Universiteti Kombëtar i Kërkimeve

Departamenti i Gjeologjisë së Aplikuar

Ese për matematikën e lartë

Me temën: "Funksionet themelore elementare,

vetitë dhe grafikët e tyre"

E përfunduar:

Kontrolluar:

mësuesi

Përkufizimi. Funksioni i dhënë me formulën y=a x (ku a>0, a≠1) quhet funksion eksponencial me bazë a.

Le të formulojmë vetitë kryesore të funksionit eksponencial:

1. Fusha e përkufizimit është bashkësia (R) e të gjithë numrave realë.

2. Gama e vlerave është grupi (R+) i të gjithë numrave realë pozitivë.

3. Kur a > 1, funksioni rritet në të gjithë vijën reale; në 0<а<1 функция убывает.

4. Është një funksion i përgjithshëm.

, në intervalin xО [-3;3] , në intervalin xО [-3;3]

Një funksion i formës y(х)=х n , ku n është numri ОR, quhet funksion fuqie. Numri n mund të marrë vlera të ndryshme: si numër i plotë ashtu edhe thyesor, çift dhe tek. Në varësi të kësaj, funksioni i fuqisë do të ketë një formë të ndryshme. Konsideroni raste të veçanta që janë funksione fuqie dhe pasqyrojnë vetitë kryesore të këtij lloji të kthesave në rendin e mëposhtëm: funksioni i fuqisë y \u003d x² (një funksion me një eksponent të barabartë - një parabolë), një funksion fuqie y \u003d x³ (një funksion me një eksponent tek - një parabolë kubike) dhe funksion y \u003d √ x (x në fuqinë e ½) (funksion me një eksponent thyesor), një funksion me një eksponent negativ të numrit të plotë (hiperbola).

Funksioni i fuqisë y=x²

1. D(x)=R – funksioni është përcaktuar në të gjithë boshtin numerik;

2. E(y)= dhe rritet në interval

Funksioni i fuqisë y=x³

1. Grafiku i funksionit y \u003d x³ quhet parabolë kubike. Funksioni i fuqisë y=x³ ka këto veti:

2. D(x)=R – funksioni është përcaktuar në të gjithë boshtin numerik;

3. E(y)=(-∞;∞) – funksioni merr të gjitha vlerat në domenin e tij të përkufizimit;

4. Kur x=0 y=0 – funksioni kalon nga origjina O(0;0).

5. Funksioni rritet në të gjithë domenin e përkufizimit.

6. Funksioni është tek (simetrik në lidhje me origjinën).

, në intervalin xн [-3;3]

Në varësi të faktorit numerik përpara x³, funksioni mund të jetë i pjerrët / i sheshtë dhe rritet / zvogëlohet.

Funksioni i fuqisë me eksponent negativ numër të plotë:

Nëse eksponenti n është tek, atëherë grafiku i një funksioni të tillë fuqie quhet hiperbolë. Një funksion fuqie me një eksponent negativ të numrit të plotë ka këto veti:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) për çdo n;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞) nëse n është një numër tek; E(y)=(0;∞) nëse n është numër çift;

3. Funksioni zvogëlohet në të gjithë domenin e përkufizimit nëse n është një numër tek; funksioni rritet në intervalin (-∞;0) dhe zvogëlohet në intervalin (0;∞) nëse n është numër çift.

4. Funksioni është tek (simetrik në lidhje me origjinën) nëse n është një numër tek; një funksion është çift nëse n është një numër çift.

5. Funksioni kalon nëpër pikat (1;1) dhe (-1;-1) nëse n është numër tek dhe nëpër pikat (1;1) dhe (-1;1) nëse n është numër çift.

, në intervalin xн [-3;3]

Funksioni i fuqisë me eksponent thyesor

Një funksion fuqie me një eksponent thyesor të formës (foto) ka një grafik të funksionit të paraqitur në figurë. Një funksion fuqie me një eksponent thyesor ka këto veti: (foto)

1. D(x) ОR, nëse n është një numër tek dhe D(x)= , në intervalin xО , në intervalin xО [-3;3]

Funksioni logaritmik y \u003d log a x ka vetitë e mëposhtme:

1. Domeni i përkufizimit D(x)н (0; + ∞).

2. Gama e vlerave E(y) О (- ∞; + ∞)

3. Funksioni nuk është as çift dhe as tek (i përgjithshëm).

4. Funksioni rritet në intervalin (0; + ∞) për një > 1, zvogëlohet në (0; + ∞) për 0< а < 1.

Grafiku i funksionit y = log a x mund të merret nga grafiku i funksionit y = a x duke përdorur një transformim simetrie rreth drejtëzës y = x. Në figurën 9, është paraqitur një grafik i funksionit logaritmik për a > 1, dhe në figurën 10 - për 0< a < 1.

; në intervalin xн; në intervalin xО

Funksionet y \u003d sin x, y \u003d cos x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x quhen funksione trigonometrike.

Funksionet y \u003d sin x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x janë tek, dhe funksioni y \u003d cos x është çift.

Funksioni y \u003d sin (x).

1. Domeni i përkufizimit D(x) ОR.

2. Gama e vlerave E(y) О [ - 1; një].

3. Funksioni është periodik; periudha kryesore është 2π.

4. Funksioni është tek.

5. Funksioni rritet në intervalet [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] dhe zvogëlohet në intervalet [ π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.

Grafiku i funksionit y \u003d sin (x) është paraqitur në Figurën 11.

