տուն Օգտակար հուշումներ Հավասարաչափ ֆունկցիա կամ. Ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները՝ զույգ, կենտ, պարբերականություն, սահմանափակություն

Օգտակար հուշումներ

Հավասարաչափ ֆունկցիա կամ. Ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները՝ զույգ, կենտ, պարբերականություն, սահմանափակություն

Ֆունկցիան կոչվում է զույգ (կենտ), եթե որևէ մեկը և հավասարությունը

Զույգ ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է առանցքի նկատմամբ
.

Կենտ ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ:

Օրինակ 6.2.Քննեք զույգ կամ կենտ ֆունկցիաներ

1)
; 2)
; 3)
.

Լուծում.

1) ֆունկցիան սահմանված է
. Եկեք գտնենք
.

Նրանք.
. Նշանակում է, տրված գործառույթըհավասար է.

2) ֆունկցիան սահմանված է

Նրանք.
. Այսպիսով, այս ֆունկցիան տարօրինակ է:

3) ֆունկցիան սահմանված է , այսինքն. համար

,
. Հետևաբար ֆունկցիան ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ։ Եկեք դա անվանենք ընդհանուր գործառույթ:

3. Միապաղաղության ֆունկցիայի ուսումնասիրություն:

Գործառույթ
կոչվում է աճող (նվազող) ինչ-որ ընդմիջումով, եթե յուրաքանչյուրը այս միջակայքում ավելի մեծ արժեքարգումենտը համապատասխանում է ֆունկցիայի ավելի մեծ (փոքր) արժեքին:

Որոշ ընդմիջումով աճող (նվազող) ֆունկցիաները կոչվում են միատոն:

Եթե ֆունկցիան
տարբերվող միջակայքում
և ունի դրական (բացասական) ածանցյալ
, ապա ֆունկցիան
ավելանում (նվազում է) այս միջակայքում:

Օրինակ 6.3. Գտե՛ք ֆունկցիաների միապաղաղության միջակայքերը

1)
; 3)
.

Լուծում.

1) Այս ֆունկցիան սահմանված է ամբողջ թվային առանցքի վրա: Գտնենք ածանցյալը։

Ածանցյալը զրո է, եթե
Եվ
. Սահմանման տիրույթ - թվային առանցք, բաժանված կետերով
,
ընդմիջումների համար: Եկեք որոշենք ածանցյալի նշանը յուրաքանչյուր միջակայքում:

Ընդմիջումով
ածանցյալը բացասական է, ֆունկցիան նվազում է այս միջակայքում:

Ընդմիջումով
ածանցյալը դրական է, հետևաբար ֆունկցիան մեծանում է այս միջակայքում:

2) Այս ֆունկցիան սահմանվում է, եթե
կամ

Յուրաքանչյուր ինտերվալում որոշում ենք քառակուսի եռանդամի նշանը։

Այսպիսով, գործառույթի շրջանակը

Գտնենք ածանցյալը
,
, եթե
, այսինքն.
, բայց
. Եկեք որոշենք ածանցյալի նշանը միջակայքում
.

Ընդմիջումով
ածանցյալը բացասական է, հետևաբար ֆունկցիան նվազում է միջակայքում
. Ընդմիջումով
ածանցյալը դրական է, ֆունկցիան մեծանում է միջակայքում
.

4. Էքստրեմումի ֆունկցիայի ուսումնասիրություն:

Կետ
կոչվում է ֆունկցիայի առավելագույն (նվազագույն) կետ
, եթե կա կետի նման հարեւանություն որ բոլորի համար
այս հարևանությունը բավարարում է անհավասարությունը

.

Ֆունկցիայի առավելագույն և նվազագույն կետերը կոչվում են ծայրահեղ կետեր:

Եթե ֆունկցիան
կետում ունի էքստրեմում, ապա ֆունկցիայի ածանցյալն այս կետում հավասար է զրոյի կամ գոյություն չունի (անհրաժեշտ պայման է ծայրահեղության գոյության համար)։

Այն կետերը, որոնցում ածանցյալը հավասար է զրոյի կամ գոյություն չունի, կոչվում են կրիտիկական:

5. Բավարար պայմաններ էքստրեմի գոյության համար.

Կանոն 1. Եթե անցման ժամանակ (ձախից աջ) կրիտիկական կետով ածանցյալ
փոխում է նշանը «+»-ից «-», այնուհետև կետում ֆունկցիան
ունի առավելագույնը; եթե «-»-ից մինչև «+», ապա նվազագույնը. եթե
նշան չի փոխում, ուրեմն էքստրեմում չկա.

Կանոն 2. Թողեք կետում
ֆունկցիայի առաջին ածանցյալը
զրո
, իսկ երկրորդ ածանցյալը գոյություն ունի և զրոյական չէ։ Եթե
, ապա առավելագույն միավորն է, եթե
, ապա ֆունկցիայի նվազագույն կետն է։

Օրինակ 6.4 . Ուսումնասիրեք առավելագույն և նվազագույն գործառույթները.

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Լուծում.

1) Ֆունկցիան սահմանված է և շարունակական միջակայքում
.

Գտնենք ածանցյալը
և լուծիր հավասարումը
, այսինքն.
.այստեղից
կրիտիկական կետեր են:

Եկեք որոշենք ածանցյալի նշանը միջակայքում,
.

Կետերով անցնելիս
Եվ
ածանցյալը նշանը փոխում է «–»-ից «+», հետևաբար՝ համաձայն կանոն 1-ի
նվազագույն միավորներն են։

Կետով անցնելիս
ածանցյալը փոխում է նշանը «+»-ից «-», այսպես
առավելագույն միավորն է:

,
.

2) Ֆունկցիան սահմանված է և շարունակական միջակայքում
. Գտնենք ածանցյալը
.

Հավասարումը լուծելով
, գտնել
Եվ
կրիտիկական կետեր են: Եթե հայտարարը
, այսինքն.
, ուրեմն ածանցյալը գոյություն չունի։ Այսպիսով,
երրորդ կրիտիկական կետն է։ Եկեք որոշենք ածանցյալի նշանը ընդմիջումներով:

Հետևաբար, ֆունկցիան կետում նվազագույն է
, առավելագույնը կետերում
Եվ
.

3) Ֆունկցիան սահմանված է և շարունակական, եթե
, այսինքն. ժամը
.

Գտնենք ածանցյալը

Եկեք գտնենք կրիտիկական կետերը.

Կետերի հարևանություններ
չեն պատկանում սահմանման տիրույթին, ուստի դրանք ծայրահեղական չեն: Այսպիսով, եկեք ուսումնասիրենք կրիտիկական կետերը
Եվ
.

4) Ֆունկցիան սահմանված է և շարունակական միջակայքում
. Մենք օգտագործում ենք կանոն 2. Գտե՛ք ածանցյալը
.

Եկեք գտնենք կրիտիկական կետերը.

Գտնենք երկրորդ ածանցյալը
և որոշեք դրա նշանը կետերում

Կետերում
ֆունկցիան ունի նվազագույնը:

Կետերում
ֆունկցիան ունի առավելագույնը.

y փոփոխականի կախվածությունը x փոփոխականից, որում x-ի յուրաքանչյուր արժեք համապատասխանում է y-ի մեկ արժեքին, կոչվում է ֆունկցիա։ Նշումը y=f(x) է: Յուրաքանչյուր ֆունկցիա ունի մի շարք հիմնական հատկություններ, ինչպիսիք են միապաղաղությունը, հավասարությունը, պարբերականությունը և այլն:

Դիտարկենք հավասարության սեփականությունը ավելի մանրամասն:

y=f(x) ֆունկցիան կանչվում է նույնիսկ եթե այն բավարարում է հետևյալ երկու պայմաններին.

2. Ֆունկցիայի շրջանակին պատկանող x կետում ֆունկցիայի արժեքը պետք է հավասար լինի -x կետի ֆունկցիայի արժեքին։ Այսինքն՝ ֆունկցիայի տիրույթից x կետի համար հետևյալ հավասարությունը f (x) \u003d f (-x) պետք է ճիշտ լինի։

Զույգ ֆունկցիայի գրաֆիկ

Եթե դուք կառուցում եք զույգ ֆունկցիայի գրաֆիկ, այն սիմետրիկ կլինի y առանցքի նկատմամբ:

Օրինակ՝ y=x^2 ֆունկցիան զույգ է։ Եկեք ստուգենք այն: Սահմանման տիրույթը ամբողջ թվային առանցքն է, ինչը նշանակում է, որ այն սիմետրիկ է O կետի նկատմամբ։

Վերցրեք կամայական x=3: f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Հետևաբար, f(x) = f(-x): Այսպիսով, մեզ համար երկու պայմաններն էլ բավարարված են, ինչը նշանակում է, որ ֆունկցիան հավասար է։ Ստորև ներկայացված է y=x^2 ֆունկցիայի գրաֆիկը։

Նկարը ցույց է տալիս, որ գրաֆիկը սիմետրիկ է y առանցքի նկատմամբ:

Կենտ ֆունկցիայի գրաֆիկ

y=f(x) ֆունկցիան կոչվում է կենտ, եթե այն բավարարում է հետևյալ երկու պայմաններին.

1. Տրված ֆունկցիայի տիրույթը պետք է սիմետրիկ լինի O կետի նկատմամբ, այսինքն՝ եթե a որոշ կետ պատկանում է ֆունկցիայի տիրույթին, ապա համապատասխան -a կետը նույնպես պետք է պատկանի տվյալ ֆունկցիայի տիրույթին։

2. Ֆունկցիայի տիրույթից x ցանկացած կետի համար պետք է բավարարվի հետևյալ հավասարությունը f (x) \u003d -f (x):

Կենտ ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է O կետի՝ սկզբնաղբյուրի նկատմամբ: Օրինակ՝ y=x^3 ֆունկցիան կենտ է։ Եկեք ստուգենք այն: Սահմանման տիրույթը ամբողջ թվային առանցքն է, ինչը նշանակում է, որ այն սիմետրիկ է O կետի նկատմամբ։

Վերցրեք կամայական x=2: f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Հետևաբար f(x) = -f(x): Այսպիսով, մեզ համար երկու պայմաններն էլ բավարարված են, ինչը նշանակում է, որ ֆունկցիան կենտ է։ Ստորև ներկայացված է y=x^3 ֆունկցիայի գրաֆիկը։

Նկարը հստակ ցույց է տալիս դա նույնիսկ գործառույթ y=x^3 սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ։

նույնիսկ, եթե բոլորի համար $x$ իր տիրույթից ճշմարիտ է՝ $f(-x)=f(x)$ .

Զույգ ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է $y$ առանցքի նկատմամբ.

Օրինակ՝ $f(x)=x^2+\cos x$ ֆունկցիան զույգ է, քանի որ $f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)$.

$\ blacktriangleright$ Կանչվում է $f(x)$ ֆունկցիան տարօրինակ, եթե բոլորի համար $x$ իր տիրույթից ճշմարիտ է՝ $f(-x)=-f(x)$ .

Կենտ ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ.

Օրինակ՝ $f(x)=x^3+x$ ֆունկցիան կենտ է, քանի որ $f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)$.

$\blacktriangleright$ Այն ֆունկցիաները, որոնք ոչ զույգ են, ոչ էլ կենտ, կոչվում են ֆունկցիաներ ընդհանուր տեսարան. Նման ֆունկցիան միշտ կարող է եզակի կերպով ներկայացվել որպես զույգ և կենտ ֆունկցիաների գումար։

Օրինակ, $f(x)=x^2-x$ ֆունկցիան $f_1=x^2$ զույգ ֆունկցիայի և $f_2=-x$ կենտ ֆունկցիայի գումարն է:

$\սև եռանկյունի$ Որոշ հատկություններ.

1) Նույն հավասարության երկու ֆունկցիաների արտադրյալը և գործակիցը զույգ ֆունկցիա է:

2) տարբեր հավասարության երկու ֆունկցիաների արտադրյալը և գործակիցը. տարօրինակ գործառույթ.

3) Զույգ ֆունկցիաների գումարը և տարբերությունը զույգ ֆունկցիա է:

4) Կենտ ֆունկցիաների գումարը և տարբերությունը կենտ ֆունկցիա է:

5) Եթե $f(x)$ զույգ ֆունկցիա է, ապա $f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)$ հավասարումը ունի եզակի արմատ, եթե և միայն եթե, երբ. $x =0$ .

6) Եթե $f(x)$-ը զույգ կամ կենտ ֆունկցիա է, իսկ $f(x)=0$ հավասարումն ունի արմատ $x=b$ , ապա այս հավասարումը անպայման կունենա երկրորդ. արմատ $x =-b$ .

$\սև եռանկյունի$ $f(x)$ ֆունկցիան կոչվում է պարբերական $X$, եթե $T\ne 0$ որոշ թվի համար ունենք $f(x)=f(x+): T) $ , որտեղ $x, x+T\in X$ . Ամենափոքր $T$-ը, որի համար գործում է այս հավասարությունը, կոչվում է ֆունկցիայի հիմնական (հիմնական) ժամանակաշրջան։

Պարբերական ֆունկցիան ունի $nT$ ձևի ցանկացած թիվ, որտեղ $n\in \mathbb(Z)$ նույնպես կետ կլինի:

Օրինակ՝ ցանկացած եռանկյունաչափական ֆունկցիապարբերական է;
ֆունկցիաները $f(x)=\sin x$ և $f(x)=\cos x$ հիմնական ժամանակաշրջանհավասար է $2\pi$-ի, $f(x)=\mathrm(tg)\,x$ և $f(x)=\mathrm(ctg)\,x ֆունկցիաների հիմնական ժամանակաշրջանը: $ է \ (\pi\) .

Պարբերական ֆունկցիան գծելու համար կարող եք դրա գրաֆիկը գծել $T$ երկարության ցանկացած հատվածի վրա (հիմնական կետ); այնուհետև ամբողջ ֆունկցիայի գրաֆիկը լրացվում է՝ կառուցված մասը տեղափոխելով աջ և ձախ պարբերությունների ամբողջ թվով.

$\ blacktriangleright$ $f(x)$ ֆունկցիայի $D(f)$ տիրույթը այն բազմությունն է, որը բաղկացած է $x$ արգումենտի բոլոր արժեքներից, որոնց համար ֆունկցիան իմաստ ունի: (սահմանված է):

Օրինակ՝ $f(x)=\sqrt x+1$ ֆունկցիան ունի սահմանման տիրույթ՝ \(x\in

Առաջադրանք 1 #6364

Առաջադրանքի մակարդակը՝ Հավասար պետական միասնական քննությանը

$a$ պարամետրի ինչ արժեքների համար է հավասարումը

Այն ունի միայն որոշում?

Նկատի ունեցեք, որ քանի որ $x^2$ և $\cos x$ զույգ ֆունկցիաներ են, եթե հավասարումն ունի $x_0$ արմատ, այն կունենա նաև $-x_0$ արմատ:
Իսկապես, թող $x_0$ լինի արմատ, այսինքն՝ հավասարությունը $2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0$ճիշտ. Փոխարինող $-x_0$ : $2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0$.

Այսպիսով, եթե $x_0\ne 0$ , ապա հավասարումն արդեն կունենա առնվազն երկու արմատ։ Հետևաբար, $x_0=0$ . Ապա.

Մենք ստացանք երկու պարամետր արժեք $a$: Նշենք, որ մենք օգտագործել ենք այն փաստը, որ $x=0$ հենց սկզբնական հավասարման արմատն է: Բայց մենք երբեք չենք օգտագործել այն փաստը, որ նա միակն է։ Հետևաբար, անհրաժեշտ է $a$ պարամետրի ստացված արժեքները փոխարինել սկզբնական հավասարման մեջ և ստուգել, թե որ $a$ արմատը $x=0$ իսկապես եզակի կլինի:

1) Եթե $a=0$ , ապա հավասարումը կունենա $2x^2=0$ ձևը: Ակնհայտ է, որ այս հավասարումն ունի միայն մեկ արմատ $x=0$ . Հետևաբար, $a=0$ արժեքը մեզ հարմար է։

2) Եթե $a=-\mathrm(tg)\,1$ , ապա հավասարումը ստանում է ձև. \ Մենք վերագրում ենք հավասարումը ձևով \ Որովհետեւ $-1\leqslant \cos x\leqslant 1$, ապա $-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1$. Հետևաբար, (*) հավասարման աջ կողմի արժեքները պատկանում են միջակայքին $[-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]$.

Քանի որ $x^2\geqslant 0$ , ապա (*) հավասարման ձախ կողմը մեծ կամ հավասար է $0+ \mathrm(tg)^2\,1$-ին:

Այսպիսով, հավասարությունը (*) կարող է պահպանվել միայն այն դեպքում, երբ հավասարման երկու կողմերը հավասար են $\mathrm(tg)^2\,1$-ին: Իսկ սա նշանակում է, որ \[\ սկիզբ (դեպքեր) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \վերջ (դեպքեր)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\]Հետևաբար, $a=-\mathrm(tg)\,1$ արժեքը մեզ հարմար է։

Պատասխան.

$a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0$\)

Առաջադրանք 2 #3923

Առաջադրանքի մակարդակը՝ Հավասար պետական միասնական քննությանը

Գտեք $a$ պարամետրի բոլոր արժեքները, որոնցից յուրաքանչյուրի համար տրված է ֆունկցիայի գրաֆիկը \

սիմետրիկ ծագման վերաբերյալ.

Եթե ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ, ապա այդպիսի ֆունկցիան կենտ է, այսինքն՝ $f(-x)=-f(x)$ գործում է ֆունկցիայի ցանկացած $x$-ի համար։ տիրույթ. Այսպիսով, պահանջվում է գտնել այն պարամետրերի արժեքները, որոնց համար $f(-x)=-f(x).$

\[\սկիզբ(հավասարեցված) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\աջ)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\աջ)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \վերջ (հավասարեցված)\]

Վերջին հավասարումը պետք է պահպանվի բոլոր $x$ տիրույթի համար $f(x)$ , հետևաբար $\sin(2\pi a)=0 \Աջ սլաք a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)$.

Պատասխան.

$\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)$

Առաջադրանք 3 #3069

Առաջադրանքի մակարդակը՝ Հավասար պետական միասնական քննությանը

Գտեք $a$ պարամետրի բոլոր արժեքները, որոնցից յուրաքանչյուրի համար \ հավասարումը ունի 4 լուծում, որտեղ $f$ հավասարաչափ պարբերական ֆունկցիա է $T=\dfrac(16)3$ ժամանակով: սահմանված է ամբողջ իրական տողի վրա, և $f(x)=ax^2$ համար $0\leqslant x\leqslant \dfrac83.$

(Առաջադրանք բաժանորդներից)

Քանի որ $f(x)$ զույգ ֆունկցիան է, դրա գրաֆիկը սիմետրիկ է y առանցքի նկատմամբ, հետևաբար, երբ $-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0$$f(x)=ax^2$ . Այսպիսով, ժամը $-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83$, և սա $\dfrac(16)3$ երկարության հատված է, $f(x)=ax^2$ ֆունկցիան։

1) Թող $a>0$ . Այնուհետև $f(x)$ ֆունկցիայի գրաֆիկը կունենա հետևյալ տեսքը.

Այնուհետև, որպեսզի հավասարումը ունենա 4 լուծում, անհրաժեշտ է, որ $g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx$ գրաֆիկը անցնի $A$ կետով.

հետևաբար, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \ձախ[\սկիզբ(հավաքված)\սկիզբ (հավասարեցված) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a \end(հավասարեցված) \end(հավաքված)\աջ: \quad\Ձախ աջ սլաք\չորս \ձախ[\սկիզբ(հավաքված)\սկիզբ(հավասարեցված) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(հավասարեցված) \end( հավաքված)\ճիշտ\]Քանի որ $a>0$ , ապա $a=\dfrac(18)(23)$ լավ է:

2) Թող $ա<0$ . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:

Մեզ անհրաժեշտ է $g(x)$ գրաֆիկը $B$ կետով անցնելու համար: \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(հավաքված)\սկիզբ (հավասարեցված) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(հավասարեցված) \end(հավաքված)\աջ։\]Քանի որ $ա<0$ , то подходит $a=-\dfrac{18}{41}$ .

3) Այն դեպքը, երբ $a=0$ հարմար չէ, քանի որ այն ժամանակ $f(x)=0$ բոլորի համար $x$ , $g(x)=2\sqrtx$ և The հավասարումը կունենա միայն 1 արմատ:

Պատասխան.

$a\in \ձախ\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\աջ$\)

Առաջադրանք 4 #3072

Առաջադրանքի մակարդակը՝ Հավասար պետական միասնական քննությանը

Գտեք $a$ բոլոր արժեքները, որոնցից յուրաքանչյուրի համար հավասարումը \

ունի առնվազն մեկ արմատ:

(Առաջադրանք բաժանորդներից)

Մենք վերագրում ենք հավասարումը ձևով \ և դիտարկենք երկու ֆունկցիա՝ $g(x)=7\sqrt(2x^2+49)$ և $f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
\(g(x)$ ֆունկցիան զույգ է, ունի նվազագույն կետ $x=0$ (և $g(0)=49$):
$f(x)$ ֆունկցիան $x>0$-ի համար նվազում է, իսկ $x-ի համար<0$ – возрастающей, следовательно, $x=0$ – точка максимума.
Իրոք, $x>0$-ի համար երկրորդ մոդուլը դրականորեն ընդլայնվում է ($|x|=x$), հետևաբար, անկախ նրանից, թե ինչպես է ընդլայնվում առաջին մոդուլը, $f(x)$ հավասար կլինի \ (kx+A\), որտեղ $A$ արտահայտությունն է $a$-ից, իսկ $k$-ը հավասար է կամ $-9$ կամ $-3$-ին: Համար \ (x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и $f(x)=kx+A$ , где $k$ равно либо $3$ , либо $9$ .
Գտեք $f$ արժեքը առավելագույն կետում՝ \

Որպեսզի հավասարումը ունենա առնվազն մեկ լուծում, $f$ և $g$ ֆունկցիաների գրաֆիկները պետք է ունենան առնվազն մեկ հատման կետ: Հետևաբար, ձեզ անհրաժեշտ է. \ \\]

Պատասխան.

$a\in \(-7$\բաժակ\)

Առաջադրանք 5 #3912

Առաջադրանքի մակարդակը՝ Հավասար պետական միասնական քննությանը

Գտեք $a$ պարամետրի բոլոր արժեքները, որոնցից յուրաքանչյուրի համար հավասարումը \

ունի վեց տարբեր լուծումներ:

Կատարենք $(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t$ փոխարինումը , $t>0$ ։ Այնուհետև հավասարումը կվերցնի ձևը \ Մենք աստիճանաբար կգրենք այն պայմանները, որոնց դեպքում սկզբնական հավասարումը կունենա վեց լուծում:
Նշենք, որ քառակուսի հավասարումը $(*)$ կարող է ունենալ առավելագույնը երկու լուծում: Ցանկացած խորանարդ հավասարում $Ax^3+Bx^2+Cx+D=0$ կարող է ունենալ ոչ ավելի, քան երեք լուծում։ Հետևաբար, եթե $(*)$ հավասարումը ունի երկու տարբեր լուծումներ (դրական!, քանի որ $t$ պետք է լինի զրոյից մեծ) $t_1$ և $t_2$, ապա կատարելով հակառակը. փոխարինում, մենք ստանում ենք. \[\ձախ[\սկիզբ(հավաքված)\սկիզբ(հավասարեցված) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\վերջ (հավասարեցված)\վերջ (հավաքված)\աջ։\]Քանի որ ցանկացած դրական թիվ որոշ չափով կարող է ներկայացվել որպես $\sqrt2$, օրինակ, $t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)$, ապա բազմության առաջին հավասարումը կվերագրվի ձևով \ Ինչպես արդեն ասացինք, ցանկացած խորանարդ հավասարում չունի երեքից ավելի լուծում, հետևաբար, բազմությունից յուրաքանչյուր հավասարում կունենա երեքից ոչ ավելի լուծում: Սա նշանակում է, որ ամբողջ հավաքածուն կունենա ոչ ավելի, քան վեց լուծում։
Սա նշանակում է, որ որպեսզի սկզբնական հավասարումն ունենա վեց լուծում, քառակուսի հավասարումը $(*)$ պետք է ունենա երկու տարբեր լուծում, և յուրաքանչյուր ստացված խորանարդ հավասարում (բազմությունից) պետք է ունենա երեք տարբեր լուծում (և ոչ մեկ: մեկ հավասարման լուծումը պետք է համընկնի, որին կամ երկրորդի որոշմամբ):
Ակնհայտ է, որ եթե $(*)$ քառակուսի հավասարումը ունի մեկ լուծում, ապա սկզբնական հավասարման համար մենք չենք ստանա վեց լուծում:

Այսպիսով, լուծման ծրագիրը պարզ է դառնում։ Եկեք կետ առ կետ գրենք այն պայմանները, որոնք պետք է պահպանվեն։

1) Որպեսզի $(*)$ հավասարումը ունենա երկու տարբեր լուծում, դրա տարբերակիչը պետք է լինի դրական. \

2) Մեզ նաև անհրաժեշտ է, որ երկու արմատները դրական լինեն (քանի որ $t>0$ ): Եթե երկու արմատների արտադրյալը դրական է, և դրանց գումարը դրական է, ապա արմատներն իրենք դրական կլինեն։ Հետևաբար, ձեզ անհրաժեշտ է. \[\սկիզբ(դեպքեր) 12-a>0\\-(a-10)>0\վերջ(դեպքեր)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

Այսպիսով, մենք արդեն ապահովել ենք մեզ երկու հստակ դրական արմատներ $t_1$ և $t_2$ .

3) Եկեք նայենք այս հավասարմանը \ Ինչի՞ համար $t$ այն կունենա երեք տարբեր լուծումներ:
Դիտարկենք $f(x)=x^3-3x^2+4$ ֆունկցիան:
Կարելի է բազմապատկել. \ Հետևաբար, նրա զրոներն են՝ $x=-1;2$ .
Եթե գտնենք $f"(x)=3x^2-6x$ ածանցյալը, ապա կստանանք երկու ծայրահեղ կետ $x_(max)=0, x_(min)=2$ .
Հետևաբար, գծապատկերն ունի հետևյալ տեսքը.

