Домой Овощи Делится ли нацело число. Основные признаки делимости

Овощи

Делится ли нацело число. Основные признаки делимости

Признак делимости – это своеобразный алгоритм, который позволяет быстро определить, делится ли заданное число на другое заданное число. Знание признаков делимости значительно сокращает время при счете, а также позволяет развивать память и логическое мышление при выполнении вычислений в уме.

Кроме того, существует ряд заданий, где нужно определить, делится ли какое-либо число без остатка на иное число. И при его решении вовсе не нужно производить деление (а числа в таких заданиях немаленькие), нужно всего лишь воспользоваться признаком делимости.

Самым простым признаком делимости является признак делимости на 2 . Число делится на 2 только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, иными словами, она должна быть четной.

Число 123456 делится на 2, т.к. 6 – последняя цифра – четная. Число 12345 на 2 не делится, т.к. на 2 не делится 5.

Признак делимости на 3: число делится на 3 тогда, когда суммы всех его цифр кратна 3.

Число 123456 делится на 3, т.к. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21, где 21: 3 = 7.

Число 1234 не делится на 3, т.к 1 + 2 + 3 + 4 = 10, где 10: 3 ≠.

Признак делимости на 4: число делится на 4 тогда, когда его две последние цифры делятся на 4.

Число 123456 делится на 4, т.к. 56: 4 = 14.

Число 1234 не делится на 4, т.к 34: 4 ≠.

А как быть с признаком делимости на 4, если число двузначное? Для двузначных чисел работает такое правило: если сумма половины единиц числа и десятков делится на 2, то само число делится на 4; в противном случает – число на 4 не делится.

Число 92 делится на 4, т.к. (2: 2) + 9 = 1 + 9 = 10, где 10: 2 = 5.

Одним из наиболее простых признаков является признак делимости на 5: число делится на 5, если его последняя цифра делится на пять.

Число 12345 делится на 5, т.к. 5 – последняя цифра и она делится на 5.

Число 1234 на 5 не делится, т.к. 4: 5 ≠.

Признак делимости на 6: на 6 делится число, которое делится на делители 6, т.е. на 2 и на 3. Значит, нам нужно вспомнить признаки делимости на 2 и 3: последняя цифра числа должна быть четной, а сумма всех цифр должна делиться на 3.

Число 123456 делится на 6, т.к. его последняя цифра четная (6), а сумма цифр 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 делится на 3.

Число 12345 не делится на 6, т.к. не подходит по одному признаку: 5 – нечетное число (хотя сумма цифр делится на 3).

Признак делимости на 7: на 7 делится число, в котором результат вычитания удвоенной последней цифры этого числа без последней цифры делится на 7.

Число 364 мы сможем разделить на 7 без остатка, т.к. удвоенная последняя цифра – это 4 ∙ 2, т.е. 8; результат вычитания равен 36 – 8 = 28, где 28: 7 = 4.

Признак делимости на 8: если три последних цифры числа делятся на 8, то тамо число делится на 8. Процесс определения делимости трехзначного числа на 8 более сложный: нужно к десяткам прибавить половину единиц и повторить то же самое с получившимся числом; если результат делится на 2, то он делится и на 8.

952 делится на 8, потому что:

Признак делимости на 9: на 9 делится число, сумма цифр которого без остатка делится на 9.

Число 12348 делится на 9, т.к. 1 + 2 + 3 + 4 + 8 = 18, где 18: 9 = 2.

Признак делимости на 10 очень прост: число делится на 10 в том случае, если оно оканчивается на 0. Например: 100, 3458903456890 и др.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Серию статей о признаках делимости продолжает признак делимости на 3 . В этой статье сначала дана формулировка признака делимости на 3 , и приведены примеры применения этого признака при выяснении, какие из данных целых чисел делятся на 3 , а какие – нет. Дальше дано доказательство признака делимости на 3 . Также рассмотрены подходы к установлению делимости на 3 чисел, заданных как значение некоторого выражения.

