Plokštumoje tiesės vadinamos lygiagrečiomis, jei jos neturi bendrų taškų, tai yra, nesikerta. Norėdami nurodyti lygiagretumą, naudokite specialią piktogramą || (lygiagrečios tiesės a || b).
Tiesėms, gulinčioms erdvėje, neužtenka reikalavimo, kad nebūtų bendrų taškų – kad jos būtų lygiagrečios erdvėje, jos turi priklausyti tai pačiai plokštumai (kitaip bus iškreiptos).
Nereikia toli eiti ieškant lygiagrečių linijų pavyzdžių, jos mus lydi visur, kambaryje tai yra sienos susikirtimo su lubomis ir grindimis linijos, užrašų knygelės lape yra priešingi kraštai ir pan.
Visiškai akivaizdu, kad dvi tiesės lygiagrečios ir trečia lygiagreti vienai iš pirmųjų dviejų, ji bus lygiagreti antrajai.
Lygiagrečios tiesės plokštumoje yra sujungtos teiginiu, kurio neįmanoma įrodyti naudojant planimetrijos aksiomas. Tai priimama kaip faktas, kaip aksioma: bet kuriam plokštumos taškui, kuris nėra tiesėje, yra unikali tiesė, kuri eina per ją lygiagrečiai duotajai. Šią aksiomą žino kiekvienas šeštokas.
Jo erdvinis apibendrinimas, ty teiginys, kad bet kuriame erdvės taške, kuris nėra tiesėje, yra unikali tiesė, einanti per jį lygiagrečiai duotajai, lengvai įrodoma naudojant jau žinomą paralelizmo aksiomą. lėktuvas.
Lygiagrečių tiesių savybės
- Jei kuri nors iš dviejų lygiagrečių tiesių yra lygiagreti trečiajai, tada jos yra lygiagrečios viena kitai.
Lygiagrečios linijos turi šią savybę tiek plokštumoje, tiek erdvėje.
Kaip pavyzdį apsvarstykite jo pagrindimą stereometrijoje.
Tegul tiesės b yra lygiagrečios tiesei a.
Atvejis, kai visos linijos yra toje pačioje plokštumoje, bus paliktas planimetrijai.
Tarkime, kad a ir b priklauso betta plokštumai, o gama yra plokštuma, kuriai priklauso a ir c (pagal lygiagretumo erdvėje apibrėžimą, tiesės turi priklausyti tai pačiai plokštumai).
Jei darysime prielaidą, kad beta ir gama plokštumos yra skirtingos ir pažymime tam tikrą tašką B tiesėje b nuo beta plokštumos, tai plokštuma, nubrėžta per tašką B ir tiesė c, turi kirsti beta plokštumą tiesia linija (žymime tai b1).
Jei gauta tiesė b1 kerta gama plokštumą, tada, viena vertus, susikirtimo taškas turėtų būti ant a, nes b1 priklauso betta plokštumai, o kita vertus, ji taip pat turi priklausyti c, nes b1 priklauso trečiajai plokštumai.
Tačiau lygiagrečios tiesės a ir c neturi susikirsti.
Taigi tiesė b1 turi priklausyti betta plokštumai ir tuo pačiu neturėti bendrų taškų su a, todėl pagal paralelizmo aksiomą sutampa su b.
Gavome tiesę b1, sutampančią su tiese b, kuri priklauso tai pačiai plokštumai su tiese c ir jos nesikerta, tai yra, b ir c yra lygiagrečios
- Per tašką, kuris nėra tam tikroje tiesėje, lygiagrečiai nurodytai tiesei, gali praeiti tik viena linija.
- Dvi tiesės, esančios plokštumoje, statmenoje trečiajai, yra lygiagrečios.
- Jei viena iš dviejų lygiagrečių tiesių kerta plokštumą, antroji tiesė kerta tą pačią plokštumą.
- Atitinkami ir kryžminiai vidiniai kampai, susidarę susikirtus lygiagrečioms dviem trečiosios tiesėms, yra lygūs, šiuo atveju susidariusių vidinių vienpusių suma yra 180 °.
