Угловое расстояние луны от солнца. Почему мир не принял гелиоцентрической системы? Как измерили земной шар

Межличностное расстояние Более заинтересованные в разговоре и настроенные на достижение согласия садятся поближе к собеседнику, настроенные на конфронтацию – подальше. Однако слишком близкое расположение (до 0,5 м) воспринимается как интимное; расстояние от 0,5 до 1,2 м

Расстояние и время

Расстояние и время Необходимость стрелять напрямую зависит от того, как быстро противник может нанести вам вред. Чем ближе к вам находится противник, тем быстрее он может это сделать, и тем быстрее вам надо произвести выстрел. Соответственно, чем дальше находится

Небо над головой - самый древний учебник геометрии. Первые понятия, такие как точка и круг, - оттуда. Скорее даже не учебник, а задачник. В котором отсутствует страничка с ответами. Два круга одинакового размера - Солнце и Луна - движутся по небу, каждый со своей скоростью. Остальные объекты - светящиеся точки - движутся все вместе, словно они прикреплены к сфере, вращающейся со скоростью 1 оборот в 24 часа. Правда, среди них есть исключения - 5 точек движутся как им вздумается. Для них подобрали особое слово - «планета», по-гречески - «бродяга». Сколько человечество существует, оно пытается разгадать законы этого вечного движения. Первый прорыв произошел в III веке до н.э., когда греческие ученые, взяв на вооружение молодую науку - геометрию, смогли получить первые результаты об устройстве Вселенной. Об этом и пойдет речь.

Чтобы иметь некоторое представление о сложности задачи, рассмотрим такой пример. Представим себе светящийся шар диаметром 10 см, неподвижно висящий в пространстве. Назовем его S. Вокруг него на расстоянии чуть больше 10 метров обращается маленький шарик Z диаметром 1 миллиметр, а вокруг Z на расстоянии 6 см обращается совсем крохотный шарик L, его диаметр - четверть миллиметра. На поверхности среднего шарика Z живут микроскопические существа. Они обладают неким разумом, но покидать пределы своего шарика не могут. Всё, что они могут, - смотреть на два других шара - S и L. Спрашивается, могут ли они узнать диаметры этих шаров и измерить расстояния до них? Сколько ни думай, дело, казалось бы, безнадежное. Мы нарисовали сильно уменьшенную модель Солнечной системы (S - Солнце, Z - Земля, L - Луна).

Вот такая задача стояла перед древними астрономами. И они ее решили! Более 22 веков назад, не пользуясь ничем, кроме самой элементарной геометрии - на уровне 8 класса (свойства прямой и окружности, подобные треугольники и теорема Пифагора). И, конечно, наблюдая за Луной и за Солнцем.

Над решением трудились несколько ученых. Мы выделим двух. Это математик Эратосфен, измеривший радиус земного шара, и астроном Аристарх, вычисливший размеры Луны, Солнца и расстояния до них. Как они это сделали?

Как измерили земной шар

То, что Земля не плоская, люди знали давно. Древние мореплаватели наблюдали, как постепенно меняется картина звездного неба: становятся видны новые созвездия, а другие, напротив, заходят за горизонт. Уплывающие вдаль корабли «уходят под воду», последними скрываются из вида верхушки их мачт. Кто первый высказал идею о шарообразности Земли, неизвестно. Скорее всего - пифагорейцы, считавшие шар совершеннейшей из фигур. Полтора века спустя Аристотель приводит несколько доказательств того, что Земля - шар. Главное из них: во время лунного затмения на поверхности Луны отчетливо видна тень от Земли, и эта тень круглая! С тех пор постоянно предпринимались попытки измерить радиус земного шара. Два простых способа изложены в упражнениях 1 и 2. Измерения, правда, получались неточными. Аристотель, например, ошибся более чем в полтора раза. Считается, что первым, кому удалось сделать это с высокой точностью, был греческий математик Эратосфен Киренский (276–194 до н. э.). Его имя теперь всем известно благодаря решету Эратосфена - способу находить простые числа (рис. 1).

Если вычеркнуть из натурального ряда единицу, затем вычеркивать все четные числа, кроме первого (самого числа 2), затем все числа, кратные трем, кроме первого из них (числа 3), и т. д., то в результате останутся одни простые числа. Среди современников Эратосфен был знаменит как крупнейший ученый-энциклопедист, занимавшийся не только математикой, но и географией, картографией и астрономией. Он долгое время возглавлял Александрийскую библиотеку - центр мировой науки того времени. Работая над составлением первого атласа Земли (речь, конечно, шла об известной к тому времени ее части), он задумал провести точное измерение земного шара. Идея была такова. В Александрии все знали, что на юге, в городе Сиена (современный Асуан), один день в году, в полдень, Солнце достигает зенита. Исчезает тень от вертикального шеста, на несколько минут освещается дно колодца. Происходит это в день летнего солнцестояния, 22 июня - день наивысшего положения Солнца на небе. Эратосфен направляет своих помощников в Сиену, и те устанавливают, что ровно в полдень (по солнечным часам) Солнце находится точно в зените. Одновременно (как написано в первоисточнике: «в тот же час»), т. е. в полдень по солнечным часам, Эратосфен измеряет длину тени от вертикального шеста в Александрии. Получился треугольник ABC (АС - шест, АВ - тень, рис. 2).

Итак, солнечный луч в Сиене (N ) перпендикулярен поверхности Земли, а значит, проходит через ее центр - точку Z . Параллельный ему луч в Александрии (А ) составляет угол γ = ACB с вертикалью. Пользуясь равенством накрест лежащих углов при параллельных, заключаем, что AZN = γ. Если обозначить через l длину окружности, а через х длину ее дуги AN , то получаем пропорцию . Угол γ в треугольнике АВС Эратосфен измерил, получилось 7,2°. Величина х - не что иное, как длина пути от Александрии до Сиены, примерно 800 км. Ее Эратосфен аккуратно вычисляет, исходя из среднего времени движения верблюжьих караванов, регулярно ходивших между двумя городами, а также используя данные бематистов - людей специальной профессии, измерявших расстояния шагами. Теперь осталось решить пропорцию , получив длину окружности (т. е. длину земного меридиана) l = 40000 км. Тогда радиус Земли R равен l /(2π), это примерно 6400 км. То, что длина земного меридиана выражается столь круглым числом в 40000 км, не удивительно, если вспомнить, что единица длины в 1 метр и была введена (во Франции в конце XVIII века) как одна сорокамиллионная часть окружности Земли (по определению!). Эратосфен, конечно, использовал другую единицу измерения - стадий (около 200 м). Стадиев было несколько: египетский, греческий, вавилонский, и каким из них пользовался Эратосфен - неизвестно. Поэтому трудно судить наверняка о точности его измерения. Кроме того, неизбежная ошибка возникала в силу географического положения двух городов. Эратосфен рассуждал так: если города находятся на одном меридиане (т. е. Александрия расположена в точности к северу от Сиены), то полдень в них наступает одновременно. Поэтому, сделав измерения во время наивысшего положения Солнца в каждом городе, мы должны получить правильный результат. Но на самом деле Александрия и Сиена - далеко не на одном меридиане. Сейчас в этом легко убедиться, взглянув на карту, но у Эратосфена такой возможности не было, он как раз и работал над составлением первых карт. Поэтому его метод (абсолютно верный!) привел к ошибке в определении радиуса Земли. Тем не менее, многие исследователи уверены, что точность измерения Эратосфена была высока и что он ошибся менее чем на 2%. Улучшить этот результат человечество смогло только через 2 тысячи лет, в середине XIX века. Над этим трудилась группа ученых во Франции и экспедиция В. Я. Струве в России. Даже в эпоху великих географических открытий, в XVI веке, люди не смогли достичь результата Эратосфена и пользовались неверным значением длины земной окружности в 37000 км. Ни Колумб, ни Магеллан не знали, каковы истинные размеры Земли и какие расстояния им придется преодолевать. Они-то считали, что длина экватора на 3 тысячи км меньше, чем на самом деле. Знали бы - может, и не поплыли бы.

В чем причина столь высокой точности метода Эратосфена (конечно, если он пользовался нужным стадием )? До него измерения были локальными, на расстояниях, обозримых человеческим глазом, т. е. не более 100 км. Таковы, например, способы в упражнениях 1 и 2. При этом неизбежны ошибки из-за рельефа местности, атмосферных явлений и т. д. Чтобы добиться большей точности, нужно проводить измерения глобально , на расстояниях, сравнимых с радиусом Земли. Расстояние в 800 км между Александрией и Сиеной оказалось вполне достаточным.

Упражнения
1. Как вычислить радиус Земли по следующим данным: с горы высотой 500 м просматриваются окрестности на расстоянии 80 км?
2. Как вычислить радиус Земли по следующим данным: корабль высотой 20 м, отплыв от берега на 16 км, полностью исчезает из вида?
3. Два друга - один в Москве, другой - в Туле, берут по метровому шесту и ставят их вертикально. В момент, в течение дня, когда тень от шеста достигает наименьшей длины, каждый из них измеряет длину тени. В Москве получилось а см, а в Туле - b см. Выразите радиус Земли через а и b. Города расположены на одном меридиане на расстоянии 185 км.

Как видно из упражнения 3, опыт Эратосфена можно проделать и в наших широтах, где Солнце никогда не бывает в зените. Правда, для этого нужны две точки обязательно на одном меридиане. Если же повторить опыт Эратосфена для Александрии и Сиены, и при этом сделать измерения в этих городах одновременно (сейчас для этого есть технические возможности), то мы получим верный ответ, при этом будет не важно, на каком меридиане находится Сиена (почему?).

Как измерили Луну и Солнце. Три шага Аристарха

Греческий остров Самос в Эгейском море - теперь глухая провинция. Сорок километров в длину, восемь - в ширину. На этом крохотном острове в разное время родились три величайших гения - математик Пифагор, философ Эпикур и астроном Аристарх. Про жизнь Аристарха Самосского известно мало. Даты жизни приблизительны: родился около 310 до н.э., умер около 230 до н.э. Как он выглядел, мы не знаем, ни одного изображения не сохранилось (современный памятник Аристарху в греческом городе Салоники - лишь фантазия скульптора) . Много лет провел в Александрии, где работал в библиотеке и в обсерватории. Главное его достижение - книга «О величинах и расстояниях Солнца и Луны», - по единодушному мнению историков, является настоящим научным подвигом. В ней он вычисляет радиус Солнца, радиус Луны и расстояния от Земли до Луны и до Солнца. Сделал он это в одиночку, пользуясь очень простой геометрией и всем известными результатами наблюдений за Солнцем и Луной. На этом Аристарх не останавливается, он делает несколько важнейших выводов о строении Вселенной, которые намного опередили свое время. Не случайно его назвали впоследствии «Коперником античности».

Вычисление Аристарха можно условно разбить на три шага. Каждый шаг сводится к простой геометрической задаче. Первые два шага совсем элементарны, третий - чуть посложнее. В геометрических построениях мы будем обозначать через Z , S и L центры Земли, Солнца и Луны соответственно, а через R , R s и R l - их радиусы. Все небесные тела будем считать шарами, а их орбиты - окружностями, как и считал сам Аристарх (хотя, как мы теперь знаем, это не совсем так). Мы начинаем с первого шага, и для этого немного понаблюдаем за Луной.

Шаг 1. Во сколько раз Солнце дальше, чем Луна?

Как известно, Луна светит отраженным солнечным светом. Если взять шар и посветить на него со стороны большим прожектором, то в любом положении освещенной окажется ровно половина поверхности шара. Граница освещенной полусферы - окружность, лежащая в плоскости, перпендикулярной лучам света. Таким образом, Солнце всегда освещает ровно половину поверхности Луны. Видимая нам форма Луны зависит от того, как расположена эта освещенная половина. При новолунии , когда Луна вовсе не видна на небе, Солнце освещает ее обратную сторону. Затем освещенная полусфера постепенно поворачивается в сторону Земли. Мы начинаем видеть тонкий серп, затем - месяц («растущая Луна»), далее - полукруг (эта фаза Луны называется «квадратурой»). Затем день ото дня (вернее, ночь от ночи) полукруг дорастает до полной Луны. Потом начинается обратный процесс: освещенная полусфера от нас отворачивается. Луна «стареет», постепенно превращаясь в месяц, повернутый к нам левой стороной, подобно букве «С», и, наконец, в ночь новолуния исчезает. Период от одного новолуния до другого длится примерно четыре недели. За это время Луна совершает полный оборот вокруг Земли. От новолуния до половины Луны проходит четверть периода, отсюда и название «квадратура».

Замечательная догадка Аристарха состояла в том, что при квадратуре солнечные лучи, освещающие половину Луны, перпендикулярны прямой, соединяющей Луну с Землей. Таким образом, в треугольнике ZLS угол при вершине L - прямой (рис. 3). Если теперь измерить угол LZS , обозначим его через α, то получим, что = cos α. Для простоты мы считаем, что наблюдатель находится в центре Земли. Это несильно повлияет на результат, поскольку расстояния от Земли до Луны и до Солнца значительно превосходят радиус Земли. Итак, измерив угол α между лучами ZL и ZS во время квадратуры, Аристарх вычисляет отношение расстояний до Луны и до Солнца. Как одновременно застать Солнце и Луну на небосводе? Это можно сделать ранним утром. Сложность возникает по другому, неожиданному, поводу. Во времена Аристарха не было косинусов. Первые понятия тригонометрии появятся позже, в работах Аполлония и Архимеда. Но Аристарх знал, что такое подобные треугольники, и этого было достаточно. Начертив маленький прямоугольный треугольник Z"L"S" с тем же острым углом α = L"Z"S" и измерив его стороны, находим, что , и это отношение примерно равно 1/400.

Шаг 2. Во сколько раз Солнце больше Луны?

Для того чтобы найти отношение радиусов Солнца и Луны, Аристарх привлекает солнечные затмения (рис. 4). Они происходят, когда Луна загораживает Солнце. При частичном, или, как говорят астрономы, частном , затмении Луна лишь проходит по диску Солнца, не закрывая его полностью. Порой такое затмение даже нельзя разглядеть невооруженным глазом, Солнце светит как в обычный день. Лишь сквозь сильное затемнение, например, закопченное стекло, видно, как часть солнечного диска закрыта черным кругом. Гораздо реже происходит полное затмение, когда Луна на несколько минут полностью закрывает солнечный диск.

В это время становится темно, на небе появляются звезды. Затмения наводили ужас на древних людей, считались предвестниками трагедий. Солнечное затмение наблюдается по-разному в разных частях Земли. Во время полного затмения на поверхности Земли возникает тень от Луны - круг, диаметр которого не превосходит 270 км. Лишь в тех районах земного шара, по которым проходит эта тень, можно наблюдать полное затмение. Поэтому в одном и том же месте полное затмение происходит крайне редко - в среднем раз в 200–300 лет. Аристарху повезло - он смог наблюдать полное солнечное затмение собственными глазами. На безоблачном небе Солнце постепенно начало тускнеть и уменьшаться в размерах, установились сумерки. На несколько мгновений Солнце исчезло. Потом проглянул первый луч света, солнечный диск стал расти, и вскоре Солнце засветило в полную силу. Почему затмение длится столь короткое время? Аристарх отвечает: причина в том, что Луна имеет те же видимые размеры на небе, что и Солнце. Что это значит? Проведем плоскость через центры Земли, Солнца и Луны. Получившееся сечение изображено на рисунке 5a . Угол между касательными, проведенными из точки Z к окружности Луны, называется угловым размером Луны, или ее угловым диаметром. Так же определяется угловой размер Солнца. Если угловые диаметры Солнца и Луны совпадают, то они имеют одинаковые видимые размеры на небе, а при затмении Луна действительно полностью загораживает Солнце (рис. 5б ), но лишь на мгновение, когда совпадут лучи ZL и ZS . На фотографии полного солнечного затмения (см. рис. 4) ясно видно равенство размеров.

Вывод Аристарха оказался поразительно точен! В реальности средние угловые диаметры Солнца и Луны отличаются всего на 1,5%. Мы вынуждены говорить о средних диаметрах, поскольку они меняются в течение года, так как планеты движутся не по окружностям, а по эллипсам.

Соединив центр Земли Z с центрами Солнца S и Луны L , а также с точками касания Р и Q , получим два прямоугольных треугольника ZSP и ZLQ (см. рис. 5a ). Они подобны, поскольку у них есть пара равных острых углов β/2. Следовательно, . Таким образом, отношение радиусов Солнца и Луны равно отношению расстояний от их центров до центра Земли . Итак, R s /R l = κ = 400. Несмотря на то, что их видимые размеры равны, Солнце оказалось больше Луны в 400 раз!

Равенство угловых размеров Луны и Солнца - счастливое совпадение. Оно не вытекает из законов механики. У многих планет Солнечной системы есть спутники: у Марса их два, у Юпитера - четыре (и еще несколько десятков мелких), и все они имеют разные угловые размеры, не совпадающие с солнечным.

Теперь мы приступаем к решающему и самому сложному шагу.

Шаг 3. Вычисление размеров Солнца и Луны и расстояний до них

Итак, нам известно отношение размеров Солнца и Луны и отношение их расстояний до Земли. Эта информация относительна : она восстанавливает картину окружающего мира лишь с точностью до подобия. Можно удалить Луну и Солнце от Земли в 10 раз, увеличив во столько же раз их размеры, и видимая с Земли картина останется такой же. Чтобы найти реальные размеры небесных тел, надо соотнести их с каким-то известным размером. Но из всех астрономических величин Аристарху пока известен только радиус земного шара R = 6400 км. Поможет ли это? Хоть в каком-то из видимых явлений, происходящих на небе, появляется радиус Земли? Не случайно говорят «небо и земля», имея в виду две несовместные вещи. И всё же такое явление есть. Это - лунное затмение. С его помощью, применив довольно хитроумное геометрическое построение, Аристарх вычисляет отношение радиуса Солнца к радиусу Земли, и цепь замыкается: теперь мы одновременно находим радиус Луны, радиус Солнца, а заодно и расстояния от Луны и от Солнца до Земли.

При лунном затмении Луна уходит в тень Земли. Спрятавшись за Землю, Луна лишается солнечного света, и, таким образом, перестает светить. Она не исчезает из вида полностью, поскольку небольшая часть солнечного света рассеивается земной атмосферой и доходит до Луны в обход Земли. Луна темнеет, приобретая красноватый оттенок (через атмосферу лучше всего проходят красные и оранжевые лучи). На лунном диске при этом отчетливо видна тень от Земли (рис. 6). Круглая форма тени еще раз подтверждает шарообразность Земли. Аристарха же интересовал размер этой тени. Для того, чтобы определить радиус круга земной тени (мы сделаем это по фотографии на рисунке 6), достаточно решить простое упражнение.

Упражнение 4. На плоскости дана дуга окружности. С помощью циркуля и линейки постройте отрезок, равный ее радиусу.

Выполнив построение, находим, что радиус земной тени примерно в раза больше радиуса Луны. Обратимся теперь к рисунку 7. Серым цветом закрашена область земной тени, в которую попадает Луна при затмении. Предположим, что центры окружностей S , Z и L лежат на одной прямой. Проведем диаметр Луны M 1 M 2 , перпендикулярный прямой LS. Продолжение этого диаметра пересекает общие касательные окружностей Солнца и Земли в точках D 1 и D 2 . Тогда отрезок D 1 D 2 приближенно равен диаметру тени Земли. Мы пришли к следующей задаче.

Задача 1. Даны три окружности с центрами S , Z и L , лежащими на одной прямой. Отрезок D 1 D 2 , проходящий через L , перпендикулярен прямой SL , а его концы лежат на общих внешних касательных к первой и второй окружностям. Известно, что отношение отрезка D 1 D 2 к диаметру третьей окружности равно t , а отношение диаметров первой и третьей окружности равно ZS /ZL = κ. Найдите отношение диаметров первой и второй окружностей.

Если решить эту задачу, то будет найдено отношение радиусов Солнца и Земли. Значит, будет найден радиус Солнца, а с ним и Луны. Но решить ее не удастся. Можете попробовать - в задаче не достает одного данного. Например, угла между общими внешними касательными к первым двум окружностям. Но даже если этот угол был бы известен, решение будет использовать тригонометрию, которую Аристарх не знал (мы формулируем соответствующую задачу в упражнении 6). Он находит более простой выход. Проведем диаметр A 1 A 2 первой окружности и диаметр B 1 B 2 второй, оба - параллельные отрезку D 1 D 2 . Пусть C 1 и С 2 - точки пересечения отрезка D 1 D 2 с прямыми A 1 B 1 и А 2 В 2 соответственно (рис. 8). Тогда в качестве диаметра земной тени возьмем отрезок C 1 C 2 вместо отрезка D 1 D 2 . Стоп, стоп! Что значит, «возьмем один отрезок вместо другого»? Они же не равны! Отрезок C 1 C 2 лежит внутри отрезка D 1 D 2 , значит C 1 C 2 < D 1 D 2. Да, отрезки разные, но они почти равны. Дело в том, что расстояние от Земли до Солнца во много раз больше диаметра Солнца (примерно в 215 раз). Поэтому расстояние ZS между центрами первой и второй окружности значительно превосходит их диаметры. Значит, угол между общими внешними касательными к этим окружностям близок к нулю (в реальности он примерно 0,5°), т. е. касательные «почти параллельны». Если бы они были в точности параллельны, то точки A 1 и B 1 совпадали бы с точками касания, следовательно, точка C 1 совпала бы с D 1 , а C 2 с D 2 , и значит, C 1 C 2 = D 1 D 2 . Таким образом, отрезки C 1 C 2 и D 1 D 2 почти равны. Интуиция и здесь не подвела Аристарха: на самом деле отличие между длинами отрезков составляет менее сотой доли процента! Это - ничто по сравнению с возможными погрешностями измерений. Убрав теперь лишние линии, включая окружности и их общие касательные, приходим к такой задаче.

Задача 1". На боковых сторонах трапеции А 1 А 2 С 2 С 1 взяты точки B 1 и В 2 так, что отрезок В 1 В 2 параллелен основаниям. Пусть S , Z u L - середины отрезков А 1 А 2 , B 1 B 2 и C 1 C 2 соответственно. На основании C 1 C 2 лежит отрезок М 1 М 2 с серединой L . Известно, что и . Найдите А 1 А 2 /B 1 B 2 .

Решение. Так как , то , а значит, треугольники A 2 SZ и M 1 LZ подобны с коэффициентом SZ /LZ = κ. Следовательно, A 2 SZ = M 1 LZ , и поэтому точка Z лежит на отрезке M 1 A 2 . Аналогично, Z лежит на отрезке М 2 А 1 (рис. 9). Так как C 1 C 2 = t·М 1 М 2 и , то .

Следовательно,

С другой стороны,

Значит, . Из этого равенства сразу получаем, что .

Итак, отношение диаметров Солнца и Земли равно , а Луны и Земли равно .

Подставляя известные нам величины κ = 400 и t = 8/3, получаем, что Луна примерно в 3,66 раза меньше Земли, а Солнце в 109 раз больше Земли. Так как радиус Земли R нам известен, находим радиус Луны R l = R /3,66 и радиус Солнца R s = 109R .

Теперь расстояния от Земли до Луны и до Солнца вычисляются в один шаг, это может быть сделано с помощью углового диаметра. Угловой диаметр β Солнца и Луны составляет примерно полградуса (если быть совсем точным, 0,53°). Как древние астрономы его измеряли, об этом речь впереди. Опустив касательную ZQ на окружность Луны, получаем прямоугольный треугольник ZLQ с острым углом β/2 (рис. 10).

Из него находим , что примерно равно 215R l , или 62R . Аналогично, расстояние до Солнца равно 215R s = 23 455R .

Всё. Размеры Солнца и Луны и расстояния до них найдены.

Упражнения
5. Докажите, что прямые A 1 B 1 , A 2 B 2 и две общие внешние касательные к первой и второй окружностям (см. рис. 8) пересекаются в одной точке.
6. Решите задачу 1, если дополнительно известен угол между касательными между первой и второй окружностью.
7. Солнечное затмение может наблюдаться в одних частях земного шара и не наблюдаться других. А лунное затмение?
8. Докажите, что солнечное затмение может наблюдаться только во время новолуния, а лунное затмение - только во время полнолуния.
9. Что происходит на Луне, когда на Земле происходит лунное затмение?

О пользе ошибок

На самом деле всё было несколько сложнее. Геометрия только формировалась, и многие привычные для нас еще с восьмого класса школы вещи были в то время совсем не очевидны. Аристарху потребовалось написать целую книгу, чтобы изложить то, что мы изложили на трех страницах. И с экспериментальными измерениями тоже всё было непросто. Во-первых, Аристарх ошибся с измерением диаметра земной тени во время лунного затмения, получив отношение t = 2 вместо . Кроме того, он, вроде бы, исходил из неверного значения угла β - углового диаметра Солнца, считая его равным 2°. Но эта версия спорная: Архимед в своем трактате «Псаммит» пишет, что, напротив, Аристарх пользовался почти правильным значением в 0,5°. Однако самая ужасная ошибка произошла на первом шаге, при вычислении параметра κ - отношения расстояний от Земли до Солнца и до Луны. Вместо κ = 400 у Аристарха получилось κ = 19. Как можно было ошибиться более чем в 20 раз? Обратимся еще раз к шагу 1, рисунок 3. Для того чтобы найти отношение κ = ZS /ZL , Аристарх измерил угол α = SZL , и тогда κ = 1/cos α. Например, если угол α был бы равен 60°, то мы получили бы κ = 2, и Солнце было бы вдвое дальше от Земли, чем Луна. Но результат измерения оказался неожиданным: угол α получался почти прямым. Это означало, что катет ZS во много раз превосходит ZL . У Аристарха получилось α = 87°, и тогда cos α =1/19 (напомним, что все вычисления у нас - приближенные). Истинное значение угла , и cos α =1/400. Так погрешность измерения менее чем в 3° привела к ошибке в 20 раз! Завершив вычисления, Аристарх приходит к выводу, что радиус Солнца равен 6,5 радиусов Земли (вместо 109).

Ошибки были неизбежны, учитывая несовершенные измерительные приборы того времени. Важнее то, что метод оказался правильным. Вскоре (по историческим меркам, т. е. примерно через 100 лет) выдающийся астроном античности Гиппарх (190 – ок. 120 до н.э.) устранит все неточности и, следуя методу Аристарха, вычислит правильные размеры Солнца и Луны. Возможно, ошибка Аристарха оказалась в конце концов даже полезной. До него господствовало мнение, что Солнце и Луна либо вовсе имеют одинаковые размеры (как и кажется земному наблюдателю), либо отличаются несильно. Даже отличие в 19 раз удивило современников. Поэтому не исключено, что, найди Аристарх правильное отношение κ = 400, в это никто бы не поверил, а может быть, и сам ученый отказался бы от своего метода, сочтя результат несуразным. Известный принцип гласит, что геометрия - это искусство хорошо рассуждать на плохо выполненных чертежах. Перефразируя, можно сказать, что наука в целом - это искусство делать верные выводы из неточных, или даже ошибочных, наблюдений. И Аристарх такой вывод сделал. За 17 веков до Коперника он понял, что в центре мира находится не Земля, а Солнце. Так впервые появилась гелиоцентрическая модель и понятие Солнечной системы.

Что в центре?

Господствовавшее в Древнем Мире представление об устройстве Вселенной, знакомое нам по урокам истории, заключалось в том, что в центре мира - неподвижная Земля, вокруг нее по круговым орбитам вращаются 7 планет, включая Луну и Солнце (которое тоже считалось планетой). Завершается всё небесной сферой с прикрепленными к ней звездами. Сфера вращается вокруг Земли, делая полный оборот за 24 часа. Со временем в эту модель многократно вносились исправления. Так, стали считать, что небесная сфера неподвижна, а Земля вращается вокруг своей оси. Затем стали исправлять траектории движения планет: круги заменили циклоидами, т. е. линиями, которые описывают точки окружности при ее движении по другой окружности (об этих замечательных линиях можно прочитать в книгах Г. Н. Бермана «Циклоида», А. И. Маркушевича «Замечательные кривые», а также в «Кванте»: статья С. Верова «Тайны циклоиды» №8, 1975, и статья С. Г. Гиндикина «Звездный век циклоиды», №6, 1985). Циклоиды лучше согласовывались с результатами наблюдений, в частности, объясняли «попятные» движения планет. Это - геоцентрическая система мира, в центре которой - Земля («гея»). Во II веке она приняла окончательный вид в книге «Альмагест» Клавдия Птолемея (87–165), выдающегося греческого астронома, однофамильца египетских царей. Со временем некоторые циклоиды усложнялись, добавлялись всё новые промежуточные окружности. Но в целом система Птолемея господствовала около полутора тысячелетий, до XVI века, до открытий Коперника и Кеплера. Поначалу геоцентрической модели придерживался и Аристарх. Однако, вычислив, что радиус Солнца в 6,5 раз больше радиуса Земли, он задал простой вопрос: почему такое большое Солнце должно вращаться вокруг такой маленькой Земли? Ведь если радиус Солнца больше в 6,5 раз, то его объем больше почти в 275 раз! Значит, в центре мира должно находиться Солнце. Вокруг него вращаются 6 планет, включая Землю. А седьмая планета, Луна, вращается вокруг Земли. Так появилась гелиоцентрическая система мира («гелиос» - Солнце). Уже сам Аристарх отмечал, что такая модель лучше объясняет видимое движение планет по круговым орбитам, лучше согласуется с результатами наблюдений. Но ее не приняли ни ученые, ни официальные власти. Аристарх был обвинен в безбожии и подвергся преследованиям. Из всех астрономов античности только Селевк стал сторонником новой модели. Больше ее не принял никто, по крайней мере, у историков нет твердых сведений на этот счет. Даже Архимед и Гиппарх, почитавшие Аристарха и развившие многие его идеи, не решились поставить Солнце в центр мира. Почему?

Почему мир не принял гелиоцентрической системы?

Как же получилось, что в течение 17 веков ученые не принимали простой и логичной системы мира, предложенной Аристархом? И это несмотря на то, что официально признанная геоцентрическая система Птолемея часто давала сбои, не согласуясь с результатами наблюдений за планетами и за звездами. Приходилось добавлять всё новые окружности (так называемые вложенные циклы) для «правильного» описания движения планет. Самого Птолемея трудности не пугали, он писал: «К чему удивляться сложному движению небесных тел, если их сущность нам неизвестна?» Однако уже к XIII веку этих окружностей накопилось 75! Модель стала столь громоздкой, что начали раздаваться осторожные возражения: неужели мир в самом деле устроен так сложно? Широко известен случай с Альфонсом X (1226–1284), королем Кастилии и Леона, государства, занимавшего часть современной Испании. Он, покровитель наук и искусств, собравший при своем дворе пятьдесят лучших астрономов мира, на одной из научных бесед обмолвился, что «если бы при сотворении мира Господь оказал мне честь и спросил моего совета, многое было бы устроено проще». Подобная дерзость не прощалась даже королям: Альфонс был низложен и отправлен в монастырь. Но сомнения остались. Часть из них можно было бы разрешить, поставив Солнце в центр Вселенной и приняв систему Аристарха. Его труды были хорошо известны. Однако еще много веков никто из ученых не решался на такой шаг. Причины были не только в страхе перед властями и официальной церковью, которая считала теорию Птолемея единственно верной. И не только в инертности человеческого мышления: не так-то просто признать, что наша Земля - не центр мира, а лишь рядовая планета. Все-таки для настоящего ученого ни страх, ни стереотипы - не препятствия на пути к истине. Гелиоцентрическая система отвергалась по вполне научным, можно даже сказать, геометрическим причинам. Если допустить, что Земля вращается вокруг Солнца, то ее траектория - окружность с радиусом, равным расстоянию от Земли до Солнца. Как мы знаем, это расстояние равно 23 455 радиусов Земли, т. е. более 150 миллионов километров. Значит, Земля в течение полугода перемещается на 300 миллионов километров. Гигантская величина! Но картина звездного неба для земного наблюдателя при этом остается такой же. Земля то приближается, то удаляется от звезд на 300 миллионов километров, но ни видимые расстояния между звездами (например, форма созвездий), ни их яркость не меняются. Это означает, что расстояния до звезд должны быть еще в несколько тысяч раз больше, т. е. небесная сфера должна иметь совершенно невообразимые размеры! Это, между прочим, осознавал и сам Аристарх, который писал в своей книге: «Объем сферы неподвижных звезд во столько раз больше объема сферы с радиусом Земля-Солнце, во сколько раз объем последней больше объема земного шара», т. е. по Аристарху выходило, что расстояние до звезд равно (23 455) 2 R , это более 3,5 триллионов километров. В реальности расстояние от Солнца до ближайшей звезды еще примерно в 11 раз больше. (В модели, которую мы представили в самом начале, когда расстояние от Земли до Солнца равно 10 м, расстояние до ближайшей звезды равно... 2700 километров!) Вместо компактного и уютного мира, в центре которого находится Земля и который помещается внутри относительно небольшой небесной сферы, Аристарх нарисовал бездну. И эта бездна испугала всех.

Венера, Меркурий и невозможность геоцентрической системы

Между тем невозможность геоцентрической системы мира, с круговыми движениями всех планет вокруг Земли, может быть установлена с помощью простой геометрической задачи.

Задача 2. Наплоскости даны две окружности с общим центром О , по ним равномерно движутся две точки: точка М по одной окружности и точка V по другой. Докажите, что либо они двигаются в одном направлении с одинаковой угловой скоростью, либо в некоторый момент времени угол MOV тупой.

Решение. Если точки движутся в одном направлении с разными скоростями, то через некоторое время лучи ОМ и OV окажутся сонаправленными. Далее угол MOV начинает монотонно возрастать до следующего совпадения, т. е. до 360°. Следовательно, в некоторый момент он равен 180°. Случай, когда точки движутся в разных направлениях, рассматривается так же.

Теорема. Ситуация, при которой все планеты Солнечной системы равномерно вращаются вокруг Земли по круговым орбитам, невозможна.

Доказательство. Пусть О - центр Земли, М - центр Меркурия, а V - центр Венеры. Согласно многолетним наблюдениям, у Меркурия и Венеры разные периоды обращения, а угол MOV никогда не превосходит 76°. В силу результата задачи 2 теорема доказана.

Конечно, древние греки неоднократно встречались с подобными парадоксами. Именно поэтому, чтобы спасти геоцентрическую модель мира, они заставили планеты двигаться не по окружностям, а по циклоидам.

Доказательство теоремы не совсем честно, поскольку Меркурий и Венера вращаются не в одной плоскости, как в задаче 2, а в разных. Хотя плоскости их орбит почти совпадают: угол между ними - всего несколько градусов. В упражнении 10 мы предлагаем вам устранить этот недостаток и решить аналог задачи 2 для точек, вращающихся в разных плоскостях. Другое возражение: может быть, угол MOV бывает тупым, но мы этого не видим, поскольку на Земле в это время день? Принимаем и это. В упражнении 11 нужно доказать, что для трех вращающихся радиусов всегда настанет момент времени, когда они будут образовывать друг с другом тупые углы. Если на концах радиусов - Меркурий, Венера и Солнце, то в этот момент времени Меркурий и Венера будут видны на небе, а Солнце - нет, т. е. на земле будет ночь. Но должны предупредить: упражнения 10 и 11 значительно сложнее задачи 2. Наконец, в упражнении 12 мы предлагаем вам, ни много ни мало, вычислить расстояние от Венеры до Солнца и от Меркурия до Солнца (они, конечно, вращаются вокруг Солнца, а не вокруг Земли). Убедитесь сами, насколько это просто, после того, как мы узнали метод Аристарха.

Упражнения
10. В пространстве даны две окружности с общим центром О , по ним равномерно с разными угловыми скоростями движутся две точки: точка М по одной окружности и точка V по другой. Докажите, что в некоторый момент угол MOV тупой.
11. На плоскости даны три окружности с общим центром О , по ним равномерно с разными угловыми скоростями движутся три точки. Докажите, что в некоторый момент все три угла между лучами с вершиной О , направленными в данные точки, тупые.
12. Известно, что максимальное угловое расстояние между Венерой и Солнцем, т. е. максимальный угол между лучами, направленными с Земли к центрам Венеры и Солнца, равно 48°. Найдите радиус орбиты Венеры. То же - для Меркурия, если известно, что максимальное угловое расстояние между Меркурием и Солнцем равно 28°.

Последний штрих: измерение угловых размеров Солнца и Луны

Следуя шаг за шагом рассуждениям Аристарха, мы упустили лишь один аспект: как измерялся угловой диаметр Солнца? Сам Аристарх этого не делал, пользуясь измерениями других астрономов (по-видимому, не совсем верными). Напомним, что радиусы Солнца и Луны он смог вычислить, не привлекая их угловые диаметры. Посмотрите еще раз на шаги 1, 2 и 3: нигде значение углового диаметра не используется! Он нужен только для вычисления расстояний до Солнца и до Луны. Попытка определить угловой размер «на глазок» успеха не приносит. Если попросить несколько человек оценить угловой диаметр Луны, большинство назовут угол от 3 до 5 градусов, что в разы больше истинного значения. Сказывается обман зрения: ярко-белая Луна на фоне темного неба кажется массивной. Первым, кто провел математически строгое измерение углового диаметра Солнца и Луны, был Архимед (287- 212до н.э.) Он изложил свой метод в книге «Псаммит» («Исчисление песчинок»). Сложность задачи он осознавал: «Получить точное значение этого угла - дело нелегкое, потому что ни глаз, ни руки, ни приборы, при помощи которых производится отсчет, не обеспечивают достаточной точности». Поэтому Архимед не берется вычислить точное значение углового диаметра Солнца, он лишь оценивает его сверху и снизу. Он помещает круглый цилиндр на конце длинной линейки, напротив глаза наблюдателя. Линейка направляется на Солнце, и цилиндр придвигается к глазу до тех пор, пока он не заслонит собой Солнце полностью. Затем наблюдатель уходит, а на конце линейки отмечается отрезок MN , равный размеру человеческого зрачка (рис. 11).

Тогда угол α 1 между прямыми МР и NQ меньше углового диаметра Солнца, а угол α 2 = POQ - больше. Мы обозначили через PQ диаметр основания цилиндра, а через О - середину отрезка MN . Итак, α 1 < β < α 2 (докажите это в упражнении 13). Так Архимед находит, что угловой диаметр Солнца заключен в пределах от 0,45° до 0,55°.

Неясным остается, почему Архимед измеряет Солнце, а не Луну. Он был хорошо знаком с книгой Аристарха и знал, что угловые диаметры Солнца и Луны одинаковы. Луну же измерять гораздо удобнее: она не слепит глаза и границы ее видны отчетливее.

Некоторые древние астрономы измеряли угловой диаметр Солнца, исходя из продолжительности солнечного или лунного затмения. (Попробуйте восстановить этот способ в упражнении 14.) А можно сделать то же, не дожидаясь затмений, а просто наблюдая закат Солнца. Выберем для этого день весеннего равноденствия 22 марта, когда Солнце восходит точно на востоке, а заходит точно на западе. Это означает, что точки восхода Е и заката W диаметрально противоположны. Для земного наблюдателя Солнце движется по окружности с диаметром EW . Плоскость этой окружности составляет с плоскостью горизонта угол 90° – γ, где γ - географическая широта точки М , в которой находится наблюдатель (например, для Москвы γ = 55,5°, для Александрии γ = 31°). Доказательство приведено на рисунке 12. Прямая ZP - ось вращения Земли, перпендикулярная плоскости экватора. Широта точки М - угол между отрезком ZP и плоскостью экватора. Проведем через центр Солнца S плоскость α, перпендикулярную оси ZP .

Плоскость горизонта касается земного шара в точке М . Для наблюдателя, находящегося в точке М , Солнце в течение дня движется по окружности в плоскости α с центром Р и радиусом PS . Угол между плоскостью α и плоскостью горизонта равен углу MZP , который равен 90° – γ, поскольку плоскость α перпендикулярна ZP , а плоскость горизонта перпендикулярна ZM . Итак, в день равноденствия Солнце заходит за горизонт под углом 90° – γ. Следовательно, во время заката оно проходит дугу окружности, равную β/cos γ, где β - угловой диаметр Солнца (рис. 13). С другой стороны, за 24 часа оно проходит по этой окружности полный оборот, т. е. 360°.

Получаем пропорцию где Именно шесть, а не девять, поскольку Уран, Нептун и Плутон были открыты гораздо позже. Совсем недавно, 13 сентября 2006 года, по решению Международного астрономического союза (IAU) Плутон лишился статуса планеты. Так что планет в Солнечной системе теперь восемь.
Истинной причиной опалы короля Альфонса была, видимо, обычная борьба за власть, но его ироничное замечание об устройстве мира послужило веским поводом для его недругов.

Коперник античного мира . Первым, кто поставил перед тобой цель измерить расстояние до небесных светил, был греческий ученый Аристарх Самосский (ок. 310 - ок. 250 гг. до н. э.). Родился он на острове Самос и некоторое время проживал в Александрии, которая была тогда столицей Египта и важным научным центром. Следует лишь напомнить, что александрийская библиотека насчитывала около 700 000 рукописных книг! Именно здесь развитие естественных наук происходило на базе строгих математических методов и наблюдений.

Есть основания полагать, что Аристарх был знаком с успехами вавилонской астрономии. Именно в это время, около 982 г. до н. э., на греческий остров Кос переселился вавилонский жрец Берос, который организовал там астрономическую обсерваторию и написал трехтомную книгу с изложением вавилонской истории и астрономии. Конечно, следует иметь в виду, что хотя древневавилонские астрономы уже умели предвидеть положение планет на небе, они совсем не интересовались ни механизмом их движения, ни вопросами о расстояниях и размерах светил.

Если же говорить о древнегреческих философах, то все количественные данные о масштабах мира, указанные в их грудах, были, конечно же, просто выдуманными и безосновательными, хотя в их высказываниях и проскальзывали весьма удачные догадки. Например, упоминавшийся выше Филолай утверждал, что расстояния небесных тел от центрального огня возрастают в геометрической прогрессии, так что каждое следующее светило расположено втрое дальше от него, чем предыдущее. Скажи он «вдвое», и за две тысячи лет предвосхитил бы правило Тициуса - Боде (с. 203)...

Несомненно, много греческих философов до Аристарха любовались Луной, наблюдали ее перемещение среди звезд. Но лишь Аристарх догадался, что после некоторых измерений и расчетов становится возможным установить расстояния в системе Солнце - Земля - Луна. Это он и сделал в труде «О величинах и расстояниях Солнца и Луны» (единственном дошедшем до нас).

Прежде всего Аристарх формулирует следующие исходные положения: «1) Луна заимствует свет от Солнца, 2) Земля по отношению к лунной сфере является точкой и центром, 3) когда Луна является нам рассеченной пополам, то большой круг, разделяющий темную и светлую части Луны, лежит в плоскости, проходящей через наш глаз, 4) когда Луна является нам рассеченной пополам, то ее расстояние от Солнца меньше четверти окружности без тридцатой части этой четверти, 5) ширина земной тени вмещает две Луны и 6) Луна стягивает пятнадцатую часть знака зодиака».

Первые три утверждения не требуют объяснений. Что же касается четвертого, то оно означает следующее: тридцатая часть четверти круга - это 3° (= 90°:30). Очевидно, что на основании собственных наблюдений Аристарх пришел к выводу, что угловое расстояние от Солнца до Луны, когда она находится в первой четверти, составляет 87° (рис. 8). В этот момент в системе Земля - Луна - Солнце угол SLT будет прямым, а угол LST равен 3° (= 90°−87°).

Аристарх продолжает: «Отсюда можно вывести, что расстояние от Земли до Солнца больше расстояния до Луны более, нежели в восемнадцать, но менее, чем в двадцать раз - на основании предположения о Луне, рассеченной пополам; что такое же отношение имеет диаметр Солнца к диаметру Луны; что диаметр Солнца к диаметру Земли имеет отношение больше чем 19 к 3, но меньше чем 43 к 6 - на основании найденного для расстояний отношения, сделанного предположения относительно тени, а также допущения, что Луна стягивает пятнадцатую часть знака зодиака».

На основании указанных выше данных сегодня школьник легко установит, во сколько же раз Луна ближе к Земле, нежели Солнце. Для этого из треугольника TLS ему необходимо найти отношения сторон TL и TS . Очевидно,

TL /TS = sin 3° = 0,0523 = 1/19,1,

Иначе говоря, если и в самом деле в первой четверти Луна размещена на угловом расстоянии 87° от Солнца, то расстояние до нее составляет 1/19 расстояния до Солнца.

Во времена Аристарха тригонометрия находилась, как это принято говорить, в зачаточном состоянии. Поэтому он получил указанный выше результат путем геометрических построений.

Аналогичным путем Аристарх приходит также к выводу, что «диаметр Солнца более чем в 18 раз и менее чем в 20 раз больше диаметра Луны», что «диаметр Луны менее двух сорок пятых, но более одной тридцатой части расстояния, на которое центр Луны удален от нашего глаза» и что «диаметр Солнца к диаметру Земли имеет отношение большее, чем 19 к 3, но меньшее, чем 43 к 6».

Можно посочувствовать ученым древности и средневековья, ведь до 1585 г. (!) они не знали, что вместо такого сравнения целых чисел (а их было нелегко подобрать) можно просто записать число с десятичной дробью...

В целом, если обозначить через R ⊕ радиус Земли, то из вычислений Аристарха следует, что

1) радиус Солнца R ☉ ≈ 7R ⊕ ,

2) радиус Луны R ☾ ≈ 7/19R ⊕ ,

3) расстояние от Земли до Луны r ☾ ≈ 19R ⊕ ,

4) расстояние от Земли до Солнца r ☉ ≈ 19r ☾ ≈ 361R ⊕ .

Это был первый в истории астрономии труд, в котором расстояния между небесными телами были определены на основании наблюдений. Правда, сам результат измерений был очень неточен. Ведь угловое расстояние Луны от Солнца в момент первой четверти меньше 90° не на 3°, а всего на 9′ (причем во времена Аристарха еще не было принято делить круг на градусы). Поэтому и Солнце находится от Земли не в 19, а в 400 раз дальше, нежели Луна. Дело в том, что установить момент, когда мы видим освещенной ровно половину Луны, вообще очень трудно даже сейчас, пользуясь современными телескопами...

Но здесь более важно другое. На основании своих вычислений Аристарх нашел, что «Солнце имеет к Земле отношение большее, чем 6859 к 27, но меньшее, чем 79 507 к 216». Речь здесь идет о сравнении объемов Солнца и Земли: объем Солнца по Аристарху в 343 больше. И, по-видимому, именно эти вычисления привели его позже к выводу, что Солнце, как большее тело, размещено в центре мира и что Земля вместе с другими планетами обращается вокруг него.

Вот что писал об этой первой гелиоцентрической системе мира выдающийся ученый Архимед (ок. 287-212 гг. до н. э.) в своем труде «Псаммит» («Исчисление песчинок»): «...по представлениям некоторых астрономов, мир имеет форму шара, центр которого совпадает с центром Земли, а радиус равен длине прямой, соединяющей центры Земли и Солнца. Но Аристарх Самосский в своих «Предположениях», написанных им против астрономов, отвергая это представление, приходит к заключению, что мир гораздо больших размеров, чем только что указано. Он полагает, что неподвижные звезды и Солнце не меняют своего места в пространстве, что Земля движется по окружности вокруг Солнца, расположенного в ее центре, и что центр сферы неподвижных звезд совпадает с центром Солнца, а размер этой сферы таков, что окружность, описываемая, по его предположению, Землей, находится к расстоянию неподвижных звезд в таком же отношении, в каком центр шара находится к его поверхности...».

К сожалению, упомянутые «Предположения» Аристарха до нас не дошли. Поэтому мы практически ничего больше не знаем о тех доказательствах, с помощью которых Аристарх, этот Коперник античного мира, обосновал правильность гелиоцентрической модели мира...

Если же говорить о расстоянии от Земли до Солнца, то, как мы уже видели, Аристарх установил, будто оно в 19 раз превышает расстояние от Земли до Луны. Это число астрономы не подвергали сомнению на протяжении около 1800 лет!

И, наконец, расстояние от Земли до Луны Аристарх установил, допуская, что угловой диаметр Луны (как и Солнца) составляет 2° (именно столько составляет 1/15 часть знака зодиака, так как 12 зодиакальных созвездий вместе описывают вокруг Земли пояс протяженностью 360°). На самом же деле угловой диаметр Луны в четыре раза меньше.

Трудно сказать, почему Аристарх в этом, явно раннем, труде принял такое значение. Ведь в то время астрономы уже умели определять видимый диаметр Солнца. В частности, вавилонские жрецы делали это очень простым способом. С помощью водяных часов (клепсидры ) они определяли промежуток времени, проходящий от момента касания горизонта нижнего края Солнца до момента, когда за горизонт прячется его верхний край. Очевидно, что угловой диаметр Солнца будет составлять такую часть от 360°, какую от 24 часов, в течение которых небосвод делает полный оборот, составляет измеренный отрезок времени. Вавилонские астрономы установили, что заход Солнца продолжается 2 минуты, т. е. 1/720 часть суток. Следовательно, видимый угловой диаметр Солнца составляет 360°/720= ½°.

В «Псаммите» Архимед ссылается на Аристарха, по мнению которого будто бы «видимые размеры Солнца составляют 1/720 часть его орбиты». Несомненно, Аристарх знал и истинную величину углового диаметра Луны. Однако неизвестно, осуществлял ли он на этом основании новые расчеты расстояния до Луны и Солнца...

Как видно из сказанного выше, естественной единицей при измерении расстояний до Луны и Солнца является радиус Земли. Посмотрим теперь, что было известно о его величине во времена Аристарха...

Первые землемеры . То, что Земля является шаром, убедительно обосновал Аристотель, поскольку, как он говорил, «и противоположном случае во время лунных затмений мы по видели бы на Луне такого четкого круглого сегмента... А поскольку лунное затмение образуется земной тенью, то и Земля должна иметь вид шара. Это вытекает также и из явлений, которые изображают звезды над горизонтом и из которых следует, кроме того, что земной шар не может быть очень большим. Так, достаточно лишь немного сместиться в направлении на север или на юг, чтобы круг горизонта значительно изменился, и звезды, которые раньше размещались над головой, отдалились бы от своего прежнего места...

Поэтому можно думать, что местность вокруг Геракловых столбов (Гибралтар - И.К. ) соединяется с Индийской страной, и, таким образом, существует лишь одно море.

Поэтому математики, которые высчитывали окружность Земли, считают его равным приблизительно 400 тысячам стадий, а из этого мы делаем вывод, что Земля не только имеет сферическую форму, но и что ее объем незначителен по сравнению с величиной звезд».

Таким образом, уже Аристотелю была известна длина большой окружности, опоясывающей нашу планету, S = 400 000 стадий. А так как S = 2πR ⊕ , то отсюда определить можно и радиус Земли R ⊕ . Приняв для стадии ее наименьшее значение 157,5 м, находим S = 63 000 км и R ⊕ = 10 032 км. Как видно, даже в этом случае радиус Земли оказывается преувеличенным почти в 1,6 раза. Но это, по сравнению с более ранними догадками, все же неплохой результат!

Имен математиков, впервые установивших (хотя и приближенно) величину радиуса Земли, мы не знаем. Возможно, среди них был Пифагор или его ученики, поскольку эта проблема является, по существу, несложной геометрической задачей. В самом деле, пусть наблюдатель находился вначале в пункте A и обнаружил, что определенная звезда проходит здесь через зенит. Пусть далее наблюдатель перемещается строго на север (вдоль меридиана). Пройдя расстояние d , он заметит, что то же светило уже проходит через меридиан на угловом расстоянии z от зенита (рис. 9). Напрашивается вывод, что если бы наблюдатель совершил путешествие вокруг земного шара, пройдя путь S = 2πR ⊕ , т. е. описал относительно центра Земли дугу в 360° и возвратился снова в точку A , то картина прохождения избранной звезды через зенит восстановилась бы. На этом основании нетрудно составить такую пропорцию: длина земной окружности S будет во столько раз больше длины дуги d , во сколько раз полный угол 360° больше угла z . Таким образом,

S = (360°/z )d .

В том факте, что Аристотель приводит число, по которому радиус Земли в полтора раза превышает его истинное значение, нет ничего удивительного. Ведь для точного измерения угловых расстояний звезд от зенита в то время еще не было надежных инструментов. К тому же само расстояние d между пунктами A и B могло быть определено неточно. Ведь для того, чтобы зенитное расстояние увеличилось всего на Г, наблюдатель должен сместиться вдоль меридиана на 111 км.

Получить более точные размеры нашей планеты удалось древнегреческому математику и астроному Эратосфену (ок. 276 - ок. 194 гг. до н. э.). Эратосфен обнаружил, что в полдень самого длинного дня лета, когда Солнце в небе находится в наивысшем положении и его лучи в г. Сиене (теперь Асуан) падают вертикально, освещая дно глубоких колодцев, в Александрии в это же время зенитное расстояние Солнца составляет 1/50 полного круга (т. е. 7°12′). Расстояние между Сиеной и Александрией оценивалось в 5000 египетских стадий. На основании приведенных выше рассуждений Эратосфен установил, что длина окружности меридиана составляет 250 000 стадий. Если стадия соответствовала 157,5 м, то это составляло 39 500 км, а радиус Земли должен был равняться 6290 км. Таким образом, погрешность измерения в данном случае составляла бы всего 1,3%.

Для измерения зенитного расстояния Солнца Эратосфен установил на городской площади в Александрии угломерный прибор (солнечные часы) скафис , принцип работы которого был очень прост. В центре чаши, имеющей форму полусферы, вертикально устанавливали заостренный стержень. На внутренней поверхности чаши, куда от него падала тень, были нанесены горизонтальные окружности, соответствующие определенным высотам Солнца над горизонтом. Отклонения же тени от направления «север - юг» давали возможность измерять время.

По-видимому, с помощью того же скафиса Эратосфен установил также, что угол наклона плоскости эклиптики к плоскости экватора составляет ε = 23°51′. Этот вывод был сделан на том основании, что разность между высотами Солнца в меридиане во время летнего и зимнего солнцестояний составляет 11/83 полной окружности, т. е. 47°42′. А это и является удвоенным значением угла ε.

Система мира Архимеда . Архимед, которого римский историк Тит Ливий (59 г. до н. э. - 17 г. н. э.) назвал «единственным в своем роде созерцателем неба и звезд», родился в Сиракузах на острове Сицилия, а учился в Александрии, где познакомился с астрономами Кононом и Эратосфеном. Эти сведения можно найти в уже упоминавшемся «Псаммите». Архимед провел подсчет числа песчинок во Вселенной в получил результат 10 63 . Архимед создал систему мира с указанием конкретных расстояний до планет. Сведения об этой системе мира Архимеда (точнее, о расстояниях до орбит планет, из которых следуют определенные выводы о ней) содержатся в сочинении римского епископа Ипполита (первая половина III в. н. э.), а в меньшей степени - в комментариях римского писателя V в. Макробия. Ипполит и «Опровержении всех ересей» пишет следующее:

«Расстояние от поверхности Земли до лунной орбиты сам... Аристарх оценивает в своем сочинении в... стадий, Архимед же в 554 мириады 4130 единиц стадий; от лунной до солнечной орбиты стадий 5026 мириад 2065 единиц, от нее до орбиты Венеры стадий 2027 мириад 2065 единиц, от нее до орбиты Меркурия стадий 5081 мириада 7165 единиц, от пес до орбиты Марса стадий 4054 мириад 1108 единиц, от нее до орбиты Юпитера стадий 2027 мириад 5065 единиц, от нее до орбиты Сатурна стадий 4037 мириад 2065 единиц, от нее же до зодиака и самой последней окружности стадий 2008 мириад 4005 единиц. Таковы переданные Архимедом расстояния орбит друг от друга и глубины сфер; периметр же зодиака он принимал стадий 4 вторых числа 4731 мириада, таким образом, получается, что расстояние от центра Земли до самой крайней поверхности будет шестой частью упомянутого числа, расстояние же от поверхности Земли, на которой мы живем, до зодиака получится, если шестую часть упомянутого числа уменьшить на 4 мириады стадий, которые представляют расстояние от центра Земли до ее поверхности. От орбиты Сатурна до Земли, как он говорит, будет вторых чисел одна единица 2160 мириад 8259 единиц, от Меркурия до Земли 5268 мириад 8259 единиц, от Венеры до Земли 5081 мириада 5160 единиц... так вот расстояния и глубины сфер Архимед дает такими».

Здесь мириада - 10 000, «вторыми числами» Архимед называл десятки тысяч мириад.

Здесь же Ипполит говорит о том, что изложенные Архимедом числа не находятся в созвучных отношениях, «то есть в так называемых платоновских двойных и тройных», а поэтому, дескать, «они не могут сохранить гармоничного строения вселенной».

Макробий о том же пишет более скупо: «Также и Архимед считал, что он определил число стадий, на которое от поверхности Земли удалена Луна, а от Луны - Меркурий, от Меркурия - Венера, от Венеры - Солнце, ...все же расстояние от Сатурна до самого звездоносного неба он, как думал, измерил только рассуждением. Однако это архимедово измерение отвергнуто платониками как не сохраняющее двойных и тройных интервалов».

На основе противопоставления действий - «определил» и «измерил рассуждением» - можно думать, что расстояния до планет Архимед вычислил из наблюдений. Кстати, указанная в тексте Ипполита операция получения «шестой части числа» означает деление длины окружности на 2π, чтобы получить радиус сферы звезд (более точного значения числа π, чем π = 3, тогда еще не знали).

Беда всех древних текстов в том, что они со временем сами по себе подвергаются порче (а ведь от Архимеда до Ипполита прошло более 400 лет!). К тому же зачастую выборку чисел из них делают люди, мало сведущие в изложенном материале. Ошибаются и переписчики...

Исходя из простейших логических соображений, недавно С.В. Житомирский выполнил реконструкцию числовых данных Архимеда . И - взору читателя предстает стройная гео-гелиоцентрическая модель мира, в которой Меркурий, Венера и Марс обращаются вокруг Солнца, которое вместе с ними, а также Юпитер и Сатурн, движется вокруг Земли (рис. 10). При этом относительные радиусы орбит Меркурия, Венеры и Марса довольно хорошо совпадают с их истинными значениями!

Необходимость реконструкции видна из следующего. Сначала Ипполит указывает числа «до орбиты», скажем, Венеры, немногим же ниже даются отдельно расстояния «от Меркурия до Земли» и «от Венеры до Земли», причем, как нетрудно убедиться, они не совпадают с предыдущими.

А ведь в геоцентрической системе расстояние до Меркурия (также до Венеры и Марса) просто равно радиусу орбиты планеты...

Реконструированные расстояния выглядят так: от поверхности Земли до Луны a = 554 мр (для сокращения буквами «мр» обозначены мириады стадий, числа единиц стадий округлены), от лунной до солнечной орбиты d = 5082 мр, поэтому расстояние от центра Земли до Солнца A = a + d + n = 5640 мр (n = 4 мр - радиус Земли), дальше от Солнца до орбиты Меркурия c = 2027 мр, от нее до орбиты Венеры также c , от орбиты Венеры до орбиты Марса 2c , дальше радиус орбиты Юпитера (предположительно) 5c и Сатурна 6c 12 162 мр - число, указанное Ипполитом. От орбиты Сатурна до зодиака h = 2008 мр и для согласования с укачанным у Ипполита числом «периметра зодиака» следует читать «полупериметр». В этом одно из возможных доказательств правильности реконструкции.

Далее легко убедиться, что предположительное расстояние от центра Земли до Солнца (Л), расстояние «от Меркурия до Земли» (число l = 5269 мр) и число c - расстояние от Солнца до Меркурия с высокой точностью подчиняются теореме Пифагора: √(5640² − 2027²) = 5264! Но отношение l /A = 5268/5640 = 0,934 - это косинус угла а, соответствующего средней наибольшей элонгации Меркурия: arccos 0,934 = 21°02′ (рис. 11). Становится понятным, почему это число вообще фигурирует в тексте: оно указывает среднее значение элонгации планеты.

Аналогичным образом, по-видимому, был определен и радиус орбиты Венеры. В случае же Марса, обращающегося вокруг Солнца, задача решается также сравнительно легко (рис. 12). Для этого необходимо зафиксировать число дней N , истекших от противостояния Марса до квадратуры. Зная синодический период обращения планеты S = 780 сут и полагая, что планета движется по круговой орбите равномерно, находим угол β = (360°/S )N , после чего имеем R = A /cos β.

Примечательно, что относительные расстояния от Солнца до Меркурия, Венеры и Марса - c /A , 2c /A , 4c /A , равные соответственно 0,36, 0,72 и 1,44, довольно близки к их истинным значениям (0,39, 0,72 и 1,52). В абсолютных же еди-ницах при длине стадии 177,5 м в мире Архимеда имеем: расстояние от центра Земли до Луны равно 990450 км - почти в 2,6 раза больше, а от Земли до Солнца - 10 011 000 км, в 15 раз меньше истинного. Радиус сферы звезд всего в 2,5 раза больше расстояния от Земли до Солнца.

В «Псаммите» Архимед сообщает, что он измерил видимый угловой диаметр Солнца, который лежит в пределах между 1/164 и 1/200 частями прямого угла. Приняв среднее значение 1/180 прямого угла или 30′, нетрудно найти, при известных уже расстояниях до Солнца и Луны (угловой диаметр которой такой же), их линейные размеры: диаметр Солнца 49,2 мр, Луны 4,8 мр, т. е. Луна будто бы в 10,2 раза меньше Солнца.

Из всего сказанного здесь видно, что Архимед был не просто «созерцателем неба и звезд», а искусным наблюдателем и глубоким мыслителем. И приходится сожалеть, что его астрономические труды практически не дошли до нас...

О «небесном глобусе» Архимеда . На протяжении нескольких столетий после смерти Архимед оставался известным и как создатель удивительного «самодвижущегося прибора» - механического «небесного глобуса», с помощью которого демонстрировались условия видимости светил, затмения Солнца и Луны. Вот как писал об этом Цицерон в трактате «О государстве»: «...сплошная сфера без пустот была изобретена давно и такую сферу впервые выточил Фалес Милетский, а затем Евдокс Книдский, по словам, ученик Платона, начертал на ней положение созвездий и звезд, расположенных на небе..., спустя много лет Арат, руководясь не знанием астрономии, а, так сказать, поэтическим дарованием, воспел в стихах все устройство сферы и положение светил на ней, взятое им у Евдокса. Но... такая сфера, на которой были бы представлены движения солнца, лупы и пяти звезд, называемых странствующими и блуждающими, не могла быть создана в виде сплошного тела; изобретение Архимеда изумительно именно тем, что он придумал, каким образом при несходных движениях, во время одного оборота сохранить неодинаковые и различные пути. Когда Галл приводил эту сферу в движение, происходило так, что на этом шаре из бронзы луна сменяла солнце в течение стольких же оборотов, во сколько дней она сменяла его на самом небе, вследствие чего и на небе сферы происходило такое же затмение солнца, и луна вступала в ту же межу, где была тень земли, когда солнце из области...» .

И дальше, увы, часть текста трактата утеряна... Как отмечалось выше, в системе мира Архимеда планеты (по крайней мере, Меркурий, Венера и Марс) обращались вокруг Солнца. Поэтому моделирование петлеобразных видимых движений нижних планет (Меркурия и Венеры) выполняется «само собой». О том же, как Архимеду удавалось изображать (если это вообще достигалось) петлеобразные движения верхних планет (Марса, Юпитера и Сатурна), приходится лишь гадать...

О модели Архимеда Цицерон еще раз упоминает в трактате «О природе богов» и в «Тускуланских беседах». Из текста следует, что после Архимеда такой же небесный глобус сконструировал и Посидоний: «Если бы кто-нибудь привез в Скифию или Британию тот шар (Sphaera), что недавно изготовил наш друг Посидоний, шар, отдельные обороты которого воспроизводят то, что происходит на небе с Солнцем, Луной и пятью планетами в разные дни и ночи, то кто в этих варварских странах усомнился бы, что этот шар - произведение совершенного рассудка?» . Житомирский С.В. Астрономические работы Архимеда // ИАИ. - 1977. - Вып. XIII - С. 319-337; Античные представления о размерах мира // ИАИ. - 1983. - Вып. XVI. - С. 291-326.

. Цицерон . Диалоги. - М.: Наука, 1966. - С. 14.

. Цицерон . Философские трактаты. - М.: Наука, 1985. - С. 129.

. Секст Эмпирик . Сочинения: Т. 1. - М.: Мысль, 1976. - С. 264.

Вероятно, первое из астрономических явлений, на которое обратил внимание первобытный человек, была смена фаз Луны. Она-то и позволяла ему учиться вести счет суткам. И не случайно, по-видимому, во многих языках слово «месяц» имеет общий корень, созвучный с корнями слов «мерить» и «Луна», например, латинское mensis - месяц и mensuга - мера, греческое «мэнэ» - Луна и «мэн» - месяц, английское moon - Луна и month - месяц. Да и русское общенародное название Луны - месяц! В украинском языке эти названия тождественны: „мкяць».

Сидерический месяц. Наблюдая за положением Луны на небе на протяжении нескольких вечеров, легко убедиться в том, что она передвигается среди звезд с запада на восток со средней скоростью 13°,2 в сутки. Угловой диаметр Луны (так же, как и Солнца) равен примерно 0°,5. Можно сказать поэтому, что за каждые сутки Луна сдвигается к востоку на 26 своих поперечников, а за один час - более чем на величину своего диаметра. Сделав полный круг на небесной сфере, Луна спустя 27,321661 суток возвращается к той же звезде. Этот промежуток времени называется сидерическим (т. е. звездным: sidus - звезда по-латыни) месяцем.

Конфигурации и фазы Луны. Как известно, Луна, диаметр которой почти в 4, а масса - в 81 раз меньше, чем у Земли, обращается вокруг нашей планеты на среднем расстоянии в 384 000 км. Поверхность Луны холодна и светится она отраженным солнечным светом. При обращении Луны вокруг Земли или, как принято говорить, при смене конфигураций Луны (от латинского configuro - придаю правильную форму) - ее положений относительно Земли и Солнца та часть ее поверхности, которую видно с нашей планеты, освещается Солнцем неодинаково. Следствием этого является периодическое изменение фаз Луны (рис.).

Рис. Конфигурация (1 - конъюнкция, 3 и 7 - квадратура, 5 - противостояние) и фазы Луны (1 - новолуние, 3-первая четверть, 5 - полнолуние, 7-последняя, или третья четверть; 2, 4, 6, 8 - промежуточные фазы)

Когда Луна при своем движении оказывается между Солнцем и Землей (это положение называется конъюнкцией - соединением), к Земле она обращена неосвещенной стороной, и тогда ее вообще не видно. Это - новолуние.

Появившись затем на вечернем небе сначала в виде узкого серпа, Луна приблизительно через 7 суток уже видна в форме полукруга. Эта фаза называется первой четвертью. Еще примерно через 8 дней Луна занимает положение прямо противоположное Солнцу и ее обращенная к Земле сторона полностью освещается им. Наступает полнолуние, в это время Луна восходит при заходе Солнца и видна на небе всю ночь. Через 7 суток после полнолуния наступает последняя четверть, когда Луна снова видна в форме полукруга, обращенного выпуклостью уже в другую сторону, и восходит после полуночи. Напомним, что если в момент новолуния тень Луны падает на Землю (чаще она проскальзывает «выше» или «ниже» нашей планеты), происходит солнечное затмение. Если же Луна в полнолунии погружается в тень Земли, наблюдается лунное затмение.

Синодический месяц. Промежуток времени, спустя который фазы Луны снова повторяются в том же порядке, называется синодическим месяцем. Он равен 29,53058812 суток. Двенадцать же синодических месяцев составляют 354,36706 суток. Таким образом, синодический месяц несоизмерим ни с сутками, ни с тропическим годом: он не состоит из целого числа суток и не укладывается без остатка в тропическом году.

Указанная продолжительность синодического месяца является его средним значением, которое получают так: подсчитывают, сколько времени протекло между двумя далеко отстоящими друг от друга затмениями, сколько раз за это время Луна сменила свои фазы, и делят первую величину на вторую (причем выбирают несколько пар и находят среднее значение). Так как Луна движется вокруг Земли по эллиптической орбите, то линейная и наблюдаемая угловая скорости ее движения в различных точках орбиты различны. В частности, эта последняя изменяется в пределах примерно от 11° до 15° в сутки. Очень усложняется движение Луны и силой притяжения, действующей на нее со стороны Солнца, ведь величина этой силы непрерывно меняется как по ее численному значению, так и по направлению она имеет наибольшее значение в новолунии и наименьшее - в полнолунии.

Рис. Отклонение продолжительности синодических месяцев в 1967-1986 гг. от среднего значения

Неомения. В среднем промежуток времени от исчезновения Луны в лучах восходящего Солнца и ее появления вечером после захода Солнца, составляет 2-3 дня. За эти дни Луна переходит (по отношению к Солнцу) с западной стороны неба в восточную, превращаясь тем самым из утреннего светила в вечернее. Первое появление Луны на вечернем небе («рождение новой Луны») древнегреческие астрономы назвали неоменией («новая Луна»). От неомении и было удобным начинать счет времени в месяце.

Но, как только что было сказано, продолжительность синодического месяца может быть более чем на шесть часов короче или длиннее его среднего значения. Поэтому неомения может наступить как днем раньше, так и днем позже относительно средней ожидаемой даты появления новой Луны (рис.). Отклонение дат новолуний от рассчитанных по средней продолжительности синодического месяца и показано на рис.

Рис. Отклонение моментов новолуний в 1967-1986 гг. от рассчитанных по средней длительности синодического месяца

Луна «высокая» и «низкая». Условия видимости на вечернем небе узкого серпа «новой» Луны в немалой степени определяются и особенностями ее движения вокруг Земли. Плоскость орбиты Луны наклонена к плоскости эклиптики под углом i = 5°9. Следовательно, Луна то «поднимается» над эклиптикой («приближается» к северному полюсу мира) на десять своих видимых угловых диаметров, то «опускается» под эклиптику на столько же. Дважды на протяжении периода в 27,2122 суток (этот промежуток времени называется драконическим месяцем) путь Луны на небе пересекается с эклиптикой в точках, которые называются узлами лунной орбиты.

Узел, переходя через который Луна приближается к северному полюсу мира, называется восходящим узлом, противоположный -нисходящим. Линия, проходящая через центр Земли и соединяющая узлы лунной орбиты, называется линией узлов. Как нетрудно убедиться путем наблюдения за Луной и сопоставления ее положений среди звезд на карте звездного неба, лунные узлы непрерывно перемещаются навстречу Луне, т. е. к западу, совершая полный оборот за 18,61 года. Ежегодно расстояние восходящего узла от. точки весеннего равноденствия уменьшается примерно на 20°, а за один драконический месяц -на 1°,5.

Посмотрим теперь, как же эффект наклона плоскости лунной орбиты влияет на высоту Луны в верхней кульминации. Если восходящий узел совпадает («почти совпадает») с точкой весеннего равноденствия (а это повторяется каждые 18,61 года), то угол наклонения плоскости лунной орбиты к небесному экватору равен ε + i (28°,5). В этот период времени склонение Луны на протяжении 27,2 суток изменяется от +28°,5 до -28°,5 (рис.).

Рис. Пределы изменения склонения Луны на протяжении 18,61 года

Спустя 14 суток склонение Луны уже равно своему наименьшему значению -28°,5, а ее высота в верхней кульминации для той же широты 50° составляет всего 11°,5. Таким будет положение «низкой» Луны: она даже в верхней кульминации едва видна над горизонтом...

Легко сообразить, что весной этого высшего положения на небе Луна достигает в момент первой четверти вечером, а самого низкого - в последней четверти утром. И наоборот, осенью, когда Солнце находится вблизи точки осеннего равноденствия, дуга эклиптики на вечернем небе находится ниже небесного экватора, а орбита Луны еще ниже. Поэтому и Луна достигает указанного наиболее низкого положения в первой четверти, тогда как в последней четверти утром она стоит наиболее высоко.

Благодаря непрерывному перемещению узлов лунной орбиты через 9,3 года вблизи точки весеннего равноденствия будет уже находиться нисходящий узел. Угол наклона плоскости лунной орбиты к небесному экватору составит уже ε - i (18°,5). На широте 50° высота Луны в верхней кульминации при наибольшем 18°,5 равна уже 58°,5 (весной -в первой четверти, осенью -в последней), наименьшая, 14 суток спустя - 21°,5 (весной - в последней четверти, осенью - в первой). В промежуточные годы узлы лунной орбиты проходят дуги эклиптики, на которых расположены точки солнцестояний. При этом склонение Луны на протяжении месяца колеблется примерно от +23°,5 до -23°,5, как показано на рис. Соответственно изменяются и высоты Луны в верхней кульминации.

В целом условия видимости Луны на вечернем небе в первую очередь определяются все же положением эклиптики относительно горизонта: весной Луна всегда гораздо выше, чем осенью (рис.).

Рис. Положение молодой Луны на вечернем небе: а) весной, б) осенью при одинаковом угловом расстоянии от Солнца, 1 - положение «верхней» Луны, 2- положение «нижней» Луны

Этот эффект, однако, существенно усиливается благоприятной ориентацией плоскости лунной орбиты: высота Луны в момент верхней кульминации на весеннем вечернем небе при φ= 50° равна от 58°,5 до 68°,5, тогда как осенью - от 11°,5 до 21°,5.

Угловое расстояние восходящего узла лунной орбиты от точки весеннего равноденствия на 1 января 1900 г. было равным 259°,18. Пользуясь формулой W = 259°,18-19°,34t, где t - время в годах, нетрудно рассчитать моменты совпадения этих точек; 1913,4, 1932,0, 1950,6, 1969,2 и 1987,8. Таким образом, последняя «высокая Луна» наблюдалась в начале 1969 г. Обычно, как это видно и из рис. вблизи этих моментов склонение Луны от месяца к месяцу изменяется очень медленно. Поэтому Луна бывает «высокой» около трех лет, в данном случае - в 1968-1970 гг. Такое событие повторится снова в 1986-1988 гг. «Низкая» Луна наблюдалась вблизи средних моментов 1904,1, 1922,7, 1941,3, 1959,9, 1978,5 , 1997,1 и т.д.

Из всего здесь сказанного следует, что весной наблюдатель может заметить узкий серп Луны после новолуния на сутки раньше, чем осенью. Этот эффект к тому же еще зависит и от географических координат наблюдателя. В частности, на широте 32°,5 (это широта Древнего Вавилона) промежуток времени между конъюнкцией и неоменией меняется в пределах от 16 ч 30 мин в марте до 42 ч в сентябре. На широте 38° (широта Афин)-от 23 до 69 ч. Опытный польский астроном, составитель первой карты видимой стороны Луны Ян Гевелий (1611-1687), наблюдая Луну в Гданьске, никогда не видел ее ни позже чем за 27 часов до конъюнкции, ни раньше чем через 40 часов после нее.

Таким образом, использовать для построения календаря такое, казалось бы, легко заметное явление, как смена фаз Луны,- все же дело довольно трудное...

Наверняка многие входят в ступор, когда слышат фразы вроде «диаметр Луны составляет половину градуса» или «угловое расстояние между компонентами двойной звезды равно 5 секунд дуги». Какие в небе могут быть секунды, минуты и градусы? Попробуем с этим разобраться, а также научиться измерять расстояния между небесными объектами при помощи собственных рук.

Всем известно, что условно небо можно представить в виде сферы, на которую спроецированы изображения космических объектов. А наблюдатель всегда находится в ее центре. В связи с этим измерения на небе вполне разумно выражать в градусной мере. Таким образом, если у нас имеется две точки на небе, то расстояние между ними будет представлять из себя угол, образованный прямыми, проведенными из этих точек в глаз наблюдателя. Сложно? Тогда зацените картинку.

Сразу все стало понятно, не так ли? между двумя объектами на изображении есть угол α.

Всего в окружности 360, а в ее половине — 180 градусов. Таким образом, между двумя противоположными точками на горизонте 180°. между горизонтом и точкой зенита — 90°.

На рисунке в начале статьи указаны расстояния между некоторыми звездами в созвездиях Большой и Малой медведиц . По ним можно «откалибровать» пальцы для небесных измерений. Средние результаты приблизительно таковы:

Как это работает? Просто полностью вытяните руку и расположите пальцы так, как на изображении, чтобы измерить угловое расстояние между интересующими вас объектами.

Градусы — довольно большая величина для небесных тел. Говоря об их размерах и расстояниях между ними, часто используют минуты (′) и секунды (″) дуги. Здесь все предельно просто: в одном градусе 60 минут, а в одной минуте… сами догадаетесь, сколько секунд? Секунда дуги — величина очень маленькая. Примерно такой угловой диаметр имеет пятирублевая монета с расстояния в 4 километра. Невооруженный глаз, каким бы орлиным он ни был, никогда не увидит ее.