Pomėgiais pagrįstos problemos pirmiausia atsiranda jaunųjų matematikų gyvenime 5 klasėje ir lydi juos iki pat baigiamųjų egzaminų. Su procentais susijusios užduotys pateikiamos Vieningo valstybinio egzamino (ypač profilio egzamino užduoties Nr. 17) ir OGE parinktyse. Susidomėjimas neišvengiamai atsiras fizikos, chemijos ir ekonomikos kursais. Juk kasdieniame gyvenime nuolat susiduriame su šia sąvoka (pagalvokime, pavyzdžiui, paskolų tarifus ar dosnius pažadus dėl 90% nuolaidų parduotuvėse).

Šiame straipsnyje pradėsime nuo paprasčiausių apibrėžimų ir pavyzdžių, palaipsniui didinsime sudėtingumo lygį ir iki 4 dalies pasieksime gana sudėtingas problemas.

Palūkanos. Pradinė informacija.

Kaip rasti skaičiaus procentą

Keista, bet daugelis absolventų nesugeba aiškiai paaiškinti, kas yra proc... Bet viskas labai paprasta:

proc yra viena šimtoji skaičiaus.

Kodėl būtent šimtasis? Taip, vien todėl, kad dalinti iš 100 patogu, o šimtas nėra per daug ir ne per mažai (nelabai griežtas apibrėžimas).

Norėdami rasti 1% skaičiaus, tereikia tą skaičių padalyti iš 100.

1 pavyzdys... Raskite 1% iš 1200, 1% iš 2,1% iš 98765.

1% iš 1200 yra 12, nes 1200: 100 = 12;
1 % iš 2 yra 0,02, nes 2: 100 = 0,02;
1 % iš 98765 = 98765: 100 = 987,65.

1 pratimas... Apskaičiuokite 1% iš 450, 1% iš 12000, 1% iš 9.

2 užduotis... Apskaičiuokite 1% iš 1% iš 6700.

Kaip rasti kelis procentus iš skaičiaus

Dabar tarkime, kad reikia rasti ne 1% skaičiaus, o, tarkime, 12%. Kaip tai padaryti? Žinoma, pirmiausia galite rasti vieną procentą, o tada rezultatą padauginti iš 12. Bet kam daryti du dalykus, jei galite apsieiti su vienu? Vienas procentas yra viena šimtoji dalis, o t procentas yra t šimtoji dalis. Norėdami rasti, pavyzdžiui, 12 šimtųjų skaičiaus, turite skaičių padauginti iš 0,12. Gauname universalią taisyklę:

Norėdami rasti t% skaičiaus, turite padauginti šį skaičių iš t 100.
t procentai A = A ⋅ t 100

2 pavyzdys... Raskite 17% iš 300, 86% iš 20, 140% iš 2, 0,1% iš 4000.

17% iš 300 yra 51, nes 300 * 0,17 = 51 (skaičius padauginkite iš septyniolikos šimtųjų dalių);
86% iš 20 yra 17,2, nes 20 * 0,86 = 17,2 (padauginkite iš 86/100);
140 % iš 2 = 2 * 1,4 = 2,8 (1,4 yra tik 140/100);
0,1 % iš 4000 = 0,001 * 4000 = 4 (0,001 yra 0,1 / 100).

3 užduotis... Apskaičiuokite 14% iš 1200, 57% iš 50, 250% iš 4, 0,02% iš 1 000 000.

3 pavyzdys... Apskaičiuokite 18% iš 80% iš 1000. Ar tiesa, kad tai yra tas pats, kas 98% iš 1000?

Raskime pirmuosius 80 % iš 1000: 1000 * 0,8 = 800.
Mes ieškome 18% gauto skaičiaus: 800 * 0,18 = 144.
Raskite dabar 98 % iš 1000. Padauginkite 1000 iš 98/100 ir gaukite 980.
Kaip matote, rezultatai skiriasi.

4 užduotis... Apskaičiuokite 120% iš 40% iš 350.

Kaip rasti „susidomėjimo procentą“

Ką daryti, jei reikia apskaičiuoti ilgą „procento procento“ seką? Tarkime, 10% iš 10% 10% 10% iš 200. Žinoma, galite veikti nuosekliai ir padalinti užduotį į 4 veiksmus, bet yra ir paprastesnis būdas.

4 pavyzdys... Apskaičiuokite 20% iš 30% 40% iš 10 000.

Kodėl reikia dauginti kelis kartus iš eilės, kai viską galima sumažinti iki vienos eilutės:
0,2*0,3*0,4*10000 = 24.

Pažiūrėkite, kaip tai paprasta! Beje, šiuo atveju nereikia jokių skliaustų.

5 užduotis... Apskaičiuokite 50% iš 50% 40% 2000 m.

6 užduotis... Pirmąją sausio savaitę iškrito 40% mėnesio sniego (90 mm), trečiadienį iškrito 90% šio kiekio, o pirmoje šios dienos pusėje iškrito 70% kritulių. Kiek mm sniego iškrito trečiadienio rytą?

Taigi, apibendrinkime kai kuriuos rezultatus:

• Procentas yra viena šimtoji skaičiaus.
• Norėdami apskaičiuoti 1%, padalykite skaičių iš 100 (arba padauginkite iš 0,01).
• Norėdami rasti t% skaičiaus, turite skaičių padauginti iš t šimtųjų dalių.

Mažas testas tema „Procentai“

Skirkite kelias minutes ir atlikite nedidelį testą tema „Susidomėjimas“. Atsakyme įveskite sveiką skaičių arba dešimtainį skaičių. Kaip dešimtainį skyriklį visada naudokite kablelį (pvz., 1,2, bet ne 1,2!) Sėkmės!

Procentų sąvoka mūsų gyvenime pasitaiko per dažnai, todėl labai svarbu žinoti, kaip problemas spręsti su susidomėjimu. Iš esmės tai nėra sudėtingas dalykas, svarbiausia suprasti darbo su susidomėjimu principą.

Kas yra procentas

Mes dirbame su 100 procentų sąvoka ir atitinkamai vienas procentas yra šimtoji tam tikro skaičiaus dalis. Ir visi skaičiavimai yra pagrįsti šiuo santykiu.

Pavyzdžiui, 1% iš 50 yra 0,5, 15 iš 700 yra 7.

Kaip išspręsti

1. Žinodami, kad vienas procentas yra viena šimtoji pateikto skaičiaus, galite rasti bet kokį reikiamų procentų skaičių. Kad būtų aiškiau, pabandykime surasti 6 procentus iš skaičiaus 800. Tai daroma paprastai.
   • Pirmiausia randame vieną procentą. Norėdami tai padaryti, padalinkite 800 iš 100. Pasirodo, 8.
   • Dabar šis pats vienas procentas, tai yra 8, padauginamas iš mums reikalingų procentų skaičiaus, tai yra iš 6. Pasirodo, 48.
   • Pataisykime rezultatą kartodami.

   15% iš 150. Sprendimas: 150/100 * 15 = 22.

   28 % iš 1582. Sprendimas: 1582/100 * 28 = 442.

2. Yra ir kitų problemų, kai pateikiamos reikšmės ir reikia rasti procentus. Pavyzdžiui, jūs žinote, kad parduotuvėje yra 5 raudonos rožės iš 75 baltų, ir jums reikia išsiaiškinti, koks raudonų rožių procentas. Jei nežinome šio procento, pažymime jį kaip x.

   Yra tokia formulė: 75–100 proc.

   Šioje formulėje skaičiai padauginami iš kryžiaus iš kryžiaus, tai yra, x = 5 * 100/75. Pasirodo, x = 6% Tai reiškia, kad raudonų rožių procentas yra 6%.

3. Yra ir kito tipo procentinės problemos, kai reikia išsiaiškinti, kiek procentų vienas skaičius yra didesnis ar mažesnis už kitą. Kaip šiuo atveju išspręsti problemas su susidomėjimu?

   Klasėje mokosi 30 mokinių, iš jų 16 berniukų. Kyla klausimas, kiek procentų berniukų yra daugiau nei mergaičių. Pirmiausia reikia apskaičiuoti, kiek procentų mokinių yra berniukai, tada reikia išsiaiškinti, kiek procentų yra mergaičių. Pabaigoje raskite skirtumą.

   Taigi pradėkime. Proporciją sudarome 30 proc. – 100 proc.

   16 sąskaitą. -NS %

   Dabar skaičiuojame. X = 16 * 100/30, x = 53,4% visų klasės mokinių yra berniukai.

   Dabar suraskime mergaičių procentą toje pačioje klasėje. 100–53,4 = 46,6 %

Dabar belieka rasti skirtumą. 53,4-46,6 = 6,8%. Atsakymas: berniukų yra 6,8% daugiau nei mergaičių.

Svarbiausi dalykai sprendžiant susidomėjimą

Taigi, kad nekiltų problemų, kaip išspręsti problemas su susidomėjimu, atsiminkite keletą pagrindinių taisyklių:

1. Kad nesusipainiotumėte dėl procentų problemų, visada būkite budrūs: jei reikia, pereikite nuo konkrečių verčių prie procentų ir atvirkščiai. Svarbiausia niekada nepainioti vieno su kitu.
2. Būkite atsargūs skaičiuodami palūkanas. Svarbu žinoti, nuo kurios konkrečios vertės reikia skaičiuoti. Iš eilės keičiant vertes, procentas skaičiuojamas nuo paskutinės vertės.
3. Prieš užsirašydami atsakymą dar kartą perskaitykite visą problemą, nes gali būti, kad radote tik tarpinį atsakymą, o jums reikia atlikti vieną ar porą veiksmų.

Taigi, išspręsti problemas su procentais nėra taip sunku, pagrindinis dalykas jame yra atidumas ir tikslumas, kaip ir visoje matematikoje. Ir nepamirškite, kad norint tobulinti bet kokius įgūdžius, reikia praktikos. Taigi apsispręskite daugiau ir viskas jums bus gerai ar net puiku.

Darbo tekstas patalpintas be vaizdų ir formulių.
Pilną darbo versiją rasite skirtuke „Darbo failai“ PDF formatu

Įvadas

Tyrimo aktualumas

Šiuolaikinis gyvenimas palūkanų problemas aktualizuoja, nes plečiasi palūkanų skaičiavimo praktinio taikymo sferos. Infliacija, kylančios kainos, kylančios akcijų kainos ir mažėjanti perkamoji galia veikia kiekvieną mūsų visuomenės žmogų. Šeimos biudžeto planavimas, pelningos investicijos į bankus neįmanomos be galimybės atlikti paprastus procentinius skaičiavimus.

Sąvokos „palūkanos“ negalima apeiti nei apskaitoje, nei finansinėje analizėje, nei statistikoje.

Procentai – tai matematinė sąvoka, dažnai sutinkama kasdieniame gyvenime.Kiekvienas turėtų sugebėti išspręsti paties gyvenimo siūlomas problemas. Mokame mokesčius. Kaip paskaičiuoti materialinį atlygį, kurį gauname, kai dedame pinigus į indėlį, kokį atlygį gauna bankas, kai paimame paskolą, būsto paskolą. Visus šiuos ir daugelį kitų su palūkanų skaičiavimu susijusių klausimų išsprendžia interesų išmanymas ir mokėjimas su palūkanomis spręsti problemas.

Visur – laikraščiuose, radijuje, televizijoje ir darbe diskutuojama apie kainų kilimą, atlyginimus, pensijas, akcijų vertės kilimą, gyventojų perkamosios galios mažėjimą. Tad dažnai girdime ar skaitome, kad, pavyzdžiui, kainos pakilo 20 proc., piene yra 4 proc. riebalų, pensija padidėjo 10 proc., rinkimuose dalyvavo 76 proc.

Norėdami apskaičiuoti darbuotojo atlyginimą, turite žinoti mokesčių atskaitymo procentą; norėdami atidaryti indėlio sąskaitą „Sberbank“, turite žinoti palūkanų sumą nuo indėlio sumos; norėdami sužinoti apytikslį kainų kilimą kitais metais, mus domina infliacijos procentas.

Praktinio turinio matematinių uždavinių sprendimas leidžia įsitikinti matematikos svarba įvairioms žmogaus veiklos sferoms, įžvelgti galimų matematikos pritaikymų platumą, suprasti jos vaidmenį šiuolaikiniame gyvenime.

Mano pastebėjimai ir bendraklasių bei draugų atlikta apklausa parodė, kad mes, moksleiviai, jaunuoliai, turime bendriausių ir gana mažai žinių apie procentus, o dar mažiau apie skirtingus procentų skaičiavimo būdus.

Nustatyti mūsų žinių ir gebėjimo įdomiai spręsti problemas trūkumai paaiškinami objektyviai atsirandančiais prieštaravimų: tarp esamo poreikio skaičiuoti procentą įvairiose žmonių gyvenimo srityse ir – informacijos šiuo klausimu stokos ir beveik visiško nesugebėjimo to padaryti greitai ir paprastai.

Atsižvelgiant į nustatytus prieštaravimus, tyrimo problema: kokia interesų problemų sprendimo istorija ir būdai?

Nulėmė problemos aktualumas, jos reikšmė šiuolaikiniame pasaulyje tema mano tyrimai: "Problemų sprendimas dėl susidomėjimo."

Tyrimo tikslas: išstudijuokite informaciją apie procentus, problemų tipus, kaip jas spręsti ir išmokite panaudoti įgytas žinias praktikoje.

Tyrimo objektas: praeities ir dabarties procentai.

Studijų dalykas: istorinė informacija apie procentus, problemų, susijusių su procentais ir procentais, koncentracijomis, mišiniais ir lydiniais, sprendimas, vyraujant pagrindinėms veiksmų taisyklėms su dešimtainėmis ir trupmenomis.

Atsižvelgiant į tyrimo tikslą, buvo nustatyti šie dalykai tyrimo tikslai:

Išstudijuokite PROCENTŲ sąvokos istoriją.

Apsvarstykite galimybę naudoti susidomėjimą kasdieniame gyvenime.

Apsvarstykite įvairių tipų problemas ir jų sprendimus.

Pašalinkite žinių spragas sprendžiant pagrindines problemas procentais: rasti reikšmės procentą, surasti reikšmę pagal jos procentą, rasti vienos reikšmės procentą nuo kitos.

Apibendrinti įgytas žinias ir įgūdžius bei suformuluoti išvadas.

Darbe naudota toliau nurodyta tyrimo metodai: literatūros šia tema studijavimas, analizė, sintezė, apibendrinimas.

1 skyrius. Interesų aktualumas nuo antikos iki šių dienų 1.1. "Intereso" raidos istorija

Internete esančios informacijos tyrimas parodė, kad žodis „procentas“ kilęs iš lotyniško žodžio „procentum“, kuris reiškia „nuo šimto“. Idėja nuolat tomis pačiomis proporcijomis išreikšti visumos dalis gimė senovėje tarp babiloniečių, kurių dantiraščio lentelėse jau buvo užduotys procentams skaičiuoti. Interesai buvo žinomi ir Indijoje, kur ilgą laiką skaičiavimas buvo vykdomas dešimtainių ženklų sistema. Indijos matematikai procentus skaičiavo naudodami vadinamąją trigubą taisyklę, t.y. Jie sugebėjo atlikti sudėtingesnius skaičiavimus naudodami procentą.

Rusų kalboje žodis „palūkanos“ turi ir kitą semantinę reikšmę – jis išreiškia tai, kad paskolos gavėjas, be skolintojo jam suteiktų lėšų grąžinimo, turi papildomai sumokėti skolintojui už šių lėšų panaudojimą. Tai liudija, pavyzdžiui, skelbimas: „Bankas teikia paskolas gyventojams už palūkanas“.

Atsiskaitymai grynaisiais su palūkanomis buvo ypač paplitę senovės Romoje. Romėnai palūkanas vadino pinigais, kuriuos skolininkas mokėjo skolintojui už kiekvieną šimtą. Net Romos Senatas buvo priverstas nustatyti maksimalią leistiną skolininko palūkanų normą, nes kai kurie skolintojai uoliai gaudavo palūkanų pinigus. Iš romėnų susidomėjimas perėjo į kitas tautas.

Viduramžiais Europoje, ryšium su plačia prekybos plėtra, ypač daug dėmesio buvo skiriama gebėjimui skaičiuoti procentus. Tuo metu reikėjo skaičiuoti ne tik palūkanas, bet ir palūkanas, tai yra sudėtines palūkanas, kaip jos vadinamos mūsų laikais. Atskiri biurai ir įmonės, siekdamos palengvinti darbą skaičiuojant procentus, sukūrė savo specialias lenteles, kurios buvo įmonės komercinė paslaptis.

Europoje dešimtainės trupmenos atsirado po 1000 metų, jas įvedė belgų mokslininkas Simonas Stevinas. 1584 metais. jis pirmą kartą paskelbė procentų lentelę.Procentų įvedimas buvo patogus nustatant vienos medžiagos kiekį kitoje; procentais imta matuoti kiekybinį prekių gamybos pokytį, kainų kilimą ir kritimą, pinigų pajamų augimą ir kt.

Manoma, kad % ženklas yra kilęs iš italų kalbos žodžio cento (šimtas), kuris procentų skaičiavimuose dažnai trumpinamas kaip cto. Taigi, toliau supaprastinus raidę t į įstrižą, atsirado šiuolaikinis procento simbolis.

Kita šio ženklo kilmės versija yra ta, kad 1685 m. Paryžiuje komercinės aritmetikos knygos-vadovo spausdinimo mašinėlė padarė klaidą – vietoj cto jis parašė.

Ilgą laiką palūkanos buvo suprantamos tik kaip pelnas arba nuostolis už kiekvieną 100 rublių. Jie buvo naudojami tik prekyboje ir piniginėse operacijose.Jau senovėje buvo paplitęs lupikavimas – pinigų išleidimas už palūkanas. Skirtumas tarp sumos, kuri buvo grąžinta lupikininkui, ir tos, kuri iš pradžių buvo paimta iš jo, buvo vadinama pertekliumi. Taigi, senovės Babilone tai buvo 20% ar daugiau! Yra žinoma, kad XIV-XV a. Vakarų Europoje buvo paplitę bankai – įstaigos, kurios skolindavo pinigus kunigaikščiams, pirkliams, amatininkams ir t.t.. Žinoma, bankai neskolino pinigų nesavanaudiškai: mokėjo už naudojimąsi suteiktais pinigais, kaip antikos lupikai. Šis mokėjimas dažniausiai buvo išreikštas palūkanomis už skoloje išleistą pinigų sumą. Tada išsiplėtė jų taikymo sritis, domimasi ekonominiais ir finansiniais skaičiavimais, statistika, mokslu ir technologijomis.

Šiais laikais procentas yra tam tikra dešimtainių trupmenų forma, viena šimtoji visumos dalis (skaitoma kaip vienetas). Procentus labai patogu naudoti praktiškai, nes jie visumos dalis išreiškia tomis pačiomis trupmenomis. Tai leidžia supaprastinti skaičiavimus ir lengvai palyginti dalis tarpusavyje ir su visuma.

Procentas yra šimtoji skaičiaus dalis, laikoma sveikuoju skaičiumi. Jei mes kalbame apie tam tikro skaičiaus procentą, tada šis skaičius laikomas 100%.

Pavyzdžiui, 1% atlyginimo yra viena šimtoji atlyginimo dalis; 100% atlyginimo yra šimtas šimtųjų atlyginimo dalių, tai yra visas atlyginimas. Šimtoji metro dalis yra centimetras, šimtoji centnerio dalis yra kilogramas, 1% yra šimtoji skaičiaus dalis.

Kaip žinoma iš praktikos, procentų pagalba dažnai parodomas tam tikros reikšmės pokytis. Ši forma yra vaizdinė skaitinė pokyčio charakteristika, apibūdinanti įvykusio pokyčio reikšmingumą. Procentais išreikšta reikšmė yra vizualesnė, suprantamesnė, ją lengva palyginti su kitomis reikšmėmis.

1.2. „Susidomėjimas“ kasdieniu gyvenimu

Manome, kad šiuo metu aktualus yra nuodugnesnis temos „Susidomėjimas“ skirtingomis situacijomis tyrimas. Šio poreikio priežastis yra reikšmingumas, nes užduotys šia tema dažnai randamos įvairiuose egzaminuose, taip pat naudojamos ne tik matematikos, chemijos, ekonomikos pamokose. Palūkanos yra tvirtai įsitvirtinusios mūsų kasdienybėje: paskolos, banko palūkanos, cheminiai junginiai.

Norėdami išsamiai ištirti susidomėjimo panaudojimą mūsų gyvenime, atlikau savo klasės draugų apklausą, kur jie susipažino su šia sąvoka. Apklausos rezultatai nustebino net pačius vaikinus. Kartu prisiminėme tiek daug įdomių naudojimo būdų, čia yra pavyzdžių sąrašas:

Taikomos palūkanos:

Skaičiuojant nuolaidas parduotuvėje, sudarant sutartį banke, nustatant regėjimo aštrumą, siūlų santykį audinyje, nustatant riebumą gaminiuose, nustatant programų apkrovą kompiuteryje ar įkraunant baterijas, apskaičiuojant regėjimo aštrumą. balsų santykį rinkimuose ar balsuojant, skirstant įmonės pelną, skaičiuojant USE testų atlikimą, skaičiuojant mokesčius nuo atlyginimo, nuimant derlių ir nustatant jo nuostolius iš stichijų, vandens santykį žmogaus organizme, arba vandenį ir žemę Žemėje pagal priemaišų ir aukso juvelyriniuose dirbiniuose santykį, kurį universitetai gavo iš visų grynųjų įplaukų, informacija vairuotojui apie bake likusį benziną, vertinant smūgio parado dalyvius, nustatant epidemijos slenkstį.

Iš to, kas išdėstyta, matyti, kad domėjimasis naudojamas šiose srityse: prekyba, programavimas, ekonomika, gamybos technologija, statistika, medicina, visuomeninis gyvenimas, buitis, įvairios mokslo sritys, menas.

Palūkanos yra neatsiejama bankininkystės, prekybos, mokesčių, farmacijos ir kt. operacijų dalis. Jie į mūsų gyvenimą įžengė ne tik kepdami kulinarinius gaminius ir gamindami skanėstus, jie tiesiogine prasme puola mus rinkos santykių ekonomikoje, bankrotų, infliacijos, krizių metu.

Banko taupytojas išmoksta gyventi iš palūkanų, protingai dėdamas pinigus į pelningą verslą. Teisingai panaudoti būsto paskolą banke padės ir palūkanos. Kompetentingai atlikti palūkanų skaičiavimus reiškia turėti pelną iš bankinių operacijų, turėti pelningą verslą ir komercinius pasiūlymus.

Taigi, palūkanų– Tai viena iš matematinių sąvokų, labai paplitusių kasdieniame gyvenime.

Po apklausos galutinai paaiškėjo, kad be galimybės suprasti tokio pobūdžio informaciją šiuolaikinėje visuomenėje būtų tiesiog sunku egzistuoti. Todėl tampa būtina nustatyti ir ištirti visas esamas interesų problemas ir jų sprendimo būdus, kuriuos atskleisime kitoje pastraipoje.

2 skyrius. Procentų uždavinių rūšys ir jų sprendimo būdai 2.1. Dominančių užduočių rūšys

2.1.1. Procentų iš skaičiaus radimas

Norėdami sužinoti skaičiaus procentą, turėtumėte:

Procentus parašykite dešimtainiais skaitmenimis.

Skaičius padauginamas iš šios dešimtainės trupmenos.

Užduotis: į parduotuvę atvežta 14 tonų kopūstų, parduota 70% visų kopūstų. Kiek tonų kopūstų liko?

Likusi kopūstų dalis yra: 100% - 70% = 30% = 0,3

Atsakymas: 4,2 tonos.

1. 1. Skaičiaus radimas pagal jo procentą

Norėdami rasti skaičių pagal jo procentą, turėtumėte:

Procentus parašykite dešimtaine;

Padalinkite skaičių iš šios dešimtainės trupmenos.

Užduotis: Traktorių komanda per dieną suarė 25% viso lauko, tai yra 60 hektarų. Koks viso lauko plotas?

25% = 0,25;

60: 0.25 = 240

Atsakymas: 240 hektarų.

1. 1. Skaičių procentinės dalies radimas

Norėdami sužinoti, kiek procentų vienas skaičius yra nuo antrojo, turėtumėte:

Padalinkite pirmąjį skaičių iš antrojo.

Padauginkite rezultatą iš 100%.

Užduotis: Stačiakampio ilgis 40 dm, plotas 200 dm 2. Kiek procentų yra ilgio plotis?

plotis yra 200: 40 = 5

5:40 100 % = 12,5 %

Atsakymas: 12,5 proc.

1. 1. Padidinti p%

Norėdami padidinti teigiamą skaičių a p%, tai seka:

padauginkite skaičių a pagal padidinimo koeficientą k = (1 + 0,01 p)

Tikslas: obuoliai pabrango 30 proc. Kokia yra obuolių kaina po padidinimo, jei pradinė kaina yra 250 rublių?

k = 1 + 0,0130 = 1,3

250 1,3 = 325

Atsakymas: 325 rubliai.

1. 1. Sumažinti p%

Norėdami sumažinti teigiamą skaičių a p%, tai seka:

padauginkite skaičių a sumažinimo koeficientu k = (1–0,01 p)

Tikslas: 10% sumažėjo vaučerio į sanatoriją kaina. Kiek kainuoja bilietas, jei jo pradinė kaina yra 12 rublių?

k = 1 - 0,01 10 = 0,9;

12 0,9 = 10,8

Atsakymas: 10,8 rubliai.

2.2.Uždavinių sprendimas procentais proporcingai

Sprendžiant uždavinius procentais, tam tikra b reikšmė laikoma 100%, o jos dalis yra reikšmė a- paimta už x% ir sudaroma dalis:

Iš dviejų žinomų dydžių proporcijos nustatomas nežinomas trečiasis dydis, naudojant pagrindinę proporcijos savybę: b x= 100 a

1 problema... Teatro studijoje dirba 36 merginos. Kiek mokinių mokosi šioje studijoje, jei berniukų yra 52 proc.?

Merginos sudaro 100 % – 52 % = 48 % visų mokinių.

Merginos: 36 žmonės – 48 proc.

Iš viso studentų: x žmonių – 100 proc.

Mes sudarome proporcijas:

Atsakymas: 75 studentai.

2 užduotis... Tekojui atlyginimas buvo padidintas iš pradžių 10 proc., o po metų dar 20 proc. Kiek procentų išaugo tekintojo atlyginimas lyginant su pradiniu?

a- pradinis atlyginimas

1 padidinus 10% - 1,1 a

per metus po 20% padidėjimo – 1,1 a 1,2 = 1,32 a

Padarykime proporciją:

132% - 100% = 32%

Atsakymas: 32 proc.

2.3 Procentinių uždavinių sprendimas algebriniu metodu

1 problema... Viena stačiakampio kraštinė yra 42% didesnė už kitą. Stačiakampio plotas 568 cm2. Raskite mažiausią pusę.

Leisti būti NS- viena stačiakampio pusė, tada antroji kraštinė bus 1,42 NS.

Sudarykite lygtį ir ją išspręskime:

NS 1.42 NS = 568

1,42NS 2 = 568

NS 2 = 400

NS 1 = 20 ir NS 2 = - 20 - netinka

Atsakymas: 20 cm.

2 tikslas. Pirmą dieną turistas įveikė 40% maršruto, antrą dieną – 45% likusio maršruto, po kurio nueiti turėjo 6 km daugiau nei antrą dieną. Visas maršrutas yra

NS(km) – visas maršrutas

0,4 x(km) – turistas pravažiavo pirmąją kelionės dieną

0,45 (x – 0,4 x) = 0,27 x(km) – turistas pravažiavo antrąją kelionės dieną

x – (0,4x + 0,27x) = 0,33x(km) – turistui belieka pravažiuoti

Nes turistas turi nueiti 6 km daugiau nei nuėjo antrą dieną, padarykime lygtį ir išspręskime:

0,33 x 0,27 x = 6

0,06x = 6

x = 100

Atsakymas: 100 km.

2.4 Koncentracijos ir procentų uždavinių sprendimas

Norėdami išspręsti šio skyriaus problemas, pristatysime pagrindines sąvokas:

Pateikiamos dvi skirtingos medžiagos A ir B, kurių masės m A ir m B. Šių medžiagų mišinio masė lygi M = m A + m B.

Medžiagos A masės koncentracija mišinyje (grynos medžiagos dalis mišinyje) C A = =.

Masių koncentracijos yra susijusios su lygybe: C A + C B = 1

Medžiagos A procentinė dalis šiame mišinyje apskaičiuojama pagal formulę: RA = C A 100 %

1 tikslas. Yra 50 g tirpalo, kuriame yra 8% druskos. Turime gauti 5% tirpalą. Kokios masės gėlo vandens reikia įpilti į pradinį tirpalą?

Tegul reikia pridėti NS kg gėlo vandens. Druską laikome gryna medžiaga. Nubraižykime sprendimą lentelėje.

Padarykime lygtį: 0,08 50 = (50 + x) 0,05

50 + x = 80

Atsakymas: 30 kg.

2 tikslas. Tirpale yra 15% druskos. Jei pridėsite 150 g druskos, tai tirpale bus 45% druskos. Raskite druskos masę pradiniame tirpale.

Tegul tirpalo masė būna NS d. Sprendimas bus įformintas lentele.

Sudarykime ir išspręskime lygtį: 0,15x + 150 = (x + 150) 0,45

0,3x = 82,5

x = 275

Raskime grynos medžiagos masę pradiniame tirpale: 275 · 0,15 = 41,25.

Atsakymas: 41,25g.

Apsvarstėme 8 dominančių užduočių tipus. Kaip rodo analizė, egzaminų darbuose apie OGE yra procentinės užduotys, kai kurios iš jų pateikiamos priede.

Išvada

Apibendrinant noriu pasakyti, kad procentai yra viena iš sunkiausių matematikos temų, ir labai daugeliui mokinių sunku ar net nemoka spręsti uždavinių su procentais. O palūkanų supratimas ir mokėjimas skaičiuoti palūkanas yra būtinas kiekvienam žmogui, nes kasdieniame gyvenime nuolat susiduriame su susidomėjimu. Todėl tikiu, kad mano darbas ras praktinį pritaikymą algebros pamokose, kaip įvairių tipų praktinio turinio uždavinių sprendimo pavyzdys. Tai padės absolventams su susidomėjimu prisiminti pagrindinius problemų sprendimo būdus.

Bibliografija

Glazeris G.I. Matematikos istorija mokykloje (4-6 kl.): vadovas mokytojams. - M .: Švietimas, 1981.-240 m.

Kramoras, V.S. Kartojame ir susisteminame mokyklinį algebros kursą ir analizės pradžią.- M .: Apšvietos 1990.-416s.

Novik, I. A. Matematikos uždaviniai: 4-8 kl. Knyga. studentams / I. A. Novik, N. K. Peshchenko, N. V. Brovka. - Minskas: Nar.Šviesos, 1984 .-- 96 p.

„Jaunojo matematiko enciklopedinis žodynas“

Interneto ištekliai

Www. math-on-line.Com

Www. edu.yar.ru/russian/pedba

Www. nk / sor_uch / matematika / Kalmyk /

Www. procent.html

Taikymas

Uždaviniai domėtis OGE variantais matematikoje

Miesto biudžetas yra 45 milijonai rublių, o vieno iš jo elementų kaina siekė 12,5%. Kiek rublių buvo išleista šiam biudžeto punktui?

Mes verčiame 45 milijonus į rublius = 45 milijonus, nes 45 milijonai yra visas biudžetas, todėl 100%, kadangi prekei buvo išleista 12,5% viso biudžeto, žymime NS tai suma rubliais, padarykime proporciją

45000000-100%

x-12,5 %

x = 45 000 000 12,5: 100 = 5 625 000(trinti)

Atsakymas: 5625000 (rub)

Prieš pateikiant į cirką, tam tikras skaičius kamuolių buvo paruoštas pardavimui. Iki pasirodymo pradžios buvo parduoti visi balionai, o per pertrauką – dar 12 balionų. Po to liko pusė visų kamuoliukų. Kiek kamuoliukų iš pradžių buvo?

Tegul rutuliukai lieka NS.

Visi kamuoliukai 2x

Parduota prieš pasirodymą: 2x = 2x 0,4 = 0,8x

Parduota per pertrauką 12 vnt

sudaryti lygtį

2x-0,8x-12 = x

2x-0,8x-x = 12

0,2x = 12

x = 12: 0,2

x = 60 liko kamuolių

60 2 = 120 kamuoliai buvo

Atsakymas: 120 kamuoliukų

Taupomasis bankas ima 20% terminuotąjį indėlį per metus. Indėlininkas į sąskaitą įdėjo 800 rublių. Kokia suma bus šioje sąskaitoje per metus, jei su ja nebus atliekamos operacijos?

Per metus investuotojas-chik-lo-apgaudinėjo 20 proc.

800 · 0,2=160 R.

Taigi per metus sąskaita bus:

800+160=960 R.

Atsakymas: 960 rublių.

Parduodama prekė buvo sumažinta 20%, o ji pradėjo kainuoti 680 rublių. Kiek kainavo prekė prieš pardavimą Sprendimas: 100-20 = 80% nauja kaina sudarys 80% senosios kainos.

680 rublių - 80% x rubliai - 100%

680 100: 80 = 850 rublių prekės kaina prieš pardavimą

Atsakymas: 850 rublių.

Valstybė valdo 60% bendrovės akcijų, likusią akcijų dalį valdo privatūs asmenys. Bendras įmonės pelnas, atskaičius mokesčius, per metus siekė 40 mln. Kiek iš šio pelno reikėtų sumokėti privatiems akcininkams?

Sprendimas:

Vienas procentas nuo 40 milijonų yra lygus: 40 000 000: 100 = 400 000 rublių.

Sumokėjus privačiam ak-ci-o-no-ram išėjo: 400 000 · 40 = 16000000 rub.

Atsakymas: 16 000 000.

Bendrovės akcijos paskirstomos tarp valstybės ir privačių asmenų santykiu 3:5. Bendras įmonės pelnas, atskaičius mokesčius, per metus siekė 32 mln. Kiek iš šio pelno reikėtų sumokėti privatiems akcininkams?

Sprendimas:

Leisti būti x milijonai rublių-lei atitenka vienai akcijos daliai, tada 5x pri-ho-dit-Xia privatus ak-tsi-o-no-ram ir 3x - go-su-dar-stu. Žinodami, kad visas pelnas buvo 32 milijonai rublių, sudarome lygtį:

3x + 5x = 32

x = 4 milijonų rublių

Tokiu būdu privatus ak-ts-o-no-ram gauna penkis kartus daugiau arba 20 milijonų rublių.

Atsakymas: 20 000 000.

Spygliuočių skaičius parke yra 1: 4 lapuočių. Kiek procentų parko medžių yra lapuočių?

Sprendimas:

Iš viso yra penkios medžių dalys, iš kurių yra lapų gyslų - keturios dalys, tai yra 4: 5 = 0,8 arba 80%.

Vidutinis Sergejaus amžiaus berniukų svoris yra 48 kg. Sergejaus svoris yra 120% vidutinio svorio. Kiek sveria Sergejus?

Sprendimas:

Raskite pilkojo gėjaus svorį: 48 · 120: 100 = 57,6 kg.

Atsakymas: 57,6 kg.

Metų pradžioje telefonų bendrovės „Sever“ abonentų skaičius siekė 200 tūkst., o metų pabaigoje – 210 tūkst. Kiek procentų per metus išaugo šios įmonės abonentų skaičius?

Sprendimas: 100% abonentų skaičių nurodykime 200 tūkst. ir už NS-210 tūkstančių žmonių prenumeratorių. Suteikime proporciją:

200 tūkstantis žmonių - 100%210 tūkstantis žmonių - NS%

x = 210 100/200 = 105 (%)

105%-100%=5% (tiek procentų išaugo prenumeratorių skaičius) Atsakymas: 5 proc.

Matematikos testą sudaro 30 dalykų, iš kurių 18 yra algebra, o likusi dalis yra geometrija. Kokiu ryšiu teste yra algebrinės ir geometrinės užduotys?

Sprendimas:

Užduočių skaičius pagal geometriją lygus: 30-18 = 12 vnt. Taigi, al-geb-ra-i-che-ir geo-met-r-ch-z-da-chi na-ho-dyat-sya santykiu: 18 : 12 = 3: 2.

Atsakymas: 3:2

Į banko sąskaitą buvo įnešta 24 tūkstančiai rublių, kurių pajamos – 15% per metus. Kiek tūkstančių rublių bus šioje sąskaitoje per metus, jei su sąskaita nebus atlikta jokių operacijų?

Sprendimas:

Sužinokite, kiek pro-kainų bus per metus: 100% + 15% = 115%. Taigi, po metų bankas bus: 2400 · 115: 100 = 27600 rublių.

Atsakymas: 27 600 rublių.

Kokia suma (rubliais) bus nurodyta kasos kvite, jei prekės savikaina yra 520 rublių ir pirkėjas už ją atsiskaito naudodamas nuolaidų kortelę su 5% nuolaida?

Sprendimas:

Rass-count-that-e-skid-ku, k-t-t-ru-i-cha-e-t-p-t-tel, mokant už prekes disko kontaktine kortele su 5% nuolaida -koy: 520 · 5: 100 = 26 rubliai. Taigi bendra nuolaidos kaina yra lygi: 520 - 26 = 494 rubliai.

Atsakymas: 494.

Pirmadienį kai kurios prekės buvo parduodamos 1000 rublių kaina. Remiantis parduotuvėje priimtomis taisyklėmis, prekių kaina savaitės bėgyje išlieka nepakitusi, o kiekvienos kitos savaitės pirmą dieną sumažinama 20% nuo ankstesnės kainos. Kiek rublių kainuos prekė devintą dieną nuo jos pardavimo?

Sprendimas:

Kaip žinia, ne vėliau kaip per 7 dienas. Zn-chit, 12 dieną tu-pa-yes-em už antrą no-de-lu, kai kaina nukris 20%, tokiu būdu prekės kainuos 80% ... Mes turime:

1000· 80:100=800

Atsakymas: 800.

Išpardavimo laikotarpiu parduotuvė kainas sumažino du kartus: pirmą kartą 30%, antrą kartą 50%. Kiek rublių kainavo virdulys po antrojo kainos sumažinimo, jei iki išpardavimo pradžios kainavo 700 rublių?

Sprendimas:

Pirmą kartą kaina nukrito 700 · 30: 100 = 210 rublių. Žinote, po pirmojo kainų kritimo arbatinukas pradėjo kainuoti 700 - 210 = 490 rublių. Antrą kartą kaina nukrito 490 · 45: 100 = 220,5 rubliai. Žinote, po antrojo kainos kritimo arbatinukas pradėjo kainuoti 490 - 220,5 = 269,5 rublio.

Atsakymas: 269,5.

Mokant už paslaugas per mokėjimo terminalą, imamas 5% komisinis mokestis. Terminalas priima sumas kartotines 10 rublių. Nikolajus nori į savo mobiliojo telefono sąskaitą įnešti mažiausiai 320 rublių. Kokią mažiausią sumą jis turi įdėti į šio terminalo priėmimo įrenginį?

Sprendimas:

Atsižvelgdama į komisinius, Anya turi sumokėti mažiausiai 300 + 300 į priimantį įrenginį · 0,05 = 315 rublių. Žinokite, mažiausia pinigų suma, aš privalau gyventi Anya šio ter-mi-na-la priėmimo įrenginyje - 320 rublių-lei. Pro-ver-rim, kad ši suma yra iki šimto, tiksliai: 5% nuo jos yra 16 rublių. (tai yra misija), paliekant 304 rublius nukeliaus į tele-le-phon sąskaitą.

Atsakymas: 320.

Mobilusis telefonas kainavo 5000 rublių. Po kurio laiko šio modelio kaina buvo sumažinta iki 3000 rublių. Kiek procentų sumažinta kaina?

Sprendimas:

Telefono fono kaina yra nuo 5000 iki 3000 = 2000 rublių. Raz-del-lim 2000–5000:

Žinote, kaina sumažėjo 40%.

Jie paėmė 20 000 rublių paskolą planšetiniam kompiuteriui įsigyti 1 metams su 16% per metus. Paskaičiuokite, kiek pinigų reikia grąžinti į banką, kokia mėnesinės įmokos suma?

Sprendimas:

20000· 16: 100 = 3200 (rub.) - vieneri metai

20 000 + 3200 = 23 200 (rub.) - visa suma su palūkanomis

23200: 12 = 1933 (rub.) - mėnesinės įmokos suma

Atsakymas: 1933 rubliai.

Pakelis arbatos kainavo 100 rublių. Pirma, kaina buvo padidinta 10%, o vėliau sumažinta 10% (naujos kainos). Kiek dabar kainuoja pakelis arbatos?

Kadangi kaina buvo padidinta 10%, tai reiškia, kad pradinė kaina turi būti dauginama iš 1,1, o sumažinus 10%, ji turi būti dauginama iš 0,9,

100 (1 + 0,1) (1-0,1) = 99 rubliai.

Atsakymas: 99 rubliai.

Rugsėjo mėnesį 1 kg vynuogių kainavo 60 rublių, spalį vynuogės pabrango 25 proc., lapkritį dar 20 proc. Kiek rublių kainavo 1 kg vynuogių pabrangus lapkritį?

Sprendimas:

In ok-tyab-re vi-no-grad in-do-ro-sting 60 · 25: 100 = 15 rublių ir pradėjo kainuoti 60 + 15 = 75 rubliai. In no-yab-re vi-no-grad in-do-ro-sting 75 m · 20: 100 = 15 rublių. Zn-chit, po po-po-zha-niya in no-yab-re, 1 kg vi-no-gra-da kainavo 75 + 15 = 90 rublių.

Mokykloje mokosi 800 mokinių, iš kurių 30% – pradinių klasių mokiniai. Tarp vidurinių ir aukštųjų mokyklų mokinių vokiečių kalbos mokosi 20 proc. Kiek mokinių mokykloje mokosi vokiečių kalbos, jei vokiečių kalbos nemoko pradinėje mokykloje?

Sprendimas:

Pradinių klasių mokiniai 800 · 30: 100 = 240, o vidurinių ir aukštųjų mokyklų mokiniai - 800 - 240 = 560. Mokykloje mokomasi ne vokiečių kalbos 560 · 20: 100 = 112 studentų.

1% yra viena šimtoji skaičiaus.

1% = 0,01.

Skaičiaus procentų radimas.
Norėdami sužinoti skaičiaus procentą, galite pateikti procentą kaip dešimtainę trupmeną ir padauginti skaičių iš gautos dešimtainės trupmenos.

Skaičiaus radimas pagal jo procentą.
Norėdami rasti skaičių pagal jo procentą, galite pateikti procentą kaip dešimtainę trupmeną ir padalyti šį skaičių iš gautos dešimtainės trupmenos.

Norėdami sužinoti, kiek procentų vienas skaičius yra nuo kito, galite padalyti vieną skaičių iš kito ir gautą sandaugą padauginti iš 100.

Kaip išspręsti problemas su susidomėjimu. Pavyzdžiai.

Skaičiaus procentinės dalies radimas yra susijęs su skaičiaus trupmenos radimu. Procentai yra ypatingas paprastosios trupmenos rašymo būdas, todėl jūs turėtumėte pradėti atskleisti procento sąvokos reikšmę suvokdami paprastosios trupmenos sąvoką.

Paimkime, pavyzdžiui, keletą bendrųjų trupmenų. Kokia kiekvieno tokio įrašo prasmė?
– Tai taisyklingųjų trupmenų pavyzdžiai. Kiekvieno iš jų vardiklis rodo, kiek lygių dalių reikia padalyti realų ar abstraktų objektą, skaitiklis – kiek tokių dalių reikia paimti. Kaip pavyzdį paimkime taisyklingąją trupmeną. Pavyzdžiui. Šio posakio prasmė gali būti atskleista taip. Tam tikras tikras daiktas buvo padalintas į 3 lygias dalis ir iš jų paimtos 2 dalys.

Kaip realų objektą, galite paimti, pavyzdžiui, stačiakampį.

Ši išraiška yra a ir b koeficientas, kur b nėra 0.

Tai yra skaičių a ir b santykis, kur b nėra 0.

Tai yra įprasta trupmena. a yra skaitiklis, b yra vardiklis (b nelygu 0).

1 pavyzdys. Statinės talpa buvo 200 l. Statinė buvo pripildyta vandens. Kokia buvo šio pasiūlymo prasmė?
- ši trupmena reiškia, kad tam tikras objektas buvo padalintas į 5 lygias dalis ir iš jų paimtos 2 dalys. Šios problemos objektas yra statinės tūris, lygus 200 litrų, todėl
200:5 = 40,
402 = 80.
Į statinę supilta 80 litrų vandens.
Aukščiau pateiktas pavyzdys yra tipiškas skaičiaus trupmenos radimo pavyzdys.

Norėdami rasti skaičiaus trupmeną, turite skaičių padauginti iš šios trupmenos.

Dabar galite pereiti prie procentų.

Procentų sąvoka apibrėžiama taip: 1% skaičiaus yra viena šimtoji skaičiaus, tai yra, 1% = 0,01.

Tada sakinio prasmė a% skaičiaus b galima paaiškinti taip. Tam tikras objektas (kurio vertė yra b vienetai) buvo padalinti į 100 lygių dalių ir iš jų paimti a dalys.

2 pavyzdys. Maša turėjo 400 rublių. Iš šios sumos ji išleido 24 proc. Kokia šio teiginio prasmė?
Kadangi 24% = 0,24, o 0,24 reiškia, kad tam tikras objektas buvo padalintas į 100 lygių dalių ir iš jų paimtos 24 dalys. Šiuo atveju objektas yra pinigų suma, lygi 400 rublių, todėl
400: 100 =4,
424 = 96.
Maša išleido 96 rublius.
Aukščiau pateiktas pavyzdys yra tipiškas skaičiaus procentinės dalies radimo pavyzdys.

3 pavyzdys. Reikia surasti R% numerio b .
Tegu x yra skaičius, kurį turime rasti.
p% = 0,01p,
x = b 0,01p

Norėdami rasti skaičiaus procentą, turite pateikti procentų skaičių kaip dešimtainę trupmeną ir padauginti šį skaičių iš šios dešimtainės trupmenos.

Kitas požiūris į šią užduotį. Galite naudoti proporcijos sąvoką ir savybes. Jei prisimenate, kad proporcija yra dviejų santykių lygybė, o dviejų skaičių santykis yra paprastoji trupmena, tai šis metodas taip pat yra susijęs su paprastosios trupmenos sąvoka.

b – 100 proc.
x - p%,
Turime proporciją:
b: 100 = x: p, (b reiškia 100, o x reiškia p), iš kur,

4 pavyzdys. Tegul būna skaičiai a ir b , be to, a >b Tada skaičius a daugiau skaičių b ant %.

Pažiūrėkime į šią problemą šiek tiek kitaip. Panagrinėkime paprastą ypatingą atvejį, pavyzdžiui: "Kiek procentų skaičius 10 yra didesnis už skaičių 2?"

1. Iš didesnio skaičiaus atimkite mažesnįjį. 10 – 2 = 8. Tada 10 yra daugiau nei 2 x 8.

2. Raskite rasto skaičiaus santykį su mažesniu skaičiumi. 8: 2 = 4 yra dviejų skaičių santykis!

3 Santykį išreiškiame procentais 4100 = 400%.

Skaičius 10 yra 400% didesnis nei skaičius 2.

Jei 8 padalinsime iš 10, rasime santykį, rodantį, kuri 10 2 dalis yra mažesnė už 10 (čia palyginimas su skaičiumi 10).

Skaičius 2 yra 80% mažesnis nei skaičius 10.

5 pavyzdys. Traktoristas suarė 6 hektarus, tai yra iš viso lauko. Koks yra viso lauko plotas.
Tai yra įprasta užduotis rasti skaičių pagal jo trupmeną. Tegul viso lauko plotas būna x, tada turime lygtį x = 6. Iš kur x = 6 :; x = 26. Lauko plotas 26 ha.

Norėdami rasti skaičių pagal jo trupmeną, turite padalyti skaičių, atitinkantį šią trupmeną, iš trupmenos.

6 pavyzdys. Duotas skaičius b, kuris yra p% numerio a. Raskite numerį a.

p% = 0,01p
b = 0,01pa
a = b: (0,01p)

Duotas skaičius b kuris yra p% numerio a .

Raskite numerį a .

a - 100 proc.

b – p %

a: 100 = b: p

Sudėtinių palūkanų formulė.

Jei suma įnešama a piniginiais vienetais ir banko mokesčiais R% metinis, tada per n metų, indėlio suma bus piniginiai vienetai, arba
a (1 + 0,01 p) n piniginių vienetų.

7 pavyzdys. Namo statybos kaina buvo 9800 rublių, iš kurių 35% sumokėjo už darbus, o likusią dalį už medžiagas. Kiek kainavo medžiagos?

Sumokėta už darbą:

0,359800 = 3430.

Todėl medžiagų kaina: 9800 - 3430 = 6370.

Atsakymas: 6370 rublių.

8 pavyzdys.Į baką buvo supilta 37,4 tonos benzino, po to liko neužpildyta 6,5% bako talpos. Kiek benzino reikia įpilti į baką, kad jį užpildytu?

Jei neužpildyta bako dalis yra 6,5% talpos, tai užpildyta dalis yra: 100% - 6,5% = 93,5%. Tada, jei x yra benzino masė, kurią dar reikia įpilti į baką, tada turime proporciją

kur .

Atsakymas: 2,6 t.

9 pavyzdys. Raskite skaičių, žinodami, kad 25% jo yra lygūs 45% iš 640.

Tegu x yra reikiamas skaičius. Mes turime

0,25x = 0,45640.

Atsakymas: 1152.

10 pavyzdys. Skaičius a yra 92% skaičiaus b. Jei skaičius b padidinamas 700, tai naujas skaičius bus 9% didesnis nei skaičius a. Raskite skaičius a ir b.

Iš problemos sąlygos turime lygčių sistemą:

Išspręsdami gautą sistemą, randame, a = 230 000, b = 250 000.

Atsakymas: 230 000; 250 000.

11 pavyzdys. Pirmasis skaičius yra 50% antrojo. Kiek procentų nuo pirmojo yra antrasis?

Antrąjį skaičių pažymėkime per x, tada pirmasis skaičius lygus 0,5x. Sužinoti kiek procentų yra skaičius x skaičius 0,5x; padarykime proporciją:

iš kurių randame

Atsakymas: 200 proc.

12 pavyzdys. Licėjuje mokosi 260 mokinių, iš kurių 10% nesiseka. Pašalinus tam tikrą nepakankamų rezultatų skaičių, jų procentas sumažėjo iki 6,4%. Kiek studentų atmesta?

Prieš išskaičiavimą buvo pasūdytas nesėkmingų asmenų skaičius iki atskaitymo

Tegul x žmonės bus išvaryti. Tada licėjuje liko tik 260 mokinių, iš kurių 26 tapo nepasiekusiais. Mes turime proporciją

260 – x – 100 %

(260–x) 0,064 = (26–x) 100,

Išspręsdami gautą lygtį, randame x = 10.

13 pavyzdys. Kiek procentų 250 yra didesnis nei 200?

Padarykime du dalykus.

1) Sužinome, kiek procentų skaičius 250 tonų sudaro 200:

2) Kadangi skaičius 200 šiame pavyzdyje yra 100%, skaičius 250 yra didesnis už skaičių 200 125% -100% = 25%.

Atsakymas: 25 proc.

14 pavyzdys. Kiek mažiau yra 200 nei 250?

1) Sužinome, kiek procentų yra skaičius 200 iš skaičiaus 250 (skirtingai nei ankstesniame pavyzdyje, čia skaičių 250 reikia laikyti 100%!):

2) Skaičius 200 yra 100% mažesnis už skaičių 250 – 80% = 20%.

Atsakymas: 20 proc.

15 pavyzdys. Plytos ilgis padidintas 30%, plotis 20%, aukštis sumažintas 40%. Ar nuo to plytos tūris padidėjo ar sumažėjo ir kiek procentų?

Tegul pradinis plytos ilgis yra x, plotis - y, aukštis - z. Tada pradinis plytos tūris: V 1 = xyz. Naujų plytų dydžiai: 1,3x; 1,2 m.; 0,6z ir naujas tūris: V 2 = 1,3x1,2y0,6z = 0,936xyz. Nuo V2< V 1 , объем кирпича уменьшился. Уменьшение V 2 - V 1 = 0,064xyz и составляет 6,4% от V 1.

Atsakymas: sumažėjo 6,4 proc.

16 pavyzdys. Prekės kaina atpigo 40 proc., vėliau dar 25 proc. Kiek prekės kaina sumažėjo, palyginti su pradine kaina?

Pradinę prekės kainą pažymėkime per x. Po pirmojo kritimo kaina bus lygi

x – 0,4x = 0,6x.

Antras kainos sumažinimas yra 25% naujos 0,6x kainos, taigi po antrojo kainos sumažinimo turėsime kainą

0,6x – 0,250,6x = 0,45x;.

Po dviejų sumažinimų bendras kainos pokytis yra toks:

x – 0,45x = 0,55x.

Kadangi dydis yra 0,55x; yra 55% vertės x, tada prekės kaina sumažėjo 55%.

Atsakymas: 55 proc.

17 pavyzdys. Pradinė produkcijos vieneto kaina buvo 75 rubliai. Pirmaisiais gamybos metais jis padidėjo tam tikru procentų skaičiumi, o antraisiais sumažėjo (palyginti su padidėjusia savikaina) tiek pat procentų, dėl ko tapo 72 rubliais. Nustatykite vieneto kainos padidėjimą ir sumažėjimą procentais.

Tegul x% yra vieneto kainos padidėjimas (ir sumažėjimas) procentais. Pagal apibrėžimą x% iš 75 yra 750,01x. Tada po pirmojo padidinimo kaina bus lygi 75 + 0,75x.

Antrus metus kaina sumažės

0,01 x (75 + 0,75 x) = 0,75 x 0,0075 x 2.

Dabar galima parašyti galutinę kainos lygtį

(75 + 0,75x) - (0,75x + 0,0075x 2) = 72;

x 2 = 400; taigi x 1 = - 20, x 2 = 20.

Tinka tik viena šios lygties šaknis: x 2 = 20.

Atsakymas: 20 proc.

18 pavyzdys.Į banko sąskaitą buvo įnešta 10 tūkst. Pinigams išgulėjus vienerius metus, iš sąskaitos buvo nuimta 1 tūkst. Po metų sąskaitoje buvo 11 tūkstančių rublių. Nustatykite, kiek procentų per metus ima bankas.

Tegul bankas skaičiuoja p% per metus.

1) 10 000 rublių suma, pervedama į banko sąskaitą p% per metus, padidės iki vertės

10000 + 0,01p10000 = 10000 + 100 rub.

Kai iš sąskaitos išimama 1000 rublių, ten liks 9000 + 100 rublių.

2) Kitais metais pastaroji vertė dėl palūkanų kaupimo padidės iki 9000 + 100r + 0,01p (9000 + 100r) = p 2 + 190r + 9000 rublių vertės.

Pagal sąlygą ši vertė yra lygi 11 000 rublių, todėl turime kvadratinę lygtį.

p 2 + 190r + 9000 = 11000;

p 2 + 190r - 2000 = 0
, šią kvadratinę lygtį išsprendžiame naudodami Viettos teoremą, p 1 = 10, p 2 = -200.

Neigiamas šaknis netinka.

Atsakymas: 10 proc.

19 pavyzdys.Šiuo metu mieste gyvena 48400 gyventojų. Žinoma, kad šio miesto gyventojų skaičius kasmet didėja 10 proc. Kiek gyventojų ten buvo prieš dvejus metus?

Tarkime, kad prieš dvejus metus miesto gyventojų skaičius buvo x žmonių, tada gyventojų skaičius šiuo metu išreiškiamas x, naudojant sudėtinio procento formulę:

x (1 + 0,1) 2 = 1,21x.

Iš problemos teiginio:

Atsakymas: 40 000 žmonių.

Norint išspręsti daugumą vidurinės mokyklos matematikos uždavinių, reikalingos proporcingumo žinios. Šis paprastas įgūdis padės ne tik atlikti sudėtingus pratimus iš vadovėlio, bet ir įsigilinti į pačią matematikos esmę. Kaip sudaryti proporciją? Pažvelkime į tai dabar.

Paprasčiausias pavyzdys yra problema, kai žinomi trys parametrai, o reikia rasti ketvirtą. Proporcijos, žinoma, skirtingos, bet dažnai reikia rasti kokį nors skaičių procentais. Pavyzdžiui, berniukas iš viso turėjo dešimt obuolių. Ketvirtąją dalį atidavė mamai. Kiek obuolių berniukui liko? Tai yra paprasčiausias pavyzdys, kuris leis jums sudaryti proporciją. Svarbiausia tai padaryti. Iš pradžių buvo dešimt obuolių. Tegul tai būna 100%. Pažymėjome visus jo obuolius. Jis atidavė ketvirtadalį. 1/4 = 25/100. Tai reiškia, kad jis turi: 100% (tai buvo iš pradžių) - 25% (jis davė) = 75%. Šis skaičius rodo vaisių skaičiaus procentą, kuris liko iki pirmųjų turimų vaisių skaičiaus. Dabar turime tris skaičius, pagal kuriuos jau galima išspręsti proporciją. 10 obuolių – 100 proc. NS obuolių – 75%, kur x – reikiamas vaisių kiekis. Kaip sudaryti proporciją? Jūs turite suprasti, kas tai yra. Matematiškai tai atrodo taip. Lygybės ženklas dedamas jūsų supratimui.

10 obuolių = 100%;

x obuoliai = 75%.

Pasirodo, 10 / x = 100% / 75. Tai yra pagrindinė proporcijų savybė. Juk kuo x didesnis, tuo daugiau procentų šis skaičius yra nuo originalo. Išsprendžiame šią proporciją ir gauname, kad x = 7,5 obuolių. Kodėl berniukas nusprendė atiduoti ne visą sumą, mums nežinoma. Dabar jūs žinote, kaip sudaryti proporcijas. Svarbiausia yra rasti du ryšius, iš kurių viename yra nežinomas nežinomasis.

Proporcijos sprendimas dažnai yra paprastas daugyba, o tada padalijimas. Mokyklose vaikams neaiškinama, kodėl taip yra būtent taip. Nors svarbu suprasti, kad proporciniai santykiai yra matematikos klasika, pati mokslo esmė. Norėdami išspręsti proporcijas, turite mokėti tvarkyti trupmenas. Pavyzdžiui, dažnai reikia konvertuoti procentus į trupmenas. Tai yra, 95% įrašas neveiks. Ir jei iš karto parašysite 95/100, galėsite atlikti solidžius sumažinimus nepradėdami pagrindinio skaičiavimo. Iš karto reikia pasakyti, kad jei jūsų proporcija pasirodė esanti su dviem nežinomaisiais, tada to negalima išspręsti. Joks profesorius čia negali jums padėti. Ir jūsų užduotis greičiausiai turi sudėtingesnį teisingų veiksmų algoritmą.

Apsvarstykite kitą pavyzdį, kai nėra susidomėjimo. Vairuotojas nupirko 5 litrus benzino už 150 rublių. Jis svarstė, kiek sumokės už 30 litrų degalų. Norėdami išspręsti šią problemą, pažymėkite x reikiamą pinigų sumą. Galite patys išspręsti šią problemą ir tada patikrinti atsakymą. Jei dar nesugalvojote, kaip sudaryti proporciją, pažiūrėkite. 5 litrai benzino yra 150 rublių. Kaip ir pirmame pavyzdyje, užrašysime 5L - 150r. Dabar suraskime trečią skaičių. Žinoma, tai yra 30 litrų. Sutikite, kad šioje situacijoje tinka 30 litrų pora - x rubliai. Pereikime prie matematinės kalbos.

5 litrai - 150 rublių;

30 litrų - x rubliai;

Mes išsprendžiame šią proporciją:

x = 900 rublių.

Taigi mes nusprendėme. Atlikdami užduotį nepamirškite patikrinti atsakymo adekvatumo. Pasitaiko, kad netinkamu sprendimu automobiliai pasiekia nerealų 5000 kilometrų per valandą greitį ir pan. Dabar jūs žinote, kaip sudaryti proporcijas. Taip pat galite tai išspręsti. Kaip matote, tai nėra sunku.