Lentoje parašyta 100 skirtingų natūraliųjų skaičių, kurių suma yra 5120.
a) Ar galima parašyti skaičių 230?
b) Ar galima apsieiti be skaičiaus 14?
c) Koks yra mažiausias 14 kartotinių skaičius lentoje?
Sprendimas.
a) Ant lentos užrašome skaičių 230 ir 99 kitus skirtingus natūraliuosius skaičius. Mažiausia galima skaičių lentoje suma pasiekiama, jei 99 skirtingų natūraliųjų skaičių suma yra minimali. Ir tai, savo ruožtu, įmanoma, jei 99 skirtingi natūralieji skaičiai yra aritmetinė progresija su pirmuoju nariu ir skirtumu. Šių skaičių suma pagal aritmetinės progresijos sumos formulę yra:
Visų lentoje esančių skaičių suma S bus lygus:
Nesunku pastebėti, kad gauta suma yra didesnė nei 5120, o tai reiškia, kad bet kokia 100 skirtingų natūraliųjų skaičių, tarp kurių yra 230, suma yra didesnė nei 5120, todėl lentoje negali būti 230.
b) Tarkime, kad lentoje neparašytas skaičius 14. Šiuo atveju mažiausia galima suma S skaičiai lentoje susideda iš dviejų aritmetinių progresijų sumų: pirmųjų 13 progresijos narių sumos su pirmuoju nariu, skirtumo (ty serijos 1,2,3, .. 13) ir sumos pirmieji 87 progresijos nariai su pirmuoju nariu, skirtumas (tai yra serija 15,16,17, .. 101). Raskime šią sumą:
Nesunku pastebėti, kad gauta suma yra didesnė nei 5120, o tai reiškia, kad bet kokia 100 skirtingų natūraliųjų skaičių, tarp kurių nėra 14, suma yra didesnė nei 5120, todėl be skaičiaus 14 lentoje neapsieinama.
c) Tarkime, kad lentoje užrašyti visi skaičiai nuo 1 iki 100. Tada paaiškėja, kad gauta eilutė yra aritmetinė progresija su pirmuoju nariu, skirtumu. Pagal aritmetinės progresijos sumos formulę randame visų lentoje esančių skaičių suma:
Gauta suma netenkina problemos sąlygos. Dabar, norėdami padidinti visų lentoje užrašytų skaičių sumą iki nurodytos sąlygoje, bandysime skaičius, kurie yra 14 kartotiniai, pakeisti kitais skaičiais po šimto: 70 bus pakeistas 110 , 84 - iš 104 ir 98 - iš 108. Gauta suma S bus lygus:
Toliau pakeitus skaičius, kurie yra 14 kartotiniai, skaičiais, didesniais nei 100, suma padidės ir neatitiks problemos sąlygos. Taigi mažiausias 14 kartotinių skaičius yra 4.
Pateiksime kitą c) punkto sprendimą.
Pateiksime pavyzdį, kai lentoje yra keturi skaičiai, kurie yra 14 kartotiniai (14, 28, 42, 56):
1, 2, ... , 69, 71, 72, ... , 83, 85, 86, ... , 97, 100, 101, 102, 103, 115.
Įrodykime, kad negali būti trijų skaičių, kurie būtų 14 kartotiniai. Norint pašalinti didžiausią skaičių, kurie yra 14 kartotiniai, reikia, kad skirtumai tarp naujų ir senų skaičių būtų minimalūs. Tai yra, didžiausius skaičius, 14 kartotinius, reikia pakeisti mažiausiais, didesniais nei šimtas. Tegul 14 kartotinių skaičius yra 3. Tada minimali lentoje užrašytų skaičių suma yra:
Gauta suma yra didesnė nei 5120. Toliau keičiant skaičius, kurie yra 14 kartotiniai, skaičiais, didesniais nei 100, suma padidės, o tai reiškia, kad lentoje gali būti ne mažiau kaip keturi skaičiai, kurie yra 14 kartotiniai.
A) Ne b) Ne c) 4.
Vaizdo kursas „Gaukite A“ apima visas temas, reikalingas sėkmingai išlaikyti matematikos egzaminą 60-65 balais. Visiškai visos profilio vieningo valstybinio matematikos egzamino 1-13 užduotys. Taip pat tinka išlaikyti matematikos pagrindų egzaminą. Jei norite išlaikyti egzaminą 90-100 balų, 1 dalį turite išspręsti per 30 minučių ir be klaidų!
Pasirengimo egzaminui kursas 10-11 klasėms, taip pat mokytojams. Viskas, ko reikia norint išspręsti 1 matematikos egzamino dalį (pirmos 12 uždavinių) ir 13 uždavinį (trigonometrija). Ir tai yra daugiau nei 70 balų iš egzamino ir be jų neapsieina nei šimtabalsis, nei humanitarinių mokslų studentas.
Visa teorija, kurios jums reikia. Greiti sprendimai, spąstai ir egzamino paslaptys. Iš FIPI užduočių banko išardytos visos atitinkamos 1 dalies užduotys. Kursas visiškai atitinka egzamino-2018 reikalavimus.
Kursą sudaro 5 didelės temos, kiekviena po 2,5 val. Kiekviena tema pateikiama nuo nulio, paprasta ir paprasta.
Šimtai USE užduočių. Žodiniai uždaviniai ir tikimybių teorija. Paprasti ir lengvai įsimenami problemų sprendimo algoritmai. Geometrija. Teorija, informacinė medžiaga, visų tipų USE užduočių analizė. Stereometrija. Sudėtingi sprendimai, naudingi cheat sheets, erdvinės vaizduotės ugdymas. Trigonometrija nuo nulio iki problemos 13. Supratimas, o ne kimšimas. Vizualus sudėtingų sąvokų paaiškinimas. Algebra. Šaknys, laipsniai ir logaritmai, funkcija ir išvestinė. Sudėtingų II egzamino dalies uždavinių sprendimo pagrindas.
Lentoje parašyta 100 skirtingų natūraliųjų skaičių, kurių suma yra 5120.
a) Ar galima parašyti skaičių 230?
b) Ar galima apsieiti be skaičiaus 14?
c) Koks yra mažiausias 14 kartotinių skaičius lentoje?
Sprendimas.
a) Ant lentos užrašome skaičių 230 ir 99 kitus skirtingus natūraliuosius skaičius. Mažiausia galima skaičių lentoje suma pasiekiama, jei 99 skirtingų natūraliųjų skaičių suma yra minimali. Ir tai, savo ruožtu, įmanoma, jei 99 skirtingi natūralieji skaičiai yra aritmetinė progresija su pirmuoju nariu ir skirtumu. Šių skaičių suma pagal aritmetinės progresijos sumos formulę yra:
Visų lentoje esančių skaičių suma S bus lygus:
Nesunku pastebėti, kad gauta suma yra didesnė nei 5120, o tai reiškia, kad bet kokia 100 skirtingų natūraliųjų skaičių, tarp kurių yra 230, suma yra didesnė nei 5120, todėl lentoje negali būti 230.
b) Tarkime, kad lentoje neparašytas skaičius 14. Šiuo atveju mažiausia galima suma S skaičiai lentoje susideda iš dviejų aritmetinių progresijų sumų: pirmųjų 13 progresijos narių sumos su pirmuoju nariu, skirtumo (ty serijos 1,2,3, .. 13) ir sumos pirmieji 87 progresijos nariai su pirmuoju nariu, skirtumas (tai yra serija 15,16,17, .. 101). Raskime šią sumą:
Nesunku pastebėti, kad gauta suma yra didesnė nei 5120, o tai reiškia, kad bet kokia 100 skirtingų natūraliųjų skaičių, tarp kurių nėra 14, suma yra didesnė nei 5120, todėl be skaičiaus 14 lentoje neapsieinama.
c) Tarkime, kad lentoje užrašyti visi skaičiai nuo 1 iki 100. Tada paaiškėja, kad gauta eilutė yra aritmetinė progresija su pirmuoju nariu, skirtumu. Pagal aritmetinės progresijos sumos formulę randame visų lentoje esančių skaičių suma:
Gauta suma netenkina problemos sąlygos. Dabar, norėdami padidinti visų lentoje užrašytų skaičių sumą iki nurodytos sąlygoje, bandysime skaičius, kurie yra 14 kartotiniai, pakeisti kitais skaičiais po šimto: 70 bus pakeistas 110 , 84 - iš 104 ir 98 - iš 108. Gauta suma S bus lygus:
Toliau pakeitus skaičius, kurie yra 14 kartotiniai, skaičiais, didesniais nei 100, suma padidės ir neatitiks problemos sąlygos. Taigi mažiausias 14 kartotinių skaičius yra 4.
Pateiksime kitą c) punkto sprendimą.
Pateiksime pavyzdį, kai lentoje yra keturi skaičiai, kurie yra 14 kartotiniai (14, 28, 42, 56):
1, 2, ... , 69, 71, 72, ... , 83, 85, 86, ... , 97, 100, 101, 102, 103, 115.
Įrodykime, kad negali būti trijų skaičių, kurie būtų 14 kartotiniai. Norint pašalinti didžiausią skaičių, kurie yra 14 kartotiniai, reikia, kad skirtumai tarp naujų ir senų skaičių būtų minimalūs. Tai yra, didžiausius skaičius, 14 kartotinius, reikia pakeisti mažiausiais, didesniais nei šimtas. Tegul 14 kartotinių skaičius yra 3. Tada minimali lentoje užrašytų skaičių suma yra:
Gauta suma yra didesnė nei 5120. Toliau keičiant skaičius, kurie yra 14 kartotiniai, skaičiais, didesniais nei 100, suma padidės, o tai reiškia, kad lentoje gali būti ne mažiau kaip keturi skaičiai, kurie yra 14 kartotiniai.
A) Ne b) Ne c) 4.