Taip pat teisingi ir atvirkštiniai teiginiai, kurie gali būti laikomi dviejų tiesių lygiagretumo ženklais.
Lygiagrečių linijų būklė
Aukščiau suformuluotos savybės ir ženklai yra tiesių lygiagretumo sąlygos, kurias galima įrodyti geometrijos metodais. Kitaip tariant, norint įrodyti dviejų turimų tiesių lygiagretumą, pakanka įrodyti jų lygiagretumą trečiajai tiesei arba kampų lygybę, nesvarbu, ar jos atitinka, ar guli skersai ir pan.
Įrodinėjimui jie dažniausiai naudoja „prieštaravimo“ metodą, tai yra, darydami prielaidą, kad linijos nėra lygiagrečios. Remiantis šia prielaida, galima nesunkiai parodyti, kad šiuo atveju pažeidžiamos pateiktos sąlygos, pavyzdžiui, kryžminiai vidiniai kampai pasirodo nelygūs, o tai įrodo padarytos prielaidos neteisingumą.
Pamokos tikslai: Šioje pamokoje susipažinsite su „lygiagrečių linijų“ sąvoka, sužinosite, kaip įsitikinti, kad tiesės yra lygiagrečios, taip pat kokias savybes turi lygiagrečių tiesių ir sekanto suformuoti kampai.
Lygiagrečios linijos
Jūs žinote, kad „tiesios linijos“ sąvoka yra viena iš vadinamųjų neapibrėžtų geometrijos sąvokų.
Jau žinote, kad dvi tiesės gali sutapti, tai yra turėti visus bendrus taškus, gali susikirsti, tai yra turėti vieną bendrą tašką. Linijos susikerta skirtingais kampais, o kampas tarp linijų laikomas mažiausiu iš jų suformuotų kampų. Ypatingu susikirtimo atveju galima laikyti statmenumo atvejį, kai tiesių sudarytas kampas lygus 90 0 .
Tačiau dvi linijos gali neturėti bendrų taškų, tai yra, jos negali susikirsti. Tokios linijos vadinamos lygiagrečiai.
dirbti su elektronine edukacinis šaltinis « ».
Norėdami susipažinti su „lygiagrečių linijų“ sąvoka, dirbkite su vaizdo pamokos medžiaga
Taigi dabar jūs žinote lygiagrečių linijų apibrėžimą.
Iš vaizdo pamokos fragmento medžiagos sužinojote apie įvairių tipų kampai, susidarantys, kai dvi tiesės susikerta su trečiąja.
1 ir 4 kampų poros; 3 ir 2 vadinami vidiniai vienpusiai kampai(jie yra tarp eilučių a ir b).
5 ir 8 kampų poros; 7 ir 6 vadinami išoriniai vienpusiai kampai(jie guli už eilučių a ir b).
1 ir 8 kampų poros; 3 ir 6; 5 ir 4; 7 ir 2 vadinami vienpusiais kampais dešinėje a ir b ir sekantas c. Kaip matote, iš atitinkamų kampų poros vienas yra tarp dešiniojo a ir b o kitas už jų ribų.
Lygiagrečių linijų ženklai
Akivaizdu, kad naudojant apibrėžimą neįmanoma padaryti išvados, kad dvi tiesės yra lygiagrečios. Todėl norėdami padaryti išvadą, kad dvi linijos yra lygiagrečios, naudokite ženklai.
Vieną iš jų jau galite suformuluoti susipažinę su pirmosios video pamokos dalies medžiaga:
1 teorema. Dvi tiesės, statmenos trečiajai, nesikerta, tai yra, yra lygiagrečios.
Su kitais tiesių lygiagretumo ženklais, remiantis tam tikrų kampų porų lygybe, susipažinsite dirbdami su antrosios video pamokos dalies medžiagomis.„Lygiagrečių linijų ženklai“.
Taigi turėtumėte žinoti dar tris lygiagrečių linijų ženklus.
2 teorema (pirmasis lygiagrečių tiesių ženklas). Jei dviejų tiesių susikirtimo skersine kryptimi gulėjimo kampai yra lygūs, tai tiesės yra lygiagrečios.