Մենք տեսնում ենք, որ ցանկացած հորիզոնական տող $y=k$ , որտեղ $0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t$ունի երեք տարբեր լուծումներ, անհրաժեշտ է, որ $0<\log_ {\sqrt2}t<4$ .
Այսպիսով, ձեզ անհրաժեշտ է. \[\սկիզբ (դեպքեր) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Անմիջապես նկատենք նաև, որ եթե $t_1$ և $t_2$ թվերը տարբեր են, ապա $\log_(\sqrt2)t_1$ և $\log_(\sqrt2)t_2$ թվերը կլինեն. լինել տարբեր, ուստի հավասարումները $x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1$Եվ $x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2$տարբեր արմատներ կունենան.
$(**)$ համակարգը կարող է վերաշարադրվել այսպես. \[\սկիզբ (դեպքեր) 1

Այսպիսով, մենք որոշեցինք, որ $(*)$ հավասարման երկու արմատները պետք է գտնվեն $(1;4)$ միջակայքում: Ինչպե՞ս գրել այս պայմանը:
Մենք հստակորեն չենք գրի արմատները:
Դիտարկենք $g(t)=t^2+(a-10)t+12-a$ ֆունկցիան: Դրա գրաֆիկը պարաբոլա է՝ վերև ճյուղերով, որն ունի աբսցիսայի առանցքի հետ հատման երկու կետ (այս պայմանը գրել ենք 1-ին պարբերությունում))։ Ինչպիսի՞ն պետք է լինի դրա գրաֆիկը, որպեսզի աբսցիսայի առանցքի հետ հատման կետերը լինեն $(1;4)$ միջակայքում: Այսպիսով.

Նախ, ֆունկցիայի $g(1)$ և $g(4)$ արժեքները $1$ և $4$ կետերում պետք է լինեն դրական, և երկրորդ, գագաթը. պարաբոլան $t_0\ ) նույնպես պետք է լինի \((1;4)$ միջակայքում: Այսպիսով, համակարգը կարող է գրվել. \[\սկիզբ (դեպքեր) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4$a$ միշտ ունի առնվազն մեկ արմատ $x=0$ . Այսպիսով, խնդրի պայմանը կատարելու համար անհրաժեշտ է, որ հավասարումը \

ուներ չորս տարբեր ոչ զրոյական արմատներ, որոնք $x=0$-ի հետ միասին ներկայացնում էին թվաբանական առաջընթաց:

Նկատի ունեցեք, որ $y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)$ ֆունկցիան զույգ է, հետևաբար, եթե $x_0$ $(*) հավասարման արմատն է: )\ ) , ապա \(-x_0$ նույնպես կլինի նրա արմատը։ Այնուհետև անհրաժեշտ է, որ այս հավասարման արմատները լինեն աճման կարգով դասավորված թվեր՝ $-2d, -d, d, 2d$ (այնուհետև $d>0$ ): Այդ ժամանակ է, որ այս հինգ թվերը կկազմեն թվաբանական առաջընթաց ($d$ տարբերությամբ):

Որպեսզի այս արմատները լինեն $-2d, -d, d, 2d$ թվերը, անհրաժեշտ է, որ $d^(\,2), 4d^(\,2)$ թվերը լինեն արմատները: հավասարումը $25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0$ . Այնուհետև Վիետայի թեորեմով.

Մենք վերագրում ենք հավասարումը ձևով \ և դիտարկենք երկու ֆունկցիա՝ $g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)$ և $f(x)=13|x|-2|5x+12a|$ .
$g(x)$ ֆունկցիան ունի առավելագույն կետ $x=0$ (և $g_(\text(վերև))=g(0)=-a^2+20a-4$):
$g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x$. Զրո ածանցյալ՝ $x=0$ . Համար \ (x<0\) имеем: $g">0$ , $x>0$ համար՝ $g"<0$ .
$f(x)$ ֆունկցիան $x>0$-ի համար մեծանում է, իսկ $x-ի համար<0$ – убывающей, следовательно, $x=0$ – точка минимума.
Իրոք, $x>0$-ի համար առաջին մոդուլը դրականորեն ընդլայնվում է ($|x|=x$), հետևաբար, անկախ նրանից, թե ինչպես է ընդլայնվում երկրորդ մոդուլը, $f(x)$ հավասար կլինի \ ( kx+A\) , որտեղ $A$ արտահայտությունն է $a$-ից, իսկ $k$ կամ $13-10=3$ կամ $13+10=23$ . Համար \ (x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и $f(x)=kx+A$ , где $k$ равно либо $-3$ , либо $-23$ .
Գտնենք $f$ արժեքը նվազագույն կետում. \

Որպեսզի հավասարումը ունենա առնվազն մեկ լուծում, $f$ և $g$ ֆունկցիաների գրաֆիկները պետք է ունենան առնվազն մեկ հատման կետ: Հետևաբար, ձեզ անհրաժեշտ է. \ Լուծելով համակարգերի այս շարքը՝ մենք ստանում ենք պատասխանը. \\]

Պատասխան.

$a\in \(-2$\բաժակ\)

Զույգ և կենտ ֆունկցիաների գրաֆիկներն ունեն հետևյալ հատկանիշները.

Եթե ֆունկցիան զույգ է, ապա նրա գրաֆիկը սիմետրիկ է y առանցքի նկատմամբ: Եթե ֆունկցիան կենտ է, ապա դրա գրաֆիկը սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ:

Օրինակ.Նկարեք $y=\ձախ|x \աջ|$ ֆունկցիան:

Լուծում.Դիտարկենք ֆունկցիան. Պարզ փոխակերպումների արդյունքում մենք ստանում ենք. այլ կերպ ասած, եթե արգումենտը փոխարինվի հակառակ նշանով, ֆունկցիան չի փոխվի:

Սա նշանակում է, որ այս ֆունկցիան զույգ է, և դրա գրաֆիկը սիմետրիկ կլինի y առանցքի (ուղղահայաց առանցքի) նկատմամբ։ Այս ֆունկցիայի գրաֆիկը ներկայացված է ձախ կողմում գտնվող նկարում: Սա նշանակում է, որ գրաֆիկը գծելիս կարող եք նկարել միայն կեսը, իսկ երկրորդ մասը (ուղղահայաց առանցքի ձախ կողմում, արդեն սիմետրիկորեն գծեք աջ կողմը): Որոշելով ֆունկցիայի համաչափությունը՝ նախքան դրա գրաֆիկը գծագրելը, դուք կարող եք զգալիորեն պարզեցնել ֆունկցիայի կառուցման կամ ուսումնասիրման գործընթացը։ Եթե դժվար է ստուգում կատարել ընդհանուր ձևով, կարող եք դա անել ավելի հեշտ. փոխարինեք տարբեր նշանների նույն արժեքները հավասարման մեջ: Օրինակ -5 և 5։ Եթե ֆունկցիայի արժեքները նույնն են, ապա կարելի է հուսալ, որ ֆունկցիան հավասարաչափ կլինի։ Մաթեմատիկական տեսանկյունից այս մոտեցումը լիովին ճիշտ չէ, բայց գործնական տեսանկյունից հարմար է։ Արդյունքի հուսալիությունը բարձրացնելու համար դուք կարող եք փոխարինել նման հակադիր արժեքների մի քանի զույգ:

Օրինակ.Գծագրեք $y=x\left|x \աջ|$ ֆունկցիան:

Լուծում.Եկեք ստուգենք նույնը, ինչ նախորդ օրինակում. $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \աջ ) $$ Սա նշանակում է, որ սկզբնական ֆունկցիան կենտ է (ֆունկցիայի նշանը հակադարձված է):

Եզրակացություն. ֆունկցիան սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ։ Դուք կարող եք կառուցել միայն մի կեսը, իսկ մյուս կեսը սիմետրիկ նկարել: Այս սիմետրիան ավելի դժվար է նկարել: Սա նշանակում է, որ դուք նայում եք գծապատկերին թերթի մյուս կողմից և նույնիսկ գլխիվայր շրջված: Եվ դուք կարող եք նաև դա անել՝ վերցնել գծված հատվածը և պտտել այն սկզբի շուրջը 180 աստիճանով հակառակ ուղղությամբ։

Օրինակ.Գծագրեք $y=x^3+x^2$ ֆունկցիան:

Լուծում.Եկեք կատարենք նույն նշանի փոփոխության ստուգումը, ինչպես նախորդ երկու օրինակներում: $$f\left(-x \right)=\left(-x \աջ)^3+\left(-x \աջ)^2=-x^2+x^2$$$f\ձախ( -x \right)\not=f\left(x \right),f\left(-x \right)\not=-f\left(x \right)$$ Ինչը նշանակում է, որ ֆունկցիան ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ .

Եզրակացություն. ֆունկցիան սիմետրիկ չէ կոորդինատային համակարգի ոչ ծագման, ոչ կենտրոնի նկատմամբ։ Դա տեղի է ունեցել, քանի որ այն երկու ֆունկցիաների գումարն է՝ զույգ և կենտ: Նույն իրավիճակը կլինի, եթե հանեք երկու տարբեր գործառույթներ: Բայց բազմապատկումը կամ բաժանումը կբերի այլ արդյունքի։ Օրինակ, զույգ և կենտ ֆունկցիայի արտադրյալը տալիս է կենտ: Կամ երկու կենտի գործակիցը հանգեցնում է զույգ ֆունկցիայի: