Diferencial x. Función diferencial. El significado geométrico del diferencial de una función

El diferencial de un argumento es su incremento. dx = ∆ X .

El diferencial de una función es el producto de la derivada y el incremento del argumento dy = F ′( X )∙∆ X o dy = F ′( X )∙ dx .

Comentario:

Comparación de un diferencial incremental.

Permitir ∆ yy ∆x son del mismo orden de pequeñez.

Dy y ∆x son del mismo orden de pequeñez, es decir, dy y ∆y son del mismo orden de pequeñez.

α ∙ ∆x es infinitesimal de un orden de pequeñez mayor que ∆x.

.El diferencial es la parte principal del incremento de la función. .

El diferencial de una función difiere del incremento de una función en un infinitesimal

de un orden superior al incremento del argumento.

El significado geométrico del diferencial de una función.

dy = f ′ (x) ∙ ∆x = tgφ ∙ ∆x = NT.

El diferencial es igual al incremento de la ordenada de la tangente.

Propiedades diferenciales.

El diferencial de la suma es igual a la suma de los diferenciales.

D ( tu + v) = du + dv.

Producto diferencial D ( tu v ) = du ∙ v + tu dv .

Diferencial de una función compleja.

y = f (u), u = φ (x), dy = y ′ X dx =

dy = F ′( tu ) du - invariancia de la forma del diferencial.

Diferenciales de orden superior.

dy = F ′(X)∙ dx, de aquí

Funciones hiperbólicas.

En muchas aplicaciones del análisis matemático, existen combinaciones de funciones exponenciales.

Definiciones

De las definiciones de funciones hiperbólicas, se siguen las siguientes relaciones:

ch 2 x - sh 2 x = 1, sh2x = 2shx ∙ chx, ch2x = ch 2 x + sh 2 x, sh (α ± β) = shαchβ ± chαshβ. Derivadas de funciones hiperbólicas.

Teorema de Rolle.

Si la función F ( X ) está definido y es continuo en el intervalo cerrado [ a , B ], tiene una derivada en todos los puntos internos de este intervalo y toma valores iguales en los extremos del intervalo, entonces dentro del intervalo hay al menos uno de esos puntosX = ξ tal que F ′(ξ) = 0.

Significado geométrico.

y

F(a) = F(B), k cas = 0.

ACBEn un arco suave [a, B] hay tal punto

F(a) F(B) C, donde la tangente es paralela a la cuerda.

a ξ B X

Teorema de Lagrange (1736-1813, Francia).

Si la función está definida y es continua en el intervalo cerrado [ a , B ] y tiene una derivada en todos los puntos interiores de este intervalo, entonces dentro de este intervalo hay al menos un punto x = ξ tal queF ( B ) – F ( a ) = F ′(ξ)∙( B – a ).

Significado geométrico del teorema de Lagrange.

Y Dibujamos un arco suave AB.

En un arco suave AB hay un punto C en el que la línea tangente es paralela a la cuerda AB.

Prueba. Considere la función F(X) = F(X) – λ X. Elegimos λ para que se satisfagan las condiciones del teorema de Rolle.

F (x) - está definido y es continuo en [ a, B], ya que la función F(X),.

F′(X) = F ′(X) – λ - existe,

Elijamos λ para que las condiciones F(a) = F(B), aquellos. F(a) – λ a = F(B) – λ B,

Según el teorema de Rolle, existe tal punto X = ξЄ( a, B), qué F′(ξ) = 0, es decir,

Funciones crecientes y decrecientes.

La función se llama creciente, si el valor mayor del argumento corresponde al valor mayor de la función.

Si la función diferenciable en el punto , entonces su incremento se puede representar como la suma de dos términos

... Estos términos son funciones infinitesimales para
. El primer término es lineal con respecto a
, el segundo es infinitamente pequeño de un orden superior al
.En realidad,

.

Por lo tanto, el segundo término para
tiende a cero más rápido y al encontrar el incremento de la función
el primer término juega el papel principal
o (desde
)
.

Definición . La parte principal de la función de incremento.
en el punto , lineal con respecto a
,llamado diferencial función en este punto y se denotadyodf(X)

. (2)

Así, podemos concluir: el diferencial de la variable independiente coincide con su incremento, es decir
.

La relación (2) ahora toma la forma

(3)

Comentario ... Por brevedad, la fórmula (3) a menudo se escribe como

(4)

El significado geométrico del diferencial

Considere la gráfica de la función diferenciable
... Puntos
y pertenecen a la función gráfica. En el punto METRO tangente dibujada PARA al gráfico de la función, cuyo ángulo con la dirección positiva del eje
denotamos por
... Dibujemos recto Minnesota paralelo al eje Buey y
paralelo al eje Oy... El incremento de la función es igual a la longitud del segmento
... De un triángulo rectángulo
, en el cual
, obtenemos

El razonamiento anterior nos permite concluir:

Función diferencial
en el punto se representa incrementando la ordenada de la tangente a la gráfica de esta función en su punto correspondiente
.

Relación diferencial con derivada

Considere la fórmula (4)

.

Dividimos ambos lados de esta igualdad por dx, luego

.

Por lo tanto, la derivada de una función es igual a la razón de su diferencial al diferencial de la variable independiente.

A menudo esta actitud se considera simplemente como un símbolo que denota la derivada de una función a por argumento NS.

La notación derivada conveniente también es:

,
etc.

También se utilizan registros

,
,

especialmente conveniente cuando se toma una derivada de una expresión compleja.

2. Diferencial de suma, producto y cociente.

Dado que el diferencial se obtiene de la derivada multiplicándolo por el diferencial de la variable independiente, entonces, conociendo las derivadas de funciones elementales básicas, así como las reglas para encontrar derivadas, se pueden llegar a reglas similares para encontrar diferenciales.

1 0 . La constante diferencial es cero

.

2 0 . El diferencial de la suma algebraica de un número finito de funciones diferenciables es igual a la suma algebraica de los diferenciales de estas funciones

3 0 . El diferencial del producto de dos funciones diferenciables es igual a la suma de los productos de la primera función por el diferencial de la segunda y la segunda funciones por el diferencial de la primera

.

Consecuencia. Se puede sacar un multiplicador constante del signo diferencial

.

Ejemplo... Encuentra el diferencial de la función.

Solución: escribamos esta función como

,

entonces tenemos

.

4. Funciones dadas paramétricamente, su diferenciación.

Definición . Función
se llama paramétricamente dado si ambas variables NS y a cada uno se define por separado como funciones de un solo valor de la misma variable auxiliar - el parámetrot:

dóndetvaría dentro de
.

Comentario ... La configuración paramétrica de funciones se usa ampliamente en mecánica teórica, donde el parámetro t denota tiempo, y las ecuaciones
representar las leyes del cambio en las proyecciones de un punto en movimiento
en el eje
y
.

Comentario ... Presentemos las ecuaciones paramétricas de un círculo y una elipse.

a) Un círculo con un centro en el origen y un radio r tiene ecuaciones paramétricas:

dónde
.

b) Escribamos las ecuaciones paramétricas de la elipse:

dónde
.

Al excluir el parámetro t a partir de las ecuaciones paramétricas de las líneas consideradas, se puede llegar a sus ecuaciones canónicas.

Teorema ... Si la función y del argumento x viene dado paramétricamente por las ecuaciones
, dónde
y
diferenciable portfunciones y
, luego

.

Ejemplo... Encuentra la derivada de una función a de NS dado por ecuaciones paramétricas.

Solución.
.

Solicitud

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Todas las ecuaciones diferenciales se pueden dividir en ordinarias (ODE), que incluyen solo funciones (y sus derivadas) de un argumento, y ecuaciones diferenciales parciales (PDE), en las que las funciones entrantes dependen de muchas variables. Ecuaciones diferenciales en línea. También existen ecuaciones diferenciales estocásticas (SDE) que incluyen procesos estocásticos. Solución paso a paso de ecuaciones diferenciales en línea. Dependiendo de las combinaciones de derivadas, funciones, variables independientes, las ecuaciones diferenciales se dividen en lineales y no lineales, con coeficientes constantes o variables, homogéneas o no homogéneas. En relación con la importancia de las aplicaciones, las ecuaciones diferenciales parciales cuasilineales (lineales con respecto a las derivadas más altas) se separan en una clase separada. Las soluciones de ecuaciones diferenciales se subdividen en soluciones generales y particulares. Ecuaciones diferenciales en línea. Las soluciones generales incluyen constantes indefinidas y, para ecuaciones diferenciales parciales, funciones arbitrarias de variables independientes, que pueden refinarse a partir de condiciones de integración adicionales (condiciones iniciales para ecuaciones diferenciales ordinarias, condiciones iniciales y de contorno para ecuaciones diferenciales parciales). Solución paso a paso de ecuaciones diferenciales en línea. Después de determinar la forma de las funciones constantes e indefinidas indicadas, las soluciones se vuelven privadas. La búsqueda de soluciones para ecuaciones diferenciales ordinarias condujo al establecimiento de una clase de funciones especiales, funciones que se encuentran a menudo en aplicaciones que no se expresan en términos de funciones elementales conocidas. Ecuaciones diferenciales en línea. Se estudiaron en detalle sus propiedades, se compilaron tablas de valores, se determinaron relaciones mutuas, etc. ... Se puede investigar el conjunto de números enumerados. La mejor respuesta a la tarea. Cómo encontrar en la primera aproximación el vector de salida a la región de convergencia sobre Ecuaciones diferenciales sin averiguar el límite superior encontrado. La elección es obvia para aumentar las funciones matemáticas. Existe un método progresivo por encima del nivel de investigación. Alinear la solución del diferencial de acuerdo con la condición inicial del problema ayudará a encontrar un valor seleccionado inequívoco. Puede ser que pueda identificar inmediatamente lo desconocido. Como en el ejemplo anterior para indicar una solución para un problema matemático, las ecuaciones diferenciales lineales son la respuesta a un problema específico en un período de tiempo específico. El mantenimiento del procedimiento de investigación no está definido localmente. Será para que se encuentre un ejemplo para cada alumno y la solución de las ecuaciones diferenciales determinará el ejecutante asignado a partir de al menos dos valores. Tome la función del valor total en un segmento determinado y advierta en qué eje habrá un espacio. Habiendo estudiado las ecuaciones diferenciales en línea, es posible mostrar sin ambigüedades cuán importante es el resultado, si se proporciona a partir de las condiciones iniciales. Es imposible eliminar la región de la definición de función, ya que no existe una definición para la tarea a nivel local. Encontrada a partir de un sistema de ecuaciones, la respuesta contiene una variable que se puede calcular en sentido general, pero naturalmente será posible resolver la ecuación diferencial en línea sin esta acción definiendo dicha condición. Junto al intervalo del segmento, puede ver cómo la resolución de ecuaciones diferenciales en línea puede mover el resultado de la investigación en una dirección positiva en el momento del recorte de conocimientos del estudiante. Lo mejor no siempre es el resultado de un enfoque comercial común y aceptado. En el nivel de aumento de 2x, puede ver todas las ecuaciones diferenciales lineales necesarias en representación natural, pero la capacidad de calcular el valor numérico conducirá a un mejor conocimiento. Para cualquier metodología en matemáticas, existen ecuaciones diferenciales que se presentan en expresiones inherentemente diferentes, como homogéneas o complejas. Luego de realizar un análisis general del estudio de la función, quedará claro que la solución del diferencial como conjunto de posibilidades es un claro error en los valores. La verdad en él radica en el espacio sobre las líneas de abscisas. En algún lugar del dominio de una función compleja, en algún punto de su definición, las ecuaciones diferenciales lineales podrán presentar la respuesta en forma analítica. es decir, en términos generales como esencia. Nada cambiará cuando se reemplace la variable. Sin embargo, debe mirar la respuesta con especial interés. De hecho, la calculadora cambia la razón al final, es decir, cómo se indica la solución de ecuaciones diferenciales en proporción al valor global dentro de los límites de la solución buscada. En algunos casos, es inevitable una advertencia sobre un error masivo. Las ecuaciones diferenciales en línea implementan una idea general del problema, pero al final es necesario prever los aspectos positivos del producto cruzado lo antes posible. En matemáticas, no es raro que haya casos de error en la teoría de números. Definitivamente será necesaria la verificación. Naturalmente, es mejor ceder este derecho a los profesionales en su campo y son ellos quienes ayudarán a resolver la ecuación diferencial en línea, ya que su experiencia es colosal y positiva. La diferencia en las superficies de las figuras y el área es tal que no resolver las ecuaciones diferenciales en línea le permitirá ver, pero el conjunto de objetos que no se cruzan es tal que la línea es paralela al eje. Como resultado, puede obtener el doble de valores. No explícitamente, nuestra idea de la corrección de la notación formal proporciona ecuaciones diferenciales lineales tanto en el área de visualización como en relación con la sobreestimación deliberada de la calidad del resultado. Varias veces se publica en la revisión una discusión sobre un tema que es de interés para todos los estudiantes. A lo largo del estudio del curso completo de conferencias, centraremos nuestra atención en las ecuaciones diferenciales y áreas relacionadas de estudio de la ciencia, si esto no contradice la verdad. Se pueden evitar muchas etapas al comienzo del viaje. Si la solución al diferencial sigue siendo fundamentalmente algo nuevo para los estudiantes, entonces lo antiguo no se olvida en absoluto, sino que avanza hacia el futuro con una alta tasa de desarrollo. Inicialmente, las condiciones para el problema en matemáticas divergen, pero esto se indica en el párrafo de la derecha. Una vez transcurrido el tiempo establecido por definición, no se excluye la posibilidad de un resultado dependiente proporcional en diferentes planos de movimiento vectorial. Se corrige un caso tan simple, así como las ecuaciones diferenciales lineales se describen en una calculadora en forma general, por lo que será más rápido y los cálculos de compensación no conducirán a una opinión errónea. Solo cinco casos nombrados según la teoría pueden traspasar los límites de lo que está sucediendo. Nuestra solución de ecuaciones diferenciales ayudará a calcular manualmente el valor en números ya en las primeras etapas de la descomposición del espacio funcional. En los lugares correctos, es necesario representar el punto de contacto de las cuatro líneas en un significado general. Pero si tiene que suplantar la tarea, será fácil equiparar la complejidad. Los datos iniciales son suficientes para diseñar el tramo adyacente y las ecuaciones diferenciales en línea se ven alineadas a la izquierda y la superficie