Ryžiai. 2. Iliustracija skirta pirmasis ženklas lygiagrečios linijosDar kartą pakartokite pirmąjį lygiagrečių linijų ženklą dirbdami su elektroniniu mokymo šaltiniu « ».
Taigi, įrodant pirmąjį tiesių lygiagretumo ženklą, naudojamas trikampių (iš dviejų kraštinių ir kampo tarp jų) lygybės, taip pat tiesių, kaip statmenų vienai tiesei, lygiagretumo ženklas.
1 pratimas.
Pirmojo tiesių lygiagretumo ženklo formuluotę ir jo įrodymą užsirašykite į sąsiuvinius.
3 teorema (antrasis lygiagrečių tiesių kriterijus). Jei dviejų sekanto tiesių sankirtoje atitinkami kampai yra lygūs, tai tiesės yra lygiagrečios.
Dar kartą pakartokite antrąjį lygiagrečių linijų ženklą dirbdami su elektroniniu mokymo šaltiniu « ».
Įrodant antrąjį lygiagrečių tiesių kriterijų, naudojama vertikalių kampų savybė ir pirmasis lygiagrečių tiesių kriterijus.
2 užduotis.
Antrojo tiesių lygiagretumo ženklo formuluotę ir jo įrodymą užsirašykite į sąsiuvinius.
4 teorema (trečiasis lygiagrečių tiesių kriterijus). Jei sekanto dviejų tiesių sankirtoje vienpusių kampų suma lygi 180 0, tai tiesės lygiagrečios.
Dar kartą pakartokite trečiąjį lygiagrečių linijų ženklą dirbdami su elektroniniu mokymo šaltiniu « ».
Taigi, įrodant pirmąjį kriterijų lygiagrečioms tiesėms, naudojama gretimų kampų savybė ir pirmasis lygiagrečių tiesių kriterijus.
3 užduotis.
Trečiojo tiesių lygiagretumo ženklo formuluotę ir jos įrodymą užsirašykite į sąsiuvinius.
Norėdami praktikuotis sprendžiant paprasčiausias problemas, dirbkite su elektroninio ugdymo šaltinio medžiaga « ».
Sprendžiant uždavinius naudojami lygiagrečių tiesių ženklai.
Dabar apsvarstykite linijų lygiagretumo ženklų problemų sprendimo pavyzdžius, dirbdami su vaizdo pamokos medžiaga„Uždavinių sprendimas tema „Lygiagrečių tiesių ženklai“.
Dabar pasitikrinkite save atlikdami kontrolinio elektroninio ugdymo šaltinio užduotis « ».
Kiekvienas, norintis spręsti sudėtingesnes problemas, gali dirbti su vaizdo pamokos medžiaga „Lygiagrečių linijų ženklų problemos“.
Lygiagrečių tiesių savybės
Lygiagrečios linijos turi savybių rinkinį.
Kokios yra šios savybės, sužinosite dirbdami su vaizdo pamokos medžiaga „Lygiagrečių linijų savybės“.
Taigi, svarbus faktas, kurią turėtumėte žinoti, yra paralelizmo aksioma.
Paralelizmo aksioma. Per tašką, kuris nėra tam tikroje tiesėje, galima nubrėžti tiesę, lygiagrečią duotajai, ir, be to, tik vieną.
Kaip sužinojote iš video pamokos medžiagos, remiantis šia aksioma, galima suformuluoti dvi pasekmes.
1 pasekmė. Jei tiesė kerta vieną iš lygiagrečių tiesių, tada ji kerta kitą lygiagrečią tiesę.
2 pasekmė. Jei dvi tiesės lygiagrečios trečiajai, tai jos lygiagrečios viena kitai.
4 užduotis.
Suformuluotų pasekmių formuluotę ir jų įrodymus užsirašykite į sąsiuvinius.
Kampų, suformuotų lygiagrečių tiesių ir atskyrimo, savybės yra teoremos, atvirkštinės atitinkamiems ženklams.
Taigi iš video pamokos medžiagos sužinojote kryžminio gulėjimo kampų savybę.
