ABCD.
Le të përdorim pohimin se nëse të gjitha faqet e piramidës janë të prirura në mënyrë të barabartë me rrafshin e bazës, atëherë kulmi projektohet në qendër të rrethit të gdhendur në bazë. Pika RRETH– projeksioni i kulmit S në bazën e piramidës. Trekëndëshi SODështë projeksioni ortogonal i trekëndëshit CSD në rrafshin e bazës. Duke përdorur teoremën mbi sipërfaqen e projeksionit ortogonal të një figure të rrafshët, marrim:
Po kështu do të thotë 
Kështu, problemi u reduktua në gjetjen e zonës së trapezit ABCD. Le të vizatojmë një trapezoid ABCD veçmas (Fig. 22). Pika RRETH– qendra e një rrethi të gdhendur në një trapez.
Meqenëse një rreth mund të futet në një trapez, atëherë ose nga teorema e Pitagorës kemi
Në këtë mësim do të shohim një piramidë të cunguar, do të njihemi me një piramidë të rregullt të cunguar dhe do të studiojmë vetitë e tyre.
Le të kujtojmë konceptin e një piramide n-gonale duke përdorur shembullin e një piramide trekëndore. Jepet trekëndëshi ABC. Jashtë rrafshit të trekëndëshit merret një pikë P, e lidhur me kulmet e trekëndëshit. Sipërfaqja poliedrike që rezulton quhet piramidë (Fig. 1).
Oriz. 1. Piramida trekëndore
Le ta presim piramidën me një rrafsh paralel me rrafshin e bazës së piramidës. Shifra e përftuar ndërmjet këtyre rrafsheve quhet piramidë e cunguar (Fig. 2).
Oriz. 2. Piramida e cunguar
Elementet thelbësore:
Baza e sipërme;
Baza e poshtme ABC;
Fytyra anësore;
Nëse PH është lartësia e piramidës origjinale, atëherë është lartësia e piramidës së cunguar.
Vetitë e një piramide të cunguar lindin nga metoda e ndërtimit të saj, përkatësisht nga paralelizmi i rrafsheve të bazave:
Të gjitha faqet anësore të një piramide të cunguar janë trapezoide. Konsideroni, për shembull, skajin. Ajo ka vetinë e rrafsheve paralele (meqenëse rrafshet janë paralele, ato prenë faqen anësore të piramidës origjinale AVR përgjatë vijave të drejta paralele), por në të njëjtën kohë ato nuk janë paralele. Natyrisht, katërkëndëshi është një trapez, si të gjitha faqet anësore të piramidës së cunguar.
Raporti i bazave është i njëjtë për të gjithë trapezoidët:
Kemi disa çifte trekëndëshash të ngjashëm me të njëjtin koeficient ngjashmërie. Për shembull, trekëndëshat dhe RAB janë të ngjashëm për shkak të paralelizmit të planeve dhe koeficientit të ngjashmërisë:
Në të njëjtën kohë, trekëndëshat dhe RVS janë të ngjashëm me koeficientin e ngjashmërisë:
Natyrisht, koeficientët e ngjashmërisë për të tre palët e trekëndëshave të ngjashëm janë të barabartë, kështu që raporti i bazave është i njëjtë për të gjithë trapezoidët.
Një piramidë e prerë e rregullt është një piramidë e cunguar e përftuar duke prerë një piramidë të rregullt me një rrafsh paralel me bazën (Fig. 3).
Oriz. 3. Piramida e rregullt e cunguar
Përkufizimi.
Një piramidë e saktë është ajo, baza e së cilës qëndron n-gon i rregullt, dhe kulmi është projektuar në qendër të këtij n-gon (qendra e rrethit të brendashkruar dhe të rrethuar).
NË në këtë rast Në bazën e piramidës shtrihet një katror, dhe maja është projektuar në pikën e kryqëzimit të diagonaleve të saj. Piramida e rregullt katërkëndore e cunguar ABCD që rezulton ka një bazë të poshtme dhe një bazë të sipërme. Lartësia e piramidës origjinale është RO, piramida e cunguar është (Fig. 4).
Oriz. 4. Piramida e rregullt katërkëndore e cunguar
Përkufizimi.
Lartësia e një piramide të cunguar është një pingul i tërhequr nga çdo pikë e njërës bazë në rrafshin e bazës së dytë.
Apotema e piramidës origjinale është RM (M është mesi i AB), apotema e piramidës së cunguar është (Fig. 4).
Përkufizimi.
Apotema e një piramide të cunguar është lartësia e çdo fytyre anësore.
Është e qartë se të gjitha skajet anësore të piramidës së cunguar janë të barabarta me njëra-tjetrën, domethënë, faqet anësore janë trapezoide të barabarta izosceles.
Sipërfaqja e sipërfaqes anësore të një piramide të rregullt të cunguar është e barabartë me produktin e gjysmës së shumës së perimetrave të bazave dhe apotemës.
Vërtetim (për një piramidë të rregullt katërkëndore të cunguar - Fig. 4):
Pra, duhet të vërtetojmë:
Zona e sipërfaqes anësore këtu do të përbëhet nga shuma e sipërfaqeve të faqeve anësore - trapezoideve. Meqenëse trapezoidët janë të njëjtë, kemi:
Sipërfaqja e një trapezi izoscelular është prodhimi i gjysmës së shumës së bazave dhe lartësisë; apotema është lartësia e trapezit. Ne kemi:
Q.E.D.
Për një piramidë n-gonale:
Ku n është numri i faqeve anësore të piramidës, a dhe b janë bazat e trapezit dhe është apotema.
Anët e bazës së një piramide të rregullt katërkëndore të cunguar 
e barabartë me 3 cm dhe 9 cm, lartësi - 4 cm Gjeni sipërfaqen e sipërfaqes anësore.
Oriz. 5. Ilustrim për problemin 1
Zgjidhje. Le të ilustrojmë gjendjen:
I pyetur nga: , ,
Nëpër pikën O vizatojmë një vijë të drejtë MN paralele me dy anët e bazës së poshtme dhe në mënyrë të ngjashme përmes pikës vizatojmë një vijë të drejtë (Fig. 6). Meqenëse sheshet dhe konstruksionet në bazat e piramidës së cunguar janë paralele, marrim një trapez të barabartë me faqet anësore. Për më tepër, ana e saj do të kalojë përmes mesit të skajeve të sipërme dhe të poshtme të faqeve anësore dhe do të jetë apotema e piramidës së cunguar.
Oriz. 6. Ndërtime shtesë
Le të shqyrtojmë trapezin që rezulton (Fig. 6). Në këtë trapez njihet baza e sipërme, baza e poshtme dhe lartësia. Duhet të gjesh anën që është apotema e një piramide të caktuar të cunguar. Le të vizatojmë pingul me MN. Nga pika e ulim NQ pingul. Ne zbulojmë se baza më e madhe është e ndarë në segmente prej tre centimetrash (). Konsideroni një trekëndësh kënddrejtë, këmbët në të janë të njohura, ky është një trekëndësh egjiptian, duke përdorur teoremën e Pitagorës përcaktojmë gjatësinë e hipotenuzës: 5 cm.
Tani ka të gjithë elementët për të përcaktuar zonën e sipërfaqes anësore të piramidës:
Piramida është e prerë nga një rrafsh paralel me bazën. Vërtetoni, duke përdorur shembullin e një piramide trekëndore, se skajet anësore dhe lartësia e piramidës ndahen nga ky plan në pjesë proporcionale.
Dëshmi. Le të ilustrojmë:
Oriz. 7. Ilustrim për problemin 2
Jepet piramida RABC. PO - lartësia e piramidës. Piramida pritet nga një rrafsh, fitohet një piramidë e cunguar dhe. Pika - pika e kryqëzimit të lartësisë së RO me rrafshin e bazës së piramidës së cunguar. Është e nevojshme të vërtetohet:
Çelësi i zgjidhjes është vetia e planeve paralele. Dy plane paralele prerë ndonjë rrafsh të tretë në mënyrë që vijat e kryqëzimit të jenë paralele. Nga këtu: . Paralelizmi i linjave përkatëse nënkupton praninë e katër palëve të trekëndëshave të ngjashëm:
Nga ngjashmëria e trekëndëshave rrjedh proporcionaliteti i brinjëve përkatëse. Karakteristikë e rëndësishmeështë se koeficientët e ngjashmërisë së këtyre trekëndëshave janë të njëjtë:
Q.E.D.
E sakte piramidë trekëndore RABC me lartësinë dhe anën e bazës pritet nga një rrafsh që kalon nga mesi i lartësisë së PH paralel me bazën e ABC. Gjeni sipërfaqen anësore të piramidës së cunguar që rezulton.
Zgjidhje. Le të ilustrojmë:
Oriz. 8. Ilustrim për problemin 3
ACB është një trekëndësh i rregullt, H është qendra e këtij trekëndëshi (qendra e rrathëve të brendashkruar dhe të rrethuar). RM është apotema e një piramide të caktuar. - apotema e një piramide të cunguar. Sipas vetive të rrafsheve paralele (dy plane paralele presin çdo rrafsh të tretë në mënyrë që vijat e kryqëzimit të jenë paralele), kemi disa çifte trekëndëshash të ngjashëm me koeficient të barabartë ngjashmërie. Në veçanti, ne jemi të interesuar për marrëdhëniet:
Le të gjejmë NM. Kjo është rrezja e një rrethi të gdhendur në bazë; ne e dimë formulën përkatëse:
Tani nga trekëndëshi kënddrejtë PHM, duke përdorur teoremën e Pitagorës, gjejmë RM - apotemën e piramidës origjinale:
Nga raporti fillestar:
Tani ne i dimë të gjithë elementët për gjetjen e zonës së sipërfaqes anësore të një piramide të cunguar:
Pra, ne u njohëm me konceptet e një piramide të cunguar dhe një piramide të rregullt të cunguar, dhamë përkufizime themelore, shqyrtuam vetitë dhe vërtetuam teoremën në sipërfaqen e sipërfaqes anësore. Mësimi tjetër do të fokusohet në zgjidhjen e problemeve.
Bibliografi
- I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. Gjeometria. Klasat 10-11: tekst shkollor për studentët e institucioneve të arsimit të përgjithshëm (bazë dhe nivelet e profilit) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - Botimi i 5-të, rev. dhe shtesë - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 f.: ill.
- Sharygin I. F. Gjeometri. Klasa 10-11: Libër mësuesi për arsimin e përgjithshëm institucionet arsimore/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 f.: ill.
- E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. Gjeometria. Klasa 10: Libër mësuesi për institucionet e arsimit të përgjithshëm me studim të thelluar dhe të specializuar të matematikës /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - Botimi i 6-të, stereotip. - M.: Bustard, 2008. - 233 f.: ill.
- Uztest.ru ().
- Fmclass.ru ().
- Webmath.exponenta.ru ().
është një poliedron që formohet nga baza e piramidës dhe një seksion paralel me të. Mund të themi se një piramidë e cunguar është një piramidë me pjesën e sipërme të prerë. Kjo shifër ka shumë veti unike:
- Faqet anësore të piramidës janë trapezoide;
- Skajet anësore të një piramide të rregullt të cunguar të njëjtën gjatësi dhe të prirur në bazë në të njëjtin kënd;
- Bazat janë shumëkëndësha të ngjashëm;
- Në një piramidë të rregullt të cunguar, fytyrat janë trapezoide identike izoscele, sipërfaqja e së cilës është e barabartë. Ata janë gjithashtu të prirur drejt bazës në një kënd.
Formula për sipërfaqen anësore të një piramide të cunguar është shuma e sipërfaqeve të anëve të saj: 
Meqenëse anët e një piramide të cunguar janë trapezoide, për të llogaritur parametrat do të duhet të përdorni formulën zona trapezoide. Për një piramidë të rregullt të prerë, mund të aplikoni një formulë të ndryshme për llogaritjen e zonës. Meqenëse të gjitha anët, faqet dhe këndet e saj në bazë janë të barabarta, është e mundur të zbatohen perimetrat e bazës dhe të apotemës, si dhe të nxirret zona përmes këndit në bazë.
Nëse, sipas kushteve në një piramidë të prerë të rregullt, jepet apotema (lartësia e anës) dhe gjatësitë e brinjëve të bazës, atëherë sipërfaqja mund të llogaritet përmes gjysmëproduktit të shumës së perimetrave të bazat dhe apotema:
Le të shohim një shembull të llogaritjes së sipërfaqes anësore të një piramide të cunguar.
Jepet një piramidë e rregullt pesëkëndore. Apotemë l= 5 cm, gjatësia e skajit në bazën e madhe është a= 6 cm, dhe buza është në bazën më të vogël b= 4 cm Llogaritni sipërfaqen e piramidës së cunguar.
Së pari, le të gjejmë perimetrat e bazave. Meqenëse na është dhënë një piramidë pesëkëndëshe, kuptojmë se bazat janë pesëkëndëshe. Kjo do të thotë se bazat përmbajnë një figurë me pesë anët identike. Le të gjejmë perimetrin e bazës më të madhe:
Në të njëjtën mënyrë gjejmë perimetrin e bazës më të vogël:
Tani mund të llogarisim sipërfaqen e një piramide të rregullt të cunguar. Zëvendësoni të dhënat në formulën:
Kështu, ne llogaritëm sipërfaqen e një piramide të rregullt të cunguar përmes perimetrit dhe apotemës.
Një mënyrë tjetër për të llogaritur sipërfaqen anësore të një piramide të rregullt është formula përmes këndeve në bazë dhe zonës së këtyre bazave.
Le të shohim një shembull të llogaritjes. Kujtojmë se kjo formulë vlen vetëm për një piramidë të rregullt të cunguar.
Le të jepet një piramidë e rregullt katërkëndore. Buza e bazës së poshtme është a = 6 cm, dhe buza e bazës së sipërme është b = 4 cm. Këndi dihedral në bazë është β = 60°. Gjeni sipërfaqen anësore të një piramide të rregullt të cunguar.
Së pari, le të llogarisim sipërfaqen e bazave. Meqenëse piramida është e rregullt, të gjitha skajet e bazave janë të barabarta me njëra-tjetrën. Duke marrë parasysh që baza është një katërkëndësh, kuptojmë se do të jetë e nevojshme të llogaritet zona e sheshit. Është prodhimi i gjerësisë dhe gjatësisë, por në katror këto vlera janë të njëjta. Le të gjejmë sipërfaqen e bazës më të madhe: 
Tani ne përdorim vlerat e gjetura për të llogaritur sipërfaqen anësore. 
Duke ditur disa formula të thjeshta, ne llogaritëm lehtësisht sipërfaqen e trapezoidit anësor të një piramide të cunguar duke përdorur vlera të ndryshme.
- 29.05.2016
Qarku oscilues - qark elektrik, që përmban një induktor, një kondensator dhe një burim energji elektrike. Kur elementët e qarkut lidhen në seri, qarku oscilues quhet serial, dhe kur lidhet paralelisht quhet paralel. Qarku oscilues - sistemi më i thjeshtë, në të cilën falas dridhjet elektromagnetike. Frekuenca rezonante e qarkut përcaktohet nga e ashtuquajtura formulë Thomson: ƒ = 1/(2π√(LC)) Për ...
- 20.09.2014
Marrësi është projektuar për të marrë sinjale në intervalin DV (150 kHz…300 kHz). tipar kryesor marrës në një antenë që ka induktivitet më të madh se një antenë magnetike konvencionale. Kjo bën të mundur përdorimin e kapacitetit të kondensatorit akordues në rangun prej 4...20 pF, dhe gjithashtu një marrës i tillë ka ndjeshmëri të pranueshme dhe një fitim të lehtë në rrugën RF. Marrësi punon për kufje (kufje), ka energji elektrike...
- 24.09.2014
Kjo pajisje është projektuar për të monitoruar nivelin e lëngut në rezervuarë; sapo lëngu të rritet në një nivel të caktuar, pajisja do të fillojë të lëshojë një sinjal të vazhdueshëm zëri; kur niveli i lëngut të arrijë një nivel kritik, pajisja do të fillojë të lëshojë një sinjal i ndërprerë. Treguesi përbëhet nga 2 gjeneratorë, ata kontrollohen nga elementi sensor E. Vendoset në rezervuar në një nivel deri në ...
- 22.09.2014
KR1016VI1 është një kohëmatës dixhital me shumë programe i krijuar për të punuar me treguesin ILC3-5\7. Ai siguron numërimin dhe shfaqjen e kohës aktuale në orë dhe minuta, ditën e javës dhe numrin e kanalit të kontrollit (9 alarme). Qarku i orës së alarmit është paraqitur në figurë. Mikroqarku është i akorduar. rezonatori Q1 në 32768Hz. ushqimi është negativ, plusi total shkon në...
