Մոբիուսի շերտը, որը նաև կոչվում է օղակ, մակերես կամ տերև, այնպիսի մաթեմատիկական առարկայի ուսումնասիրության առարկա է, ինչպիսին է տոպոլոգիան, որն ուսումնասիրում է. ընդհանուր հատկություններթվեր, որոնք պահպանվում են այնպիսի շարունակական փոխակերպումների ներքո, ինչպիսիք են ոլորումը, ձգումը, սեղմումը, կռումը և այլք, որոնք կապված չեն ամբողջականության խախտումների հետ: Նման ժապավենի զարմանալի և եզակի առանձնահատկությունն այն է, որ այն ունի միայն մեկ կողմ և եզր և ոչ մի կերպ կապված չէ տարածության մեջ իր գտնվելու վայրի հետ:
Մոբիուսի շերտը տոպոլոգիական է, այսինքն՝ շարունակական օբյեկտ՝ ամենապարզ միակողմանի մակերևույթով, որը սահման ունի սովորական Էվկլիդեսյան տարածության մեջ (եռաչափ), որտեղ հնարավոր է հասնել նման մակերեսի մի կետից՝ առանց եզրերը հատելու։ ցանկացած ուրիշի:
Ո՞վ և ե՞րբ բացեց այն:
Այնպիսի բարդ օբյեկտ, ինչպիսին Մոբիուսի շերտն է, հայտնաբերվել և հայտնաբերվել է բավականին անսովոր ձևով: Նախ, մենք նշում ենք, որ երկու մաթեմատիկոս, որոնք բացարձակապես կապ չունեն հետազոտության մեջ, հայտնաբերել են այն միաժամանակ՝ 1858 թ. Մեկ այլ հետաքրքիր փաստայն է, որ այս երկու գիտնականներն էլ տարբեր ժամանակեղել են նույն մեծ մաթեմատիկոսի՝ Յոհան Կարլ Ֆրիդրիխ Գաուսի աշակերտները։ Այսպիսով, մինչև 1858 թվականը համարվում էր, որ ցանկացած մակերես պետք է ունենա երկու կողմ: Այնուամենայնիվ, Յոհան Բենեդիկտ Լիստինգը և Ավգուստ Ֆերդինանդ Մոբիուսը հայտնաբերեցին մի երկրաչափական առարկա, որն ուներ միայն մեկ կողմ և նկարագրում է դրա հատկությունները: Ժապավենն անվանվել է Մոբիուսի պատվին, սակայն տեղաբանները համարում են Listing-ը և նրա աշխատությունը Preliminary Studies in Topology որպես «ռետինե երկրաչափության» հիմնադիր հայրը։
Հատկություններ
Մոբիուսի ժապավենն ունի հետևյալ հատկությունները, որոնք չեն փոխվում, երբ այն սեղմվում է, կտրվում կամ փշրվում է.
1. Մի կողմի առկայությունը. Ա.Մոբիուսն իր «Պոլիեդրայի ծավալի մասին» աշխատության մեջ նկարագրել է երկրաչափական մակերես, որն այնուհետև անվանվել է նրա անունով՝ ունենալով միայն մեկ կողմ։ Սա ստուգելը բավականին պարզ է. մենք վերցնում ենք շերտ կամ Մոբիուս շերտ և փորձում ենք ներկել ներսումմեկ գույն, իսկ արտաքինը մեկը մյուսին: Կարևոր չէ, թե որ վայրում և ուղղությամբ է սկսվել գունավորումը, ամբողջ գործիչը կնկարվի մեկ գույնով:
2. Շարունակականությունն արտահայտվում է նրանով, որ սրա ցանկացած կետ երկրաչափական պատկերկարող է միացվել իր ցանկացած այլ կետի հետ՝ չհատելով Մոբիուսի մակերեսի սահմանները։
3. Կապակցումը կամ երկչափությունը կայանում է նրանում, որ ժապավենը երկայնքով կտրելիս մի քանի տարբեր ֆիգուրներ դուրս չեն գա դրանից, և այն մնում է ամբողջական:
4. Նրան պակասում է այդպիսին կարևոր գույքորպես կողմնորոշում։ Սա նշանակում է, որ այս գործչի երկայնքով քայլող մարդը կվերադառնա իր ճանապարհի սկզբին, բայց միայն ներս հայելային պատկերինքն իրեն։ Այսպիսով, անսահման Մոբիուսի շերտը կարող է հանգեցնել հավերժական ճանապարհորդության:
5. Հատուկ քրոմատիկ թիվ, որը ցույց է տալիս, թե որքան հնարավոր է առավելագույն թվով շրջաններ Մոբիուսի մակերեսի վրա, որոնք կարող են ստեղծվել այնպես, որ դրանցից որևէ մեկն ունենա ընդհանուր սահման բոլոր մյուսների հետ: Մոբիուսի շերտի քրոմատիկ թիվը 6 է, իսկ թղթե օղակը 5 է:
Գիտական օգտագործում
Այսօր Մոբիուսի շերտը և նրա հատկությունները լայնորեն կիրառվում են գիտության մեջ՝ հիմք հանդիսանալով նոր վարկածների և տեսությունների ստեղծման, հետազոտությունների և փորձերի, ինչպես նաև նոր մեխանիզմների ու սարքերի ստեղծման համար։
Այսպիսով, կա վարկած, ըստ որի Տիեզերքը հսկայական Մոբիուսի օղակ է: Այդ մասին անուղղակիորեն վկայում է նաեւ Էյնշտեյնի հարաբերականության տեսությունը, ըստ որի, նույնիսկ ուղիղ թռչող նավը կարող է վերադառնալ նույն ժամանակային ու տիեզերական կետը, որտեղից սկսել է։
Մեկ այլ տեսություն ԴՆԹ-ն դիտարկում է որպես Մոբիուսի մակերեսի մի մաս, ինչը բացատրում է կարդալու և վերծանելու դժվարությունը: գենետիկ կոդը. Ի թիվս այլ բաների, նման կառուցվածքը տալիս է կենսաբանական մահվան տրամաբանական բացատրություն՝ իր վրա փակված պարույրը հանգեցնում է օբյեկտի ինքնաոչնչացման։
Ֆիզիկոսների կարծիքով, շատ օպտիկական օրենքներ հիմնված են Մոբիուսի շերտի հատկությունների վրա: Այսպիսով, օրինակ, հայելային արտացոլումը ժամանակի հատուկ փոխանցում է, և մարդն իր առջև տեսնում է իր հայելին կրկնակի:
Իրականացում գործնականում
IN տարբեր արդյունաբերություններԱրդյունաբերության մեջ Möbius շերտը երկար ժամանակ օգտագործվել է: Մեծ գյուտարար Նիկոլա Տեսլան դարասկզբին հայտնագործեց Möbius ռեզիստորը, որը բաղկացած է երկու ոլորված 1800 հաղորդիչ մակերեսներից, որոնք կարող են դիմակայել հոսքին: էլեկտրական հոսանքառանց էլեկտրամագնիսական միջամտության ստեղծման:
Մոբիուսի շերտի մակերեսի և դրա հատկությունների ուսումնասիրությունների հիման վրա ստեղծվել են բազմաթիվ սարքեր և սարքեր: Դրա ձևը կրկնվում է փոխակրիչի ժապավենի և տպագրական սարքերում թանաքի ժապավենի, գործիքների սրման համար հղկող գոտիների և ավտոմատ փոխանցման մեջ: Սա թույլ է տալիս զգալիորեն մեծացնել դրանց ծառայության ժամկետը, քանի որ մաշվածությունը տեղի է ունենում ավելի հավասարաչափ:
Ոչ վաղ անցյալում Möbius շերտի զարմանալի հատկությունները հնարավորություն տվեցին ստեղծել մի զսպանակ, որը, ի տարբերություն սովորականների, որոնք կրակում են հակառակ ուղղությամբ, չի փոխում գործողության ուղղությունը: Այն օգտագործվում է ղեկի շարժիչի կայունացուցիչում՝ ապահովելով ղեկի վերադարձը իր սկզբնական դիրքին։
Բացի այդ, Möbius շերտի նշանը օգտագործվում է մի շարք ապրանքային նշաններև լոգոները։ Դրանցից ամենահայտնին վերամշակման միջազգային խորհրդանիշն է։ Այն ամրացվում է այն ապրանքների փաթեթավորման վրա, որոնք կամ վերամշակելի են կամ պատրաստված են վերամշակված ռեսուրսներից:
Ստեղծագործական ոգեշնչման աղբյուր
Մոբիուսի շերտը և դրա հատկությունները հիմք են հանդիսացել բազմաթիվ նկարիչների, գրողների, քանդակագործների և կինոգործիչների աշխատանքի համար: Ամենահայտնի նկարիչը, ով օգտագործել է ժապավենը և դրա առանձնահատկությունները այնպիսի աշխատանքներում, ինչպիսիք են Moebius Ribbon II-ը (Կարմիր մրջյունները), ձիավորները և հանգույցները, Մաուրիտս Կորնելիս Էշերն է:
Մոբիուսի շերտերը կամ, ինչպես նաև կոչվում են, նվազագույն էներգիայի մակերեսները, ոգեշնչման աղբյուր են դարձել մաթեմատիկական նկարիչների և քանդակագործների համար, ինչպիսիք են Բրենտ Քոլինսը կամ Մաքս Բիլը: Մոբիուսի գոտու ամենահայտնի հուշարձանը գտնվում է Վաշինգտոնի պատմության և տեխնիկայի թանգարանի մուտքի մոտ:
Ռուս արվեստագետները նույնպես անմասն չեն մնացել այս թեմայից և ստեղծել են իրենց աշխատանքները։ Մոսկվայում և Եկատերինբուրգում տեղադրվել են «Moebius Tape» քանդակներ.
Գրականություն և տոպոլոգիա
Մոբիուսի մակերեսների անսովոր հատկությունները ոգեշնչեցին շատ գրողների՝ ստեղծելու ֆանտաստիկ և սյուրռեալիստական գործեր: Mobius loop-ը խաղում է կարևոր դերՌ.Զելազնիի «Դռներ ավազի մեջ» վեպում և ծառայում է որպես տարածության և ժամանակի միջով շարժվելու միջոց Բ.Լամլիի «Նեկրոսկոպ» վեպի գլխավոր հերոսի համար։
Այն հայտնվում է նաև Արթուր Քլարկի «Խավարի պատը», Մ. Քլիֆթոնի «Մոբիուսի շերտի վրա» և Ա. Ջ. Դեյչի «Մոբիուսի տերեւը» պատմվածքներում։ Վերջինիս հիման վրա, ռեժիսոր Գուստավո Մոսկերան, նկարահանվել է «Մեբիուս» ֆանտաստիկ ֆիլմը։
Մենք դա անում ենք ինքներս, մեր սեփական ձեռքերով:
Եթե դուք հետաքրքրված եք Möbius շերտով, ինչպես պատրաստել դրա մոդելը, ձեզ կհուշեն մի փոքրիկ հրահանգ.
1. Նրա մոդելը պատրաստելու համար ձեզ հարկավոր է.
Պարզ թղթի թերթիկ;
Մկրատներ;
Քանոն.
2. Թղթի թերթիկից կտրեք շերտը, որպեսզի դրա լայնությունը 5-6 անգամ պակաս լինի երկարությունից։
3. Ստացված թղթե շերտը դրեք հարթ մակերեսի վրա: Մի ծայրը ձեռքով բռնում ենք, իսկ մյուսը 1800-ով պտտում ենք, որ ժապավենը ոլորվի, իսկ սխալ կողմը դառնա դիմացի կողմ։
4. Սոսնձում ենք ոլորված շերտի ծայրերը, ինչպես ցույց է տրված նկարում։
Մոբիուսի շերտը պատրաստ է։
5. Վերցրեք գրիչ կամ մարկեր և սկսեք երթևեկել ժապավենի մեջտեղում: Եթե ամեն ինչ ճիշտ եք արել, կվերադառնաք նույն կետը, որտեղ սկսել եք գծել:
Որպեսզի տեսողական հաստատում ստանաք, որ Մոբիուսի շերտը միակողմանի առարկա է, փորձեք մատիտով կամ գրիչով նկարել դրա ցանկացած կողմը: Որոշ ժամանակ անց կտեսնեք, որ ամբողջությամբ նկարել եք դրա վրա։հրապարակել է econet.ru-ն
Մոբիուսի ժապավեն (Mobius հանգույց, Mobius շերտ)- թվացյալ պարզ գործիչ, բայց մաթեմատիկոսը կասեր, որ սա երկչափ մակերես է զարմանալի հատկություններԱյն ունի միայն մեկ կողմ և մեկ եզր, ի տարբերություն սովորական օղակի, որը կարող է փաթաթվել Mobius շերտի նույն ժապավենից, բայց այն կունենա երկու կողմ և երկու եզր: Սա հեշտ է ստուգել, եթե ժապավենի մեջտեղում գիծ եք քաշում, առանց մատիտը թղթից հանելու, մինչև վերադառնաք մեկնարկային կետ: Զարմանալի է, բայց ճշմարիտ. շերտի կիսաշրջադարձի պատճառով նրա վերին և ստորին եզրերը միավորվեցին մեկ շարունակական գծի մեջ, իսկ երկու կողմերը վերածվեցին մեկ ամբողջության և դարձան մի կողմ: Եվ ահա արդյունքը. դուք կարող եք հասնել Մյոբիուսի շերտի մի կետից մյուսը, առանց եզրից անցնելու:
Möbius շերտի վազում
Արտաքին դիտորդի համար Մոբիուսի երթևեկությունը «շրջագծով վազք» է՝ լի անակնկալներով: Նրան վառ պատկերել է հոլանդացի գրաֆիկ Մորից Էշերը (1898-1972): «Möbius Strip II» նկարում վազող մրջյունների դերում։ Հետևելով նրանց շարժմանը, կարող եք անել հետաքրքիր բացահայտում. Ժապավենի երկայնքով մեկ պտույտ կատարելով, յուրաքանչյուր մրջյուն կլինի մեկնարկային կետում, բայց արդեն հակապոդի դիրքում. տեսողականորեն այն կլինի ժապավենի «մյուս կողմում» գլխիվայր: Իսկ ի՞նչ է լինելու երկչափ արարածի հետ, որը շարժվում է Մոբիուսի շերտի երկայնքով: Շրջանցելով մակերեսը՝ այն կվերածվի իր հայելային պատկերի (սա հեշտ է պատկերացնել, եթե ժապավենը համարենք թափանցիկ)։ Ինքն իրեն դառնալու համար երկչափ էակը պետք է ևս մեկ շրջան անի: Այսպիսով, մրջյունը պետք է երկու անգամ անցնի Մոբիուսի շերտով, որպեսզի վերադառնա իր սկզբնական դիրքին:
Գիտական հետաքրքրասիրություն կամ օգտակար բացահայտում
Մոբիուսի շերտը հաճախ անվանում են մաթեմատիկական հետաքրքրասիրություն: Եվ հենց դրա տեսքը վերագրվում է պատահականությանը։ Ըստ լեգենդի՝ գերմանացի գիտնականը հորինել է ժապավենը, երբ տեսել է աղախնի վրա սխալ կապած թաշկինակը։ Դա հայտնի մաթեմատիկոս և աստղագետ էր, Կարլ Ֆրիդրիխ Գաուսի աշակերտը։ Նա նկարագրել է միակողմանի մակերես՝ մեկ եզրով 1858 թվականին, սակայն հոդվածը չի տպագրվել նրա կենդանության օրոք։ Նույն թվականին, անկախ Մյոբիուսից, նմանատիպ հայտնագործություն արեց Յոհան Լիստինգը՝ Գաուսի մեկ այլ ուսանող։
Ժապավենը մինչ այժմ կրում է Մոբիուսի անունը։ Այն դարձել է տոպոլոգիայի առաջին օբյեկտներից մեկը՝ գիտություն, որն ուսումնասիրում է պատկերների ամենաընդհանուր հատկությունները, մասնավորապես նրանց, որոնք պահպանվում են շարունակական (առանց կտրվածքների և սոսնձման) վերափոխումների՝ ձգում, սեղմում, ծռում, ոլորում և այլն։ Այս փոխակերպումները նման են դեֆորմացիաների։ ռետինե պատկերներից, հետևաբար տոպոլոգիան այլ կերպ կոչվում է «ռետինե երկրաչափություն»: Առանձին տոպոլոգիական խնդիրներ լուծվել են դեռ 18-րդ դարում Լեոնարդ Էյլերի կողմից։ Սկսել նոր տարածքՄաթեմատիկայի հիմքում դրվել է Լիստինգի նախնական հետազոտությունները տոպոլոգիայում (1847), այս գիտության վերաբերյալ առաջին համակարգված աշխատությունը: Նա նաև հորինել է «տոպոլոգիա» տերմինը (հունարեն բառերից τόπος - տեղ և λόγος - դասավանդում):
Մոբիուսի շերտը կարող էր համարվել գիտական հետաքրքրասիրություն, մաթեմատիկոսների հերթական քմահաճույքը, եթե այն չգտնվեր գործնական կիրառությունև չի ոգեշնչել արվեստի մարդկանց: Նրան մեկ անգամ չէ, որ նկարել են նկարիչները, քանդակագործները նրան հուշարձաններ են կանգնեցրել, իսկ գրողները նվիրել են իրենց ստեղծագործությունները: Այս անսովոր մակերեսը գրավել է ճարտարապետներին, դիզայներներին, ոսկերիչներին և նույնիսկ հագուստի և կահույքի արտադրողներին: Գյուտարարները, դիզայներները և ինժեներները ուշադրություն հրավիրեցին դրա վրա (օրինակ, դեռևս 1920-ականներին արտոնագրվել էին աուդիո և կինոֆիլմեր Möbius շերտի տեսքով, ինչը հնարավորություն տվեց կրկնապատկել ձայնագրության տևողությունը): Բայց ավելի հաճախ, քան մյուսները, աճպարարները զբաղվում են այս ժապավենով. նրանք գրավում են անսովոր հատկություններ, որոնք հայտնվում են այն կտրելիս։Այնպես որ, եթե դուք կտրեք Մոբիուսի շերտը միջին գծի երկայնքով, այն չի բաժանվի երկու մասի, ինչպես կարող եք ակնկալել։ Այն կպատրաստի ավելի նեղ և երկար երկկողմանի ժապավեն՝ երկու անգամ ոլորված (Rollercoaster ատրակցիոնի դիզայնը նման ձև ունի): Եվ ահա մի «խոհարարական հնարք». Mobius շերտի տեսքով տորթերը սովորականից ավելի համեղ կթվա, քանի որ դրանց վրա կարելի է կրկնակի շատ կրեմ քսել։ Բացի այդ, կան շենքերի հետաքրքիր ճարտարապետական նախագծեր, որոնք արված են Möbius շերտի ոճով: Մինչդեռ դրանք կան միայն թղթի վրա, բայց, ուզում եմ հավատալ, անպայման կիրագործվեն։
«ոչ միանշանակ» դիրքորոշում
Իր հատկություններով Մոբիուսի շերտը իրականում նման է Looking Glass-ի առարկայի: Իսկ ինքը, լինելով ասիմետրիկ կազմվածք, ունի հայելային կրկնակի։ Եկեք աջ ոտքի դրոշմը ուղարկենք ժապավենի երկայնքով զբոսնելու և շուտով կիմանանք, որ ձախ ոտքի դրոշմը տուն կվերադառնա: Ծիծաղելի, չէ՞: Իսկ ե՞րբ է «աջերին» հաջողվել «ձախ» դառնալ։ Մենք ժապավենի մեջ «տեղադրում ենք» երկչափ ժամացույց և ստիպում նրանց կատարել դրա վրա ամբողջական շրջադարձ. Ժամացույցին նայելով՝ կտեսնենք, որ թվատախտակի վրա սլաքները շարժվում են նույն արագությամբ, բայց ներս հակառակ կողմը! Իսկ երկու ուղղություններից ո՞րն է ճիշտ։
Մինչ դուք մտածում եք պատասխանի մասին, ես նշում եմ, որ մաթեմատիկոսը նրբագեղ ելք կառաջարկի անգամ այս «երկիմաստ» իրավիճակից։ Անհրաժեշտ է, որ նախ՝ ժամացույցը միշտ ցույց տա նույն ժամանակը, և երկրորդ՝ թվատախտակի վրա սլաքները լինեն այնպիսի դիրքում, որը կպահպանվի հայելային պատկերով, օրինակ՝ կանգնեն ուղղահայաց՝ ձևավորելով զարգացած անկյուն։
Դե, եկեք ստուգենք պատասխանը, չէ՞: Փաստորեն, Մոբիուսի շերտի վրա անհնար է պտտման որոշակի ուղղություն սահմանել։ Նույն շարժումը կարող է ընկալվել ինչպես ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, այնպես էլ հակառակ ուղղությամբ: Երբ Մոբիուսի շերտի վրա կամայականորեն ընտրված կետն անցնում է դրա շուրջը, մի ուղղությունը շարունակաբար փոխվում է մյուսի: Միևնույն ժամանակ «աջ»-ը նրբորեն փոխարինվում է «ձախ»-ով: Երկչափ էակը ինքնին ոչ մի փոփոխություն չի նկատի։ Բայց նրանց կտեսնեն նման այլ արարածներ և, իհարկե, մենք, ովքեր այլ հարթությունից հետևում ենք տեղի ունեցողին։ Սա այնքան անկանխատեսելի, միակողմանի Մոբիուսի մակերես է:
