Hace exactamente cien años, en un seminario de la Sociedad Matemática de Göttingen, se presentó un teorema, que con el tiempo se convirtió en la herramienta más importante de la física matemática y teórica. Conecta cada simetría continua de un sistema físico con alguna ley de conservación (por ejemplo, si en un sistema aislado de partículas los procesos son invariantes con respecto a un cambio en el tiempo, entonces la ley de conservación de energía se cumple en este sistema). Este teorema fue probado por Emmy Noether, y este resultado, junto con trabajos importantes posteriores sobre álgebra abstracta, permite merecidamente que muchos consideren a Noether como la mujer más grande de la historia de las matemáticas.
Asociaciones históricas
Para empezar, una pequeña pero instructiva digresión del tema principal. En los años 60 del siglo XX, en una reunión con estudiantes de la Universidad Estatal de Moscú, el notable matemático moscovita Dmitry Evgenievich Menshov habló sobre la Escuela Matemática de Moscú:
« En 1914 entré en la Universidad de Moscú. Nikolai Nikolaevich Luzin estaba entonces en el extranjero. Pero estuvo de acuerdo con Dmitry Fedorovich Egorov en que organizarían un seminario para estudiantes. Y en 1914 Dmitry Fedorovich organizó tal seminario. Estaba dedicado a las series de números. Al año siguiente, Nikolai Nikolayevich regresó a Moscú y comenzó a dirigir el seminario él mismo. En 1915 tratamos de series funcionales y en 1916 tratamos de series ortogonales.
Y luego vino el año mil novecientos diecisiete. Fue un año muy memorable en nuestra vida, ese año hubo un evento importante que influyó en toda nuestra vida futura: comenzamos a estudiar serie trigonométrica... »
Entonces, para Menshov, el evento principal de 1917 fue la transición al estudio de las series trigonométricas. No en vano, a veces sostienen que la percepción que tienen los matemáticos del mundo que les rodea es algo peculiar.
De manera similar, podrían describir lo sucedido a fines de julio de 1918, profesores de la famosa facultad de matemáticas de la Universidad de Göttingen. El mundo que los rodeaba se estaba desmoronando, aunque es posible que aún no se hayan dado cuenta. En el frente occidental, la Segunda Batalla del Marne terminó sin gloria, la última gran ofensiva de los ejércitos del Kaiser, que se convirtió en el preludio de la derrota de Alemania en la Gran Guerra. El 16 de julio, la familia real y su pequeño séquito fueron asesinados en el sótano de la casa Ipatiev. En estos fatídicos días, más precisamente el 23 de julio, los participantes del seminario de la Sociedad Matemática de Göttingen escucharon un mensaje sobre el teorema, que finalmente se convirtió en una herramienta extremadamente eficaz de la ciencia fundamental. En el otoño, el texto ampliado y revisado del informe se publicó en la revista. Nachrichten von der Könighche Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Math.-Phys. Klasse... Este artículo, titulado Invariante Variationsprobleme, entró en el fondo de oro de la física matemática y teórica (original en alemán y traducción al inglés disponible).
Su autor no tenía entonces ningún estatus formal en el mundo académico alemán. Aunque Emmy Noether, de 36 años, logró defender su tesis doctoral y publicó 12 trabajos originales, su género bloqueó por completo la oportunidad de ingresar a los círculos universitarios en Alemania. En particular, no pudo (e incluso en el futuro no podría) convertirse en miembro de la Real Sociedad Científica de Gotinga, donde su trabajo fue presentado tres días después del informe del gran matemático Felix Klein (es muy posible que Emmy Noether ni siquiera estuvo presente en esta reunión). Y más tarde, ya en los años veinte, habiéndose convertido en una matemática de renombre mundial, se vio obligada a contentarse en la Universidad de Göttingen con un salario obscenamente bajo y una posición muy modesta. Quizás su origen judío y sus opiniones muy izquierdistas fueron los culpables de esto.
Largo camino hasta la cima
Los grandes matemáticos suelen mostrar sus habilidades únicas desde una edad temprana. Sin embargo, no hay reglas sin excepciones.
Emmy Noether (Amalie Emmy Noether) nació el 23 de marzo de 1882 en la ciudad provincial bávara de Erlangen. Desde 1743, había una Universidad "libre" (es decir, no asociada con denominaciones religiosas) que lleva el nombre de Friedrich-Alexander, una de las tres que había en Alemania en ese momento (las otras dos se establecieron antes en Halle y Göttingen). Allí enseñaban bien, pero sus profesores no podían presumir de logros científicos especiales. Es cierto que en 1872-1875 el joven Felix Klein trabajó en Erlangen. Al asumir el cargo, pronunció la ahora famosa conferencia "Consideración comparativa de la nueva investigación geométrica", que esbozó un plan para una renovación radical de la geometría sobre la base del álgebra abstracta, incluida la teoría de grupos. Esta conferencia, que pasó a la historia de la ciencia como el Programa Erlangen, resultó ser un hito importante para el desarrollo de las matemáticas en la segunda mitad del siglo XIX. Sin embargo, Klein cambió Erlangen a Munich tres años después. Después de él, el personal de la Universidad de Friedrich-Alexander estaba formado por matemáticos, aunque buenos, pero no de primer rango. Uno de ellos fue el padre de Emmy, que ocupó la cátedra hasta 1919. se dedicó fructíferamente a la geometría algebraica, en la década de 1870 demostró (solo o en coautoría) varios teoremas muy no triviales, pero luego se dedicó solo a la enseñanza. Allí dio conferencias el destacado algebrista Paul Gordan, quien finalmente jugó un papel importante en el destino de la hija de su colega.
La pequeña Emmy era la niña más común, una niña dulce e inteligente, pero de ninguna manera una niña prodigio. A los siete años ingresó al gimnasio femenino municipal, donde estudió bien, pero no de manera brillante. En abril de 1900, aprobó los exámenes estatales, lo que le otorgó el derecho a enseñar inglés y francés en escuelas para mujeres en el Reino de Baviera. Sin embargo, en lugar de buscar trabajo como maestra, ingresó a la Universidad de Erlangen como voluntaria, ya que las niñas no eran aceptadas como estudiantes de pleno derecho en ese momento. En el invierno de 1903-04, pasó un semestre en Gotinga, donde asistió a conferencias de estrellas de la ciencia alemana como los matemáticos Hermann Minkowski, Felix Klein y David Hilbert y el astrofísico Karl Schwarzschild. A su regreso a Erlangen, recibió su título universitario en matemáticas en el otoño de 1904. Esto le permitió continuar su educación en la Facultad de Filosofía, donde en diciembre de 1907, bajo la dirección de Gordan, defendió su tesis doctoral, e incluso con honores, summa cum laude. Al año siguiente, su disertación apareció en el prestigioso "Revista de Matemáticas Puras y Aplicadas" (Journal für die reine und angewandte Mathematic), más conocido por el nombre de su fundador como el Diario de Crelle. Esta fue su primera publicación científica, y un volumen muy sólido - 68 páginas (un poco antes apareció un resumen de tres páginas de este trabajo en la colección de actas de la Sociedad Físico-Médica de Erlangen).
Después de defender a Emmy, permaneció en Erlangen durante siete años y medio en el muy ambiguo papel de empleada no remunerada y desempleada del Instituto Universitario de Matemáticas. Supervisó a varios estudiantes de doctorado, a veces reemplazó a su padre como profesor y, por supuesto, hizo su propia investigación. En 1909, recibió su primer reconocimiento institucional, convirtiéndose en miembro de la Sociedad Matemática Alemana.
Hasta alrededor de 1911, Emmy Noether generalmente no abandonó el círculo de problemas con los que se enfrentó mientras preparaba su disertación. Estaban enteramente en el campo de los intereses científicos de Paul Gordan. Estas tareas requerían cálculos laboriosos, pero en términos de ideas no tenían nada de especial. Muchos años después, habló de ellos sin la menor reverencia e incluso admitió que se había olvidado por completo del aparato formal que una vez usó. Sin embargo, en retrospectiva, es obvio que la experiencia adquirida ayudó mucho a demostrar su gran teorema.
Vale la pena detenerse en esto con más detalle. Paul Gordan se dedicó a invariantes algebraicos desde finales de la década de 1860, convirtiéndose en uno de los principales especialistas en esta área de las matemáticas. Históricamente, esta investigación se remonta a los escritos de titanes como Leonard Euler, Joseph Louis Lagrange y, especialmente, Karl Friedrich Gauss, quienes abordaron estos problemas en el marco de la teoría de números. En esta teoría, las llamadas formas algebraicas juegan un papel significativo: polinomios homogéneos de cualquier grado en dos o más variables. El más simple de ellos en la notación estándar se ve así:
dónde X y y- variables independientes, a, B y con- coeficientes constantes.
Esta es una forma cuadrática binaria, en otras palabras, una forma de segundo grado en dos variables. Ternario (es decir, de tres variables X, y y z) la forma cuadrática parece similar, solo que más larga:
Por ejemplo, también puede escribir la forma cúbica binaria:
Probablemente sean superfluos otros ejemplos.
Las variables, por muchas que sean (es decir, sea cual sea la dimensión del espacio de estas variables) pueden ser sometidas a transformación lineal (ir a nuevas variables, que serán combinaciones lineales de las antiguas). Geométricamente, tal transformación significa rotar los ejes de coordenadas mientras se cambia simultáneamente la escala de longitud a lo largo de cada eje. Cuando la forma se escribe en nuevas variables, sus coeficientes, por supuesto, cambian. Sin embargo, y esto es lo más importante, algunas funciones de estos coeficientes o conservan su valor numérico o se multiplican por un factor común, que depende únicamente de la transformación específica de las variables. Estas funciones se denominan invariantes algebraicas. Si el factor en cuestión es igual a uno, se dice que el invariante es absoluto. Es fácil demostrar que el invariante (aunque no absoluto) de una forma cuadrática binaria es su discriminante \ (b ^ 2-ac \), bien conocido por el álgebra escolar. La forma cúbica binaria ya tiene una serie de invariantes. Incluso el más simple de ellos, encontrado en 1844 por el matemático alemán Ferdinand Eisenstein, es mucho más largo: \ (3b ^ 2c ^ 2 + 6abcd-4b ^ 3d-4ac ^ 3-a ^ 2d ^ 2 \).
Está claro que los diferentes tipos de formas algebraicas tienen diferentes familias de invariantes, a veces muy numerosas. Durante muchos años, Gordan se dedicó a sus cálculos, a quien no en vano se le llamó el rey de la teoría invariante. Fue precisamente esa tarea, encontrar un conjunto completo de invariantes de forma ternaria bicuadrática, lo que propuso a su única estudiante de doctorado, Emmy Noether. ¡Lo resolvió brillantemente compilando una lista de trescientos treinta y un invariantes! Probablemente, estaba tan cansada de este trabajo que muchos años después lo describió como una tontería: con la edad, se volvió muy afilada en la lengua.
En 1910, Gordan dimitió. Un año después, Ernst Fischer, un científico con intereses matemáticos mucho más modernos, asumió su cargo. La comunicación con Fischer facilitó que Emmy Noether se familiarizara con muchas ideas nuevas, en particular, con trabajos en el campo del álgebra abstracta y la teoría de grupos continuos. Así, sus aspiraciones científicas se acercaron a los intereses de David Hilbert y otros matemáticos de Göttingen, que no estaban interesados en broma en su trabajo. Dio la casualidad de que en la primavera de 1915, Klein y Hilbert invitaron a Noether a trasladarse a su universidad, con la esperanza de proporcionarle el puesto de profesora asistente. Sin embargo, luego no salió nada de eso. A pesar de un informe presentado por el solicitante en noviembre de 1915, el Senado de la Universidad rechazó la aprobación de Emmy Noether "por incumplimiento de las reglas formales". Esto significó el reglamento aprobado en 1908 según el cual solo los hombres podían ser privat-docentes. Los defensores de Emmy apelaron al Ministro de Cultura, pero este se negó a intervenir. Según una leyenda extendida, fue en este sentido que Gilbert les dijo a sus colegas que no veía por qué el sexo de un candidato podría ser un obstáculo para asumir el puesto de profesor asistente, ya que una universidad no es una casa de baños después de todo.
Incluso si lo dijo (no hay evidencia documental de esto), su retórica venenosa no tuvo ningún efecto. Durante otros tres años, Emmy trabajó como asistente de Gilbert y, a veces, dio una conferencia en lugar de él, pero, como en Erlangen, solo sobre los derechos de las aves. Solo en 1919, ya en la era de la República de Weimar, finalmente se convirtió en profesora asistente, y cuatro años más tarde la universidad la honró con el título bastante extraño de profesora extraordinaria no oficial (nicht-beamteter ausserordentlicher Professor). Es cierto que este título, como el de docente particular, no daba derecho a un salario regular. Sin embargo, Hilbert y otra estrella de las matemáticas de Göttingen, Richard Courant, lograron obtener sus clases de álgebra en la universidad, que sin embargo se pagaron, aunque muy modestamente (200-400 marcos al mes), y su contrato requería una confirmación anual de el Ministerio de Ciencia, Arte y Educación de Prusia. En esta capacidad, Emmy Noether trabajó en Gotinga hasta 1933. Después de que Hitler llegó al poder, cuando los científicos judíos fueron expulsados de las universidades alemanas, ella se mudó a los Estados Unidos.
Teorema por orden
Poco después de la llegada de Emmy Noether a Gotinga, tuvieron lugar allí hechos que se convirtieron en el preludio de su primera gran obra. En el verano de 1915, Albert Einstein, en seis conferencias, familiarizó a sus colegas de Göttingen con las ideas principales de su teoría relativista de la gravedad (aún no completada, pero ya casi completa), más conocida como relatividad general. Entre los oyentes estaba Hilbert, quien se interesó seriamente en las ideas de Einstein. En noviembre, Einstein escribió la versión final de las ecuaciones de la relatividad general, que informó en cuatro reuniones de la Academia de Ciencias de Prusia (ver Centenario de la Relatividad General o Aniversario de la "Revolución del Primero de Noviembre"). Un poco más tarde, Hilbert volvió a derivar estas ecuaciones sobre la base del principio de mínima acción, como se informa en un artículo publicado a finales de marzo de 1916. Esta conclusión es más elegante que la conclusión original de Einstein y aparece merecidamente en muchos libros de texto, por ejemplo, en "Field Theory" de Landau y Lifshitz.
En el transcurso de este trabajo, Hilbert enfrentó un problema muy serio. Se dio cuenta de que la nueva teoría de la gravedad nos hace mirar de manera diferente a la vaca sagrada de la física: la ley de conservación de la energía. La teoría newtoniana de la gravitación y la electrodinámica maxwelliana consideran que la energía es una cantidad física medible, que se define en cualquier punto del espacio y en cualquier tiempo (o en cualquier punto del espacio-tiempo, para usar el lenguaje de la teoría especial de la relatividad). En la teoría de Einstein, tal interpretación tropieza con dificultades, como señaló Hilbert.
Para empezar, una aclaración. La gravedad newtoniana no tiene su propia dinámica, ya que los cambios en el campo gravitacional surgen solo como resultado de los desplazamientos de los cuerpos que lo crean. Por el contrario, el campo electromagnético es dinámico en sí mismo. En él, son posibles procesos de ondas que transfieren energía. Sin embargo, el flujo de energía total del campo electromagnético a través de los límites de cualquier área cerrada del espacio es igual a la tasa de cambio de la energía total contenida en este volumen. Esta es la ley de conservación de la energía electromagnética en una forma físicamente significativa.
La gravitación de Einstein es un asunto diferente. A diferencia del newtoniano, es dinámico y los procesos de ondas son posibles en él, como en un campo electromagnético. Sin embargo, su dinámica es mucho más compleja. Las ecuaciones de relatividad general se pueden escribir en sistemas arbitrarios de coordenadas espacio-temporales, entre los cuales son posibles transformaciones suaves. Debido a tales transformaciones, es posible poner a cero el valor del campo gravitacional en cualquier punto elegido arbitrariamente y su vecindad infinitesimal. Físicamente, esto significa que puede poner un observador imaginario allí, que no podrá registrar la fuerza de la gravedad (este es el principio de equivalencia de Einstein). De ahí se sigue que en la relatividad general la localización inequívoca de la energía es en principio imposible. La cuestión de qué hacer con la ley de su conservación preocupó mucho a Gilbert, y le pidió a Emmy Noether que se ocupara de ello. Fue este problema el que llevó a Noether a su teorema.
Por supuesto, Hilbert no tomó su decisión de la nada. Sabía cuán brillantemente Noether demostró su talento matemático para calcular invariantes algebraicos. El análisis de las condiciones bajo las cuales se cumplen las leyes de conservación de las cantidades físicas (en particular, la energía) también requirió trabajar con invariantes, pero de un tipo diferente - diferencial (ver: Invariable diferencial). De modo que tanto Gilbert como Felix Klein, que estaba interesado en el mismo problema, tenían todas las razones para contar con la ayuda de su antiguo alumno.
Ella no solo cumplió con estas expectativas, sino que también las superó. Es muy probable que Emmie Noether comenzara la asignación de Hilbert en el otoño de 1915. Al final, obtuvo resultados extremadamente sólidos, cuyo campo de aplicación resultó ser mucho más amplio que el alcance de la tarea planteada originalmente por Hilbert. Al final resultó que, esta área incluye no solo la relatividad general y otras teorías de campo de la física clásica, sino también la teoría de campos cuantificados, desarrollada en la segunda mitad del siglo XX. Por supuesto, en 1918 simplemente no había ninguna razón para esperar tal éxito.
En su forma más general, la esencia del teorema de Noether se puede expresar literalmente en dos palabras. Al estudiar la naturaleza a un nivel fundamental, los científicos se esfuerzan por encontrar aquellas características de los sistemas físicos que permanecen sin cambios durante los procesos en los que estos sistemas están involucrados. Por ejemplo, nuestro planeta se mueve en su órbita con velocidad variable, pero el segmento imaginario que lo conecta con el Sol barre áreas iguales durante períodos de tiempo iguales (segunda ley de Kepler). La carga eléctrica total de un sistema macroscópico aislado no cambia, independientemente de las transformaciones internas que sufra; del mismo modo, las cargas de las partículas elementales se diferencian por la constancia absoluta. Se deduce del teorema de Noether que la existencia misma de tales propiedades conservadas está directamente relacionada con las simetrías de alguna cantidad física fundamental que determina la dinámica del sistema. En otras palabras, las leyes de conservación resultan ser una consecuencia directa de la presencia de ciertas simetrías. Esta conclusión se ha convertido en la herramienta más versátil para identificar tales leyes en muchas áreas de la física, desde la mecánica newtoniana hasta el modelo estándar moderno de partículas elementales. Además, se puede llamar una de las ideas teóricas más hermosas de toda la historia de la ciencia.
La cantidad que acabamos de mencionar se llama acción. Su forma específica depende del sistema, cuyo comportamiento describe. En forma, es una integral unidimensional o multidimensional de un funcional igualmente fundamental: el Lagrangiano. En los procesos físicos reales, la acción adquiere un valor extremo; la mayoría de las veces, alcanza un mínimo. Esta afirmación, que no se llama con mucha precisión el principio de mínima acción, permite utilizar el cálculo de variaciones para escribir ecuaciones que describen la dinámica del sistema.
Como ya se mencionó, fue por este método que Hilbert obtuvo las ecuaciones de la relatividad general de una manera diferente a la de Einstein. Por supuesto, primero necesitaba determinar cómo se ve la acción en este caso y, en consecuencia, el Lagrangiano, que logró (casi simultáneamente la derivación de las ecuaciones de la relatividad general basadas en el principio de mínima acción fue realizada por Hendrik Anton Lorentz, y en 1916 - por el propio Einstein). Sin entrar en detalles, observo que el Hilbert Lagrangiano (acción de Einstein-Hilbert) depende de los componentes del tensor métrico que determinan la deformación del continuo espacio-tiempo, que, según GR, se manifiesta como una fuerza gravitacional.
Ahora volvamos a Emmy Noether. Su artículo involucra matemáticas muy altas, que no se pueden describir con palabras. Todo lo que se puede hacer es esbozar la idea general. Como Hilbert, trabajó con el principio de mínima acción. Estaba interesada en las consecuencias de las operaciones matemáticas que transforman los objetos matemáticos involucrados en el cálculo de una acción, pero no cambian su valor numérico o, de manera más general, no lo cambian demasiado (por supuesto, existe una definición matemática precisa para esto "). no demasiado"). Esto significa que tales operaciones dejan invariable la acción. La invariancia con respecto a una determinada transformación o incluso a toda una clase de transformaciones se llama simetría. Emmy Noether en su trabajo hizo la pregunta, cuáles son las consecuencias de la presencia de ciertas simetrías en la acción.
Resolvió este problema de una forma muy general, pero con una limitación significativa. Las transformaciones de simetría pueden ser continuas o discretas. Ejemplos de los primeros son los cambios a lo largo de los ejes de coordenadas o las rotaciones en ángulos arbitrarios. Las transformaciones discretas, por otro lado, permiten solo un número finito o, como mucho, un número contable de cambios. Por ejemplo, un círculo permanece sin cambios para cualquier rotación alrededor de su centro geométrico y un cuadrado solo para rotaciones que son múltiplos de 90 grados. En el primer caso, estamos tratando con simetría continua, en el segundo, con una discreta. Ambas simetrías se describen utilizando la teoría de grupos, pero se aplican diferentes ramas de la misma. Las transformaciones discretas de interés para la física utilizan la teoría de grupos con un número finito de elementos. Para describir las simetrías continuas se utilizan infinitos grupos de cierto tipo, que se denominan grupos de Lie en honor al gran matemático noruego Sophus Lie. Emmy Noether investigó la relación entre las leyes de conservación y las simetrías continuas, por lo que en su trabajo utilizó la teoría de los grupos de Lie. Cabe señalar que las simetrías discretas también pueden conducir a una u otra ley de conservación, pero en este caso el teorema de Noether es insustituible.
A principios de la segunda década del siglo pasado, la teoría de los grupos de Lie estaba bien desarrollada no solo por el propio Lie, sino también por otros matemáticos, principalmente por el alemán Wilhelm Killing y el francés Eli Cartan. Los físicos de esa época prácticamente no estaban familiarizados con él, pero Emmy Noether tuvo el tiempo y las ganas de estudiarlo en Ergangen. Ahora lo ha aplicado, y con gran éxito.
Emmy Noether consideró las transformaciones de simetría en las que operan grupos de Lie de dos tipos. En un caso, cada transformación (es decir, cada elemento del grupo de Lie) depende de un número finito (tal vez incluso contable) de parámetros numéricos. Elementos de los grupos de Lie del segundo tipo, por el contrario, dependen de una u otra cantidad de funciones arbitrarias. Por ejemplo, las rotaciones del plano se definen mediante un parámetro (ángulo de rotación) y las rotaciones espaciales, mediante tres (cada una de ellas se puede representar como una secuencia de rotaciones alrededor de tres ejes de coordenadas). Por el contrario, la relatividad general de Einstein se basa en el principio de covarianza completa de ecuaciones, es decir, la capacidad de escribirlas en cualquier sistema de coordenadas de cuatro dimensiones (lo que físicamente significa la capacidad de elegir arbitrariamente un marco de referencia local en cualquier punto). en el espacio-tiempo). Esta es también una especie de simetría, y exactamente la que Emmy Noether atribuyó al segundo tipo.
Como consecuencia, el teorema de Noether consta de dos partes. En primer lugar, consideró la invariancia de la acción con respecto a las simetrías, que corresponden a transformaciones grupales del primer tipo. Resultó que tal invariancia hace posible escribir relaciones matemáticas que pueden interpretarse como leyes de conservación de cantidades físicas que satisfacen estas simetrías. Y si es más simple, entonces estas leyes son consecuencia directa de ciertas simetrías.
Aquí hay unos ejemplos. Tomemos un sistema de partículas aislado (es decir, libre de influencias externas) que obedece a la mecánica newtoniana y la teoría de la gravitación newtoniana (los planetas que orbitan una estrella convencionalmente fija pueden actuar como partículas). Para tal sistema, la acción es invariante con respecto a los cambios de tiempo. Se deduce del teorema de Noether que la energía total (cinética y potencial) de las partículas no depende del tiempo, es decir, se conserva. De manera similar, la invariancia con respecto a los cambios arbitrarios en el espacio significa la conservación del momento total, y la invariancia con respecto a las rotaciones significa la conservación del momento angular.
Por supuesto, estas leyes se conocían antes, pero su naturaleza seguía siendo misteriosa, si se quiere, misteriosa. El teorema de Noether eliminó de una vez por todas el velo de este misterio al vincular las leyes de conservación con las simetrías del espacio y el tiempo.
La situación es similar para los sistemas descritos por la mecánica relativista. No hay tiempo y espacio separados, fueron reemplazados por un continuo espacio-tiempo de cuatro dimensiones, conocido como espacio de Minkowski. La simetría máxima de tal espacio-tiempo viene dada por un grupo de Lie de diez parámetros conocido como el grupo de Poincaré. Tiene un subgrupo de cuatro parámetros, que corresponde a los cambios en el espacio de Minkowski. La invariancia de la acción con respecto a estos cambios conduce a la conservación de un vector de cuatro dimensiones, uno de cuyos componentes corresponde a la energía y tres a la cantidad de movimiento. De ahí se deduce que en cada marco de referencia inercial se conservan la energía y el momento (aunque sus valores numéricos en diferentes marcos no son los mismos).
Todas estas conclusiones fueron evidentes inmediatamente después de la publicación del teorema de Noether. Aquí hay otro ejemplo que se realizó cuando se construyó la electrodinámica cuántica. Hasta ahora, hemos estado hablando de simetrías externas asociadas no con el sistema físico en sí, sino con sus, por así decirlo, relaciones con el tiempo y el espacio. Sin embargo, el teorema de Noether también permite tener en cuenta las simetrías internas, es decir, las simetrías de los campos físicos "inscritos" en el lagrangiano (para los amantes de la precisión, las simetrías de las construcciones matemáticas que representan estos campos). Esta posibilidad también conduce al descubrimiento de varias leyes de conservación.
Tomemos el lagrangiano de un electrón relativista libre, que nos permite derivar la famosa ecuación de Dirac. No cambia con tal transformación de la función de onda, que se reduce a su multiplicación por un número complejo con módulo unitario. Físicamente, esto significa un cambio en la fase de la función de onda por un valor constante que no depende de las coordenadas espacio-temporales (esta simetría se llama global). Geométricamente, esta transformación es equivalente a una rotación de plano a través de un ángulo arbitrario pero fijo. En consecuencia, se describe mediante un grupo de Lie de un parámetro, el llamado grupo U (1). En virtud de la tradición histórica que se remonta al gran matemático y estudioso de Hilbert Hermann Weil, pertenece a un gran grupo de simetrías llamadas simetrías de gauge. Se deduce del teorema de Noether que este tipo de simetría de gauge global implica la conservación de la carga eléctrica. ¡No es un resultado débil, y de ninguna manera trivial!
El segundo teorema de Noether no es tan transparente. Describe situaciones en las que las transformaciones de simetría que dejan la acción invariante no dependen de parámetros numéricos, sino de algunas funciones arbitrarias. Resultó que, en el caso general, tal invariancia no permite formular leyes de conservación para cantidades medibles físicamente. En particular, del segundo teorema de Noether se deduce que en la teoría general de la relatividad no existen leyes universales de conservación de la energía, el momento y el momento angular, lo que tendría un significado inequívoco en regiones físicamente reales (es decir, no infinitamente pequeñas) de tiempo espacial. Es cierto que hay casos especiales en los que, en el marco de la relatividad general, se puede plantear correctamente la cuestión de la conservación de la energía. Sin embargo, en general, la solución a este problema depende de qué se considera exactamente la energía del campo gravitacional y en qué sentido hablar de su conservación. Además, tampoco se conserva la energía total de las partículas que se mueven en el espacio con un campo gravitacional dinámico (es decir, en un espacio con una métrica cambiante). Entonces, en nuestro Universo en expansión, los fotones CMB están perdiendo energía continuamente; este es un fenómeno bien conocido del corrimiento al rojo cosmológico.
Dos destinos
Artículo en Nachrichten avanzó significativamente la carrera científica de Emmy Noether. En el contexto del debilitamiento del machismo en la posguerra, el 21 de mayo de 1919, la Facultad de Filosofía de la Universidad de Göttingen acordó aceptar esta publicación como la habilitación necesaria para el puesto de profesor asistente. Una semana después, Noether aprobó el examen oral requerido y el 4 de junio leyó una conferencia de prueba para los miembros del Departamento de Matemáticas de la Facultad. En el semestre de otoño, comenzó a leer su primer curso.
Después de esto, el destino del teorema de Noether y su autor divergió de manera decisiva. Emmy Noether nunca volvió a estudiar física, y se cambió por completo al álgebra abstracta. En esta área de las matemáticas en rápido desarrollo, recibió fundamental, en el sentido completo de los resultados fundamentales en la geometría algebraica y la teoría de anillos. Puedes hablar de ellos durante mucho tiempo, pero esta es una historia completamente diferente.
La tranquila y profesional vida de Emmy Noether en Gotinga se vio truncada por la llegada de los nazis. En abril de 1933, el Ministerio de Ciencia, Arte y Educación revocó su permiso para enseñar en la Universidad de Göttingen (el mismo decreto privó a Courant y uno de los fundadores de la mecánica cuántica, Max Born). Unos meses más tarde, Emmy Noether emigró a los Estados Unidos, donde, con la ayuda de la Fundación Rockefeller, recibió un contrato de invitada para enseñar en la élite Bryn Mare Women's College en Pensilvania. A partir de febrero de 1934, también comenzó a dar conferencias semanales en las cercanías (pero no en la Universidad de Princeton, donde las mujeres estaban completamente fuera de discusión). En el verano, viajó brevemente a Gotinga, aprovechándose de su nuevo estatus como científica extranjera, y luego se fue de Alemania para siempre. Pero no le quedaba mucho tiempo de vida. El 14 de abril de 1935, Emmy Noether murió debido a complicaciones de la cirugía, probablemente debido a una infección grave. En una carta publicada el 5 de mayo en The New York Times, Albert Einstein señaló: "A juicio de los matemáticos vivos más competentes, Fräulein Noether fue el genio matemático creativo más significativo producido hasta ahora desde que comenzó la educación superior de las mujeres" ("Según los matemáticos modernos más competentes, Fraulein Noether demostró en su trabajo matemático un grado de genio tan alto que nadie ha podido lograr desde que las mujeres adquirieron el derecho a la educación superior".). Y nueve días antes, Hermann Weil dijo en una conferencia dedicada a ella: "Fue una gran matemática, la más grande ... que su sexo haya producido, y una gran mujer" ("Era una gran mujer y al mismo tiempo la más grande matemática femenina").
Durante su vida y poco después de la muerte de Emmy Noether, se le rindió homenaje casi exclusivamente por sus estudios algebraicos. Por extraño que parezca ahora, casi nadie notó su gran teorema. Por supuesto, este trabajo fue muy apreciado tanto por Hilbert como por Klein, quienes lo presentaron a la Royal Society, pero esto no fue más allá. Incluso Hermann Weil, que estudió mucha física teórica, y en particular, simetría, no consideró necesario mencionarlo en la monografía fundamental "Teoría de grupos y mecánica cuántica" publicada en 1928. Parece que el único relato breve del trabajo de Emmy Noether en los trabajos matemáticos clásicos del primer tercio del siglo pasado se puede encontrar en el famoso libro de Courant y Hilbert "Métodos de física matemática", publicado por primera vez en 1924.
Las razones de este olvido se pueden discutir durante mucho tiempo, pero esto está demasiado lejos del tema principal. Sea como fuere, hasta mediados del siglo XX, los físicos casi no se referían al artículo de Noether, aunque sus resultados no solo eran bastante conocidos, sino que también se utilizaban muchas veces. En la década de 1950, la situación cambió. Esto se debe principalmente al interés despertado en el papel de las simetrías en las teorías cuánticas de campo, que siguió al artículo de 1954 Conservación del espín isotópico y la invariancia de calibre isotópico de los colaboradores del Laboratorio Nacional Brookhaven, Zhenning Yang y Robert Mills. Los coautores "inventaron" los campos cuánticos que llevan su nombre, basándose en la simetría de calibre del espín isotópico. A diferencia de la simetría, que asegura la conservación de la carga eléctrica, no era global, sino local, en el sentido de que los parámetros de las transformaciones de grupo en su trabajo eran funciones de coordenadas espaciales. Este es el tipo de simetría que Emmy Noether consideró en el segundo teorema.
Como saben, fue el dominio de las simetrías de gauge locales lo que hizo posible construir en la década de 1970 el Modelo Estándar de partículas elementales, el logro más serio de la física teórica en la segunda mitad del siglo XX. Pero incluso un par de décadas antes de su creación, el teorema de Noether comenzó a citarse en artículos físicos y monografías. Ahora su trabajo es reconocido como un gran clásico de la ciencia.
Finalmente, me gustaría permitirle al lector, con otro ejemplo, probar la aplicación de las simetrías consideradas por Emmy Noether en su segundo teorema. Volvamos al grupo de calibración U (1), pero ahora haremos que la rotación de fase sea una variable, una función de las coordenadas espacio-temporales. En este caso, no se trata de transformaciones de calibre globales, sino locales. Permítanme recordarles que este es exactamente el tipo de transformaciones de grupo que describe el segundo teorema de Noether.
El propio Dirac Lagrangiano no es invariante con respecto al grupo local U (1), por lo que la acción tampoco es invariante. Sin embargo, la invariancia se puede restaurar si se agrega un campo de fuerza al Lagrangiano, que también obedece a alguna simetría local. Como resultado de tal operación, aparece automáticamente un término adicional en el Lagrangiano, que describe la interacción de este campo con los electrones. El campo en sí es una versión cuántica de radiación electromagnética. Entonces, el requisito de simetría de gauge local del tipo U (1) para el campo de Dirac conduce automáticamente a la conclusión de que los electrones interactúan a través del intercambio de cuantos del campo electromagnético, es decir, ¡fotones! Y como un bono adicional, obtenemos una declaración más: ¡estos cuantos tienen masa cero!
Esta conclusión se puede formular de otra manera. Para la existencia de invariancia local con respecto al grupo U (1), es necesario que la carga conservada sea una fuente de un campo vectorial sin masa (los fotones son partículas vectoriales, partículas con espín 1). La capacidad de una carga eléctrica para generar fotones es su propiedad única. Las partículas elementales también tienen otras cargas conservadas (por ejemplo, bariónica y leptónica). Sin embargo, como se desprende de los datos experimentales, estas cargas no generan campos vectoriales sin masa, es decir, el experimento no confirma la existencia de análogos de fotones bariónicos y leptónicos. Estos cargos corresponden solo a simetrías globales en lugar de locales del tipo U (1).
Este ejemplo no es de ninguna manera aislado. Las simetrías del segundo teorema de Noether permiten establecer correspondencias fundamentales entre las propiedades de las partículas y los campos con los que estas partículas pueden interactuar. De nuevo, ¡dónde si no débil! No es casualidad que el famoso físico teórico estadounidense, profesor de la Universidad de California, Anthony Zee, en la monografía Group Theory in a Nutshell for Physicists publicada en 2016, señaló que, con toda probabilidad, Emmy Noether es la mejor física femenina que ha vivido alguna vez en esta luz "Podría decirse que es la mujer física más profunda que jamás haya existido"). Una puntuación tan alta, ¡y solo por un solo artículo!
Y un detalle más curioso. La idea de la simetría de calibre fue propuesta por primera vez por Weil en su artículo Gravitation and Electricity, publicado en Berlín en el mismo 1918. ¡Así que tenemos derecho a celebrar el centenario de dos grandes avances en la física teórica a la vez! En verdad, los dioses son misericordiosos con los grandes científicos.
Rastro ruso
Emmy Noether tenía muchos amigos y admiradores en la comunidad matemática soviética. En 1923, los jóvenes y brillantes topólogos Pavel Aleksandrov y Pavel Uryson llegaron a Gotinga desde Moscú, a través de los cuales Noether estableció contactos con colegas rusos. En el invierno de 1928-29, impartió un curso de álgebra abstracta en la Universidad Estatal de Moscú y dirigió un seminario sobre geometría algebraica en la Academia Comunista. Cuando Noether fue expulsada de Gotinga, Aleksandrov intentó asegurarle la cátedra de álgebra en la Universidad Estatal de Moscú, pero no recibió el apoyo del Comisariado de Educación del Pueblo. Si hubiera sucedido de otra manera, podría haber creado una escuela de algebristas de clase mundial en Moscú. Pero el destino podría haber ordenado de otra manera. Su hermano menor Fritz, un buen matemático aplicado, fue a la URSS, donde se convirtió en profesor en la Universidad de Tomsk. A finales de 1937 fue arrestado como espía alemán y el 10 de septiembre de 1941 fue fusilado en Orel.
Sin embargo, en cierto sentido, los vínculos de Emmy Noether con Rusia se remontan a épocas mucho más antiguas. Anna Johnson Pell Wheeler, decana de la Facultad de Matemáticas, la invitó a Bryn-Mar y estudió en Gotinga. Vale la pena hablar de esta mujer con más detalle, y la característica principal estará al final.
Nacida como Anna Johnson, hija de inmigrantes suecos, pertenecía a la misma generación de científicos que Emmy Noether y tenía prácticamente la misma edad que ella. Nació en mayo de 1883 en Iowa. En 1899 fue admitida en la Universidad de Dakota del Sur, donde se convirtió en una de las mejores estudiantes. Anna estudió de manera excelente en alemán, francés, latín, química, física y matemáticas, que se convirtió en su principal afición. La niña se interesó por el profesor de matemáticas Alexander Pell, quien adivinó su notable capacidad para el pensamiento abstracto y la convenció de que continuara su educación matemática. En 1903, Anna se trasladó a la Universidad de su estado natal de Iowa y un año después defendió allí su tesis de maestría en la aplicación de la teoría de grupos a las ecuaciones diferenciales lineales. Para este trabajo, recibió una beca para el famoso Radcliffe College for Women, y en 1905 obtuvo otra maestría. Incluso entonces, fue considerada una de las matemáticas más prometedoras de Estados Unidos. En 1906, Anna ganó la prestigiosa beca Alice Freeman Palmer para graduados universitarios estadounidenses que deseen continuar su educación en el extranjero. Esto le permitió pasar un año en la Universidad de Göttingen, donde estudió con las mismas estrellas de la ciencia alemana que (dos años antes) Emmy Noether. Su principal mentor fue Gilbert, quien entonces estaba estudiando ecuaciones integrales e infectó a su estudiante estadounidense con este pasatiempo. Posteriormente, trabajó en esta área y en el campo relacionado del análisis funcional.
Alexander Pell mantuvo correspondencia constante con Anna y, finalmente, le propuso matrimonio. En el verano de 1907 llegó a Gotinga y se casaron. Allí Pell conoció a las luminarias universitarias, en cuyo círculo giraba su novia. La pareja regresó a la Universidad de Dakota del Sur, donde Anna comenzó a impartir cursos sobre ecuaciones diferenciales y teoría de funciones. Nuevamente pasó la mayor parte de 1908 en Gotinga, después de lo cual ingresó a la escuela de posgrado en la Universidad de Chicago. En 1910 recibió su doctorado y en 1911 comenzó a enseñar matemáticas en una de las universidades locales.
En ese momento, Pell también terminó en Chicago, donde recibió un lugar en el Armour Institute (ahora -). En 1911, después de sufrir un derrame cerebral, dejó de enseñar y dio sus conferencias a Anna. Reemplazó a su esposo hasta 1913, cuando se retiró formalmente. Sin embargo, Pell continuó escribiendo artículos y participando en conferencias de la American Mathematical Society (la más reciente en 1919), y durante el año académico 1915-16 incluso dio un curso semestral en la Northwestern University.
En 1918, Anna Pell fue invitada a Bryn Mar, donde se convirtió en profesora y más tarde decana del departamento de matemáticas. En ese momento, entró firmemente en la pequeña galaxia de mujeres matemáticas con reputación internacional. Pero Pell no vivió para ver esto: murió el 26 de enero de 1921. En 1925, Anna se casó con su colega, el profesor latinista Arthur Wheeler, pero volvió a enviudar en 1932. Se jubiló en 1948, pero no dejó de seguir la literatura matemática y asistir a seminarios. Murió en marzo de 1966 a la edad de 82 años. Fue enterrada en un cementerio bautista junto a la tumba de su primer marido. Durante su vida, Anna estableció la Beca Alexander Pell con sus propios fondos para estudiantes dotados en matemáticas en la Universidad de Dakota del Sur. Este fondo existe hasta el día de hoy.
Yuri Davydov "Tiempo sordo de caída de hojas"). Los miembros de Narodnaya Volya que permanecieron en libertad permitieron que Degaev se fuera a América, donde se convirtió en Pell. En los Estados Unidos, después de muchas desventuras, recibió una educación matemática, completó su escuela de posgrado en la Universidad Johns Hopkins en Baltimore y, finalmente, recibió una cátedra en Dakota del Sur. Entonces, el demonio de la historia para el dispositivo de Emmy Noether en los Estados Unidos necesitaba el genio malvado de "People's Will" para convertirse en un venerable profesor estadounidense que notó y promovió a un estudiante talentoso de una provincia profunda. ¡Así es como sucede!
Matemático alemán.
Ella fue invitada David Hilbert por dar conferencias y realizar trabajos científicos en la Universidad de Göttingen.
« Emmy Noether tenían poco en común y el legendario "matemático" Sofía Kovalevskaya que hasta fascinado Weierstrass con su mente y encanto juvenil. Estaba completamente desprovista de feminidad, tanto en apariencia como en sus modales. Incluso hoy, lo primero que recuerdan los hombres que la conocieron es: "Tenía una voz fuerte y desagradable", "Parecía una lavandera enérgica y muy miope", "Su ropa siempre era holgada".
Todos ellos citan con entusiasmo la delicada observación de que "las gracias no estuvieron en su cuna".
Sin embargo, Emmy Noether estaba destinada a tener una influencia mucho más importante en las matemáticas que su encantadora Sophie.
Incluso en ese momento, ella ya tenía un conocimiento sólido de algunos de los temas que Hilbert y Klein necesitaban para su trabajo en la teoría de la relatividad. Ambos decidieron que debería quedarse en Gotinga. Sin embargo, a pesar de que Gotinga fue la primera universidad de Alemania en otorgar un doctorado a una mujer, recibió la habilitación. (El término proviene del latín "habilis" - capaz, apto y significa tener derecho a ser miembro de los profesores universitarios - nota de I.L. Vikentiev) no fue fácil para ella.
Toda la Facultad de Filosofía, que incluía, además de representantes de las ciencias naturales y las matemáticas, también filósofos, filólogos e historiadores, participaría en la votación sobre la aceptación de la habilitación. La oposición particular provino de la parte no matemática de la facultad.
Su objeción formal se reducía a lo siguiente: “¿Cómo se puede permitir que una mujer se convierta en docente privada? Una vez convertida en tal, puede convertirse en profesora y miembro del senado universitario. ¿Cómo se puede permitir que una mujer ingrese al Senado? " La objeción informal fue: "¿Qué pensarán nuestros soldados cuando, después de regresar a la universidad, vean que tienen que estudiar sentados a los pies de una mujer?"
Hilbert este razonamiento era una reminiscencia del que escuchó cuando intentó golpear la disertación de Grommer frente a estos mismos miembros de la facultad. "Si los estudiantes sin un diploma de escuela secundaria siempre escriben las mismas disertaciones que Grommer", dijo en ese momento, "entonces se tendrá que aprobar una ley que prohíba la realización de exámenes finales". Ahora, con la misma franqueza, respondió a sus objeciones formales a la profesora asistente Emmy Noether: “Meine Herren, no veo por qué el género del candidato debería ser una razón para no recibir el título de profesora asistente. Después de todo, el Senado no es una casa de baños ".
Cuando, a pesar de tal objeción, todavía no logró obtener el premio de habilitación Emmy Noether, resolvió el problema de conservarlo en Gotinga a su manera.
Las conferencias se anunciarán bajo el nombre del profesor Hilbert y serán impartidas por la Sra. Noether. La guerra continuó ".
Constance Read, Gilbert, M., "Science", 1977, pág. 187-188.
En 1918, Emmy Noether demostró un teorema fundamental de la física teórica, que conecta las leyes de conservación con la simetría de un sistema, llamado teorema de Noether.
“El teorema de E. Noether afirma que cualquier transformación continua de coordenadas en un marco de referencia inercial corresponde a alguna cantidad conservada ( invariante). Dado que la transformación considerada está estrechamente relacionada con su simetría de espacio y tiempo (espacio homogéneo, espacio isotrópico y homogeneidad de tiempo), entonces cada propiedad del espacio y el tiempo debe corresponder, de acuerdo con la mecánica clásica, con su propia ley de conservación específica.
Con homogeneidad espacial, es decir la simetría de las leyes de la física con respecto a los desplazamientos espaciales del origen, la ley de conservación del momento está conectada. Con la isotropía del espacio, es decir la ley de conservación del momento angular está asociada a la equivalencia de todas las direcciones espaciales y, por tanto, a la simetría con respecto a la rotación del sistema de coordenadas en el espacio.
El concepto de homogeneidad del tiempo (simetría con respecto a los cambios de tiempo) conduce a la ley de conservación de la energía. Esto significa que el paso del tiempo por sí mismo no puede provocar un cambio en la energía de algún sistema cerrado.
El significado práctico del teorema de E. Noether no se limita solo al hecho de que establece una conexión entre las leyes de conservación clásicas y los tipos de simetría que tienen una naturaleza geométrica.
Si un sistema físico tiene otro tipo de simetría, por ejemplo, dinámica (matemática), estas simetrías predicen leyes de conservación particulares, que también tienen la función de prohibir los fenómenos de autodesarrollo local ".
Balakshin O.B. , Armonía del autodesarrollo en la naturaleza y la sociedad: similitudes y analogías, M., Editorial LKI, 2008, p. 112.
Emmy Noether pudo convertirse en docente privado en 1919 y profesor supernumerario en 1922.
En 1933, cuando los nazis llegaron al poder en Alemania, Emmy Noether se mudó a los Estados Unidos.
Al enterarse de su muerte, Albert Einstein escribió: “La mayoría de la gente gasta todas sus fuerzas en la lucha por su pan de cada día. Incluso muchos de aquellos a quienes el destino o algún talento especial “ha salvado de la necesidad de librar esta lucha, dedican la mayor parte de sus fuerzas a la multiplicación de los bienes terrenales y su fortuna.
Detrás de tales esfuerzos, encaminados a la acumulación de todo tipo de beneficios, muy a menudo se esconde la ilusión de que este es el objetivo más esencial y deseado por el que uno debe esforzarse.
Afortunadamente, hay una minoría de quienes se dieron cuenta temprano de que las experiencias más hermosas y la mayor satisfacción que la humanidad recibe no son del exterior, sino que están asociadas con el desarrollo de los propios sentimientos, pensamientos y acciones de cada individuo.
Los artistas, investigadores y pensadores genuinos siempre han sido este tipo de personas. No importa cuán imperceptiblemente transcurrieron las vidas de estas personas, los frutos de sus esfuerzos resultaron ser la contribución más preciosa al legado que una generación deja a sus sucesores.
Hace unos días, a la edad de cincuenta y tres años, un destacado profesor de matemáticas Emmy Noether, una vez asociado con la Universidad de Göttingen, y durante los últimos dos años en Bryn Mawr College. Según los matemáticos vivos más competentes, Fraulein Emmi Noether fue uno de los genios más importantes y creativos de las matemáticas desde que las mujeres comenzaron a cursar estudios superiores.
En el campo del álgebra, que los matemáticos más talentosos han estudiado durante siglos, descubrió métodos que han tenido un gran impacto en el desarrollo de la generación moderna de jóvenes matemáticos. La matemática pura es una especie de poesía de la lógica de las ideas. Los matemáticos están tratando de encontrar la idea más general de la operación, lo que permitiría cubrir de manera simple, lógica y uniforme la gama más amplia posible de relaciones formales ".
Albert Einstein, En memoria de Emmy Noether / Colección de artículos científicos en 4 volúmenes, Volumen 4, 1967, "Ciencia", p.108.
General propiedades del espacio y el tiempo:
1. El espacio y el tiempo son objetivos y reales; no dependa de la conciencia y voluntad de las personas.
2. El espacio y el tiempo son formas universales y universales de ser de la materia. No hay fenómenos, eventos de objetos que existirían fuera del espacio o fuera del tiempo.
Propiedades básicas del espacio:
1. Homogeneidad: todos los puntos en el espacio tienen las mismas propiedades, no hay puntos asignados en el espacio, la transferencia paralela no cambia la forma de las leyes de la naturaleza.
2. Isotropía: todas las direcciones en el espacio tienen las mismas propiedades, no hay direcciones seleccionadas y la rotación en cualquier ángulo mantiene inalteradas las leyes de la naturaleza.
3. Continuidad: entre dos puntos diferentes en el espacio, no importa lo cerca que estén, siempre hay un tercero.
4. Euclidiana se describe mediante geometría euclidiana. Un signo del espacio euclidiano es la posibilidad de construir en él coordenadas rectangulares cartesianas. Pero según la relatividad general de Einstein, en presencia de masas gravitantes en el espacio, el espacio se curva y se vuelve no euclidiano.
5. Tridimensionalidad: cada punto en el espacio está determinado de forma única por un conjunto de tres números reales de coordenadas. Esta posición se deriva de la conexión entre la estructura del espacio y la ley de la gravitación. (P. Ehrenfest en 1917 investigó la cuestión de por qué somos capaces de percibir solo el espacio de tres dimensiones. Demostró que la "ley del cuadrado inverso", según la cual las masas gravitacionales o cargas eléctricas puntuales actúan entre sí, se debe a En las mediciones de la tridimensionalidad del espacio, las partículas puntuales interactuarían de acuerdo con la ley de la potencia inversa (n - 1). Por lo tanto, para n = 3, la ley del cuadrado inverso es válida, ya que 3–1 = 2. Demostró que , de acuerdo con la ley de los cubos inversos, los planetas se moverían en espirales y caerían rápidamente sobre el Sol. En átomos con un número de dimensiones superior a tres, tampoco habría órbitas estables, es decir, no habría ninguna sustancia química. procesos en la vida.
Propiedades básicas del tiempo:
1. Homogeneidad: cualquier fenómeno que ocurra en las mismas condiciones, pero en diferentes momentos en el tiempo, procede exactamente de la misma manera, de acuerdo con las mismas leyes.
2. La continuidad es cuando entre dos momentos en el tiempo, no importa lo cerca que estén, siempre puedes seleccionar el tercero.
3. La unidireccionalidad o irreversibilidad es una propiedad del tiempo, que puede considerarse como una consecuencia de la segunda ley de la termodinámica o la ley de la entropía creciente. Todos los cambios en el mundo ocurren del pasado al futuro.
Las propiedades especificadas del espacio y el tiempo están asociadas con las principales leyes de la física: las leyes de la conservación. Si las propiedades del sistema no cambian a partir de la transformación de variables, entonces le corresponde una cierta ley de conservación. Es una de las expresiones esenciales de simetría en el mundo. Según el teorema de E. Noether, cada transformación de simetría, caracterizada por un parámetro que cambia continuamente, corresponde a una cantidad que se conserva para un sistema con esta simetría.
De la simetría de las leyes físicas respecto a:
1) el desplazamiento de un sistema cerrado en el espacio (homogeneidad del espacio) sigue la ley de conservación del momento;
2) la rotación de un sistema cerrado en el espacio (isotropía del espacio) sigue la ley de conservación del momento angular;
3) los cambios en el origen del conteo del tiempo (homogeneidad del tiempo) siguen la ley de conservación de la energía.
Preguntas para la repetición y el autocontrol.
1. ¿Cuáles eran las ideas sobre el espacio y el tiempo en el período prenewtoniano?
2. ¿Cómo interpreté I. Newton el espacio y el tiempo?
3. ¿Qué ideas sobre el espacio y el tiempo se volvieron definitorias en la teoría de la relatividad de A. Einstein?
4. ¿Cuáles son las principales propiedades del espacio que conoces?
5. ¿Cuáles son las principales propiedades del tiempo que conoces?
6. ¿Formular el teorema de E. Noether?
Formulemos y probemos el teorema de Noether con precisión.
Considere algún sistema descrito por la función de Lagrange
La forma de las ecuaciones de Lagrange-Euler obtenidas del principio variacional con tal función de Lagrange es invariante bajo transformaciones de la forma, así como bajo transformaciones más generales.
incluida la sustitución de la variable independiente. Sin embargo, la forma específica de la nueva expresión para la acción, como funcional de nuevas coordenadas que dependen del nuevo tiempo, puede sufrir cualquier cambio con tal cambio.
El teorema de Noether está interesado solo en el caso en que tales cambios no ocurren.
Usando (4), obtenemos:
Que las transformaciones sean tales que
aquellos. formando un grupo de un parámetro. Considere la transformación infinitesimal correspondiente al parámetro.
En realidad, las variaciones de las coordenadas generalizadas que se producen durante la transformación considerada son la diferencia entre los valores de las nuevas coordenadas en un determinado momento del nuevo tiempo y los valores de las antiguas coordenadas en el momento correspondiente de la viejo tiempo, es decir
Junto a ellos, conviene considerar variaciones de la forma
dependencias temporales de coordenadas distintas de cero, incluso si nuestra transformación solo afecta al tiempo y no a las coordenadas.
Para cualquier función, la siguiente relación es verdadera:
Luego hay una relación entre los dos tipos de variaciones introducidos, que se puede obtener de la siguiente manera: restar la ecuación (9) de (8), obtenemos:
toma en cuenta que
entonces tenemos:
Las variaciones sin asteriscos que se refieren a un valor de argumento son permutables con diferenciación en el tiempo
mientras que, en términos generales, esto no es cierto para las variaciones con asteriscos.
Se pueden introducir los dos tipos de variaciones correspondientes para cualquier variable dinámica. Por ejemplo, para la función de Lagrange
donde incluye diferenciación tanto en términos de entrar explícitamente en el tiempo como en términos de tiempo que entra implícitamente a través de coordenadas y velocidades.
Ahora requerimos que la integral de acción no cambie durante nuestra transformación; este es exactamente el caso excepcional que requiere la condición del teorema, es decir, eso fue
dónde T "- la misma área de integración que T en la segunda integral, pero expresada en términos de nuevas variables. Entonces, sustituyendo (11) en (13), obtenemos
Expresamos de (15) a (11) y teniendo en cuenta la relación, pasando a la integración por encima de t en lugar de t ", obtenemos:
Teniendo en cuenta que
Obtenemos: (15)
Encuentra el diferencial
Sustituyendo (17) en (16), obtenemos:
Bajo el signo de la primera suma está la ecuación de Lagrange, es decir
En un grado u otro, toda persona tiene una idea de la simetría. Esta propiedad la poseen una variedad de objetos que juegan un papel importante en la vida cotidiana. A muchas creaciones de manos humanas se les da una forma simétrica tanto por razones estéticas como prácticas. Quizás el producto humano más simétrico es la pelota, que siempre se ve igual sin importar cómo se gire. La simetría está muy extendida en la naturaleza: la forma hexagonal de los copos de nieve, varias formas geométricas de los cristales, aproximadamente la simetría especular del cuerpo humano, etc.
Es bastante difícil dar una definición general del concepto de "simetría". La simetría se asocia a menudo con la belleza. “Simétrico significa algo con una buena proporción de proporciones, y la simetría es el tipo de coherencia de partes separadas que las une en un todo. La belleza está estrechamente relacionada con la simetría ”, escribió G. Weil. En el "Diccionario Conciso de Oxford", la simetría se define como "... belleza debido a la proporcionalidad de las partes del cuerpo o cualquier todo, equilibrio, similitud, armonía, consistencia".
| Figura 5 - Ejemplos de simetría en la naturaleza |
La simetría ocupa un lugar importante en las ciencias naturales, lo que conduce a numerosas simplificaciones de la imagen del mundo y al establecimiento de similitudes entre sus diversas áreas.
Simetría(en física) - la propiedad de las cantidades físicas de permanecer sin cambios (invariantes) bajo ciertas transformaciones. Estas transformaciones se llaman operaciones de simetría .
Las operaciones de simetría incluyen, por ejemplo, la operación de reflexión en un espejo, desplazamiento, rotación. Los cristales que exhiben simetría de cizallamiento se caracterizan por una disposición regular de partículas con repetición periódica en tres dimensiones. Las formas geométricas regulares tienen simetría axial. Entonces, al girar un cuadrado 90 ° alrededor de un eje que pasa por su centro perpendicular a su plano, el cuadrado se alinea consigo mismo.
Las simetrías se dividen en espacio-tiempo (externo) e interno, que describen las propiedades de las partículas elementales.
El espacio y el tiempo son homogéneos, es decir tienen simetría de corte: la transferencia paralela del sistema de coordenadas y el desplazamiento del origen del tiempo no cambian las leyes de la naturaleza. La isotropía del espacio significa que tiene simetría axial: la rotación de los ejes de coordenadas en un ángulo arbitrario no cambia las leyes de la naturaleza.
En la física moderna se encuentra una cierta jerarquía de simetrías. Las simetrías anteriores son válidas para cualquier interacción. Hay simetrías que se cumplen solo para interacciones fuertes y electromagnéticas; para interacciones débiles, estas simetrías se rompen. Tales simetrías incluyen, por ejemplo, simetría especular, operación de conjugación de carga, invariancia isotópica, etc., estas simetrías se denominan internas. Simetría especular (inversión del espacio, que consiste en cambiar coordenadas x, y, z sobre - x, -y, -z) significa que el reflejo en el espejo no cambia las leyes físicas. Reemplazar todas las partículas con antipartículas se llama operación de conjugación de carga; esta operación de simetría tampoco cambia los procesos de interacciones fuertes y electromagnéticas que ocurren en la naturaleza. La invariancia isotópica está asociada con la similitud de un protón y un neutrón (difieren solo en la presencia de una carga eléctrica en el protón, que no afecta los procesos nucleares).
En 1918 g. Amalie Emmy Noether demostró el teorema fundamental, según el cual la existencia de cualquier simetría específica - en el espacio-tiempo, grados de libertad de partículas elementales y campos físicos - conduce a la correspondiente ley de conservación, y este teorema también implica una estructura específica de la cantidad conservada. La ley de conservación de la energía se deriva de la invariancia con respecto a un desplazamiento en el tiempo; de la simetría con respecto a los desplazamientos espaciales, se sigue la ley de conservación de la cantidad de movimiento; de la invariancia con respecto a la rotación espacial, se sigue la ley de conservación del momento angular. Las leyes físicas no cambian bajo las transformaciones de Lorentz que conectan los valores de las coordenadas y el tiempo en diferentes marcos de referencia inerciales (el principio de relatividad). Del principio de relatividad se sigue la ley de conservación de la velocidad de movimiento del centro de masa de un sistema aislado.
La existencia de simetrías internas también está asociada con ciertas leyes de conservación. La simetría especular conduce a la conservación de un número cuántico especial: la paridad, que debe asignarse a cada partícula. La conservación de la paridad significa la invariancia de la naturaleza con respecto al reemplazo de la derecha por la izquierda y viceversa; como ya se señaló, la paridad espacial no se conserva en interacciones débiles. Una transformación compleja que invierte simultáneamente el espacio y reemplaza partículas con antipartículas se llama inversión combinada. La ley de conservación de paridad combinada se cumple para cualquier interacción. La invariancia isotópica conduce a la conservación del espín isotópico en interacciones fuertes (las interacciones débiles, por regla general, proceden con un cambio en el espín isotópico). Existen leyes de conservación de cargas eléctricas, bariónicas y leptónicas, que expresan la simetría especial de la función de onda, etc. Según los conceptos modernos, la carga eléctrica para todas las transformaciones de partículas elementales siempre debe conservarse. Es posible que las cargas de bariones y leptones no se conserven estrictamente, aunque aún no se han encontrado violaciones experimentales de la ley de conservación por estas cargas. El incumplimiento de una de las leyes de conservación significa la violación del tipo de simetría correspondiente en esta interacción.
Las leyes de conservación son una poderosa herramienta de investigación. A menudo sucede que la solución exacta de las ecuaciones de movimiento resulta muy complicada o se desconocen las fuerzas que actúan. Dado que las leyes de conservación no dependen de la naturaleza de las fuerzas que actúan, se pueden utilizar para obtener una serie de información importante sobre el comportamiento de los sistemas mecánicos incluso en los casos en que se desconocen las fuerzas. Con la ayuda de las leyes de conservación, se descubrieron varias partículas elementales. Entonces, para satisfacer las leyes de conservación de la energía y el momento angular en el proceso de desintegración β, W. Pauli sugirió (1932) la existencia de una partícula desconocida en ese momento.
