Հավասարումներ

Ինչպե՞ս լուծել հավասարումները:

Այս բաժնում մենք կհիշենք (կամ կուսումնասիրենք, ինչպես և ցանկացած ուրիշին) ամենատարրական հավասարումները: Այսպիսով, ինչ է հավասարումը: Մարդկային առումով սա մի տեսակ մաթեմատիկական արտահայտություն է, որտեղ կա հավասար նշան և անհայտ: Որը սովորաբար նշվում է տառով «ԱS». Լուծի՛ր հավասարումըպետք է գտնել այնպիսի x արժեքներ, որոնք փոխարինվելիս սկզբնականարտահայտությունը մեզ կտա ճիշտ ինքնություն: Հիշեցնեմ, որ ինքնությունը արտահայտություն է, որը կասկած չի հարուցում նույնիսկ այն մարդու մոտ, ով բացարձակապես ծանրաբեռնված չէ մաթեմատիկական գիտելիքներով: Ինչպես 2 = 2, 0 = 0, ab = ab և այլն: Այսպիսով, ինչպես եք լուծում հավասարումները:Եկեք դա պարզենք:

Կան բոլոր տեսակի հավասարումներ (ես զարմացա, այնպես չէ՞): Բայց նրանց ամբողջ անսահման բազմազանությունը կարելի է բաժանել միայն չորս տեսակի:

4. Այլ.)

Մնացած բոլորը, իհարկե, ամենից շատ, այո ...) Սա ներառում է խորանարդ և պատկերային, և լոգարիթմական, և եռանկյունաչափական և բոլոր տեսակի այլ տեսակներ: Մենք սերտորեն կաշխատենք նրանց հետ համապատասխան բաժիններում:

Անմիջապես պետք է ասեմ, որ երբեմն առաջին երեք տեսակների հավասարումները կփչանան այնպես, որ դու նույնիսկ չճանաչես դրանք ... Ոչինչ: Մենք կսովորենք, թե ինչպես դրանք լիցքաթափել:

Եվ ինչու՞ են մեզ պետք այս չորս տեսակները: Եվ հետո ինչ գծային հավասարումներլուծված է մեկ եղանակով, քառակուսիմյուսները, կոտորակային ռացիոնալ - երրորդ,ա հանգստանալընդհանրապես չհամարձակվեք! Դե, այնպես չէ, որ նրանք ընդհանրապես չեն համարձակվում, ես չպետք է վիրավորեի մաթեմատիկան:) Պարզապես նրանք ունեն իրենց հատուկ տեխնիկան և մեթոդները:

Բայց ցանկացածի համար (կրկնում եմ `հանուն ցանկացած!) հավասարումները լուծման հուսալի և անփորձանք հիմք ունեն: Աշխատում է ցանկացած վայրում և ցանկացած ժամանակ: Այս հիմքը սարսափելի է թվում, բայց ամեն ինչ շատ պարզ է: Եվ շատ (շատ!)կարեւոր:

Իրականում, հավասարման լուծումը բաղկացած է հենց այս փոխակերպումներից: 99%: Հարցի պատասխանը ՝ « Ինչպե՞ս լուծել հավասարումները:«սուտ, հենց այս փոխակերպումներում: Արդյո՞ք ակնարկը պարզ է)

Հավասարումների նույնական փոխակերպումներ:

Վ ցանկացած հավասարումներանհայտը գտնելու համար անհրաժեշտ է վերափոխել և պարզեցնել սկզբնական օրինակը: Եվ այնպես, որ արտաքին տեսքը փոխելիս հավասարման էությունը չի փոխվել:Նման վերափոխումները կոչվում են նույնականկամ համարժեք:

Նշենք, որ այս վերափոխումներն են հենց հավասարումների նկատմամբ:Մաթեմատիկայում դեռ կան նույնական փոխակերպումներ արտահայտությունները.Սա այլ թեմա է:

Այժմ մենք կրկնում ենք բոլոր-բոլորը-բոլորը հիմնական հավասարումների նույնական փոխակերպումներ:

Հիմնական, քանի որ դրանք կարող են կիրառվել ցանկացածհավասարումներ - գծային, քառակուսի, կոտորակային, եռանկյունաչափական, ցուցիչ, լոգարիթմական և այլն: եւ այլն

Անձի առաջին փոխակերպումը. կարող եք ավելացնել (հանել) ցանկացած հավասարման երկու կողմերին ցանկացած(բայց նույն բանը!) համար կամ արտահայտություն (ներառյալ ՝ անհայտով արտահայտություն): Սա չի փոխում հավասարման էությունը:

Ի դեպ, դուք անընդհատ օգտագործում էիք այս փոխակերպումը, պարզապես մտածում էիք, որ նշանի փոփոխությամբ որոշ տերմիններ եք փոխանցում հավասարման մի կողմից մյուսը: Տիպ:

Հարցը ծանոթ է, մենք երկուսը տեղափոխում ենք աջ և ստանում ենք.

Փաստորեն դու տարվածերկու հավասարման երկու կողմերից: Արդյունքը նույնն է.

x + 2 - 2 = 3 - 2

Տերմինների ձախ և աջ նշանի փոփոխությամբ փոխանցումը պարզապես ինքնության առաջին փոխակերպման կարճացված տարբերակն է: Իսկ մեզ ինչի՞ են պետք այդքան խորը գիտելիքները: - հարցնում ես: Հավասարումները ցածր են: Տեղափոխվեք, հանուն Աստծո: Պարզապես մի մոռացեք փոխել նշանը: Բայց անհավասարությունների դեպքում փոխանցման սովորությունը կարող է շփոթեցնել…:

Երկրորդ ինքնության փոխակերպում: հավասարման երկու կողմերը կարող են բազմապատկվել (բաժանվել) նույնով ոչ զրոյականհամար կամ արտահայտություն: Այստեղ արդեն հայտնվում է հասկանալի սահմանափակում. Զրոյով բազմապատկելը հիմարություն է, բայց բաժանելն ամենևին էլ հնարավոր չէ: Դուք օգտագործում եք այս փոխակերպումը, երբ ինչ -որ զով բան եք անում

Պարզ գործ է ԱԱ= 2. Ինչպե՞ս գտաք: Ընտրությամբ? Թե՞ պարզապես լուսավորվեց: Որպեսզի չվերցնեք և չսպասեք խորաթափանցության, դուք պետք է հասկանաք, որ դուք պարզապես բաժանեց հավասարման երկու կողմերը 5. Ձախ կողմը (5x) բաժանելիս հինգը նվազեց ՝ թողնելով մաքուր x: Այն, ինչ մեզ պետք էր: Իսկ աջ կողմը (10) հինգի վրա բաժանելիս պարզվեց, ակնհայտորեն, երկուսը:

Վերջ:

Funnyիծաղելի է, բայց լուծման հիմքում ընկած են այս երկու (ընդամենը երկուսը) նույնական փոխակերպումները մաթեմատիկայի բոլոր հավասարումները:Ինչպե Իմաստ ունի նայել օրինակների, թե ինչ և ինչպես, այնպես չէ՞)

Հավասարումների նույնական փոխակերպումների օրինակներ: Հիմնական խնդիրները:

Սկսենք նրանից առաջինընույնական փոխակերպում: Տեղափոխել ձախ-աջ:

Օրինակ ամենափոքրերի համար)

Ենթադրենք, դուք պետք է լուծեք հետևյալ հավասարումը.

3-2x = 5-3x

Հիշեք ուղղագրությունը. «x- ով ՝ ձախ, առանց x- ի ՝ աջ»:Այս ուղղագրությունը հրահանգ է, թե ինչպես կիրառել առաջին նույնական փոխակերպումը:) x- ով ի՞նչ արտահայտություն ունենք աջ կողմում: 3x? Պատասխանը սխալ է: Մեր աջ կողմում - 3x! Մինուսերեք x! Հետեւաբար, ձախ տեղափոխվելիս նշանը կփոխվի պլյուսի: Կստացվի.

3-2x + 3x = 5

Այսպիսով, X- երը հավաքվեցին կույտի մեջ: Եկեք անցնենք թվերին: Ձախ կողմում երեքն են: Ի՞նչ նշան: «Ոչ» պատասխանը չի ընդունվում :) Եռյակի դիմաց, իրոք, ոչինչ գծված չէ: Իսկ դա նշանակում է, որ երեքի դիմաց է գումարածԱյսպիսով, մաթեմատիկոսները համաձայնվեցին: Ոչինչ գրված չէ, այնպես որ գումարածՀետեւաբար, եռյակը կտեղափոխվի աջ կողմ մինուսով:Մենք ստանում ենք.

-2x + 3x = 5-3

Մնացել են ընդամենը մանրուքներ: Ձախ կողմում `բերեք նմանատիպերը, աջում` հաշվարկեք: Պատասխանը միանգամից ստացվում է.

Այս օրինակում մեկ նույնական փոխակերպումը բավական էր: Երկրորդը պետք չէր: Դե լավ:)

Օրինակ մեծերի համար)

Եթե ​​ձեզ դուր է գալիս այս կայքը ...

Ի դեպ, ես ձեզ համար մի քանի հետաքրքիր կայքեր ունեմ):

Դուք կարող եք զբաղվել օրինակների լուծմամբ և պարզել ձեր մակարդակը: Ակնթարթային վավերացման փորձարկում: Սովորում - հետաքրքրությամբ)

կարող եք ծանոթանալ գործառույթների և ածանցյալների հետ:

Եկեք քննարկենք հավասարումների համակարգերի լուծումների երկու տեսակ.

1. Համակարգի լուծում փոխարինման մեթոդով:
2. Համակարգի լուծում համակարգի հավասարումների տերմինալ-ավելացումով (հանումով):

Հավասարումների համակարգը լուծելու համար փոխարինման մեթոդըդուք պետք է հետևեք մի պարզ ալգորիթմի.
1. Մենք արտահայտում ենք. Մենք արտահայտում ենք մեկ փոփոխական ցանկացած հավասարումից:
2. փոխարինող: Ստացված արժեքը արտահայտված փոփոխականի փոխարեն փոխարինում ենք այլ հավասարման:
3. Ստացված հավասարումը լուծիր մեկ փոփոխականի մեջ: Մենք գտնում ենք համակարգի լուծումը:

Լուծել համակարգը ըստ տերմինի ավելացման (հանում)անհրաժեշտ:
1. Ընտրեք փոփոխական, որի համար մենք կկազմենք նույն գործակիցները:
2. Ավելացնում կամ հանում ենք հավասարումներ, վերջում ստանում ենք մեկ փոփոխականով հավասարություն:
3. Լուծի՛ր ստացված գծային հավասարումը: Մենք գտնում ենք համակարգի լուծումը:

Համակարգի լուծումը ֆունկցիայի գրաֆիկների հատման կետերն են:

Եկեք մանրամասն քննարկենք համակարգերի լուծումը `օգտագործելով օրինակներ:

Օրինակ # 1:

Եկեք լուծենք փոխարինման մեթոդով

Փոխարինման մեթոդով հավասարումների համակարգի լուծում

2x + 5y = 1 (1 հավասարություն)
x-10y = 3 (2 հավասարություն)

1. Մենք արտահայտում ենք
Կարելի է տեսնել, որ երկրորդ հավասարման մեջ կա 1 գործակից ունեցող x փոփոխական, որից ստացվում է, որ ամենահեշտը երկրորդ փոփոխությունից x փոփոխականն արտահայտելն է:
x = 3 + 10y

2. Արտահայտվելուց հետո առաջին հավասարման մեջ փոխարինում ենք 3 + 10y- ով x փոփոխականի փոխարեն:
2 (3 + 10y) + 5y = 1

3. Ստացված հավասարումը լուծիր մեկ փոփոխականի մեջ:
2 (3 + 10y) + 5y = 1 (ընդլայնել փակագծերը)
6 + 20y + 5y = 1
25y = 1-6
25y = -5 |: (25)
y = -5: 25
y = -0.2

Հավասարումների համակարգի լուծումը գրաֆիկների հատման կետերն են, հետևաբար մենք պետք է գտնենք x և y, քանի որ խաչմերուկը բաղկացած է x- ից և y- ից: Գտիր x, առաջին պարբերությունում, որտեղ մենք արտահայտեցինք, փոխարինում ենք y- ին:
x = 3 + 10y
x = 3 + 10 * (- 0.2) = 1

Ընդունված է կետեր գրել առաջին հերթին մենք գրում ենք x փոփոխականը, իսկ երկրորդում ՝ y փոփոխականը:
Պատասխան ՝ (1; -0.2)

Օրինակ # 2:

Եկեք լուծենք տերմին առ ժամանակ գումարման (հանում) մեթոդով:

Լրացման մեթոդով հավասարումների համակարգի լուծում

3x-2y = 1 (1 հավասարություն)
2x -3y = -10 (2 հավասարություն)

1. Ընտրեք փոփոխական, ասենք, ընտրեք x: Առաջին հավասարման մեջ x փոփոխականն ունի 3 գործակից, երկրորդում 2. Անհրաժեշտ է գործակիցները դարձնել նույնը, դրա համար մենք իրավունք ունենք բազմապատկել հավասարումները կամ բաժանել ցանկացած թվի: Առաջին հավասարումը բազմապատկվում է 2 -ով, իսկ երկրորդը `3 -ով, և մենք ստանում ենք 6 -ի ընդհանուր գործակիցը:

3x-2y = 1 | * 2
6x-4y = 2

2x -3y = -10 | * 3
6x -9y = -30

2. Առաջին հավասարումից հանել երկրորդը ՝ x փոփոխականից ազատվելու համար: Լուծի՛ր գծային հավասարումը:
__6x-4y = 2

5y = 32 | : 5
y = 6,4

3. Գտնել x. Գտած y- ն փոխարինիր ցանկացած հավասարման մեջ, ասենք առաջին հավասարման մեջ:
3x-2y = 1
3x-2 * 6.4 = 1
3x-12.8 = 1
3x = 1 + 12.8
3x = 13.8 |: 3
x = 4.6

Խաչմերուկի կետը կլինի x = 4.6; y = 6,4
Պատասխան ՝ (4.6; 6.4)

Wantանկանու՞մ եք անվճար սովորել քննությունների համար: Առցանց դասախոս անվճար է... Առանց կատակի.

Նպատակներ.

1. Համակարգել և ընդհանրացնել գիտելիքներն ու հմտությունները թեմայի վերաբերյալ. Երրորդ և չորրորդ աստիճանի հավասարումների լուծումներ:
2. Խորացրեք ձեր գիտելիքները ՝ կատարելով մի շարք առաջադրանքներ, որոնցից մի քանիսը ծանոթ չեն իրենց տեսակով կամ լուծման եղանակով:
3. Մաթեմատիկայի նկատմամբ հետաքրքրության ձևավորում մաթեմատիկայի նոր գլուխների ուսումնասիրության, գրաֆիկական մշակույթի կրթության միջոցով `հավասարումների գրաֆիկների կառուցման միջոցով:

Դասի տեսակը: համակցված:

Սարքավորումներ:օդային պրոյեկտոր:

Տեսանելիություն:աղյուսակ «Վիետայի թեորեմ»:

Դասերի ընթացքում

1. Բանավոր հաշվարկ

ա) Որքա՞ն է մնացել p n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0 բազմանդամը x-a երկբաժանման մնացորդից:

բ) Քանի՞ արմատ կարող է ունենալ խորանարդի հավասարումը:

գ) Ինչպե՞ս ենք լուծում երրորդ և չորրորդ աստիճանի հավասարումը:

դ) Եթե b- ը քառակուսային հավասարման զույգ թիվ է, ապա ինչ է D և x 1; x 2

2. Անկախ աշխատանք (խմբերով)

Կազմիր հավասարություն, եթե արմատները հայտնի են (առաջադրանքների պատասխանները ծածկագրված են) օգտագործվում է «Վիետայի թեորեմը»

1 -ին խումբ

Արմատներ `x 1 = 1; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = 6

Կազմիր հավասարություն.

B = 1-2-3 + 6 = 2; բ = -2

c = -2-3 + 6 + 6-12-18 = -23; c = -23

d = 6-12 + 36-18 = 12; d = -12

e = 1 (-2) (- 3) 6 = 36

x 4 -2 x 3 - 23x 2 - 12 x + 36 = 0(այս հավասարումը այնուհետ լուծվում է գրատախտակի 2 -րդ խմբի միջոցով)

Լուծում ... Մենք փնտրում ենք ամբողջ թվով արմատներ 36 թվի բաժանարարների միջև:

p = ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6 ...

p 4 (1) = 1-2-23-12 + 36 = 0 Թիվ 1-ը բավարարում է հավասարմանը, հետևաբար, = հավասարման 1 արմատ: Ըստ Հորների սխեմայի

p 3 (x) = x 3 -x 2 -24x -36

p 3 (-2) = -8 -4 +48 -36 = 0, x 2 = -2

p 2 (x) = x 2 -3x -18 = 0

x 3 = -3, x 4 = 6

Պատասխան ՝ 1; -2; -3; 6 արմատների գումար 2 (P)

2 -րդ խումբ

Արմատներ `x 1 = -1; x 2 = x 3 = 2; x 4 = 5

Կազմիր հավասարություն.

B = -1 + 2 + 2 + 5-8; b = -8

c = 2 (-1) + 4 + 10-2-5 + 10 = 15; c = 15

D = -4-10 + 20-10 = -4; d = 4

e = 2 (-1) 2 * 5 = -20; e = -20

8 + 15 + 4x-20 = 0 (3-րդ խումբը լուծում է այս հավասարումը գրատախտակին)

p = ± 1; ± 2; ± 4; ± 5; ± 10; ± 20:

p 4 (1) = 1-8 + 15 + 4-20 = -8

p 4 (-1) = 1 + 8 + 15-4-20 = 0

p 3 (x) = x 3 -9x 2 + 24x -20

p 3 (2) = 8 -36 + 48 -20 = 0

p 2 (x) = x 2 -7x + 10 = 0 x 1 = 2; x 2 = 5

Պատասխան ՝ -1; 2; 2; 5 արմատների գումար 8 (P)

3 -րդ խումբ

Արմատներ `x 1 = -1; x 2 = 1; x 3 = -2; x 4 = 3

Կազմիր հավասարություն.

B = -1 + 1-2 + 3 = 1; B = -1

c = -1 + 2-3-2 + 3-6 = -7; c = -7

D = 2 + 6-3-6 = -1; d = 1

e = -1 * 1 * ( - 2) * 3 = 6

x 4 - x 3- 7x 2 + x + 6 = 0(այս հավասարումը լուծվում է գրատախտակին 4 -րդ խմբի կողմից)

Լուծում: Մենք ամբողջ արմատներ ենք փնտրում 6 թվի բաժանարարների մեջ:

p = ± 1; ± 2; ± 3; ± 6

p 4 (1) = 1-1-7 + 1 + 6 = 0

p 3 (x) = x 3 - 7x -6

p 3 (-1) = -1 + 7-6 = 0

p 2 (x) = x 2 -x -6 = 0; x 1 = -2; x 2 = 3

Պատասխան ՝ -1; 1; -2; 3 Արմատների գումարը 1 (Օ)

4 խումբ

Արմատներ `x 1 = -2; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -3

Կազմիր հավասարություն.

B = -2-2-3 + 3 = -4; բ = 4

c = 4 + 6-6 + 6-6-9 = -5; c = -5

D = -12 + 12 + 18 + 18 = 36; d = -36

e = -2 * ( -2) * ( -3) * 3 = -36; e = -36

x 4 +4x 3 - 5x 2 - 36x -36 = 0(այս հավասարումը լուծվում է գրատախտակի 5 -րդ խմբի կողմից)

Լուծում: Մենք ամբողջ արմատներ ենք փնտրում -36 թվի բաժանարարների մեջ

p = ± 1; ± 2; ± 3 ...

p (1) = 1 + 4-5-36-36 = -72

p 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0

p 3 (x) = x 3 + 2x 2 -9x -18 = 0

p 3 (-2) = -8 + 8 + 18-18 = 0

p 2 (x) = x 2 -9 = 0; x = ± 3

Պատասխան ՝ -2; -2; -3; 3 Արմատների գումարը -4 (F)

5 -րդ խումբ

Արմատներ `x 1 = -1; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -4

Կազմիր հավասարություն

x 4+ 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = 0(այս հավասարումը լուծվում է գրատախտակին 6 -րդ խմբի միջոցով)

Լուծում ... Մենք ամբողջ արմատներ ենք փնտրում 24 թվի բաժանարարների մեջ:

p = ± 1; ± 2; ± 3

p 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0

p 3 (x) = x- 3 + 9x 2 + 26x + 24 = 0

p 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = O

p 2 (x) = x 2 + 7x + 12 = 0

Պատասխան ՝ -1; -2; -3; -4 գումար -10 (ԵՎ)

6 խումբ

Արմատներ `x 1 = 1; x 2 = 1; x 3 = -3; x 4 = 8

Կազմիր հավասարություն

B = 1 + 1-3 + 8 = 7; b = -7

c = 1-3 + 8-3 + 8-24 = -13

D = -3-24 + 8-24 = -43; d = 43

x 4 - 7x3- 13x 2 + 43x - 24 = 0 (այս հավասարումը լուծվում է գրատախտակին 1 խմբի կողմից)

Լուծում ... Մենք ամբողջ արմատներ ենք փնտրում -24 թվի բաժանարարների մեջ:

p 4 (1) = 1-7-13 + 43-24 = 0

p 3 (1) = 1-6-19 + 24 = 0

p 2 (x) = x 2 -5x - 24 = 0

x 3 = -3, x 4 = 8

Պատասխան ՝ 1; 1; -3; 8 գումար 7 (Լ)

3. Պարամետրով հավասարումների լուծում

1. Լուծի՛ր հավասարումը x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0; եթե արմատներից մեկը (-1) է

Պատասխանը գրիր աճման կարգով

R = P 3 (-1) =-1 + 3-մ -15 = 0

x 3 + 3x 2 -13x - 15 = 0; -1 + 3 + 13-15 = 0

Ըստ պայմանի x 1 = - 1; D = 1 + 15 = 16

P 2 (x) = x 2 + 2x-15 = 0

x 2 = -1-4 = -5;

x 3 = -1 + 4 = 3;

Պատասխան ՝ -1; -5; 3

Աճման կարգով `-5; -1; 3: (L N S)

2. Գտիր x 3 - 3x 2 + ax - 2a + 6 բազմանդամի բոլոր արմատները, եթե նրա բաժանման մնացորդները x -1 և x +2 երկանդամներով հավասար են:

Լուծում. R = P 3 (1) = P 3 (-2)

P 3 (1) = 1-3 + a- 2a + 6 = 4-a

P 3 (-2) = -8-12-2a-2a + 6 = -14-4a

x 3 -3x 2 -6x + 12 + 6 = x 3 -3x 2 -6x + 18

x 2 (x-3) -6 (x-3) = 0

(x -3) (x 2 -6) = 0

Երկու գործոնների արտադրյալը զրո է, եթե և միայն այն դեպքում, երբ այս գործոններից առնվազն մեկը զրո է, իսկ մյուսը իմաստ ունի:

2 -րդ խումբ... Արմատներ `-3; -2; 1; 2;

3 -րդ խումբ... Արմատներ `-1; 2; 6; տասը;

4 խումբ... Արմատներ `-3; 2; 2; 5;

5 -րդ խումբ... Արմատներ `-5; -2; 2; 4;

6 խումբ... Արմատներ `-8; -2; 6; 7

Մենք առաջարկում ենք ձեզ հարմար անվճար առցանց հաշվիչ `քառակուսային հավասարումների լուծման համար:Դուք կարող եք արագ ստանալ և հասկանալ, թե ինչպես են դրանք լուծվում ՝ օգտագործելով հստակ օրինակներ:
Արտադրել լուծել քառակուսային հավասարումը առցանց, նախ հավասարումը բերեք ընդհանուր ձևի.
կացին 2 + bx + c = 0
Լրացրեք ձևի դաշտերը համապատասխանաբար.

Ինչպես լուծել քառակուսային հավասարումը

Ինչպես լուծել քառակուսի հավասարումը.	Արմատների տեսակները.
1. Քառակուսի հավասարումը բերեք ընդհանուր ձևի. Ընդհանուր տեսք Аx 2 + Bx + C = 0 Օրինակ ՝ 3x -2x 2 + 1 = -1 Բերեք -2x 2 + 3x + 2 = 0 2. Գտեք խտրական Դ. D = B 2 -4 * A * C. Մեր օրինակի համար D = 9- (4 * (- 2) * 2) = 9 + 16 = 25: 3. Գտեք հավասարման արմատները: x1 = (- B + D 1/2) / 2A Մեր դեպքում ՝ x1 = (- 3 + 5) / (- 4) =- 0.5 x2 = (- B-D 1/2) / 2A Մեր օրինակի համար x2 = (- 3-5) / (- 4) = 2 Եթե ​​B- ն զույգ թիվ է, ապա խտրականը և արմատները ավելի հարմար են հաշվարկել բանաձևերով. D = K 2 -ac x1 = (- K + D 1/2) / Ա x2 = (- K-D 1/2) / A, Որտեղ K = B / 2	1. Վավեր արմատներ: Ավելին. x1- ը հավասար չէ x2- ին Իրավիճակը ծագում է, երբ D> 0 և A հավասար չէ 0 -ի: 2. Վավեր արմատները նույնն են: x1- ը հավասար է x2- ի Իրավիճակը ծագում է, երբ D = 0: Այնուամենայնիվ, այս դեպքում ոչ A- ն, ոչ B- ն, ոչ C- ն չպետք է հավասար լինեն 0 -ի: 3. Երկու բարդ արմատներ: x1 = d + ei, x2 = d -ei, որտեղ i = - (1) 1/2 Իրավիճակը ծագում է, երբ Դ 4. Հավասարումն ունի մեկ լուծում. A = 0, B և C հավասար չեն զրոյի: Հավասարումը դառնում է գծային: 5. Հավասարումն ունի անհամար լուծումներ: A = 0, B = 0, C = 0: 6. Հավասարումը լուծումներ չունի: A = 0, B = 0, C հավասար չէ 0 -ի:

Ալգորիթմը ամրապնդելու համար ահա ևս մի քանիսը քառակուսի հավասարումների լուծումների պատկերավոր օրինակներ.

Օրինակ 1. Տարբեր իրական արմատներով սովորական քառակուսի հավասարման լուծում:
x 2 + 3x -10 = 0
Այս հավասարման մեջ
A = 1, B = 3, C = -10
D = B 2 -4 * A * C = 9-4 * 1 * (-10) = 9 + 40 = 49
քառակուսի արմատը կնշանակվի որպես թիվ 1/2:
x1 = (- B + D 1/2) / 2A = (-3 + 7) / 2 = 2
x2 = (-B-D 1/2) / 2A = (-3-7) / 2 = -5

Ստուգելու համար եկեք փոխարինենք.
(x -2) * (x + 5) = x2 -2x + 5x -10 = x2 + 3x -10

Օրինակ 2. Քառակուսի հավասարման լուծում իրական արմատների համընկնումով:
x 2 - 8x + 16 = 0
A = 1, B = -8, C = 16
D = k 2 - AC = 16 - 16 = 0
X = -k / A = 4

Փոխարինող
(x-4) * (x-4) = (x-4) 2 = X 2-8x + 16

Օրինակ 3. Բարդ արմատներով քառակուսի հավասարման լուծում:
13x 2 - 4x + 1 = 0
A = 1, B = -4, C = 9
D = b 2 - 4AC = 16 - 4 * 13 * 1 = 16 - 52 = -36
Խտրականությունը բացասական է. Արմատները բարդ են:

X1 = (- B + D 1/2) / 2A = (4 + 6i) / (2 * 13) = 2/13 + 3i / 13
x2 = (-B-D 1/2) / 2A = (4-6i) / (2 * 13) = 2 / 13-3i / 13
որտեղ ես -1 -ի քառակուսի արմատն է

Սրանք իրականում քառակուսի հավասարումների լուծման բոլոր հնարավոր դեպքերն են:
Հուսով ենք, որ մեր առցանց հաշվիչդա ձեզ մեծ օգուտ կբերի:
Եթե ​​նյութը օգտակար էր, կարող ես

2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = 0

Նախ, անհրաժեշտ է մեկ արմատ գտնել ընտրության եղանակով: Սովորաբար դա ազատ տերմինի բաժանարար է: Այս դեպքում ՝ թվի բաժանարարները 12 են 1, 2, 3, 4, 6, 12 ֆունտ ստերլինգ:Սկսենք դրանք հերթով փոխարինել.

1: 2 + 5 - 11 - 20 + 12 = -12 ⇒ համար 1

-1: 2 - 5 - 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ համար -1 բազմանդամի արմատ չէ

2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 - 11 ∙ 4 - 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ համար 2 բազմանդամի արմատն է

Մենք գտանք բազմանդամի արմատներից 1 -ը: Բազմանդամության արմատն է 2, ինչը նշանակում է, որ սկզբնական բազմանդամը պետք է բաժանվի x - 2... Բազմանդամների բաժանումը կատարելու համար մենք օգտագործում ենք Հորների սխեման.

	2	5	-11	-20	12
2

Վերին տողը պարունակում է սկզբնական բազմանդամի գործակիցները: Մեր գտած արմատը տեղադրված է երկրորդ տողի առաջին բջիջում 2. Երկրորդ տողը պարունակում է բազմանդամի գործակիցները, որոնք կլինեն բաժանման արդյունք: Դրանք համարվում են հետևյալը.

2 5 -11 -20 12 2 2	Երկրորդ տողի երկրորդ բջիջում գրեք համարը 2, պարզապես այն փոխանցելով առաջին տողի համապատասխան բջիջից:
2 5 -11 -20 12 2 2 9	2 ∙ 2 + 5 = 9
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7	2 ∙ 9 - 11 = 7
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6	2 ∙ 7 - 20 = -6
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0	2 ∙ (-6) + 12 = 0

Վերջին թիվը բաժանման մնացորդն է: Եթե ​​այն հավասար է 0 -ի, ապա մենք ամեն ինչ ճիշտ ենք հաշվարկել:

2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2) (2x 3 + 9x 2 + 7x - 6)

Բայց դեռ չի ավարտվել: Նույն կերպ կարող եք փորձել ընդլայնել բազմանդամը 2x 3 + 9x 2 + 7x - 6:

Կրկին, մենք արմատ ենք փնտրում ազատ տերմինի բաժանարարների մեջ: Թվի բաժանարարներ -6 են 1, 2, 3, 6 ֆունտ ստերլինգ:

1: 2 + 9 + 7 - 6 = 12 ⇒ համար 1 բազմանդամի արմատ չէ

-1: -2 + 9 - 7 - 6 = -6 ⇒ համար -1 բազմանդամի արմատ չէ

2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 - 6 = 60 ⇒ համար 2 բազմանդամի արմատ չէ

-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2)-6 = 0 ⇒ համար -2 բազմանդամի արմատն է

Եկեք գտած արմատը գրենք մեր Horner սխեմայի մեջ և սկսենք լրացնել դատարկ բջիջները.

2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2	Երրորդ տողի երկրորդ բջիջում գրեք համարը 2, պարզապես այն տեղափոխելով երկրորդ շարքի համապատասխան բջիջից:
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5	-2 ∙ 2 + 9 = 5
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3	-2 ∙ 5 + 7 = -3
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0	-2 ∙ (-3) - 6 = 0

Այսպիսով, մենք գործոնավորել ենք սկզբնական բազմանդամը.

2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2) (x + 2) (2x 2 + 5x - 3)

Բազմանդամ 2x 2 + 5x - 3կարող է նաև գործոնավորվել: Դա անելու համար դուք կարող եք լուծել քառակուսային հավասարումը խտրականության միջոցով, կամ կարող եք արմատ փնտրել թվի բաժանարարների միջև -3. Այսպես թե այնպես, մենք կգանք այն եզրակացության, որ այս բազմանդամի արմատը թիվն է -3

2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0 -3 2	Չորրորդ տողի երկրորդ բջիջում գրեք թիվը 2, պարզապես այն երրորդ շարքի համապատասխան բջիջից փոխանցելով:
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0 -3 2 -1	-3 ∙ 2 + 5 = -1
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0 -3 2 -1 0	-3 ∙ (-1) - 3 = 0

Այսպիսով, մենք սկզբնական բազմանդամը քայքայեցինք գծային գործոնների.

2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2) (x + 2) (x + 3) (2x - 1)

Իսկ հավասարման արմատներն են.