Cili është universiteti më i vjetër në MB. Historia dhe Moderniteti i Universiteteve Britanike. Biblioteka dhe Salla e Leximit të Muzeut Britanik

Në kanalin youtube të faqes sonë të faqes për t'u informuar për të gjitha mësimet e reja video.

Së pari, le të kujtojmë formulat bazë të shkallëve dhe vetitë e tyre.

Produkti i një numri a ndodh në vetvete n herë, këtë shprehje mund ta shkruajmë si a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = një nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Ekuacionet e fuqisë ose eksponenciale- Këto janë ekuacione në të cilat ndryshoret janë në fuqi (ose eksponentë), dhe baza është një numër.

Shembuj të ekuacioneve eksponenciale:

Në këtë shembull, numri 6 është baza, është gjithmonë në fund dhe ndryshorja x shkallë ose masë.

Le të japim më shumë shembuj të ekuacioneve eksponenciale.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Tani le të shohim se si zgjidhen ekuacionet eksponenciale?

Le të marrim një ekuacion të thjeshtë:

2 x = 2 3

Një shembull i tillë mund të zgjidhet edhe në mendje. Mund të shihet se x=3. Në fund të fundit, në mënyrë që anët e majta dhe të djathta të jenë të barabarta, duhet të vendosni numrin 3 në vend të x.
Tani le të shohim se si duhet të merret ky vendim:

2 x = 2 3
x = 3

Për të zgjidhur këtë ekuacion, ne hoqëm baza të njëjta(dmth deuces) dhe shkruani atë që kishte mbetur, këto janë gradë. Morëm përgjigjen që kërkonim.

Tani le të përmbledhim zgjidhjen tonë.

Algoritmi për zgjidhjen e ekuacionit eksponencial:
1. Duhet të kontrolloni e njëjta nëse bazat e ekuacionit në të djathtë dhe në të majtë. Nëse arsyet nuk janë të njëjta, ne po kërkojmë opsione për të zgjidhur këtë shembull.
2. Pasi bazat janë të njëjta, barazojnë shkallë dhe zgjidhni ekuacionin e ri që rezulton.

Tani le të zgjidhim disa shembuj:

Le të fillojmë thjesht.

Bazat në anën e majtë dhe të djathtë janë të barabarta me numrin 2, që do të thotë se ne mund ta hedhim bazën dhe të barazojmë shkallët e tyre.

x+2=4 Ka dalë ekuacioni më i thjeshtë.
x=4 - 2
x=2
Përgjigje: x=2

Në shembullin e mëposhtëm, mund të shihni se bazat janë të ndryshme, këto janë 3 dhe 9.

3 3x - 9 x + 8 = 0

Për të filluar, ne transferojmë nëntë në anën e djathtë, marrim:

Tani ju duhet të bëni të njëjtat baza. Ne e dimë se 9=3 2 . Le të përdorim formulën e fuqisë (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Ne marrim 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 tani është e qartë se bazat në anën e majtë dhe të djathtë janë të njëjta dhe të barabarta me tre, që do të thotë se ne mund t'i hedhim ato dhe të barazojmë shkallët.

3x=2x+16 mori ekuacionin më të thjeshtë
3x-2x=16
x=16
Përgjigje: x=16.

Le të shohim shembullin e mëposhtëm:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Para së gjithash, ne shikojmë bazat, bazat janë të ndryshme dy dhe katër. Dhe ne duhet të jemi të njëjtë. Katërfishin e transformojmë sipas formulës (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

Dhe ne përdorim gjithashtu një formulë a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Shtoni në ekuacion:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Ne dhamë një shembull për të njëjtat arsye. Por numrat e tjerë 10 dhe 24 na pengojnë.Çfarë të bëjmë me ta? Nëse shikoni nga afër, mund të shihni se në anën e majtë përsërisim 2 2x, këtu është përgjigja - mund të vendosim 2 2x jashtë kllapave:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Le të llogarisim shprehjen në kllapa:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Të gjithë ekuacionin e ndajmë me 6:

Imagjinoni 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 bazat janë të njëjta, hidhini ato dhe barazoni shkallët.
2x \u003d 2 doli të ishte ekuacioni më i thjeshtë. E ndajmë me 2, marrim
x = 1
Përgjigje: x = 1.

