Si colocamos un solo círculo numérico en el plano de coordenadas, entonces para sus puntos es posible encontrar coordenadas. El círculo numérico se coloca de modo que su centro coincida con el origen del plano, es decir, el punto O (0; 0).
Por lo general, en un círculo de número de unidad, los puntos se marcan correspondientes al origen en el círculo
- cuartos - 0 o 2π, π/2, π, (2π)/3,
- cuartos medios - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
- terceros cuartos - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.
En el plano de coordenadas, con la disposición anterior del círculo unitario, se pueden encontrar las coordenadas correspondientes a estos puntos del círculo.
Es muy fácil encontrar las coordenadas de los extremos de los cuartos. En el punto 0 del círculo, la coordenada x es 1 y y es 0. Podemos escribir A (0) = A (1; 0).
El final del primer trimestre se ubicará en el eje y positivo. Por tanto, B (π/2) = B (0; 1).
El final del segundo cuarto está en la abscisa negativa: C (π) = C (-1; 0).
Final del tercer cuarto: D ((2π)/3) = D (0; -1).
Pero, ¿cómo encontrar las coordenadas de los puntos medios de los cuartos? Para hacer esto, construye un triángulo rectángulo. Su hipotenusa es un segmento desde el centro del círculo (o el origen) hasta el punto medio del cuarto de círculo. Este es el radio del círculo. Como el círculo es unidad, la hipotenusa es igual a 1. Luego, se dibuja una perpendicular desde un punto del círculo a cualquier eje. Que sea en el eje x. Resulta un triángulo rectángulo, cuyas longitudes de los catetos son las coordenadas x e y del punto del círculo.
Un cuarto de círculo son 90º. Y medio cuarto son 45º. Como la hipotenusa está dibujada en el punto medio del cuarto, el ángulo entre la hipotenusa y el cateto que sale del origen es de 45º. Pero la suma de los ángulos de cualquier triángulo es 180º. Por tanto, el ángulo entre la hipotenusa y el otro cateto también sigue siendo de 45º. Resulta un triángulo rectángulo isósceles.
Del teorema de Pitágoras obtenemos la ecuación x 2 + y 2 = 1 2 . Como x = y y 1 2 = 1, la ecuación se simplifica a x 2 + x 2 = 1. Resolviéndola, obtenemos x = √1 = 1/√2 = √2/2.
Así, las coordenadas del punto M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).
En las coordenadas de los puntos de los puntos medios de otros cuartos, solo cambiarán los signos, y los módulos de valores seguirán siendo los mismos, ya que el triángulo rectángulo solo girará. Obtenemos:
METRO 2 ((3π)/4) = METRO 2 (-√2/2; √2/2)
METRO 3 ((5π)/4) = METRO 3 (-√2/2; -√2/2)
METRO 4 ((7π)/4) = METRO 4 (√2/2; -√2/2)
Al determinar las coordenadas de las terceras partes de los cuartos del círculo, también se construye un triángulo rectángulo. Si tomamos el punto π/6 y trazamos una perpendicular al eje x, entonces el ángulo entre la hipotenusa y el cateto que descansa sobre el eje x será de 30º. Se sabe que el cateto opuesto a un ángulo de 30º es igual a la mitad de la hipotenusa. Así que hemos encontrado la coordenada y, es igual a ½.
Conociendo las longitudes de la hipotenusa y uno de los catetos, por el teorema de Pitágoras encontramos el otro cateto:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 \u003d 1 - ¼ \u003d ¾
X = √3/2
Así T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).
Para el punto del segundo tercio del primer cuarto (π / 3), es mejor dibujar una perpendicular al eje al eje y. Entonces el ángulo en el origen también será de 30º. Aquí, la coordenada x ya será igual a ½, y y, respectivamente, √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).
