Mokytojo įžanginė kalba:
Šiek tiek istorinio pagrindo: daugelis mokslininkų nuo senų senovės mėgsta spręsti problemas. Daugelio paprastų pjovimo problemų sprendimus rado senovės graikai, kinai, tačiau pirmasis sistemingas traktatas šia tema priklauso Abul-Vef rašikliui. Geometrai pradėjo rimtai spręsti figūrų supjaustymo į mažiausią skaičių ir kitos figūros konstravimo problemą XX amžiaus pradžioje. Vienas iš šios sekcijos įkūrėjų buvo garsus galvosūkių įkūrėjas Henry E. Dudeney.
Šiandien galvosūkių mėgėjai pirmiausia mėgsta spręsti karpines problemas, nes universalaus tokio sprendimo būdo nėra, o kiekvienas, kuris imasi jas spręsti, gali pilnai parodyti savo išradingumą, intuiciją ir gebėjimą kūrybiškai mąstyti. (Pamokoje nurodysime tik vieną iš galimų kirpimo pavyzdžių. Gali būti, kad mokiniai gali gauti kitą teisingą derinį – to nebijokite).
Ši pamoka turėtų vykti kaip praktinė pamoka. Suskirstykite būrelio dalyvius į grupes po 2-3 žmones. Kiekvienai grupei pateikite mokytojo iš anksto paruoštas figūras. Mokiniai turi liniuotę (su skyreliais), pieštuką, žirkles. Leidžiami tik tiesūs pjūviai žirklėmis. Iškirpus vieną figūrą į dalis, iš tų pačių dalių reikia sukurti kitą figūrą.
Pjovimo užduotys:
1). Pabandykite iškirpti paveikslėlyje parodytą figūrą į 3 lygias dalis:
Užuomina: mažos formos labai panašios į raidę T.
2). Dabar supjaustykite šią figūrą į 4 lygias dalis:
Užuomina: nesunku atspėti, kad mažos figūrėlės susideda iš 3 langelių, o iš trijų langelių nėra tiek daug. Yra tik du tipai: kampinis ir stačiakampis.
3). Padalinkite figūrą į dvi identiškas dalis ir iš gautų dalių sulenkite šachmatų lentą.
Užuomina: Užduotį siūlykite pradėti nuo antros dalies, kaip gauti šachmatų lentą. Prisiminkite, kokią formą turi šachmatų lenta (kvadratas). Suskaičiuokite langelių skaičių pagal ilgį, plotį. (Priminkite, kad turi būti 8 langeliai).
4). Pabandykite trimis peilio brūkštelėjimais sūrį supjaustyti į aštuonias vienodas dalis.
Patarimas: pabandykite sūrį supjaustyti išilgai.
Užduotys savarankiškam sprendimui:
1). Iškirpkite popieriaus kvadratą ir atlikite šiuos veiksmus:
· supjaustyti į tokias 4 dalis, iš kurių galima padaryti du vienodus mažesnius kvadratėlius.
supjaustykite į penkias dalis – keturis lygiašonius trikampius ir vieną kvadratą – ir sulenkite taip, kad gautumėte tris kvadratus.
a) Supjaustykite savavališką trikampį į keletą dalių, kad jas būtų galima sulankstyti į stačiakampį.
b) Supjaustykite savavališką stačiakampį į keletą dalių, kad jas būtų galima sulankstyti į kvadratą.
c) Supjaustykite du savavališkus kvadratus į keletą dalių, kad iš jų būtų galima išlenkti vieną didelį kvadratą.
1 patarimas
b) Pirmiausia iš savavališko stačiakampio pastatykite tokį stačiakampį, kurio didžiausios kraštinės ir mažesnės kraštinės santykis neviršija keturių.
c) Naudokite Pitagoro teoremą.
2 patarimas
a) Nubrėžkite aukštį arba vidurio liniją.
b) Ant kvadrato, kurį norite gauti, uždėkite stačiakampį ir nubrėžkite „įstrižainę“.
c) Pritvirtinkite kvadratus vienas prie kito, didesnio kvadrato šone, išmatuokite atkarpą, lygią mažesnio kvadrato ilgiui, tada sujunkite ją su „priešingomis“ kiekvieno kvadrato viršūnėmis (žr. 1 pav.). .
Sprendimas
a) Tegu duotas savavališkas trikampis ABC. Nubrėžkite vidurinę liniją MN lygiagrečiai šonui AB, ir gautame trikampyje CMN sumažinkime aukštį CD. Be to, mes nuleidžiame tiesiai MN statmenai AK Ir BL. Tada nesunku pastebėti, kad ∆ AKM = ∆CDM ir ∆ BLN = ∆CDN kaip stačiakampiai trikampiai, kurių atitinkama kraštinių pora ir kampų pora yra lygūs.
Iš to seka šio trikampio iškirpimo ir dalių pertvarkymo metodas. Būtent išilgai segmentų nubrėžsime pjūvius MN Ir CD. Po to perkelkime trikampius CDM Ir CDN vietoj trikampių AKM Ir BLN atitinkamai, kaip parodyta fig. 2. Gavome stačiakampį AKLB, kaip reikalaujama užduotyje.
Atkreipkite dėmesį, kad šis metodas neveiks, jei vienas iš kampų TAKSI arba CBA- kvailas. Taip yra dėl to, kad šiuo atveju aukštis CD nėra trikampio viduje CMN. Bet tai nėra labai baisu: jei nubrėžsime vidurinę liniją lygiagrečiai ilgiausia pradinio trikampio kraštinei, tada nupjautame trikampyje sumažinsime aukštį nuo buko kampo ir ji tikrai bus trikampio viduje.
b) Tegu duotas stačiakampis ABCD, kurio šonai REKLAMA Ir AB lygus a Ir b atitinkamai ir a > b. Tada kvadrato plotas, kurį norime gauti, turėtų būti lygus ab. Todėl kvadrato kraštinės ilgis yra √ ab, kuris yra mažesnis nei REKLAMA, bet daugiau nei AB.
Pastatykime aikštę APQR, lygus norimam, kad taškas B gulėti ant krašto AP, ir esmė R- segmente REKLAMA. Leisti būti PD kerta segmentus pr. Kr Ir QR taškuose M Ir N atitinkamai. Tada nesunku pastebėti, kad trikampiai PBM, PAD Ir NRD panašus, ir be to BP = (√ab – b) Ir RD = (a – √ab). Reiškia,
Todėl ∆ PBM = ∆NRD iš dviejų pusių ir kampas tarp jų. Taip pat lengva išvesti lygybes PQ = MC Ir NQ = CD, tai reiškia, kad ∆ PQN = ∆MCD taip pat iš dviejų pusių ir kampas tarp jų.
Iš visų aukščiau pateiktų samprotavimų išplaukia pjovimo būdas. Teisingai, pirmiausia atidedame šonuose REKLAMA Ir pr. Kr segmentai AR Ir CM, kurių ilgiai yra √ ab(apie kaip sukurti formos segmentus √ ab, žr. problemą „Įprasti daugiakampiai“ – šoninė juosta skiltyje „Sprendimas“). Tada atkurkite statmeną segmentui REKLAMA taške R. Dabar belieka tik nupjauti trikampius MCD Ir NRD ir išdėstykite juos taip, kaip parodyta pav. 3.
Atkreipkite dėmesį, kad norint naudoti šį metodą, būtina, kad taškas M buvo segmento viduje BK(kitaip ne visas trikampis NRD yra stačiakampyje ABCD). Tai yra, tai būtina
Jei ši sąlyga neįvykdyta, pirmiausia turite padaryti nurodytą stačiakampį platesnį ir trumpesnį. Norėdami tai padaryti, tiesiog perpjaukite jį per pusę ir perkelkite gabalus, kaip parodyta Fig. 4. Aišku, kad po tokios operacijos didesnės pusės ir mažesnės pusės santykis sumažės keturis kartus. Taigi, darydami tai pakankamai daug kartų, galų gale gauname stačiakampį, į kurį pjaunama iš Fig. 3.
c) Apsvarstykite du duotus kvadratus ABCD Ir DPQR, pritvirtindami juos vienas prie kito taip, kad jie susikirstų išilgai šono CD mažesnis kvadratas ir turėjo bendrą viršūnę D. Mes tai manysime PD = a Ir AB = b ir, kaip jau minėjome, a > b. Tada į šoną DR didesnį kvadratą, galime laikyti tokį tašką M, ką PONAS = AB. Pagal Pitagoro teoremą.
Tegul linijos eina per taškus B Ir K lygiagrečios tiesioms linijoms MQ Ir BM atitinkamai susikerta taške N. Tada keturkampis BMQN yra lygiagretainis, o kadangi visos jo kraštinės lygios, tai rombas. Tačiau ∆ BAM = ∆MRQ iš trijų pusių, iš kur seka (atsižvelgiant į tai, kad kampai BAM Ir MRQ tiesios linijos), kad . Šiuo būdu, BMQN- kvadratas. Kadangi jo plotas yra ( a 2 + b 2), tada tai yra būtent toks kvadratas, kurį turime gauti.
Norint pereiti prie pjovimo, belieka pastebėti, kad ∆ BAM = ∆MRQ = ∆BCN = ∆NPQ. Po to tampa akivaizdu, ką reikia padaryti: reikia nupjauti trikampius BAM Ir MRQ ir išdėstykite juos taip, kaip parodyta pav. penkios.
Pokalbis
Išsprendęs pasiūlytas problemas, skaitytojas, tikėtina, susimąstys apie tokį klausimą: kada vieną duotą daugiakampį galima tiesiomis linijomis išpjauti į baigtinį skaičių tokių dalių, kurios sudaro kitą duotąjį daugiakampį? Šiek tiek pagalvojęs jis supras, kad bent jau būtina, kad šių daugiakampių plotai būtų lygūs. Taigi pradinis klausimas virsta tokiu: ar tiesa, kad jei du daugiakampiai turi tą patį plotą, tai vieną iš jų galima supjaustyti į gabalus, kurie sudaro antrąjį (ši dviejų daugiakampių savybė vadinama lygiateisiškumu)? Pasirodo, taip iš tikrųjų yra, ir apie tai byloja Bolyai-Gervin teorema, įrodyta XIX amžiaus 30-aisiais. Tiksliau, jos formuluotė yra tokia.
Bolyai-Gervin teorema. Du daugiakampiai yra lygūs tada ir tik tada, kai yra vienodo dydžio.
Šio nuostabaus rezultato įrodymo idėja yra tokia. Pirma, mes įrodysime ne patį teoremos teiginį, o tai, kad kiekvienas iš dviejų pateiktų vienodo ploto daugiakampių gali būti supjaustytas į gabalus, kurie sudaro to paties ploto kvadratą. Norėdami tai padaryti, pirmiausia padalijame kiekvieną daugiakampį į trikampius (toks skaidinys vadinamas trianguliacija). Ir tada kiekvieną trikampį paverčiame kvadratu (pavyzdžiui, naudodami metodą, aprašytą šios problemos a) ir b) punktuose). Belieka pridėti vieną didelį kvadratą iš daugybės mažų kvadratų - tai galime padaryti punkto c) dėka.
Panašus daugiakampio klausimas yra viena iš garsiųjų Davido Hilberto problemų (trečioji), kurią jis pateikė pranešime 1900 m. II tarptautiniame matematikų kongrese Paryžiuje. Būdinga tai, kad atsakymas į jį pasirodė neigiamas. Jau nagrinėjant du tokius paprasčiausius daugiabriaunius kaip kubas ir taisyklingasis tetraedras rodo, kad nė vieno iš jų negalima supjaustyti į ribotą skaičių dalių, kad kitas būtų sudarytas iš jų. Ir tai neatsitiktinai – tokio pjovimo tiesiog nėra.
Trečiosios Hilberto problemos sprendimą vienas iš jo mokinių Maxas Dehnas gavo dar 1901 m. Denas atrado nekintamą dydį, kuris nepasikeitė pjaustant daugiakampius gabalus ir sulankstydamas juos į naujas formas. Tačiau ši vertė kai kuriems daugiakampiams (ypač kubo ir reguliaraus tetraedro) skiriasi. Pastaroji aplinkybė aiškiai rodo, kad šie daugiakampiai nėra vienodai sudaryti.
1 užduotis: Stačiakampį, kurio kraštinės yra sveikieji skaičiai, galima iškirpti formos figūromis (paveikslo langelio kraštinė lygi vienetui). Įrodykite, kad jį galima supjaustyti į 1 × 5 stačiakampius.
(D.~Karpovas)
Sprendimas:Šio stačiakampio plotas yra tolygiai dalijamas iš nurodytos figūros ploto, tai yra, iš 5. Stačiakampio plotas lygus kraštinių ilgių sandaugai. Kadangi kraštinių ilgiai yra sveikieji skaičiai, o 5 yra pirminis skaičius, vienos iš kraštinių ilgis turi dalytis iš 5. Šią ir priešingą pusę padaliname į 5 ilgio segmentus, o kitas dvi puses į 1 ilgio segmentus, po kurių atitinkamus taškus iš priešingų pusių sujungiame tiesiomis linijomis. 2 užduotis: Išspręskite lygčių sistemą realiaisiais skaičiais(A.~Chrabrovas)
Sprendimas: Atsakymas: sistema turi unikalų sprendimą: a = b = c = d = 0. Sudėjus dvi sistemos lygtis, gauname lygtį 8a² + 9b² + 7c² + 4d² = 16ab + 8cd Iš nelygybių 2ab ≤ a² + b² ir 2cd ≤ c² + d², iš to išplaukia, kad šios lygties dešinioji pusė nėra didesnė už kairiąją, o lygybė gali būti pasiekta tik tada, kai b = 0, c = 0, a = b ir c = d. Taigi vienintelis galimas šios sistemos sprendimas yra a = b = c = d = 0.Antrasis variantas išspręstas panašiai.
3 užduotis: Rombo ABCD kraštinėse AB ir BC atitinkamai paimti taškai E ir F, kad CF/BF = BE/AE = 1994 . Paaiškėjo, kad DE = DF. Raskite kampo EDF reikšmę.
Iš uždavinio sąlygų (abiejuose variantuose) išplaukia, kad BE = CF. Kraštinėje AB pastatykime atkarpą AK, lygią BE. Trikampiai ADK ir CDF yra lygūs dviem kraštinėmis ir kampais (AD = CD, AK = CF, ∠ DAK = ∠ DCF). Vadinasi, DK = DF = DE, tai yra, trikampis DKE yra lygiašonis. Visų pirma, kampai DKE ir DEK yra lygūs jo pagrindu. Todėl trikampiai ADK ir BDE yra kongruentiški (iš dviejų kraštinių ir kampas: AK = BE, DK = DE, ∠DKA = ∠DEB). Taigi AD\u003d BD, tai yra, trikampis ABD yra lygiakraštis. Todėl ∠ BLOGAS = 60, ∠ ABC = 120.
(A.~Chrabrovas)
Sprendimas: Leiskite komandai A įveikti komandą B rungtynėse pagal šias taisykles (galbūt užsitikrinkite pergalę anksčiau laiko). Tai reiškia, kad esant bet kokiai įmanomai likusių (nepanaudotų) baudų baigčiai, komanda A būtų surinkusi didesnį rezultatą nei komanda B. Įsivaizduokime, kad komandos ir toliau taikė baudas pasibaigus rungtynėms ir atliko visas likusias baudas. A komanda daugiau įvarčių neįmušė, o B komanda daugiau nepraleido. Tuo pačiu metu A įmuštų įvarčių bendras skaičius vis tiek išliks didesnis nei įmuštų B (būtent tai reiškia žodžiai „ankstyva pergalė“). Kiek daugiau gali būti? Tik 1 ar 2. Išties, jei skirtumas būtų didesnis nei du, tai A komandos pergalė būtų tapusi neišvengiama dar anksčiau, prieš pramušant paskutinę baudinių porą.Be to, pastebime, kad mūsų svarstomų rungtynių tęsinyje į vartus pataikė lygiai pusė visų smūgių. Taigi iš visų 129 smūgių porų į vartus pataikė lygiai pusė, tai yra lygiai 129. Šie 129 įvarčiai padalijami tarp A ir B, kad A turėtų dar 1 arba 2 įvarčius. Tai vienareikšmiškai lemia A komandos įmuštų įvarčių skaičių – 65.
5 užduotis: Išspręskite lygtį natūraliaisiais skaičiais:(D.~Karpovas)
Sprendimas:Ši lygtis turi unikalų sprendimą: x = 2, y = 1, z = 2 (abiem atvejais). Tai, kad tai yra sprendimas, išplaukia iš bendros tapatybės a² + (2a + 1) = (a + 1)²\, pirmoje versijoje pritaikytos a = 105, o antroje - a = 201.Kitų sprendinių nėra, nes jei z > 2, tai dešinė lygties pusė dalijasi iš 8, o kairė ne, nes 105 x gali duoti tik likutį 1 padalijus iš 8, o 211 y gali duoti tik liekanos 1 ir 3. Belieka pastebėti, kad z = 1 taip pat nėra sprendinių, o z = 2 reikšmės y = 1 ir x = 2 yra vienareikšmiškai nustatytos.
Matematikos dėstytojų ir įvairių pasirenkamųjų dalykų bei būrelių mokytojų dėmesiui siūloma pramoginių ir lavinančių geometrinio pjovimo uždavinių rinkinys. Mokytojas savo pamokose naudoja tokias užduotis – ne tik sudominti mokinį įdomiais ir efektyviais ląstelių ir formų deriniais, bet ir suformuoti jame linijų, kampų ir formų pojūtį. Užduočių rinkinys daugiausia skirtas 4-6 klasių vaikams, nors jį galima panaudoti net su gimnazistais. Pratimai reikalauja, kad mokiniai turėtų didelę ir pastovią dėmesio koncentraciją ir puikiai tinka lavinti bei lavinti regimąją atmintį. Rekomenduojama matematikos dėstytojams, ruošiantiems mokinius stojamiesiems egzaminams į matematikos mokyklas ir klases, kurios kelia ypatingus reikalavimus savarankiško vaiko mąstymo ir kūrybiškumo lygiui. Užduočių lygis atitinka įvadinių olimpiadų lygį licėjuje „antrojoje mokykloje“ (antrojoje matematikos mokykloje), Maskvos valstybinio universiteto mažajame Mekhmate, Kurchatovo mokykloje ir kt.
Matematikos mokytojo pastaba:
Kai kuriuose problemų sprendimuose, kuriuos galite peržiūrėti spustelėję atitinkamą žymeklį, nurodomas tik vienas iš galimų pjovimo pavyzdžių. Aš visiškai pripažįstu, kad galite gauti kitą teisingą derinį - nebijokite to. Atidžiai patikrinkite pelės tirpalą ir, jei jis tenkina sąlygą, drąsiai imkitės kitos užduoties.
1) Pabandykite iškirpti paveikslėlyje parodytą figūrą į 3 lygias dalis:
: Mažos figūrėlės labai panašios į raidę T
2) Dabar supjaustykite šią figūrą į 4 lygias dalis:
Matematikos mokytojo užuomina: Nesunku atspėti, kad mažos figūrėlės susideda iš 3 langelių, o iš trijų langelių nėra tiek daug. Jų yra tik dviejų tipų: kampinis ir 1 × 3 stačiakampis.
3) Supjaustykite šią figūrą į 5 lygias dalis:
Raskite langelių, iš kurių susideda kiekviena tokia figūra, skaičių. Šios figūrėlės atrodo kaip raidė G.
4) Ir dabar jums reikia iškirpti dešimties langelių skaičių į 4 nelygios stačiakampis (arba kvadratas) vienas kitam.
Matematikos kuratoriaus nurodymas: pasirinkite stačiakampį ir likusiuose langeliuose pabandykite įvesti dar tris. Jei tai neveikia, pakeiskite pirmąjį stačiakampį ir bandykite dar kartą.
5) Užduotis tampa sudėtingesnė: reikia iškirpti figūrą į 4 skirtingos formos figūros (nebūtinai į stačiakampius).
Matematikos mokytojo užuomina: pirmiausia atskirai nupieškite visų rūšių skirtingų formų figūras (jų bus daugiau nei keturios) ir pakartokite variantų surašymo metodą, kaip ir ankstesnėje užduotyje.
:
6) Iškirpkite šią figūrą į 5 figūrėles iš keturių skirtingų formų langelių, kad kiekvienoje iš jų būtų užpildyta tik viena žalia langelis.
Matematikos mokytojo patarimas: Pabandykite pradėti kirpti nuo šios formos viršutinio krašto ir iškart suprasite, kaip elgtis toliau.
:
7) Remiantis ankstesne problema. Raskite, kiek yra įvairių formų figūrų, susidedančių iš lygiai keturių langelių? Figūros gali būti sukamos, pasukamos, tačiau neįmanoma pakelti sostolės (nuo jos paviršiaus), ant kurios guli. Tai reiškia, kad dvi pateiktos figūros nebus laikomos lygiomis, nes jų negalima gauti viena nuo kitos sukant.
Matematikos mokytojo patarimas: Išstudijuokite ankstesnės problemos sprendimą ir pabandykite įsivaizduoti skirtingas šių figūrų padėtis sukant. Nesunku atspėti, kad atsakymas mūsų uždavinyje bus skaičius 5 ar daugiau. (Tiesą sakant, net daugiau nei šeši). Iš viso yra 7 aprašytų figūrų tipai.
8) Iškirpkite kvadratą iš 16 langelių į 4 lygias dalis, kad kiekvienoje iš keturių dalių būtų lygiai po vieną žalią langelį.
Matematikos mokytojo užuomina: Mažų figūrėlių išvaizda nėra kvadratas ar stačiakampis ir net ne keturių langelių kampas. Taigi, kokias formas turėtume pabandyti iškirpti?
9) Pavaizduotą figūrą supjaustykite į dvi dalis, kad iš gautų dalių būtų galima sulankstyti kvadratą.
Matematikos mokytojo užuomina: Iš viso paveiksle yra 16 langelių, tai reiškia, kad kvadratas bus 4 × 4 dydžio. Ir kažkaip reikia užpildyti langą viduryje. Kaip tai padaryti? Gal kokia pamaina? Tada, kadangi stačiakampio ilgis yra lygus nelyginiam langelių skaičiui, pjaustymas turėtų būti atliekamas ne vertikaliai, o išilgai laužtos linijos. Taip, kad viršutinė dalis būtų nupjauta vienoje pusėje nuo vidurinių langelių, o apatinė - iš kitos.
10) Iškirpkite 4×9 stačiakampį į dvi dalis, kad iš jų galėtumėte pridėti kvadratą.
Matematikos mokytojo užuomina: stačiakampyje yra 36 langeliai. Todėl kvadratas bus 6 × 6 dydžio. Kadangi ilgoji pusė susideda iš devynių langelių, tris iš jų reikia nupjauti. Kaip vyks šis pjūvis?
11) Paveikslėlyje parodytą penkių langelių kryželį reikia perpjauti (galite iškirpti pačias ląsteles) į tokias dalis, iš kurių būtų galima sulenkti kvadratą.
Matematikos mokytojo užuomina: Aišku, kad ir kaip pjaustysime išilgai langelių linijų, kvadrato negausime, nes langelių yra tik 5. Tai vienintelė užduotis, kurioje leidžiama iškirpti ne ląstelėse. Tačiau būtų gerai juos palikti kaip gaires. Pavyzdžiui, verta paminėti, kad mums kažkaip reikia pašalinti įdubas, kurias turime – būtent vidiniuose kryžiaus kampuose. Kaip tai padarytum? Pavyzdžiui, nupjauti kai kuriuos išsikišusius trikampius nuo išorinių kryžiaus kampų...