Le të zgjidhim ekuacionin:

9 x - 12 * 3 x +27 = 0

Le të transformojmë:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Ne marrim ekuacionin:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Bazat janë të njëjta për ne, të barabartë me tre.Në këtë shembull, shihet se trefishi i parë ka një shkallë dy herë (2x) se i dyti (vetëm x). Në këtë rast, ju mund të vendosni metoda e zëvendësimit. Numri me shkallën më të vogël zëvendësohet me:

Pastaj 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Ne i zëvendësojmë të gjitha shkallët me x në ekuacionin me t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Ne marrim një ekuacion kuadratik. Ne zgjidhim përmes diskriminuesit, marrim:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Kthehu te Variabli x.

Ne marrim t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Kjo eshte,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

U gjet një rrënjë. Ne jemi duke kërkuar për të dytën, nga t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Përgjigje: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Në sit mundeni në seksionin NDIHMË TË VENDOSI të bëni pyetje me interes, ne patjetër do t'ju përgjigjemi.

Bashkohuni me një grup

Në kuadër të këtij materiali, ne do të analizojmë se çfarë është fuqia e një numri. Përveç përkufizimeve bazë, do të formulojmë se cilat janë shkallët me eksponentë natyrorë, të plotë, racionalë dhe iracionalë. Si gjithmonë, të gjitha konceptet do të ilustrohen me shembuj detyrash.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Së pari, ne formulojmë përkufizimin bazë të një shkalle me një eksponent natyror. Për ta bërë këtë, duhet të kujtojmë rregullat themelore të shumëzimit. Le të sqarojmë paraprakisht se për momentin do të marrim një numër real si bazë (le ta shënojmë me shkronjën a), dhe si tregues - një numër natyror (të shënuar me shkronjën n).

Përkufizimi 1

Fuqia e a me një eksponent natyror n është prodhimi i numrit të n-të të faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me numrin a. Diploma shkruhet kështu: a n, dhe në formën e një formule, përbërja e saj mund të përfaqësohet si më poshtë:

Për shembull, nëse eksponenti është 1 dhe baza është a, atëherë fuqia e parë e a shkruhet si a 1. Duke qenë se a është vlera e faktorit dhe 1 është numri i faktorëve, mund të konkludojmë se a 1 = a.

Në përgjithësi, mund të themi se diploma është një formë e përshtatshme për të shkruar një numër të madh faktorësh të barabartë. Pra, një procesverbal i formularit 8 8 8 8 mund të reduktohet në 8 4 . Në të njëjtën mënyrë, produkti na ndihmon të shmangim shkrimin e një numri të madh termash (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4); ne e kemi analizuar tashmë këtë në artikullin kushtuar shumëzimit të numrave natyrorë.

Si të lexoni saktë regjistrimin e diplomës? Opsioni i pranuar përgjithësisht është "a në fuqinë e n". Ose mund të thoni "fuqia e n-të e a-së" ose "fuqia e nëntë". Nëse, le të themi, në shembull ka një hyrje 8 12 , mund të lexojmë "8 në fuqinë e 12-të", "8 në fuqinë e 12" ose "fuqinë e 12-të të 8".

Shkalla e dytë dhe e tretë e numrit kanë emrat e tyre të mirëpërcaktuar: katror dhe kub. Nëse shohim fuqinë e dytë, për shembull, të numrit 7 (7 2), atëherë mund të themi "7 në katror" ose "katrori i numrit 7". Në mënyrë të ngjashme, shkalla e tretë lexohet kështu: 5 3 është "kubi i numrit 5" ose "5 kubik". Sidoqoftë, është gjithashtu e mundur të përdoret formulimi standard "në shkallën e dytë / të tretë", kjo nuk do të jetë një gabim.

Shembulli 1

Le të shohim një shembull të një diplome me një tregues natyror: për 5 7 pesë do të jenë baza, dhe shtatë do të jenë treguesi.

Baza nuk duhet të jetë një numër i plotë: për shkallën (4 , 32) 9 baza do të jetë një fraksion 4, 32, dhe eksponenti do të jetë nëntë. Kushtojini vëmendje kllapave: një shënim i tillë bëhet për të gjitha shkallët, bazat e të cilave ndryshojnë nga numrat natyrorë.

Për shembull: 1 2 3 , (- 3) 12 , - 2 3 5 2 , 2 , 4 35 5 , 7 3 .

Për çfarë janë kllapat? Ato ndihmojnë për të shmangur gabimet në llogaritjet. Le të themi se kemi dy hyrje: (− 2) 3 Dhe − 2 3 . E para prej tyre nënkupton një numër negativ minus dy, i ngritur në një fuqi me një eksponent natyror prej tre; i dyti është numri që korrespondon me vlerën e kundërt të shkallës 2 3 .

Ndonjëherë në libra mund të gjesh një drejtshkrim paksa të ndryshëm të shkallës së një numri - a^n(ku a është baza dhe n është eksponenti). Pra, 4^9 është njësoj si 4 9 . Nëse n është një numër shumëshifror, ai vendoset në kllapa. Për shembull, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Por ne do të përdorim shënimin a n si më të zakonshme.

Mënyra e llogaritjes së vlerës së një shkalle me një eksponent natyror është e lehtë të merret me mend nga përkufizimi i tij: thjesht duhet të shumëzoni numrin n-të herë. Ne kemi shkruar më shumë për këtë në një artikull tjetër.

Koncepti i shkallës është e kundërta e një koncepti tjetër matematikor - rrënja e një numri. Nëse e dimë vlerën e eksponentit dhe të eksponentit, mund të llogarisim bazën e tij. Shkalla ka disa veti specifike që janë të dobishme për zgjidhjen e problemeve që i kemi analizuar në një material të veçantë.

Eksponentët mund të përmbajnë jo vetëm numra natyrorë, por në përgjithësi çdo vlerë të plotë, duke përfshirë ato negative dhe zero, sepse ata gjithashtu i përkasin grupit të numrave të plotë.

Përkufizimi 2

Shkalla e një numri me një eksponent të plotë pozitiv mund të shfaqet si formulë: .

Për më tepër, n është çdo numër i plotë pozitiv.

Le të merremi me konceptin e shkallës zero. Për ta bërë këtë, ne përdorim një qasje që merr parasysh vetinë e koeficientit për fuqitë me baza të barabarta. Është formuluar kështu:

Përkufizimi 3

Barazia a m: a n = a m − n do të jetë e vërtetë në kushtet e mëposhtme: m dhe n janë numra natyrorë, m< n , a ≠ 0 .

Kushti i fundit është i rëndësishëm sepse shmang pjesëtimin me zero. Nëse vlerat e m dhe n janë të barabarta, atëherë do të marrim rezultatin e mëposhtëm: a n: a n = a n − n = a 0

Por në të njëjtën kohë a n: a n = 1 - herësi i numrave të barabartë a n dhe a. Rezulton se shkalla zero e çdo numri jozero është e barabartë me një.

Sidoqoftë, një provë e tillë nuk është e përshtatshme për zero në fuqinë zero. Për ta bërë këtë, ne kemi nevojë për një pronë tjetër të fuqive - pronë e produkteve të fuqive me baza të barabarta. Duket kështu: a m a n = a m + n .

Nëse n është 0, atëherë a m a 0 = a m(kjo barazi na e vërteton edhe këtë a 0 = 1). Por nëse dhe është gjithashtu e barabartë me zero, barazia jonë merr formën 0 m 0 0 = 0 m, Do të jetë e vërtetë për çdo vlerë natyrore të n, dhe nuk ka rëndësi se cila është saktësisht vlera e shkallës 0 0 , pra mund të jetë i barabartë me çdo numër dhe kjo nuk do të ndikojë në vlefshmërinë e barazisë. Prandaj, një procesverbal i formularit 0 0 nuk ka asnjë kuptim të veçantë të vetin dhe ne nuk do t'ia atribuojmë atë.

Nëse dëshironi, është e lehtë ta kontrolloni atë a 0 = 1 konvergon me vetinë e shkallës (a m) n = a m n me kusht që baza e shkallës të mos jetë e barabartë me zero. Kështu, shkalla e çdo numri jozero me një eksponent zero është e barabartë me një.

Shembulli 2

Le të shohim një shembull me numra specifikë: Pra, 5 0 - njësi, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , dhe vlera 0 0 të papërcaktuara.

Pas shkallës zero, na mbetet të kuptojmë se çfarë është shkalla negative. Për ta bërë këtë, na duhet e njëjta veti e produktit të fuqive me baza të barabarta, të cilën e kemi përdorur tashmë më lart: a m · a n = a m + n.

Presim kushtin: m = − n , atëherë a nuk duhet të jetë e barabartë me zero. Nga kjo rrjedh se a − n a n = a − n + n = a 0 = 1. Rezulton se një n dhe a-n kemi numra reciprokë.

Si rezultat, a në një fuqi të plotë negative nuk është gjë tjetër veçse një fraksion 1 a n.

Ky formulim konfirmon se për një shkallë me një eksponent negativ të numrit të plotë, vlejnë të gjitha të njëjtat veti që ka një shkallë me një eksponent natyror (me kusht që baza të mos jetë e barabartë me zero).

Shembulli 3

Fuqia a me një numër të plotë negativ n mund të përfaqësohet si një fraksion 1 a n. Kështu, a - n = 1 a n sipas kushtit a ≠ 0 dhe n është çdo numër natyror.

Le të ilustrojmë idenë tonë me shembuj specifik:

Shembulli 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Në pjesën e fundit të paragrafit, ne do të përpiqemi të përshkruajmë gjithçka që është thënë qartë në një formulë:

Përkufizimi 4

Fuqia e a me eksponent natyror z është: az = az, e me z dhe z është një numër i plotë pozitiv 1, z = 0 dhe a ≠ 0 , (nëse z = 0 dhe a = 0 marrim 0 0 , vlerat e shprehjes 0 0 nuk duhet të përcaktohen)   1 az, nëse z është një numër i plotë negativ dhe a ≠ 0 (nëse z është një numër i plotë negativ dhe a = 0 marrim 0 z, është një n d e n t i o n )

Cilat janë shkallët me një eksponent racional

Kemi analizuar rastet kur eksponenti është numër i plotë. Megjithatë, ju gjithashtu mund të ngrini një numër në një fuqi kur eksponenti i tij është një numër thyesor. Kjo quhet një shkallë me një eksponent racional. Në këtë nënseksion do të vërtetojmë se ka të njëjtat veti si fuqitë e tjera.

Cilat janë numrat racionalë? Bashkësia e tyre përfshin numra të plotë dhe thyesorë, ndërsa numrat thyesorë mund të përfaqësohen si thyesa të zakonshme (si pozitive ashtu edhe negative). Ne formulojmë përkufizimin e shkallës së një numri a me një eksponent thyesor m / n, ku n është një numër natyror dhe m është një numër i plotë.

Kemi një shkallë me një eksponent thyesor a m n. Në mënyrë që vetia e fuqisë të mbahet në një shkallë, barazia a m n n = a m n · n = a m duhet të jetë e vërtetë.

Duke pasur parasysh përkufizimin e një rrënjë të n-të dhe se a m n n = a m , ne mund të pranojmë kushtin a m n = a m n nëse një m n ka kuptim për vlerat e dhëna të m , n dhe a .

Vetitë e mësipërme të shkallës me një eksponent numër të plotë do të jenë të vërteta nën kushtin a m n = a m n .

Përfundimi kryesor nga arsyetimi ynë është si vijon: shkalla e një numri të caktuar a me një eksponent thyesor m / n është rrënja e shkallës së n-të nga numri a në fuqinë m. Kjo është e vërtetë nëse, për vlerat e dhëna të m, n dhe a, shprehja a m n ka kuptim.

1. Mund të kufizojmë vlerën e bazës së shkallës: marrim a, e cila për vlerat pozitive të m do të jetë më e madhe ose e barabartë me 0, dhe për vlerat negative do të jetë rreptësisht më e vogël (pasi për m ≤ 0 marrim 0 m, por kjo shkallë nuk është e përcaktuar). Në këtë rast, përkufizimi i shkallës me një eksponent thyesor do të duket si ky:

Eksponenti thyesor m/n për një numër pozitiv a është rrënja e n-të e a e ngritur në fuqinë m. Në formën e një formule, kjo mund të përfaqësohet si më poshtë:

Për një shkallë me bazë zero, kjo dispozitë është gjithashtu e përshtatshme, por vetëm nëse eksponenti i saj është një numër pozitiv.

Një fuqi me bazë zero dhe një eksponent thyesor pozitiv m/n mund të shprehet si

0 m n = 0 m n = 0 nën kushtin e numrit të plotë pozitiv m dhe n natyror.

Me një raport negativ m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Le të vërejmë një pikë. Meqenëse kemi futur kushtin që a është më i madh ose i barabartë me zero, kemi hedhur poshtë disa raste.

Shprehja a m n ndonjëherë ka ende kuptim për disa vlera negative të a dhe disa vlera negative të m. Pra, shënimet janë të sakta (- 5) 2 3 , (- 1 , 2) 5 7 , - 1 2 - 8 4 , në të cilat baza është negative.

2. Qasja e dytë është të shqyrtojmë veçmas rrënjën a m n me eksponentë çift dhe tek. Më pas duhet të paraqesim edhe një kusht: shkalla a, në eksponentin e së cilës ka një thyesë të zakonshme të reduktueshme, konsiderohet shkalla a, në eksponentin e së cilës është fraksioni përkatës i pakësueshëm. Më vonë do të shpjegojmë pse na duhet kjo gjendje dhe pse është kaq e rëndësishme. Kështu, nëse kemi një rekord a m · k n · k , atëherë mund ta reduktojmë në një m n dhe të thjeshtojmë llogaritjet.

Nëse n është një numër tek dhe m është pozitiv dhe a është çdo numër jo negativ, atëherë një m n ka kuptim. Kushti për një a jo negative është i nevojshëm, pasi rrënja e një shkalle çift nuk nxirret nga një numër negativ. Nëse vlera e m është pozitive, atëherë a mund të jetë edhe negative edhe zero, sepse Një rrënjë tek mund të merret nga çdo numër real.

Le të kombinojmë të gjitha të dhënat mbi përkufizimin në një hyrje:

Këtu m/n do të thotë një thyesë e pakalueshme, m është çdo numër i plotë dhe n është çdo numër natyror.

Përkufizimi 5

Për çdo thyesë të zakonshme të reduktuar m · k n · k, shkalla mund të zëvendësohet me një m n.

Shkalla e a me një eksponent thyesor të pakalueshëm m / n – mund të shprehet si m n në rastet e mëposhtme: - për çdo a real, vlera të plota pozitive m dhe vlera natyrore teke n. Shembull: 2 5 3 = 2 5 3 , (- 5 , 1) 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7 , 0 5 19 = 0 5 19 .

Për çdo a jo-zero reale, vlera të plota negative të m dhe vlera tek të n, për shembull, 2 - 5 3 = 2 - 5 3 , (- 5 , 1) - 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7

Për çdo vlerë jo negative a , vlera të plota pozitive të m dhe çift n, për shembull, 2 1 4 = 2 1 4 , (5 , 1) 3 2 = (5 , 1) 3 , 0 7 18 = 0 7 18 .

Për çdo a , numër të plotë negativ m dhe çift n , për shembull, 2 - 1 4 = 2 - 1 4 , (5 , 1) - 3 2 = (5 , 1) - 3 , .

Në rastin e vlerave të tjera, shkalla me një eksponent thyesor nuk përcaktohet. Shembuj të fuqive të tilla: - 2 11 6 , - 2 1 2 3 2 , 0 - 2 5 .

Tani le të shpjegojmë rëndësinë e kushtit të përmendur më sipër: pse të zëvendësohet një thyesë me një eksponent të reduktueshëm për një thyesë me një të pakësueshëm. Nëse nuk do ta kishim bërë këtë, atëherë situata të tilla do të kishin dalë, të themi, 6/10 = 3/5. Atëherë (- 1) 6 10 = - 1 3 5 duhet të jetë e vërtetë, por - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1, dhe (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Përkufizimi i shkallës me një eksponent thyesor, të cilin e dhamë së pari, është më i përshtatshëm për t'u zbatuar në praktikë sesa i dyti, kështu që ne do të vazhdojmë ta përdorim atë.

Përkufizimi 6

Kështu, fuqia e një numri pozitiv a me eksponent thyesor m / n përcaktohet si 0 m n = 0 m n = 0 . Në rast negativ a shënimi a m n nuk ka kuptim. Shkalla e zeros për eksponentët thyesorë pozitivë m/n përkufizohet si 0 m n = 0 m n = 0 , për eksponentë thyesorë negativë nuk e përkufizojmë shkallën zero.

Në përfundime, vërejmë se çdo tregues thyesor mund të shkruhet si një numër i përzier dhe si një thyesë dhjetore: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Gjatë llogaritjes, është më mirë të zëvendësohet eksponenti me një fraksion të zakonshëm dhe më pas të përdoret përkufizimi i shkallës me një eksponent thyesor. Për shembujt e mësipërm, marrim:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Cilat janë shkallët me eksponent irracional dhe real

Cilët janë numrat realë? Grupi i tyre përfshin numra racionalë dhe iracionalë. Prandaj, për të kuptuar se çfarë është një shkallë me një eksponent real, duhet të përcaktojmë shkallët me eksponentë racional dhe iracional. Për racionalen kemi përmendur tashmë më lart. Le të merremi me treguesit joracionalë hap pas hapi.

Shembulli 5

Supozoni se kemi një numër irracional a dhe një sekuencë të përafrimeve dhjetore të tij a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Për shembull, le të marrim vlerën a = 1, 67175331. . . , pastaj

a 0 = 1 , 6 , a 1 = 1 , 67 , a 2 = 1 , 671 , . . . , a 0 = 1 , 67 , a 1 = 1 , 6717 , a 2 = 1 , 671753 , . . .

Ne mund t'i lidhim sekuencat e përafrimeve me një sekuencë fuqish a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Nëse kujtojmë atë që folëm më parë për ngritjen e numrave në një fuqi racionale, atëherë ne mund t'i llogarisim vetë vlerat e këtyre fuqive.

Merrni për shembull a = 3, pastaj a a 0 = 3 1 , 67 , a a 1 = 3 1 , 6717 , a a 2 = 3 1 , 671753 , . . . etj.

Sekuenca e shkallëve mund të reduktohet në një numër, i cili do të jetë vlera e shkallës me bazën a dhe eksponentin irracional a. Si rezultat: një shkallë me një eksponent irracional të formës 3 1 , 67175331 . . mund të reduktohet në numrin 6, 27.

Përkufizimi 7

Fuqia e një numri pozitiv a me eksponent irracional a shkruhet si a . Vlera e tij është kufiri i sekuencës a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , ku a 0 , a 1 , a 2 , . . . janë përafrime dhjetore të njëpasnjëshme të numrit irracional a. Një shkallë me një bazë zero gjithashtu mund të përcaktohet për eksponentët joracionalë pozitivë, ndërsa 0 a \u003d 0 Pra, 0 6 \u003d 0, 0 21 3 3 \u003d 0. Dhe për ato negative, kjo nuk mund të bëhet, pasi, për shembull, vlera 0 - 5, 0 - 2 π nuk është përcaktuar. Një njësi e ngritur në çdo fuqi irracionale mbetet një njësi, për shembull, dhe 1 2 , 1 5 në 2 dhe 1 - 5 do të jetë e barabartë me 1 .

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Në këtë artikull, ne do të kuptojmë se çfarë është shkalla e. Këtu do të japim përkufizime të shkallës së një numri, duke shqyrtuar në detaje të gjithë eksponentët e mundshëm të shkallës, duke filluar nga një eksponent natyror, duke përfunduar me një iracional. Në material do të gjeni shumë shembuj të gradave që mbulojnë të gjitha hollësitë që dalin.

Navigimi i faqes.

Shkalla me eksponent natyror, katrori i një numri, kubi i një numri

Le të fillojmë me. Duke parë përpara, le të themi se përkufizimi i shkallës së a me eksponent natyror n është dhënë për a , të cilën do ta quajmë bazë e shkallës, dhe n , të cilat do t'i quajmë eksponent. Gjithashtu vini re se shkalla me një tregues natyror përcaktohet përmes produktit, kështu që për të kuptuar materialin e mëposhtëm, duhet të keni një ide për shumëzimin e numrave.