5 teorema (teorema, atvirkštinė pirmajam lygiagrečių tiesių kriterijui). Kai dvi lygiagrečios tiesės kerta skersinę, gulėjimo kampai yra lygūs.
5 užduotis.
Dar kartą pakartokite pirmąją lygiagrečių linijų savybę dirbdami su elektroniniu mokymo šaltiniu « ».
6 teorema (teorema, atvirkštinė lygiagrečių tiesių antrajam kriterijui). Kai susikerta dvi lygiagrečios tiesės, atitinkami kampai yra lygūs.
6 užduotis.
Užsirašykite šios teoremos teiginį ir jos įrodymą į savo sąsiuvinius.
Dar kartą pakartokite antrąją lygiagrečių linijų savybę dirbdami su elektroniniu mokymo šaltiniu « ».
7 teorema (teorema, atvirkštinė lygiagrečių tiesių trečiajam kriterijui). Kai susikerta dvi lygiagrečios tiesės, vienpusių kampų suma lygi 180 0 .
7 užduotis.
Užsirašykite šios teoremos teiginį ir jos įrodymą į savo sąsiuvinius.
Dar kartą pakartokite trečiąją lygiagrečių linijų savybę dirbdami su elektroniniu mokymo šaltiniu « ».
Sprendžiant uždavinius taip pat naudojamos visos lygiagrečių tiesių savybės.
Apsvarstykite tipiniai pavyzdžiai problemų sprendimas dirbant su video pamokos medžiaga "Lygiagrečios linijos ir problemos dėl kampų tarp jų ir sekanto".
Šis skyrius skirtas lygiagrečių tiesių tyrimui. Taip vadinamos dvi tiesios linijos plokštumoje, kurios nesikerta. Matome lygiagrečių linijų segmentus aplinką- tai du stačiakampio stalo kraštai, du knygos viršelio kraštai, dvi troleibuso juostos ir tt Geometrijoje labai svarbios lygiagrečios linijos svarbus vaidmuo. Šiame skyriuje sužinosite, kas yra geometrijos aksiomos ir iš ko susideda lygiagrečių tiesių aksioma – viena žinomiausių geometrijos aksiomų.
1 skyriuje pažymėjome, kad dvi tiesės arba turi vieną bendrą tašką, tai yra, jos susikerta, arba neturi vieno bendro taško, tai yra, jos nesikerta.
Apibrėžimas
Tiesių a ir b lygiagretumas žymimas taip: a || b.
98 paveiksle pavaizduotos tiesei a ir b, statmenos tiesei c. 12 skirsnyje nustatėme, kad tokios tiesės a ir b nesikerta, tai yra lygiagrečios.
Ryžiai. 98
Kartu su lygiagrečiomis linijomis dažnai atsižvelgiama į lygiagrečius segmentus. Du segmentai vadinami lygiagrečiai jei jie guli lygiagrečiose tiesėse. 99 paveiksle atkarpos AB ir CD yra lygiagrečios (AB || CD), o atkarpos MN ir CD nėra lygiagrečios. Panašiai nustatomas atkarpos ir tiesės (99 pav., b), spindulio ir tiesės, atkarpos ir spindulio, dviejų spindulių (99 pav., c) lygiagretumas.
Ryžiai. 99 Dviejų tiesių lygiagretumo ženklai
Tiesiogiai su vadinama sekantas tiesių a ir b atžvilgiu, jeigu kerta jas dviejuose taškuose (100 pav.). Tiesių a ir b sankirtoje sekantas c sudaro aštuonis kampus, kurie 100 paveiksle pažymėti skaičiais. Kai kurios šių kampų poros turi specialius pavadinimus:
kryžminiai kampai: 3 ir 5, 4 ir 6;
vienpusiai kampai: 4 ir 5, 3 ir 6;
atitinkami kampai: 1 ir 5, 4 ir 8, 2 ir 6, 3 ir 7.
Ryžiai. 100
Apsvarstykite tris dviejų tiesių, susijusių su šiomis kampų poromis, lygiagretumo požymius.
Teorema
Įrodymas
Tarkime, kad tiesių a ir b susikirtimo taške AB, gulėjimo kampai yra lygūs: ∠1 = ∠2 (101 pav., a).
Įrodykime, kad a || b. Jei kampai 1 ir 2 yra statūs (101 pav., b), tai tiesės a ir b yra statmenos tiesei AB, todėl lygiagrečios.
Ryžiai. 101
Apsvarstykite atvejį, kai 1 ir 2 kampai nėra teisingi.
Nuo atkarpos AB vidurio O nubrėžkite statmeną OH tiesei a (101 pav., c). Tiesėje b nuo taško B atidėsime atkarpą VH 1, lygią atkarpai AH, kaip parodyta 101 paveiksle, c ir nubrėžiame atkarpą OH 1. Trikampiai ONA ir OH 1 V yra lygūs dviejose kraštinėse ir kampas tarp jų (AO = BO, AN = VN 1, ∠1 = ∠2), todėl ∠3 = ∠4 ir ∠5 = ∠6. Iš lygybės ∠3 = ∠4 išplaukia, kad taškas H 1 yra spindulio OH tęsinyje, ty taškai H, O ir H 1 yra toje pačioje tiesėje, o iš lygybės ∠5 = ∠6 jis yra iš to seka, kad kampas 6 yra tiesi linija (kadangi kampas 5 yra stačias kampas). Taigi tiesės a ir b yra statmenos tiesei HH 1, taigi yra lygiagrečios. Teorema įrodyta.
Teorema
Įrodymas
Tegul tiesių a ir b sankirtoje sekantas su atitinkamais kampais bus lygus, pvz., ∠1 = ∠2 (102 pav.).
Ryžiai. 102
Kadangi kampai 2 ir 3 yra vertikalūs, tai ∠2 = ∠3. Šios dvi lygybės reiškia, kad ∠1 = ∠3. Bet kampai 1 ir 3 yra kryžminiai, taigi tiesės a ir b yra lygiagrečios. Teorema įrodyta.
Teorema
Įrodymas
Tegul tiesių a ir b sankirtoje atkarpa su vienpusių kampų suma yra 180°, pvz., ∠1 + ∠4 = 180° (žr. 102 pav.).
Kadangi kampai 3 ir 4 yra gretimi, tai ∠3 + ∠4 = 180°. Iš šių dviejų lygybių išplaukia, kad skersiniai kampai 1 ir 3 yra lygūs, taigi tiesės a ir b yra lygiagrečios. Teorema įrodyta.
Praktiški lygiagrečių linijų brėžimo būdai
Lygiagrečių linijų ženklais grindžiami lygiagrečių linijų kūrimo būdai, naudojant įvairius praktikoje naudojamus įrankius. Apsvarstykite, pavyzdžiui, lygiagrečių linijų konstravimo metodą, naudojant piešimo kvadratą ir liniuotę. Norėdami sukurti tiesę, kertančią tašką M ir lygiagrečią duotai tiesei a, tiesei a pritaikome piešimo kvadratą, o jai – liniuotę, kaip parodyta 103 paveiksle. Tada perkeldami kvadratą išilgai liniuote, mes užtikrins, kad taškas M būtų kvadrato pusėje, ir nubrėžkite liniją b. Tiesės a ir b yra lygiagrečios, nes atitinkami kampai, 103 paveiksle pažymėti raidėmis α ir β, yra lygūs.
Ryžiai. 103 104 paveiksle parodytas lygiagrečių linijų, naudojant T kvadratą, sudarymo metodas. Šis metodas naudojamas piešimo praktikoje.
Ryžiai. 104 Panašus būdas taikomas ir atliekant staliaus darbus, kai nuožulniu būdu pažymimos lygiagrečios linijos (dvi medinės lentos tvirtinamos vyriais, 105 pav.).
Ryžiai. 105
Užduotys
186. 106 paveiksle tieses a ir b kerta tiese c. Įrodykite, kad a || b jei:
a) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
b) ∠1 = ∠6;
c) ∠l = 45°, o kampas 7 yra tris kartus didesnis už kampą 3.
Ryžiai. 106
187. Pagal 107 paveikslą įrodykite, kad AB || D.E.
Ryžiai. 107
188. Atkarpos AB ir CD susikerta jų bendrame viduryje. Įrodykite, kad tiesės AC ir BD yra lygiagrečios.
189. Naudodamiesi 108 paveikslo duomenimis, įrodykite, kad BC || REKLAMA.
Ryžiai. 108
190. 109 paveiksle AB = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Įrodykite, kad DE || AS.
Ryžiai. 109
191. Atkarpa VK yra trikampio ABC pusiausvyra. Per tašką K nubrėžiama tiesė, kertanti kraštinę BC taške M taip, kad BM = MK. Įrodykite, kad tiesės KM ir AB yra lygiagrečios.
192. Trikampyje ABC kampas A yra 40°, o kampas ALL, esantis greta kampo ACB, yra 80°. Įrodykite, kad kampo ALL bisektorius yra lygiagretus tiesei AB.
193. Trikampyje ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Tiesė BD brėžiama per viršūnę B taip, kad spindulys BC būtų kampo ABD pusiausvyra. Įrodykite, kad tiesės AC ir BD yra lygiagrečios.
194. Nubraižykite trikampį. Per kiekvieną šio trikampio viršūnę, naudodami piešimo kvadratą ir liniuotę, nubrėžkite tiesią liniją, lygiagrečią priešingai kraštinei.
195. Nubrėžkite trikampį ABC ir pažymėkite tašką D kraštinėje AC. Per tašką D, naudodami piešimo kvadratą ir liniuotę, nubrėžkite tiesias linijas, lygiagrečias kitoms dviem trikampio kraštinėms.
§ 1. Dviejų linijų lygiagretumo ženklai – geometrijos 7 klasė (Atanasyan L. S.)
Trumpas aprašymas:
Apie tai, kas yra lygiagrečios linijos, sužinosite šioje pastraipoje. Gausite paprastą apibrėžimą, bet tuo pačiu ir šiek tiek neįprastą – dvi tiesės plokštumoje vadinamos lygiagrečios, jei jos nesikerta. Kitaip tariant, jei dvi tiesės nesikerta, jos bus lygiagrečios. Arba, jei tiesės neturi susikirtimo taškų, tada jos yra lygiagrečios.
Šio apibrėžimo neįprastumas slypi tame, kad jei priešais jus yra dvi tiesios linijos ir nematote jų susikirtimo taško, tai visai nereiškia, kad jo nėra. Tai reiškia, kad galite to tiesiog nematyti.
Todėl šis apibrėžimas negali būti naudojamas tiesiogiai įrodyti, kad dvi tiesės yra lygiagrečios. Juk negali be galo sekti linijų tęsinį, kad įsitikintum, jog jos nesusikerta.
Bet tai nėra būtina. Yra ženklų, pagal kuriuos galima spręsti apie tiesių lygiagretumą. Jų yra trys. Pagal kiekvieną iš jų nagrinėjami specialūs kampai arba jų deriniai, kuriuos šių dviejų tiriamų tiesių sankirtoje sudaro trečioji linija - sekantas. Šie kampai naudojami tiesių lygiagretumui spręsti.
Šių požymių įrodymai – lygiagrečių tiesių teorema – paremti teorema, kurią jau nagrinėjote vadovėlio 1 skyriuje – dvi tiesės, statmenos trečiajai, nesikerta. Tik dabar ši teorema atrodo kitaip – dvi tiesės, statmenos trečiajai, yra lygiagrečios.
Dviejų tiesių lygiagretumo ženklai
1 teorema. Jei dviejų sekanto tiesių sankirtoje:
įstrižai gulėti kampai yra lygūs, arba
atitinkami kampai yra lygūs, arba
vienpusių kampų suma yra 180°, tada
linijos lygiagrečios(1 pav.).
Įrodymas. Mes apsiribojame 1 atvejo įrodymu.
Tarkime, kad tiesių a ir b susikirtimo taške AB skersai gulėti kampai yra lygūs. Pavyzdžiui, ∠ 4 = ∠ 6. Įrodykime, kad a || b.
Tarkime, kad tiesės a ir b nėra lygiagrečios. Tada jie susikerta tam tikrame taške M ir todėl vienas iš kampų 4 arba 6 bus išorinis trikampio ABM kampas. Apibrėžtumo dėlei ∠ 4 yra išorinis trikampio ABM kampas, o ∠ 6 – vidinis. Iš trikampio išorinio kampo teoremos išplaukia, kad ∠ 4 yra didesnis nei ∠ 6, ir tai prieštarauja sąlygai, o tai reiškia, kad tiesės a ir 6 negali susikirsti, todėl yra lygiagrečios.
1 išvada. Dvi skirtingos tiesės plokštumoje, statmenoje tai pačiai tiesei, yra lygiagrečios(2 pav.).
komentuoti. Būdas, kuriuo ką tik įrodėme 1 teoremos 1 atvejį, vadinamas įrodinėjimo prieštaravimu arba redukavimu iki absurdo metodu. Šis metodas gavo savo pirmąjį pavadinimą, nes samprotavimo pradžioje daroma prielaida, kuri yra priešinga (priešinga) tam, ką reikalaujama įrodyti. Redukcija iki absurdo ji vadinama dėl to, kad, argumentuodami pagal padarytą prielaidą, prieiname prie absurdiškos išvados (absurdo). Tokios išvados gavimas verčia atmesti pradžioje padarytą prielaidą ir priimti tą, kurią reikėjo įrodyti.
1 užduotis. Sukurkite tiesę, einančią per nurodytą tašką M ir lygiagrečią duotai tiesei a, nekertančią taško M.
Sprendimas. Per tašką M brėžiame tiesę p, statmeną tiesei a (3 pav.).
Tada per tašką M brėžiame tiesę b, statmeną tiesei p. Tiesė b yra lygiagreti tiesei a pagal 1 teoremos išvadą.
Iš nagrinėjamos problemos daroma svarbi išvada:
Per tašką, esantį ne tam tikroje tiesėje, visada galima nubrėžti tiesę, lygiagrečią nurodytai tiesei..
Pagrindinė lygiagrečių linijų savybė yra tokia.
Lygiagrečių tiesių aksioma. Per tam tikrą tašką, esantį ne tam tikroje tiesėje, yra tik viena tiesė, lygiagreti nurodytai tiesei.
Apsvarstykite kai kurias lygiagrečių linijų savybes, kurios išplaukia iš šios aksiomos.
1) Jei tiesė kerta vieną iš dviejų lygiagrečių tiesių, tai ji kerta kitą (4 pav.).
2) Jei dvi skirtingos tiesės yra lygiagrečios trečiajai tiesei, tai jos lygiagrečios (5 pav.).
Ši teorema taip pat teisinga.
2 teorema. Jei dvi lygiagrečias tieses kerta sekantas, tai:
gulėjimo kampai yra lygūs;
atitinkami kampai yra lygūs;
vienpusių kampų suma yra 180°.
2 pasekmė. Jei tiesė yra statmena vienai iš dviejų lygiagrečių tiesių, tai ji taip pat yra statmena ir kitai.(žr. 2 pav.).
komentuoti. 2 teorema vadinama atvirkštine 1 teorema. 1 teoremos išvada yra 2 teoremos sąlyga. O 1 teoremos sąlyga yra 2 teoremos išvada. Ne kiekviena teorema turi atvirkštinę, t. y. jei duota teorema yra teisinga, tada atvirkštinė teorema gali būti klaidinga.
Paaiškinkime tai teoremos pavyzdžiu vertikalūs kampai. Šią teoremą galima suformuluoti taip: jei du kampai yra vertikalūs, tai jie lygūs. Atvirkštinė teorema būtų tokia: jei du kampai lygūs, tai jie vertikalūs. Ir tai, žinoma, netiesa. Du vienodi kampai neturi būti vertikaliai.
1 pavyzdys Dvi lygiagrečias linijas kerta trečdalis. Yra žinoma, kad skirtumas tarp dviejų vidinių vienpusių kampų yra 30°. Raskite tuos kampus.
Sprendimas. Tegul 6 paveikslas atitinka sąlygą.
