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Se dedica mucho tiempo al círculo numérico en el grado 10. Esto se debe a la importancia de este objeto matemático para todo el curso de matemáticas.
La correcta selección de los medios didácticos es de gran importancia para una buena asimilación del material. Los tutoriales en video se encuentran entre las más efectivas de estas herramientas. A tiempos recientes alcanzan la cima de la popularidad. Por lo tanto, el autor no se quedó atrás del presente y desarrolló un manual tan maravilloso para ayudar a los profesores de matemáticas: una lección en video sobre el tema "Círculo numérico en el plano de coordenadas".
Esta lección dura 15:22 minutos. Este es prácticamente el tiempo máximo que un profesor puede dedicar a una explicación independiente del material sobre el tema. Dado que lleva mucho tiempo explicar el material nuevo, es necesario seleccionar las tareas y ejercicios más efectivos para la consolidación, así como resaltar una lección más donde los estudiantes resolverán tareas sobre este tema.
La lección comienza con la imagen de un círculo numérico en un sistema de coordenadas. El autor construye este círculo y explica sus acciones. Luego, el autor nombra los puntos de intersección del círculo numérico con los ejes de coordenadas. A continuación se explica qué coordenadas tendrán los puntos del círculo en diferentes cuartos.
Después de eso, el autor recuerda cómo se ve la ecuación del círculo. Y la atención de los oyentes se presenta a dos diseños con la imagen de algunos puntos en el círculo. Debido a esto, en el siguiente paso, el autor muestra cómo las coordenadas de los puntos del círculo correspondientes a ciertos números marcado en las plantillas. Esto da como resultado una tabla de valores para las variables x e y en la ecuación del círculo.
Además, se propone considerar un ejemplo donde es necesario determinar las coordenadas de los puntos del círculo. Antes de comenzar a resolver el ejemplo, se introducen algunos comentarios que ayudan en la resolución. Y luego aparece en la pantalla una solución completa, claramente estructurada e ilustrada. También hay tablas que facilitan la comprensión de la esencia del ejemplo.
Luego se consideran seis ejemplos más, que requieren menos tiempo que el primero, pero no menos importantes y reflejan Idea principal lección. Aquí se presentan las soluciones en en su totalidad, con una historia detallada y con elementos visuales. Es decir, la solución contiene dibujos que ilustran el curso de la solución y una notación matemática que forma la alfabetización matemática de los estudiantes.
El profesor puede limitarse a aquellos ejemplos que se consideran en la lección, pero esto puede no ser suficiente para una asimilación cualitativa del material. Por lo tanto, elegir tareas para consolidar es simplemente extremadamente importante.
La lección puede ser útil no solo para los profesores, cuyo tiempo es constantemente limitado, sino también para los estudiantes. Especialmente para aquellos que reciben una educación familiar o se dedican a la autoeducación. Los materiales pueden ser utilizados por aquellos estudiantes que se perdieron la lección sobre este tema.
INTERPRETACIÓN DEL TEXTO:
El tema de nuestra lección es "CÍRCULO NUMÉRICO EN EL PLANO DE COORDENADAS"
Ya estamos familiarizados con el sistema cartesiano de coordenadas rectangulares xOy (x o y). En este sistema de coordenadas colocamos círculo numérico de modo que el centro del círculo esté alineado con el origen, y su radio se tome como el segmento de escala.
El punto inicial A del círculo numérico está alineado con el punto con coordenadas (1; 0), B - con el punto (0; 1), C - con (-1; 0) (menos uno, cero) y D - con (0; - 1)(cero, menos uno).
(ver foto 1)
Dado que cada punto del círculo numérico tiene sus propias coordenadas en el sistema xOy (x sobre y), entonces para los puntos del primer cuarto ikx es mayor que cero e y es mayor que cero;
Segundo trimestre ich menos que cero y la y es mayor que cero,
para los puntos del tercer cuarto, uh es menor que cero e y es menor que cero,
y para el cuarto trimestre, uh es mayor que cero y y es menor que cero
Para cualquier punto E (x; y) (con coordenadas x, y) del círculo numérico, las desigualdades -1≤ x≤ 1, -1≤y≤1 (x es mayor o igual a menos uno, pero menor que o igual a uno; y es mayor o igual a menos uno, pero menor o igual a uno).
Recuerda que la ecuación para un círculo de radio R con centro en el origen es x 2 + y 2 = R 2 (x al cuadrado más y al cuadrado es igual a er al cuadrado). Y para el círculo unitario R \u003d 1, entonces obtenemos x 2 + y 2 \u003d 1
(x al cuadrado más y al cuadrado es igual a uno).
Encontremos las coordenadas de los puntos del círculo numérico, que se presentan en dos diseños (ver Fig. 2, 3)
Sea el punto E, que corresponde a
(pi por cuatro): la mitad del primer cuarto que se muestra en la figura. Desde el punto E bajamos la perpendicular EK a la línea OA y consideramos el triángulo OEK. Ángulo AOE =45 0 , ya que el arco AE es la mitad del arco AB. Por tanto, el triángulo OEK es un rectángulo isósceles, en el que OK = EK. Por lo tanto, la abscisa y la ordenada del punto E son iguales, es decir, x es igual a y. Para encontrar las coordenadas del punto E, resolvemos el sistema de ecuaciones: (x es igual a y - la primera ecuación del sistema y x cuadrado más y cuadrado es igual a uno - la segunda ecuación del sistema). En el segundo ecuación del sistema, en lugar de x, sustituimos y, obtenemos 2y 2 \u003d 1 (dos y al cuadrado es igual a uno), de donde y \u003d (y = uno dividido por la raíz de dos es igual a la raíz de dos dividido por dos) (la ordenada es positiva), esto significa que el punto E en el sistema de coordenadas rectangulares tiene coordenadas (,) (raíz de dos dividida por dos, raíz de dos dividida por dos).
Argumentando de manera similar, encontramos las coordenadas de los puntos correspondientes a otros números del primer diseño y obtenemos: corresponde a un punto con coordenadas (- ,) (menos la raíz de dos dividida por dos, la raíz de dos dividida por dos); para - (-,-) (menos la raíz de dos dividida por dos, menos la raíz de dos dividida por dos); para (siete pi por cuatro) (,) (raíz de dos dividido por dos, menos raíz cuadrada de dos dividido por dos).
Que el punto D corresponda a (Fig. 5). Dejemos caer la perpendicular de DP(de pe) a OA y consideremos el triángulo ODP. La hipotenusa de este triángulo OD es igual al radio del círculo unitario, es decir, uno, y el ángulo DOP es igual a treinta grados, ya que el arco AD \u003d digi AB (un de es igual a un tercio de un be ), y el arco AB es de noventa grados. Por lo tanto, DP \u003d (de pe es igual a un segundo O de es igual a un segundo) Dado que el cateto opuesto al ángulo de treinta grados es igual a la mitad de la hipotenusa, es decir, y \u003d (y es igual a un segundo ). Aplicando el teorema de Pitágoras, obtenemos OR 2 \u003d OD 2 - DP 2 (o pe cuadrado es igual a o de cuadrado menos de pe cuadrado), pero OR \u003d x (o pe es igual a x). Entonces x 2 \u003d OD 2 - DP 2 \u003d
entonces x 2 \u003d (x al cuadrado es igual a tres cuartos) y x \u003d (x es igual a la raíz de tres por dos).
X es positivo porque está en el primer trimestre. Obtuvimos que el punto D en un sistema de coordenadas rectangulares tiene coordenadas (,) la raíz de tres dividida por dos, un segundo.
Argumentando de manera similar, encontramos las coordenadas de los puntos correspondientes a otros números del segundo diseño y escribimos todos los datos obtenidos en las tablas:
Considere ejemplos.
EJEMPLO 1. Encuentre las coordenadas de los puntos del círculo numérico: a) C 1 ();
b) C 2 (); c) C3 (41π); d) C 4 (- 26π). (tse uno correspondiente a treinta y cinco pi por cuatro, tse dos correspondiente a menos cuarenta y nueve pi a tres, tse tres correspondiente a cuarenta y un pi, tse cuatro correspondiente a menos veintiséis pi).
Solución. Usemos la afirmación obtenida anteriormente: si el punto D del círculo numérico corresponde al número t, entonces también corresponde a cualquier número de la forma t + 2πk(te más dos picos), donde ka es cualquier número entero, es decir kϵZ (ka pertenece a zet).
a) Obtenemos = ∙ π = (8 +) ∙π = + 2π ∙ 4. (treinta y cinco pi por cuatro es treinta y cinco por cuatro, multiplicado por pi es igual a la suma de ocho y tres cuartos, multiplicada por pi es igual a tres pi por cuatro más el producto de dos pi por cuatro. Esto significa que el número treinta y cinco pi por cuatro corresponde al mismo punto en el círculo numérico que el número tres pi por cuatro. Usando la tabla 1, obtenemos С 1 () = С 1 (-;) .
b) Del mismo modo, las coordenadas С 2: = ∙ π = - (16 + ∙π = + 2π ∙ (- 8). Por lo tanto, el número
corresponde al mismo punto del círculo numérico que el número. Y el número corresponde en el círculo numérico al mismo punto que el número
(mostrar el segundo diseño y la tabla 2). Para un punto tenemos x = , y =.
c) 41π \u003d 40π + π \u003d π + 2π ∙ 20. Por lo tanto, el número 41π corresponde al mismo punto del círculo numérico que el número π; este es un punto con coordenadas (-1; 0).
d) - 26π \u003d 0 + 2π ∙ (- 13), es decir, el número - 26π corresponde al mismo punto del círculo numérico que el número cero, este es el punto con coordenadas (1; 0).
EJEMPLO 2. Encuentre puntos en el círculo numérico con la ordenada y \u003d
Solución. La línea y = se cruza con el círculo numérico en dos puntos. Un punto corresponde a un número, el segundo punto corresponde a un número,
Por lo tanto, todos los puntos se obtienen sumando una vuelta completa 2πk donde k muestra cuánto revoluciones completas hace un punto, es decir obtenemos
y para cualquier número todos los números de la forma + 2πk. A menudo, en tales casos, dicen que han recibido dos series de valores: + 2πk, + 2πk.
EJEMPLO 3. Encuentra puntos en el círculo numérico con la abscisa x = y escribe a qué números t corresponden.
Solución. Directo X= corta el círculo numérico en dos puntos. Un punto corresponde a un número (ver segundo diseño),
y por lo tanto cualquier número de la forma + 2πk. Y el segundo punto corresponde a un número, y por tanto a cualquier número de la forma + 2πk. Estas dos series de valores se pueden cubrir en una sola entrada: ± + 2πk (más menos dos pi por tres más dos pi).
EJEMPLO 4. Encuentra puntos con una ordenada en un círculo numérico a> y escribe a qué números t corresponden.
La línea y \u003d se cruza con el círculo numérico en dos puntos M y P. Y la desigualdad y\u003e corresponde a los puntos del arco abierto MP, esto significa arcos sin extremos (es decir, sin y), cuando se mueve alrededor del círculo en sentido contrario a las agujas del reloj, comenzando desde el punto M y terminando en el punto P. Por lo tanto, el núcleo de la representación analítica del arco MP es la desigualdad< t < (тэ больше, чем пи на три, но меньше двух пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид + 2πk < t < + 2πk(тэ больше, чем пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).
EJEMPLO 5. Encuentra puntos con ordenadas en un círculo numérico a < и записать, каким числам t они соответствуют.
La línea y \u003d se cruza con el círculo numérico en dos puntos M y P. Y la desigualdad y< соответствуют точки открытой дуги РМ при движении по окружности против часовой стрелки, начиная с точки Р, а заканчивая в точке М. Значит, ядром аналитической записи дуги РМ является неравенство < t < (тэ больше, чем минус четыре пи на три, но меньше пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид
2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус четыре пи на три плюс два пи ка, но меньше пи на три плюс два пи ка).
EJEMPLO 6. Encontrar puntos con una abscisa en un círculo numérico X> y escribe a qué números t corresponden.
La recta x = corta a la circunferencia numérica en dos puntos M y P. La desigualdad x > corresponde a los puntos del arco abierto PM cuando se desplaza a lo largo de la circunferencia en sentido antihorario con inicio en el punto P, que corresponde, y final en el punto M, que corresponde. Por lo tanto, el núcleo de la notación analítica para el arco PM es la desigualdad< t <
(te es mayor que menos dos pi por tres, pero menor que dos pi por tres), y la notación analítica del arco mismo tiene la forma + 2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус два пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).
EJEMPLO 7. Encontrar puntos con una abscisa en un círculo numérico X < и записать, каким числам t они соответствуют.
La línea x = corta el círculo numérico en dos puntos M y P. Desigualdad x< соответствуют точки открытой дуги МР при движении по окружности против часовой стрелки с началом в точке М, которая соответствует, и концом в точке Р, которая соответствует. Значит, ядром аналитической записи дуги МР является неравенство < t <
(te es más de dos pi por tres, pero menos de cuatro pi por tres), y la notación analítica del arco mismo tiene la forma + 2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем два пи на три плюс два пи ка, но меньше четырех пи на три плюс два пи ка).
Definición 1 . Eje numérico ( recta numérica, recta de coordenadas) Ox se llama recta sobre la que se elige el punto O punto de referencia (origen de coordenadas)(fig.1), dirección
O → X
catalogado como dirección positiva y se marca un segmento, cuya longitud se toma como unidad de longitud.
Definición 2 . El segmento, cuya longitud se toma como unidad de longitud, se llama escala.
Cada punto del eje numérico tiene una coordenada, que es un número real. La coordenada del punto O es igual a cero. La coordenada de un punto arbitrario A que se encuentra sobre el rayo Ox es igual a la longitud del segmento OA. La coordenada de un punto arbitrario A del eje numérico, que no se encuentra sobre el rayo Ox, es negativa y en valor absoluto es igual a la longitud del segmento OA.
Definición 3 . Sistema de coordenadas cartesianas rectangulares Oxy en el plano llamar a los dos mutuamente perpendicular ejes numéricos Ox y Oy con la misma escala y origen común en el punto O, además, tal que la rotación del rayo Ox en un ángulo de 90 ° al rayo Oy se lleva a cabo en la dirección sinistrorso(Figura 2).
comentario El sistema de coordenadas cartesianas rectangulares Oxy que se muestra en la Figura 2 se llama sistema de coordenadas correcto, A diferencia de sistemas de coordenadas izquierdas, en el que la rotación de la viga Ox en un ángulo de 90° con respecto a la viga Oy se realiza en el sentido de las agujas del reloj. En esta guía, nosotros considerar solo sistemas de coordenadas correctos sin mencionarlo en particular.
Si introducimos algún sistema de coordenadas cartesianas rectangulares Oxy en el plano, entonces cada punto del plano adquirirá dos coordenadas – abscisa y ordenada, que se calculan de la siguiente manera. Sea A un punto arbitrario del plano. Dejemos caer perpendiculares desde el punto A Automóvil club británico 1 y Automóvil club británico 2 a las líneas Ox y Oy, respectivamente (Fig. 3).
Definición 4 . La abscisa del punto A es la coordenada del punto A 1 sobre el eje numérico Ox, la ordenada del punto A es la coordenada del punto A 2 en el eje numérico Oy.
Designacion . Coordenadas (abscisa y ordenada) de un punto A en el sistema de coordenadas cartesianas rectangulares Oxy (Fig. 4) generalmente se denota A(X;y) o A = (X; y).
comentario Punto O, llamado origen, tiene coordenadas O(0 ; 0) .
Definición 5 . En el sistema de coordenadas cartesianas rectangulares Oxy, el eje numérico Ox se denomina eje de abscisas y el eje numérico Oy se denomina eje de ordenadas (Fig. 5).
Definición 6 . Cada sistema de coordenadas cartesianas rectangulares divide el plano en 4 cuartos (cuadrantes), cuya numeración se muestra en la Figura 5.
Definición 7 . Un plano en el que se da un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares se llama Plano coordinado.
comentario El eje de abscisas está dado en el plano de coordenadas por la ecuación y= 0 , el eje y está dado en el plano de coordenadas por la ecuación X = 0.
Declaración 1 . Distancia entre dos puntos Plano coordinado
A 1 (X 1 ;y 1) y A 2 (X 2 ;y 2)
calculado según la fórmula
Prueba . Considere la Figura 6.
| |A 1 A 2 | 2 = = (X 2 -X 1) 2 + (y 2 -y 1) 2 . | (1) |
Como consecuencia,
QED
Ecuación de un círculo en el plano de coordenadas
Considere en el plano de coordenadas Oxy (Fig. 7) un círculo de radio R centrado en el punto A 0 (X 0 ;y 0) .
Fecha: Lección1
tema: círculo numérico en la línea de coordenadas
Metas: introducir el concepto de un modelo de círculo numérico en sistemas de coordenadas cartesianas y curvilíneas; formar la capacidad de encontrar las coordenadas cartesianas de los puntos del círculo numérico y realizar la acción opuesta: conociendo las coordenadas cartesianas del punto, determinar su valor numérico en el círculo numérico.
durante las clases
I. Momento organizativo.
II. Explicación del nuevo material.
1. Habiendo colocado el círculo numérico en el sistema de coordenadas cartesianas, analizamos en detalle las propiedades de los puntos del círculo numérico ubicados en diferentes cuartos de coordenadas.
por punto METRO notación de uso de círculo numérico METRO(t), si hablamos de la coordenada curvilínea del punto METRO, o entrada METRO (X;a) cuando se trata de las coordenadas cartesianas de un punto.
2. Encontrar coordenadas cartesianas de puntos "buenos" del círculo numérico. Se trata de pasar de escribir METRO(t) a METRO (X;a).
3. Encontrar los signos de las coordenadas de los puntos "malos" del círculo numérico. Si, por ejemplo, METRO(2) = METRO (X;a), después X 0; a 0. (los escolares aprenden a determinar los signos de funciones trigonométricas por cuartos de un círculo numérico).
1. N° 5.1 (a; b), N° 5.2 (a; b), N° 5.3 (a; b).
Este grupo de tareas tiene como objetivo desarrollar la capacidad de encontrar las coordenadas cartesianas de puntos "buenos" en el círculo numérico.
Solución:
№ 5.1 (a).
2. N° 5.4 (a; b), N° 5.5 (a; b).
Este grupo de tareas está dirigido a desarrollar la habilidad de encontrar las coordenadas curvilíneas de un punto por sus coordenadas cartesianas.
Solución:
№ 5.5 (b).
3. Núm. 5.10 (a; b).
Este ejercicio tiene como objetivo desarrollar la capacidad de encontrar las coordenadas cartesianas de los puntos "malos".
V. Los resultados de la lección.
Preguntas para los estudiantes:
- ¿Qué es un modelo, un círculo numérico en el plano de coordenadas?
- ¿Cómo, conociendo las coordenadas curvilíneas de un punto de un círculo numérico, encontrar sus coordenadas cartesianas y viceversa?
Tareas para el hogar: N° 5.1 (c; d) - 5.5 (c; d), N° 5.10 (c; d).
Fecha: Lección2
TEMA: Resolución de problemas sobre el modelo "círculo numérico en el plano de coordenadas"
Metas: continuar la formación de la capacidad de pasar de las coordenadas curvilíneas de un punto en un círculo numérico a las coordenadas cartesianas; para formar la capacidad de encontrar puntos en un círculo numérico cuyas coordenadas satisfacen una ecuación o desigualdad dada.
durante las clases
I. Momento organizativo.
II. trabajo oral.
1. Nombra las coordenadas cartesianas y curvilíneas de los puntos en el círculo numérico.
2. Compara un arco en un círculo y su notación analítica.
tercero Explicación del nuevo material.
2. Encontrar puntos en un círculo numérico cuyas coordenadas satisfagan una ecuación dada.
Considere los ejemplos 2 y 3 de la p. 41–42 del libro de texto.
La importancia de este "juego" es obvia: los estudiantes se preparan para resolver las ecuaciones trigonométricas más simples de la forma Para comprender la esencia del asunto, primero se debe enseñar a los estudiantes a resolver estas ecuaciones usando un círculo numérico, sin pasarse a fórmulas preparadas.
Al considerar un ejemplo de cómo encontrar un punto con una abscisa, llamamos la atención de los estudiantes sobre la posibilidad de combinar dos series de respuestas en una fórmula:
3. Encontrar puntos en el círculo numérico cuyas coordenadas satisfagan una desigualdad dada.
Considere los ejemplos 4–7 de la pág. 43–44 del libro de texto. Al resolver tales problemas, preparamos a los estudiantes para resolver desigualdades trigonométricas de la forma
Después de revisar los ejemplos, los estudiantes pueden formular de forma independiente algoritmo soluciones de desigualdades del tipo indicado:
1) del modelo analítico pasamos al modelo geométrico - un arco SRES círculo numérico;
2) componen el núcleo del registro analítico SRES; para el arco obtenemos
3) hacer un registro general:
IV. Formación de habilidades y destrezas.
1er grupo. Encontrar un punto en un círculo numérico con una coordenada que satisfaga una ecuación dada.
N° 5.6 (a; b) - N° 5.9 (a; b).
En el proceso de trabajar en estos ejercicios, elaboramos la ejecución paso a paso: registro del núcleo de un punto, registro analítico.
2do grupo. Encontrar puntos en un círculo numérico con una coordenada que satisfaga una desigualdad dada.
Nº 5.11 (a; b) - 5.14 (a; b).
La principal habilidad que deben adquirir los escolares a la hora de realizar estos ejercicios es la recopilación del núcleo del registro analítico del arco.
V. Trabajo independiente.
Opción 1
1. Marque un punto en el círculo numérico que corresponda a un número dado y encuentre sus coordenadas cartesianas:
2. Encuentra puntos con una abscisa dada en el círculo numérico y escribe qué números t coinciden.
3. Marca puntos en el círculo numérico con una ordenada que satisfaga la desigualdad y escribe, usando una doble desigualdad, qué números t coinciden.
Opción 2
1. Marque un punto en el círculo numérico que corresponda a un número dado y encuentre sus coordenadas cartesianas:
2. Encuentra los puntos con la ordenada dada en el círculo numérico a= 0.5 y escribe qué números t coinciden.
3. Marca puntos en el círculo numérico con una abscisa que satisfaga la desigualdad y escribe usando una desigualdad doble, qué números t coinciden.
VI. resultados de la lección.
Preguntas para los estudiantes:
- ¿Cómo encontrar un punto en un círculo cuya abscisa satisfaga una ecuación dada?
¿Cómo encontrar un punto en un círculo cuya ordenada satisface una ecuación dada?
- Nombrar el algoritmo para resolver desigualdades utilizando un círculo numérico.
Tareas para el hogar: N° 5.6 (c; d) - N° 5.9 (c; d),
N° 5.11 (c; d) - N° 5.14 (c; d).
Si coloca un círculo de número de unidad en el plano de coordenadas, puede encontrar las coordenadas de sus puntos. El círculo numérico se coloca de modo que su centro coincida con el origen del plano, es decir, el punto O (0; 0).
Por lo general, en un círculo de número de unidad, los puntos se marcan correspondientes al origen en el círculo
- cuartos - 0 o 2π, π/2, π, (2π)/3,
- cuartos medios - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
- terceros cuartos - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.
En el plano de coordenadas, con la disposición anterior del círculo unitario, se pueden encontrar las coordenadas correspondientes a estos puntos del círculo.
Es muy fácil encontrar las coordenadas de los extremos de los cuartos. En el punto 0 del círculo, la coordenada x es 1 y y es 0. Podemos escribir A (0) = A (1; 0).
El final del primer trimestre se ubicará en el eje y positivo. Por tanto, B (π/2) = B (0; 1).
El final del segundo cuarto está en la abscisa negativa: C (π) = C (-1; 0).
Final del tercer cuarto: D ((2π)/3) = D (0; -1).
Pero, ¿cómo encontrar las coordenadas de los puntos medios de los cuartos? Para hacer esto, construye un triángulo rectángulo. Su hipotenusa es un segmento desde el centro del círculo (o el origen) hasta el punto medio del cuarto de círculo. Este es el radio del círculo. Como el círculo es unidad, la hipotenusa es igual a 1. Luego, se dibuja una perpendicular desde un punto del círculo a cualquier eje. Que sea en el eje x. Resulta un triángulo rectángulo, cuyas longitudes de los catetos son las coordenadas x e y del punto del círculo.
Un cuarto de círculo son 90º. Y medio cuarto son 45º. Como la hipotenusa está dibujada en el punto medio del cuarto, el ángulo entre la hipotenusa y el cateto que sale del origen es de 45º. Pero la suma de los ángulos de cualquier triángulo es 180º. Por tanto, el ángulo entre la hipotenusa y el otro cateto también sigue siendo de 45º. Resulta un triángulo rectángulo isósceles.
Del teorema de Pitágoras obtenemos la ecuación x 2 + y 2 = 1 2 . Como x = y y 1 2 = 1, la ecuación se simplifica a x 2 + x 2 = 1. Resolviéndola, obtenemos x = √1 = 1/√2 = √2/2.
Así, las coordenadas del punto M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).
En las coordenadas de los puntos de los puntos medios de otros cuartos, solo cambiarán los signos, y los módulos de valores seguirán siendo los mismos, ya que el triángulo rectángulo solo girará. Obtenemos:
METRO 2 ((3π)/4) = METRO 2 (-√2/2; √2/2)
METRO 3 ((5π)/4) = METRO 3 (-√2/2; -√2/2)
METRO 4 ((7π)/4) = METRO 4 (√2/2; -√2/2)
Al determinar las coordenadas de las terceras partes de los cuartos del círculo, también se construye un triángulo rectángulo. Si tomamos el punto π/6 y trazamos una perpendicular al eje x, entonces el ángulo entre la hipotenusa y el cateto que está sobre el eje x será de 30º. Se sabe que el cateto opuesto a un ángulo de 30º es igual a la mitad de la hipotenusa. Así que hemos encontrado la coordenada y, es igual a ½.
Conociendo las longitudes de la hipotenusa y uno de los catetos, por el teorema de Pitágoras encontramos el otro cateto:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 \u003d 1 - ¼ \u003d ¾
X = √3/2
Así T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).
Para el punto del segundo tercio del primer cuarto (π / 3), es mejor dibujar una perpendicular al eje al eje y. Entonces el ángulo en el origen también será de 30º. Aquí, la coordenada x ya será igual a ½, y y, respectivamente, √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).
Para otros puntos del tercer cuarto, los signos y el orden de los valores de las coordenadas cambiarán. Todos los puntos que están más cerca del eje x tendrán un valor de módulo de la coordenada x igual a √3/2. Aquellos puntos que estén más cerca del eje y tendrán un valor de módulo y igual a √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)