unilateral se dirige hacia el rotor vectorial. Por encima del límite superior, son posibles valores numéricos que superen la condición indicada. Es posible tener en cuenta la fórmula matemática y resolver la ecuación diferencial en línea a expensas de tres incógnitas en el valor total de la proporción. El método de cálculo local es válido. El sistema de coordenadas es rectangular en el movimiento relativo del plano. La solución general de ecuaciones diferenciales en línea nos permite sacar una conclusión inequívoca a favor del barrido calculado a través de las definiciones de la matriz en toda la línea recta ubicada sobre el gráfico de una función dada explícitamente. La solución es visible de principio a fin si aplica un vector de movimiento al punto de contacto de los tres hemisferios. Un cilindro se obtiene al girar un rectángulo alrededor de un lado y las ecuaciones diferenciales lineales podrán mostrar la dirección del movimiento de un punto de acuerdo con las expresiones dadas de su ley de movimiento. Los datos iniciales son correctos y el problema en matemáticas es intercambiable bajo una simple condición. Sin embargo, debido a las circunstancias, en vista de la complejidad del subproblema formulado, las ecuaciones diferenciales simplifican el proceso de cálculo de espacios numéricos a nivel de espacio tridimensional. Es fácil demostrar lo contrario, pero es posible evitarlo, como en el ejemplo anterior. En matemáticas superiores, se proporcionan los siguientes puntos: cuando un problema se reduce a una forma simplificada, se debe extender el mayor esfuerzo posible por parte de los estudiantes. Se resaltan las líneas superpuestas entre sí. La solución diferencial Pro aún renueva la ventaja de dicho método en una línea curva. Si reconoce al principio algo incorrecto, entonces la fórmula matemática constituirá el nuevo significado de la expresión. El objetivo es el enfoque óptimo para la resolución de las tareas planteadas por el profesor. No asuma que las ecuaciones diferenciales lineales en una forma simplificada excederán el resultado esperado. Colocaremos tres vectores en la superficie terminada. ortogonales entre sí. Calculemos el producto. Agreguemos más símbolos y escribamos todas las variables de la función a partir de la expresión resultante. Hay una proporción. Varias acciones que preceden al final del cálculo, no se dará una respuesta inequívoca a la solución de ecuaciones diferenciales inmediatamente, sino solo después de que haya expirado el tiempo asignado en el eje de ordenadas. A la izquierda del punto de discontinuidad, dado implícitamente a partir de la función, dibuje un eje ortogonal al mejor vector creciente y coloque las ecuaciones diferenciales en línea a lo largo del valor de límite más pequeño del límite inferior del objeto matemático. Adjuntamos el argumento adicional en la función gap. A la derecha de los puntos donde se ubica la línea curva, resolver la ecuación diferencial en línea ayudará a las fórmulas de reducción que hemos escrito al denominador común. Adoptaremos el único enfoque correcto que arrojará luz sobre los problemas no resueltos de la teoría a la práctica, en el caso general, sin ambigüedades. Las líneas en la dirección de las coordenadas de los puntos dados nunca han cerrado la posición extrema del cuadrado, sin embargo, resolver ecuaciones diferenciales en línea ayudará en el estudio de las matemáticas tanto para los estudiantes como para nosotros, y solo para los principiantes en este campo. . Estamos hablando de la posibilidad de sustituir el argumento de valor en todos los valores que son significativos debajo de las líneas de un campo. En principio, como era de esperar, nuestras ecuaciones diferenciales lineales son algo aislado en un solo concepto del significado dado. Para ayudar a los estudiantes, una de las mejores calculadoras entre servicios similares. Completa todos los cursos y elige el mejor para ti.

=

Definición del diferencial

Considere la función \ (y = f \ left (x \ right), \) que es continua en el intervalo \ (\ left [(a, b) \ right]. \) Suponga que en algún punto \ ((x_0) \ in \ left [(a, b) \ right] \) la variable independiente se incrementa \ (\ Delta x. \) La función incrementa \ (\ Delta y, \) correspondiente a tal cambio en el argumento \ (\ Delta x, \) se expresa mediante la fórmula \ [\ Delta y = \ Delta f \ left (((x_0)) \ right) = f \ left (((x_0) + \ Delta x) \ right) - f \ left (((x_0)) \ right). \] Para cualquier función diferenciable, el incremento \ (\ Delta y \) se puede representar como una suma de dos términos: \ [\ Delta y = A \ Delta x + \ omicron \ left ((\ Delta x) \ right), \] donde el primer término (el llamado parte principal incremento) depende linealmente del incremento \ (\ Delta x, \) y el segundo término tiene un orden superior de pequeñez en relación con \ (\ Delta x. \) La expresión \ (A \ Delta x \) se llama función diferencial y denotado por \ (dy \) o \ (df \ left (((x_0)) \ right). \)

Consideremos esta idea de dividir la función incremento \ (\ Delta y \) en dos partes con un ejemplo simple. Sea un cuadrado con un lado \ ((x_0) = 1 \, \ text (m) \, \) (figura \ (1 \)). Su área es obviamente \ [(S_0) = x_0 ^ 2 = 1 \, \ text (m) ^ 2. \] Si el lado del cuadrado aumenta en \ (\ Delta x = 1 \, \ text (cm) , \) entonces el valor exacto del área del cuadrado ampliado será \ i.e. el incremento de área \ (\ Delta S \) es \ [(\ Delta S = S - (S_0) = 1.0201 - 1 = 0.0201 \, \ text (m) ^ 2) = (201 \, \ text (cm) ^ 2.) \] Ahora representamos este incremento \ (\ Delta S \) de la siguiente manera: \ [\ require (cancelar) (\ Delta S = S - (S_0) = (\ left (((x_0) + \ Delta x ) \ right) ^ 2) - x_0 ^ 2) = (\ cancel (x_0 ^ 2) + 2 (x_0) \ Delta x + (\ left ((\ Delta x) \ right) ^ 2) - \ cancel (x_0 ^ 2)) = (2 (x_0) \ Delta x + (\ left ((\ Delta x) \ right) ^ 2)) = (A \ Delta x + \ omicron \ left ((\ Delta x) \ right) ) = (dy + o \ left ((\ Delta x) \ right).) \] Entonces, el incremento de la función \ (\ Delta S \) consiste en la parte principal (el diferencial de la función), que es proporcional a \ (\ Delta x \) y es igual a \ y un término de orden superior de pequeñez, a su vez, igual a \ [\ omicron \ left ((\ Delta x) \ right) = (\ left ((\ Delta x) \ right) ^ 2) = (0.01 ^ 2) = 0.0001 \, \ text (m) ^ 2 = 1 \, \ text (cm) ^ 2. \] Juntos, ambos términos forman el total incremento de área cuadrada igual a \ (200 + 1 = 201 \, \ text (cm) ^ 2. \)

Note que en este ejemplo el coeficiente \ (A \) es igual al valor de la derivada de la función \ (S \) en el punto \ ((x_0): \) \ Resulta que para cualquier función diferenciable lo siguiente sostiene: teorema :

El coeficiente \ (A \) de la parte principal del incremento de la función en el punto \ ((x_0) \) es igual al valor de la derivada \ (f "\ left (((x_0)) \ right) \) en este punto, es decir, el incremento \ (\ Delta y \) se expresa mediante la fórmula \ [(\ Delta y = A \ Delta x + \ omicron \ left ((\ Delta x) \ right)) = (f "\ left (((x_0)) \ right) \ Delta x + \ omicron \ left ((\ Delta x) \ right).) \] Dividiendo ambos lados de esta igualdad entre \ (\ Delta x \ ne 0 , \) obtenemos \ [(\ frac ((\ Delta y)) ((\ Delta x)) = A + \ frac ((\ omicron \ left ((\ Delta x) \ right))) ((\ Delta x))) = (f "\ left (((x_0)) \ right) + \ frac ((\ omicron \ left ((\ Delta x) \ right))) ((\ Delta x)).) \] En el límite como \ (\ Delta x \ to 0 \), obtenemos el valor de la derivada en el punto \ ((x_0): \) \ [(y "\ left (((x_0)) \ right) = \ lim \ limits _ (\ Delta x \ to 0) \ frac ((\ Delta y)) ((\ Delta x))) = (A = f "\ left (((x_0)) \ right).) \ ] Aquí tomamos en cuenta que para un valor pequeño \ (\ omicron \ left ((\ Delta x) \ right) \) de un orden de pequeñez mayor que \ (\ Delta x, \) el límite es \ [\ lim \ límites _ (\ Delta x \ a 0) \ frac ((\ omicron \ left ((\ Delta x) \ right))) ((\ Delta x)) = 0. \] Si asumimos que diferencial de la variable independiente \ (dx \) es igual a su incremento \ (\ Delta x: \) \ entonces de la relación \ se sigue que \ es decir la derivada de una función se puede representar como la razón de dos diferenciales.

El significado geométrico del diferencial de una función

La figura \ (2 \) muestra esquemáticamente el desglose del incremento de la función \ (\ Delta y \) en la parte principal \ (A \ Delta x \) (el diferencial de la función) y un término de orden superior de pequeñez \ (\ omicron \ left ((\ Delta x) \ right) \).

Se sabe que la tangente \ (MN \), dibujada a la curva de la función \ (y = f \ left (x \ right) \) en el punto \ (M \), tiene un ángulo de inclinación \ (\ alpha \), cuya tangente es igual a la derivada: \ [\ tan \ alpha = f "\ left (((x_0)) \ right). \] Cuando el argumento se cambia a \ (\ Delta x \), la tangente se incrementa \ (A \ Delta x. \) Este es un incremento lineal formado por la recta tangente es precisamente el diferencial de la función El resto del incremento total \ (\ Delta y \) (segmento \ (N ( M_1) \)) corresponde a una adición "no lineal" con un orden superior de pequeñez con respecto a \ (\ Delta x \).

Propiedades diferenciales

Sean \ (u \) y \ (v \) funciones de la variable \ (x \). El diferencial tiene las siguientes propiedades:

1. El coeficiente constante se puede tomar fuera del signo diferencial:

   \ (d \ left ((Cu) \ right) = Cdu \), donde \ (C \) es un número constante.

2. Diferencial de la suma (diferencia) de funciones:

   \ (d \ left ((u \ pm v) \ right) = du \ pm dv. \)

3. El diferencial de un valor constante es igual a cero:

   \ (d \ left (C \ right) = 0. \)

4. El diferencial de la variable independiente \ (x \) es igual a su incremento:

   \ (dx = \ Delta x. \)

5. El diferencial de una función lineal es igual a su incremento:

   \ (d \ left ((ax + b) \ right) = \ Delta \ left ((ax + b) \ right) = a \ Delta x. \)

6. El diferencial del producto de dos funciones:

   \ (d \ left ((uv) \ right) = du \ cdot v + u \ cdot dv. \)

7. El cociente diferencial de dos funciones:

   \ (d \ left ((\ large \ frac (u) (v) \ normalsize) \ right) = \ large \ frac ((du \ cdot v - u \ cdot dv)) (((v ^ 2))) \ talla normal. \)

8. El diferencial de una función es igual al producto de la derivada y el diferencial del argumento:

   \ (dy = df \ left (x \ right) = f "\ left (x \ right) dx. \)

Como puede ver, el diferencial de la función \ (dy \) difiere de la derivada solo por el factor \ (dx \). Por ejemplo, \ [(d \ left (((x ^ n)) \ right) = n (x ^ (n - 1)) dx,) \; \; (d \ izquierda ((\ ln x) \ derecha) = \ frac ((dx)) (x),) \; \; (d \ left ((\ sin x) \ right) = \ cos x dx) \] y así sucesivamente.

Invarianza de forma de la diferencial

Considere la composición de dos funciones \ (y = f \ left (u \ right) \) y \ (u = g \ left (x \ right), \) es decir función compleja \ (y = f \ left ((g \ left (x \ right)) \ right). \) Su derivada está definida por la expresión \ [(y "_x) = (y" _u) \ cdot (u "_x), \] donde el subíndice denota la variable con respecto a la cual se hace la diferenciación.

El diferencial de la función "externa" \ (y = f \ left (u \ right) \) se escribe como \ El diferencial de la función "interna" \ (u = g \ left (x \ right) \) puede ser representado de manera similar: \ Si sustituye \ (du \) en la fórmula anterior, obtenemos \ Since \ ((y "_x) = (y" _u) \ cdot (u "_x), \) entonces \ It Se puede ver que en el caso de una función compleja obtenemos la misma expresión de forma para el diferencial de una función, como en el caso de una función "simple". Esta propiedad se llama la invariancia de la forma del diferencial .