У дома Рози Проучване на функции с помощта на графики. Пълен пример за изследване на функции онлайн

Рози

Проучване на функции с помощта на графики. Пълен пример за изследване на функции онлайн

За цялостно проучване на функцията и нанасяне на графиката й се препоръчва да се използва следната схема:

1) намерете домейна на функцията;

2) намерете точките на прекъсване на функцията и вертикалните асимптоти (ако те съществуват);

3) изследва поведението на функцията в безкрайност, намира хоризонтални и наклонени асимптоти;

4) изследва функцията за четност (странност) и периодичност (за тригонометрични функции);

5) намерете екстремумите и интервалите на монотонност на функцията;

6) определят интервалите на изпъкналост и точките на огъване;

7) намерете точките на пресичане с координатните оси, ако е възможно, и някои допълнителни точки, които прецизират графиката.

Изследването на функцията се извършва едновременно с изграждането на нейната графика.

Пример 9Изследвайте функцията и начертайте графиката.

1. Обхват на дефиницията :;

2. Функцията е нарушена в точки
,
;

Нека разгледаме функцията за наличие на вертикални асимптоти.

;
,
─ вертикална асимптота.

3. Нека изследваме функцията за наличие на наклонени и хоризонтални асимптоти.

Направо
─ наклонена асимптота ако
,
.

,
.

Направо
─ хоризонтална асимптота.

4. Функцията е дори защото
... Паритетът на функцията показва симетрията на графиката около оста на ординатите.

5. Нека намерим интервалите на монотонност и екстремуми на функцията.

Нека намерим критичните точки, т.е. точки, в които производната е 0 или не съществува:
;
... Имаме три точки
;

... Тези точки разделят цялата валидна ос на четири интервала. Нека дефинираме знаците на всеки от тях.

На интервалите (-∞; -1) и (-1; 0) функцията се увеличава, на интервалите (0; 1) и (1; + ∞) ─ намалява. При пресичане на точка
производната променя знака от плюс на минус, следователно в този момент функцията има максимум
.

6. Намерете интервалите на изпъкналост, точките на огъване.

Намерете точките, в които е 0 или не съществува.

няма валидни корени.
,
,

Точки
и
разделете реалната ос на три интервала. Нека дефинираме знака на всеки интервал.

По този начин, кривата на интервали
и
изпъкнала надолу, на интервала (-1; 1) изпъкнала нагоре; няма точки на огъване, тъй като функцията в точките
и
неопределен.

7. Намерете точките на пресичане с осите.

С ос
графиката на функцията се пресича в точката (0; -1) и с оста
графиката не се припокрива, защото числителят на тази функция няма реални корени.

Графиката на дадената функция е показана на фигура 1.

Фигура 1 ─ Графика на функциите

Приложение на концепцията за дериват в икономиката. Еластичност на функцията

За изучаване на икономически процеси и решаване на други приложни проблеми често се използва понятието еластичност на дадена функция.

Определение.Еластичност на функцията
се нарича граница на съотношението на относителното нарастване на функцията към относителното нарастване на променливата в
,. (Vii)

Еластичността на функция показва приблизителен процент от промяната във функцията
при смяна на независимата променлива с 1%.

Еластичността на функцията се прилага при анализа на търсенето и потреблението. Ако еластичността на търсенето (в абсолютна стойност)
, тогава търсенето се счита за еластично, ако
─ неутрален ако
─ нееластичен по отношение на цената (или дохода).

Пример 10Изчислете еластичността на функция
и намерете стойността на индекса на еластичност за = 3.

Решение: съгласно формула (VII) еластичност на функцията:

Нека x = 3, тогава
Това означава, че ако обяснителната променлива се увеличи с 1%, тогава стойността на зависимата променлива се увеличава с 1,42%.

Пример 11Нека търсенето функционира по отношение на цената има формата
, където ─ постоянен коефициент. Намерете стойността на индекса на еластичност на функцията на търсенето при цена x = 3 den. единици

Решение: изчислете еластичността на функцията на търсенето по формула (VII)

Ако приемем
парични единици, получаваме
... Това означава, че на цена
парични единици 1% увеличение на цената ще доведе до 6% спад в търсенето, т.е. търсенето е еластично.

Днес ви каним да разгледате и графично представите функцията с нас. След внимателно изучаване на тази статия, няма да ви се налага да се потите дълго време, за да изпълните този вид задача. Изследването и начертаването на функция не е лесно, работата е обемна, изискваща максимално внимание и точност на изчисленията. За да улесним възприемането на материала, ще изучаваме една и съща функция стъпка по стъпка, ще обясняваме всички наши действия и изчисления. Добре дошли в невероятния и вълнуващ свят на математиката! Отивам!

Домейн

За да изследвате и начертаете функция, трябва да знаете няколко определения. Функцията е едно от основните (основни) понятия в математиката. Той отразява връзката между няколко променливи (две, три или повече) с промени. Функцията също така показва зависимостта на множествата.

Представете си, че имаме две променливи, които имат определен диапазон на вариация. И така, y е функция от x, при условие че всяка стойност на втората променлива съответства на една стойност на втората. В този случай променливата y е зависима и се нарича функция. Обикновено се казва, че променливите x и y са инча. За по-голяма яснота на тази зависимост се начертава функционална графика. Какво е графика на функцията? Това е набор от точки на координатната равнина, където всяка стойност на x съответства на една стойност на y. Графиките могат да бъдат различни - права линия, хипербола, парабола, синусоида и така нататък.

Невъзможно е да се начертае функционална графика без проучване. Днес ще научим как да провеждаме изследвания и да начертаваме функционална графика. Много е важно да правите бележки по време на изследването. Това значително ще улесни задачата. Най-удобният план за изследване:

Домейн.
Непрекъснатост.
Четен или нечетен паритет.
Периодичност.
Асимптоти.
Нули.
Постоянство на знаците.
Увеличаване и намаляване.
Крайности.
Изпъкналост и вдлъбнатина.

Нека започнем с първата точка. Нека намерим областта на дефиницията, т.е. на какви интервали съществува нашата функция: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). В нашия случай функцията съществува за всякакви стойности на x, тоест домейнът е равен на R. Може да се запише, както следва xÎR.

Непрекъснатост

Сега ще проучим функцията за прекъсване. В математиката терминът "приемственост" се появява в резултат на изучаването на законите на движението. Какво е безкрайно? Пространство, време, някои зависимости (пример е зависимостта на променливите S и t при проблеми с движението), температурата на нагрятия обект (вода, тиган, термометър и др.), Непрекъсната линия (т.е. тази, която може да се изчертае, без да се отстранява от листа молив).

Графиката се счита за непрекъсната, ако в даден момент не се счупи. Един от най-ярките примери за такава графика е синусоида, която можете да видите на снимката в този раздел. Функцията е непрекъсната в някаква точка x0, ако са изпълнени редица условия:

в този момент е дефинирана функция;
дясната и лявата граница в точката са равни;
границата е равна на стойността на функцията в точката x0.

Ако поне едно условие не е изпълнено, функцията се казва нарушена. А точките, в които функцията се прекъсва, се наричат точки на прекъсване. Пример за функция, която ще се „счупи“, когато се покаже графично, е: y = (x + 4) / (x-3). Освен това y не съществува в точката x = 3 (тъй като е невъзможно да се раздели на нула).

Във функцията, която изследваме (y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)), всичко се оказа просто, тъй като графиката ще бъде непрекъсната.

Дори странно

Сега разгледайте функцията за паритет. Първо, малко теория. Четна функция е тази, която отговаря на условието f (-x) = f (x) за всяка стойност на променливата x (от диапазона на стойностите). Примерите включват:

модул x (графиката изглежда като челюст, ъглополовящата на първата и втората четвърт от графиката);
х на квадрат (парабола);
косинус х (косинус).

Обърнете внимание, че всички тези графики са симетрични, когато се гледат по отношение на ординатата (т.е. y).

Какво тогава се нарича нечетна функция? Това са онези функции, които отговарят на условието: f (-x) = - f (x) за всяка стойност на променливата x. Примери:

хипербола;
кубична парабола;
синусоидален;
тангентоид и така нататък.

Моля, обърнете внимание, че тези функции са симетрични по отношение на точката (0: 0), тоест началото. Въз основа на казаното в този раздел на статията, четната и нечетна функция трябва да има свойството: x принадлежи към множеството дефиниции и -x също.

Нека разгледаме функцията за паритет. Виждаме, че не отговаря на нито едно от описанията. Следователно нашата функция не е нито четна, нито нечетна.

Асимптоти

Нека започнем с определение. Асимптотата е крива, която е възможно най-близо до графиката, т.е. разстоянието от дадена точка клони към нула. Общо има три вида асимптоти:

вертикална, т.е. успоредна на оста y;
хоризонтална, тоест успоредна на оста x;
наклонен.

Що се отнася до първия тип, в някои точки трябва да се търсят прави линии:

почивка;
краища на домейна на дефиницията.

В нашия случай функцията е непрекъсната и домейнът е равен на R. Следователно няма вертикални асимптоти.

Графиката на функция има хоризонтална асимптота, която отговаря на следното изискване: ако x има тенденция към безкрайност или минус безкрайност, а границата е равна на определен брой (например a). В този случай y = a - това е хоризонталната асимптота. Във функцията, която изследваме, няма хоризонтални асимптоти.

Косата асимптота съществува само ако са изпълнени две условия:

lim (f (x)) / x = k;
lim f (x) -kx = b.

Тогава може да се намери по формулата: y = kx + b. Отново в нашия случай няма наклонени асимптоти.

Функционални нули

Следващата стъпка е да се изследва графиката на функцията при нули. Също така е много важно да се отбележи, че задачата, свързана с намирането на нулите на дадена функция, възниква не само при изучаването и начертаването на функционална графика, но и като независима задача и като начин за решаване на неравенства. Може да се наложи да намерите нулите на функция на графика или да използвате математически нотации.

Намирането на тези стойности ще ви помогне да начертаете функцията по-точно. С прости думи, нулата на функция е стойността на променливата x, при която y = 0. Ако търсите нулите на функция на графика, тогава трябва да обърнете внимание на точките, в които графиката пресича оста на абсцисата.

За да намерите нулите на функция, трябва да решите следното уравнение: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) = 0. След извършване на необходимите изчисления получаваме следния отговор:

Постоянство

Следващият етап от изследването и изграждането на функция (графика) е да се намерят интервали на постоянство. Това означава, че трябва да определим през кои интервали функцията приема положителна стойност и на кои - отрицателна. Нулите на функцията, намерени в предишния раздел, ще ни помогнат да направим това. И така, трябва да изградим права линия (отделно от графиката) и да разпределим нулите на функцията от най-малката до най-голямата по нея в правилния ред. Сега трябва да определите кой от получените интервали има знак "+" и кой "-".

В нашия случай функцията приема положителна стойност в интервалите:

от 1 до 4;
от 9 до безкрайност.

Отрицателно значение:

от минус безкрайност до 1;
4 до 9.

Това е лесно да се определи. Заместете произволно число от интервала във функцията и вижте какъв знак е отговорът (минус или плюс).

Нарастващи и намаляващи функции

За да изследваме и изградим функция, трябва да разберем къде графиката ще се увеличи (върви нагоре по Oy) и къде ще падне (пълзи надолу по ордината).

Функцията се увеличава само ако по-голямата стойност на променливата x съответства на по-голямата стойност на y. Тоест x2 е по-голямо от x1, а f (x2) е по-голямо от f (x1). И наблюдаваме напълно противоположно явление при намаляваща функция (колкото повече х, толкова по-малко у). За да определите интервалите на увеличаване и намаляване, трябва да намерите следното:

обхват (вече го имаме);
производна (в нашия случай: 1/3 (3x ^ 2-28x + 49);
Решете уравнението 1/3 (3x ^ 2-28x + 49) = 0.

След изчисленията получаваме резултата:

Получаваме: функцията се увеличава в интервалите от минус безкрайност до 7/3 и от 7 до безкрайност и намалява в интервала от 7/3 до 7.

Крайности

Изследваната функция y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) е непрекъсната и съществува за всякакви стойности на променливата x. Екстремната точка показва максимума и минимума на тази функция. В нашия случай такива няма, което значително опростява строителната задача. В противен случай те също се намират с помощта на производната на функцията. След намирането не забравяйте да ги маркирате на диаграмата.

Изпъкналост и вдлъбнатина

Продължаваме да изследваме функцията y (x) допълнително. Сега трябва да го проверим за изпъкналост и вдлъбнатина. Дефинициите на тези понятия са доста трудни за възприемане, по-добре е да се анализира всичко с примери. За теста: функцията е изпъкнала, ако е не намаляваща функция. Съгласете се, това е неразбираемо!

Трябва да намерим производната на функция от втори ред. Получаваме: y = 1/3 (6x-28). Сега нека да зададем дясната страна на нула и да решим уравнението. Отговор: x = 14/3. Намерихме точката на огъване, т.е. мястото, където графиката се променя от изпъкналост към вдлъбнатина, или обратно. В интервала от минус безкрайност до 14/3 функцията е изпъкнала, а от 14/3 до плюс безкрайност е вдлъбната. Също така е много важно да се отбележи, че точката на огъване на графиката трябва да бъде гладка и мека, не трябва да има остри ъгли.

Определяне на допълнителни точки

Нашата задача е да проучим и начертаем функцията. Завършихме нашето изследване и сега няма да е трудно да начертаем графика на функция. За по-точно и подробно възпроизвеждане на крива или права линия на координатната равнина можете да намерите няколко спомагателни точки. Изчисляването им е доста лесно. Например, вземаме x = 3, решаваме полученото уравнение и намираме y = 4. Или x = 5 и y = -5 и така нататък. Можете да вземете толкова допълнителни точки, колкото са ви необходими, за да изградите. Намерени са поне 3-5.

Начертаване на графика

Трябваше да проучим функцията (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) * 1/3 = y. Всички необходими бележки по време на изчисленията бяха направени на координатната равнина. Остава само да се изгради графика, тоест да се свържат всички точки помежду си. Свързването на точките трябва да бъде гладко и изчистено, въпрос на умение е - малко практика и графикът ви ще бъде перфектен.

За цялостно проучване на функцията и начертаване на нейната графика се препоръчва следната схема:
А) намерете зоната на дефиниция, точки на прекъсване; изследвайте поведението на функцията близо до точките на прекъсване (намерете границите на функцията отляво и отдясно в тези точки). Посочете вертикални асимптоти.
Б) определят равномерността или странността на функцията и правят заключение за наличието на симетрия. Ако, тогава функцията е четна, симетрична спрямо оста OY; тъй като функцията е нечетна, симетрична по отношение на произхода; а ако - функция от обща форма.
В) намерете пресечните точки на функцията с координатните оси OY и OX (ако е възможно), определете интервалите на постоянен знак на функцията. Границите на интервалите на постоянен знак на функцията се определят от точките, в които функцията е равна на нула (нули на функцията) или не съществува, и от границите на областта на тази функция. В интервалите, където графиката на функцията се намира над оста OX, а където - под тази ос.
Г) намерете първата производна на функцията, определете нейните нули и интервали на постоянство. В интервалите, където функцията се увеличава и където намалява. Направете заключение за наличието на екстремуми (точки, където съществуват функцията и производната и при преминаване през които се променя знакът. Ако той промени знака от плюс на минус, тогава в този момент функцията има максимум, а ако от минус на плюс , след това минимум). Намерете стойностите на функцията в екстремните точки.
Д) намерете второто производно, неговите нули и интервали на постоянство. На интервали където< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
Д) намерете наклонени (хоризонтални) асимптоти, чиито уравнения имат формата ; където
.
В графиката на функцията ще има две наклонени асимптоти и всяка стойност на x при и може да съответства на две стойности на b.
Ж) намерете допълнителни точки за прецизиране на графика (ако е необходимо) и изграждане на графика.

Пример 1 Разгледайте функцията и я графирайте. Решение: А) обхват на дефиницията; функцията е непрекъсната в областта на дефиницията; - точка на прекъсване, защото ; ... Тогава е вертикалната асимптота.
Б)
тези. y (x) е обща функция.
В) Намерете точките на пресичане на графиката с оста OY: задаваме x = 0; тогава y (0) = - 1, т.е. графиката на функцията пресича оста в точката (0; -1). Нули на функцията (точки на пресичане на графиката с оста OX): задаваме y = 0; тогава
.
Дискриминантът на квадратното уравнение е по-малък от нула, така че няма нули. Тогава границата на интервалите на постоянство е точката x = 1, където функцията не съществува.
Знакът на функцията във всеки от интервалите се определя от метода на определени стойности:

От диаграмата се вижда, че в интервала графиката на функцията е разположена под оста OX, а в интервала - над оста OX.
Г) Разберете наличието на критични точки.
.
Критичните точки (където или не съществува) се намират от равенствата и.

Получаваме: x1 = 1, x2 = 0, x3 = 2. Нека създадем помощна таблица

маса 1

(Първият ред съдържа критичните точки и интервалите, на които тези точки са разделени на оста OX; вторият ред показва стойностите на производната в критичните точки и знаците на интервалите. Знаците се определят по метода на частичните стойности. Третият ред показва стойностите на функцията y (x) в критичните точки и се показва поведението на функцията - увеличаване или намаляване на съответните интервали от числовата ос. В допълнение, наличието на посочен е минимум или максимум.
Д) Намерете интервалите на изпъкналост и вдлъбнатина на функцията.
; изграждане на таблица, както е в точка Г); само във втория ред записваме знаците, а в третия посочваме вида на изпъкналост. Защото ; тогава има само една критична точка x = 1.
таблица 2

Точка x = 1 е точката на огъване.
Д) Намерете наклонени и хоризонтални асимптоти

Тогава y = x е наклонена асимптота.
Ж) Използвайки получените данни, изграждаме графика на функцията

Пример2 Проведете цялостно проучване на функцията и начертайте нейната графика Решение.

1). Област за определяне на функция.
Очевидно тази функция е дефинирана на цялата числова линия, с изключение на точките “” и “”, тъй като в тези точки знаменателят е нула и следователно функцията не съществува, а правите линии и са вертикалните асимптоти.

2). Поведението на функция, когато аргументът има тенденция към безкрайност, съществуването на точки на прекъсване и проверката за наличие на наклонени асимптоти.
Нека първо проверим как се държи функцията при приближаване към безкрайността отляво и отдясно.

По този начин, при, функцията клони към 1, т.е. - хоризонтална асимптота.
В близост до точките на прекъсване поведението на функцията се определя, както следва:

Тези. при приближаване към точките на прекъсване вляво, функцията намалява безкрайно, а вдясно се увеличава безкрайно.
Наличието на наклонена асимптота се определя, като се вземе предвид равенството:

Няма наклонени асимптоти.

3). Точки на пресичане с координатни оси.
Тук е необходимо да се разгледат две ситуации: намерете точката на пресичане с оста Ox и оста Oy. Знакът на пресичане с оста Ox е нулевата стойност на функцията, т.е. необходимо е да се реши уравнението:

Това уравнение няма корени, следователно графиката на тази функция няма точки на пресичане с оста Ox.
Знакът на пресичане с оста Oy е стойността x = 0. В този случай,
,
тези. - точката на пресичане на графиката на функцията с оста Oy.

4).Определяне на екстремни точки и интервали на увеличаване и намаляване.
За да разследваме този проблем, дефинираме първата производна:
.
Нека приравним стойността на първата производна на нула.
.
Дробът е равен на нула, когато числителят му е равен на нула, т.е. ...
Нека определим интервалите на нарастване и намаляване на функцията.

По този начин функцията има една екстремна точка и не съществува в две точки.
По този начин функцията се увеличава в интервалите и и намалява в интервалите и.

5). Точки на огъване и области на изпъкналост и вдлъбнатина.
Тази характеристика на поведението на функцията се определя с помощта на втората производна. Нека първо определим наличието на точки на огъване. Втората производна на функцията е

At и функцията е вдлъбната;

за и функцията е изпъкнала.

6). Начертаване на функция.
Използвайки намерените стойности в точки, ние изграждаме схематична графика на функцията:

Пример 3 Функция Explore

и изградете графика от него.

Решение
Дадената функция е обща непериодична функция. Графиката му минава през произхода, тъй като.
Областта на дадената функция е всички стойности на променливата, с изключение на и, при които знаменателят на фракцията изчезва.
Следователно точките и са точките на прекъсване на функцията.
Като ,

Като ,
, тогава точката е точка на прекъсване от втория вид.
Прави линии и са вертикалните асимптоти на графиката на функцията.
Уравнения на наклонени асимптоти, където, .
В ,
.
По този начин, за и графиката на функцията има една асимптота.
Нека намерим интервалите на нарастване и намаляване на функцията и екстремните точки.
.
Първата производна на функцията при и, следователно, при и, функцията се увеличава.
Когато, следователно, кога, функцията намалява.
не съществува за ,.
, следователно, за графиката на функцията е вдлъбната.
В , следователно, за графиката на функцията е изпъкнала.

При преминаване през точките ,, променя знака. Когато функцията не е дефинирана, следователно графиката на функцията има една точка на огъване.
Нека начертаем функцията.

Референтните точки при изучаването на функциите и изграждането на техните графики са характерни точки - точки на прекъсване, екстремум, прегъване, пресичане с координатните оси. С помощта на диференциално смятане е възможно да се установят характерните черти на промените във функциите: увеличаване и намаляване, максимуми и минимуми, посоката на изпъкналост и вдлъбнатина на графиката, наличие на асимптоти.

Скицата на функционалната графика може (и трябва) да бъде скицирана след намиране на асимптотите и екстремните точки и е удобно по време на проучването да се попълни въртящата таблица за изследване на функцията.

Обикновено се използва следната схема за изследване на функциите.

1.Намерете домейна, интервалите за непрекъснатост и точките на прекъсване на функцията.

2.Изследвайте функцията за четност или нечетност (аксиална или централна симетрия на графиката.

3.Намерете асимптоти (вертикални, хоризонтални или наклонени).

4.Намерете и изследвайте интервалите на нарастване и намаляване на функцията, точките на нейния екстремум.

5.Намерете интервалите на изпъкналост и вдлъбнатина на кривата, точките на нейното огъване.

6.Намерете пресечните точки на кривата с координатните оси, ако те съществуват.

7.Подгответе обобщена таблица на изследването.

8.Изградете графика, като вземете предвид изследването на функцията, извършено по горните точки.

Пример.Функция Explore

и изградете графика от него.

7. Нека съставим обобщена таблица на изследването на функцията, където ще въведем всички характерни точки и интервалите между тях. Като се има предвид четността на функцията, получаваме следната таблица:

		Характеристики на графика
[-1, 0[	Повишаване на	Изпъкнал
		(0; 1) - максимална точка
]0, 1[	Намалява	Изпъкнал
		Точка на огъване, образува се с ос Волтъп ъгъл

Един от най-важните проблеми при диференциалното смятане е разработването на общи примери за изследване на поведението на функциите.

Ако функцията y = f (x) е непрекъсната на интервал и нейната производна е положителна или равна на 0 на интервала (a, b), тогава y = f (x) се увеличава с (f "(x) 0) Ако функцията y = f (x) е непрекъсната на интервала и нейната производна е отрицателна или равна на 0 на интервала (a, b), тогава y = f (x) намалява с (f "(x) 0 )

Интервалите, в които функцията не намалява или се увеличава, се наричат интервали на монотонност на функцията. Естеството на монотонността на дадена функция може да се промени само в онези точки от нейната област на дефиниция, в които знакът на първата производна се променя. Точките, в които първото производно на функция изчезва или има прекъсване, се наричат критични.

Теорема 1 (1-во достатъчно условие за съществуването на екстремум).

Нека функцията y = f (x) бъде дефинирана в точката x 0 и нека съществува квартал δ> 0 такъв, че функцията да е непрекъсната на интервал, диференцируем на интервала (x 0 -δ, x 0) u ( x 0, x 0 + δ), а производната му запазва постоянен знак на всеки от тези интервали. Тогава ако при x 0 -δ, x 0) и (x 0, x 0 + δ) знаците на производната са различни, тогава x 0 е екстремна точка и ако те съвпадат, тогава x 0 не е екстремна точка . Освен това, ако при преминаване през точката x0 производната променя знака от плюс към минус (вляво от x 0 се изпълнява f "(x)> 0, тогава x 0 е максимална точка; ако производната променя знака от минус до плюс (вдясно от x 0 изпълнява f "(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Точките на максимума и минимума се наричат екстремни точки на функцията, а максимумите и минимумите на функцията се наричат нейните крайни стойности.

Теорема 2 (необходим критерий за локален екстремум).

Ако функцията y = f (x) има екстремум в текущия x = x 0, тогава или f ’(x 0) = 0, или f’ (x 0) не съществува.
В екстремните точки на диференцируемата функция, допирателната към нейната графика е успоредна на оста Ox.

Алгоритъм за изучаване на функция за екстремум:

1) Намерете производната на функцията.
2) Намерете критични точки, т.е. точки, в които функцията е непрекъсната и производната е нула или не съществува.
3) Помислете за съседството на всяка от точките и разгледайте знака на производната отляво и отдясно на тази точка.
4) Определете координатите на крайните точки, за това стойностите на критичните точки се заменят с тази функция. Използвайки достатъчно условия за екстремум, направете подходящи заключения.

Пример 18. Изследвайте екстремумната функция y = x 3 -9x 2 + 24x

Решение.
1) y "= 3x 2 -18x + 24 = 3 (x-2) (x-4).
2) Приравнявайки производната до нула, намираме x 1 = 2, x 2 = 4. В този случай производната е дефинирана навсякъде; следователно, освен двете намерени точки, няма други критични точки.
3) Знакът на производната y "= 3 (x-2) (x-4) се променя в зависимост от интервала, както е показано на фигура 1. Когато преминава през точката x = 2, производната променя знака от плюс на минус, а при преминаване през точката х = 4 - от минус до плюс.
4) В точката x = 2 функцията има максимум y max = 20, а в точката x = 4 - минимум y min = 16.

Теорема 3. (2-ро достатъчно условие за съществуването на екстремум).

Нека f "(x 0) и в точка x 0 съществува f" "(x 0). Тогава ако f" "(x 0)> 0, тогава x 0 е минимална точка и ако f" "(x 0 )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

На сегмент функцията y = f (x) може да достигне най-малките (y naim) или най-големите (y naib) стойности или в критичните точки на функцията, лежащи в интервала (a; b), или в краища на сегмента.

Алгоритъм за намиране на най-големите и най-малките стойности на непрекъсната функция y = f (x) на сегмент:

1) Намерете f "(x).
2) Намерете точките, в които f "(x) = 0 или f" (x) - не съществува, и изберете от тях тези, които се намират вътре в сегмента.
3) Изчислете стойността на функцията y = f (x) в точките, получени в стъпка 2), както и в краищата на сегмента и изберете най-големия и най-малкия от тях: те са съответно най-големите ( y naib) и най-малката (y naim) стойностите на функцията на сегмента.

Пример 19. Намерете най-голямата стойност на непрекъснатата функция y = x 3 -3x 2 -45 + 225 на сегмента.

1) Имаме y "= 3x 2 -6x-45 на сегмента
2) Производната y "съществува за всички x. Намерете точките, в които y" = 0; получаваме:
3x 2 -6x-45 = 0
x 2 -2x-15 = 0
x 1 = -3; x 2 = 5
3) Изчислете стойността на функцията в точките x = 0 y = 225, x = 5 y = 50, x = 6 y = 63
Към сегмента принадлежи само точката x = 5. Най-голямата от намерените стойности на функцията е 225, а най-малката е числото 50. И така, y naib = 225, y naim = 50.

Изследване на функция върху изпъкналост

Фигурата показва графики на две функции. Първият от тях е изпъкнал нагоре, вторият - изпъкнал надолу.

Функцията y = f (x) е непрекъсната на сегмента и диференцируема в интервала (a; b), се нарича изпъкнала нагоре (надолу) на този сегмент, ако за axb нейната графика не е над (не под) допирателната изчертана във всяка точка M 0 (x 0; f (x 0)), където axb.

Теорема 4. Нека функцията y = f (x) има второто производно във всяка вътрешна точка x на сегмента и е непрекъсната в краищата на този сегмент. Тогава ако на интервала (a; b) е изпълнено неравенството f "" (x) 0, тогава функцията е изпъкнала надолу върху сегмента; ако неравенството f "" (x) 0 е изпълнено на интервала (a; b), тогава функцията е изпъкнала нагоре с.

Теорема 5. Ако функцията y = f (x) има втора производна на интервала (a; b) и ако променя знака при преминаване през точката x 0, тогава M (x 0; f (x 0)) е точка на прегъване.

Правилото за намиране на точки на огъване:

1) Намерете точките, в които f "" (x) не съществува или изчезва.
2) Разгледайте знака f "" (x) отляво и отдясно на всяка точка, намерена на първата стъпка.
3) Направете заключение въз основа на теорема 4.

Пример 20. Намерете екстремума и точките на огъване на графиката на функцията y = 3x 4 -8x 3 + 6x 2 +12.

Имаме f "(x) = 12x 3 -24x 2 + 12x = 12x (x-1) 2. Очевидно f" (x) = 0 за x 1 = 0, x 2 = 1. Производната при преминаване през точката x = 0 променя знака от минус на плюс, а при преминаване през точката x = 1 не променя знака. Следователно x = 0 е минимална точка (при min = 12) и в точката x = 1 няма екстремум. Освен това откриваме ... Втората производна изчезва в точките x 1 = 1, x 2 = 1/3. Признаците на втората производна се променят, както следва: На лъча (-∞;) имаме f "" (x)> 0, на интервала (; 1) имаме f "" (x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Следователно x = е точката на огъване на графиката на функцията (преход от изпъкналостта надолу към изпъкналостта нагоре), а x = 1 е и точката на прегъване (преход от изпъкналостта нагоре към изпъкналостта надолу). Ако x =, тогава y =; ако, тогава x = 1, y = 13.

Алгоритъм за намиране на асимптотата на графиката

I. Ако y = f (x) при x → a, тогава x = a е вертикална асимптота.
II. Ако y = f (x) при x → ∞ или x → -∞, тогава y = A е хоризонтална асимптота.
III. За да намерим наклонената асимптота, използваме следния алгоритъм:
1) Изчислете. Ако ограничението съществува и е равно на b, тогава y = b е хоризонталната асимптота; ако, тогава преминете към втората стъпка.
2) Изчислете. Ако това ограничение не съществува, тогава няма асимптота; ако съществува и е равно на k, тогава преминете към третата стъпка.
3) Изчислете. Ако това ограничение не съществува, тогава няма асимптота; ако съществува и е равно на b, преминете към четвъртата стъпка.
4) Запишете уравнението на косата асимптота y = kx + b.

Пример 21: Намерете асимптотата за функция

1)
2)
3)
4) Уравнението на косата асимптота има формата

Схема на изследване на функция и изграждане на нейната графика

I. Намерете областта на дефиниция на функцията.
II. Намерете точките на пресичане на графиката на функцията с координатните оси.
III. Намерете асимптотите.
IV. Намерете точки на възможен екстремум.
V. Намерете критични точки.
Vi. Използвайки спомагателната фигура, изследвайте знака на първата и втората производни. Определете областите на нарастване и намаляване на функцията, намерете посоката на изпъкналостта на графиката, екстремни точки и точки на прегъване.
Vii. Изградете графика, като вземете предвид изследванията, извършени в параграфи 1-6.

Пример 22: Начертайте функционална графика съгласно горната схема

Решение.
I. Областта на функцията е съвкупността от всички реални числа, с изключение на x = 1.
II. Така че уравнението x 2 + 1 = 0 няма реални корени, тогава графиката на функцията няма точки на пресичане с оста Ox, а пресича оста Oy в точката (0; -1).
III. Нека изясним въпроса за съществуването на асимптоти. Нека изследваме поведението на функцията в близост до точката на прекъсване x = 1. Тъй като y → ∞ при x → -∞, y → + ∞ при x → 1+, линията x = 1 е вертикалната асимптота на графиката на функцията.
Ако x → + ∞ (x → -∞), тогава y → + ∞ (y → -∞); следователно графиката няма хоризонтална асимптота. Освен това, от съществуването на ограниченията

Решавайки уравнението x 2 -2x-1 = 0, получаваме две точки от възможния екстремум:
x 1 = 1-√2 и x 2 = 1 + √2

V. За да намерим критичните точки, изчисляваме второто производно:

Тъй като f "" (x) не изчезва, няма критични точки.
Vi. Нека изследваме знака на първата и втората производни. Възможни екстремни точки, които трябва да се вземат предвид: x 1 = 1-√2 и x 2 = 1 + √2, разделете областта на съществуване на функцията на интервали (-∞; 1-√2), (1-√2; 1 + √2) и (1 + √2; + ∞).

Във всеки от тези интервали производната запазва знака си: в първия - плюс, във втория - минус, в третия - плюс. Последователността от знаци на първата производна ще бъде записана по следния начин: +, -, +.
Виждаме, че функцията се увеличава на (-∞; 1-√2), намалява на (1-√2; 1 + √2) и отново се увеличава на (1 + √2; + ∞). Екстремни точки: максимум при x = 1-√2 и f (1-√2) = 2-2√2 минимум при x = 1 + √2 и f (1 + √2) = 2 + 2√2. При (-∞; 1) графиката е изпъкнала нагоре, а при (1; + ∞) - надолу.
VII Нека съставим таблица на получените стойности