Tarpų nustatymo metodas- tai yra universalus būdas beveik visų pasitaikančių nelygybių sprendimus mokyklos kursas algebra. Jis pagrįstas šiomis funkcijų savybėmis:

1. Tęstinė funkcija g(x) gali pakeisti ženklą tik taške, kur ji lygi 0. Grafiškai tai reiškia, kad tolydžios funkcijos grafikas gali judėti iš vienos pusės plokštumos į kitą tik tada, kai kerta x- ašis (atsimename, kad bet kurio taško, esančio ant OX ašies (abscisių ašies), ordinatės lygi nuliui, tai yra, funkcijos reikšmė šiame taške yra 0):

Matome, kad grafike parodyta funkcija y=g(x) kerta OX ašį taškuose x= -8, x=-2, x=4, x=8. Šie taškai vadinami funkcijos nuliais. Ir tuose pačiuose taškuose funkcija g(x) keičia ženklą.

2. Funkcija taip pat gali pakeisti ženklą vardiklio nuliais - paprasčiausias pavyzdys gerai žinoma savybė:

Matome, kad funkcija keičia ženklą vardiklio šaknyje, taške, bet neišnyksta jokiame taške. Taigi, jei funkcijoje yra trupmena, ji gali pakeisti ženklą vardiklio šaknyse.

2. Tačiau funkcija ne visada pakeičia ženklą skaitiklio arba vardiklio šaknyje. Pavyzdžiui, funkcija y=x 2 nekeičia ženklo taške x=0:

Nes lygtis x 2 \u003d 0 turi dvi lygias šaknis x \u003d 0, taške x \u003d 0 funkcija tarsi du kartus virsta 0. Tokia šaknis vadinama antrojo dauginio šaknimi.

Funkcija pakeičia ženklą ties skaitiklio nuliu, bet nekeičia ženklo ties vardiklio nuliu: , nes šaknis yra antrojo dauginio šaknis, tai yra, lyginio dauginio:

Svarbu! Lyginio daugumo šaknyse funkcija ženklo nekeičia.

Pastaba! Bet koks nelinijinis mokyklinio algebros kurso nelygybė, kaip taisyklė, sprendžiama naudojant intervalų metodą.

Siūlau jums išsamų, kuriuo vadovaudamiesi galėsite išvengti klaidų sprendžiant netiesines nelygybes.

1. Pirmiausia reikia įvesti nelygybę į formą

P(x)V0,

kur V yra nelygybės ženklas:<,>,≤ arba ≥. Tam jums reikia:

a) perkelkite visus terminus į kairę nelygybės pusę,

b) suraskite gautos išraiškos šaknis,

c) koeficientuoti kairiąją nelygybės pusę

d) parašykite tuos pačius veiksnius kaip laipsnį.

Dėmesio! Paskutinis veiksmas turi būti atliktas, kad nesuklystumėte dėl daugybės šaknų - jei rezultatas yra veiksnys lygus laipsnis, todėl atitinkama šaknis turi net daugybą.

2. Rastas šaknis įdėkite į skaičių eilutę.

3. Jei nelygybė griežta, tai apskritimai, žymintys šaknis skaitinėje ašyje, paliekami „tušti“, jei nelygybė nėra griežta, tai apskritimai dažomi.

4. Atrenkame lyginio daugumo šaknis – jose P(x)ženklas nesikeičia.

5. Nustatykite ženklą P(x) dešinėje tarpo pusėje. Norėdami tai padaryti, paimkite savavališką reikšmę x 0, kuri yra didesnė už didžiausią šaknį, ir pakeiskite į P(x).

Jei P(x 0)>0 (arba ≥0), tada dešiniajame intervale dedame „+“ ženklą.

Jei P(x0)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".

Einant per tašką, žymintį lyginio dauginio šaknį, ženklas NEKEITA.

7. Dar kartą žiūrime į pradinės nelygybės ženklą ir pasirenkame mums reikalingus ženklo intervalus.

8. Dėmesio! Jei mūsų nelygybė NĖRA GRIEŽTA, tada lygybės sąlygą nuliui tikriname atskirai.

9. Užsirašykite atsakymą.

Jei originalas nelygybės vardiklyje yra nežinomasis, tada visus terminus taip pat perkeliame į kairę, o kairę nelygybės pusę sumažiname į formą

(kur V yra nelygybės ženklas:< или >)

Griežta tokio pobūdžio nelygybė prilygsta nelygybei

NĖRA griežtas formos nelygybė

yra tolygus sistema:

Praktiškai, jei funkcija turi formą , tada elgiamės taip:

1. Raskite skaitiklio ir vardiklio šaknis.
2. Mes dedame juos ant ašies. Visi apskritimai paliekami tušti. Tada, jei nelygybė nėra griežta, tada perbraukiame skaitiklio šaknis, o vardiklio šaknis visada paliekame tuščias.
3. Toliau vadovaujamės bendruoju algoritmu:
4. Parenkame lyginio dauginio šaknis (jei skaitiklyje ir vardiklyje yra tos pačios šaknys, tada skaičiuojame, kiek kartų pasitaiko tos pačios šaknys). Lyginio daugialypiškumo šaknyse ženklo pokytis nėra.
5. Išsiaiškiname ženklą dešiniajame intervale.
6. Mes pastatome ženklus.
7. Esant negriežtai nelygybei, lygybės sąlyga, lygybės sąlyga nuliui, tikrinama atskirai.
8. Parenkame reikiamus intervalus ir atskirai stovinčias šaknis.
9. Užrašome atsakymą.

Kad geriau suprastum nelygybių sprendimo intervalų metodu algoritmas, žiūrėkite VAIZDO PAMOKA, kurioje detaliai analizuojamas pavyzdys nelygybės sprendimas intervalų metodu.

Tarpų nustatymo metodas yra specialus algoritmas, skirtas sudėtingoms f(x) > 0 formos nelygybėms išspręsti. Algoritmas susideda iš 5 žingsnių:

1. Išspręskite lygtį f(x) = 0. Taigi vietoj nelygybės gauname lygtį, kurią išspręsti daug lengviau;
2. Visas gautas šaknis pažymėkite koordinačių tiesėje. Taigi tiesi linija bus padalinta į kelis intervalus;
3. Raskite šaknų daugumą. Jei šaknys yra lygios, tada virš šaknies nubrėžiame kilpą. (Šaknis laikoma kartotiniu, jei yra lyginis identiškų sprendinių skaičius)
4. Išsiaiškinkite funkcijos f(x) ženklą (pliusą arba minusą) kraštutiniame dešiniajame intervale. Norėdami tai padaryti, pakanka f (x) pakeisti bet kurį skaičių, kuris bus dešinėje nuo visų pažymėtų šaknų;
5. Pažymėkite ženklus ant likusių intervalų, keisdami juos.

Po to belieka surašyti mus dominančius intervalus. Jie pažymėti „+“ ženklu, jei nelygybė buvo formos f(x) > 0, arba „−“ ženklu, jei nelygybė buvo formos f(x)< 0.

Esant negriežtoms nelygybėms (≤ , ≥), į intervalus reikia įtraukti taškus, kurie yra lygties f(x) = 0 sprendinys;

1 pavyzdys:

Išspręskite nelygybę:

(x - 2) (x + 7)< 0

Mes dirbame pagal intervalų metodą.

1 žingsnis: pakeiskite nelygybę lygtimi ir išspręskite:

(x - 2) (x + 7) = 0

Produktas yra lygus nuliui tada ir tik tada, kai bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui:

x - 2 = 0 => x = 2

x + 7 = 0 => x = -7

Turi dvi šaknis.

2 žingsnis: pažymėkite šias šaknis koordinačių tiesėje. Mes turime:

3 veiksmas: funkcijos ženklą randame pačiame dešiniajame intervale (į dešinę nuo pažymėto taško x = 2). Norėdami tai padaryti, paimkite bet kurį skaičių daugiau numerio x = 2. Pavyzdžiui, imkime x = 3 (bet niekas nedraudžia imti x = 4, x = 10 ir net x = 10 000).

f(x) = (x - 2) (x + 7)

f(3)=(3–2)(3 + 7) = 1*10 = 10

Gauname, kad f(3) = 10 > 0 (10 yra teigiamas skaičius), todėl dešiniajame intervale dedame pliuso ženklą.

4 veiksmas: ant likusių intervalų reikia pažymėti ženklus. Atminkite, kad einant per kiekvieną šaknį ženklas turi pasikeisti. Pavyzdžiui, į dešinę nuo šaknies x = 2 yra pliusas (tai įsitikinome ankstesniame žingsnyje), taigi kairėje turi būti minusas. Šis minusas tęsiasi iki viso intervalo (-7; 2), todėl šaknies x = -7 dešinėje yra minusas. Todėl šaknies x = −7 kairėje yra pliusas. Belieka pažymėti šiuos ženklus koordinačių ašyje.

Grįžkime prie pradinės nelygybės, kuri atrodė taip:

(x - 2) (x + 7)< 0

Taigi funkcija turėtų būti mažiau nei nulis. Tai reiškia, kad mus domina minuso ženklas, kuris atsiranda tik viename intervale: (−7; 2). Tai bus atsakymas.

2 pavyzdys:

Išspręskite nelygybę:

(9x 2 - 6x + 1) (x - 2) ≥ 0

Sprendimas:

Pirmiausia reikia rasti lygties šaknis

(9x 2 - 6x + 1) (x - 2) = 0

Sutraukime pirmąjį skliaustą, gauname:

(3x - 1) 2 (x - 2) = 0

x - 2 = 0; (3x - 1) 2 = 0

Išspręsdami šias lygtis gauname:

Nubraižykime taškus skaičių tiesėje:

Nes x 2 ir x 3 yra kelios šaknys, tada tiesėje bus vienas taškas ir virš jo kilpa”.

Paimkite bet kurį skaičių, mažesnį už kairįjį tašką, ir pakeiskite jį pradine nelygybe. Paimkime skaičių -1.

Nepamirškite įtraukti lygties sprendinio (rasta X), nes mūsų nelygybė nėra griežta.

Atsakymas: () U ∪(3)∪ (ženklas neapibrėžtas intervale (−6, 4), nes jis nėra funkcijos srities dalis). Norėdami tai padaryti, paimkite po vieną tašką iš kiekvieno intervalo, pavyzdžiui, 16 , 8 , 6 ir -8 , ir apskaičiuokite juose esančios funkcijos f reikšmę:

Jei turite klausimų apie tai, kaip buvo sužinota, kokios yra apskaičiuotos funkcijos reikšmės, teigiamos ar neigiamos, išstudijuokite straipsnio medžiagą skaičių palyginimas.

Mes dedame ženklus, kuriuos ką tik apibrėžėme, o ant tarpų pritaikome perėjimą su minuso ženklu:

Atsakydami užrašome dviejų tarpų jungtį su ženklu −, turime (−∞, −6]∪(7, 12) . Atkreipkite dėmesį, kad −6 yra įtrauktas į atsakymą (atitinkamas taškas yra vientisas, nepunktuotas ). Faktas yra tas, kad tai ne funkcijos nulis (kurio, spręsdami griežtą nelygybę, neįtrauktume į atsakymą), o apibrėžimo srities ribinis taškas (jis spalvotas, o ne juodas), o įeinant į apibrėžimo sritį.Funkcijos reikšmė šiuo metu yra neigiama (kaip rodo minuso ženklas per atitinkamą intervalą), tai yra, ji tenkina nelygybę.Tačiau 4 nereikia įtraukti į atsakymą (kaip taip pat visas intervalas ∪(7, 12) .

Bibliografija.

1. Algebra: 9 klasė: vadovėlis. bendrajam lavinimui institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; red. S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M. : Švietimas, 2009. - 271 p. : nesveikas. - ISBN 978-5-09-021134-5.
2. Mordkovičius A. G. Algebra. 9 klasė 14 val. 1 dalis. Vadovėlis ugdymo įstaigų studentams / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. – 13 leid., Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01752-3.
3. Algebra ir analizės pradžia: Proc. 10-11 ląstelių. bendrojo išsilavinimo institucijos / A. N. Kolmogorovas, A. M. Abramovas, Yu. P. Dudnicynas ir kt.; Red. A. N. Kolmogorova.- 14 leid.- M.: Švietimas, 2004.- 384 p.: iliustr.- ISBN 5-09-013651-3.
4. Kudrjavcevas L. D. Matematinės analizės kursas (dviejų tomų): Vadovėlis universitetų ir technikos kolegijų studentams. - M .: Aukštesnis. mokykla, 1981, t. 1. - 687 p., iliustr.

Pirmas lygis

intervalo metodas. Išsamus vadovas (2019 m.)

Jums tereikia suprasti šį metodą ir žinoti jį kaip savo penkis pirštus! Jau vien todėl, kad jis naudojamas racionalioms nelygybėms spręsti ir todėl, kad tinkamai žinant šį metodą, šias nelygybes išspręsti stebėtinai paprasta. Kiek vėliau atskleisiu jums porą paslapčių, kaip sutaupyti laiko sprendžiant šias nelygybes. Na, ar jus suintrigavo? Tada eime!

Metodo esmė yra faktorizuoti nelygybę (pakartokite temą) ir nustatyti ODZ bei veiksnių ženklą, dabar aš viską paaiškinsiu. Paimkime paprasčiausią pavyzdį: .

Čia nebūtina rašyti leistinų reikšmių srities (), nes nėra dalijimosi iš kintamojo, o radikalai (šaknys) čia nepastebimi. Viskas čia mums jau padauginta. Tačiau neatsipalaiduokite, tai viskas, kad primintų pagrindus ir suprastumėte esmę!

Tarkime, kad nežinote intervalų metodo, kaip spręstumėte šią nelygybę? Būkite logiški ir remkitės tuo, ką jau žinote. Pirma, kairė pusė bus didesnė už nulį, jei abi skliausteliuose pateiktos išraiškos yra didesnės už nulį arba mažesnės už nulį, nes „Pliusas“ ant „pliuso“ daro „pliusą“, o „minusas“ ant „minuso“ daro „pliusą“, tiesa? Ir jei skliausteliuose esančių posakių ženklai skiriasi, tada galiausiai kairioji pusė bus mažesnė už nulį. Bet ko mums reikia norint išsiaiškinti tas reikšmes, kurių išraiškos skliausteliuose bus neigiamos arba teigiamos?

Reikia išspręsti lygtį, ji lygiai tokia pati kaip nelygybė, tik vietoj ženklo bus ženklas, šios lygties šaknys leis mums nustatyti tas ribines reikšmes, nukrypstant nuo kurių faktoriai ir bus didesni arba mažiau nei nulis.

O dabar patys intervalai. Kas yra intervalas? Tai yra tam tikras skaičių eilutės intervalas, tai yra visi įmanomi skaičiai, esantys tarp kokių nors dviejų skaičių – intervalo galų. Ne taip lengva įsivaizduoti šias spragas savo galvoje, todėl įprasta brėžti intervalus, dabar aš jus išmokysiu.

Nubrėžiame ašį, ant jos yra visa skaičių serija nuo ir iki. Ašyje brėžiami taškai, vadinamieji funkcijos nuliai, reikšmės, kuriose išraiška lygi nuliui. Šie taškai yra „išbraukti“, o tai reiškia, kad jie nėra tarp tų vertybių, kurioms būdinga nelygybė. Tokiu atveju jie yra pradurti. ženklas nelygybėje ir ne, tai yra griežtai didesnis už ir ne didesnis arba lygus.

Noriu pasakyti, kad nebūtina žymėti nulio, čia be apskritimų, bet taip, supratimui ir orientavimuisi išilgai ašies. Gerai, ašis nubrėžta, taškai (tiksliau apskritimai) nustatyti, o kas, kaip tai man padės sprendžiant? - Jūs klausiate. Dabar tiesiog paimkite x reikšmę iš eilės intervalų ir pakeiskite juos į savo nelygybę ir pažiūrėkite, koks ženklas bus daugybos rezultatas.

Trumpai tariant, mes tiesiog paimame pavyzdį, pakeiskite jį čia, paaiškės, o tai reiškia, kad visame intervale (visame intervale) nuo iki, iš kurio mes paėmėme, nelygybė bus teisinga. Kitaip tariant, jei x yra nuo iki, tada nelygybė yra teisinga.

Tą patį darome su intervalu nuo iki, imame arba, pavyzdžiui, pakeičiame, nustatome ženklą, ženklas bus „minusas“. Tą patį darome su paskutiniu, trečiuoju intervalu nuo iki, kur ženklas pasirodys „pliusas“. Išėjo tokia krūva teksto, bet matomumo mažai, tiesa?

Dar kartą pažvelk į nelygybę.

Dabar toje pačioje ašyje taip pat taikome ženklus, kurie bus rezultatas. Nutrūkusi linija, mano pavyzdyje, žymi teigiamas ir neigiamas ašies dalis.

Pažvelkite į nelygybę – į paveikslėlį, vėl į nelygybę – ir vėl į paveikslą ar kas nors aišku? Dabar pabandykite pasakyti, kokiais x intervalais nelygybė bus teisinga. Tiesa, nuo iki nelygybė taip pat bus teisinga nuo iki, o intervale nuo iki nulio nelygybė ir šis intervalas mus mažai domina, nes mes turime ženklą nelygybėje.

Na, kadangi jūs tai supratote, tada jūs turite parašyti atsakymą! Atsakydami rašome tuos intervalus, kurių kairioji pusė yra didesnė už nulį, kuri skaitoma kaip X priklauso intervalui nuo minus begalybės iki minus vieneto ir nuo dviejų iki plius begalybės. Verta paaiškinti, kad skliaustai reiškia, kad reikšmės, kurias riboja intervalas, nėra nelygybės sprendiniai, tai yra, jie neįtraukiami į atsakymą, o tik sako, kad, pavyzdžiui, anksčiau, bet nėra sprendimas.

Dabar pavyzdys, kuriame turėsite nubrėžti ne tik intervalą:

Ką, jūsų nuomone, reikėtų padaryti prieš dedant taškus ant ašies? Taip, atsižvelkite į tai:

Brėžiame intervalus ir dedame ženklus, pastebime taškus, kuriuos pramušėme, nes ženklas griežtai mažesnis už nulį:

Atėjo laikas atskleisti jums vieną paslaptį, kurią pažadėjau šios temos pradžioje! Bet ką daryti, jei aš jums pasakysiu, kad negalite pakeisti kiekvieno intervalo verčių, kad nustatytumėte ženklą, bet galite nustatyti ženklą viename iš intervalų, o kituose - tiesiog kaitaliokite ženklus!

Taip sutaupėme šiek tiek laiko ženklų dėjimui – manau, kad šis egzamine laimėtas laikas nepakenks!

Rašome atsakymą:

Dabar apsvarstykite trupmeninės racionalios nelygybės pavyzdį – nelygybę, kurios abi dalys yra racionalios išraiškos (žr.).

Ką galite pasakyti apie šią nelygybę? Ir jūs žiūrite į tai kaip į trupmeninę racionalią lygtį, ką mes darome pirmiausia? Iš karto matome, kad nėra šaknų, o tai reiškia, kad tai tikrai racionalu, bet tada yra trupmena ir net su nežinomuoju vardiklyje!

Teisingai, ODZ būtinas!

Taigi, eikime toliau, čia visi veiksniai, išskyrus vieną, turi pirmojo laipsnio kintamąjį, tačiau yra veiksnys, kur x turi antrą laipsnį. Paprastai mūsų ženklas pasikeisdavo pravažiavus vieną iš taškų, kuriame kairioji nelygybės pusė įgyja nulinę reikšmę, kuriai mes nustatėme, kas turi būti x kiekviename veiksnyne. Ir čia, todėl tai visada teigiama, nes. bet koks kvadratinis skaičius > nulis ir teigiamas narys.

Kaip manote, kaip tai paveiks nelygybės vertę? Teisingai – nesvarbu! Galime drąsiai padalyti nelygybę į abi dalis ir taip pašalinti šį veiksnį, kad jis nepakenktų mūsų akims.

atėjo laikas braižyti intervalus, tam reikia nustatyti tas ribines reikšmes, nuo kurių nukrypstama daugikliai ir bus didesni ir mažesni už nulį. Bet atkreipkite dėmesį, kad čia ženklas reiškia tašką, kuriame kairioji nelygybės pusė įgauna nulinę reikšmę, mes jos nepertrauksime, nes ji įtraukta į sprendinių skaičių, turime vieną tokį tašką, tai yra taškas kur x lygus vienetui. Ar galime nuspalvinti tašką, kuriame vardiklis yra neigiamas? - Žinoma ne!

Vardiklis neturi būti nulis, todėl intervalas atrodys taip:

Pagal šią schemą jau nesunkiai galite parašyti atsakymą, galiu tik pasakyti, kad dabar jūsų dispozicijoje yra naujo tipo kronšteinas - kvadratas! Čia yra laikiklis [ sako, kad reikšmė yra sprendinio intervale, t.y. yra atsakymo dalis, šis skliaustas atitinka užpildytą (neišmuštą) ašies tašką.

Taigi, ar gavote tą patį atsakymą?

Viską faktorizuojame ir perkeliame į vieną pusę, nes dešinėje tereikia palikti nulį, kad galėtume su juo palyginti:

Atkreipiu jūsų dėmesį į tai, kad paskutinėje transformacijoje, norėdamas patekti į skaitiklį ir vardiklį, abi nelygybės dalis padauginu iš. Atminkite, kad padauginus abi nelygybės puses iš nelygybės ženklas pasikeičia!!!

Rašome ODZ:

Priešingu atveju vardiklis pasisuks į nulį ir, kaip prisimenate, negalite padalyti iš nulio!

Sutikite, susidariusioje nelygybėje kyla pagunda sumažinti skaitiklį ir vardiklį! Jūs negalite to padaryti, galite prarasti kai kuriuos sprendimus arba ODZ!

Dabar pabandykite patys išdėstyti taškus ant ašies. Tik pažymėsiu, kad braižant taškus reikia atkreipti dėmesį į tai, kad taškas su reikšme, kuri pagal ženklą, atrodytų, turėtų būti nubrėžta ant ašies, kaip užpildyta, nebus pildomas. , jis bus išmuštas! Kodėl tavęs klausi? O tu prisimeni ODZ, taip iš nulio nesidalinsi?

Atminkite, kad ODZ yra aukščiau visko! Jei visos nelygybės ir lygybės ženklai sako viena, o ODZ sako kitą, pasitikėkite ODZ, didingu ir galingu! Na, jūs sukūrėte intervalus, aš tikiu, kad pasinaudojote mano patarimu apie kaitaliojimą ir gavote taip (žr. paveikslėlį žemiau) Dabar perbraukite ir daugiau nekartokite šios klaidos! Kokia klaida? - Jūs klausiate.

Faktas yra tas, kad šioje nelygybėje veiksnys buvo pakartotas du kartus (pamenate, kaip jūs vis dar bandėte jį sumažinti?). Taigi, jei koks nors veiksnys nelygybėje kartojasi lyginį skaičių kartų, tada einant per ašies tašką, kuris šį koeficientą paverčia nuliu (šiuo atveju taškas), ženklas nepasikeis, jei nelyginis, tada ženklas keičiasi!

Ši ašis su intervalais ir ženklais bus teisinga:

Ir atkreipkite dėmesį, kad mūsų nedomina ženklas, kuris buvo pradžioje (kai tik pamatėme nelygybę, ženklas buvo), po transformacijų ženklas pasikeitė į, o tai reiškia, kad mus domina tarpai su ženklu .

Atsakymas:

Taip pat pasakysiu, kad yra situacijų, kai yra nelygybės šaknų, kurios nėra įtrauktos į jokią spragą, atsakant jos rašomos garbanotuose skliaustuose, pavyzdžiui, taip:. Daugiau apie tokias situacijas galite paskaityti straipsnyje Vidutinis lygis.

Apibendrinkime, kaip išspręsti nelygybes naudojant intervalų metodą:

1. Viską perkeliame į kairę pusę, dešinėje paliekame tik nulį;
2. Randame ODZ;
3. Ant ašies dedame visas nelygybės šaknis;
4. Iš vieno iš intervalų paimame savavališką ir nustatome ženklą intervale, kuriam priklauso šaknis, kaitaliojame ženklus, atkreipdami dėmesį į šaknis, kurios kelis kartus kartojasi nelygybėje, tai priklauso nuo lyginio ar nelyginio skaičiaus. jų pasikartojimo laikas, nesvarbu, ar ženklas keičiasi važiuojant pro juos, ar ne;
5. Atsakydami rašome intervalus, stebėdami išmuštus ir neišmuštus taškus (žr. ODZ), tarp jų sudėdami reikiamus skliaustų tipus.

Ir galiausiai, mūsų mėgstamiausia skiltis „pasidaryk pats“!

Pavyzdžiai:

Atsakymai:

INTERVALO METODAS. VIDUTINIS LYGIS

Linijinė funkcija

Formos funkcija vadinama tiesine. Paimkime funkciją kaip pavyzdį. Jis yra teigiamas ir neigiamas. Taškas yra funkcijos () nulis. Parodykime šios funkcijos ženklus realioje ašyje:

Mes sakome, kad „funkcija keičia ženklą eidama per tašką“.

Matyti, kad funkcijos ženklai atitinka funkcijos grafiko padėtį: jei grafikas yra virš ašies, ženklas yra “ “, jei žemiau – “ “.

Jei gautą taisyklę apibendrinsime į savavališką tiesinę funkciją, gausime tokį algoritmą:

• Randame funkcijos nulį;
• Pažymime jį ant skaitinės ašies;
• Nustatome funkcijos ženklą priešingose ​​nulio pusėse.

kvadratinė funkcija

Tikiuosi, prisimenate, kaip sprendžiamos kvadratinės nelygybės? Jei ne, skaitykite temą. Leiskite jums priminti bendrą kvadratinės funkcijos formą: .

Dabar prisiminkime, kokių ženklų reikia kvadratinė funkcija. Jos grafikas yra parabolė, o funkcija paima ženklą " " tiems, kuriuose parabolė yra virš ašies, ir " " - jei parabolė yra žemiau ašies:

Jei funkcija turi nulius (reikšmes, kuriose), parabolė kerta ašį dviejuose taškuose - atitinkamos kvadratinės lygties šaknyse. Taigi ašis suskirstyta į tris intervalus, o funkcijos ženklai einant pro kiekvieną šaknį kinta pakaitomis.

Ar įmanoma kažkaip nustatyti ženklus kiekvieną kartą nenubrėžiant parabolės?

Prisiminkite, kad kvadratinį trinarį galima koeficientuoti:

Pavyzdžiui: .

Atkreipkite dėmesį į šaknis ant ašies:

Prisimename, kad funkcijos ženklas gali keistis tik einant per šaknį. Mes naudojame šį faktą: kiekvienam iš trijų intervalų, į kuriuos ašis dalijama šaknimis, funkcijos ženklą pakanka nustatyti tik viename savavališkai pasirinktame taške: kituose intervalo taškuose ženklas bus tas pats.

Mūsų pavyzdyje: abi išraiškos skliausteliuose yra teigiamos (pakeičiame, pavyzdžiui:). Ant ašies dedame ženklą "":

Na, jei (pavyzdžiui, pakaitalas) abu skliaustai yra neigiami, tada produktas yra teigiamas:

Štai kas yra intervalo metodas: žinodami kiekvieno intervalo veiksnių požymius, nustatome viso gaminio ženklą.

Taip pat panagrinėkime atvejus, kai funkcija neturi nulių arba ji yra tik viena.

Jei jų nėra, vadinasi, nėra ir šaknų. Tai reiškia, kad nebus „praėjimo per šaknį“. Tai reiškia, kad funkcija visoje skaičių ašyje užima tik vieną ženklą. Tai lengva nustatyti pakeičiant ją funkcija.

Jei yra tik viena šaknis, parabolė liečia ašį, todėl funkcijos ženklas einant per šaknį nekinta. Kokios taisyklės taikomos tokioms situacijoms?

Jei išskirsime tokią funkciją, gausime du identiškus veiksnius:

Ir bet kokia kvadratinė išraiška yra neneigiama! Todėl funkcijos ženklas nesikeičia. Tokiais atvejais pasirinksime šaknį, per kurią važiuojant ženklas nesikeičia, apjuosdami ją kvadratu:

Tokia šaknis bus vadinama kartotiniu.

Intervalų metodas nelygybėse

Dabar bet kokią kvadratinę nelygybę galima išspręsti nenubrėžiant parabolės. Užtenka tik ant ašies sudėti kvadratinės funkcijos ženklus, o intervalus pasirinkti priklausomai nuo nelygybės ženklo. Pavyzdžiui:

Išmatuojame šaknis ant ašies ir išdėstome ženklus:

Mums reikia ašies dalies su ženklu ""; kadangi nelygybė nėra griežta, į sprendimą įtraukiamos ir pačios šaknys:

Dabar apsvarstykite racionalią nelygybę – nelygybę, kurios abi dalys yra racionalios išraiškos (žr.).

Pavyzdys:

Visi veiksniai, išskyrus vieną - čia yra "linijiniai", tai yra, juose yra tik pirmojo laipsnio kintamasis. Tokių tiesinių faktorių mums reikia intervalo metodo taikymui – ženklas keičiasi eidamas per jų šaknis. Tačiau daugiklis iš viso neturi šaknų. Tai reiškia, kad jis visada yra teigiamas (patikrinkite patys), todėl neturi įtakos visos nelygybės ženklui. Tai reiškia, kad galite padalyti į ją kairę ir dešinę nelygybės puses ir taip jos atsikratyti:

Dabar viskas yra taip pat, kaip ir su kvadratinėmis nelygybėmis: nustatome, kuriuose taškuose išnyksta kiekvienas veiksnys, pažymime šiuos taškus ašyje ir išdėstome ženklus. Atkreipiu jūsų dėmesį į labai svarbų faktą:

Atsakymas:. Pavyzdys: .

Norint taikyti intervalo metodą, būtina, kad vienoje iš nelygybės dalių būtų. Todėl mes perkeliame dešinę pusę į kairę:

Skaitiklis ir vardiklis turi tą patį koeficientą, bet mes neskubame jo mažinti! Galų gale, mes galime pamiršti išryškinti šį tašką. Šią šaknį geriau pažymėti kaip kartotinį, tai yra, einant pro ją, ženklas nepasikeis:

Atsakymas:.

Ir dar vienas labai iliustruojantis pavyzdys:

Vėlgi, mes nesumažiname tų pačių skaitiklio ir vardiklio veiksnių, nes jei sumažinsime, turėsime konkrečiai prisiminti, kad reikia dėti tašką.

• : kartoti kartus;
• : laikai;
• : kartus (skaitiklyje ir vienas vardiklyje).

Lyginio skaičiaus atveju elgiamės taip pat, kaip ir anksčiau: tašką apjuosiame kvadratu, o eidami per šaknį ženklo nekeičiame. Tačiau nelyginio skaičiaus atveju ši taisyklė neįvykdoma: einant per šaknį ženklas vis tiek pasikeis. Todėl su tokia šaknimi papildomai nieko nedarome, tarsi tai nebūtų mūsų kartotinis. Aukščiau pateiktos taisyklės taikomos visoms lyginėms ir nelyginėms galioms.

Ką rašome atsakyme?

Jei pažeidžiamas ženklų kaitaliojimas, turite būti labai atsargūs, nes esant ne griežtai nelygybei, atsakymas turėtų apimti visi užpildyti taškai. Tačiau kai kurie iš jų dažnai stovi atskirai, tai yra, jie nepatenka į šešėlinę zoną. Tokiu atveju pridedame juos prie atsakymo kaip atskirus taškus (garbanotuose skliaustuose):

Pavyzdžiai (spręskite patys):

Atsakymai:

1. Jei tarp veiksnių tai paprasta - tai yra šaknis, nes ją galima pavaizduoti kaip.
   .

INTERVALO METODAS. TRUMPAI APIE PAGRINDINĮ

Racionaliosioms nelygybėms spręsti naudojamas intervalų metodas. Jį sudaro gaminio ženklo nustatymas iš veiksnių ženklų skirtingais intervalais.

Racionaliųjų nelygybių sprendimo intervalų metodu algoritmas.

• Viską perkeliame į kairę pusę, dešinėje paliekame tik nulį;
• Randame ODZ;
• Ant ašies dedame visas nelygybės šaknis;
• Iš vieno iš intervalų paimame savavališką ir nustatome ženklą intervale, kuriam priklauso šaknis, kaitaliojame ženklus, atkreipdami dėmesį į šaknis, kurios kelis kartus kartojasi nelygybėje, tai priklauso nuo lyginio ar nelyginio skaičiaus. jų pasikartojimo laikas, nesvarbu, ar ženklas keičiasi važiuojant pro juos, ar ne;
• Atsakydami rašome intervalus, stebėdami išmuštus ir neišmuštus taškus (žr. ODZ), tarp jų sudėdami reikiamus skliaustų tipus.

Na, tema baigta. Jei skaitote šias eilutes, esate labai šaunus.

Nes tik 5% žmonių sugeba ką nors įvaldyti patys. Ir jei perskaitėte iki galo, tada esate 5%!

Dabar svarbiausia.

Jūs supratote teoriją šia tema. Ir, kartoju, tai... tai tiesiog super! Tu jau esi geresnis už didžiąją daugumą tavo bendraamžių.

Problema ta, kad to gali nepakakti...

Kam?

Už sėkmingą egzamino išlaikymą, įstojimą į institutą už biudžetą ir, SVARBIAUSIA, iki gyvos galvos.

Aš niekuo jūsų neįtikinsiu, pasakysiu tik vieną dalyką ...

Žmonės, gavę gerą išsilavinimą, uždirba daug daugiau nei tie, kurie jo negavo. Tai yra statistika.

Tačiau tai nėra pagrindinis dalykas.

Svarbiausia, kad jie būtų LAIMINGESNI (yra tokių tyrimų). Galbūt todėl, kad prieš juos atsiveria daug daugiau galimybių ir gyvenimas tampa šviesesnis? nezinau...

Bet pagalvok pats...

Ko reikia, kad egzamino metu būtumėte geresni už kitus ir galiausiai būtumėte... laimingesni?

UŽPILDYK RANKĄ, SPRENDŽI ŠIOS TEmos problemas.

Egzamine jums nebus klausiama teorijos.

Jums reikės laiku išspręsti problemas.

Ir, jei jų neišsprendėte (DAUG!), tikrai kur nors padarysite kvailą klaidą arba tiesiog nepadarysite jos laiku.

Tai kaip sporte – reikia daug kartų kartoti, kad laimėtum užtikrintai.

Raskite kolekciją bet kur, kur norite būtinai su sprendimais, detalia analize ir nuspręsk, nuspręsk, nuspręsk!

Galite pasinaudoti mūsų užduotimis (nebūtina) ir mes jas tikrai rekomenduojame.

Kad galėtumėte pasinaudoti mūsų užduotimis, turite padėti pratęsti šiuo metu skaitomo YouClever vadovėlio gyvavimo laiką.

Kaip? Yra dvi parinktys:

1. Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių šiame straipsnyje - 299 rubliai.
2. Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių visuose 99 mokymo programos straipsniuose - 999 rubliai.

Taip, vadovėlyje turime 99 tokius straipsnius ir iš karto galima atidaryti visas užduotis ir visus paslėptus tekstus.

Antruoju atveju mes tau duosime simuliatorius "6000 užduočių su sprendimais ir atsakymais, kiekvienai temai, visiems sudėtingumo lygiams". Tikrai pakanka numoti ranka sprendžiant bet kokios temos problemas.

Tiesą sakant, tai yra daug daugiau nei tik treniruoklis – visa mokymo programa. Jei reikia, galite naudotis ir NEMOKAMAI.

Prieiga prie visų tekstų ir programų suteikiama visą svetainės veikimo laiką.

Apibendrinant...

Jei jums nepatinka mūsų užduotys, susiraskite kitus. Tiesiog nesustokite ties teorija.

„Supratau“ ir „Aš žinau, kaip išspręsti“ yra visiškai skirtingi įgūdžiai. Jums reikia abiejų.

Raskite problemas ir spręskite!