Формула за ускорение за кръгово движение. Кръгово движение. Ъглова скорост и ъглово ускорение

a t = dv / dt = R.dw / dt = Re; (3,88).

a n = v 2 / R = w 2 R; (3,89).

a 2 = a t 2 + a n 2 = (dv / dt) 2 + (v 2 / R) 2 = R (e 2 + w 2). (3,90).

Когато едно твърдо тяло се върти около фиксирана ос, всички точки на тялото се движат в кръгове с центрове, разположени по оста на въртене. Линейните стойности за точки на въртящо се твърдо тяло са свързани с ъглови, тъй като всички формули на тези съотношения ще включват радиуса на въртене на точката.

Връзката между линейни и ъглови стойности се изразява със следните формули: s = Rj. (3,91).

v = Rw, (3.92).

a t = Re, (3.93).

a n = Rw 2. (3,94).

При равномерно ускорено движение в кръг всички видове ускорения се различават само от нула a t = const. (3,95). w = w 0 + et; (3,96).

j = j 0 + w 0 t + (et 2) / 2. (3,97).

За конкретен случай на криволинейно движение - движение по окръжност с радиус R, ъгловите характеристики на движението са свързани с линейните характеристики съвсем просто: Dj = Ds / R; (3,98).

w = dj / dt = v / R; (3,99).

e = dw / dt = d 2 j / dt 2 = a / R. (3.100).

Има аналогия между движението на твърдо тяло около неподвижна ос и движението на отделна материална точка (транслационно движение). Координатата съответства на ъгъл, линейна скорост - ъглова скорост, линейно (тангенциално) ускорение - ъглово ускорение. Вектор dφсе нарича аксиален вектор, докато векторът на изместването ∆rе полярен вектор (това включва и вектори за скорост и ускорение). Полярният вектор има точка на приложение (полюс), а аксиалният вектор има само дължина и посока (по оста), но няма точка на приложение.

z: \ Program Files \ Physicon \ Open Physics 2.5 част 2 \ design \ images \ Fwd_h.gifz: \ Program Files \ Physicon \ Open Physics 2.5 част 2 \ design \ images \ Bwd_h.gifz: \ Program Files \ Physicon \ Open Physics 2.5 част 1 \ design \ images \ Fwd_h.gifz: \ Program Files \ Physicon \ Open Physics 2.5 част 1 \ design \ images \ Bwd_h.gif z: \ Program Files \ Physicon \ Open Physics 2.5 част 2 \ design \ images \ Fwd_h.gifz: \ Program Files \ Physicon \ Open Physics 2.5 част 2 \ design \ images \ Bwd_h.gif Лекция 4.

ДИНАМИКА НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА.

Клонът на механиката, който изучава законите на взаимодействието на телата, се нарича динамика.Причината за движението на телата и промените в неговия характер с течение на времето е взаимодействието на телата . Взаимодействията се случват в космоса и следователно използват концепцията за силово поле

Силата, като количествена характеристика, е мярка за интензивността на взаимодействието на телата. В механиката силата е вектор: тя се задава от величината (модул), посоката на действие (вектор) и точката на приложение.

Във физиката се разграничават четири типа взаимодействия (сили):

1) гравитационен;

2) електромагнитни;

3) силен (между елементарни частици);

Слаби (с трансформации на елементарни частици).

Всички механични сили се делят на консервативни и неконсервативни. Силите се наричат ​​консервативни, чиято работа не зависи от пътя, а се определя само от координатите на точките на началните и крайните позиции на прилагане на силите.

В механиката действа принципът на независимост на силите: ако няколко сили действат едновременно върху материална точка,

тогава всяка от тези сили придава ускорение до материалната точка, съгласно втория закон на Нютон, сякаш няма други сили. Силата се характеризира с числена стойност, посока и точка на приложение и е мярка за механичното въздействие върху тялото.

ЗАКОНИТЕ НА НЮТОН.

Първият закон на Нютон.

Всяко тяло е в състояние на покой или равномерно праволинейно движение, ако резултатът от всички сили, действащи върху това тяло, е нула. Желанието на тялото да поддържа състояние на покой или равномерно праволинейно движение се нарича инерция.

Телесната маса е физическа величина, която е една от основните характеристики на материята, която определя нейните инерционни (инерционна маса) и гравитационни (гравитационна маса) свойства.

Инерциясе нарича свойството на телата да се съпротивляват, когато се опитват да го приведат в движение или да променят величината или посоката на скоростта му. Резултатът от всички сили, действащи върху тялото, е векторната сума на всички сили, действащи върху тялото,

F res. = SF i. = 0. (4.1).

z: \ Program Files \ Physicon \ Open Physics 2.5 част 1 \ design \ images \ Fwd_h.gifz: \ Program Files \ Physicon \ Open Physics 2.5 част 1 \ design \ images \ Bwd_h.gifВ системата SIтелесното тегло се измерва в килограми (kg).

Вторият закон на Нютон.

В Вторият закон на Нютонсе установява връзка между въздействието върху тялото - силата и реакцията на удара, която се проявява в промяна в скоростта, т.е. в ускорение.

Ускорението, с което тялото се движи, е правопропорционално на получената сила, действаща върху тялото, и обратно пропорционално на масата на тялото.

F res. = am = m (dv / dt) = d (mv) / dt = dp / dt. (4.2).

V SIединица сила е сила, която придава маса на тялото 1 кгускорение 1 m / s 2.и се обади Нютон (N).

Третият закон на Нютон.

Силите, с които телата действат едно върху друго, са равни по големина и противоположни по посока, но никога не се уравновесяват, тъй като се прилагат към различни тела, въпреки че имат една и съща природа.

F 12 = - F 21. (4.3).

Принудително F 12,с което първото тяло действа върху второто, е равно по сила на силата F 21,с което второто тяло действа върху първото, но е противоположно на него по посока. z: \ Program Files \ Physicon \ Open Physics 2.5 част 1 \ design \ images \ Fwd_h.gifz: \ Program Files \ Physicon \ Open Physics 2.5 част 1 \ design \ images \ Bwd_h.gifz: \ Program Files \ Physicon \ Open Physics 2.5 част 1 \ design \ images \ Fwd_h.gifz: \ Program Files \ Physicon \ Open Physics 2.5 част 1 \ design \ images \ Bwd_h.gif Третият закон на Нютон позволява преминаването от динамиката на отделна материална точка към динамиката на система от материални точки. Събирането на материални точки, разглеждано като цяло, се нарича механична система.

ТОЧКИ НА ПРИЛАГАНЕ НА СИЛИ.

Действащата сила винаги предизвиква сила на реакция, равна по величина и противоположна по посока, след което следователно резултатът им трябва да бъде равен на нула и телата изобщо не могат да получат ускорение. Вторият закон на Нютон говори за ускорение под действието на сили, приложени към тяло. Нулево ускорение означава, че сумата от силите, приложени към едно тяло, е равна на нула. Третият закон на Нютон казва за равенството на силите, приложени към различни тела. Само една сила действа върху всяко от двете взаимодействащи тела. Третият закон на Нютон позволява преминаването от динамиката на отделна материална точка към динамиката на система от материални точки. За система от точки взаимодействието се свежда до силите на двойното взаимодействие. Събирането на материални точки, разглеждано като цяло, се нарича механична система. Силите на взаимодействие в рамките на механична система се наричат ​​вътрешни. Силите, с които системата действа върху външни тела, са външни.

ФИКЦИОННИ СИЛИ.

Friction z: \ Program Files \ Physicon \ Open Physics 2.5 част 1 \ design \ images \ Fwd_h.gifz: \ Program Files \ Physicon \ Open Physics 2.5 част 1 \ design \ images \ Bwd_h.gifz: \ Program Files \ Physicon \ Open Физика 2.5 част 1 \ design \ images \ Fwd_h.gifz: \ Program Files \ Physicon \ Open Physics 2.5 част 1 \ design \ images \ Bwd_h.gifz: \ Program Files \ Physicon \ Open Physics 2.5 част 1 \ design \ images \ Fwd_h .gifz: \ Program Files \ Physicon \ Open Physics 2.5 част 1 \ design \ images \ Bwd_h.gifz: \ Program Files \ Physicon \ Open Physics 2.5 част 1 \ design \ images \ Fwd_h.gifz: \ Program Files \ Physicon \ Open Физика 2.5 част 1 \ design \ images \ Bwd_h.gifz: \ Program Files \ Physicon \ Open Physics 2.5 част 1 \ design \ images \ Fwd_h.gifz: \ Program Files \ Physicon \ Open Physics 2.5 част 1 \ design \ images \ Bwd_h .gif възниква, когато две тела се докоснат. Силите на триене, като еластичните сили, имат електромагнитниприродата. Те възникват при взаимодействие между атоми и молекули. Силите на сухо триене са силите, които възникват при контакт на две твърди тела. Те винаги са насочени тангенциалнодо докосващи се повърхности. Ако телата са неподвижни едно спрямо друго, тогава имаме триене в покой, а ако се движат спрямо другото, тогава в зависимост от естеството на движението си наблюдаваме триене на плъзгане, търкаляне или въртене. Принудително статично триеневинаги равен по величина на външната сила и насочен в обратна посока. Силата на статично триене не може да надвишава определена максимална стойност (F Tr.) Макс.

Ако външната сила е по -голяма (F Tr.) Макс. ,възниква относително приплъзване. Силата на триене в този случай се нарича сила на триене на плъзгане. Силата на триене на плъзгане е пропорционална на силата на нормалното налягане на тялото върху опората и силата на реакция на опората Н:

F Tr. = (F Tr.) Макс. = μN (4.4)

…………………………………………………………………………………….

Ориз. 22.

Съотношение μ наречен коефициент на триене на плъзгане. Коефициент на триене μ - безразмерно количество. Зависи от материалите на контактуващите тела и от качеството на повърхностите. Значение мварира от От 1 до 0,001.Повърхностните атоми имат по -малко съседи, с които да взаимодействат. При плъзгане тези контакти се актуализират постоянно, има непрекъснато размяна на връзкимежду двойки атоми на две тела. Триене при търкаляневъзниква между сферично или цилиндрично тяло и твърда повърхност, по която се търкаля (триенето при търкаляне винаги е забележимо по -малко от триенето при плъзгане).Триенето при търкаляне също е резултат от обмена на атомно-молекулярни връзки. Когато телата се плъзгат, връзките на контакта се разменят едновременно,тези. всичко наведнъж.

И при търкаляне това се случва последователнои на малки порции.

Сила на триене при търкалянесе подчинява на същия експериментален закон като триенето на плъзгане:

F tr.kach = m качество (N / R) (4.5).

Тя е пропорционална на силата на нормалната поддържаща реакция. н(т.е. притискаща сила), е обратно пропорционална на радиуса на колелото и е приблизително независима от скоростта на движение. NS При търкаляне скоростта на обмен на повърхностни връзки е много ниска.

Триенето може да бъде външно и вътрешно. Външното триене е триенето, което възниква в равнината на контакт на две контактуващи тела по време на относителното им изместване.

Когато се движи твърдо тяло течност или газна него действа сила, която възпрепятства движението. При ниски скорости сила на съпротивлениепропорционално на първата степен на телесна скорост:

F tr. = - k 1 v, (4.6)

като цяло - пропорционално на квадрата на скоростта:

F tr. = - k 2 v. (4.7).

Коефициенти на съпротива k 1и k 2,както и областта на скоростите, в която се осъществява преходът от линеен към квадратичен закон, до голяма степен зависят от формата и размера на тялото, посоката на неговото движение, състоянието на повърхността на тялото и от свойствата на околната среда.

Кръговото движение е най -простият случай на криволинейно движение на тялото. Когато тялото се движи около определена точка, заедно с вектора на изместването, е удобно да се въведе ъгловото изместване ∆ φ (ъгълът на въртене спрямо центъра на окръжността), измерен в радиани.

Познавайки ъгловото движение, можете да изчислите дължината на кръговата дъга (път), която тялото е изминало.

∆ l = R ∆ φ

Ако ъгълът на въртене е малък, тогава ∆ l ≈ ∆ s.

Нека илюстрираме казаното:

Ъглова скорост

При криволинейно движение се въвежда концепцията за ъглова скорост ω, тоест скоростта на промяна в ъгъла на въртене.

Определение. Ъглова скорост

Ъгловата скорост в дадена точка на траекторията е границата на съотношението на ъгловото изместване ∆ φ към интервала от време ∆ t, през който е настъпило. ∆ t → 0.

ω = ∆ φ ∆ t, ∆ t → 0.

Мерната единица за ъглова скорост е радиани в секунда (rad s).

Съществува връзка между ъгловата и линейната скорост на тялото при движение в кръг. Формула за намиране на ъгловата скорост:

При равномерно движение по обиколката скоростите v и ω остават непроменени. Променя се само посоката на вектора на линейната скорост.

В този случай равномерното движение около кръга действа върху тялото центростремително или нормално ускорение, насочено по радиуса на кръга към центъра му.

a n = ∆ v → ∆ t, ∆ t → 0

Модулът за центростремително ускорение може да се изчисли по формулата:

a n = v 2 R = ω 2 R

Нека докажем тези отношения.

Нека разгледаме как вектора v → се променя в малък интервал от време ∆ t. ∆ v → = v B → - v A →.

В точки A и B векторът на скоростта е насочен тангенциално към окръжността, докато модулите на скоростта в двете точки са еднакви.

По дефиниция на ускорението:

a → = ∆ v → ∆ t, ∆ t → 0

Нека да разгледаме снимката:

Триъгълниците OAB и BCD са подобни. От това следва, че O A A B = B C C D.

Ако стойността на ъгъла ∆ φ е малка, разстоянието A B = ∆ s ≈ v · ∆ t. Като се има предвид, че O A = R и C D = ∆ v за подобни триъгълници, разгледани по -горе, получаваме:

R v ∆ t = v ∆ v или ∆ v ∆ t = v 2 R

Когато ∆ φ → 0, посоката на вектора ∆ v → = v B → - v A → се приближава към посоката към центъра на окръжността. Приемайки, че ∆ t → 0, получаваме:

a → = a n → = ∆ v → ∆ t; ∆ t → 0; a n → = v 2 R.

При равномерно движение по окръжност, модулът на ускорение остава постоянен, а посоката на вектора се променя с течение на времето, запазвайки ориентацията към центъра на окръжността. Ето защо това ускорение се нарича центростремително: векторът по всяко време е насочен към центъра на окръжността.

Записването на центростремително ускорение във векторна форма изглежда така:

a n → = - ω 2 R →.

Тук R → е радиусният вектор на точка от окръжност с начало в центъра.

В общия случай ускорението при движение около кръг се състои от два компонента - нормален и тангенциален.

Помислете за случая, когато тялото се движи неравномерно около кръга. Нека въведем концепцията за тангенциално (тангенциално) ускорение. Посоката му съвпада с посоката на линейната скорост на тялото и във всяка точка на окръжността е насочена тангенциално към нея.

a τ = ∆ v τ ∆ t; ∆ t → 0

Тук ∆ v τ = v 2 - v 1 е промяната в модула на скоростта през интервала ∆ t

Посоката на пълно ускорение се определя от векторната сума на нормалното и тангенциалното ускорение.

Кръговото движение в равнина може да бъде описано с помощта на две координати: x и y. Във всеки момент от време скоростта на тялото може да се разложи на компоненти v x и v y.

Ако движението е равномерно, величините v x и v y, както и съответните координати ще се променят във времето според хармоничен закон с период T = 2 π R v = 2 π ω

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете я и натиснете Ctrl + Enter

Кръговото движение е специален случай на криволинейно движение. Скоростта на тялото във всяка точка на извитата траектория е насочена тангенциално към него (Фигура 2.1). В този случай скоростта като вектор може да варира както по величина (величина), така и по посока. Ако модулът за скорост остава непроменен, след това говорете равномерно криволинейно движение.

Нека тялото се движи в кръг с постоянна скорост от точка 1 до точка 2.

В този случай тялото ще измине път, равен на дължината на дъгата ℓ 12 между точки 1 и 2 във време t. През същото време традийният вектор R, изтеглен от центъра на окръжността 0 към точката, ще се завърти през ъгъла Δφ.

Векторът на скоростта в точка 2 се различава от вектора на скоростта в точка 1 с посокапо стойността на ΔV:

;

За да характеризираме промяната във вектора на скоростта със стойността δv, въвеждаме ускорението:

(2.4)

Вектор във всяка точка на траекторията е насочена по радиуса Rк центърокръжност, перпендикулярна на вектора на скоростта V 2. Следователно ускорението , който характеризира промяната в скоростта по време на криволинейно движение в посочената посока центростремителни или нормални... По този начин движението на точка по окръжност с постоянна скорост на модула е ускорено.

Ако скоростта се променя не само по посока, но и по величина (величина), след което в допълнение към нормалното ускорение въведете също допирателна (тангенциална)ускорение , който характеризира промяната в скоростта по величина:

или

Насочен вектор тангенциално във всяка точка на траекторията (т.е. съвпада с посоката на вектора ). Ъгъл между векторите и се равнява на 90 0.

Общото ускорение на точка, движеща се по извита траектория, се определя като векторна сума (Фигура 2.1.).

.

Векторен модул
.

Ъглова скорост и ъглово ускорение

Когато материалната точка се движи перифернорадиусният вектор R, изтеглен от центъра на окръжността O към точката, се върти през ъгъла Δφ (Фигура 2.1). За характеризиране на въртенето са въведени понятията за ъглова скорост ω и ъглово ускорение ε.

Ъгълът φ може да бъде измерен в радиани. 1 радвам сее равен на ъгъла, който лежи върху дъгата ℓ, равен на радиуса R на окръжността, т.е.

или ℓ 12 = Rφ (2.5.)

Нека разграничим уравнението (2.5.)

(2.6.)

Стойността dℓ / dt = V inst. Извиква се величината ω = dφ / dt ъглова скорост(измерено в rad / s). Нека да получим връзката между линейната и ъгловата скорост:

Количеството ω е векторно. Векторна посока решен правило за винт (кардан): съвпада с посоката на движение на винта, ориентиран по оста на въртене на точка или тяло и завъртян в посока на въртене на тялото (фигура 2.2), т.е.
.

Ъглово ускорениевекторното количество се нарича производно на ъгловата скорост (моментално ъглово ускорение)

, (2.8.)

Вектор съвпада с оста на въртене и е насочена в същата посока като вектора , ако въртенето се ускори, и обратното, ако въртенето е бавно.

Скоростнсе наричат ​​тела за единица времескорост на въртене .

Времето T на едно пълно завъртане на тялото се наричапериод на въртене ... При коетоRописва ъгъла Δφ = 2π радиани

С това казано

, (2.9)

Уравнение (2.8) може да бъде записано по следния начин:

(2.10)

Тогава тангенциалният компонент на ускорението

a  = R (2.11)

Нормалното ускорение a n може да се изрази, както следва:

като се вземат предвид (2.7) и (2.9)

(2.12)

След това пълно ускорение.

За ротационно движение с постоянно ъглово ускорение , кинематичното уравнение може да бъде записано по аналогия с уравнението (2.1) - (2.3) за поступателно движение:

,

.

1 ... Когато колелото се върти, то има ъглова скорост 10 π радвам се / и. След спиране скоростта му намалява до 6 π радвам се / и. Намерете ъгловото ускорение на колелото.

2 ... Маховикът започна да се върти равномерно и за 10 s достигна ъглова скорост 10 π радвам се / и. Определете ъгловото ускорение на маховика.

3 ... Посочете посоката на тангенциалното ускорение в точки А, Б, ° С, дпри движение по посока на часовниковата стрелка в кръг (фиг. 1), ако:

а) ако скоростта се увеличи;

б) намалява.

4 ... Определете тангенциалното ускорение на колело с радиус 30 cm, ако то започне да спира с ъглово ускорение 0,2 rad / s 2.

5 ... Определете ъгловото ускорение на вала на двигателя с радиус 0,5 cm, ако тангенциалното му ускорение е 1 cm / s 2.

6 ... Сравнете формулите, описващи равномерно ускорено движение по права линия и в кръг, и по метода на аналогията попълнете таблицата.

№	Количества и формули	Еднакво ускорено движение по права линия (линейни количества)	Еднакво ускорено движение в кръг (ъглови стойности)
1	Начална скорост	υ 0
2	Крайна скорост	υ
3	Движещ се	Δ r
4	Ускорение	а
5	Формула за изчисляване на ускорението	\ (~ a_x = \ frac (\ upsilon_x - \ upsilon_ (0x)) (t) \)
6	Формула за изчисляване на скоростта.	\ (~ \ upsilon_x = \ upsilon_ (0x) + a_x t \)
7	Формули за изместване	\ (~ \ Delta r_x = \ upsilon_ (0x) t + \ frac (a_x t ^ 2) (2) \); \ (~ \ Delta r_x = \ upsilon_x t - \ frac (a_x t ^ 2) (2) \); \ (~ \ Delta r_x = \ frac (\ upsilon_x + \ upsilon_ (0x)) (2) \ cdot t \); \ (~ \ Delta r_x = \ frac (\ upsilon ^ 2_x - \ upsilon ^ 2_ (0x)) (2 a_x) \);

7 ... Маховикът започна да се върти равномерно и след 10 s започна да се върти с период от 0,2 s. Определете:

б) ъгловото движение, което той ще направи през това време.

8 ... Маховикът, въртящ се с честота 2 Hz, спира в рамките на 1,5 минути. Като се има предвид, че движението на маховика е еднакво забавено, определете:

а) ъглово ускорение на маховика;

б) ъглово движение на маховика до пълно спиране.

9 ... Дискът се върти с ъглово ускорение 2 rad / s 2. Определете ъгловото изместване на диска, когато скоростта на въртене се промени от 4 Hz на 1,5 Hz?

10 ... Колелото, въртейки се еднакво бавно, при спиране, намали честотата си за 1 минута от 5 Hz на 3 Hz. Намерете ъгловото движение, което колелото е направило по време на спирането.

Ниво ° С

1 ... Маховикът започва да се върти равномерно от състоянието на покой и прави 3600 оборота през първите 2 минути. Намерете ъгловото ускорение на маховика.

2 ... Роторът на електродвигателя започва да се върти от състояние на покой с равномерно ускорение и прави 25 оборота през първите 5 s. Изчислете ъгловата скорост на ротора в края на петата секунда.

3 ... Витлото на самолета се върти с честота 20 Hz. В даден момент двигателят се изключва. След 80 оборота витлото спира. Колко време е изминало от момента на изключване на двигателя, за да спре, ако въртенето на витлото се счита за равномерно забавено?

4 ... Колелото, въртящо се с равномерно ускорение, достигна ъглова скорост от 20 rad / s 10 оборота след началото на въртенето. Намерете ъгловото ускорение на колелото.

5 ... Материалната точка се движи в кръг. Когато центростремителното ускорение на точка стане равно на 3,2 m / s 2, ъгълът между вектора на пълно и центростремително ускорение е 60 °. Намерете тангенциалното ускорение на точка за този момент във времето.

6 ... Точката се движи по крива с постоянно тангенциално ускорение 0,5 m / s 2. Определете общото ускорение на точка на кривата с радиус на кривина 3 m във времето, когато линейната скорост е 2 m / s.

7 ... Малко тяло започва да се движи в кръг с радиус 30 m с константа на тангенциално ускорение с магнитуд 5 m / s 2. Намерете общото ускорение на тялото 3 s след началото на движението.

8 ... Диск с радиус 10 cm, който е в покой, започна да се върти с постоянно ъглово ускорение от 0,5 rad / s 2. Намерете общото ускорение на точките по обиколката на диска в края на втората секунда след началото на въртенето.

9 ... Ъгълът на въртене на колело с радиус 0,1 m се променя според закона φ =π t... Намерете ъгловите и линейните скорости, центростремителните и тангенциалните ускорения на точките на джантата.

10 ... Колелото се върти според закона φ = 5T – T 2. Намерете в края на първата секунда на въртене ъгловата скорост на колелото, както и линейната скорост и общото ускорение на точките, лежащи на ръба на колелото. Радиус на колелото 20 см.