Навигация по странице.

Признак делимости на 3, примеры

Начнем с формулировки признака делимости на 3 : целое число делится на 3 , если сумма его цифр делится на 3 , если же сумма цифр данного числа не делится на 3 , то и само число не делится на 3 .

Из приведенной формулировки понятно, что признаком делимости на 3 не удастся воспользоваться без умения выполнять . Также для успешного применения признака делимости на 3 нужно знать, что из всех на 3 делятся числа 3 , 6 и 9 , а числа 1 , 2 , 4 , 5 , 7 и 8 – не делятся на 3 .

Теперь можно рассмотреть простейшие примеры применения признака делимости на 3 . Выясним, делится ли на 3 число −42 . Для этого вычисляем сумму цифр числа −42 , она равна 4+2=6 . Так как 6 делится на 3 , то в силу признака делимости на 3 можно утверждать, что и число −42 делится на 3 . А вот целое положительное число 71 на 3 не делится, так как сумма его цифр равна 7+1=8 , а 8 не делится на 3 .

А делится ли на 3 число 0 ? Чтобы ответить на этот вопрос, признак делимости на 3 не понадобится, здесь нужно вспомнить соответствующее свойство делимости , которое утверждает, что нуль делится на любое целое число. Таким образом, 0 делится на 3 .

В некоторых случаях чтобы показать, что данное число обладает или не обладает способностью делиться на 3 , к признаку делимости на 3 приходится обращаться несколько раз подряд. Приведем пример.

Пример.

Покажите, что число 907 444 812 делится на 3 .

Решение.

Сумма цифр числа 907 444 812 равна 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39 . Чтобы выяснить, делится ли 39 на 3 , вычислим его сумму цифр: 3+9=12 . А чтобы узнать, делится ли 12 на 3 , находим сумму цифр числа 12 , имеем 1+2=3 . Так как мы получили число 3 , которое делится на 3 , то в силу признака делимости на 3 число 12 делится на 3 . Следовательно, 39 делится на 3 , так как сумма его цифр равна 12 , а 12 делится на 3 . Наконец, 907 333 812 делится на 3 , так как сумма его цифр равна 39 , а 39 делится на 3 .

Для закрепления материала разберем решение еще одного примера.

Пример.

Делится ли на 3 число −543 205 ?

Решение.

Вычислим сумму цифр данного числа: 5+4+3+2+0+5=19 . В свою очередь сумма цифр числа 19 равна 1+9=10 , а сумма цифр числа 10 равна 1+0=1 . Так как мы получили число 1 , которое не делится на 3 , из признака делимости на 3 следует, что 10 не делится на 3 . Поэтому 19 не делится на 3 , так как сумма его цифр равна 10 , а 10 не делится на 3 . Следовательно, исходное число −543 205 не делится на 3 , так как сумма его цифр, равная 19 , не делится на 3 .

Ответ:

Нет.

Стоит заметить, что непосредственное деление данного числа на 3 также позволяет сделать вывод о том, делится ли данное число на 3 нацело, или нет. Этим мы хотим сказать, что не нужно пренебрегать делением в пользу признака делимости на 3 . В последнем примере, 543 205 на 3 , мы бы убедились, что 543 205 не делится нацело на 3 , откуда можно было бы сказать, что и −543 205 не делится на 3 .

Доказательство признака делимости на 3

Доказать признак делимости на 3 нам поможет следующее представление числа a . Любое натуральное число a мы можем , после чего позволяет получить представление вида , где a n , a n−1 , …, a 0 – цифры, стоящие слева направо в записи числа a . Для наглядности приведем пример такого представления: 528=500+20+8=5·100+2·10+8 .

Теперь запишем ряд достаточно очевидных равенств: 10=9+1=3·3+1 , 100=99+1=33·3+1 , 1 000=999+1=333·3+1 и так далее.