Përkufizimi.

Fuqia e numrit a me eksponent natyror nështë shprehje e formës a n , vlera e së cilës është e barabartë me produktin e n faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me a , pra .
Në veçanti, shkalla e një numri a me eksponent 1 është vetë numri a, domethënë a 1 =a.

Menjëherë vlen të përmenden rregullat për leximin e gradave. Mënyra universale për të lexuar hyrjen a n është: "a në fuqinë e n". Në disa raste, opsione të tilla janë gjithashtu të pranueshme: "a në fuqinë e n-të" dhe "fuqia e n-të e numrit a". Për shembull, le të marrim shkallën 8 12, kjo është "tetë në fuqinë e dymbëdhjetë", ose "tetë në fuqinë e dymbëdhjetë", ose "fuqia e dymbëdhjetë e tetë".

Fuqia e dytë e një numri, si dhe fuqia e tretë e një numri, kanë emrat e tyre. Fuqia e dytë e një numri quhet katrori i një numri, për shembull, 7 2 lexohet si "shtatë në katror" ose "katrori i numrit shtatë". Fuqia e tretë e një numri quhet numri i kubit, për shembull, 5 3 mund të lexohet si "pesë kube" ose të themi "kubi i numrit 5".

Është koha për të sjellë shembuj gradash me tregues fizikë. Le të fillojmë me fuqinë e 5 7, ku 5 është baza e fuqisë dhe 7 është eksponent. Le të japim një shembull tjetër: 4.32 është baza, dhe numri natyror 9 është eksponenti (4.32) 9 .

Ju lutemi vini re se në shembullin e fundit, baza e shkallës 4.32 është shkruar në kllapa: për të shmangur mospërputhjet, ne do të marrim në kllapa të gjitha bazat e shkallës që janë të ndryshme nga numrat natyrorë. Si shembull, ne japim shkallët e mëposhtme me tregues natyrorë , bazat e tyre nuk janë numra natyrorë, ndaj shkruhen në kllapa. Epo, për qartësi të plotë në këtë pikë, ne do të tregojmë ndryshimin që përmbahen në të dhënat e formës (−2) 3 dhe −2 3 . Shprehja (−2) 3 është fuqia e −2 me eksponent natyror 3, dhe shprehja −2 3 (mund të shkruhet si −(2 3) ) i përgjigjet numrit, vlerës së fuqisë 2 3 .

Vini re se ekziston një shënim për shkallën e a me një eksponent n të formës a^n. Për më tepër, nëse n është një numër natyror me shumë vlera, atëherë eksponenti merret në kllapa. Për shembull, 4^9 është një tjetër shënim për fuqinë e 4 9 . Dhe këtu janë më shumë shembuj të shkrimit të shkallëve duke përdorur simbolin "^": 14^(21) , (−2,1)^(155) . Në vijim, ne do të përdorim kryesisht shënimin e shkallës së formës a n.

Një nga problemet, ana e kundërt e fuqisë me një eksponent natyror, është problemi i gjetjes së bazës së shkallës nga një vlerë e njohur e shkallës dhe një eksponent i njohur. Kjo detyrë çon në.

Dihet se bashkësia e numrave racionalë përbëhet nga numra të plotë dhe numra thyesorë, dhe çdo numër thyesor mund të përfaqësohet si një thyesë e zakonshme pozitive ose negative. Ne e përcaktuam shkallën me një eksponent numër të plotë në paragrafin e mëparshëm, prandaj, për të përfunduar përkufizimin e shkallës me një eksponent racional, duhet të japim kuptimin e shkallës së numrit a me një eksponent thyesor m / n, ku m është një numër i plotë dhe n është një numër natyror. Le ta bejme.

Konsideroni një shkallë me një eksponent thyesor të formës . Në mënyrë që vetia e gradës në një shkallë të mbetet e vlefshme, barazia duhet të jetë e vlefshme . Nëse marrim parasysh barazinë që rezulton dhe mënyrën se si e përkufizuam , atëherë është logjike të pranohet, me kusht që për m, n dhe a të dhëna, shprehja të ketë kuptim.

Është e lehtë të kontrollohet nëse të gjitha vetitë e një shkalle me një eksponent numër të plotë janë të vlefshme për si (kjo bëhet në seksionin mbi vetitë e një shkalle me një eksponent racional).

Arsyetimi i mësipërm na lejon të bëjmë sa vijon prodhimit: nëse për m, n dhe a të dhënë shprehja ka kuptim, atëherë fuqia e numrit a me një eksponent thyesor m / n është rrënja e shkallës së n-të të a ndaj fuqisë m.

Ky pohim na afron me përkufizimin e një shkalle me një eksponent thyesor. Mbetet vetëm për të përshkruar se për cilat m, n dhe a ka kuptim shprehja. Në varësi të kufizimeve të vendosura në m, n dhe a, ekzistojnë dy qasje kryesore.

Mënyra më e lehtë për të kufizuar a është të supozojmë a≥0 për m pozitive dhe a>0 për m negative (sepse m≤0 nuk ka fuqi 0 m). Pastaj marrim përkufizimin e mëposhtëm të shkallës me një eksponent thyesor.

Përkufizimi.

Fuqia e një numri pozitiv a me eksponent thyesor m/n, ku m është një numër i plotë, dhe n është një numër natyror, quhet rrënja e n-së së numrit a në fuqinë e m, domethënë .

Shkalla e pjesshme e zeros përcaktohet gjithashtu me të vetmin paralajmërim që eksponenti duhet të jetë pozitiv.

Përkufizimi.

Fuqia zero me eksponent pozitiv thyesor m/n, ku m është një numër i plotë pozitiv dhe n është një numër natyror, përkufizohet si .
Kur shkalla nuk është e përcaktuar, domethënë, shkalla e numrit zero me një eksponent negativ thyesor nuk ka kuptim.

Duhet të theksohet se me një përkufizim të tillë të shkallës me një eksponent thyesor, ka një nuancë: për disa negative a dhe disa m dhe n, shprehja ka kuptim dhe këto raste i hodhëm duke futur kushtin a≥0 . Për shembull, ka kuptim të shkruash ose , dhe përkufizimi i mësipërm na detyron të themi se shkallët me një eksponent thyesor të formës janë të pakuptimta, pasi baza nuk duhet të jetë negative.

Një qasje tjetër për përcaktimin e shkallës me një eksponent thyesor m / n është të merren parasysh veçmas eksponentët çift dhe tek të rrënjës. Kjo qasje kërkon një kusht shtesë: shkalla e numrit a, eksponenti i të cilit është , konsiderohet shkalla e numrit a, eksponenti i të cilit është thyesa përkatëse e pakësueshme (rëndësia e këtij kushti do të shpjegohet më poshtë). Kjo do të thotë, nëse m/n është një thyesë e pakalueshme, atëherë për çdo numër natyror k shkalla fillimisht zëvendësohet me .

Për n çift dhe m pozitiv, shprehja ka kuptim për çdo jonegativ a (rrënja e një shkalle çift nga një numër negativ nuk ka kuptim), për m negativ, numri a duhet të jetë ende i ndryshëm nga zero (përndryshe atje do të jetë një pjesëtim me zero). Dhe për n tek dhe m pozitiv, numri a mund të jetë çdo gjë (rrënja e një shkalle tek është përcaktuar për çdo numër real), dhe për negativ m, numri a duhet të jetë i ndryshëm nga zero (në mënyrë që të mos ketë pjesëtim me zero).

Arsyetimi i mësipërm na çon në një përkufizim të tillë të shkallës me një eksponent thyesor.

Përkufizimi.

Le të jetë m/n një thyesë e pakalueshme, m një numër i plotë dhe n një numër natyror. Për çdo fraksion të zakonshëm të reduktueshëm, shkalla zëvendësohet me . Fuqia e a me një eksponent thyesor të pakalueshëm m / n është për



Le të shpjegojmë pse një shkallë me një eksponent thyesor të reduktueshëm zëvendësohet fillimisht nga një shkallë me një eksponent të pareduktueshëm. Nëse do ta përcaktonim shkallën thjesht si , dhe nuk do të bënim një rezervë për pakësueshmërinë e thyesës m / n , atëherë do të hasnim situata të ngjashme me sa vijon: meqenëse 6/10=3/5 , atëherë barazia , por , por .