Nxënësit e shkollës përballen me detyrën për të ndërtuar një grafik funksioni që në fillim të studimit të algjebrës dhe vazhdojnë t'i ndërtojnë ato nga viti në vit. Duke u nisur nga një grafik i një funksioni linear, për ndërtimin e të cilit duhet të dini vetëm dy pika, në një parabolë, për të cilën ju duhen tashmë 6 pika, një hiperbolë dhe një sinusoid. Çdo vit, funksionet bëhen gjithnjë e më komplekse dhe nuk është më e mundur të vizatohen grafikët e tyre sipas një shablloni, është e nevojshme të kryhen studime më komplekse duke përdorur derivate dhe kufij.

Le të kuptojmë se si të gjejmë grafikun e një funksioni? Për ta bërë këtë, le të fillojmë me funksionet më të thjeshta, grafikët e të cilëve ndërtohen sipas pikave, dhe më pas të shqyrtojmë një plan për ndërtimin e funksioneve më komplekse.

Hartimi i një funksioni linear

Për të ndërtuar grafikët më të thjeshtë, përdoret një tabelë e vlerave të funksionit. Grafiku i një funksioni linear është një vijë e drejtë. Le të përpiqemi të gjejmë pikat e grafikut të funksionit y=4x+5.

1. Për ta bërë këtë, marrim dy vlera arbitrare të ndryshores x, i zëvendësojmë ato një nga një në funksion, gjejmë vlerën e ndryshores y dhe vendosim gjithçka në tabelë.
2. Le të marrim vlerën x=0 dhe ta zëvendësojmë në funksion në vend të x - 0. Marrim: y=4*0+5, domethënë, y=5 shkruajmë këtë vlerë në tabelë nën 0. Në mënyrë të ngjashme, marrim x= 0 marrim y=4*1+5 , y=9.
3. Tani, për të ndërtuar një grafik funksioni, duhet t'i vizatoni këto pika në planin koordinativ. Pastaj ju duhet të vizatoni një vijë të drejtë.

Hartimi i një funksioni kuadratik

Një funksion kuadratik është një funksion i formës y=ax 2 +bx +c, ku x është një ndryshore, a,b,c janë numra (a nuk është e barabartë me 0). Për shembull: y=x 2, y=x 2 +5, y=(x-3) 2, y=2x 2 +3x+5.

Për të ndërtuar funksionin kuadratik më të thjeshtë y=x 2 zakonisht merren 5-7 pikë. Le të marrim vlerat për ndryshoren x: -2, -1, 0, 1, 2 dhe të gjejmë vlerat e y në të njëjtën mënyrë si kur ndërtojmë grafikun e parë.

Grafiku i një funksioni kuadratik quhet parabolë. Pas ndërtimit të grafikëve të funksioneve, nxënësit kanë detyra të reja që lidhen me grafikun.

Shembulli 1: gjeni abshisën e grafikut të funksionit pikën y=x 2 nëse ordinata është 9. Për të zgjidhur problemin, duhet të zëvendësoni vlerën e saj 9 në vend të y në funksion. Marrim 9=x 2 dhe zgjidhim këtë ekuacion . x=3 dhe x=-3. Kjo mund të shihet edhe në grafikun e funksionit.

Hetimi i një funksioni dhe ndërtimi i grafikut të tij

Për të hartuar funksione më komplekse, duhet të kryeni disa hapa që synojnë studimin e tij. Për këtë ju duhet:

1. Gjeni shtrirjen e funksionit. Shtrirja është të gjitha vlerat që x mund të marrë. Nga fusha e përkufizimit, duhet të përjashtohen ato pika në të cilat emëruesi bëhet 0 ose shprehja radikale bëhet negative.
2. Cakto funksionin çift ose tek. Kujtojmë se çift është funksioni që plotëson kushtin f(-x)=f(x). Grafiku i tij është simetrik në lidhje me Oy. Një funksion do të jetë tek nëse plotëson kushtin f(-x)=-f(x). Në këtë rast, grafiku është simetrik në lidhje me origjinën.
3. Gjeni pikat e kryqëzimit me boshtet koordinative. Për të gjetur abshisën e pikës së prerjes me boshtin x, është e nevojshme të zgjidhet ekuacioni f(x)=0 (ordinata është 0). Për të gjetur ordinatën e pikës së prerjes me boshtin Oy, është e nevojshme të zëvendësohet 0 në funksion në vend të ndryshores x (abshisa është 0).
4. Gjeni asimptotat e funksionit. Një asimptotë është një vijë që grafiku i afrohet pafundësisht, por nuk e kalon kurrë. Le të kuptojmë se si të gjejmë asimptotat e grafikut të një funksioni.
   • Drejtëza asimptotike vertikale e formës x=a
   • Asimptotë horizontale - një vijë e drejtë e formës y \u003d a
   • Asimptotë e zhdrejtë - drejtëz e trajtës y=kx+b
5. Gjeni pikat ekstreme të funksionit, intervalet e rritjes dhe uljes së funksionit. Gjeni pikat ekstreme të funksionit. Për ta bërë këtë, ju duhet të gjeni derivatin e parë dhe ta barazoni atë me 0. Pikërisht në këto pika funksioni mund të ndryshojë nga rritja në zvogëluese. Le të përcaktojmë shenjën e derivatit në çdo interval. Nëse derivati ​​është pozitiv, atëherë grafiku i funksionit rritet, nëse është negativ, zvogëlohet.
6. Gjeni pikat e lakimit të grafikut të funksionit, intervalet e konveksitetit lart e poshtë.

Gjetja e pikave të lakimit tani është më e lehtë se kurrë. Thjesht duhet të gjesh derivatin e dytë, pastaj ta barazosh me zero. Më pas, gjejmë shenjën e derivatit të dytë në çdo interval. Nëse është pozitiv, atëherë grafiku i funksionit është konveks poshtë, nëse negativ - lart.

Ky material metodologjik është vetëm për referencë dhe mbulon një gamë të gjerë temash. Artikulli ofron një përmbledhje të grafikëve të funksioneve kryesore elementare dhe shqyrton çështjen më të rëndësishme - si të ndërtoni saktë dhe SHPEJTË një grafik. Gjatë studimit të matematikës së lartë pa i ditur grafikët e funksioneve bazë elementare, do të jetë e vështirë, prandaj është shumë e rëndësishme të mbani mend se si duken grafikët e një parabole, hiperbole, sinus, kosinus etj., për të kujtuar disa. vlerat e funksionit. Do të flasim gjithashtu për disa veti të funksioneve kryesore.

Unë nuk pretendoj për plotësinë dhe tërësinë shkencore të materialeve, theksi do të vendoset, para së gjithash, në praktikë - ato gjëra me të cilat njeriu duhet të përballet fjalë për fjalë në çdo hap, në çdo temë të matematikës së lartë. Listat për dummies? Mund të thuash kështu.

Sipas kërkesës popullore nga lexuesit tabela e përmbajtjes e klikueshme:

Përveç kësaj, ekziston një abstrakt ultra i shkurtër mbi këtë temë
– zotëroni 16 lloje tabelash duke studiuar GJASHTË faqe!

Seriozisht, gjashtë, edhe unë vetë u habita. Ky abstrakt përmban grafikë të përmirësuar dhe është i disponueshëm me një tarifë nominale, mund të shikohet një version demo. Është i përshtatshëm për të printuar skedarin në mënyrë që grafikët të jenë gjithmonë pranë. Faleminderit për mbështetjen e projektit!

Dhe ne fillojmë menjëherë:

Si të ndërtoni saktë boshtet e koordinatave?

Në praktikë, testet hartohen pothuajse gjithmonë nga studentët në fletore të veçanta, të rreshtuara në një kafaz. Pse keni nevojë për shenja me kuadrate? Në fund të fundit, puna, në parim, mund të bëhet në fletë A4. Dhe kafazi është i nevojshëm vetëm për dizajnin me cilësi të lartë dhe të saktë të vizatimeve.

Çdo vizatim i një grafik funksioni fillon me boshtet e koordinatave.

Vizatimet janë dy-dimensionale dhe tre-dimensionale.

Le të shqyrtojmë së pari rastin dydimensional Sistemi i koordinatave karteziane:

1) Vizatojmë boshtet e koordinatave. Boshti quhet boshti x , dhe boshti boshti y . Ne gjithmonë përpiqemi t'i vizatojmë ato i zoti dhe jo i shtrembër. Shigjetat gjithashtu nuk duhet t'i ngjajnë mjekrës së Papa Karlos.

2) Boshtet i nënshkruajmë me shkronja të mëdha "x" dhe "y". Mos harroni të firmosni sëpatat.

3) Vendosni shkallën përgjatë boshteve: vizatoni zero dhe dy njëshe. Kur bëni një vizatim, shkalla më e përshtatshme dhe më e zakonshme është: 1 njësi = 2 qeliza (vizatimi në të majtë) - ngjituni në të nëse është e mundur. Sidoqoftë, herë pas here ndodh që vizatimi të mos përshtatet në një fletë fletore - atëherë zvogëlojmë shkallën: 1 njësi = 1 qelizë (vizatimi në të djathtë). Rrallë, por ndodh që shkalla e vizatimit duhet të zvogëlohet (ose të rritet) edhe më shumë

MOS shkarravit nga një mitraloz ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Sepse plani koordinativ nuk është një monument për Dekartin dhe studenti nuk është një pëllumb. Ne kemi vënë zero Dhe dy njësi përgjatë akseve. Ndonjehere në vend të njësi, është i përshtatshëm për të "zbuluar" vlera të tjera, për shembull, "dy" në boshtin e abshisave dhe "tre" në boshtin e ordinatave - dhe ky sistem (0, 2 dhe 3) gjithashtu do të vendosë në mënyrë unike rrjetin e koordinatave.

Është më mirë të vlerësohen dimensionet e vlerësuara të vizatimit PARA se të vizatohet vizatimi.. Kështu, për shembull, nëse detyra kërkon vizatimin e një trekëndëshi me kulme , , , atëherë është mjaft e qartë se shkalla popullore 1 njësi = 2 qeliza nuk do të funksionojë. Pse? Le të shohim pikën - këtu duhet të matni pesëmbëdhjetë centimetra poshtë, dhe, padyshim, vizatimi nuk do të përshtatet (ose mezi përshtatet) në një fletë fletore. Prandaj, ne zgjedhim menjëherë një shkallë më të vogël 1 njësi = 1 qelizë.

Nga rruga, rreth centimetra dhe qeliza fletore. A është e vërtetë që ka 15 centimetra në 30 qeliza fletore? Matni në një fletore për interes 15 centimetra me vizore. Në BRSS, ndoshta kjo ishte e vërtetë ... Është interesante të theksohet se nëse matni të njëjtat centimetra horizontalisht dhe vertikalisht, atëherë rezultatet (në qeliza) do të jenë të ndryshme! Në mënyrë të rreptë, fletoret moderne nuk janë me kuadrate, por drejtkëndëshe. Mund të duket e pakuptimtë, por vizatimi, për shembull, një rreth me busull në situata të tilla është shumë i papërshtatshëm. Për të qenë i sinqertë, në momente të tilla filloni të mendoni për korrektësinë e shokut Stalin, i cili u dërgua në kampe për punë haker në prodhim, për të mos përmendur industrinë vendase të automobilave, rënien e avionëve ose shpërthimin e termocentraleve.

Duke folur për cilësinë, ose një rekomandim të shkurtër për artikuj shkrimi. Deri më sot, shumica e fletoreve në shitje, pa thënë fjalë të këqija, janë komplet goblin. Për arsye se lagen, dhe jo vetëm nga stilolapsat xhel, por edhe nga stilolapsat! Kurseni në letër. Për hartimin e testeve, unë rekomandoj përdorimin e fletoreve të Arkhangelsk Pulp and Paper Mill (18 fletë, qeliza) ose Pyaterochka, megjithëse është më e shtrenjtë. Këshillohet të zgjidhni një stilolaps xhel, madje edhe rimbushja më e lirë me xhel kinez është shumë më e mirë se një stilolaps, i cili ose lyen ose gris letrën. E vetmja stilolaps "konkurruese" në kujtesën time është Erich Krause. Ajo shkruan qartë, bukur dhe në mënyrë të qëndrueshme - ose me një kërcell të plotë, ose me një thuajse bosh.

Për më tepër: vizioni i një sistemi koordinativ drejtkëndor përmes syve të gjeometrisë analitike është mbuluar në artikull Varësia lineare (jo) e vektorëve. Baza vektoriale, informacione të hollësishme rreth tremujorëve koordinativ mund të gjenden në paragrafin e dytë të mësimit Pabarazitë lineare.

kasë 3D

Është pothuajse e njëjta gjë këtu.

1) Vizatojmë boshtet e koordinatave. Standard: boshti i aplikimit – drejtuar lart, bosht – drejtuar djathtas, bosht – poshtë në të majtë në mënyrë rigoroze në një kënd prej 45 gradë.

2) Ne nënshkruajmë sëpatat.

3) Vendosni shkallën përgjatë boshteve. Shkalla përgjatë boshtit - dy herë më e vogël se shkalla përgjatë akseve të tjera. Vini re gjithashtu se në vizatimin e duhur kam përdorur një "serif" jo standard përgjatë boshtit (kjo mundësi është përmendur tashmë më lart). Nga këndvështrimi im, është më i saktë, më i shpejtë dhe më i këndshëm estetikisht - nuk keni nevojë të kërkoni mesin e qelizës nën një mikroskop dhe të "skalitni" njësinë deri në origjinë.

Kur bëni përsëri një vizatim 3D - jepni përparësi shkallës
1 njësi = 2 qeliza (vizatimi në të majtë).

Për çfarë janë të gjitha këto rregulla? Rregullat janë aty për t'u thyer. Çfarë do të bëj tani. Fakti është se vizatimet e mëvonshme të artikullit do të bëhen nga unë në Excel, dhe boshtet e koordinatave do të duken të pasakta për sa i përket dizajnit të duhur. Mund t'i vizatoja të gjithë grafikët me dorë, por është vërtet e frikshme t'i vizatosh, pasi Excel ngurron t'i vizatojë ato shumë më saktë.

Grafikët dhe vetitë themelore të funksioneve elementare

Funksioni linear jepet nga ekuacioni . Grafiku i funksionit linear është e drejtpërdrejtë. Për të ndërtuar një vijë të drejtë, mjafton të njihni dy pika.

Shembulli 1

Vizatoni funksionin. Le të gjejmë dy pika. Është e dobishme të zgjidhni zero si një nga pikat.

Nese atehere

Ne marrim një pikë tjetër, për shembull, 1.

Nese atehere

Kur përgatitni detyra, koordinatat e pikave zakonisht përmblidhen në një tabelë:

Dhe vetë vlerat llogariten me gojë ose në një draft, kalkulator.

Janë gjetur dy pika, le të vizatojmë:

Kur hartojmë një vizatim, ne gjithmonë nënshkruajmë grafikën.

Nuk do të jetë e tepërt të kujtojmë raste të veçanta të një funksioni linear:

Vini re se si i vendosa titrat, nënshkrimet nuk duhet të jenë të paqarta gjatë studimit të vizatimit. Në këtë rast, ishte shumë e padëshirueshme të vendosej një nënshkrim pranë pikës së kryqëzimit të vijave, ose në fund të djathtë midis grafikëve.

1) Një funksion linear i formës () quhet proporcionalitet i drejtpërdrejtë. Për shembull, . Grafiku i proporcionalitetit të drejtpërdrejtë kalon gjithmonë përmes origjinës. Kështu, ndërtimi i një vije të drejtë thjeshtohet - mjafton të gjesh vetëm një pikë.

2) Një ekuacion i formës përcakton një vijë të drejtë paralele me boshtin, në veçanti, vetë boshti jepet nga ekuacioni. Grafiku i funksionit ndërtohet menjëherë, pa gjetur asnjë pikë. Kjo do të thotë, hyrja duhet të kuptohet si vijon: "y është gjithmonë i barabartë me -4, për çdo vlerë të x."

3) Një ekuacion i formës përcakton një vijë të drejtë paralele me boshtin, në veçanti, vetë boshti jepet nga ekuacioni. Grafiku i funksionit gjithashtu ndërtohet menjëherë. Hyrja duhet të kuptohet si vijon: "x është gjithmonë, për çdo vlerë të y, e barabartë me 1."

Disa do të pyesin, mirë, pse e mbani mend klasën e 6-të?! Kështu është, ndoshta kështu, vetëm gjatë viteve të praktikës takova një duzinë të mirë studentësh që ishin të hutuar nga detyra për të ndërtuar një grafik si ose .

Vizatimi i një vije të drejtë është veprimi më i zakonshëm kur bëni vizatime.

Vija e drejtë diskutohet në detaje në rrjedhën e gjeometrisë analitike, dhe ata që dëshirojnë mund t'i referohen artikullit Ekuacioni i një drejtëze në një rrafsh.

Grafiku i funksionit kuadratik, grafiku i funksionit kub, grafiku polinom

Parabola. Grafiku i një funksioni kuadratik () është një parabolë. Konsideroni rastin e famshëm:

Le të kujtojmë disa veti të funksionit.

Pra, zgjidhja e ekuacionit tonë: - pikërisht në këtë pikë ndodhet kulmi i parabolës. Pse është kështu, mund të mësohet nga artikulli teorik mbi derivatin dhe mësimi mbi ekstremet e funksionit. Ndërkohë, ne llogarisim vlerën përkatëse të "y":

Pra, kulmi është në pikën

Tani gjejmë pika të tjera, duke përdorur paturpësisht simetrinë e parabolës. Duhet theksuar se funksioni – nuk është madje, por, megjithatë, askush nuk e anuloi simetrinë e parabolës.

Në çfarë radhe për të gjetur pikat e mbetura, mendoj se do të jetë e qartë nga tabela përfundimtare:

Ky algoritëm ndërtimi mund të quhet figurativisht "shuttle" ose parimi "para dhe mbrapa" me Anfisa Chekhova.

Le të bëjmë një vizatim:

Nga grafikët e konsideruar, një veçori tjetër e dobishme vjen në mendje:

Për një funksion kuadratik () sa vijon është e vërtetë:

Nëse , atëherë degët e parabolës janë të drejtuara lart.

Nëse , atëherë degët e parabolës janë të drejtuara poshtë.

Njohuri të thelluara për lakoren mund të merren në mësimin Hiperbola dhe parabola.

Parabola kubike jepet me funksionin . Këtu është një vizatim i njohur nga shkolla:

Ne rendisim vetitë kryesore të funksionit

Grafiku i funksionit

Ai përfaqëson një nga degët e parabolës. Le të bëjmë një vizatim:

Karakteristikat kryesore të funksionit:

Në këtë rast, boshti është asimptotë vertikale për grafikun e hiperbolës në .

Do të jetë një gabim i madh nëse, kur hartoni një vizatim, nga pakujdesia, lejoni që grafiku të kryqëzohet me asimptotën.

Gjithashtu kufijtë e njëanshëm, na tregojnë se një hiperbolë nuk kufizohet nga lart Dhe nuk kufizohet nga poshtë.

Le të eksplorojmë funksionin në pafundësi: , domethënë, nëse fillojmë të lëvizim përgjatë boshtit majtas (ose djathtas) deri në pafundësi, atëherë "lojërat" do të jenë një hap i hollë pafundësisht afër afrohen zero, dhe, në përputhje me rrethanat, degët e hiperbolës pafundësisht afër afrohen boshtit.

Pra, boshti është asimptotë horizontale për grafikun e funksionit, nëse "x" tenton në pafundësi plus ose minus.

Funksioni është i rastësishëm, që do të thotë se hiperbola është simetrike në lidhje me origjinën. Ky fakt është i dukshëm nga vizatimi, përveç kësaj, ai mund të verifikohet lehtësisht në mënyrë analitike: .

Grafiku i një funksioni të formës () paraqet dy degë të një hiperbole.

Nëse , atëherë hiperbola ndodhet në kuadrantin e parë dhe të tretë të koordinatave(shih foton më lart).

Nëse , atëherë hiperbola ndodhet në kuadrantin e dytë dhe të katërt të koordinatave.

Nuk është e vështirë të analizohet rregullsia e specifikuar e vendbanimit të hiperbolës nga pikëpamja e shndërrimeve gjeometrike të grafikëve.

Shembulli 3

Ndërtoni degën e djathtë të hiperbolës

Ne përdorim metodën e ndërtimit me pikë, ndërsa është e dobishme të zgjedhim vlerat në mënyrë që ato të ndahen plotësisht:

Le të bëjmë një vizatim:

Nuk do të jetë e vështirë të ndërtohet dega e majtë e hiperbolës, këtu çuditshmëria e funksionit thjesht do të ndihmojë. Përafërsisht, në tabelën e ndërtimit me pikë, shtoni mendërisht një minus për çdo numër, vendosni pikat përkatëse dhe vizatoni degën e dytë.

Informacione të detajuara gjeometrike në lidhje me vijën e konsideruar mund të gjenden në artikullin Hiperbola dhe parabola.

Grafiku i një funksioni eksponencial

Në këtë paragraf do të shqyrtoj menjëherë funksionin eksponencial, pasi në problemet e matematikës së lartë në 95% të rasteve është eksponenti ai që ndodh.

Ju kujtoj se - ky është një numër irracional: , kjo do të kërkohet gjatë ndërtimit të një grafiku, të cilin, në fakt, do ta ndërtoj pa ceremoni. Tre pikë janë ndoshta të mjaftueshme:

Le ta lëmë grafikun e funksionit vetëm për momentin, për të më vonë.

Karakteristikat kryesore të funksionit:

Në thelb, grafikët e funksioneve duken të njëjta, etj.

Duhet të them që rasti i dytë është më pak i zakonshëm në praktikë, por ndodh, ndaj e ndjeva të nevojshme ta përfshija në këtë artikull.

Grafiku i një funksioni logaritmik

Konsideroni një funksion me logaritëm natyror.
Le të bëjmë një vizatim vijash:

Nëse keni harruar se çfarë është logaritmi, ju lutemi referojuni teksteve shkollore.

Karakteristikat kryesore të funksionit:

Domeni:

Gama e vlerave: .

Funksioni nuk është i kufizuar nga lart: , megjithëse ngadalë, por dega e logaritmit shkon deri në pafundësi.
Le të shqyrtojmë sjelljen e funksionit afër zeros në të djathtë: . Pra, boshti është asimptotë vertikale për grafikun e funksionit me "x" me tendencë zero në të djathtë.

Sigurohuni që të dini dhe mbani mend vlerën tipike të logaritmit: .

Në thelb, grafiku i logaritmit në bazë duket i njëjtë: , , (logaritmi dhjetor në bazën 10), etj. Në të njëjtën kohë, sa më e madhe të jetë baza, aq më e sheshtë do të jetë grafiku.

Ne nuk do ta shqyrtojmë rastin, diçka që nuk e mbaj mend kur për herë të fundit kam ndërtuar një grafik me një bazë të tillë. Po, dhe logaritmi duket se është një mysafir shumë i rrallë në problemet e matematikës së lartë.

Në përfundim të paragrafit, do të them edhe një fakt: Funksioni eksponencial dhe funksioni logaritmikjanë dy funksione reciprokisht të anasjellta. Nëse shikoni nga afër grafikun e logaritmit, mund të shihni se ky është i njëjti eksponent, thjesht ndodhet pak më ndryshe.

Grafikët e funksioneve trigonometrike

Si fillon mundimi trigonometrik në shkollë? E drejta. Nga sinusi

Le të vizatojmë funksionin

Kjo linjë quhet sinusoid.

Ju kujtoj se "pi" është një numër irracional: dhe në trigonometri verbon në sy.

Karakteristikat kryesore të funksionit:

Ky funksion është periodike me një periudhë. Çfarë do të thotë? Le të shohim prerjen. Në të majtë dhe në të djathtë të tij, saktësisht e njëjta pjesë e grafikut përsëritet pafundësisht.

Domeni: , domethënë, për çdo vlerë të "x" ka një vlerë sinus.

Gama e vlerave: . Funksioni është kufizuar: , domethënë, të gjitha "lojërat" qëndrojnë rreptësisht në segmentin .
Kjo nuk ndodh: ose, më saktë, ndodh, por këto ekuacione nuk kanë zgjidhje.

Ne zgjedhim një sistem koordinativ drejtkëndor në aeroplan dhe vizatojmë vlerat e argumentit në boshtin e abshisës X, dhe në boshtin y - vlerat e funksionit y = f(x).

Grafiku i funksionit y = f(x) thirret bashkësia e të gjitha pikave, për të cilat abshisat i përkasin domenit të funksionit dhe ordinatat janë të barabarta me vlerat përkatëse të funksionit.

Me fjalë të tjera, grafiku i funksionit y \u003d f (x) është grupi i të gjitha pikave në aeroplan, koordinatat X, në të cilat kënaqin relacionin y = f(x).

Në fig. 45 dhe 46 janë grafikët e funksioneve y = 2x + 1 Dhe y \u003d x 2 - 2x.

Në mënyrë rigoroze, duhet bërë dallimi midis grafikut të një funksioni (përkufizimi i saktë matematik i të cilit u dha më lart) dhe kurbës së vizatuar, e cila gjithmonë jep vetëm një skicë pak a shumë të saktë të grafikut (dhe madje edhe atëherë, si rregull, jo të të gjithë grafikut, por vetëm të pjesës së tij që ndodhet në pjesët fundore të planit). Në atë që vijon, megjithatë, ne zakonisht do t'i referohemi "grafisë" dhe jo "skicës së grafikut".

Duke përdorur një grafik, mund të gjeni vlerën e një funksioni në një pikë. Gjegjësisht, nëse pika x = a i përket fushës së funksionit y = f(x), pastaj për të gjetur numrin f(a)(d.m.th. vlerat e funksionit në pikë x = a) duhet ta bëjë këtë. Nevojë përmes një pikë me një abscissa x = a vizatoni një vijë të drejtë paralele me boshtin y; kjo linjë do të presë grafikun e funksionit y = f(x) në një moment; ordinata e kësaj pike do të jetë, në bazë të përcaktimit të grafikut, e barabartë me f(a)(Fig. 47).

Për shembull, për funksionin f(x) = x 2 - 2x duke përdorur grafikun (Fig. 46) gjejmë f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0, etj.

Një grafik funksioni ilustron vizualisht sjelljen dhe vetitë e një funksioni. Për shembull, nga një shqyrtim i Fig. 46 është e qartë se funksioni y \u003d x 2 - 2x merr vlera pozitive kur X< 0 dhe në x > 2, negative - në 0< x < 2; наименьшее значение функция y \u003d x 2 - 2x pranon në x = 1.

Për të vizatuar një funksion f(x) ju duhet të gjeni të gjitha pikat e aeroplanit, koordinatat X,në të cilat plotësojnë ekuacionin y = f(x). Në shumicën e rasteve, kjo është e pamundur, pasi ka pafundësisht shumë pika të tilla. Prandaj, grafiku i funksionit përshkruhet afërsisht - me saktësi më të madhe ose më të vogël. Më e thjeshta është metoda e vizatimit me shumë pika. Ai konsiston në faktin se argumenti X jepni një numër të kufizuar vlerash - le të themi, x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k dhe bëni një tabelë që përfshin vlerat e zgjedhura të funksionit.

Tabela duket si kjo:

Pasi të kemi përpiluar një tabelë të tillë, mund të përvijojmë disa pika në grafikun e funksionit y = f(x). Më pas, duke i lidhur këto pika me një vijë të lëmuar, marrim një pamje të përafërt të grafikut të funksionit y = f(x).

Megjithatë, duhet të theksohet se metoda e grafikimit me shumë pika është shumë jo e besueshme. Në fakt, sjellja e grafikut midis pikave të shënuara dhe sjellja e tij jashtë segmentit midis pikave ekstreme të marra mbetet e panjohur.

Shembulli 1. Për të vizatuar një funksion y = f(x) dikush përpiloi një tabelë me vlerat e argumenteve dhe funksioneve:

Pesë pikat përkatëse janë paraqitur në Fig. 48.

Bazuar në vendndodhjen e këtyre pikave, ai arriti në përfundimin se grafiku i funksionit është një vijë e drejtë (e treguar në Fig. 48 me një vijë me pika). A mund të konsiderohet i besueshëm ky përfundim? Nëse nuk ka konsiderata shtesë për të mbështetur këtë përfundim, ai vështirë se mund të konsiderohet i besueshëm. të besueshme.

Për të vërtetuar pohimin tonë, merrni parasysh funksionin

.

Llogaritjet tregojnë se vlerat e këtij funksioni në pikat -2, -1, 0, 1, 2 janë përshkruar vetëm nga tabela e mësipërme. Megjithatë, grafiku i këtij funksioni nuk është aspak një vijë e drejtë (është paraqitur në figurën 49). Një shembull tjetër është funksioni y = x + l + sinx; kuptimet e tij janë përshkruar edhe në tabelën e mësipërme.

Këta shembuj tregojnë se në formën e saj "të pastër", metoda e vizatimit me shumë pika nuk është e besueshme. Prandaj, për të vizatuar një funksion të caktuar, si rregull, veproni si më poshtë. Fillimisht studiohen vetitë e këtij funksioni, me ndihmën e të cilit është e mundur të ndërtohet një skicë e grafikut. Më pas, duke llogaritur vlerat e funksionit në disa pika (zgjedhja e të cilave varet nga vetitë e vendosura të funksionit), gjenden pikat përkatëse të grafikut. Dhe, së fundi, një kurbë vizatohet përmes pikave të ndërtuara duke përdorur vetitë e këtij funksioni.

Ne do të shqyrtojmë disa veti (më të thjeshtat dhe më të përdorura) të funksioneve të përdorura për të gjetur një skicë të një grafiku më vonë, por tani do të analizojmë disa metoda të përdorura zakonisht për vizatimin e grafikëve.

Grafiku i funksionit y = |f(x)|.

Shpesh është e nevojshme të vizatohet një funksion y = |f(x)|, ku f(x) - funksioni i dhënë. Kujtoni se si bëhet kjo. Me përcaktimin e vlerës absolute të një numri, mund të shkruhet

Kjo do të thotë se grafiku i funksionit y=|f(x)| mund të merren nga grafiku, funksionet y = f(x) si më poshtë: të gjitha pikat e grafikut të funksionit y = f(x), ordinatat e të cilit janë jonegative, duhet të lihen të pandryshuara; më tej, në vend të pikave të grafikut të funksionit y = f(x), duke pasur koordinata negative, duhet të ndërtohen pikat përkatëse të grafikut të funksionit y = -f(x)(p.sh. pjesë e grafikut të funksionit
y = f(x), e cila shtrihet poshtë boshtit X, duhet të pasqyrohet në mënyrë simetrike rreth boshtit X).

Shembulli 2 Vizatoni një funksion y = |x|.

Marrim grafikun e funksionit y = x(Fig. 50, a) dhe një pjesë e këtij grafiku me X< 0 (shtrirë nën bosht X) pasqyrohet në mënyrë simetrike rreth boshtit X. Si rezultat, marrim grafikun e funksionit y = |x|(Fig. 50, b).

Shembulli 3. Vizatoni një funksion y = |x 2 - 2x|.

Së pari ne grafikojmë funksionin y = x 2 - 2x. Grafiku i këtij funksioni është një parabolë, degët e së cilës janë të drejtuara lart, pjesa e sipërme e parabolës ka koordinatat (1; -1), grafiku i saj pret boshtin e abshisës në pikat 0 dhe 2. Në intervalin (0; 2 ) funksioni merr vlera negative, prandaj kjo pjesë e grafikut reflektohet në mënyrë simetrike rreth boshtit x. Figura 51 tregon një grafik të funksionit y \u003d |x 2 -2x |, bazuar në grafikun e funksionit y = x 2 - 2x

Grafiku i funksionit y = f(x) + g(x)

Merrni parasysh problemin e vizatimit të funksionit y = f(x) + g(x). nëse jepen grafikët e funksioneve y = f(x) Dhe y = g(x).

Vini re se domeni i funksionit y = |f(x) + g(х)| është bashkësia e të gjitha atyre vlerave të x për të cilat përcaktohen të dy funksionet y = f(x) dhe y = g(x), dmth. kjo fushë përkufizimi është kryqëzimi i domeneve të përkufizimit, funksionet f(x. ) dhe g(x).

Lërini pikat (x 0, y 1) Dhe (x 0, y 2) përkatësisht i përkasin grafikëve të funksionit y = f(x) Dhe y = g(x), d.m.th 1 \u003d f (x 0), y 2 \u003d g (x 0). Atëherë pika (x0;. y1 + y2) i përket grafikut të funksionit y = f(x) + g(x)(për f(x 0) + g(x 0) = y 1+y2),. dhe çdo pikë të grafikut të funksionit y = f(x) + g(x) mund të merret në këtë mënyrë. Prandaj, grafiku i funksionit y = f(x) + g(x) mund të merret nga grafikët e funksionit y = f(x). Dhe y = g(x) duke zëvendësuar çdo pikë ( x n, y 1) grafika funksionale y = f(x) pika (x n, y 1 + y 2), ku y 2 = g(x n), d.m.th., duke zhvendosur çdo pikë ( x n, y 1) grafiku i funksionit y = f(x) përgjatë boshtit në nga shuma y 1 \u003d g (x n). Në këtë rast, merren parasysh vetëm pika të tilla. X n për të cilin janë përcaktuar të dy funksionet y = f(x) Dhe y = g(x).

Kjo metodë e vizatimit të grafikut të funksionit y = f(x) + g(x) quhet mbledhja e grafikëve të funksioneve y = f(x) Dhe y = g(x)

Shembulli 4. Në figurë, me metodën e mbledhjes së grafikëve, ndërtohet grafiku i funksionit
y = x + sinx.

Kur vizatoni një funksion y = x + sinx supozuam se f(x) = x, por g(x) = sinx. Për të ndërtuar një grafik funksioni, ne zgjedhim pikat me abshisa -1.5π, -, -0.5, 0, 0.5,, 1.5, 2. Vlerat f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx do të llogarisim në pikat e përzgjedhura dhe do t'i vendosim rezultatet në tabelë.

Le të shohim se si të eksplorojmë një funksion duke përdorur një grafik. Rezulton se duke parë grafikun, mund të zbuloni gjithçka që na intereson, përkatësisht:

• fushëveprimi i funksionit
• diapazoni i funksionit
• funksioni zero
• periudhat e rritjes dhe uljes
• pikat e larta dhe të ulëta
• vlera më e madhe dhe më e vogël e funksionit në segment.

Le të sqarojmë terminologjinë:

Abshisaështë koordinata horizontale e pikës.
Ordinator- koordinata vertikale.
abshisë- boshti horizontal, më shpesh i quajtur bosht.
boshti Y- bosht vertikal, ose bosht.

Argumentiështë një variabël i pavarur nga i cili varen vlerat e funksionit. Më shpesh tregohet.
Me fjalë të tjera, ne vetë zgjedhim , zëvendësojmë në formulën e funksionit dhe marrim .

Domeni funksionet - grupi i atyre (dhe vetëm atyre) vlerave të argumentit për të cilin ekziston funksioni.
Shënohet: ose .

Në figurën tonë, domeni i funksionit është një segment. Pikërisht në këtë segment vizatohet grafiku i funksionit. Vetëm këtu ekziston ky funksion.

Gama e funksionitështë grupi i vlerave që merr ndryshorja. Në figurën tonë, ky është një segment - nga vlera më e ulët në atë më të lartë.

Funksioni zero- pikat ku vlera e funksionit është e barabartë me zero, d.m.th. Në figurën tonë, këto janë pikat dhe .

Vlerat e funksionit janë pozitive ku . Në figurën tonë, këto janë intervalet dhe .
Vlerat e funksionit janë negative ku . Kemi këtë interval (ose interval) nga në.

Konceptet më të rëndësishme - funksionet rritëse dhe zvogëluese në një set. Si grup, mund të merrni një segment, një interval, një bashkim intervalesh ose të gjithë vijën numerike.

Funksioni rritet

Me fjalë të tjera, sa më shumë, aq më shumë, domethënë, grafiku shkon djathtas dhe lart.

Funksioni zvogëlohet në bashkësinë nëse për ndonjë dhe që i përket grupit pabarazia nënkupton pabarazinë .

Për një funksion në rënie, një vlerë më e madhe korrespondon me një vlerë më të vogël. Grafiku shkon djathtas dhe poshtë.

Në figurën tonë, funksioni rritet në interval dhe zvogëlohet në intervalet dhe .

Le të përcaktojmë se çfarë është pikët maksimale dhe minimale të funksionit.

Pika maksimale- kjo është një pikë e brendshme e fushës së përkufizimit, e tillë që vlera e funksionit në të është më e madhe se në të gjitha pikat mjaft afër tij.
Me fjalë të tjera, pika maksimale është një pikë e tillë, vlera e funksionit në të cilën më shumë sesa në ato fqinje. Kjo është një "kodër" lokale në tabelë.

Në figurën tonë - pika maksimale.

Pika e ulët- një pikë e brendshme e fushës së përkufizimit, e tillë që vlera e funksionit në të është më e vogël se në të gjitha pikat mjaft afër tij.
Kjo do të thotë, pika minimale është e tillë që vlera e funksionit në të është më e vogël se në ato fqinje. Në grafik, kjo është një "vrimë" lokale.

Në figurën tonë - pika minimale.

Pika është kufiri. Nuk është një pikë e brendshme e fushës së përkufizimit dhe për këtë arsye nuk i përshtatet përkufizimit të një pike maksimale. Në fund të fundit, ajo nuk ka fqinjë në të majtë. Në të njëjtën mënyrë, nuk mund të ketë asnjë pikë minimale në grafikun tonë.

Pikët maksimale dhe minimale quhen kolektivisht pikat ekstreme të funksionit. Në rastin tonë, kjo është dhe .

Por çfarë nëse duhet të gjesh, për shembull, funksioni minimal në prerje? Në këtë rast, përgjigja është: sepse funksioni minimalështë vlera e tij në pikën minimale.

Në mënyrë të ngjashme, maksimumi i funksionit tonë është . Është arritur në pikën.

Mund të themi se ekstremet e funksionit janë të barabarta me dhe .

Ndonjëherë në detyra duhet të gjesh vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit në një segment të caktuar. Ato nuk përkojnë domosdoshmërisht me ekstremet.

Në rastin tonë vlera më e vogël e funksionit në interval është i barabartë dhe përkon me minimumin e funksionit. Por vlera e tij më e madhe në këtë segment është e barabartë me . Ajo arrihet në skajin e majtë të segmentit.

Në çdo rast, vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni të vazhdueshëm në një segment arrihen ose në pikat ekstreme ose në skajet e segmentit.