Para otros puntos del tercer cuarto, los signos y el orden de los valores de las coordenadas cambiarán. Todos los puntos que están más cerca del eje x tendrán un valor de módulo de la coordenada x igual a √3/2. Aquellos puntos que estén más cerca del eje y tendrán un valor de módulo y igual a √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)
Disfrutar avance presentaciones crear una cuenta ( cuenta) Google e inicie sesión: https://accounts.google.com
Subtítulos de las diapositivas:
Número de círculo en el plano de coordenadas
Repitamos: El círculo unitario es un círculo numérico, cuyo radio es igual a 1. R=1 C=2 π + - y x
Si el punto M del círculo numérico corresponde al número t, entonces también corresponde al número de la forma t+2 π k , donde k es cualquier número entero (k ϵ Z) . M(t) = M(t+2 π k), donde k ϵ Z
Diseños básicos Primer diseño 0 π y x Segundo diseño y x
x y 1 A(1, 0) B (0, 1) C (- 1, 0) D (0, -1) 0 x>0 y>0 x 0 x 0 y
Encuentre las coordenadas del punto M correspondiente al punto. 1) 2) x y MP 45° O A
Coordenadas de los puntos principales del primer trazado 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 D y x
M P x y O A Encuentra las coordenadas del punto M correspondiente al punto. 1) 2) 30°
M P Encuentra las coordenadas del punto M correspondiente al punto. 1) 2) 30° x y O A B
Usando la propiedad de simetría, encontramos las coordenadas de puntos que son múltiplos de y x
Coordenadas de los puntos principales del segundo trazado x y x y y x
Ejemplo Encuentra las coordenadas de un punto en un círculo numérico. Solución: P y x
Ejemplo Encontrar puntos con ordenada en un círculo numérico Solución: y x x y x y
Ejercicios: Hallar las coordenadas de los puntos de la circunferencia numérica: a) , b) . Encuentra puntos con una abscisa en el círculo numérico.
Coordenadas de puntos clave 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 Coordenadas de puntos clave del primer diseño x y x y Coordenadas de puntos clave del segundo diseño
Sobre el tema: desarrollos metodológicos, presentaciones y notas
Material didáctico sobre álgebra y los inicios del análisis en el grado 10 (nivel de perfil) "Círculo de números en el plano de coordenadas"
Opción 1.1 Encuentra un punto en el círculo numérico: A) -2∏ / 3B) 72. ¿A qué cuarto del círculo numérico pertenece el punto 16.3 Encuentra cuál...
Círculo de números es un círculo unitario cuyos puntos corresponden a ciertos números reales.
Un círculo unitario es un círculo de radio 1.
Vista general del círculo numérico.
1) Su radio se toma como unidad de medida.
2) Los diámetros horizontal y vertical dividen el círculo numérico en cuatro cuartos (ver figura). Se denominan respectivamente el primer, segundo, tercer y cuarto trimestre.
3) El diámetro horizontal se designa AC, siendo A el punto más a la derecha.
El diámetro vertical se designa como BD, siendo B el punto más alto.
Respectivamente:
el primer cuarto es el arco AB
segundo cuarto - arco BC
tercer cuarto - arco CD
cuarto trimestre - arco DA
4) El punto de partida del círculo numérico es el punto A.
El círculo numérico se puede contar en sentido horario o antihorario.
Contar desde el punto A en sentido antihorario se llama dirección positiva.
Contar desde el punto A en el sentido de las agujas del reloj se llama dirección negativa.
Número de círculo en el plano de coordenadas.
El centro del radio del círculo numérico corresponde al origen (número 0).
El diámetro horizontal corresponde al eje. X, verticales - ejes y.
El punto inicial A del círculo numérico está en el eje X y tiene coordenadas (1; 0).
ValoresX yy en cuartos de un círculo numérico:
Los principales valores del círculo numérico:
Nombres y ubicaciones de los puntos principales del círculo numérico:
Cómo recordar los nombres del círculo numérico.
Hay algunos patrones simples que te ayudarán a recordar fácilmente los nombres básicos del círculo numérico.
Antes de empezar, recordamos: la cuenta atrás es en sentido positivo, es decir, desde el punto A (2π) en sentido antihorario.
1) Empecemos con puntos extremos en los ejes de coordenadas.
El punto de partida es 2π (el punto más a la derecha en el eje X igual a 1).
Como sabes, 2π es la circunferencia de un círculo. Así que la mitad del círculo es 1π o π. Eje X divide el círculo por la mitad. En consecuencia, el punto más a la izquierda en el eje X igual a -1 se llama π.
Punto más alto en el eje en, igual a 1, biseca el semicírculo superior. Entonces, si el semicírculo es π, entonces la mitad del semicírculo es π/2.
Al mismo tiempo, π/2 también es un cuarto de círculo. Contamos tres de esos cuartos desde el primero hasta el tercero, y llegaremos al punto más bajo del eje. en igual a -1. Pero si incluye tres cuartos, entonces su nombre es 3π/2.
2) Ahora pasemos al resto de los puntos. Tenga en cuenta: todos los puntos opuestos tienen el mismo numerador; además, estos son puntos opuestos y relativos al eje en, y con respecto al centro de los ejes, y con respecto al eje X. Esto nos ayudará a conocer sus valores en puntos sin abarrotarnos.
Es necesario recordar solo el valor de los puntos del primer cuarto: π / 6, π / 4 y π / 3. Y luego vamos a “ver” algunos patrones:
- Sobre el eje y en los puntos del segundo cuarto, opuestos a los puntos del primer cuarto, los números en los numeradores son 1 menos que los denominadores. Por ejemplo, toma el punto π/6. El punto opuesto sobre el eje en también tiene 6 en el denominador, y 5 en el numerador (1 menos). Es decir, el nombre de este punto: 5π/6. El punto opuesto a π/4 también tiene 4 en el denominador y 3 en el numerador (1 menos que 4), es decir, este es el punto 3π/4.
El punto opuesto a π/3 también tiene 3 en el denominador y 1 menos en el numerador: 2π/3.
- Relativo al centro de los ejes de coordenadas lo contrario es cierto: los números en los numeradores de puntos opuestos (en el tercer cuarto) por 1 mas valor denominadores. Toma el punto π/6 nuevamente. El punto opuesto a él en relación con el centro también tiene 6 en el denominador, y en el numerador el número es 1 más, es decir, es 7π / 6.
El punto opuesto al punto π/4 también tiene 4 en el denominador, y el número en el numerador es 1 más: 5π/4.
El punto opuesto al punto π/3 también tiene 3 en el denominador, y el número en el numerador es 1 más: 4π/3.
- relativo al eje X(cuarto trimestre) el asunto es más difícil. Aquí es necesario agregar al valor del denominador un número que sea menor que 1; esta suma será igual a la parte numérica del numerador del punto opuesto. Empecemos de nuevo con π/6. Agreguemos al valor del denominador, igual a 6, un número que es 1 menos que este número, es decir, 5. Obtenemos: 6 + 5 = 11. Por lo tanto, opuesto a él con respecto al eje X el punto tendrá 6 en el denominador y 11 en el numerador, es decir, 11π/6.
Punto π/4. Añadimos al valor del denominador un número 1 menos: 4 + 3 = 7. Por lo tanto, opuesto a él con respecto al eje X el punto tiene 4 en el denominador y 7 en el numerador, es decir, 7π/4.
Punto π/3. El denominador es 3. A 3 le sumamos un número menos, es decir, 2. Obtenemos 5. Por lo tanto, el punto opuesto tiene 5 en el numerador, y este es el punto 5π / 3.
3) Otra regularidad para los puntos medios de los cuartos. Está claro que su denominador es 4. Prestemos atención a los numeradores. El numerador de la mitad del primer cuarto es 1π (pero no se acostumbra escribir 1). El numerador de la mitad del segundo cuarto es 3π. El numerador de la mitad del tercer cuarto es 5π. El numerador de la mitad del cuarto cuarto es 7π. Resulta que en los numeradores de los puntos medios de los cuartos están los primeros cuatro números impares en orden ascendente:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
También es muy simple. Como los puntos medios de todos los cuartos tienen 4 en el denominador, ya los conocemos nombres completos: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.
Características del círculo numérico. Comparación con una recta numérica.
Como sabes, en la recta numérica, cada punto corresponde a singular. Por ejemplo, si el punto A en una línea recta es igual a 3, entonces no puede ser igual a ningún otro número.
Es diferente en el círculo numérico porque es un círculo. Por ejemplo, para llegar del punto A del círculo al punto M, puedes hacerlo como en línea recta (solo después de pasar el arco), o puedes dar la vuelta a todo el círculo y luego llegar al punto M. Conclusión:
Sea el punto M igual a algún número t. Como sabemos, la circunferencia de un círculo es 2π. Por lo tanto, podemos escribir el punto del círculo t de dos maneras: t o t + 2π. Estos son valores equivalentes.
Es decir, t = t + 2π. La única diferencia es que en el primer caso llegaste al punto M inmediatamente sin hacer un círculo, y en el segundo caso hiciste un círculo, pero terminaste en el mismo punto M. Puedes hacer dos, tres y doscientos de esos círculos. . Si denotamos el número de círculos por la letra k, obtenemos una nueva expresión:
t = t + 2π k.
De ahí la fórmula:
Ecuación del círculo numérico
(la segunda ecuación está en la sección “Seno, coseno, tangente, cotangente”):
x2 + y2 = 1 |
Círculo de números es un círculo unitario cuyos puntos corresponden a ciertos números reales.
Un círculo unitario es un círculo de radio 1.
Vista general del círculo numérico.
1) Su radio se toma como unidad de medida.
2) Los diámetros horizontal y vertical dividen el círculo numérico en cuatro cuartos. Se denominan respectivamente el primer, segundo, tercer y cuarto trimestre.
3) El diámetro horizontal se designa AC, siendo A el extremo derecho punto.
El diámetro vertical se designa como BD, siendo B el punto más alto.
Respectivamente:
el primer cuarto es el arco AB
segundo cuarto - arco BC
tercer cuarto - arco CD
cuarto trimestre - arco DA
4) El punto de partida del círculo numérico es el punto A.
El círculo numérico se puede contar en sentido horario o antihorario.
Contando desde el punto A contra en el sentido de las agujas del reloj se llama dirección positiva.
Contando desde el punto A sobre en el sentido de las agujas del reloj se llama dirección negativa.
Número de círculo en el plano de coordenadas.
El centro del radio del círculo numérico corresponde al origen (número 0).
El diámetro horizontal corresponde al eje. X, verticales - ejes y.
Punto de partida Un círculo numéricoti está en el ejeXy tiene coordenadas (1; 0).
Nombres y ubicaciones de los puntos principales del círculo numérico:
Cómo recordar los nombres del círculo numérico.
Hay algunos patrones simples que te ayudarán a recordar fácilmente los nombres básicos del círculo numérico.
Antes de empezar, recordamos: la cuenta atrás es en sentido positivo, es decir, desde el punto A (2π) en sentido contrario a las agujas del reloj.
1) Empecemos por los puntos extremos de los ejes de coordenadas.
El punto de partida es 2π (el punto más a la derecha en el eje X igual a 1).
Como sabes, 2π es la circunferencia de un círculo. Así que la mitad del círculo es 1π o π. Eje X divide el círculo por la mitad. En consecuencia, el punto más a la izquierda en el eje X igual a -1 se llama π.
Punto más alto en el eje en, igual a 1, biseca el semicírculo superior. Entonces, si el semicírculo es π, entonces la mitad del semicírculo es π/2.
Al mismo tiempo, π/2 también es un cuarto de círculo. Contamos tres de esos cuartos desde el primero hasta el tercero, y llegaremos al punto más bajo del eje. en igual a -1. Pero si incluye tres cuartos, entonces su nombre es 3π/2.
2) Ahora pasemos al resto de los puntos. Tenga en cuenta: todos los puntos opuestos tienen el mismo denominador; además, estos son puntos opuestos y relativos al eje en, y con respecto al centro de los ejes, y con respecto al eje X. Esto nos ayudará a conocer sus valores en puntos sin abarrotarnos.
Es necesario recordar solo el valor de los puntos del primer cuarto: π / 6, π / 4 y π / 3. Y luego vamos a “ver” algunos patrones:
- relativo al eje en
en los puntos del segundo cuarto, opuestos a los puntos del primer cuarto, los números en los numeradores son 1 menos que los denominadores. Por ejemplo, toma el punto π/6. El punto opuesto sobre el eje en también tiene 6 en el denominador, y 5 en el numerador (1 menos). Es decir, el nombre de este punto: 5π/6. El punto opuesto a π/4 también tiene 4 en el denominador y 3 en el numerador (1 menos que 4), es decir, este es el punto 3π/4.
El punto opuesto a π/3 también tiene 3 en el denominador y 1 menos en el numerador: 2π/3.
- Relativo al centro de los ejes de coordenadas lo contrario es cierto: los números en los numeradores de los puntos opuestos (en el tercer cuarto) son 1 más que los valores de los denominadores. Toma el punto π/6 nuevamente. El punto opuesto a él en relación con el centro también tiene 6 en el denominador, y en el numerador el número es 1 más, es decir, es 7π / 6.
El punto opuesto al punto π/4 también tiene 4 en el denominador, y el número en el numerador es 1 más: 5π/4.
El punto opuesto al punto π/3 también tiene 3 en el denominador, y el número en el numerador es 1 más: 4π/3.
- relativo al eje X(cuarto trimestre) el asunto es más difícil. Aquí es necesario agregar al valor del denominador un número que sea 1 menos; esta suma será igual a la parte numérica del numerador del punto opuesto. Empecemos de nuevo con π/6. Agreguemos al valor del denominador, igual a 6, un número que es 1 menos que este número, es decir, 5. Obtenemos: 6 + 5 = 11. Por lo tanto, opuesto a él con respecto al eje X el punto tendrá 6 en el denominador y 11 en el numerador, es decir, 11π / 6.
Punto π/4. Añadimos al valor del denominador un número 1 menos: 4 + 3 = 7. Por lo tanto, opuesto a él con respecto al eje X el punto tiene 4 en el denominador y 7 en el numerador, es decir, 7π/4.
Punto π/3. El denominador es 3. A 3 le sumamos un número menos, es decir, 2. Obtenemos 5. Por lo tanto, el punto opuesto tiene 5 en el numerador, y este es el punto 5π / 3.
3) Otra regularidad para los puntos medios de los cuartos. Está claro que su denominador es 4. Prestemos atención a los numeradores. El numerador de la mitad del primer cuarto es 1π (pero no se acostumbra escribir 1). El numerador de la mitad del segundo cuarto es 3π. El numerador de la mitad del tercer cuarto es 5π. El numerador de la mitad del cuarto cuarto es 7π. Resulta que en los numeradores de los puntos medios de los cuartos están los primeros cuatro números impares en orden ascendente:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
También es muy simple. Como los medios de todos los cuartos tienen 4 en el denominador, ya sabemos sus nombres completos: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.
Características del círculo numérico. Comparación con una recta numérica.
Como sabes, en la recta numérica, cada punto corresponde a un solo número. Por ejemplo, si el punto A en una línea recta es igual a 3, entonces no puede ser igual a ningún otro número.
Es diferente en el círculo numérico porque es un círculo. Por ejemplo, para llegar del punto A del círculo al punto M, puedes hacerlo como en línea recta (solo después de pasar el arco), o puedes dar la vuelta a todo el círculo y luego llegar al punto M. Conclusión:
Sea el punto M igual a algún número t. Como sabemos, la circunferencia de un círculo es 2π. Por lo tanto, podemos escribir el punto del círculo t de dos maneras: t o t + 2π. Estos son valores equivalentes.
Es decir, t = t + 2π. La única diferencia es que en el primer caso llegaste al punto M inmediatamente sin hacer un círculo, y en el segundo caso hiciste un círculo, pero terminaste en el mismo punto M. Puedes hacer dos, tres y doscientos de esos círculos. . Si denotamos el número de círculos por la letra norte, obtenemos una nueva expresión:
t = t + 2π norte.
De ahí la fórmula:
Se dedica mucho tiempo al círculo numérico en el grado 10. Esto se debe a la importancia de este objeto matemático para todo el curso de matemáticas.
La correcta selección de los medios didácticos es de gran importancia para una buena asimilación del material. Los tutoriales en video se encuentran entre las más efectivas de estas herramientas. V Últimamente alcanzan la cima de la popularidad. Por lo tanto, el autor no se quedó atrás del presente y desarrolló un manual tan maravilloso para ayudar a los profesores de matemáticas: una lección en video sobre el tema "Círculo numérico en el plano de coordenadas".
Esta lección dura 15:22 minutos. Este es prácticamente el tiempo máximo que un profesor puede dedicar a una explicación independiente del material sobre el tema. Dado que lleva mucho tiempo explicar el material nuevo, es necesario seleccionar las tareas y ejercicios más efectivos para la consolidación, así como resaltar una lección más donde los estudiantes resolverán tareas sobre este tema.
La lección comienza con la imagen de un círculo numérico en un sistema de coordenadas. El autor construye este círculo y explica sus acciones. Luego, el autor nombra los puntos de intersección del círculo numérico con los ejes de coordenadas. A continuación se explica qué coordenadas tendrán los puntos del círculo en diferentes cuartos.
Después de eso, el autor recuerda cómo se ve la ecuación del círculo. Y la atención de los oyentes se presenta a dos diseños con la imagen de algunos puntos en el círculo. Debido a esto, en el siguiente paso, el autor muestra cómo las coordenadas de los puntos del círculo correspondientes a ciertos números marcado en las plantillas. Esto da como resultado una tabla de valores para las variables x e y en la ecuación del círculo.
Además, se propone considerar un ejemplo donde es necesario determinar las coordenadas de los puntos del círculo. Antes de comenzar a resolver el ejemplo, se introducen algunos comentarios que ayudan en la resolución. Y luego aparece en la pantalla una solución completa, claramente estructurada e ilustrada. También hay tablas que facilitan la comprensión de la esencia del ejemplo.
Luego se consideran seis ejemplos más, que requieren menos tiempo que el primero, pero no menos importantes y reflejan idea principal lección. Aquí se presentan las soluciones en en su totalidad, con una historia detallada y con elementos visuales. Es decir, la solución contiene dibujos que ilustran el curso de la solución y una notación matemática que forma la alfabetización matemática de los estudiantes.
El profesor puede limitarse a aquellos ejemplos que se consideran en la lección, pero esto puede no ser suficiente para una asimilación cualitativa del material. Por lo tanto, elegir tareas para consolidar es simplemente extremadamente importante.
La lección puede ser útil no solo para los profesores, cuyo tiempo es constantemente limitado, sino también para los estudiantes. Especialmente para aquellos que reciben una educación familiar o se dedican a la autoeducación. Los materiales pueden ser utilizados por aquellos estudiantes que se perdieron la lección sobre este tema.
INTERPRETACIÓN DEL TEXTO:
El tema de nuestra lección es "CÍRCULO NUMÉRICO EN EL PLANO DE COORDENADAS"
Ya estamos familiarizados con el sistema cartesiano de coordenadas rectangulares xOy (x o y). En este sistema de coordenadas, colocaremos el círculo numérico de modo que el centro del círculo esté alineado con el origen, y su radio se tomará como el segmento de escala.
El punto inicial A del círculo numérico está alineado con el punto con coordenadas (1; 0), B - con el punto (0; 1), C - con (-1; 0) (menos uno, cero) y D - con (0; - 1)(cero, menos uno).
(ver foto 1)
Dado que cada punto del círculo numérico tiene sus propias coordenadas en el sistema xOy (x sobre y), entonces para los puntos del primer cuarto ikx es mayor que cero e y es mayor que cero;
Segundo trimestre ich menos que cero y la y es mayor que cero,
para los puntos del tercer cuarto, uh es menor que cero e y es menor que cero,
y para el cuarto trimestre, uh es mayor que cero y y es menor que cero
Para cualquier punto E (x; y) (con coordenadas x, y) del círculo numérico, las desigualdades -1≤ x≤ 1, -1≤y≤1 (x es mayor o igual a menos uno, pero menor que o igual a uno; y es mayor o igual a menos uno, pero menor o igual a uno).
Recuerda que la ecuación para un círculo de radio R con centro en el origen es x 2 + y 2 = R 2 (x al cuadrado más y al cuadrado es igual a er al cuadrado). Y para el círculo unitario R \u003d 1, entonces obtenemos x 2 + y 2 \u003d 1
(x al cuadrado más y al cuadrado es igual a uno).
Encontremos las coordenadas de los puntos del círculo numérico, que se presentan en dos diseños (ver Fig. 2, 3)
Sea el punto E, que corresponde a
(pi por cuatro): la mitad del primer cuarto que se muestra en la figura. Desde el punto E bajamos la perpendicular EK a la línea OA y consideramos el triángulo OEK. Ángulo AOE =45 0 , ya que el arco AE es la mitad del arco AB. Por tanto, el triángulo OEK es un rectángulo isósceles, en el que OK = EK. Por lo tanto, la abscisa y la ordenada del punto E son iguales, es decir, x es igual a y. Para encontrar las coordenadas del punto E, resolvemos el sistema de ecuaciones: (x es igual a y - la primera ecuación del sistema y x cuadrado más y cuadrado es igual a uno - la segunda ecuación del sistema). En el segundo ecuación del sistema, en lugar de x, sustituimos y, obtenemos 2y 2 \u003d 1 (dos y al cuadrado es igual a uno), de donde y \u003d (y = uno dividido por la raíz de dos es igual a la raíz de dos dividido por dos) (la ordenada es positiva), esto significa que el punto E en el sistema de coordenadas rectangulares tiene coordenadas (,) (raíz de dos dividida por dos, raíz de dos dividida por dos).
Argumentando de manera similar, encontramos las coordenadas de los puntos correspondientes a otros números del primer diseño y obtenemos: corresponde a un punto con coordenadas (- ,) (menos la raíz de dos dividida por dos, la raíz de dos dividida por dos); para - (-,-) (menos la raíz de dos dividida por dos, menos la raíz de dos dividida por dos); para (siete pi por cuatro) (,) (raíz de dos dividido por dos, menos raíz cuadrada de dos dividido por dos).
Que el punto D corresponda a (Fig. 5). Dejemos caer la perpendicular de DP(de pe) a OA y consideremos el triángulo ODP. La hipotenusa de este triángulo OD es igual al radio del círculo unitario, es decir, uno, y el ángulo DOP es igual a treinta grados, ya que el arco AD \u003d digi AB (un de es igual a un tercio de un be ), y el arco AB es de noventa grados. Por lo tanto, DP \u003d (de pe es igual a un segundo O de es igual a un segundo) Dado que el cateto opuesto al ángulo de treinta grados es igual a la mitad de la hipotenusa, es decir, y \u003d (y es igual a un segundo ). Aplicando el teorema de Pitágoras, obtenemos OR 2 \u003d OD 2 - DP 2 (o pe cuadrado es igual a o de cuadrado menos de pe cuadrado), pero OR \u003d x (o pe es igual a x). Entonces x 2 \u003d OD 2 - DP 2 \u003d
entonces x 2 \u003d (x al cuadrado es igual a tres cuartos) y x \u003d (x es igual a la raíz de tres por dos).
X es positivo porque está en el primer trimestre. Obtuvimos que el punto D en un sistema de coordenadas rectangulares tiene coordenadas (,) la raíz de tres dividida por dos, un segundo.
Argumentando de manera similar, encontramos las coordenadas de los puntos correspondientes a otros números del segundo diseño y escribimos todos los datos obtenidos en las tablas:
Considere ejemplos.
EJEMPLO 1. Encuentre las coordenadas de los puntos del círculo numérico: a) C 1 ();
b) C 2 (); c) C3 (41π); d) C 4 (- 26π). (tse uno correspondiente a treinta y cinco pi por cuatro, tse dos correspondiente a menos cuarenta y nueve pi a tres, tse tres correspondiente a cuarenta y un pi, tse cuatro correspondiente a menos veintiséis pi).
Solución. Usemos la afirmación obtenida anteriormente: si el punto D del círculo numérico corresponde al número t, entonces también corresponde a cualquier número de la forma t + 2πk(te más dos picos), donde ka es cualquier número entero, es decir kϵZ (ka pertenece a zet).
a) Obtenemos = ∙ π = (8 +) ∙π = + 2π ∙ 4. (treinta y cinco pi por cuatro es igual a treinta y cinco por cuatro, multiplicado por pi es igual a la suma de ocho y tres cuartos, multiplicada por pi es igual a tres pi por cuatro más el producto de dos pi por cuatro. Esto significa que el número treinta y cinco pi por cuatro corresponde al mismo punto en el círculo numérico que el número tres pi por cuatro. Usando la tabla 1, obtenemos С 1 () = С 1 (-;) .
b) Del mismo modo, las coordenadas С 2: = ∙ π = - (16 + ∙π = + 2π ∙ (- 8). Por lo tanto, el número
corresponde al mismo punto del círculo numérico que el número. Y el número corresponde en el círculo numérico al mismo punto que el número
(mostrar el segundo diseño y la tabla 2). Para un punto tenemos x = , y =.
c) 41π \u003d 40π + π \u003d π + 2π ∙ 20. Por lo tanto, el número 41π corresponde al mismo punto del círculo numérico que el número π; este es un punto con coordenadas (-1; 0).
d) - 26π \u003d 0 + 2π ∙ (- 13), es decir, el número - 26π corresponde al mismo punto del círculo numérico que el número cero, este es el punto con coordenadas (1; 0).
EJEMPLO 2. Encuentre puntos en el círculo numérico con la ordenada y \u003d
Solución. La línea y = se cruza con el círculo numérico en dos puntos. Un punto corresponde a un número, el segundo punto corresponde a un número,
Por lo tanto, todos los puntos se obtienen sumando una vuelta completa 2πk donde k muestra cuánto revoluciones completas hace un punto, es decir obtenemos
y para cualquier número todos los números de la forma + 2πk. A menudo, en tales casos, dicen que han recibido dos series de valores: + 2πk, + 2πk.
EJEMPLO 3. Encuentra puntos en el círculo numérico con la abscisa x = y escribe a qué números t corresponden.
Solución. Derecho X= corta el círculo numérico en dos puntos. Un punto corresponde a un número (ver segundo diseño),
y por lo tanto cualquier número de la forma + 2πk. Y el segundo punto corresponde a un número, y por tanto a cualquier número de la forma + 2πk. Estas dos series de valores se pueden cubrir en una sola entrada: ± + 2πk (más menos dos pi por tres más dos pi).
EJEMPLO 4. Encuentra puntos con una ordenada en un círculo numérico en> y escribe a qué números t corresponden.
La línea y \u003d se cruza con el círculo numérico en dos puntos M y P. Y la desigualdad y\u003e corresponde a los puntos del arco abierto MP, esto significa arcos sin extremos (es decir, sin y), cuando se mueve alrededor del círculo en sentido antihorario, comenzando desde el punto M y terminando en el punto P. Por lo tanto, el núcleo de la representación analítica del arco MP es la desigualdad< t < (тэ больше, чем пи на три, но меньше двух пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид + 2πk < t < + 2πk(тэ больше, чем пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).
EJEMPLO 5. Encuentra puntos con ordenadas en un círculo numérico en < и записать, каким числам t они соответствуют.
La línea y \u003d se cruza con el círculo numérico en dos puntos M y P. Y la desigualdad y< соответствуют точки открытой дуги РМ при движении по окружности против часовой стрелки, начиная с точки Р, а заканчивая в точке М. Значит, ядром аналитической записи дуги РМ является неравенство < t < (тэ больше, чем минус четыре пи на три, но меньше пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид
2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус четыре пи на три плюс два пи ка, но меньше пи на три плюс два пи ка).
EJEMPLO 6. Encontrar puntos con una abscisa en un círculo numérico X> y escribe a qué números t corresponden.
La recta x = corta a la circunferencia numérica en dos puntos M y P. La desigualdad x > corresponde a los puntos del arco abierto PM cuando se desplaza a lo largo de la circunferencia en sentido antihorario con inicio en el punto P, que corresponde, y final en el punto M, que corresponde. Por lo tanto, el núcleo de la notación analítica para el arco PM es la desigualdad< t <
(te es mayor que menos dos pi por tres, pero menor que dos pi por tres), y la notación analítica del arco mismo tiene la forma + 2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус два пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).
EJEMPLO 7. Encontrar puntos con una abscisa en un círculo numérico X < и записать, каким числам t они соответствуют.
La línea x = corta el círculo numérico en dos puntos M y P. Desigualdad x< соответствуют точки открытой дуги МР при движении по окружности против часовой стрелки с началом в точке М, которая соответствует, и концом в точке Р, которая соответствует. Значит, ядром аналитической записи дуги МР является неравенство < t <
(te es más de dos pi por tres, pero menos de cuatro pi por tres), y la notación analítica del arco mismo tiene la forma + 2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем два пи на три плюс два пи ка, но меньше четырех пи на три плюс два пи ка).
