घर इनडोर फूल बोर्ड पर सही लिखा हुआ था। समस्या समाधान

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बोर्ड पर सही लिखा हुआ था। समस्या समाधान

क्वेस्ट स्रोत: निर्णय 3754। 2016 का उपयोग करें। गणित, आई। वी। यशचेंको। विशिष्ट परीक्षण वस्तुओं के लिए 30 विकल्प।

टास्क 19.बोर्ड पर 20 प्राकृतिक संख्याएँ लिखी गई थीं (जरूरी नहीं कि अलग), जिनमें से प्रत्येक 40 से अधिक न हो। कुछ संख्याओं (संभवतः एक) के बजाय, उन्होंने बोर्ड पर ऐसी संख्याएँ लिखीं जो मूल संख्याओं से एक-एक करके कम हैं। संख्याएँ, जो उसके बाद 0 के बराबर निकलीं, उन्हें बोर्ड से मिटा दिया गया।

क) क्या ऐसा हो सकता है कि बोर्ड पर संख्याओं का अंकगणितीय माध्य बढ़ गया हो?

बी) मूल रूप से लिखी गई संख्याओं का अंकगणितीय माध्य 27 के बराबर था। क्या बोर्ड पर शेष संख्याओं का अंकगणितीय माध्य 34 के बराबर हो सकता है?

ग) मूल रूप से लिखी गई संख्याओं का अंकगणितीय माध्य 27 था। बोर्ड पर बनी हुई संख्याओं के अंकगणितीय माध्य का अधिकतम संभव मान ज्ञात कीजिए।

समाधान।

ए)हाँ, हो सकता है, उदाहरण के लिए, यदि आप 19 संख्याएँ 10 के बराबर लेते हैं, और 20 संख्या 1 के बराबर है, तो 20 संख्या को 1 से कम करने के बाद, यह 0 के बराबर हो जाती है और औसत मान अब 20 संख्याएँ नहीं, बल्कि 19 है , तो हमारे पास है:

प्रारंभिक माध्य:;

परिवर्तन के बाद औसत मूल्य: .

जैसा कि आप देख सकते हैं, दूसरा औसत मूल्य प्रारंभिक एक से बड़ा हो गया है।

बी)मान लीजिए कि इस शर्त को पूरा करने के लिए, आपको इकाइयाँ लेनी होंगी, फिर संख्याएँ और एक संख्या, कुल 20 संख्याएँ लेनी होंगी। उनका समांतर माध्य होगा

और इकाइयों को मिटाने के बाद मिलना चाहिए

अर्थात्, हमारे पास समीकरणों की एक प्रणाली है:

पहले समीकरण से दूसरे को घटाकर, हम प्राप्त करते हैं:

इस प्रकार, इस अनुच्छेद की शर्त को पूरा करने के लिए, आपको संख्याओं की एक भिन्नात्मक संख्या लेने की आवश्यकता है, जो इस कार्य के ढांचे के भीतर असंभव है।

उत्तर:ना।

वी)बोर्ड पर शेष संख्याओं का अधिकतम औसत प्राप्त करने के लिए, आपको सबसे पहले संख्याओं का एक सेट लिखना होगा जिसमें सबसे बड़ी संख्याएं हों (जो, तब, बोर्ड से मिटा दी जाएंगी), और शेष संख्याएं होनी चाहिए अधिकतम हो। हम इस शर्त को फॉर्म में लिखते हैं

इकाइयों की संख्या कहाँ है; - 20 वां नंबर (इसे 27 का औसत प्रदान करने के लिए चुना जाता है)। इसलिए हमारे पास है:

परिणामी व्यंजक से यह देखा जा सकता है कि वह न्यूनतम मान जिस पर हमें अधिकतम मान प्राप्त होता है। इस प्रकार, हमारे पास संख्याओं का एक क्रम है, जिसका योग है

कुछ भी नहीं करना।

कार्य एक मजाक है। इरा ने अपनी मां से 100 रूबल उधार लिए, लेकिन उन्हें खो दिया। फिर मैंने एक दोस्त से 50 रूबल उधार लिए। 20 पी के लिए। पाई खरीदी, और शेष 30 रूबल। माँ के पास लौट आया। यह पता चला है कि उसकी माँ पर 70 रूबल का बकाया है। प्लस 50 पी। दोस्त, केवल 120 रूबल, साथ ही 20 रूबल, जो मैंने पाई पर खर्च किए। कुल 140 रूबल, लेकिन कुल मिलाकर उसे 150 रूबल वापस करने होंगे। प्रश्न: 10 रूबल और कहाँ है?

समाधान। इरा हार गई और 100 + 20 = 120 रूबल खर्च किए। और मुझे यह पैसा बिल्कुल वापस करना होगा: माँ को 100 - 30 = 70 रूबल। और प्रेमिका 50 पी। और बुराई से अन्य सभी गणना।

1.7. गुणन। गुणन के नियम

1.8. वितरण कानून

वी खंड 1.7 संख्या 3 और 4 के गुणनफल के उदाहरण का उपयोग करते हुए दो संख्याओं के गुणनफल की अवधारणा का परिचय देता है। ध्यान दें कि यह गुणनफल तीन पदों का योग है, जिनमें से प्रत्येक 4 के बराबर है, अर्थात 3 4 = 4 + 4 + 4. यह आवश्यक है ताकि आगे 3 . के तहत a + a + a के योग को समझें। किसी भी संख्या a के लिए, समानता 1 a = a को सत्य माना जाता है।

कार्य की परिभाषा के लिए यह दृष्टिकोण असुविधाजनक लगता है, क्योंकि प्राथमिक विद्यालय में वे कहते हैं कि 3 4, 3 + 3 + 3 + 3 (3 4 बार लें)। लेकिन यह प्रतीत होने वाली असुविधा पहले ही पाठ में समाप्त हो जाती है, जैसे ही यह दिखाया जाता है कि गुणन का विस्थापन नियम मान्य है।

वर्गों की संख्या और घनों की संख्या की गणना करते समय गुणन की गति और संयोजन के नियमों की व्याख्या की जाती है।

किसी भी संख्या a के लिए, समानताएँ 0 a = 0, a ∙ 0 = 0 को सत्य माना जाता है। इसके अलावा, समानता 0 0 = 0 सत्य है।

वी खंड 1.8 वर्गों की संख्या की गणना करते समय वितरण कानून की व्याख्या करता है, कोष्ठकों को खोलने और सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकालने के लिए वितरण कानून के आवेदन को दर्शाता है।

तीनों कानूनों का अध्ययन करते समय, स्कूली बच्चों को मनमाने ढंग से संख्याओं को दर्शाने वाले अक्षरों का उपयोग करके कानून लिखना और कानूनों के निर्माण को याद रखना सिखाया जाना चाहिए। यह स्पष्ट गणितीय भाषण के विकास में मदद करता है, देता है

मौखिक उत्तरों के लिए छात्र "भाषण टेम्पलेट"।

यहां और नीचे, छात्रों को गणना की गति में लाभ के लिए तैयार किया जाना चाहिए जो कि सीखा कानूनों के पास है। इस प्रकार, शिक्षक विषय से (और बाहर से नहीं) सीखने के लिए एक अंतर-विषयक प्रेरणा बनाता है।

आरटी. पहले पाठ में कार्यों 66-70 के उपयोग से आप गुणन तालिका को दोहरा सकेंगे, विद्यार्थियों का ध्यान गुणन में 10, 100, 1000 देने वाले कारकों के युग्म की ओर आकर्षित कर सकेंगे, आदि। सत्रीय कार्य 71-76 का उद्देश्य अभ्यास करना है अध्ययन किए गए कानूनों का अनुप्रयोग।

निर्णय और टिप्पणियाँ

90. ए) संख्या 12 को पहले 2 गुना बढ़ाया गया, प्राप्त परिणाम में 3 गुना वृद्धि हुई। इसका परिणाम क्या है?

b) हमने एक संख्या के बारे में सोचा, इसे 3 गुना बढ़ा दिया, परिणाम 4 गुना बढ़ गया। परिणामस्वरूप संख्या कितनी गुना बढ़ गई?

समाधान। a) 12 2 = 24, 24 ∙ 3 = 72, परिणाम 72 है।

यहां छात्रों से पूछना उचित है: 12 की संख्या 2 गुना में कितनी बार बढ़ी है। गुणन के संयोजन नियम का उपयोग करके उत्तर प्राप्त किया जा सकता है: (12 2) 3 = 12 (2 3) = 12 6 - संख्या 12 2 गुना में 6 गुना बढ़ जाती है। यह उत्तर छात्रों को 90b की समस्या को स्वयं हल करने के लिए तैयार करेगा।

बी) सबसे पहले, समस्या को एक विशिष्ट कल्पित संख्या के लिए हल किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, 2 या 3। यह पता चला है कि किसी भी मामले में कल्पित संख्या 12 गुना बढ़ गई है। यह दिखाने के लिए कि इस समस्या का उत्तर वास्तव में कल्पित संख्या की पसंद पर निर्भर नहीं करता है, हम कल्पित संख्या को अक्षर a से निरूपित करते हैं। तब (a 3) ∙ 4 = a (3 ∙ 4) = a 12 - संख्या a 2 बार में 12 गुना बढ़ जाती है।

91. निम्नलिखित गणनाओं में किन कानूनों का उपयोग किया जाता है:

20 ∙ 30 = (2 ∙ 10) ∙ (3 ∙ 10) = (2 ∙ 3) ∙ (10 ∙ 10) = 6 ∙ 100 = 600?

ए) गणना करें: 20 50।

समाधान। गुणन के दोनों नियमों का उपयोग किया गया: विस्थापन और संयोजन। ध्यान दें कि इन कानूनों के उपरोक्त आवेदन को विस्तार से नहीं दिखाया गया है, उदाहरण के लिए, इस तरह:

20 ∙ 30 = (2 ∙ 10) ∙ (3 ∙ 10) = ((2 ∙ 10) ∙ 3) ∙ 10 = (2 ∙ (10 ∙3)) ∙ 10 = = 2 ∙ (3 ∙ 10) ∙ 10 = ((2 ∙ 3) ∙ 10) ∙ 10 = (2 ∙ 3) ∙ (10 ∙ 10) = 6 ∙ 100 = 600,

चूंकि छात्रों में अभी तक संख्यात्मक अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करने में सटीक होने की प्रेरणा नहीं है। हालाँकि, निम्नलिखित कार्यों को करते समय, आपको समाधानों की ऐसी अधूरी रिकॉर्डिंग की आवश्यकता नहीं हो सकती है, जो ऊपर दी गई है। हल को संक्षेप में लिखा जा सकता है: a) 20 50 = 1000।

(27 + 73) = 356 100 + 644 100 = (356 + 644) 100 = 1000 100 =100 000.

मध्यवर्ती नियंत्रण। डीएम। सी - 2।

1.9. संख्याओं का कॉलम जोड़ और घटाव

1.10. एक कॉलम द्वारा संख्याओं का गुणन

इन बिंदुओं का उद्देश्य छात्रों को यह प्रदर्शित करना है कि कैसे एक कॉलम में मल्टीडिजिट नंबरों को जोड़ने, घटाने और गुणा करने के लिए जोड़ और गुणा के नियम, वितरण कानून का उपयोग किया जाता है। इसका अर्थ यह नहीं है कि छात्रों को स्वयं समान औचित्य देना चाहिए, लेकिन उनके लिए यह नोटिस करना मददगार होगा कि स्तंभ की गणना की शुद्धता जोड़ और गुणा के नियमों की शुद्धता से होती है।

एक दूसरे के नीचे मल्टीप्लायरों पर हस्ताक्षर करने की शुद्धता पर विशेष ध्यान दिया जाना चाहिए, जिसका रिकॉर्ड शून्य के साथ समाप्त होता है।

इस बिंदु से, कॉलम में गणना पांचवीं कक्षा के कम्प्यूटेशनल अभ्यास में शामिल है, लेकिन छात्रों का ध्यान आकर्षित करना आवश्यक है कि कभी-कभी बहु-अंकीय संख्याओं के साथ गणना करना एक कॉलम के बिना करना आसान हो सकता है यदि आप जोड़े को देखते हैं उन संख्याओं की संख्या जो "गोल" रकम देती हैं (कार्य 135); या यदि आप देखते हैं कि सामान्य गुणनखंड को कोष्ठकों में से निकाला जा सकता है (कार्य 144)। स्कूली बच्चों की आर्थिक रूप से गणना करने की इच्छा को हर संभव तरीके से विकसित और समर्थन करना आवश्यक है, और इसके लिए, जैसा कि हमने पहले ही नोट किया है, उन्हें चौकस रहने की आवश्यकता है

तथा अध्ययन किए गए सिद्धांत का अधिकार।

वी भविष्य में, गणना में समय बचाने की इच्छा अवलोकन के विकास के साथ-साथ के लिए एक प्रोत्साहन बनना चाहिए

इस विचार का गठन कि कई सैद्धांतिक जानकारी का ज्ञान समस्या के समाधान को सरल बना सकता है।

आरटी. एक कॉलम में जोड़ और घटाव पर पहले पाठ में असाइनमेंट 77, 78 का उपयोग सीखने की प्रक्रिया को तेज करेगा, क्योंकि छात्रों को केवल पहले से लिखे गए कॉलम में उत्तर दर्ज करने की आवश्यकता है। टास्क79 उन्हें पाठ्यपुस्तक से टास्क80 और टास्क133 और134 के लिए तैयार करता है। टास्क 81 कॉलम गुणन के अध्ययन की शुरुआत में किया जाता है, जबकि छात्रों का ध्यान गुणकों की रिकॉर्डिंग की ओर आकर्षित करना आवश्यक है। टास्क 82 पहेली को सुलझाने के लिए समर्पित है।

निर्णय और टिप्पणियाँ

133. सही ढंग से किए गए जोड़ और घटाव के उदाहरण बोर्ड पर लिखे गए थे, फिर कुछ संख्याओं को मिटा दिया गया और अक्षरों से बदल दिया गया। उदाहरणों को फिर से लिखें, अक्षरों को संख्याओं से बदलें ताकि आपको फिर से सही प्रविष्टियाँ मिलें:

इसके बाद, छात्र एक उपयुक्त संख्या का चयन करके और उत्तर की शुद्धता की जांच करके उत्तर प्राप्त कर सकते हैं, लेकिन यह बेहतर होगा यदि बोर्ड तर्क के उदाहरण देता है: 8 प्राप्त करने के लिए, 5 से 3 जोड़ें (उदाहरण "ए"), आदि।

उत्तर। क) 725 + 173 = 898; ख) 952 - 664 = 288; ग) 502 + 879 = 1381;

डी) 1456 - 568 = 888।

134. उदाहरणों का पुनर्निर्माण करें, यह मानते हुए कि समान अक्षरों का अर्थ समान संख्याएं हैं, और विभिन्न अक्षरों का अर्थ अलग-अलग संख्याएं हैं:

उत्तर के लिए रैखिक खोज एल्गोरिथ्म। हर कदम पर वह अक्षर को एक ही अर्थ देता है।

1) चार अंकों की दो संख्याओं का योग पांच अंकों की संख्या होती है। अत,डी

1, यानी

1राका 2) योग p + p एक सम अंक में समाप्त होने वाली संख्या है, अर्थात a - सम

संख्या, लेकिन तब (योग के सैकड़ों का स्थान देखें) a = 2, अर्थात।

1p2k2 3) योग p + p 2 से समाप्त होने वाली संख्या है, यह केवल दो में संभव है

मामले: पी = 1 या पी = 6. लेकिन संख्या 1 पहले से मौजूद है (अलग-अलग अक्षर अलग-अलग संख्याओं के अनुरूप हैं), इसलिए, पी = 6, यानी।

162k2 4) थेनक = 5, y = 8, अर्थात।

उदाहरण "सी" बहाल कर दिया गया है, और सभी अंक स्पष्ट रूप से पाए गए थे।

d) यह कार्य अधिक जटिल है; जब इसे किया जाता है, तो उत्तर खोजने के लिए एक ब्रांचिंग एल्गोरिथम लागू किया जाता है। कहीं न कहीं यह अक्षर का एकमात्र अर्थ नहीं बताता। एल्गोरिथ्म की प्रत्येक शाखा के लिए तर्क को पूरा करने के लिए याद रखने में कठिनाई होती है।

1) छह अंकों की दो संख्याओं का योग सात अंकों की संख्या है, इसलिए, और =

2) योग b + b एक सम अंक में समाप्त होता है, अर्थात e एक सम संख्या है, दहाई में + l स्थान एक सम अंक में समाप्त होने वाली संख्या है। योग के दहाई के स्थान पर संख्या 1 प्राप्त करने के लिए यह आवश्यक है कि वह 5 या = 0 या = 5 हो।

3) अगर एल = 0, यानी।






तोआ = 5, यानी। इ।

1sde01e लेकिन फिर हजारवें स्थान पर योग + m + 1 एक विषम संख्या में समाप्त होता है, अर्थात e

एक विषम संख्या, लेकिन इसके ऊपर यह स्थापित किया गया था कि e एक सम संख्या है। परिणामी अंतर्विरोध का अर्थ है कि 0. इसलिए, = 5।

4) चूँकि l = 5, अर्थात्। इ।

1sde51e तो सैकड़ों के स्थान पर योग a + a + 1 5 में समाप्त होता है। यह दो मामलों में संभव है:

a = 2 या a = 7. लेकिन a = 7 के लिए हज़ारों के स्थान पर वह संख्या विषम है, जो असंभव है, क्योंकि इससे ऊपर स्थापित किया गया था कि e एक सम संख्या है। इसलिए, a 7. इसलिए, a = 2।

5) चूँकि a = 2, अर्थात्।

1sde51e और चूँकि e एक सम संख्या है, तो यह शून्य नहीं हो सकता (यदि e = 0, तो b = 0 या = 5,

जो असंभव है, क्योंकि यह पहले से ही स्थापित हो चुका है कि बी 5, और संख्या 5 पहले से मौजूद है)। संख्या 2 पहले से मौजूद है, इसलिए 2. इसलिए, यह तीन संभावित मामलों पर विचार करना बाकी है: ई = 4, ई = 6,

ई = 8.

6) यदि e = 4, तो b = 7, तो (हजार का स्थान देखें) m = 2 या m = 7, जो असंभव है, क्योंकि संख्याएँ 2 और 7 पहले से ही हैं।

7) यदि ई = 6 है, तो योग के दसियों हज़ारों के स्थान पर d = 3 (क्योंकि संख्या 2 पहले से ही है)

है), लेकिन तब योग सात अंकों की संख्या नहीं होगी, जो असंभव है। इसलिए, ई = 8।

8) चूँकि f = 8, तो b = 9, m = 4, q = 6, s = 3, अर्थात्। इ।

उदाहरण "डी" को बहाल कर दिया गया है, और सभी नंबर स्पष्ट रूप से पाए गए हैं। एक बोर्ड पर उदाहरण "सी" और "डी" के समाधान दिखाना, में प्रकाशित करने से आसान है

पुस्तक, चूंकि एक रैखिक एल्गोरिथ्म के मामले में, एक चीर और चाक का उपयोग करके, आप धीरे-धीरे अक्षरों को संख्याओं से बदल सकते हैं और इस उदाहरण से अक्षरों के साथ आप संख्याओं के साथ वांछित उदाहरण प्राप्त कर सकते हैं। और ब्रांचिंग एल्गोरिथम के मामले में, बोर्ड पर उन सभी विकल्पों को छोड़ना आवश्यक है जिन पर पूरी तरह से विचार नहीं किया गया है। कार्य को हल करते समय कार्यान्वित एल्गोरिथ्म की योजना d) को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

बेशक, छात्र केवल अपनी ज़रूरत के नंबर उठा सकते हैं, लेकिन फिर उन्हें यकीन नहीं होगा कि उन्हें जो समाधान मिला है, वह केवल एक ही है।

135. क) चरणों का पालन करें: (5486 + 3578) + 1422।

समाधान। यहां मैं चाहूंगा कि, एक कॉलम में 2 गुना गणना लागू करने की क्षमता के अलावा, छात्रों में से एक ने देखा कि दूसरी और तीसरी संख्या का योग "गोल" है, इसलिए गणना आसानी से एक पंक्ति में की जा सकती है:

(5486 + 3578) + 1422 = 5486 + (3578 + 1422) = 5486 + 5000 = 10 486.

146. चार क्रमागत प्राकृत संख्याओं का गुणनफल के बराबर होता है

3024. इन नंबरों को खोजें।

समाधान। ध्यान दें कि मांगी गई चार संख्याओं में कोई संख्या 10 और संख्या 5 नहीं है, क्योंकि यदि इनमें से कम से कम एक कारक होता, तो उत्पाद शून्य में समाप्त हो जाता। यह जांचना बाकी है: 1 2 3 ∙ 4 = 24, 6 7 8 9 = 3024।

उत्तर। 6, 7, 8, 9.

1.11. प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री

यह खंड n> 1 और n = 1 मामलों के लिए एक प्राकृतिक घातांक के साथ एक डिग्री की अवधारणा का परिचय देता है। छात्रों को शब्दावली में महारत हासिल करनी चाहिए: डिग्री, डिग्री का आधार (वह संख्या जिसे हम एक शक्ति तक बढ़ाते हैं), घातांक (डिग्री को दर्शाता है जिसे हम डिग्री का आधार बढ़ाते हैं), वर्ग संख्याएं, घन संख्याएं, और डिग्री की गणना करना सीखते हैं।

आरटी. सामग्री के अध्ययन के प्रारंभिक चरण में 83-86 कार्यों का उपयोग करना उचित है। इस मद का अध्ययन करते समय, आप 87-90 कार्यों का उपयोग कर सकते हैं।

समाधान और टिप्पणियाँ

171. प्रथम पाँच प्राकृत संख्याओं में से दो असमान संख्याएँ हैंएम

और n ऐसा है कि n m = m n। इन नंबरों को खोजें।

समाधान। ये संख्याएँ 2 और 4 हैं। दरअसल, 24 = 2 2 ∙ 2 ∙ 2 = 16, 42 = 4 4 = = 16,

यानी 24 = 42।

उत्तर। 2 और 4.

1.12. संपूर्ण विभाजन

यह खंड पूरे विभाजन की अवधारणा और संबंधित शब्दावली का परिचय देता है, बताता है कि किसी भी प्राकृतिक संख्या या शून्य को शून्य से विभाजित क्यों नहीं किया जा सकता है। कुछ मामलों में विभाजन के सरलीकरण के उदाहरण दिए गए हैं। आपको भागफल के गुण पर ध्यान देना चाहिए, जो कभी-कभी गणनाओं को सरल बनाने में मदद करता है (कार्य 186-187)। उदाहरण के लिए, किसी संख्या को 5 से विभाजित करते समय, आप लाभांश कर सकते हैं और

भाजक को 2 से गुणा करें और नए लाभांश को 10 से विभाजित करें:

320: 5 = 640: 10 = 64.

भागफल के इस गुण का प्रमाण पाठ्यपुस्तक में नहीं दिया गया था। पाठ में, उसे ऐसा उदाहरण देना पर्याप्त है: "आइए साबित करें कि यदि 320: 5 = c, तो (320 2): (5 ∙ 2) = c, जहां c एक प्राकृतिक संख्या है"।

ऐसा करने के लिए, हम c को 5 2 से गुणा करते हैं और जांचते हैं कि क्या परिणाम 320 2 है। इस मामले में, हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि चूंकि 320: 5 = c, तो समानता c 5 = 320 सत्य है।

सी ∙ (5 ∙ 2) = (सी ∙ 5) ∙ 2 = 320 ∙ 2।

इस प्रकार, भागफल 320: 5 और प्राकृत संख्या c के लिए भागफल का गुण सिद्ध होता है।

ध्यान दें कि यदि हम संख्या 320 और 5 के स्थान पर कोई प्राकृत संख्याएँ a और b इस प्रकार लें कि समानता a: b = c सत्य हो, और संख्या 2 के स्थान पर हम कोई प्राकृत संख्या d लें, तो इसी प्रकार तर्क देते हुए, हम सामान्य रूप में उसी कथन का प्रमाण प्राप्त करें:

ए: बी = (ए ∙ सी): (बी ∙ सी)।

इस बिंदु पर, कार्यों का चयन किया जाता है ताकि उन्हें हल करते समय, एक कॉलम में विभाजन की आवश्यकता न हो, जिसका अध्ययन पैराग्राफ 1.15 में किया जाएगा।

आरटी. विभाजन के अध्ययन के प्रारंभिक चरण में 91-93 कार्यों का उपयोग करने की सलाह दी जाती है। वे विभाजन नियम (परिभाषा) की समझ का परीक्षण करते हैं। कॉलम के बिना गणना के लिए कार्य 94-97। टास्क98 गुणा और भाग के दौरान अज्ञात घटकों को खोजने के लिए। कार्य 99-107 गुणन और विभाजन के दौरान घटकों के संबंध की समझ का परीक्षण करने के लिए।

निर्णय और टिप्पणियाँ

188. सिद्ध कीजिए कि यदि प्रत्येक प्राकृत संख्या a और b एक प्राकृत संख्या c से विभाज्य है, तो समानता (a + b): c = a: c + b: c सत्य है।

समाधान। आइए एक सामान्य प्रमाण दें। चूँकि प्रत्येक प्राकृत संख्या a और b एक प्राकृत संख्या c से विभाज्य है, इसलिए प्राकृत संख्याएँ a: c और b: c हैं। हम उनके योग को c से गुणा करते हैं और परिणामी उत्पाद को वितरण कानून और भागफल की परिभाषा का उपयोग करते हुए बदलते हैं (a: c वह संख्या है, जिसे c से गुणा करने पर a मिलता है, इसलिए (a: c) ∙ c = a):

(ए: सी + बी: सी) सी = (ए: सी) ∙ सी + (बी: सी) ∙ सी = ए + बी,

इसलिए, समानता (ए + बी): सी = ए: सी + बी: सी सच है।

यदि शिक्षक का मानना है कि उसकी कक्षा में छात्रों द्वारा दिया गया सामान्य प्रमाण (अक्षरों में) अभी तक समझने के लिए तैयार नहीं है, तो इसे एक विशिष्ट मामले के लिए उद्धृत करना बेहतर है, उदाहरण के लिए, यह: (15+ 35): 5 = 15: 5 + 35: 5। हालाँकि किसी को गणना के माध्यम से प्रमाण नहीं करना चाहिए - सुनिश्चित करें कि बाएँ और दाएँ को एक ही उत्तर मिलेगा (ऐसा "प्रमाण" अक्षरों में काम नहीं करेगा)। यह आवश्यक है, हालांकि विशिष्ट संख्याओं पर, सामान्य मामले में सबूत के समान तर्क करने के लिए, यह धीरे-धीरे छात्रों को बयानों को साबित करने के लिए सिखाएगा।

मध्यवर्ती नियंत्रण। डीएम। सी - 3.

1.13. गुणा और भाग का उपयोग करके शब्द समस्याओं को हल करना

इस बिंदु पर, स्कूली बच्चों को अंकगणितीय तरीकों से समस्याओं को हल करने के लिए पहले से शुरू किया गया काम जारी है। शैक्षिक पाठ में, कार्यों को स्पष्टीकरण के साथ हल किया जाता है, लेकिन समय-समय पर छात्रों को निर्देश देना आवश्यक है: "और इस कार्य को प्रश्नों के साथ हल किया जाना चाहिए।" इस तथ्य पर विशेष ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्राथमिक विद्यालय के कुछ छात्रों ने समस्या को हल करने के लिए कार्रवाई के विकल्प के बारे में गलत धारणाएं बनाई हैं। यदि वे प्रश्न का सामना करते हैं "कितना?" समस्या के पाठ में, वे कहते हैं कि घटाना आवश्यक है, आदि। इसलिए, टास्क 193 को कक्षा में पूरा किया जाना चाहिए और यह सुनिश्चित करना चाहिए कि उत्तर पाने के लिए क्रियाओं को सही ढंग से चुना गया है।

आरटी. समस्या 108-117 का उपयोग विषय पर पहले पाठों में किया जा सकता है, प्रश्नों के साथ 108-112 की समस्याओं को हल करना, और स्पष्टीकरण के साथ 113-117 की समस्याओं को हल करना। 118-137 समस्याओं के समाधान में सभी अध्ययन किए गए कार्यों का उपयोग शामिल है।

निर्णय और टिप्पणियाँ

193. क) प्रत्येक गाड़ी में आलू के 8 बैग लदे थे। 72 बोरियों में कितनी गाड़ियाँ लदी थीं?

b) कुछ 40 बैग दानेदार चीनी से भरे हुए थे। 10 खाली पैकेज बचे हैं। दानेदार चीनी को कितने बैग में डाला गया?

ग) सिलाई कार्यशाला में कपड़े के 2 टुकड़े हैं, प्रत्येक में 60 मी. कपड़ा कितने मीटर बचा है?

समस्याओं का समाधान

सत्यापन पर सामान्य नोट्स।

मानदंड समस्या के "कम" समाधान के आधार पर लिखे गए हैं।

"अलग" समाधान के मामले में, मानदंड के लिए सामान्य आवश्यकताओं के अनुसार अन्य मानदंड विकसित किए जाने चाहिए।

1. तान्या पेन और पेंसिल खरीदने गई थी। सारा पैसा खर्च करने के बाद, वह 6 पेन या 12 पेंसिल खरीद सकती थी। उसने सारे पैसे से दोनों को समान रूप से खरीदने का फैसला किया। कितने?

उत्तर - 4।

समाधान।

एक कलम दो पेंसिल की तरह है, और एक कलम और पेंसिल तीन पेंसिल की तरह है। अतः तान्या पेन और पेंसिल के 12:3 = 4 सेट खरीद सकती है।

सत्यापन मानदंड।

एक विशिष्ट संख्यात्मक उदाहरण के आधार पर: 1 अंक

2. जुड़वां अन्या, मान्या और तान्या ने अपने जन्मदिन के लिए केक बेक किया। यदि अन्या और मान्या ने दोगुने केक बेक किए होते, तो केक की कुल संख्या में 60% की वृद्धि होती। तान्या ने कितने प्रतिशत केक बेक किए?

समाधान। यदि तान्या भी केक से दुगना बेक करती तो सभी केक 100% बढ़ जाते। अनी और मणि का हिस्सा 60% है, जिसका अर्थ है कि तान्या का हिस्सा 100% -60% = 40% है।

सत्यापन मानदंड।

कोई उचित प्रगति नहीं है, लेकिन एक उत्तर है: 0 अंक

एक विशेष मामले पर विचार किया जाता है: 1 अंक।

100% -60% की कार्रवाई है, लेकिन तान्या के बारे में कोई धारणा नहीं बनाई गई है: 2 अंक

3. बोर्ड पर चार प्राकृत संख्याएँ लिखी हुई थीं। उन्हें दो में सभी संभावित अलग-अलग तरीकों से जोड़कर, पेट्या ने निम्नलिखित छह योग प्राप्त किए: 17, 18, 20, 21, 23, 26। साबित करें कि रकम की गणना करते समय पेट्या ने गलती की थी।

समाधान। सभी छह जोड़ी योगों का योग 125 है। बोर्ड पर लिखी गई प्रत्येक संख्या को इस योग में तीन बार शामिल किया गया है, जिसका अर्थ है कि यह योग 3 का गुणज होना चाहिए, लेकिन 125 3 से विभाज्य नहीं है।

सत्यापन मानदंड:

125: 1 अंक के बराबर सभी जोड़ीदार योगों का योग मिला।

यह इंगित किया गया है कि प्रत्येक संख्या को तीन बार शब्द के रूप में प्रयोग किया जाता है: 2 अंक।

पिछले दोनों बयान दिए गए हैं: 3 अंक

यह देखा गया है कि चूंकि प्रत्येक संख्या तीन बार एक योग है, तो योग 3 से विभाज्य होना चाहिए, लेकिन निष्कर्ष यह नहीं है कि वे एक विरोधाभास पर आए हैं: 6 अंक।

समाधान में सभी विवरणों की उपस्थिति: 7 अंक।

विधि 2। आइए लिखित संख्याओं को घटते क्रम में व्यवस्थित करें: a £ b £ c £ d। फिर

ए + बी = 17, ए + सी = 18, बी + डी = 23, सी + डी = 26। 18 + 23 = ए + बी + सी + डी = 17 + 26। (या 26-23 = सी-बी = 18-17) हमें एक विरोधाभास मिला, इसलिए गणना में एक त्रुटि थी।

यह समाधान इस तथ्य को प्रदर्शित करने के लिए प्रस्तुत किया गया है कि "प्राकृतिक संख्या" की स्थिति अतिश्योक्तिपूर्ण है। यह बच्चों को कार्य के लिए एक अलग दृष्टिकोण (चरम की विधि) सिखाने के लिए है।

4. पेट्या के पास 5 × 7 आयत और 1 × 1 वर्ग है। क्या पेट्या इस आयत को 2 भागों में काट सकती है जो आयत नहीं हैं, और फिर इन दो भागों में से एक 6 × 6 वर्ग और इस 1 × 1 वर्ग को जोड़ सकते हैं? (यदि संभव हो तो यह दिखाया जाना चाहिए कि आयत को कैसे काटा जाता है और वर्ग कैसे बनाया जाता है। या यह समझाया जाना चाहिए कि यह क्यों संभव नहीं है।)

उत्तर। शायद।

एकाधिक आयत कटौती और वर्ग असेंबली निर्दिष्ट हैं।

(अन्य समाधान भी हैं।)

चित्र 1

चित्र 2।

चित्र तीन

चित्रा 4.

सत्यापन मानदंड:

यदि कटिंग है, लेकिन केवल एक ड्राइंग है, यानी यह दिखाया गया है कि कैसे इकट्ठा करना है या कैसे काटना है: 4 अंक।

5. छह दोस्त: एंड्री, वाइटा, बोरिया, साशा, तोल्या और गेना, अपनी ऊंचाई के अवरोही क्रम में एक पंक्ति में खड़े हैं (उनमें से किसी की भी ऊंचाई समान नहीं है)। फिर गेना और एंड्री ने स्थान बदल दिया, बोरिया और वाइटा ने भी स्थान बदल दिया और अंत में, साशा और तोल्या ने भी स्थान बदल दिया। यह पता चला कि अब लड़के अपनी ऊंचाई के आरोही क्रम में हैं। लड़कों में सबसे लंबा खोजें यदि यह ज्ञात हो कि बोरिया आंद्रेई और गेना से ऊंचा है, लेकिन साशा से कम है।

समाधान... चूंकि सभी क्रमपरिवर्तन के बाद, लोग विपरीत क्रम में पंक्तिबद्ध थे, सबसे लंबे और सबसे छोटे को उलट दिया गया था (1)। इस जोड़ी में एंड्री और गेना शामिल नहीं हो सकते: वे दोनों बोरी (2) से कम हैं। बोरिया इस जोड़ी में प्रवेश नहीं कर सकते। वह साशा से कम है, लेकिन एंड्री से ऊंचा है, जिसका अर्थ है कि वह सबसे लंबा नहीं है और न ही सबसे निचला (3)। केवल एक जोड़ी बची है: साशा और तोल्या। साशा बोरी से लंबी है और सबसे छोटी (4) नहीं हो सकती। इसका मतलब है कि उच्चतम साशा है, और निम्नतम तोल्या है।

सत्यापन मानदंड:

केवल सही उत्तर इंगित किया गया है: 1 अंक।

पहला कथन है (1): 2 अंक।

कथन (1) और (2): 3 बिंदु हैं।

कथन (1) और (2) और (3): 6 बिंदु हैं।

सभी कथन हैं: 7 अंक।

6. 10 बाएँ क्षेत्रों पर 1/20 पट्टी पर 10 चेकर्स हैं। एक चेकर दायीं ओर के एक फ्री सेल में जा सकता है या उसके बाद अगले सेल के दायीं ओर एक चेकर पर कूद सकता है, अगर यह सेल फ्री है। वाम आंदोलन की अनुमति नहीं है। क्या बिना रिक्त स्थान के सभी चेकर्स को उल्टे क्रम में एक पंक्ति में पुनर्व्यवस्थित करना संभव है?

समाधान... आइए चेकर्स को नंबर 1,2,3, ..., 9,10 के साथ नंबर दें।

उदाहरणक्रमपरिवर्तन। आंदोलनों में दो भाग होते हैं: विषम गति करना (विघटन करना) और सम गति करना (संयोजन)।

सत्यापन मानदंड:

सभी क्रमपरिवर्तन इंगित किए गए हैं: 7 अंक।

प्रारंभ और अंत निर्दिष्ट हैं, लेकिन दीर्घवृत्त हैं। 6 अंक।

यदि यह वहाँ भी है, लेकिन चालों में एक स्किप है - 5 अंक।

टिप्पणी।प्रत्येक टुकड़े की गति को प्रारंभ और अंत स्थिति द्वारा दिखाया गया है, मध्यवर्ती चालों को पुनर्प्राप्त करना आसान है। ऐसे पासों में गलती खोजने की जरूरत नहीं है।

1. बोर्ड पर लिखे नंबर में पेट्या ने तीन नंबर मिटा दिए और 9 का गुणज मिला। अब बोर्ड पर कौन सा नंबर लिखा है? (सभी संभावनाओं को सूचीबद्ध करें और साबित करें कि कोई अन्य नहीं है।)

एक संख्या 9 से तभी विभाज्य होती है जब उसके अंकों का योग 9 से विभाज्य हो। लिखित संख्या के अंकों का योग 30 होता है। 1 से 3 तक के तीन अंकों का योग 3 से 9 तक भिन्न हो सकता है। इसलिए, हड़ताल करने के बाद तीन अंकों में से नई संख्या के अंकों का योग 23 से 27 तक हो सकता है। इनमें से केवल 27 ही 9 से विभाज्य हैं। इसका अर्थ है कि तीन अंकों को काट दिया गया है, जिसका योग 3 है, अर्थात्, तीन इकाइयाँ। बोर्ड पर रहेगा नंबर :.

सत्यापन मानदंड।

उत्तर प्रस्तुत किया गया: 1 अंक।

यह इंगित किया गया है कि अंकों के योग की 9 से विभाज्यता आवश्यक है, इसलिए आपको तीन अंकों को पार करने की आवश्यकता है, जिसका योग 3 है, जिसका अर्थ है कि ये तीन इकाइयाँ हैं: 4 अंक।

एक पूर्ण समाधान के लिए, यह दिखाया जाना चाहिए कि 9 से विभाज्य संख्याओं का कोई अन्य योग प्राप्त नहीं किया जा सकता है यदि ऐसा किया जाता है - 7 अंक। यदि तर्क से पता चलता है कि तीन को काट दिया गया है, लेकिन संख्या नहीं दिखाई गई है: शून्य से 1 अंक।

2. नताशा और इन्ना ने टी बैग्स का एक ही डिब्बा खरीदा। वे एक बैग में दो या तीन कप चाय बनाने के लिए जाने जाते हैं। यह डिब्बा नताशा के लिए 53 कप चाय के लिए और इन्ना के लिए 76 कप के लिए पर्याप्त था। डिब्बे में कितने बैग थे? उत्तर की पुष्टि होनी चाहिए।

समाधान

ध्यान दें कि बॉक्स में 26 से कम पाउच नहीं हो सकते हैं: यदि उनमें से कम से कम 25 हैं, तो इन्ना अधिक नहीं पी पाएगी = 75 कप, लेकिन उसने 76 पी ली। दूसरी ओर, बॉक्स में
26 से अधिक पाउच नहीं हो सकते हैं: यदि उनमें से कम से कम 27 हैं, तो नताशा कम नहीं पी सकती = 54 कप, लेकिन उसने 53 पी ली। इस प्रकार, बॉक्स में 26 पाउच थे: इन्ना ने 24 पाउच को तीन बार पीसा और 2 पाउच दो बार, और नताशा ने 1 पाउच को तीन बार और 25 पाउच को दो बार पीसा।

सत्यापन मानदंड।

केवल 26 पाउच का उत्तर दें: 0 अंक।

जरूरी है कि आप 53 और 76 कप चाय पीने का तरीका बताएं, नहीं तो समाधान पूरा नहीं होगा। प्रत्येक उदाहरण गुम: शून्य से 1 अंक।

3. पीछे विभिन्न युगों के सात बौने बैठे हैं गोल मेज़... यह ज्ञात है कि हर बौना सच या झूठ बोल सकता है। उनमें से प्रत्येक ने कहा कि वह अपने पड़ोसियों से बड़ा है। सत्य कथनों की सबसे बड़ी संख्या क्या हो सकती है?

ग्रेड। एक वरिष्ठ सूक्ति पर विचार करें। वह सच नहीं बता सका। शेष 6 को तीन आसन्न युग्मों में विभाजित करें। प्रत्येक जोड़ी में, केवल एक सूक्ति ही सच बता सकती थी। इसका मतलब है कि तीन से अधिक बौनों ने सच नहीं बताया। उदाहरण: 7, 5, 6, 3, 4, 1, 2. (बौनों को वरिष्ठता के आधार पर गिना जाता है।)

सत्यापन मानदंड।

आकलन समस्या प्लस एक उदाहरण।

उदाहरण: 2 अंक।

रेटिंग: 4 अंक।

आकलन करते समय, यह महत्वपूर्ण है कि पड़ोसी सूक्ति दोनों सच नहीं बोल सकते हैं, और यदि कम से कम चार सच बोलते हैं, तो उनके बीच पड़ोसी हैं।

सभी एक साथ 7 अंक।

टिप्पणी। यदि सूक्ति एक पंक्ति में बैठे, तो 4 सूक्ति सत्य बता सकते थे।

6, 7, 4, 5, 2, 3, 1.

4. यह जाना जाता है कि । पाना ।

समाधान

आइए बाईं ओर भिन्नों को जोड़ें:

इसका मतलब कहाँ है ... एक बार फिर, अंतिम समानता के बाईं ओर के अंशों को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं।

अंत में, हमारे पास है

5. छोटे बच्चों ने मिठाई खाई। प्रत्येक ने अन्य सभी की तुलना में 11 कम कैंडी खाई, लेकिन फिर भी एक से अधिक कैंडी खाई। कुल कितनी मिठाइयाँ खाई गईं?

समाधान

आइए बच्चों में से एक को चुनें - उदाहरण के लिए, पेट्या। यदि आप अन्य सभी कैंडीज में से 11 लेते हैं, तो पेट्या के समान राशि होगी। इसका मतलब यह है कि पेट्या की कैंडीज की संख्या का दोगुना कैंडीज माइनस ग्यारह की कुल संख्या के बराबर है। बच्चों में से किसी के बारे में भी यही कहा जा सकता है, जिसका मतलब है कि सभी बच्चों के पास मिठाई का बराबर हिस्सा है - कहते हैं, एक ढेर।
यह स्पष्ट है कि सभी ने एक साथ ढेरों की पूर्णांक संख्या को दूसरों की तुलना में कम खाया। इसलिए, 11 को ढेर के आकार से विभाजित किया जाता है। इसका मतलब है (चूंकि, शर्त के अनुसार, सभी ने 1 कैंडी से अधिक खाया), ढेर में 11 कैंडी हैं, यानी सभी ने एक साथ ढेर कम खाया। पेट्या ने एक ढेर खा लिया, इसलिए बाकी - दो। इसका मतलब है कि कुल मिलाकर तीन ढेर हैं, और 33 कैंडीज हैं।
वही हल बीजगणितीय रूप से भी लिखा जा सकता है।
आइए हम द्वारा निरूपित करें एसबच्चों ने कुल कितनी मिठाइयाँ खाईं। अगर बच्चों में से एक ने खा लिया एमिठाइयाँ, फिर शर्त के अनुसार बाकी सब ने खा लिया ए + 11 मिठाइयाँ, और इस तरह सभी ने एक साथ खाया एस = ए +(ए + 11)= 2ए + 11 मिठाई। यह तर्क हर बच्चे के लिए सही है, इसलिए सभी बच्चों ने समान मात्रा में कैंडी खाई: ए =(एस- 11)/ 2 टुकड़े।
अब हम द्वारा निरूपित करते हैं एनबच्चों की संख्या। तब शर्त इस प्रकार लिखी जाती है ए = ए(एन- 1)– 11, कहाँ से 11 = ए(एन- 2))। संख्या 11 सरल है, इसलिए कारकों में से एक 1 है, और अन्य 11. लेकिन शर्त के अनुसार ए> 1, इसलिए ए = 11 , एन- 2= 1. जिसके चलते एन = 3, और खाया गया था एस = एएन = 33कैंडीज

उत्तर: 33 कैंडी।

केवल उत्तर: 0 अंक।

6. त्रिभुज ABC की भुजाओं AB और AC पर क्रमशः बिंदु K और D लिए गए। बिंदु E को इसलिए चुना गया ताकि K खंड DE का मध्यबिंदु हो। यह पता चला कि РEAK = РACB और AE = DC। सिद्ध कीजिए कि BD कोण ABC का समद्विभाजक है।

बिंदु D से हम क्रमशः DL और DM को रेखा AB और BC पर छोड़ते हैं। बिंदु E से हम लंब EN को रेखा AB पर छोड़ते हैं। समकोण त्रिभुज AEN और CDM कर्ण और न्यून कोण में बराबर हैं। इसलिए डीएम = ईएन। इसके अलावा, EN = DL (समकोण त्रिभुजों की समानता से, यदि N और L भिन्न हैं, या खंड EK और DK के साथ मेल खाते हैं, यदि बिंदु N, L और K मेल खाते हैं)।

इसलिए DL = DM, और बिंदु D कोण ABC की भुजाओं से समान दूरी पर है और इसलिए, इस कोण के समद्विभाजक पर स्थित है।

सत्यापन मानदंड। वांछित लंबवत छोड़े गए: 1 अंक।

समानता साबित करते समय EN = DL, लंबवत के आधारों के संयोग के मामले पर विचार नहीं किया गया: शून्य से 1 अंक।

1. प्राकृतिक संख्या घन एन 2010 तक विभाज्य है। क्या यह उस संख्या का अनुसरण करता है? एन 2010 तक विभाज्य? उत्तर: चाहिए।

समाधान... 2010 = 2*3*5*67. संख्या 2, 3, 5 और 67 अभाज्य हैं।

https://pandia.ru/text/77/496/images/image018_66.gif "चौड़ाई =" 19 ऊंचाई = 15 "ऊंचाई =" 15 ">। gif" चौड़ाई = "21" ऊंचाई = "21 src ="> 3 से विभाज्य, 3 से विभाज्य,

https://pandia.ru/text/77/496/images/image018_66.gif "चौड़ाई =" 19 "ऊंचाई =" 15 "> 5 से विभाज्य,

https://pandia.ru/text/77/496/images/image018_66.gif "चौड़ाई =" 19 "ऊंचाई =" 15 "> 67 से विभाज्य है।

केवल उत्तर दिया गया: 0 अंक।

2. विभिन्न आकार के डिब्बे हैं: ए, बी, सी और डी। यह ज्ञात है कि 11 डिब्बे ए और 7 डिब्बे बी 12 डिब्बे सी के समान राशि रखते हैं। सी 6 डिब्बे ए और 5 डिब्बे बी 6 डिब्बे के समान राशि रखते हैं डिब्बे सी और 1 कैन डी। 6 डिब्बे डी पूरी तरह से पानी से भरे हुए हैं। क्या 3 डिब्बे A और 8 डिब्बे B, 6 डिब्बे D से सारा पानी डालने के लिए पर्याप्त होंगे?

समाधान।चलो https://pandia.ru/text/77/496/images/image021_51.gif "height =" 15 src = "> क्रमशः डिब्बे ए, बी, सी और डी के वॉल्यूम हैं।

समीकरणों की सही ढंग से बनाई गई प्रणाली के लिए: 2 अंक।

3. एक समांतर चतुर्भुज दिया गया है केएलएमएनतीव्र शीर्ष क... किरणों पर केएलतथा एमएलचिह्नित बिंदु एतथा बीक्रमशः, और पूर्वाह्न = एलएमतथा बीके = केएल.

ए) साबित करें कि एक = बी एन.

b) सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज एबीएनतथा बीकेएलसमान है।

समाधान।

त्रिभुजों की समानता से AMNतथा बीकेएन(दो तरफ और उनके बीच का कोण) खंडों की समानता का अनुसरण करता है एकतथा बी एन.

कोणों की समानता से एकेबीतथा एएमबी(समान समद्विबाहु त्रिभुजों के शीर्षों पर कोण बीकेएलतथा एएमएल) यह इस प्रकार है कि अंक ए, बी, क, एमएक ही वृत्त पर लेटें, और चूँकि

तो बिंदु भी इस वृत्त पर स्थित है एन... इसलिए, कोण बीएनएतथा बीकेएलसबसे ऊपर एनतथा कसमद्विबाहु त्रिभुज बीएनएतथा बीकेएलबराबर हैं। अत: त्रिभुज समरूप होते हैं।

प्वाइंट ए) साबित होता है: 3 अंक।

बिंदु बी) सिद्ध होता है: 4 अंक।

4. सिद्ध करें कि यदि समीकरण और https://pandia.ru/text/77/496/images/image028_31.gif "width =" 263 "height =" 24 "> का कोई मूल नहीं है।

समाधान।

चलो एक मनमाना लेते हैं।

तब उसकी कोई जड़ नहीं होती, इसलिए किसी के लिए भी।

इसलिए, समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं। इसलिए किसी के लिए भी।

https://pandia.ru/text/77/496/images/image034_29.gif "चौड़ाई =" 255 "ऊंचाई =" 22 src = ">

किसी के लिए भी । यानी समीकरण

यह साबित होता है कि किसी भी +4 अंक के लिए।

यदि कोई संगत स्पष्टीकरण नहीं है, तो अंकों का कोई संगत जोड़ नहीं है।

5. भंडारण कक्ष में वास्या चार अंकों का कोड भूल गया (कोड 0000 से 9999 तक कुछ भी हो सकता है)। वह केवल यह याद रखता है कि वह संख्या जो कोड को निर्दिष्ट करती है वह 3 और 7 से विभाज्य है और 5 और 9 से विभाज्य नहीं है। कोड का अनुमान लगाने के लिए उसे कितने विकल्पों पर जाना होगा?

उत्तर : 254.

समाधान। 1 रास्ता।

कोड 0000 काम नहीं करता है।

1 से 9999 तक की संख्याओं में, ठीक = 476 21..gif "चौड़ाई =" 65 "ऊंचाई =" 39 "> से विभाज्य हैं। लेकिन 9 से विभाज्य 158 और 5 से विभाज्य 95 संख्याओं में से, संयोग हैं। 45 से विभाज्य संख्याएँ। 21 से विभाज्य 476 संख्याओं में से ठीक ऐसी संख्याएँ हैं। फिर समस्या की स्थिति को संतुष्ट करने वाली ठीक + 31 = 254 संख्याएँ हैं।

9 * 5 * 7 = 315, इसलिए 1 से 315 तक, 316 से 630 तक, 630 से 945 तक की संख्याओं में से वही संख्याएँ हैं जो समस्या की स्थिति को संतुष्ट करती हैं। 1 से 315 तक ठीक 8 ऐसी संख्याएँ हैं (ये संख्याएँ 21, 42, 84, 147, 168, 231, 273, 294) हैं। अतः 1 से 315 * 31 = 9765 तक ऐसी संख्याएँ 31 * 8 = 248 हैं। यह 9766 से 9999 तक की संख्याओं पर विचार करना और यह सुनिश्चित करना है कि उनमें से ठीक 6 संख्याएँ समस्या की स्थिति (9786, 9807, 9849, 9912, 9933, 9996) को संतुष्ट करती हैं। कुल 248 + 6 = 254 संख्याएँ।

समाधान के बिना उत्तर: 0 अंक।

संकेतित सूत्र + 31 = 254: + 3 अंक है।

प्रत्येक कम्प्यूटेशनल त्रुटि: - 1 अंक।

समाधान के बिना उत्तर: 0 अंक।

यह इंगित किया गया है कि निम्नलिखित 315 संख्याओं में से प्रत्येक में समान संख्याएँ समस्या की स्थिति को संतुष्ट करती हैं: +3 अंक।

यह गणना की जाती है कि 1 से 315 तक ठीक 8 इस शर्त को पूरा करता है: +1 अंक।

यह गणना की जाती है कि 9766 से 9999 तक ठीक 6 समस्या की स्थिति को संतुष्ट करते हैं: +1 अंक।

सूत्र 248 + 6 = 254: +2 अंक जैसा है।

अगर किसी के पास सभी 254 नंबर लिखने का धैर्य है और गलत नहीं है: 7 अंक।

6. फंक्शन के ग्राफ पर बिंदु A और B लिए गए हैं ... इनमें से लंबों को भुज अक्ष पर छोड़ दिया जाता है, लंबों के आधार HA और HB हैं; मूल है। सिद्ध कीजिए कि सीधी रेखाओं CA, CB और चाप AB से घिरी आकृति का क्षेत्रफल सीधी रेखाओं AHA, BHB, भुज अक्ष और चाप AB से घिरी हुई आकृति के क्षेत्रफल के बराबर है। 5. फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर बिंदु A और B लिए गए हैं। इनमें से लंबों को भुज अक्ष पर छोड़ दिया जाता है, लंबों के आधार HA और HB हैं; मूल है। सिद्ध कीजिए कि सीधी रेखाओं CA, CB और चाप AB से घिरी आकृति का क्षेत्रफल सीधी रेखाओं AHA, BHB, भुज अक्ष और चाप AB से घिरी हुई आकृति के क्षेत्रफल के बराबर है।

समाधान।हम मान सकते हैं कि बिंदु A का भुज बिंदु B के भुज से कम है (देखिए आकृति।)। AHA और ZB खंडों के प्रतिच्छेदन बिंदु K पर विचार करें। तब माना क्षेत्रों का अंतर त्रिभुज СAK और चतुर्भुज HAKBHB के क्षेत्रों के बीच के अंतर के बराबर है, जो बदले में, त्रिभुज СAHA और СBHB के क्षेत्रों के बीच के अंतर के बराबर है। और चूंकि HA * AHA = СHB * BHB = 2010 (ए और बी ग्राफ पर हैं), ये क्षेत्र एक दूसरे के बराबर हैं।

यह दिखाया गया है कि विचाराधीन क्षेत्रों के बीच का अंतर https://pandia.ru/text/77/496/images/image044_20.gif "चौड़ाई =" 101 "ऊंचाई =" 23 src = ">: 4 अंक है।

यह साबित होता है कि या तो : +3 अंक।

1. ... साबित करें कि सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए असमानता

समाधान:असमानता के दोनों पक्षों को सकारात्मक मान से विभाजित करें। असमानता प्राप्त करें यदि डिग्री ऋणात्मक है और असमानता सत्य है .. gif "चौड़ाई =" 61 "ऊंचाई =" 19 ">: 0 अंक।

प्राप्त दृश्य या: 1 अंक

2. क्या कुछ प्राकृतिक k के अंकों का योग अगले दो नंबरों के लिए समान हो सकता है https://pandia.ru/text/77/496/images/image059_10.gif "चौड़ाई =" 76 "ऊंचाई =" 24 src = " >?

उत्तर: यह नहीं कर सकता।

समाधान।आइए निरूपित करें https://pandia.ru/text/77/496/images/image061_11.gif "चौड़ाई =" 171 "ऊंचाई =" 24 src = ">। लगातार तीन संख्याओं में से एक तीन से विभाज्य है, इसलिए, इनमें से एक संख्या https है: //pandia.ru/text/77/496/images/image064_9.gif "चौड़ाई =" 53 "ऊंचाई =" 21 src = "> तीन से विभाज्य है, और दूसरा नहीं है। इसलिए, उनमें से केवल एक के अंकों का योग तीन से विभाज्य है। इसलिए, वे अलग हैं।

3. वर्गाकार त्रिपद और धनात्मक वास्तविक मूल एक्स 1, एक्स 2 और एक्स 3, एक्स 4, क्रमशः, और एक्स1 < एक्स3 < एक्स2 < एक्स4 . सिद्ध करें कि एक वर्ग त्रिपद https://pandia.ru/text/77/496/images/image068_9.gif "चौड़ाई =" 85 "ऊंचाई =" 51 src = ">। Gif" चौड़ाई = "111" ऊंचाई = "21 ">।

असमानताओं का एक अलग औचित्य संभव है - ए<-सी, बी<डीद्विघात फ़ंक्शन के गुणों का उपयोग करना।

एक समाधान दिया जाता है, लेकिन असमानताओं से गुजरते समय - ए<-सीतथा बी<डीअसमानताओं के लिए ए 2<सी 2, 4बी2 <4डी2 इस बात की पुष्टि नहीं की - ए, बी,-सी, डीसकारात्मक: 5 अंक।

4. 2010 शून्य 1331 के प्रत्येक दो अंकों के बीच डाला जाता है। सिद्ध कीजिए कि परिणामी संख्या 1331 से विभाज्य है।

समाधान।आइए संख्या की कल्पना करें https://pandia.ru/text/77/496/images/image072_8.gif "चौड़ाई =" 386 "ऊंचाई =" 24 ">

https://pandia.ru/text/77/496/images/image074_8.gif "चौड़ाई =" 55 "ऊंचाई =" 35 src = "> 11 से विभाज्य (11 से विभाज्य), जिसका अर्थ है 10..0013 से विभाज्य 113 = 1331.

संख्या https://pandia.ru/text/77/496/images/image076_8.gif "चौड़ाई =" 31 "ऊंचाई =" 24 "> के रूप में प्रस्तुत की गई है।

समाधान।रहने दो हेवृत्त का केंद्र है, क्योंकि D अब C समद्विबाहु है, तो बो=ओसी... डी पर विचार करें एफबीओऔर डी पर्यावरण: Ð एफबीओ=Ð पर्यावरण= ए, BF के× सीई=6, बो× ओसी=ईसा पूर्व 2/4 = 6, अर्थात् BF के× सीई=बो× ओसीÛ https://pandia.ru/text/77/496/images/image079_8.gif "चौड़ाई =" 103 ऊंचाई = 38 "ऊंचाई =" 38 ">। चूंकि बीओएफ= बी, एल ईओसी= g, तो FOE = a. समानता से बो= ओसीतथा उसका अनुसरण करता है। डी पर विचार करें दुश्मनऔर डी पर्यावरण: Ð दुश्मन=Ð पर्यावरण= a, और https://pandia.ru/text/77/496/images/image047_16.gif "चौड़ाई =" 13 ऊंचाई = 15 "ऊंचाई =" 15 "> असमानता सच है

प्राप्त दृश्य या: 1 अंक

केवल एक मामले के लिए सिद्ध या: 3 अंक।

2. समीकरण हल करें: https://pandia.ru/text/77/496/images/image082_8.gif "ऊंचाई =" 20 src = ">

उत्तर: कोई उपाय नहीं हैं।

पहला उपाय: अनुक्रम https://pandia.ru/text/77/496/images/image084_7.gif "चौड़ाई =" 31 "ऊंचाई =" 21 "> .. gif" चौड़ाई = "13" ऊंचाई = "15" > 0 के बराबर नहीं है। समीकरण का कोई मूल नहीं है।

यदि यह देखा जाए कि यह एक ज्यामितीय प्रगति का योग है: 1 अंक

राशि मिली, लेकिन कोई निष्कर्ष नहीं निकला: +1 अंक।

प्रतिस्थापन किया गया: 1 अंक।

दूसरा हल: समीकरण का हल नहीं। समीकरण के दोनों पक्षों को द्वारा विभाजित करें और समीकरण प्राप्त करें।

हम निम्नलिखित क्रम में शर्तों को फिर से लिखते हैं

https://pandia.ru/text/77/496/images/image092_6.gif "चौड़ाई =" 75 "ऊंचाई =" 21 "> .. gif" चौड़ाई = "84" ऊंचाई = "24"> जिसकी जड़ें हैं , ध्यान दें कि कॉची असमानता के अनुसार और इसलिए दोनों जड़ें फिट नहीं होती हैं।