Kaip išspręsti netinkamas trupmenas. Frakcija - kas tai? Trupmenų rūšys

Nuo žodžio „frakcijos“ nubėga daug žąsų odos. Nes prisimenu mokyklą ir užduotis, kurios buvo sprendžiamos iš matematikos. Tai buvo pareiga, kurią reikėjo įvykdyti. Bet ką daryti, jei užduotis, kuriose yra tinkamų ir netinkamų trupmenų, traktuojame kaip galvosūkį? Juk daugelis suaugusiųjų sprendžia skaitmeninius ir japoniškus kryžiažodžius. Suprask taisykles ir viskas. Tas pats čia. Tereikia įsigilinti į teoriją – ir viskas stos į savo vietas. Ir pavyzdžiai pavirs būdu lavinti smegenis.

Kokių tipų trupmenos yra?

Pradėkime nuo to, kas tai yra. Trupmena yra skaičius, turintis tam tikrą trupmeną iš vieneto. Jis gali būti parašytas dviem formomis. Pirmasis vadinamas įprastu. Tai yra, tas, kuris turi horizontalų arba įstrižą potėpį. Tai prilygsta padalijimo ženklui.

Tokiame užrašyme virš brūkšnelio esantis skaičius vadinamas skaitikliu, o po juo – vardikliu.

Tarp paprastųjų trupmenų išskiriamos teisingos ir neteisingos trupmenos. Pirmajam modulio skaitiklis visada yra mažesnis už vardiklį. Neteisieji taip vadinami, nes turi priešingai. Tinkamos trupmenos reikšmė visada yra mažesnė už vienetą. Nors neteisingas visada yra didesnis už šį skaičių.

Taip pat yra mišrių skaičių, ty tų, kurie turi sveikąjį skaičių ir trupmeninę dalį.

Antrasis žymėjimo tipas yra dešimtainis. Apie jos atskirą pokalbį.

Kuo skiriasi netinkamos trupmenos ir mišrūs skaičiai?

Iš esmės nieko. Tai tik kitoks to paties skaičiaus žymėjimas. Netinkamos trupmenos po paprastų operacijų lengvai tampa mišriais skaičiais. Ir atvirkščiai.

Viskas priklauso nuo konkrečią situaciją. Kartais užduotyse patogiau naudoti netinkamą trupmeną. O kartais reikia išversti į mišrus skaičius ir tada pavyzdys bus išspręstas labai lengvai. Todėl ką naudoti: netinkamas trupmenas, mišrius skaičius – priklauso nuo problemos sprendėjo pastebėjimo.

Mišrus skaičius taip pat lyginamas su sveikosios dalies ir trupmeninės dalies suma. Be to, antrasis visada yra mažesnis už vienybę.

Kaip mišrų skaičių pavaizduoti kaip netinkamą trupmeną?

Jei norite atlikti kokį nors veiksmą su keliais įrašytais skaičiais skirtingi tipai, tuomet juos reikia padaryti vienodus. Vienas iš būdų yra vaizduoti skaičius kaip netinkamas trupmenas.

Šiuo tikslu turėsite vadovautis šiuo algoritmu:

• padauginkite vardiklį iš sveikosios dalies;
• prie rezultato pridėkite skaitiklio reikšmę;
• užrašykite atsakymą virš eilutės;
• vardiklį palikite tą patį.

Štai pavyzdžiai, kaip rašyti netinkamas trupmenas iš mišrių skaičių:

• 17 ¼ \u003d (17 x 4 + 1): 4 \u003d 69/4;
• 39 ½ \u003d (39 x 2 + 1): 2 \u003d 79/2.

Kaip parašyti neteisingą trupmeną kaip mišrų skaičių?

Kitas metodas yra priešingas aukščiau aptartam. Tai yra, kai visi mišrūs skaičiai pakeičiami netinkamomis trupmenomis. Veiksmų algoritmas bus toks:

• padalykite skaitiklį iš vardiklio, kad gautumėte likutį;
• vietoj sveikosios mišrainės dalies parašykite koeficientą;
• likusi dalis turi būti dedama virš linijos;
• daliklis bus vardiklis.

Tokios transformacijos pavyzdžiai:

76/14; 76:14 = 5 su likusia 6; atsakymas yra 5 sveikieji skaičiai ir 6/14; trupmeninę dalį šiame pavyzdyje reikia sumažinti 2, gausite 3/7; galutinis atsakymas yra 5 sveiki 3/7.

108/54; padalijus dalinys 2 gaunamas be liekanos; tai reiškia, kad ne visos netinkamos trupmenos gali būti pateikiamos kaip mišrus skaičius; atsakymas yra sveikasis skaičius – 2.

Kaip sveikąjį skaičių paversti netinkamąja trupmena?

Būna situacijų, kai toks veiksmas yra būtinas. Norėdami gauti netinkamas trupmenas su iš anksto nustatytu vardikliu, turėsite atlikti šį algoritmą:

• sveikąjį skaičių padauginkite iš norimo vardiklio;
• parašykite šią reikšmę virš eilutės;
• po juo padėkite vardiklį.

Paprasčiausias variantas, kai vardiklis lygus vienetui. Tada nereikia dauginti. Pakanka tik parašyti sveikąjį skaičių, kuris pateiktas pavyzdyje, ir po eilute įdėti vienetą.

Pavyzdys: Padarykite 5 netinkamą trupmeną, kurios vardiklis yra 3. Padauginę 5 iš 3, gausite 15. Šis skaičius bus vardiklis. Užduoties atsakymas yra trupmena: 15/3.

Du užduočių su skirtingais skaičiais sprendimo būdai

Pavyzdyje reikia apskaičiuoti sumą ir skirtumą, taip pat sandaugą ir dviejų skaičių sandaugą: 2 sveikieji skaičiai 3/5 ir 14/11.

Pirmuoju požiūriu mišrus skaičius bus pateiktas kaip netinkama trupmena.

Atlikę aukščiau aprašytus veiksmus, gausite tokią reikšmę: 13/5.

Norėdami sužinoti sumą, turite sumažinti trupmenas iki to paties vardiklio. 13/5, padaugintas iš 11, tampa 143/55. O 14/11 padauginus iš 5 bus tokia forma: 70/55. Norėdami apskaičiuoti sumą, tereikia sudėti skaitiklius: 143 ir 70, o tada užrašykite atsakymą vienu vardikliu. 213/55 – ši netinkama trupmena yra problemos sprendimas.

Surandant skirtumą, atimami tie patys skaičiai: 143 - 70 = 73. Atsakymas yra trupmena: 73/55.

Dauginant iš 13/5 ir 14/11, nereikia redukuoti iki bendro vardiklio. Tiesiog padauginkite skaitiklius ir vardiklius poromis. Atsakymas bus toks: 182/55.

Taip pat ir su padalijimu. Norėdami gauti teisingą sprendimą, dalybą turite pakeisti daugyba ir apversti daliklį: 13/5: 14/11 \u003d 13/5 x 11/14 \u003d 143/70.

Antruoju požiūriu Netinkama trupmena tampa mišriu skaičiumi.

Atlikus algoritmo veiksmus, 14/11 pavirs mišriu skaičiumi, kurio sveikoji dalis yra 1, o trupmeninė dalis – 3/11.

Skaičiuojant sumą, reikia atskirai sudėti sveikąsias ir trupmenines dalis. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Galutinis atsakymas yra 3 sveiki 48/55. Pirmuoju požiūriu buvo trupmena 213/55. Galite patikrinti teisingumą konvertuodami jį į mišrų skaičių. Padalijus 213 iš 55, koeficientas yra 3, o likusioji dalis yra 48. Nesunku pastebėti, kad atsakymas teisingas.

Atimant, ženklas „+“ pakeičiamas „-“. 2 – 1 = 1, 33/55 – 15/55 = 18/55. Norėdami patikrinti atsakymą pagal ankstesnį metodą, turite jį paversti mišriu skaičiumi: 73 yra padalintas iš 55 ir gausite koeficientą 1, o likutį - 18.

Norint rasti sandaugą ir koeficientą, nepatogu naudoti mišrius skaičius. Čia visada rekomenduojama pereiti prie netinkamų trupmenų.

Tinkama trupmena

ketvirčiai

1. Tvarkingumas. a Ir b yra taisyklė, leidžianti vienareikšmiškai identifikuoti vieną ir tik vieną iš trijų santykių: “< », « >' arba ' ='. Ši taisyklė vadinama užsakymo taisyklė ir yra suformuluotas taip: du neneigiami skaičiai ir yra susiję tuo pačiu ryšiu kaip du sveikieji skaičiai ir ; du neteigiami skaičiai a Ir b yra susiję tuo pačiu ryšiu kaip ir du neneigiami skaičiai ir ; jei staiga a ne neigiamas, ir b- Tada neigiamai a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   trupmenų sumavimas

2. papildymo operacija. Bet kokiems racionaliems skaičiams a Ir b yra vadinamasis sumavimo taisyklė c. Tačiau pats skaičius c paskambino suma numeriai a Ir b ir yra žymimas , o tokio skaičiaus radimo procesas vadinamas sumavimas. Sumavimo taisyklė turi kitas vaizdas: .
3. daugybos operacija. Bet kokiems racionaliems skaičiams a Ir b yra vadinamasis daugybos taisyklė, dėl to jie sutampa su kokiu nors racionaliu skaičiumi c. Tačiau pats skaičius c paskambino dirbti numeriai a Ir b ir žymimas , taip pat vadinamas tokio skaičiaus radimo procesas daugyba. Daugybos taisyklė yra tokia: .
4. Užsakymo santykio tranzityvumas. Bet kuriam racionaliųjų skaičių trigubui a , b Ir c Jeigu a mažiau b Ir b mažiau c, Tai a mažiau c, ir jeigu a lygus b Ir b lygus c, Tai a lygus c. 6435">Sudėties komutaciškumas. Suma nesikeičia keičiant racionalių terminų vietas.
5. Papildymo asociatyvumas. Trijų racionalių skaičių pridėjimo tvarka rezultatui įtakos neturi.
6. Nulio buvimas. Yra racionalusis skaičius 0, kuris išsaugo kiekvieną kitą racionalųjį skaičių susumuojant.
7. Priešingų skaičių buvimas. Bet kuris racionalusis skaičius turi priešingą racionalųjį skaičių, kurį susumavus gaunamas 0.
8. Daugybos komutaciškumas. Keičiant racionalių veiksnių vietas, produktas nesikeičia.
9. Daugybos asociatyvumas. Trijų racionalių skaičių padauginimo tvarka rezultatui įtakos neturi.
10. Vieneto buvimas. Yra racionalusis skaičius 1, kuris išsaugo kiekvieną kitą racionalųjį skaičių padauginus.
11. Abipusių reiškinių buvimas. Bet kuris racionalusis skaičius turi atvirkštinį racionalųjį skaičių, kurį padauginus gaunamas 1.
12. Daugybos pasiskirstymas sudėjimo atžvilgiu. Daugybos operacija atitinka sudėjimo operaciją pagal paskirstymo dėsnį:
13. Užsakymo santykio ryšys su papildymo operacija.Į kairę ir į dešinę racionalioji nelygybė galite pridėti tą patį racionalųjį skaičių. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Archimedo aksioma. Kad ir koks būtų racionalus skaičius a, galite paimti tiek vienetų, kad jų suma viršys a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Papildomos savybės

Visos kitos racionaliesiems skaičiams būdingos savybės nėra išskiriamos kaip pagrindinės, nes, paprastai tariant, jos nebėra tiesiogiai pagrįstos sveikųjų skaičių savybėmis, o gali būti įrodytos remiantis pateiktomis pagrindinėmis savybėmis arba tiesiogiai apibrėžimu koks nors matematinis objektas. Tokių papildomų savybių yra labai daug. Čia prasminga paminėti tik keletą iš jų.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Nustatykite skaičiuojamumą

Racionaliųjų skaičių numeracija

Norint įvertinti racionaliųjų skaičių skaičių, reikia rasti jų aibės kardinalumą. Nesunku įrodyti, kad racionaliųjų skaičių aibė yra skaičiuojama. Norėdami tai padaryti, pakanka pateikti algoritmą, kuris išvardija racionalius skaičius, tai yra, nustato bijekciją tarp racionaliųjų ir natūraliųjų skaičių aibių.

Paprasčiausias iš šių algoritmų yra toks. Kiekviename iš jų sudaroma begalinė paprastųjų trupmenų lentelė i- kiekvienoje eilutėje j kurio stulpelis yra trupmena. Aiškumo dėlei daroma prielaida, kad šios lentelės eilutės ir stulpeliai yra sunumeruoti nuo vieno. Lentelės langeliai žymimi , kur i- lentelės, kurioje yra langelis, eilutės numeris ir j- stulpelio numeris.

Gautą lentelę valdo „gyvatė“ pagal tokį formalų algoritmą.

Šios taisyklės ieškomos iš viršaus į apačią, o sekanti pozicija parenkama pirmomis rungtynėmis.

Tokio aplinkkelio procese kiekvienas naujas racionalus skaičius priskiriamas kitam natūralusis skaičius. Tai yra, trupmenoms 1/1 priskiriamas skaičius 1, trupmenoms 2/1 – skaičius 2 ir tt Reikia pažymėti, kad numeruojamos tik neredukuojamos trupmenos. Formalus neredukuojamumo požymis yra didžiausio bendrojo trupmenos skaitiklio ir vardiklio daliklio lygybė vienybei.

Vadovaujantis šiuo algoritmu, galima surašyti visus teigiamus racionalius skaičius. Tai reiškia, kad teigiamų racionaliųjų skaičių aibė yra skaičiuojama. Nesunku nustatyti bijekciją tarp teigiamų ir neigiamų racionaliųjų skaičių aibių, tiesiog kiekvienam racionaliajam skaičiui priskiriant priešingą. Tai. neigiamų racionaliųjų skaičių aibė taip pat yra skaičiuojama. Jų sąjunga taip pat skaičiuojama pagal skaičiuojamų aibių savybę. Racionaliųjų skaičių aibė taip pat skaičiuojama kaip skaičiuojamos aibės sąjunga su baigtiniu.

Teiginys apie racionaliųjų skaičių aibės skaičiuojamumą gali sukelti tam tikrą sumišimą, nes iš pirmo žvilgsnio susidaro įspūdis, kad ji daug didesnė už natūraliųjų skaičių aibę. Tiesą sakant, taip nėra, ir yra pakankamai natūraliųjų skaičių, kad būtų galima surašyti visus racionalius.

Racionalių skaičių trūkumas

Tokio trikampio hipotenuzė neišreiškiama jokiu racionaliu skaičiumi

Racionalieji skaičiai formos 1 / n laisvėje n galima išmatuoti savavališkai mažus kiekius. Šis faktas sukuria apgaulingą įspūdį, kad racionalūs skaičiai apskritai gali išmatuoti bet kokius geometrinius atstumus. Nesunku parodyti, kad tai netiesa.

Iš Pitagoro teoremos žinoma, kad stačiojo trikampio hipotenuzė išreiškiama kaip kvadratinė šaknis iš jo kojų kvadratų sumos. Tai. lygiašonio stačiojo trikampio su vienetine kojele hipotenuzės ilgis lygus, t.y. skaičiui, kurio kvadratas lygus 2.

Jei darysime prielaidą, kad skaičius vaizduojamas kokiu nors racionaliu skaičiumi, tai yra toks sveikasis skaičius m ir toks natūralusis skaičius n, kuri, be to, trupmena yra neredukuojama, t.y., skaičiai m Ir n yra koprime.

Jei tada , t.y. m 2 = 2n 2. Todėl skaičius m 2 yra lyginis, bet dviejų nelyginių skaičių sandauga yra nelyginė, o tai reiškia, kad pats skaičius m taip pat aišku. Taigi yra natūralusis skaičius k, kad numeris m gali būti pavaizduotas kaip m = 2k. Skaičių kvadratas mŠia prasme m 2 = 4k 2, bet iš kitos pusės m 2 = 2n 2 reiškia 4 k 2 = 2n 2 arba n 2 = 2k 2. Kaip parodyta anksčiau su numeriu m, o tai reiškia, kad skaičius n- lygiai taip pat m. Bet tada jie nėra pirminiai, nes abu dalijasi per pusę. Gautas prieštaravimas įrodo, kad tai nėra racionalus skaičius.

Nuo žodžio „frakcijos“ nubėga daug žąsų odos. Nes prisimenu mokyklą ir užduotis, kurios buvo sprendžiamos iš matematikos. Tai buvo pareiga, kurią reikėjo įvykdyti. Bet ką daryti, jei užduotis, kuriose yra tinkamų ir netinkamų trupmenų, traktuojame kaip galvosūkį? Juk daugelis suaugusiųjų sprendžia skaitmeninius ir japoniškus kryžiažodžius. Suprask taisykles ir viskas. Tas pats čia. Tereikia įsigilinti į teoriją – ir viskas stos į savo vietas. Ir pavyzdžiai pavirs būdu lavinti smegenis.

Kokių tipų trupmenos yra?

Pradėkime nuo to, kas tai yra. Trupmena yra skaičius, turintis tam tikrą trupmeną iš vieneto. Jis gali būti parašytas dviem formomis. Pirmasis vadinamas įprastu. Tai yra, tas, kuris turi horizontalų arba įstrižą potėpį. Tai prilygsta padalijimo ženklui.

Tokiame užrašyme virš brūkšnelio esantis skaičius vadinamas skaitikliu, o po juo – vardikliu.

Tarp paprastųjų trupmenų išskiriamos teisingos ir neteisingos trupmenos. Pirmajam modulio skaitiklis visada yra mažesnis už vardiklį. Neteisieji taip vadinami, nes turi priešingai. Tinkamos trupmenos reikšmė visada yra mažesnė už vienetą. Nors neteisingas visada yra didesnis už šį skaičių.

Taip pat yra mišrių skaičių, ty tų, kurie turi sveikąjį skaičių ir trupmeninę dalį.

Antrasis žymėjimo tipas yra dešimtainis. Apie jos atskirą pokalbį.

Kuo skiriasi netinkamos trupmenos ir mišrūs skaičiai?

Iš esmės nieko. Tai tik kitoks to paties skaičiaus žymėjimas. Netinkamos trupmenos po paprastų operacijų lengvai tampa mišriais skaičiais. Ir atvirkščiai.

Viskas priklauso nuo konkrečios situacijos. Kartais užduotyse patogiau naudoti netinkamą trupmeną. O kartais reikia išversti į mišrų skaičių, tada pavyzdys bus išspręstas labai lengvai. Todėl ką naudoti: netinkamas trupmenas, mišrius skaičius – priklauso nuo problemos sprendėjo pastebėjimo.

Mišrus skaičius taip pat lyginamas su sveikosios dalies ir trupmeninės dalies suma. Be to, antrasis visada yra mažesnis už vienybę.

Kaip mišrų skaičių pavaizduoti kaip netinkamą trupmeną?

Jei norite atlikti kokį nors veiksmą su keliais skaičiais, kurie parašyti skirtingomis formomis, tuomet turite juos padaryti vienodus. Vienas iš būdų yra vaizduoti skaičius kaip netinkamas trupmenas.

Šiuo tikslu turėsite vadovautis šiuo algoritmu:

• padauginkite vardiklį iš sveikosios dalies;
• prie rezultato pridėkite skaitiklio reikšmę;
• užrašykite atsakymą virš eilutės;
• vardiklį palikite tą patį.

Štai pavyzdžiai, kaip rašyti netinkamas trupmenas iš mišrių skaičių:

• 17 ¼ \u003d (17 x 4 + 1): 4 \u003d 69/4;
• 39 ½ \u003d (39 x 2 + 1): 2 \u003d 79/2.

Kaip parašyti neteisingą trupmeną kaip mišrų skaičių?

Kitas metodas yra priešingas aukščiau aptartam. Tai yra, kai visi mišrūs skaičiai pakeičiami netinkamomis trupmenomis. Veiksmų algoritmas bus toks:

• padalykite skaitiklį iš vardiklio, kad gautumėte likutį;
• vietoj sveikosios mišrainės dalies parašykite koeficientą;
• likusi dalis turi būti dedama virš linijos;
• daliklis bus vardiklis.

Tokios transformacijos pavyzdžiai:

76/14; 76:14 = 5 su likusia 6; atsakymas yra 5 sveikieji skaičiai ir 6/14; trupmeninę dalį šiame pavyzdyje reikia sumažinti 2, gausite 3/7; galutinis atsakymas yra 5 sveiki 3/7.

108/54; padalijus dalinys 2 gaunamas be liekanos; tai reiškia, kad ne visos netinkamos trupmenos gali būti pateikiamos kaip mišrus skaičius; atsakymas yra sveikasis skaičius – 2.

Kaip sveikąjį skaičių paversti netinkamąja trupmena?

Būna situacijų, kai toks veiksmas yra būtinas. Norėdami gauti netinkamas trupmenas su iš anksto nustatytu vardikliu, turėsite atlikti šį algoritmą:

• sveikąjį skaičių padauginkite iš norimo vardiklio;
• parašykite šią reikšmę virš eilutės;
• po juo padėkite vardiklį.

Paprasčiausias variantas, kai vardiklis lygus vienetui. Tada nereikia dauginti. Pakanka tik parašyti sveikąjį skaičių, kuris pateiktas pavyzdyje, ir po eilute įdėti vienetą.

Pavyzdys: Padarykite 5 netinkamą trupmeną, kurios vardiklis yra 3. Padauginę 5 iš 3, gausite 15. Šis skaičius bus vardiklis. Užduoties atsakymas yra trupmena: 15/3.

Du užduočių su skirtingais skaičiais sprendimo būdai

Pavyzdyje reikia apskaičiuoti sumą ir skirtumą, taip pat sandaugą ir dviejų skaičių sandaugą: 2 sveikieji skaičiai 3/5 ir 14/11.

Pirmuoju požiūriu mišrus skaičius bus pateiktas kaip netinkama trupmena.

Atlikę aukščiau aprašytus veiksmus, gausite tokią reikšmę: 13/5.

Norėdami sužinoti sumą, turite sumažinti trupmenas iki to paties vardiklio. 13/5, padaugintas iš 11, tampa 143/55. O 14/11 padauginus iš 5 bus tokia forma: 70/55. Norėdami apskaičiuoti sumą, tereikia sudėti skaitiklius: 143 ir 70, o tada užrašykite atsakymą vienu vardikliu. 213/55 – ši netinkama trupmena yra problemos sprendimas.

Surandant skirtumą, atimami tie patys skaičiai: 143 - 70 = 73. Atsakymas yra trupmena: 73/55.

Dauginant iš 13/5 ir 14/11, nereikia redukuoti iki bendro vardiklio. Tiesiog padauginkite skaitiklius ir vardiklius poromis. Atsakymas bus toks: 182/55.

Taip pat ir su padalijimu. Norėdami gauti teisingą sprendimą, dalybą turite pakeisti daugyba ir apversti daliklį: 13/5: 14/11 \u003d 13/5 x 11/14 \u003d 143/70.

Antruoju požiūriu Netinkama trupmena tampa mišriu skaičiumi.

Atlikus algoritmo veiksmus, 14/11 pavirs mišriu skaičiumi, kurio sveikoji dalis yra 1, o trupmeninė dalis – 3/11.

Skaičiuojant sumą, reikia atskirai sudėti sveikąsias ir trupmenines dalis. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Galutinis atsakymas yra 3 sveiki 48/55. Pirmuoju požiūriu buvo trupmena 213/55. Galite patikrinti teisingumą konvertuodami jį į mišrų skaičių. Padalijus 213 iš 55, koeficientas yra 3, o likusioji dalis yra 48. Nesunku pastebėti, kad atsakymas teisingas.

Atimant, ženklas „+“ pakeičiamas „-“. 2 – 1 = 1, 33/55 – 15/55 = 18/55. Norėdami patikrinti atsakymą pagal ankstesnį metodą, turite jį paversti mišriu skaičiumi: 73 yra padalintas iš 55 ir gausite koeficientą 1, o likutį - 18.

Norint rasti sandaugą ir koeficientą, nepatogu naudoti mišrius skaičius. Čia visada rekomenduojama pereiti prie netinkamų trupmenų.

Su trupmenomis gyvenime susiduriame daug anksčiau, nei jos pradeda mokytis mokykloje. Jei perpjausite visą obuolį per pusę, gausime vaisiaus gabalėlį - ½. Iškirpkite dar kartą - bus ¼. Štai kas yra trupmenos. Ir viskas, atrodytų, paprasta. Suaugusiam žmogui. Vaikui (ir ši tema pradedama nagrinėti pabaigoje pradinė mokykla) abstrakčios matematinės sąvokos vis dar gąsdinančiai nesuprantamos, o mokytojas turi suprantamai paaiškinti, kokia tinkama ir netinkama trupmena, paprastoji ir dešimtainė, kokias operacijas su jomis galima atlikti ir, svarbiausia, kam viso to reikia.

Kas yra trupmenos

Pažintis su nauja tema mokykloje pradedama paprastosiomis trupmenomis. Juos lengva atpažinti iš horizontalios linijos, skiriančios du skaičius – viršuje ir apačioje. Viršutinė dalis vadinama skaitikliu, apačia – vardikliu. Taip pat yra netinkamų ir tinkamų paprastųjų trupmenų rašyba mažosiomis raidėmis – per pasvirąjį brūkšnį, pavyzdžiui: ½, 4/9, 384/183. Ši parinktis naudojama, kai eilutės aukštis yra ribotas ir neįmanoma taikyti įrašo „dviejų aukštų“ formos. Kodėl? Taip, nes taip patogiau. Šiek tiek vėliau mes tai patikrinsime.

Be įprastų, yra ir dešimtainių trupmenų. Juos atskirti labai paprasta: jei vienu atveju naudojamas horizontalus arba pasvirasis brūkšnys, tai kitu – kablelis, skiriantis skaičių sekas. Pažiūrėkime pavyzdį: 2.9; 163,34; 1.953. Sąmoningai naudojome kabliataškį kaip skyriklį skaičiams atskirti. Pirmasis iš jų bus skaitomas taip: „du sveiki, devynios dešimtosios“.

Naujos koncepcijos

Grįžkime prie paprastųjų trupmenų. Jie yra dviejų rūšių.

Tinkamos trupmenos apibrėžimas yra toks: tai tokia trupmena, kurios skaitiklis yra mažesnis už vardiklį. Kodėl tai svarbu? Dabar pamatysime!

Jūs turite keletą obuolių, supjaustytų per pusę. Iš viso – 5 dalys. Kaip jūs sakote: turite „dviejų su puse“ ar „penkių sekundžių“ obuolių? Žinoma, pirmasis variantas skamba natūraliau, o kalbėdami su draugais juo pasinaudosime. Bet jei reikia paskaičiuoti kiek kiekvienas gaus vaisių, jei kompanijoje penki žmonės, užrašysime skaičių 5/2 ir padalinsime iš 5 – matematikos požiūriu bus aiškiau.

Taigi, norint pavadinti tinkamas ir netinkamas trupmenas, galioja tokia taisyklė: jei trupmenoje galima išskirti sveikąją dalį (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), tai ji neteisinga. Jei to negalima padaryti, kaip ½, 13/16, 9/10 atveju, tai bus teisinga.

Pagrindinė trupmenos savybė

Jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis vienu metu dauginami arba dalijami iš to paties skaičiaus, jo reikšmė nepasikeis. Įsivaizduokite: pyragas buvo supjaustytas į 4 lygias dalis ir jums davė vieną. Tas pats pyragas buvo supjaustytas į aštuonias dalis ir jums davė du. Ar ne viskas taip pat? Juk ¼ ir 2/8 yra tas pats!

Sumažinimas

Užduočių ir pavyzdžių autoriai matematikos vadovėliuose dažnai bando suklaidinti mokinius, siūlydami trupmenas, kurias sunku rašyti ir kurias iš tikrųjų galima sumažinti. Štai tinkamos trupmenos pavyzdys: 167/334, kuris, atrodytų, atrodo labai „baisiai“. Bet iš tikrųjų galime tai parašyti kaip ½. Skaičius 334 dalijasi iš 167 be liekanos – atlikę šią operaciją gauname 2.

mišrūs skaičiai

Netinkama trupmena gali būti pavaizduota kaip mišrus skaičius. Tai yra tada, kai visa dalis pakeliama į priekį ir parašyta horizontalios linijos lygyje. Tiesą sakant, išraiška yra sumos forma: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 ir pan.

Norėdami išimti visą dalį, skaitiklį turite padalyti iš vardiklio. Likusią padalijimo dalį parašykite aukščiau, virš eilutės ir visą dalį prieš išraišką. Taigi gauname dvi struktūrines dalis: sveiki vienetai + tinkama trupmena.

Taip pat galite atlikti atvirkštinę operaciją - tam reikia padauginti sveikojo skaičiaus dalį iš vardiklio ir gautą reikšmę pridėti prie skaitiklio. Nieko sudėtingo.

Daugyba ir dalyba

Kaip bebūtų keista, trupmenas padauginti yra lengviau nei jas sudėti. Viskas, ko reikia, yra išplėsti horizontalią liniją: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

Dalijant viskas taip pat paprasta: reikia padauginti trupmenas skersai: (7/8) / (14/15) \u003d 7 * 15 / 8 * 14 \u003d 15/16.

Trupmenų pridėjimas

Ką daryti, jei reikia atlikti pridėjimą arba ir jų vardiklyje skirtingi skaičiai? Tai neveiks taip, kaip dauginant – čia reikėtų suprasti tinkamos trupmenos apibrėžimą ir jos esmę. Būtina suvesti terminus į bendrą vardiklį, tai yra, abiejų trupmenų apačioje turėtų būti tie patys skaičiai.

Norėdami tai padaryti, turėtumėte naudoti pagrindinę trupmenos savybę: padauginkite abi dalis iš to paties skaičiaus. Pavyzdžiui, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.

Kaip pasirinkti, į kurį vardiklį perkelti terminus? Tai turi būti mažiausias abiejų vardiklių kartotinis: 1/3 ir 1/9 bus 9; ½ ir 1/7 - 14, nes nėra mažesnės vertės, dalijamos iš 2 ir 7 be liekanos.

Naudojimas

Kam skirtos netinkamos trupmenos? Juk daug patogiau iš karto išsirinkti visą dalį, gauti mišrų skaičių – ir viskas! Pasirodo, jei reikia padauginti ar padalyti dvi trupmenas, naudingiau naudoti netinkamas.

Paimkime tokį pavyzdį: (2 + 3/17) / (37 / 68).

Atrodytų, išvis nėra ką kirpti. Bet ką daryti, jei pridėjimo rezultatą įrašysime pirmuosiuose skliaustuose kaip netinkamą trupmeną? Žiūrėkite: (37/17) / (37/68)

Dabar viskas stoja į savo vietas! Parašykime pavyzdį taip, kad viskas taptų akivaizdu: (37 * 68) / (17 * 37).

Sumažinkime 37 skaitiklyje ir vardiklyje, o galiausiai viršutinę ir apatinę dalis padalinkime iš 17. Ar prisimenate pagrindinę taisyklę dėl tinkamų ir netinkamų trupmenų? Mes galime juos padauginti ir padalyti iš bet kurio skaičiaus, jei tai darome skaitikliui ir vardikliui tuo pačiu metu.

Taigi, gauname atsakymą: 4. Pavyzdys atrodė sudėtingas, o atsakyme yra tik vienas skaitmuo. Taip dažnai nutinka matematikoje. Svarbiausia nebijoti ir laikytis paprastų taisyklių.

Daznos klaidos

Sportuodamas mokinys gali nesunkiai padaryti vieną iš populiarių klaidų. Paprastai jie atsiranda dėl neatidumo, o kartais ir dėl to, kad tiriama medžiaga dar nebuvo tinkamai nusėdusi į galvą.

Dažnai skaičių suma skaitiklyje sukelia norą sumažinti atskirus jo komponentus. Tarkime, pavyzdyje: (13 + 2) / 13, parašyta be skliaustų (su horizontalia linija), daugelis studentų dėl nepatyrimo perbraukia 13 iš viršaus ir apačios. Bet tai jokiu būdu neturėtų būti daroma, nes tai yra didelė klaida! Jei vietoj sudėjimo būtų daugybos ženklas, atsakyme gautume skaičių 2. Tačiau sudėjus neleidžiami jokie veiksmai su vienu iš narių, tik su visa suma.

Vaikai dažnai klysta skirstydami trupmenas. Paimkime dvi taisyklingas neredukuojamas trupmenas ir padalinkime viena iš kitos: (5/6) / (25/33). Mokinys gali supainioti ir parašyti gautą išraišką kaip (5*25) / (6*33). Bet tai būtų nutikę dauginant, o mūsų atveju viskas bus šiek tiek kitaip: (5 * 33) / (6 * 25). Sumažiname tai, kas įmanoma, o atsakyme pamatysime 11/10. Gautą neteisingą trupmeną rašome dešimtainiu – 1,1.

Skliausteliuose

Atminkite, kad bet kurioje matematinėje išraiškoje operacijų eiliškumą lemia operacijos ženklų pirmenybė ir skliaustų buvimas. Jei kiti dalykai yra vienodi, veiksmų seka skaičiuojama iš kairės į dešinę. Tai pasakytina ir apie trupmenas – išraiška skaitiklyje arba vardiklyje apskaičiuojama griežtai pagal šią taisyklę.

Tai yra vieno skaičiaus padalijimo iš kito rezultatas. Jei jie nesiskiria iki galo, paaiškėja, kad dalis - tai viskas.

Kaip kompiuteryje parašyti trupmeną

Nes standartinėmis priemonėmis jie ne visada leidžia sukurti trupmeną, susidedančią iš dviejų „pakopų“, studentai kartais imasi įvairių gudrybių. Pavyzdžiui, nukopijuokite skaitiklius ir vardiklius grafikos redaktorius„Dažykite“ ir suklijuokite juos, piešdami tarp jų horizontali linija. Žinoma, yra ir paprastesnis variantas, kuris, beje, suteikia daug papildomos funkcijos kurie jums bus naudingi ateityje.

Atidarykite „Microsoft Word“. Viena iš ekrano viršuje esančių skydelių vadinama „Įterpti“ – spustelėkite ją. Dešinėje, toje pusėje, kur yra lango uždarymo ir sumažinimo piktogramos, yra mygtukas Formulė. Tai yra būtent tai, ko mums reikia!

Jei naudosite šią funkciją, ekrane atsiras stačiakampė sritis, kurioje galėsite naudoti bet kokius matematinius simbolius, kurių nėra klaviatūroje, taip pat rašyti trupmenas klasikinė forma. Tai yra, skaitiklio ir vardiklio atskyrimas horizontalia juosta. Galbūt net nustebsite, kad tokią tinkamą trupmeną taip lengva užrašyti.

Išmok matematikos

Jei esate 5–6 klasėse, netrukus matematikos žinios (įskaitant gebėjimą dirbti su trupmenomis!) bus reikalingos daugelyje mokyklinių dalykų. Beveik visose fizikos problemose, matuojant medžiagų masę chemijoje, geometrijoje ir trigonometrijoje, negalima atsisakyti trupmenų. Netrukus išmoksite viską skaičiuoti mintyse, net nerašydami posakių ant popieriaus, bet vis daugiau sudėtingų pavyzdžių. Todėl sužinokite, kas yra tinkama trupmena ir kaip su ja dirbti, neatsilikti mokymo planas atlikite namų darbus laiku, tada jums pavyks.

Greičiausiai pasimiršta paprastos matematinės taisyklės ir gudrybės, jei jos nenaudojamos nuolat. Terminai iš atminties išblunka dar greičiau.

Vienas iš šių paprasti veiksmai- netinkamos trupmenos pavertimas tinkama arba, kitaip tariant, mišriąja trupmena.

Netinkama trupmena

Netinkama trupmena yra trupmena, kurios skaitiklis (skaičius virš trupmenos juostos) yra didesnis arba lygus vardikliui (skaičiui po juosta). Tokia trupmena gaunama sudėjus trupmenas arba padauginus trupmeną iš sveikojo skaičiaus. Pagal matematikos taisykles tokia trupmena turi būti paversta įprastąja.

Tinkama trupmena

Logiška manyti, kad visos kitos trupmenos vadinamos teisingomis. Griežtas apibrėžimas – vadinama teisinga trupmena, kurioje skaitiklis yra mažesnis už vardiklį. Trupmena, turinti sveikąją dalį, kartais vadinama mišria trupmena.

Netinkamos trupmenos pavertimas tinkama trupmena

• Pirmasis atvejis: skaitiklis ir vardiklis yra lygūs vienas kitam. Bet kurios tokios trupmenos transformacijos rezultatas bus vienas. Nesvarbu, ar tai trys trečdaliai, ar šimtas dvidešimt penki šimtas dvidešimt penktadaliai. Tiesą sakant, tokia trupmena reiškia skaičiaus padalijimą iš savęs.

• Antrasis atvejis: skaitiklis didesnis už vardiklį. Čia reikia prisiminti skaičių padalijimo su liekana metodą.
  Norėdami tai padaryti, turite rasti skaičių, artimiausią skaitiklio reikšmei, kuris dalijasi iš vardiklio be liekanos. Pavyzdžiui, jūs turite devyniolikos trečdalių dalį. Artimiausias skaičius, kurį galima padalyti iš trijų, yra aštuoniolika. Gaukite šešis. Dabar atimkite gautą skaičių iš skaitiklio. Gauname vienetą. Tai yra likusi dalis. Užrašykite transformacijos rezultatą: šeši sveikieji skaičiai ir vienas trečdalis.

Tačiau prieš mažinant trupmeną iki teisinga forma, turime patikrinti, ar galima jį sumažinti.
Trupmeną galima sumažinti, jei skaitiklis ir vardiklis turi bendrą daliklį. Tai yra skaičius, iš kurio abu dalijasi be liekanos. Jei tokių daliklių yra keletas, reikia rasti didžiausią.
Pavyzdžiui, visi lyginiai skaičiai turi bendrą daliklį – du. O šešioliktųjų dvyliktųjų trupmena turi dar vieną bendrą daliklį – keturis. Tai yra didžiausias daliklis. Padalinkite skaitiklį ir vardiklį iš keturių. Sumažinimo rezultatas: keturi trečdaliai. Dabar, kaip praktika, konvertuokite šią trupmeną į tinkamą.