Подставив в равенство a=a n ·10 n +a n−1 ·10 n−1 +…+a 2 ·10 2 +a 1 ·10+a 0 вместо 10 , 100 , 1 000 и так далее выражения 3·3+1 , 33·3+1 , 999+1=333·3+1 и так далее, получим
.

И позволяют полученное равенство переписать так:

Выражение есть сумма цифр числа a . Обозначим ее для краткости и удобства буквой А , то есть, примем . Тогда получим представление числа a вида , которым и воспользуемся при доказательстве признака делимости на 3 .

Также для доказательства признака делимости на 3 нам потребуются следующие свойства делимости:

чтобы целое число a делилось на целое число b необходимо и достаточно, чтобы a делился на модуль числа b ;
если в равенстве a=s+t все члены, кроме какого-то одного, делятся на некоторое целое число b , то и этот один член делится на b .

Теперь мы полностью подготовлены и можем провести доказательство признака делимости на 3 , для удобства этот признак сформулируем в виде необходимого и достаточного условия делимости на 3 .

Теорема.

Для делимости целого числа a на 3 необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3 .

Доказательство.

Для a=0 теорема очевидна.

Если a отлично от нуля, то модуль числа a является натуральным числом, тогда возможно представление , где - сумма цифр числа a .

Так как сумма и произведение целых чисел есть целое число, то - целое число, тогда по определению делимости произведение делится на 3 при любых a 0 , a 1 , …, a n .

Если сумма цифр числа a делится на 3 , то есть, А делится на 3 , то в силу свойства делимости, указанного перед теоремой, делится на 3 , следовательно, a делится на 3 . Так доказана достаточность.

Если a делится на 3 , то и делится на 3 , тогда в силу того же свойства делимости число А делится на 3 , то есть, сумма цифр числа a делится на 3 . Так доказана необходимость.

Другие случаи делимости на 3

Иногда целые числа задаются не в явном виде, а как значение некоторого при данном значении переменной. Например, значение выражения при некотором натуральном n является натуральным числом. Понятно, что при таком задании чисел для установления их делимости на 3 не поможет непосредственное деление на 3 , да и признак делимости на 3 удастся применить далеко не всегда. Сейчас мы рассмотрим несколько подходов к решению подобных задач.

Суть этих подходов заключается в представлении исходного выражения в виде произведения нескольких множителей, и если хотя бы один из множителей будет делиться на 3 , то в силу соответствующего свойства делимости можно будет сделать вывод о делимости на 3 всего произведения.

Иногда реализовать такой подход позволяет . Рассмотрим решение примера.

Пример.

Делится ли значение выражения на 3 при любом натуральном n ?

Решение.

Очевидно равенство . Воспользуемся формулой бинома Ньютона:

В последнем выражении мы можем вынести 3 за скобки, при этом получим . Полученное произведение делится на 3 , так как содержит множитель 3 , а значение выражения в скобках при натуральных n представляет собой натуральное число. Следовательно, делится на 3 при любом натуральном n .

Ответ:

Да.

Во многих случаях доказать делимость на 3 позволяет . Разберем его применение при решении примера.

Пример.

Докажите, что при любом натуральном n значение выражения делится на 3 .

Решение.

Для доказательства применим метод математической индукции.

При n=1 значение выражения равно , а 6 делится на 3 .

Предположим, что значение выражения делится на 3 при n=k , то есть, делится на 3 .

Учитывая, что делится на 3 , покажем, что значение выражения при n=k+1 делится на 3 , то есть, покажем, что делится на 3 .

Из школьной программы многие помнят, что существуют признаки делимости. Под данным словосочетанием понимают правила, которые позволяют достаточно быстро определить, является ли число кратным заданному, не совершая при этом непосредственную арифметическую операцию. Данный способ основан на действиях, совершаемых с частью цифр из записи в позиционной

Самые простые признаки делимости многие помнят из школьной программы. Например, то, что на 2 делятся все числа, последняя цифра в записи которых четная. Данный признак наиболее легко запомнить и применять на практике. Если говорить о способе деления на 3, то для многозначных чисел применяется следующее правило, которое можно показать на таком примере. Необходимо узнать, будет ли 273 кратно трем. Для этого выполняем следующую операцию: 2+7+3=12. Полученная сумма делится на 3, следовательно, и 273 будет делиться на 3 таким образом, что в результате получится целое число.

Признаки делимости на 5 и 10 будут следующие. В первом случае запись будет оканчиваться на цифры 5 или 0, во втором случае только на 0. Для того чтобы узнать, кратно ли делимое четырем, следует поступить следующим образом. Необходимо вычленить две последние цифры. Если это два нуля или число, которое делится на 4 без остатка, то и все делимое будет кратно делителю. Нужно отметить, что перечисленные признаки используются только в десятичной системе. Они не применяются в других способах счисления. В таких случаях выводятся свои правила, которые зависят от основания системы.

Признаки деления на 6 следующие. 6 в том случае, если оно кратно и 2, и 3. Для того чтобы определить, делится ли число на 7, нужно удвоить последнюю цифру в его записи. Полученный результат вычитается из первоначального числа, в котором не учитывается последняя цифра. Данное правило можно рассмотреть на следующем примере. Необходимо узнать, кратно ли 364. Для этого 4 умножается на 2, получается 8. Далее выполняется следующее действие: 36-8=28. Полученный результат кратен 7, а, следовательно, и первоначальное число 364 можно разделить на 7.

Признаки делимости на 8 звучат следующим образом. Если три последних цифры в записи числа образуют число, которое кратно восьми, то и само число будет делиться на заданный делитель.

Узнать, делится ли многозначное число на 12, можно следующим образом. По перечисленным выше признакам делимости необходимо узнать, кратно ли число 3 и 4. Если они могут выступать одновременно делителями для числа, то с заданным делимым можно проводить и операцию деления на 12. Подобное правило применяется и для других сложных чисел, например, пятнадцати. При этом делителями должны выступать 5 и 3. Чтобы узнать, делится ли число на 14, следует посмотреть, кратно ли оно 7 и 2. Так, можно рассмотреть это на следующем примере. Необходимо определить, можно ли 658 разделить на 14. Последняя цифра в записи четная, следовательно, число кратно двум. Далее мы 8 умножаем на 2, получаем 16. Из 65 нужно вычесть 16. Результат 49 делится на 7, как и все число. Следовательно, 658 можно разделить и на 14.

Если две последние цифры в заданном числе делятся на 25, то и все оно будет кратно этому делителю. Для многозначных чисел признак делимости на 11 будет звучать следующим образом. Необходимо узнать, кратна ли заданному делителю разность сумм цифр, которые стоят на нечетных и четных местах в его записи.

Нужно отметить, что признаки делимости чисел и их знание очень часто значительно упрощает многие задачи, которые встречаются не только в математике, но и в повседневной жизни. Благодаря умению определить, кратно ли число другому, можно быстро выполнять различные задания. Помимо этого, применение данных способов на занятиях математики поможет развивать у студентов или школьников, будет способствовать развитию определенных способностей.

m и n имеется такое целое число k и nk = m , то число m делится на n

Применение навыков делимости упрощает вычисления, и соразмерно повышает скорость их исполнения. Разберем детально основные характерные особенности делимости .

Наиболее незамысловатый признак делимости для единицы : на единицу делится все числа . Так же элементарно и с признаками делимости на два , пять , десять . На два можно поделить четные число либо то у которого итоговая цифра 0, на пять - число у которого конечная цифры 5 или 0. На десять поделятся только те числа, у которых заключительная цифра 0, на 100 — только те числа, у которых две заключительных цифры нули, на 1000 — только те, у которых три заключительных нуля.

Например:

Цифру 79516 можно разделить на 2, так как она заканчивается на 6— четное число ; 9651 не поделится на 2, так как 1 - цифра нечетная; 1790 поделится на 2, так как конечная цифра нуль. 3470 поделится на 5 (заключительная цифра 0); 1054 не поделится на 5 (конечная цифра 4). 7800 поделится на 10 и на 100; 542000 поделится на 10, 100, 1000.

Менее широко известны, но весьма удобны в использовании характерные особенности делимости на 3 и 9 , 4 , 6 и 8, 25 . Имеются так же характерные особенности делимости на 7, 11, 13, 17, 19 и так далее, но ими пользуются на практике значительно реже.

Характерная особенность деления на 3 и на 9 .

На три и/или на девять без остатка разделятся те числа, у которых результат сложения цифр кратен трем и/или девяти.

Например :

Число 156321, результат сложения 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18 поделится на 3 и поделится на 9, соответственно и само число можно поделить на 3 и 9. Число 79123 не поделится ни на 3, ни на 9, так как сумма его цифр (22) не поделится на эти числа.

Характерная особенность деления на 4, 8, 16 и так далее .

Цифру можно без остатка разделить на четыре , если у нее две последние цифры нули или являются числом , которое можно поделить на 4. Во всех остальных вариантах деление без остатка не возможно.

Например :

Число 75300 поделится на 4, так как последние две цифры нули; 48834 не делится на 4, так как последние две цифры дают число 34, не делящееся на 4; 35908 делится на 4, так как две последние цифры 08 дают число 8, делящееся на 4.

Схожий принцип пригоден и для признака делимости на восемь . Число делится на восемь, если три последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 8. В прочих случаях частное, полученное от деления, не будет целым числом.

Такие же свойства для деления на 16, 32, 64 и т. д., но в повседневных вычислениях они не используются.

Характерная особенность делимости на 6.

Число делится на шесть , если оно делится и на два и на три, при всех прочих вариантах, деление без остатка невозможно.

Например:

126 поделится на 6, так как оно делится и на 2 (заключительное четное число 6), и на 3 (сумма цифр 1 + 2 + 6 = 9 делится на три)

Характерная особенность делимости на 7.

Число делится на семь если разность его удвоенного последнего числа и "числа, оставшегося без последней цифры"делится на семь, то и само число делится на семь.

Например :

Число 296492. Возьмем последнюю цифру "2", удваиваем, выходит 4. Вычитаем 29649 - 4 = 29645. Проблематично выяснить делится ли оно на 7, следовательно анализируемом снова. Далее удваиваем последнюю цифру "5", выходит 10. Вычитаем 2964 - 10 = 2954. Результат тот же, нет ясности, делится ли оно на 7, следовательно продолжаем разбор. Анализируем с последней цифрой "4", удваиваем, выходит 8. Вычитаем 295 - 8 = 287. Сверяем двести восемьдесят семь - не делится на 7, в связи с этим продолжаем поиск. По аналогии последнюю цифру "7", удваиваем, выходит 14. Вычитаем 28 - 14 = 14. Число 14 делится на 7, итак исходное число делится на 7.

Характерная особенность делимости на 11 .

На одиннадцать делятся только те числа, у которых результат сложения цифр, размещающихся на нечетных местах, либо равен сумме цифр, размещающихся на четных местах, либо отличен на число, делящееся на одиннадцать.

Например:

Число 103 785 делится на 11, так как сумма цифр, размещающихся на нечетных местах, 1 + 3 + 8 = 12 равна сумме цифр, размещающихся на четных местах 0 + 7 + 5 = 12. Число 9 163 627 делится на 11, так как сумма цифр, размещающихся на нечетных местах, есть 9 + 6 + 6 + 7 = 28, а сумма цифр, размещающихся на четных местах, есть 1 + 3 + 2 = 6; разность между числами 28 и 6 есть 22, а это число делится на 11. Число 461 025 не делится на 11, так как числа 4 + 1 + 2 = 7 и 6 + 0 + 5 = 11 не равны друг другу, а их разность 11 - 7 = 4 не делится на 11.

Характерная особенность делимости на 25 .

На двадцать пять поделятся числа , две заключительные цифры которых нули или составляют число, которое можно разделить на двадцать пять (т. е. числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75). При прочих вариантах - число невозможно поделить целиком на 25.

Например:

9450 поделится на 25 (оканчивается на 50); 5085 не делится на 25.

Определение 1. Пусть число a 1) есть произведение двух чисел b и q так, что a=bq. Тогда a называется кратным b .

1) В данной статье под словом число будем понимать целое число.

Можно сказать также a делится на b, или b есть делитель a , или b делит a , или b входит множителем в a .

Из определения 1 вытекают следующие утверждения:

Утверждение 1. Если a -кратное b , b -кратное c , то a кратное c .

Действительно. Так как

где m и n какие то числа, то

Следовательно a делится на c.

Если в ряду чисел, каждое делится на следующее за ним, то каждое число есть кратное всех последующих чисел.

Утверждение 2. Если числа a и b - кратные числа c , то их сумма и разность также кратные числа c .

Действительно. Так как

a+b=mc+nc=(m+n)c,

a−b=mc−nc=(m−n)c.

Следовательно a+b делится на c и a−b делится на c .

Признаки делимости

Выведем общую формулу для определения признака делимости чисел на некоторое натуральное число m , которое называется признаком делимости Паскаля.

Найдем остатки деления на m следующей последовательностью. Пусть остаток от деления 10 на m будет r 1 , 10·r 1 на m будет r 2 , и т.д. Тогда можно записать:

Докажем, что остаток деления числа A на m равна остатку деления числа

(3)

Как известно, если два числа при делении на какое то число m дают одинаковый остаток, то из разность делится на m без остатка.

Рассмотрим разность A−A"

(6)

(7)

Каждый член правой части (5) делится на m следовательно левая часть уравнения также делится на m . Рассуждая аналогично, получим - правая часть (6) делится на m , следовательно левая часть (6) также делится на m , правая часть (7) делится на m , следовательно левая часть (7) также делится на m . Получили, что правая часть уравнения (4) делится на m . Следовательно A и A" имеют одинаковый остаток при делении на m . В этом случае говорят, что A и A" равноостаточные или сравнимыми по модулю m .

Таким образом, если A" делится на m m ) , то A также делится на m (имеет нулевой остаток от деления на m ). Мы показали что для определения делимости A можно определить делимость более простого числа A" .

Исходя из выражения (3), можно получить признаки делимости для конкретных чисел.

Признаки делимости чисел 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Признак делимости на 2.

Следуя процедуре (1) для m=2 , получим:

Все остатки от деления на 2 равняются нулю. Тогда, из уравнения (3) имеем

Все остатки от деления на 3 равняются 1. Тогда, из уравнения (3) имеем

Все остатки от деления на 4 кроме первого равняются 0. Тогда, из уравнения (3) имеем

Все остатки равны нулю. Тогда, из уравнения (3) имеем

Все остатки равны 4. Тогда, из уравнения (3) имеем

Следовательно число делится на 6 тогда и только тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 6. То есть из числа отбрасываем правую цифру, далее суммируем полученное число с 4 и добавляем отброшенное число. Если данное число делится на 6, то исходное число делится на 6.

Пример. 2742 делится на 6, т.к. 274*4+2=1098, 1098=109*4+8=444, 444=44*4+4=180 делится на 6.

Более простой признак делимости. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3 (т.е. если оно четное число и если сумма цифр делится на 3). Число 2742 делится на 6, т.к. число четное и 2+7+4+2=15 делится на 3.

Признак делимости на 7.

Следуя процедуре (1) для m=7 , получим: