BANGŲ TRUKDŽIAI
Fenomenas trukdžių susideda iš tokios dviejų (ar daugiau) bangų superpozicijos, kuri veda į stacionarų (nuo laiko nepriklausomą) terpės dalelių virpesių stiprėjimą kai kuriose vietose ir susilpnėjimą (arba visišką išnykimą) kitose erdvės vietose. Jeigu kurioje nors elastingoje terpėje sklinda dvi bangos, tai kiekviena terpės dalelė, per
kurias praeina abi bangos, vienu metu dalyvaus dviejuose nepriklausomuose kiekvienos bangos sukeltuose svyruojančiuose judesiuose. Gautas dalelės judėjimas priklauso nuo virpesių komponentų dažnių, amplitudių ir pradinių fazių. Tačiau jei sklindančių bangų dažniai yra vienodi ir jei tam tikrame erdvės taške jos priverčia dalelę svyruoti išilgai tos pačios tiesės, tada svyravimai arba sustiprėja, arba susilpnėja (užgesta), priklausomai nuo fazių skirtumo. svyravimų komponentų.
Erdvėje visada bus taškų, kuriuose bus įeinančių virpesių fazių skirtumas 2kπ(kur k yra sveikasis skaičius). Vadinasi, šiuose taškuose bus stabilus (nuolat besitęsiantis visą laiką) terpės dalelių svyravimų stiprinimas. Taip pat yra taškų, kuriuose įeinančių virpesių fazių skirtumas bus lygus (2k+1)π. Tokiuose erdvės taškuose bus stebimas nuolatinis terpės dalelių svyravimų silpnėjimas. Dėl to erdvės sritis, kurioje bangos yra viena ant kitos, bus sekcijų su sustiprintais terpės dalelių svyravimais ir sekcijų, kuriose dalelių svyravimai susilpnėja arba dalelės visai nesvyruoja. .
Akivaizdu, kad trukdžių modelis atsiranda tik tada, kai dedamos tokios bangos, kurių dažnis yra vienodas, fazių skirtumas yra pastovus kiekviename erdvės taške ir sukuria svyravimus išilgai vienos tiesės kiekviename erdvės taške. Bangos, kurios tenkina šias tris sąlygas (ir jas sukuriantys šaltiniai), vadinamos nuoseklus.
Paprasčiausias trukdžių atvejis pastebimas, kai keliauja ir atsispindinčios bangos yra uždengtos. Šios bangos yra koherentinės (joms tenkinamos visos trys koherentiškumo sąlygos). Tokių bangų superpozicija lemia vadinamųjų formavimąsi stovinti banga.
Poslinkis stovinčioje bangoje. Užrašykime dviejų vienodo dažnio ir amplitudės plokštumos bangų, sklindančių priešingomis kryptimis, lygtis:
Bendras vidutinės dalelės poslinkis su koordinate X yra lygi poslinkių ξ 1 ir ξ 2 sumai
arba (po trigonometrinių transformacijų):
Tai yra stovinčios bangos lygtis. Tai rodo, kad dėl tiesioginių ir atgalinių bangų superpozicijos terpės taškai svyruoja taip, kad visi jie vienu metu pereina pusiausvyros padėtį (sin ω t = 0) ir visi jie vienu metu pasiekia didžiausius nuokrypius (sin ω t= ± 1).
Galima sakyti, kad dalelės stovinčioje bangoje svyruoja vienoje fazėje. Tačiau dėl to, kad faktorius turi algebrinį ženklą, dalelės iš tikrųjų
svyruoti arba vienoje fazėje, jei ji turi tą patį ženklą jiems, arba antifazėje, jei ji turi skirtingus ženklus.
Kad būtų paaiškinta, kas pasakyta, 4 paveiksle parodytas terpės dalelių poslinkio pasiskirstymas įvairiais laiko momentais iš eilės. Laiko momentais t1 Ir t5 dalelės turi didžiausius nuokrypius (jei turime omenyje skersinę bangą virvelėje, tai grafikai nusako tikrąją dalelių padėtį erdvėje), o jų greičiai lygūs nuliui. Šiuo metu t3 dalelės praeina pusiausvyros padėtį; jų greitis didžiausias. Akimirkoms t2 Ir t4 parodyti poslinkių pasiskirstymai tarp didžiausio ir nulinio poslinkio. Grafike su koordinatėmis parenkami trys taškai x 1, x 2, x 3. Kiekvienam laiko momentui rodyklės rodo šių taškų greitį. Iš grafiko matyti, kad taškai x 1 Ir x 2 svyruoti priešfazėje, o taškai x 1 Ir x 3- vienoje fazėje. Virpesių diapazonas skirtinguose taškuose yra skirtingas. Taip, taškas 4 svyruoja diapazone bet, b. Dalelių svyravimų amplitudė stovinčioje bangoje priklauso nuo jų koordinačių, bet nepriklauso nuo laiko:
Čia nustatomas modulio ženklas, nes amplitudė yra grynai teigiama reikšmė. Stovinčioje bangoje yra taškų, kurie visą laiką lieka nejudantys. Tokie būdingi taškai vadinami mazgai kompensuoti. Jų padėtis nustatoma pagal būklę
Ši lygtis yra patenkinta argumento reikšmėms
kur k= 0, 1, 2, ... . Iš čia
Stovinčios bangos grafikas, parodytas 6 paveiksle, yra sąlyginis: parodo ribas, kuriose svyruoja įvairūs terpės, kurioje susiformavo stovinčioji banga, taškai. Šiame grafike aiškiai matomi poslinkio mazgai ir antimazgai.
Jeigu terpėje vienu metu sklinda kelios bangos, tai terpės dalelių svyravimai pasirodo kaip geometrinė svyravimų suma, kurią dalelės padarytų sklindant kiekvienai iš bangų atskirai. Šis empirinis teiginys vadinamas bangų superpozicijos (superpozicijos) principas.
Tuo atveju, kai atskirų bangų sukeliami virpesiai kiekviename terpės taške turi pastovų fazių skirtumą, bangos vadinamos nuoseklus. Pridedant koherentines bangas, atsiranda trukdžių reiškinys, kuris susideda iš to, kad kai kuriuose taškuose svyravimai sustiprėja, o kituose - susilpnina vienas kitą. Labai svarbus trukdžių atvejis pastebimas, kai dedamos dvi tos pačios amplitudės priešingai sklindančios plokštumos bangos. Atsiradęs virpesių procesas vadinamas stovinti banga.
stovinti banga- tai banga, kuri susidaro superpozicijoje dviem vienodos amplitudės ir dažnio bangoms, kai bangos juda viena kitos link.
Praktiškai stovinčios bangos kyla, kai bangos atsispindi nuo kliūčių. Ant kliūties krintanti banga ir jos link einanti atsispindėjusi banga, uždengta viena ant kitos, suteikia stovinčią bangą.
Parašykime dviejų plokštuminių bangų, sklindančių palei ašį, lygtis x priešingomis kryptimis:
Sudėjus šias lygtis ir pavertus rezultatą pagal kosinusų sumos formulę, gauname:
Norėdami supaprastinti šią lygtį, pasirenkame kilmę x kad skirtumas būtų lygus nuliui, o atskaitos taškas t– kad suma būtų lygi nuliui.Tada
- stovinčios bangos lygtis.
Bangos numerio pakeitimas į jo reikšmę gauname stovinčios bangos lygtį, patogią stovinčios bangos dalelių virpesių analizei:
.
Iš šios lygties matyti, kad kiekviename stovinčios bangos taške vyksta tokio pat dažnio virpesiai kaip ir priešingai sklindančiose bangose, o virpesių amplitudė priklauso nuo x:
.
Taškuose, kurių koordinatės tenkina sąlygą
,
virpesių amplitudė pasiekia didžiausią reikšmę. Šie taškai vadinami antinodai stovinti banga. Antinodo koordinatės yra šios:
.
Taškuose, kurių koordinatės atitinka sąlygą:
,
svyravimų amplitudė išnyksta. Šie taškai vadinami mazgai stovinti banga. Mazguose esantys terpės taškai nesvyruoja. Svarbios mazgo koordinatės:
.
Iš šių formulių išplaukia, kad atstumas tarp gretimų antimazgų, taip pat atstumas tarp gretimų mazgų yra lygus . Antimazgai ir mazgai pasislenka vienas kito atžvilgiu ketvirtadaliu bangos ilgio.
 |
Paveiksle parodytas taškų nukrypimų nuo pusiausvyros padėties tam tikru momentu grafikas t(vientisa kreivė) ir taško nuokrypių brėžinys tam tikru momentu (punktyrinė kreivė). Kaip matyti iš paveikslo, taškai, esantys priešingose mazgo pusėse, svyruoja priešfazėje. Visi taškai, esantys tarp dviejų gretimų mazgų, svyruoja fazėje (ty toje pačioje fazėje).
Stovinti banga neneša energijos. Du kartus per laikotarpį stovinčios bangos energija arba visiškai paverčiama potencialia, daugiausia sutelkta šalia bangos mazgų, po to visiškai į kinetinę, daugiausia sukoncentruota šalia bangos antimazgų. Dėl to energija perduodama iš kiekvieno mazgo į gretimus antimazgus ir atvirkščiai. Laiko vidurkis energijos srautas bet kurioje bangos atkarpoje lygus nuliui.
Labai svarbus trukdžių atvejis pastebimas, kai dedamos vienodos amplitudės plokštumos bangos. Atsiradęs virpesių procesas vadinamas stovinti banga.
Praktiškai stovinčios bangos kyla, kai bangos atsispindi nuo kliūčių. Ant kliūties krintanti banga ir jos link einanti atsispindėjusi banga, uždengta viena ant kitos, suteikia stovinčią bangą.
Apsvarstykite dviejų vienodos amplitudės sinusoidinių plokštuminių bangų, sklindančių priešingomis kryptimis, trukdžių rezultatą.
Dėl samprotavimų paprastumo darome prielaidą, kad abi bangos sukelia svyravimus toje pačioje fazėje pradžioje.
Šių virpesių lygtys yra tokios formos:
Sudėjus abi lygtis ir transformavus rezultatą pagal sinusų sumos formulę, gauname:
- stovinčios bangos lygtis.
Palyginus šią lygtį su harmoninių svyravimų lygtimi, matome, kad gaunamų virpesių amplitudė yra lygi:
Nuo , ir tada .
Terpės taškuose, kur , nėra svyravimų, t.y. . Šie taškai vadinami stovinčios bangos mazgai.
Taškuose, kur Virpesių amplitudė turi didžiausią vertę, lygi . Šie taškai vadinami stovinčios bangos antinodai. Antinodo koordinatės randamos iš sąlygos , nes , tada.
Iš čia:
Panašiai mazgų koordinatės randamos iš sąlygos:
Kur:
Iš mazgų ir antimazgų koordinačių formulių matyti, kad atstumas tarp gretimų antimazgų, taip pat atstumas tarp gretimų mazgų yra lygus . Antimazgai ir mazgai pasislenka vienas kito atžvilgiu ketvirtadaliu bangos ilgio.
Palyginkime stovinčios ir keliaujančios bangos virpesių pobūdį. Keliaujančioje bangoje kiekvienas taškas svyruoja, kurio amplitudė nesiskiria nuo kitų taškų amplitudės. Tačiau įvairių taškų svyravimai atsiranda su skirtingos fazės.
Stovinčioje bangoje visos terpės dalelės, esančios tarp dviejų gretimų mazgų, svyruoja toje pačioje fazėje, bet skirtingomis amplitudėmis. Einant per mazgą, svyravimų fazė staigiai pasikeičia į , nes ženklas pasikeičia.
Grafiškai stovinčią bangą galima pavaizduoti taip:
Tuo metu, kai , visi terpės taškai turi didžiausius poslinkius, kurių kryptį lemia ženklas . Šie poslinkiai paveiksle parodyti vientisomis rodyklėmis.
Po ketvirčio laikotarpio, kai , visų taškų poslinkiai yra lygūs nuliui. Dalelės praeina per liniją skirtingu greičiu.
Praėjus dar ketvirčiui laikotarpio, kai , dalelės vėl turės didžiausią poslinkį, bet priešinga kryptimi (brūkšninės rodyklės).
Apibūdinant svyravimo procesus tampriose sistemose, svyruojančia reikšme galima laikyti ne tik poslinkį, bet ir dalelių greitį, taip pat santykinės terpės deformacijos dydį.
Norėdami rasti stovinčios bangos greičio kitimo dėsnį, diferencijuojame pagal stovinčios bangos poslinkio lygtį, o norėdami rasti deformacijos kitimo dėsnį – pagal stovinčios bangos lygtį.
Analizuodami šias lygtis matome, kad greičio mazgai ir antimazgai sutampa su poslinkio mazgais ir antimazgais; deformacijos mazgai ir antimazgai atitinkamai sutampa su greičio ir poslinkio antimazgais ir mazgais.
stygų vibracijos
Abiejuose galuose ištemptoje stygoje, sužadinus skersinius virpesius, susidaro stovinčios bangos, o stygos tvirtinimo vietose turi būti mazgai. Todėl eilutėje sužadinami tik tokie svyravimai, kurių pusė ilgio telpa ant eilutės ilgio sveikuoju skaičiumi kartų.
Iš to išplaukia sąlyga:
kur yra stygos ilgis.
Arba kitaip. Šie bangos ilgiai atitinka dažnius, kur yra bangos fazinis greitis. Jos vertę lemia stygos įtempimo jėga ir jos masė.
At yra pagrindinis dažnis.
At - natūralūs stygos virpesių dažniai arba obertonai.
Doplerio efektas
Panagrinėkime paprasčiausius atvejus, kai bangų šaltinis ir stebėtojas terpės atžvilgiu juda viena tiesia linija:
1. Garso šaltinis juda terpės atžvilgiu greičiu , garso imtuvas yra ramybės būsenoje.
Šiuo atveju svyravimo periodu garso banga nutols nuo šaltinio per atstumą, o pats šaltinis – atstumu, lygiu .
Jei šaltinis pašalinamas iš imtuvo, t.y. judėti bangos sklidimo krypčiai priešinga kryptimi, tada bangos ilgis .
Jeigu garso šaltinis priartinamas prie imtuvo, t.y. judėti bangos sklidimo kryptimi, tada .
Imtuvo suvokiamas garso dažnis yra:
Abiem atvejais vietoj jų verčių pakeiskite:
Atsižvelgiant į tai, kad kur yra šaltinio virpesių dažnis, lygybė įgauna formą:
Šios trupmenos skaitiklį ir vardiklį padalykite iš , tada:
2. Garso šaltinis nejuda, o imtuvas terpės atžvilgiu juda dideliu greičiu.
Šiuo atveju bangos ilgis terpėje nesikeičia ir vis tiek yra lygus . Tuo pačiu metu dvi iš eilės amplitudės, kurios skiriasi vienu svyravimų periodu, pasiekusios judantį imtuvą, bangos susitikimo su imtuvu momentais skirsis laike laiko intervalui, kurio reikšmė yra didesnis ar mažesnis, priklausomai nuo to, ar imtuvas tolsta, ar artėja prie šaltinio garso. Tuo metu garsas sklinda per atstumą, o imtuvas judės per atstumą. Šių dydžių suma suteikia mums bangos ilgį:
Imtuvo suvokiamas svyravimų periodas yra susijęs su šių svyravimų dažniu santykiu:
Vietoj jo išraiškos pakeitę lygybę (1), gauname:
Nes , kur yra šaltinio virpesių dažnis ir , tada:
3. Garso šaltinis ir imtuvas juda terpės atžvilgiu. Sujungę rezultatus, gautus dviem ankstesniais atvejais, gauname:
garso bangos
Jei ore sklindančių elastinių bangų dažnis svyruoja nuo 20 iki 20 000 Hz, tai pasiekusios žmogaus ausį sukelia garso pojūtį. Todėl bangos, esančios šiame dažnių diapazone, vadinamos garso bangomis. Vadinamos elastingos bangos, kurių dažnis mažesnis nei 20 Hz infragarsas . Vadinamos bangos, kurių dažnis didesnis nei 20 000 Hz ultragarsu. Ultragarso ir infragarso žmogaus ausis negirdi.
Garso pojūčiams būdingas aukštis, tembras ir garsumas. Garso aukštis nustatomas pagal virpesių dažnį. Tačiau garso šaltinis skleidžia ne vieną, o visą dažnių spektrą. Tam tikrame garse esančių virpesių dažnių rinkinys vadinamas jo akustinis spektras. Vibracijos energija paskirstoma tarp visų akustinio spektro dažnių. Garso aukštis nustatomas pagal vieną – pagrindinį dažnį, jei šis dažnis sudaro žymiai didesnį energijos kiekį nei kitų dažnių dalis.
Jei spektras susideda iš dažnių rinkinio, kurie yra dažnių diapazone nuo iki , tada toks spektras vadinamas tęstinis(pavyzdys – triukšmas).
Jei spektras susideda iš diskrečiųjų dažnių virpesių rinkinio, tai toks spektras vadinamas valdė(pavyzdys – muzikos garsai).
Garso akustinis spektras, priklausomai nuo jo pobūdžio ir energijos pasiskirstymo tarp dažnių, lemia garso pojūčio originalumą, vadinamą garso tembru. Skirtingi muzikos instrumentai turi skirtingą akustinį spektrą, t.y. skiriasi tonu.
Garso intensyvumas apibūdinamas įvairiais dydžiais: terpės dalelių svyravimais, jų greičiais, slėgio jėgomis, įtempiais jose ir kt.
Jis apibūdina kiekvieno iš šių dydžių virpesių amplitudę. Tačiau kadangi šie dydžiai yra tarpusavyje susiję, patartina įvesti vieną energijos charakteristiką. Tokia charakteristika bet kokio tipo bangoms buvo pasiūlyta 1877 m. ANT. Umov.
Mintimis iškirpkime platformą iš keliaujančios bangos priekio. Laikui bėgant ši sritis pasislinks atstumu, kur yra bangos greitis.
Žymima svyruojančios terpės tūrio vieneto energija. Tada viso tūrio energija bus lygi .
Šią energiją laikui bėgant perdavė zonoje sklindanti banga.
Padalinę šią išraišką iš ir , gauname energiją, kurią banga perduoda per ploto vienetą per laiko vienetą. Ši reikšmė žymima raide ir vadinama Umov vektorius
Garso laukui Umov vektorius vadinama garso galia.
Garso galia yra fizinė garso intensyvumo charakteristika. Vertiname subjektyviai, kaip apimtis garsas. Žmogaus ausis suvokia garsus, kurių stiprumas viršija tam tikrą minimalią reikšmę, kuri skirtingiems dažniams skiriasi. Ši vertė vadinama klausos slenkstis garsas. Hz dydžio vidutiniams dažniams klausos slenkstis yra maždaug .
Esant labai dideliam užsakymo garso stiprumui, garsas, išskyrus ausį, yra suvokiamas lytėjimo organais ir sukelia skausmą ausyse.
Intensyvumo vertė, kuriai esant tai įvyksta, vadinama skausmo slenkstis. Skausmo slenkstis, kaip ir klausos slenkstis, priklauso nuo dažnio.
Žmogus turi gana sudėtingą garsų suvokimo aparatą. Garso virpesiai surenkami ausies kakleliu ir per klausos kanalą veikia ausies būgnelį. Jo vibracijos perduodamos į nedidelę ertmę, vadinamą sraigė. Sraigės viduje yra daug skaidulų, turinčių skirtingą ilgį ir įtampą, taigi ir skirtingus natūralių vibracijų dažnius. Kai taikomas garsas, kiekvienas iš pluoštų rezonuoja į toną, kurio dažnis sutampa su natūraliu pluošto dažniu. Klausos aparato rezonansinių dažnių rinkinys lemia mūsų suvokiamų garso virpesių sritį.
Garsas, subjektyviai vertinamas mūsų ausies, didėja daug lėčiau nei garso bangų intensyvumas. Nors intensyvumas didėja eksponentiškai, tūris didėja eksponentiškai. Tuo remiantis, garsumo lygis apibrėžiamas kaip tam tikro garso intensyvumo santykio su garsu, kuris laikomas originaliu, santykio logaritmas.
Garsumo lygio vienetas vadinamas baltas. Taip pat naudojami mažesni vienetai - decibelų(10 kartų mažiau nei balta).
kur yra garso sugerties koeficientas.
Garso sugerties koeficiento reikšmė didėja proporcingai garso dažnio kvadratui, todėl žemi garsai sklinda toliau nei aukšti.
Didelių patalpų architektūrinėje akustikoje svarbus vaidmuo tenka atgarsis arba patalpų garsumo. Garsai, patiriantys daugybę atspindžių nuo gaubiančių paviršių, klausytojo suvokiami gana ilgą laiką. Tai padidina mus pasiekiančio garso stiprumą, tačiau jei aidėjimas yra per ilgas, atskiri garsai persidengia vienas su kitu ir kalba nebesuvokiama artikuliuotai. Todėl salių sienos yra padengtos specialiomis garsą sugeriančiomis medžiagomis, mažinančiomis aidėjimą.
Garso virpesių šaltiniu gali pasitarnauti bet koks vibruojantis kūnas: varpo nendrė, kamertonas, smuiko styga, oro stulpelis pučiamuosiuose instrumentuose ir kt. tie patys kūnai taip pat gali būti garso imtuvai, kai juos pajudina aplinkos virpesiai.
Ultragarsas
Norint gauti kryptį, t.y. arti plokščios, emiterio bangos matmenys turi būti daug kartų didesni už bangos ilgį. Garso bangos ore yra iki 15 m ilgio, skystuose ir kietuose kūnuose bangos ilgis dar ilgesnis. Todėl praktiškai neįmanoma pastatyti emiterio, kuris sukurtų tokio ilgio nukreiptą bangą.
Ultragarso virpesių dažnis viršija 20 000 Hz, todėl jų bangos ilgis yra labai mažas. Mažėjant bangos ilgiui, mažėja ir difrakcijos vaidmuo bangos sklidimo procese. Todėl ultragarso bangas galima gauti nukreiptų spindulių pavidalu, panašiai kaip šviesos spinduliai.
Ultragarso bangoms sužadinti naudojami du reiškiniai: atvirkštinis pjezoelektrinis efektas Ir magnetostrikcija.
Atvirkštinis pjezoelektrinis efektas yra tai, kad kai kurių kristalų (Rošelio druskos, kvarco, bario titanato ir kt.) plokštelė, veikiant elektriniam laukui, šiek tiek deformuojasi. Pastačius jį tarp metalinių plokščių, kurioms tiekiama kintamoji įtampa, galima sukelti plokštės priverstines vibracijas. Šios vibracijos perduodamos į aplinką ir joje sukuria ultragarso bangą.
Magnetostrikcija slypi tame, kad feromagnetinės medžiagos (geležis, nikelis, jų lydiniai ir kt.) deformuojasi veikiant magnetiniam laukui. Todėl įdėjus feromagnetinį strypą į kintamąjį magnetinį lauką, galima sužadinti mechaninius virpesius.
Didelės akustinių greičių ir pagreičių vertės, taip pat gerai išvystyti ultragarsinių virpesių tyrimo ir priėmimo metodai leido juos panaudoti sprendžiant daugelį techninių problemų. Išvardinkime kai kuriuos iš jų.
1928 metais sovietų mokslininkas S.Ya. Sokolovas siūlė ultragarsą naudoti defektų nustatymo tikslams, t.y. metalo gaminiuose paslėptų vidinių defektų, tokių kaip lukštai, įtrūkimai, raibuliavimas, šlako intarpai ir kt., aptikimui. Jei defekto dydis viršija ultragarso bangos ilgį, ultragarso impulsas atsispindi nuo defekto ir grąžinamas atgal. Siunčiant į gaminį ultragarso impulsus ir fiksuojant atsispindėjusius aido signalus, galima ne tik aptikti gaminių defektus, bet ir spręsti apie šių defektų dydį bei vietą. Šis metodas šiuo metu plačiai naudojamas pramonėje.
Nukreipti ultragarsiniai spinduliai buvo plačiai pritaikyti vietos nustatymo tikslams, t.y. aptikti vandenyje esančius objektus ir nustatyti atstumą iki jų. Pirmą kartą ultragarsinės vietos idėją išsakė puikus prancūzų fizikas P. Langevinas ir jo sukurtas per Pirmąjį pasaulinį karą povandeniniams laivams aptikti. Šiuo metu sonaro principais aptinkami ledkalniai, žuvų būriai ir kt. šiais metodais galima nustatyti ir jūros gylį po laivo dugnu (echolotas).
Didelės amplitudės ultragarso bangos šiuo metu plačiai naudojamos inžinerijoje mechaniniam kietų medžiagų apdirbimui, smulkių objektų (laikrodžio mechanizmo dalių, vamzdynų ir kt.) valymui, dedamų į skystį, degazavimui ir kt.
Ultragarso bangos, sukeldamos terpėje stiprias slėgio pulsacijas, sukelia daugybę specifinių reiškinių: skystyje suspenduotų dalelių šlifavimą (dispersiją), emulsijų susidarymą, difuzijos procesų pagreitėjimą, cheminių reakcijų aktyvavimą, poveikį. ant biologinių objektų ir kt.
6.1 Stovinčios bangos elastingoje terpėje
Pagal superpozicijos principą, kai elastingoje terpėje vienu metu sklinda kelios bangos, atsiranda jų superpozicija, o bangos viena kitos netrukdo: terpės dalelių virpesiai yra vektorinė svyravimų suma, kurią dalelės padarytų. sklindant kiekvienai iš bangų atskirai .
Bangos, sukuriančios terpės virpesius, kurių fazių skirtumai kiekviename erdvės taške yra pastovūs, vadinamos nuoseklus.
Pridedant koherentines bangas, atsiranda reiškinys trukdžių, kuris susideda iš to, kad kai kuriuose erdvės taškuose bangos stiprina viena kitą, o kituose – susilpnėja. Svarbus trukdžių atvejis pastebimas, kai dedamos dvi priešingos plokštumos bangos, kurių dažnis ir amplitudė yra vienodos. Atsiradę svyravimai vadinami stovinti banga. Dažniausiai stovinčios bangos kyla, kai nuo kliūties atsispindi keliaujanti banga. Šiuo atveju krintanti banga ir jos link atsispindėjusi banga, sudėjus kartu, sudaro stovinčią bangą.
Gauname stovinčios bangos lygtį. Paimkime dvi plokštumos harmonines bangas, sklindančias viena link kitos išilgai ašies X ir kurių dažnis ir amplitudė yra vienodi:
kur yra terpės taškų svyravimų fazė, praeinant pirmajai bangai;
- terpės taškų svyravimų fazė, praeinant antrajai bangai.
Fazių skirtumas kiekviename ašies taške X tinklas nepriklausys nuo laiko, t.y. bus pastovus:
Todėl abi bangos bus nuoseklios.
Terpės dalelių svyravimai, atsirandantys pridėjus nagrinėjamas bangas, bus tokie:
Kampų kosinusų sumą transformuojame pagal taisyklę (4.4) ir gauname:
Perskirstę veiksnius gauname:
Norėdami supaprastinti išraišką, pradžią pasirenkame taip, kad fazių skirtumas ir laiko pradžia , kad fazių suma būtų lygi nuliui: .
Tada bangų sumos lygtis bus tokia:
Lygtis (6.6) vadinama stovinčios bangos lygtis. Iš jo matyti, kad stovinčios bangos dažnis lygus keliaujančios bangos dažniui, o amplitudė, priešingai nei keliaujančios, priklauso nuo atstumo nuo pradžios:
Atsižvelgiant į (6.7), stovinčios bangos lygtis yra tokia:
Taigi terpės taškai svyruoja dažniu, sutampančiu su slenkančios bangos dažniu, ir amplitude a, priklausomai nuo taško padėties ašyje X. Atitinkamai, amplitudė kinta pagal kosinuso dėsnį ir turi savo maksimumus ir minimumus (6.1 pav.).
Norėdami vizualizuoti amplitudės minimumų ir maksimumų vietą, pagal (5.29) bangos skaičių pakeičiame jo verte:
Tada amplitudės išraiška (6.7) įgauna formą
Iš to tampa aišku, kad poslinkio amplitudė yra didžiausia ties , t.y. taškuose, kurių koordinatės atitinka sąlygą:
Iš čia gauname taškų, kuriuose poslinkio amplitudė yra didžiausia, koordinates:
Vadinami taškai, kuriuose terpės svyravimų amplitudė yra didžiausia bangų antinodai.
Bangos amplitudė lygi nuliui taškuose, kur . Tokių taškų koordinatės, vadinamos bangų mazgai, atitinka sąlygą:
Iš (6.13) matyti, kad mazgų koordinatės turi šias reikšmes:
Ant pav. 6.2 rodomas apytikslis stovinčios bangos vaizdas, pažymėtos mazgų ir antimazgų vietos. Matyti, kad gretimi poslinkio mazgai ir antimazgai yra nutolę vienas nuo kito tokiu pačiu atstumu.
Raskite atstumą tarp gretimų antimazgų ir mazgų. Iš (6.12) gauname atstumą tarp antimazgų:
Atstumas tarp mazgų gaunamas iš (6.14):
Iš gautų ryšių (6.15) ir (6.16) matyti, kad atstumas tarp gretimų mazgų, taip pat tarp gretimų antimazgų yra pastovus ir lygus; mazgai ir antimazgiai yra pasislinkę vienas kito atžvilgiu (6.3 pav.).
Iš bangos ilgio apibrėžimo galime parašyti stovinčios bangos ilgio išraišką: ji lygi pusei keliaujančios bangos ilgio:
Parašykime, atsižvelgdami į (6.17), mazgų ir antimazgų koordinačių išraiškas:
Daugiklis , lemiantis stovinčios bangos amplitudę, eidamas per nulinę reikšmę keičia savo ženklą, dėl to svyravimų fazė priešingose mazgo pusėse skiriasi . Vadinasi, visi taškai, esantys skirtingose mazgo pusėse, svyruoja antifazėje. Visi taškai tarp gretimų mazgų svyruoja fazėje.
Mazgai sąlyginai padalija terpę į autonominius regionus, kuriuose harmoniniai svyravimai vyksta nepriklausomai. Tarp regionų nėra judėjimo perdavimo, todėl tarp regionų nėra energijos srauto. Tai reiškia, kad perturbacija išilgai ašies neperduodama. Todėl banga vadinama stovinčia.
Taigi stovioji banga susidaro iš dviejų priešingos krypties vienodo dažnio ir amplitudės slenkančių bangų. Kiekvienos iš šių bangų Umov vektoriai yra vienodi moduliu ir priešinga kryptimi, o sudėjus jie duoda nulį. Todėl stovinti banga neperduoda energijos.
6.2 Stovėjusių bangų pavyzdžiai
6.2.1 Stovinčios bangos stygoje
Apsvarstykite ilgio eilutę L, fiksuotas abiejuose galuose (6.4 pav.).
Padėkime ašį išilgai eilutės X kad kairiajame eilutės gale būtų koordinatė x=0, ir dešinėje x = L. Virpesiai atsiranda eilutėje, apibūdinama lygtimi:
Užrašykime nagrinėjamos eilutės ribines sąlygas. Kadangi jo galai yra fiksuoti, tada taškuose su koordinatėmis x=0 Ir x = L nedvejodamas:
Raskime stygų virpesių lygtį pagal parašytas ribines sąlygas. Kairiajame eilutės gale rašome lygtį (6.20), atsižvelgdami į (6.21):
Santykis (6.23) galioja bet kuriuo metu t dviem atvejais:
vienas.. Tai įmanoma, jei eilutėje () nėra vibracijų. Ši byla nėra įdomi ir mes jos nenagrinėsime.
2. . Čia yra fazė. Šis atvejis leis mums gauti stygų virpesių lygtį.
Pakeiskime gautą fazės reikšmę į ribinę sąlygą (6.22) dešiniajame eilutės gale:
Turint omenyje
iš (6.25) gauname:
Vėlgi, iškyla du atvejai, kai santykis (6.27) tenkinamas. Atvejo, kai eilutėje () nėra vibracijų, mes nenagrinėsime.
Antruoju atveju lygybė turi galioti:
ir tai įmanoma tik tada, kai sinuso argumentas yra sveikojo skaičiaus kartotinis:
Atsisakome vertės, nes šiuo atveju tai reikštų nulinį eilutės ilgį ( L = 0) arba banga-naujas skaičius k=0. Įvertinus ryšį (6.9) tarp bangos skaičiaus ir bangos ilgio, aišku, kad tam, kad bangos skaičius būtų lygus nuliui, bangos ilgis turėtų būti begalinis, o tai reikštų, kad svyravimų nėra.
Iš (6.28) matyti, kad abiejuose galuose užfiksuotos stygos virpesių bangos skaičius gali turėti tik tam tikras atskiras reikšmes:
Atsižvelgdami į (6.9), rašome (6.30) taip:
iš kur gauname galimų bangos ilgių eilutėje išraišką:
Kitaip tariant, per stygos ilgį L turi būti sveikasis skaičius n pusiau banga:
Atitinkamus virpesių dažnius galima nustatyti pagal (5.7):
Čia yra bangos fazinis greitis, kuris pagal (5.102) priklauso nuo stygos linijinio tankio ir stygos įtempimo jėgos:
Pakeitę (6.34) į (6.33), gauname išraišką, apibūdinančią galimus eilutės virpesių dažnius:
Dažniai vadinami natūralūs dažniai stygos. dažnis (kada n = 1):
paskambino pagrindinis dažnis(arba pagrindinis tonas) stygos. Dažnis nustatytas n>1 paskambino obertonai arba harmonikų. Harmoninis skaičius yra n-1. Pavyzdžiui, dažnis:
atitinka pirmąją harmoniką, o dažnis:
atitinka antrąją harmoniką ir pan. Kadangi eilutę galima pavaizduoti kaip diskrečią sistemą su begaliniu laisvės laipsnių skaičiumi, kiekviena harmonika yra mada stygų vibracijos. Paprastai stygų virpesiai yra režimų superpozicija.
Kiekviena harmonika turi savo bangos ilgį. Pagrindiniam tonui (su n= 1) bangos ilgis:
atitinkamai pirmajai ir antrajai harmonikai (at n= 2 ir n= 3) bangos ilgiai bus:
6.5 paveiksle parodytas keleto virpesių atliekamų vibracijos režimų vaizdas.
Taigi styga su fiksuotais galais realizuoja išskirtinį atvejį klasikinės fizikos rėmuose – diskretišką virpesių dažnio (arba bangos ilgių) spektrą. Elastinis strypas su vienu arba abiem prispaustais galais elgiasi taip pat, kaip ir oro stulpelio svyravimai vamzdžiuose, kurie bus aptariami tolesniuose skyriuose.
6.2.2 Pradinių sąlygų įtaka judėjimui
ištisinė eilutė. Furjė analizė
Stygos su užspaustais galais virpesiai, be diskretiško virpesių dažnių spektro, turi dar vieną svarbią savybę: konkreti stygos virpesių forma priklauso nuo virpesių sužadinimo būdo, t.y. nuo pradinių sąlygų. Panagrinėkime išsamiau.
Lygtis (6.20), apibūdinanti vieną stovinčios bangos būseną stygoje, yra specifinis diferencialinės bangos lygties (5.61) sprendimas. Kadangi stygos virpesiai susideda iš visų galimų modų (stygai – begalinis skaičius), tai bendrąjį bangos lygties (5.61) sprendinį sudaro begalinis konkrečių sprendinių skaičius:
kur i yra svyravimo režimo numeris. Išraiška (6.43) rašoma atsižvelgiant į tai, kad eilutės galai yra fiksuoti:
taip pat atsižvelgiant į dažnio ryšį i režimas ir jo bangos numeris:
Čia yra bangos numeris i mada;
yra 1-ojo režimo bangos numeris;
Raskime kiekvieno svyravimo režimo pradinės fazės reikšmę. Už tai tuo metu t=0 suteikime eilutei funkcijos aprašytą formą f 0 (x), išraišką gauname iš (6.43):
Ant pav. 6.6 rodomas mano funkcija aprašytos eilutės formos pavyzdys f 0 (x).
Laiko momentu t=0 styga dar yra ramybės būsenoje, t.y. visų jo taškų greitis lygus nuliui. Iš (6.43) randame eilutės taškų greičio išraišką:
ir pakeičiant į jį t=0, gauname eilutės taškų greičio pradiniu laiko momentu išraišką:
Kadangi pradiniu laiko momentu greitis lygus nuliui, tai išraiška (6.49) bus lygi nuliui visiems eilutės taškams, jei . Iš to išplaukia, kad pradinė visų režimų fazė taip pat yra lygi nuliui (). Atsižvelgiant į tai, išraiška (6.43), apibūdinanti eilutės judėjimą, yra tokia:
o išraiška (6.47), apibūdinanti pradinę eilutės formą, atrodo taip:
Stovinčiąją bangą eilutėje apibūdina funkcija, kuri yra periodinė intervale , kur lygi dviem eilutės ilgiams (6.7 pav.):
Tai matyti iš to, kad intervalo periodiškumas reiškia:
Vadinasi,
kuris atveda mus prie išraiškos (6.52).
Iš matematinės analizės žinoma, kad bet kurią periodinę funkciją galima labai tiksliai išplėsti į Furjė eilutę:
kur , , yra Furjė koeficientai.
Mūsų atveju, kai funkcija yra periodinė intervale , Furjė koeficientai pagal , apskaičiuojami taip:
Matematikoje Furjė analizės metu parodoma, kad tokiu būdu gauti periodinės funkcijos išplėtimo Furjė koeficientai iš tikrųjų yra funkcijos išplėtimo koeficientai. f 0 (x).
Furjė analizė leidžia stygos atliekamą vibraciją išskaidyti į spektrą, t.y. išsiaiškinkite, kokie virpesių režimai iš tikrųjų vyksta naudojant tam tikrą stygos sužadinimo būdą.
Panagrinėkime du stygų virpesių sužadinimo būdus.
1 metodas. Pradiniu laiko momentu stygai suteikiama forma, atitinkanti pirmąjį virpesių režimą ir apibūdinama funkcija:
Po to, kai styga atleidžiama, ji pradeda vibruoti iš pradinės padėties. Skaičiavimai rodo, kad Furjė koeficientai šiuo atveju yra lygūs nuliui, išskyrus vieną, kuris yra lygus amplitudei A:
Taikant šį sužadinimo būdą, atsiranda tik vienas virpesių režimas; obertonų nėra.
2 būdas. Styga atitraukiama iš pusiausvyros padėties viduryje, kaip tai atsitinka styginiuose instrumentuose. Pradinės formos vaizdas parodytas fig. 6.8.
Stygos forma, parodyta pav. 6.8 apibūdinama funkcija:
Funkcija, atitinkanti (6.64), kuri yra periodinė intervale , parašyta taip:
, (6,65)
Periodinės funkcijos (6.65) forma parodyta 6.9 pav.:
Skaičiavimai rodo, kad visi Furjė koeficientai tokiai funkcijai yra lygūs nuliui (įskaitant koeficientą ). Pirmieji trys koeficientai A 1 , A 2 , A 3 yra atitinkamai lygūs:
Kaip jau buvo pažymėta, Furjė koeficientai, gauti tokiu būdu periodinei funkcijai išplėsti, iš tikrųjų yra funkcijos išplėtimo koeficientai. f 0 (x).
Tada, atsižvelgiant į pirmuosius tris Furjė eilutės narius, funkcija (6.64) gali būti apytiksliai pavaizduota taip:
Mes radome tik pirmuosius tris funkcijos Furjė išplėtimo narius (6.64). Žinoma, mūsų gauta Furjė serija (6,69) su baigtiniu terminų skaičiumi, mūsų atveju lygiu trims, gali tik apytiksliai atkurti pradinę funkciją. Tačiau Furjė koeficientų skaičiavimas gali būti tęsiamas. Pasirodo, mūsų nagrinėjamų virpesių atveju stygoje atsiranda daug harmonikų (teoriškai begalinė harmonikų serija).
Palyginus pirmąjį ir antrąjį nagrinėjamus atvejus, matome, kad pirmajame iš jų buvo tik vienas režimas, o antrajame – daug harmonikų.
Taigi nagrinėjami atvejai rodo, kad iš dviejų pusių suspaustos stygos specifinė virpesių forma labai priklauso nuo virpesių sužadinimo būdo, t.y. nuo pradinių sąlygų.
Stovinčios bangos gali susidaryti įvairiomis sąlygomis. Šis reiškinys lengviausiai parodomas uždarose erdvėse. Tokį efektą galima pasiekti sujungiant du vienodo bangos ilgio virpesius, sklindančius priešingomis kryptimis. Dviejų signalų trukdžiai duoda gautą bangą, kuri, iš pirmo žvilgsnio, nejuda (ty stovi).
Svarbi sąlyga yra ta, kad energija turi patekti į sistemą tam tikru greičiu. Tai reiškia, kad sužadinimo dažnis turėtų būti maždaug lygus natūraliam virpesių dažniui. Ši sąvoka taip pat žinoma kaip rezonansas. Stovinčios bangos visada yra susijusios su . Rezonanso atsiradimą galima lemti staigiai padidėjus atsirandančių virpesių amplitudei. Daug mažiau energijos išleidžiama kuriant stovinčias bangas, palyginti su tos pačios amplitudės keliaujančiomis bangomis.
Nepamirškite, kad bet kurioje sistemoje, kurioje yra stovinčios bangos, taip pat yra daug natūralių dažnių. Visų galimų stovinčių bangų įvairovė yra žinoma kaip sistemos harmonika. Paprasčiausia harmonika vadinama pagrindine arba pirmąja. Vėlesnės stovinčios bangos vadinamos antromis, trečiosiomis ir pan. Harmonikos, kurios skiriasi nuo pagrindinių, kartais vadinamos potekstės harmonikomis.
Stovinčių bangų rūšys
Priklausomai nuo fizinių savybių, yra keletas stovinčių bangų tipų. Visus juos sąlyginai galima suskirstyti į tris dideles grupes: vienmačius, dvimačius ir trimačius.
Vienmatės stovinčios bangos atsiranda, kai yra plokščia uždara erdvė. Tokiu atveju banga gali sklisti tik viena kryptimi: nuo šaltinio iki erdvės ribos. Yra trys vienmačių stovinčių bangų pogrupiai: su dviem mazgais galuose, su vienu mazgu viduryje ir su mazgu viename iš bangos galų. Mazgas yra taškas, kurio amplitudė ir signalo energija yra mažiausia.
Dvimatės stovinčios bangos kyla, kai nuo šaltinio virpesiai sklinda dviem kryptimis. Po atspindžio nuo užtvaros atsiranda stovinti banga.
Trimatės stovinčios bangos yra signalai, sklindantys per erdvę ribotu greičiu. Šio tipo virpesių mazgai bus dvimačiai paviršiai. Tai labai apsunkina jų tyrimą. Tokių bangų pavyzdys yra elektrono orbita atome.
Praktinė stovinčių bangų svarba
Stovinčios bangos yra labai svarbios, nes garsas yra kelių vibracijų derinys. Teisingas stygų ilgio ir standumo apskaičiavimas leidžia pasiekti geriausią konkretaus instrumento skambesį.
Labai svarbios ir stovinčios bangos. Taikant dalelių tyrimo metodą naudojant rentgeno spektroskopiją, atspindėto signalo apdorojimas leidžia nustatyti apytikslę kiekybinę ir kokybinę objekto sudėtį.
