Ինչպես հասկանալ նույնիսկ ֆունկցիան կամ. Զույգ և կենտ ֆունկցիաներ

Ինչպե՞ս տեղադրել մաթեմատիկական բանաձևեր կայքում:

Եթե ​​ձեզ երբևէ անհրաժեշտ լինի մեկ կամ երկու մաթեմատիկական բանաձև ավելացնել վեբ էջին, ապա դա անելու ամենահեշտ ձևն է, ինչպես նկարագրված է հոդվածում. մաթեմատիկական բանաձևերը հեշտությամբ տեղադրվում են կայքում՝ Wolfram Alpha-ի ինքնաբերաբար ստեղծած նկարների տեսքով: Բացի պարզությունից, սա ունիվերսալ միջոցկօգնի բարելավել կայքի տեսանելիությունը որոնման համակարգեր. Այն աշխատում է երկար ժամանակ (և կարծում եմ՝ հավերժ կաշխատի), բայց բարոյապես հնացել է։

Եթե ​​դուք անընդհատ օգտագործում եք մաթեմատիկական բանաձևեր ձեր կայքում, ապա խորհուրդ եմ տալիս օգտագործել MathJax - հատուկ գրադարան JavaScript, որը մաթեմատիկական նշումներ է հաղորդում վեբ բրաուզերներում՝ օգտագործելով MathML, LaTeX կամ ASCIIMathML նշում:

MathJax-ի օգտագործումը սկսելու երկու եղանակ կա. (1) պարզ կոդ օգտագործելով՝ կարող եք արագորեն միացնել MathJax սկրիպտը ձեր կայքին, որը ճիշտ ժամանակին ավտոմատ կերպով կբեռնվի հեռավոր սերվերից (սերվերների ցանկ); (2) վերբեռնեք MathJax սկրիպտը հեռավոր սերվերից ձեր սերվեր և միացրեք այն ձեր կայքի բոլոր էջերին: Երկրորդ մեթոդն ավելի բարդ և ժամանակատար է և թույլ կտա արագացնել ձեր կայքի էջերի բեռնումը, և եթե մայր MathJax սերվերը ինչ-ինչ պատճառներով ժամանակավորապես անհասանելի է դառնում, դա որևէ կերպ չի ազդի ձեր սեփական կայքի վրա: Չնայած այս առավելություններին, ես ընտրեցի առաջին մեթոդը, քանի որ այն ավելի պարզ է, արագ և չի պահանջում տեխնիկական հմտություններ: Հետևեք իմ օրինակին և 5 րոպեի ընթացքում կկարողանաք օգտագործել MathJax-ի բոլոր հնարավորությունները ձեր կայքում։

Դուք կարող եք միացնել MathJax գրադարանի սկրիպտը հեռավոր սերվերից՝ օգտագործելով երկու կոդի տարբերակներ՝ վերցված MathJax-ի հիմնական կայքից կամ փաստաթղթերի էջից.

Այս կոդի ընտրանքներից մեկը պետք է պատճենվի և տեղադրվի ձեր վեբ էջի կոդի մեջ, գերադասելի է պիտակների միջև կամ պիտակից անմիջապես հետո: Ըստ առաջին տարբերակի՝ MathJax-ն ավելի արագ է բեռնվում և ավելի քիչ դանդաղեցնում էջի արագությունը։ Բայց երկրորդ տարբերակը ավտոմատ կերպով հետևում և բեռնում է թարմ տարբերակներՄատյաքս. Եթե ​​տեղադրեք առաջին կոդը, ապա այն պետք է պարբերաբար թարմացվի: Եթե ​​տեղադրեք երկրորդ կոդը, ապա էջերը ավելի դանդաղ կբեռնվեն, բայց ձեզ հարկավոր չի լինի անընդհատ վերահսկել MathJax-ի թարմացումները։

MathJax-ին միացնելու ամենահեշտ ձևը Blogger-ում կամ WordPress-ում է. կայքի կառավարման վահանակում ավելացրեք վիջեթ, որը նախատեսված է երրորդ կողմի JavaScript կոդը տեղադրելու համար, պատճենեք վերը նշված բեռնման կոդի առաջին կամ երկրորդ տարբերակը և տեղադրեք վիջեթը ավելի մոտ: կաղապարի սկիզբը (ի դեպ, դա ամենևին էլ անհրաժեշտ չէ, քանի որ MathJax-ի սցենարը բեռնվում է ասինխրոն կերպով): Այսքանը: Այժմ սովորեք MathML, LaTeX և ASCIIMathML նշագրման շարահյուսությունը և պատրաստ եք մաթեմատիկական բանաձևերը տեղադրել ձեր վեբ էջերում:

Ցանկացած ֆրակտալ կառուցված է որոշակի կանոն, որը հաջորդաբար կիրառվում է անսահմանափակ թվով անգամներ։ Յուրաքանչյուր այդպիսի ժամանակ կոչվում է կրկնություն:

Մենգերի սպունգի կառուցման կրկնվող ալգորիթմը բավականին պարզ է. 1-ին կողմով բնօրինակ խորանարդը իր երեսներին զուգահեռ հարթություններով բաժանված է 27 հավասար խորանարդի: Դրանից հանվում են մեկ կենտրոնական խորանարդիկ և դրան կից 6 խորանարդներ՝ երեսների երկայնքով։ Ստացվում է մնացած 20 փոքր խորանարդիկներից բաղկացած հավաքածու։ Այս խորանարդներից յուրաքանչյուրի հետ նույնն անելով՝ ստանում ենք 400 փոքր խորանարդից բաղկացած հավաքածու։ Անվերջ շարունակելով այս գործընթացը՝ ստանում ենք Մենգերի սպունգը։

Թաքցնել Ցուցադրել

Գործառույթ սահմանելու եղանակներ

Թող ֆունկցիան տրվի y=2x^(2)-3 բանաձևով։ x անկախ փոփոխականին ցանկացած արժեք վերագրելով՝ կարող եք օգտագործել այս բանաձևը՝ y կախված փոփոխականի համապատասխան արժեքները հաշվարկելու համար: Օրինակ, եթե x=-0.5 , ապա օգտագործելով բանաձեւը, ստանում ենք, որ y-ի համապատասխան արժեքը y=2 \cdot (-0.5)^(2)-3=-2.5 է։

Հաշվի առնելով y=2x^(2)-3 բանաձևում x արգումենտով վերցված ցանկացած արժեք, կարելի է հաշվարկել միայն մեկ ֆունկցիայի արժեք, որը համապատասխանում է դրան։ Ֆունկցիան կարող է ներկայացվել որպես աղյուսակ.

x	−2	−1	0	1	2	3
y	−4	−3	−2	−1	0	1

Օգտագործելով այս աղյուսակը, կարող եք պարզել, որ -1 փաստարկի արժեքի համար կհամապատասխանի -3 ֆունկցիայի արժեքը. իսկ x=2 արժեքը կհամապատասխանի y=0, և այլն։ Կարևոր է նաև իմանալ, որ աղյուսակի յուրաքանչյուր արգումենտի արժեքը համապատասխանում է միայն մեկ ֆունկցիայի արժեքին:

Ավելի շատ գործառույթներ կարող են սահմանվել գրաֆիկների միջոցով: Գրաֆիկի օգնությամբ սահմանվում է, թե ֆունկցիայի որ արժեքն է փոխկապակցված x-ի որոշակի արժեքի հետ։ Ամենից հաճախ սա կլինի ֆունկցիայի մոտավոր արժեքը:

Նույնիսկ և ոչ նույնիսկ գործառույթ

Ֆունկցիան զույգ ֆունկցիա է, երբ f(-x)=f(x) տիրույթի ցանկացած x-ի համար: Նման ֆունկցիան սիմետրիկ կլինի Oy առանցքի նկատմամբ։

Ֆունկցիան կենտ ֆունկցիա է, երբ f(-x)=-f(x) տիրույթի ցանկացած x-ի համար: Նման ֆունկցիան սիմետրիկ կլինի O (0;0) ծագման նկատմամբ:

Ֆունկցիան ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ և կոչվում է ֆունկցիա ընդհանուր տեսարաներբ այն չունի սիմետրիա առանցքի կամ ծագման նկատմամբ։

Մենք ուսումնասիրում ենք հետևյալ գործառույթը հավասարության համար.

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) ծագման վերաբերյալ սահմանման սիմետրիկ տիրույթով: f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3) -7x^(7))= -f(x) .

Այսպիսով, f(x)=3x^(3)-7x^(7) ֆունկցիան կենտ է:

Պարբերական ֆունկցիա

y=f(x) ֆունկցիան, որի տիրույթում ցանկացած x-ի համար ճշմարիտ է f(x+T)=f(x-T)=f(x) հավասարությունը, կոչվում է T \neq 0 պարբերությամբ պարբերական ֆունկցիա։

Ֆունկցիայի գրաֆիկի կրկնությունը աբսցիսային առանցքի ցանկացած հատվածի վրա, որն ունի T երկարություն:

Ընդմիջումներ, որտեղ ֆունկցիան դրական է, այսինքն՝ f (x) > 0 - աբսցիսային առանցքի հատվածներ, որոնք համապատասխանում են ֆունկցիայի գրաֆիկի այն կետերին, որոնք գտնվում են աբսցիսային առանցքի վերևում։

f(x) > 0 վրա (x_(1); x_(2)) \գավաթ (x_(3); +\infty)

Բացեր, որտեղ ֆունկցիան բացասական է, այսինքն՝ f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_{1}) \cup (x_{2}; x_{3})

Գործառույթների սահմանափակում

Y=f(x), x \in X ֆունկցիան կոչվում է ներքևից սահմանափակված, եթե կա A թիվ, որի համար f(x) \geq A անհավասարությունը գործում է ցանկացած x \-ում X-ի համար:

Ստորև սահմանափակված ֆունկցիայի օրինակ՝ y=\sqrt(1+x^(2)) քանի որ y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 ցանկացած x-ի համար:

y=f(x), x \in X ֆունկցիան ասում են, որ սահմանափակված է վերևից, եթե կա B թիվ, որի համար f(x) \neq B անհավասարությունը գործում է ցանկացած x \ում X-ի համար:

Ստորև սահմանափակված ֆունկցիայի օրինակ՝ y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] քանի որ y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 ցանկացածի համար x \ in[-1;1]:

y=f(x), x \in X ֆունկցիան կոչվում է սահմանափակված, եթե կա K > 0 թիվ, որի անհավասարությունը \left | f(x) \աջ | \neq K ցանկացած x \ի X-ի համար:

Սահմանափակված ֆունկցիայի օրինակ. y=\sin x-ը սահմանափակված է ամբողջ թվային տողով, քանի որ \left | \sin x \ճիշտ | \neq 1 .

Աճող և նվազող գործառույթ

Ընդունված է խոսել մի ֆունկցիայի մասին, որն աճում է դիտարկվող միջակայքում որպես աճող ֆունկցիա, երբ ավելի մեծ արժեք x-ը կհամապատասխանի y=f(x) ֆունկցիայի ավելի մեծ արժեքին: Այստեղից պարզվում է, որ դիտարկված միջակայքից վերցնելով արգումենտի երկու կամայական արժեք x_(1) և x_(2) և x_(1) > x_(2) կլինի y(x_(1)) > y(x_(2)) .

Այն ֆունկցիան, որը նվազում է դիտարկվող միջակայքում, կոչվում է նվազող ֆունկցիա, երբ x-ի ավելի մեծ արժեքը կհամապատասխանի y(x) ֆունկցիայի փոքր արժեքին: Այստեղից պարզվում է, որ դիտարկված միջակայքից վերցնելով արգումենտի երկու կամայական արժեք x_(1) և x_(2) և x_(1) > x_(2) կլինի y(x_(1))< y(x_{2}) .

Ընդունված է ֆունկցիայի արմատներ անվանել այն կետերը, որոնցում F=y(x) ֆունկցիան հատում է աբսցիսային առանցքը (դրանք ստացվում են y(x)=0 հավասարումը լուծելով):

ա) Եթե զույգ ֆունկցիան մեծանում է x > 0-ով, ապա այն նվազում է x-ի համար< 0

բ) Երբ զույգ ֆունկցիան նվազում է x > 0-ով, ապա այն մեծանում է x-ի համար< 0

գ) Երբ կենտ ֆունկցիան մեծանում է x > 0-ով, ապա այն նույնպես մեծանում է x-ի համար< 0

դ) Երբ կենտ ֆունկցիան նվազում է x > 0-ով, ապա այն նույնպես կնվազի x-ի համար< 0

Ֆունկցիոնալ ծայրահեղություններ

y=f(x) ֆունկցիայի նվազագույն կետը սովորաբար կոչվում է այնպիսի կետ x=x_(0) , որում նրա հարևանությունը կունենա այլ կետեր (բացառությամբ x=x_(0) կետի), իսկ հետո անհավասարություն։ f(x) > f(x_(0)) . y_(min) - ֆունկցիայի նշանակումը min կետում:

y=f(x) ֆունկցիայի առավելագույն կետը սովորաբար կոչվում է այնպիսի կետ x=x_(0) , որում նրա հարևանությունը կունենա այլ կետեր (բացի x=x_(0) կետից), ապա անհավասարություն։ f(x)< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Անհրաժեշտ պայման

Ըստ Ֆերմայի թեորեմի՝ f"(x)=0, ապա երբ x_(0) կետում տարբերվող f(x) ֆունկցիան այս կետում կհայտնվի ծայրահեղություն:

Բավարար պայման

Երբ ածանցյալի նշանը գումարածից փոխվում է մինուսի, ապա x_(0) կլինի նվազագույն կետը;

x_(0) - կլինի առավելագույն կետ միայն այն դեպքում, երբ ածանցյալը փոխում է նշանը մինուսից պլյուսի, երբ անցնում է անշարժ կետով x_(0) .

Ինտերվալի վրա ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքը

Հաշվարկման քայլեր.

Փնտրում եմ f "(x) ածանցյալ;

Գտնվում են ֆունկցիայի անշարժ և կրիտիկական կետերը և ընտրվում են ինտերվալին պատկանող կետերը.

F(x) ֆունկցիայի արժեքները հայտնաբերվում են հատվածի անշարժ և կրիտիկական կետերում և ծայրերում: Արդյունքներից ամենափոքրը կլինի ամենափոքր արժեքըգործառույթները , իսկ ավելի մեծը ամենամեծն է :

Ֆունկցիան կոչվում է զույգ (կենտ), եթե որևէ մեկը և հավասարությունը

.

Զույգ ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է առանցքի նկատմամբ
.

Կենտ ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ։

Օրինակ 6.2. Քննեք զույգ կամ կենտ ֆունկցիաներ

1)
; 2)
; 3)
.

Լուծում.

1) ֆունկցիան սահմանված է
. Եկեք գտնենք
.

Նրանք.
. Նշանակում է, տրված գործառույթըհավասար է.

2) ֆունկցիան սահմանված է

Նրանք.
. Այսպիսով, այս ֆունկցիան տարօրինակ է:

3) ֆունկցիան սահմանված է , այսինքն. Համար

,
. Հետևաբար ֆունկցիան ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ։ Եկեք դա անվանենք ընդհանուր գործառույթ:

3. Միապաղաղության ֆունկցիայի ուսումնասիրություն:

Գործառույթ
կոչվում է աճող (նվազող) որոշ ընդմիջումով, եթե այս միջակայքում փաստարկի յուրաքանչյուր մեծ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի ավելի մեծ (փոքր) արժեքին:

Որոշ ընդմիջումով աճող (նվազող) ֆունկցիաները կոչվում են միատոն:

Եթե ​​ֆունկցիան
տարբերվող միջակայքում
և ունի դրական (բացասական) ածանցյալ
, ապա ֆունկցիան
ավելանում (նվազում է) այս միջակայքում:

Օրինակ 6.3. Գտե՛ք ֆունկցիաների միապաղաղության միջակայքերը

1)
; 3)
.

Լուծում.

1) Այս ֆունկցիան սահմանված է ամբողջ թվային առանցքի վրա: Գտնենք ածանցյալը։

Ածանցյալը զրո է, եթե
Եվ
. Սահմանման տիրույթ - թվային առանցք, բաժանված կետերով
,
ընդմիջումների համար: Եկեք որոշենք ածանցյալի նշանը յուրաքանչյուր միջակայքում:

Ընդմիջումով
ածանցյալը բացասական է, ֆունկցիան նվազում է այս միջակայքում:

Ընդմիջումով
ածանցյալը դրական է, հետևաբար ֆունկցիան մեծանում է այս միջակայքում:

2) Այս ֆունկցիան սահմանվում է, եթե
կամ

.

Յուրաքանչյուր միջակայքում որոշում ենք քառակուսի եռանդամի նշանը։

Այսպիսով, գործառույթի շրջանակը

Գտնենք ածանցյալը
,
, Եթե
, այսինքն.
, Բայց
. Եկեք որոշենք ածանցյալի նշանը միջակայքում
.

Ընդմիջումով
ածանցյալը բացասական է, հետևաբար ֆունկցիան նվազում է միջակայքում
. Ընդմիջումով
ածանցյալը դրական է, ֆունկցիան մեծանում է միջակայքում
.

4. Էքստրեմումի ֆունկցիայի ուսումնասիրություն:

Կետ
կոչվում է ֆունկցիայի առավելագույն (նվազագույն) կետ
, եթե կա կետի նման հարեւանություն որ բոլորի համար
այս հարևանությունը բավարարում է անհավասարությունը

.

Ֆունկցիայի առավելագույն և նվազագույն կետերը կոչվում են ծայրահեղ կետեր:

Եթե ​​ֆունկցիան
կետում ունի էքստրեմում, ապա ֆունկցիայի ածանցյալն այս կետում հավասար է զրոյի կամ գոյություն չունի (անհրաժեշտ պայման է ծայրահեղության գոյության համար)։

Այն կետերը, որոնցում ածանցյալը հավասար է զրոյի կամ գոյություն չունի, կոչվում են կրիտիկական։

5. Բավարար պայմաններ էքստրեմի գոյության համար.

Կանոն 1. Եթե ​​անցման ժամանակ (ձախից աջ) կրիտիկական կետով ածանցյալ
փոխում է նշանը «+»-ից «-», այնուհետև կետում ֆունկցիան
ունի առավելագույնը; եթե «-»-ից մինչև «+», ապա նվազագույնը. Եթե
նշան չի փոխում, ուրեմն էքստրեմում չկա.

Կանոն 2. Թողեք կետում
ֆունկցիայի առաջին ածանցյալը
զրո
, իսկ երկրորդ ածանցյալը գոյություն ունի և զրոյական չէ։ Եթե
, Դա առավելագույն միավորն է, եթե
, Դա ֆունկցիայի նվազագույն կետն է:

Օրինակ 6.4. Ուսումնասիրեք առավելագույն և նվազագույն գործառույթները.

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Լուծում.

1) Ֆունկցիան սահմանված է և շարունակական է միջակայքում
.

Գտնենք ածանցյալը
և լուծիր հավասարումը
, այսինքն.
.այստեղից
կրիտիկական կետեր են:

Եկեք որոշենք ածանցյալի նշանը միջակայքում,
.

Կետերով անցնելիս
Եվ
ածանցյալը նշանը փոխում է «–»-ից «+», հետևաբար՝ համաձայն 1-ին կանոնի
նվազագույն միավորներն են:

Կետով անցնելիս
ածանցյալը փոխում է նշանը «+»-ից «-», այսպես
առավելագույն միավորն է:

,
.

2) Ֆունկցիան սահմանված է և շարունակական միջակայքում
. Գտնենք ածանցյալը
.

Հավասարումը լուծելով
, գտնել
Եվ
կրիտիկական կետեր են: Եթե ​​հայտարարը
, այսինքն.
, ուրեմն ածանցյալը գոյություն չունի։ Այսպիսով,
երրորդ կրիտիկական կետն է։ Եկեք որոշենք ածանցյալի նշանը ընդմիջումներով:

Հետևաբար, ֆունկցիան կետում նվազագույն է
, առավելագույնը կետերում
Եվ
.

3) Ֆունկցիան սահմանված է և շարունակական, եթե
, այսինքն. ժամը
.

Գտնենք ածանցյալը

.

Եկեք գտնենք կրիտիկական կետերը.

Կետերի հարևանություններ
չեն պատկանում սահմանման տիրույթին, ուստի դրանք ծայրահեղական չեն: Այսպիսով, եկեք ուսումնասիրենք կրիտիկական կետերը
Եվ
.

4) Ֆունկցիան սահմանված է և շարունակական է միջակայքում
. Մենք օգտագործում ենք կանոն 2. Գտե՛ք ածանցյալը
.

Եկեք գտնենք կրիտիկական կետերը.

Գտնենք երկրորդ ածանցյալը
և որոշեք դրա նշանը կետերում

Կետերում
ֆունկցիան ունի նվազագույնը:

Կետերում
ֆունկցիան ունի առավելագույնը.

Որոնք այս կամ այն ​​չափով ծանոթ էին ձեզ: Այնտեղ նաև նշվել է, որ ֆունկցիայի հատկությունների պաշարն աստիճանաբար կհամալրվի։ Այս բաժնում կքննարկվեն երկու նոր հատկություններ:

Սահմանում 1.

y \u003d f (x), x є X ֆունկցիան կանչվում է նույնիսկ եթե X բազմությունից x արժեքի համար f (-x) \u003d f (x) հավասարությունը ճշմարիտ է:

Սահմանում 2.

y \u003d f (x), x є X ֆունկցիան կոչվում է կենտ, եթե X բազմությունից որևէ x արժեքի համար f (-x) \u003d -f (x) հավասարությունը ճիշտ է:

Ապացուցեք, որ y = x 4 զույգ ֆունկցիա է:

Լուծում. Մենք ունենք՝ f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4: Բայց (-x) 4 = x 4: Հետևաբար, ցանկացած x-ի համար հավասարությունը f (-x) = f (x), այսինքն. ֆունկցիան հավասար է։

Նմանապես, կարելի է ապացուցել, որ y - x 2, y \u003d x 6, y - x 8 ֆունկցիաները զույգ են:

Ապացուցեք, որ y = x 3 կենտ ֆունկցիա է:

Լուծում. Մենք ունենք՝ f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3: Բայց (-x) 3 = -x 3: Հետևաբար, ցանկացած x-ի համար հավասարությունը f (-x) \u003d -f (x), այսինքն. ֆունկցիան տարօրինակ է.

Նմանապես, կարելի է ապացուցել, որ y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 ֆունկցիաները տարօրինակ են:

Դուք և ես մեզ բազմիցս համոզել ենք, որ մաթեմատիկայի նոր տերմիններն ամենից հաճախ «երկրային» ծագում ունեն, այսինքն. դրանք ինչ-որ կերպ կարելի է բացատրել: Սա վերաբերում է և՛ զույգ, և՛ կենտ ֆունկցիաներին: Տես՝ y - x 3, y \u003d x 5, y \u003d x 7 կենտ ֆունկցիաներ են, մինչդեռ y \u003d x 2, y \u003d x 4, y \u003d x 6 զույգ ֆունկցիաներ են: Եվ ընդհանրապես, y \u003d x " ձևի ցանկացած ֆունկցիայի համար (ներքևում մենք հատուկ կուսումնասիրենք այս գործառույթները), որտեղ n-ը բնական թիվ է, կարող ենք եզրակացնել. եթե n-ը չէ զույգ թիվ, ապա y \u003d x "ֆունկցիան կենտ է, եթե n-ը զույգ թիվ է, ապա y \u003d xn ֆունկցիան զույգ է:

Կան նաև ֆունկցիաներ, որոնք ոչ զույգ են, ոչ էլ կենտ։ Այդպիսին է, օրինակ, y \u003d 2x + 3 ֆունկցիան: Իրոք, f (1) \u003d 5, և f (-1) \u003d 1: Ինչպես տեսնում եք, այստեղ, հետևաբար, ոչ նույնականությունը f (-x ) \u003d f ( x), ոչ էլ ինքնությունը f(-x) = -f(x):

Այսպիսով, ֆունկցիան կարող է լինել զույգ, կենտ կամ ոչ մեկը:

Տրված ֆունկցիայի զույգ կամ կենտ լինելու հարցի ուսումնասիրությունը սովորաբար կոչվում է հավասարության ֆունկցիայի ուսումնասիրություն։

1 և 2 սահմանումներում մենք խոսում ենք x և -x կետերում ֆունկցիայի արժեքների մասին: Սա ենթադրում է, որ ֆունկցիան սահմանվում է և՛ x, և՛ -x կետում: Սա նշանակում է, որ -x կետը պատկանում է ֆունկցիայի տիրույթին միաժամանակ x կետի հետ։ Եթե ​​X թվային բազմությունը իր յուրաքանչյուր x տարրի հետ պարունակում է հակառակ տարրը՝ x, ապա X-ը կոչվում է սիմետրիկ բազմություն։ Ենթադրենք (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) սիմետրիկ բազմություններ են, մինչդեռ )