Gretimi kampai turi bendrą pusę. Vertikalūs ir gretimi kampai. Kas yra gretimas kampas

Du kampai vadinami gretimais, jei jų viena pusė yra bendra, o kitos šių kampų pusės yra papildomi spinduliai. 20 paveiksle kampai AOB ir BOC yra gretimi.

Gretimų kampų suma yra 180 °

1 teorema. Gretimų kampų suma lygi 180 °.

Įrodymas. OB sija (žr. 1 pav.) eina tarp išskleisto kampo šonų. Štai kodėl ∠ AOB + ∠ BOS = 180 °.

Iš 1 teoremos išplaukia, kad jei du kampai yra lygūs, tai kampai, esantys šalia jų, yra lygūs.

Vertikalūs kampai yra lygūs

Du kampai vadinami vertikaliais, jei vieno kampo kraštinės yra vienas kitą papildantys kito kraštų spinduliai. Dviejų tiesių sankirtoje susidarę kampai AOB ir COD, BOD ir AOC yra vertikalūs (2 pav.).

2 teorema. Vertikalieji kampai lygūs.

Įrodymas. Apsvarstykite vertikalius kampus AOB ir COD (žr. 2 pav.). Kampinis BOD yra greta kiekvieno kampo AOB ir COD. Pagal 1 teoremą ∠ AOB + ∠ BDS = 180 °, ∠ COD + ∠ BDS = 180 °.

Taigi darome išvadą, kad ∠ AOB = ∠ COD.

Išvada 1. Kampas, esantis greta stačiojo kampo, yra stačiu kampu.

Apsvarstykite dvi susikertančias tieses AC ir BD (3 pav.). Jie sudaro keturis kampus. Jei vienas iš jų yra tiesus (3 pav. 1 kampas), tai kiti kampai taip pat yra statūs (kampai 1 ir 2, 1 ir 4 yra gretimi, kampai 1 ir 3 yra vertikalūs). Šiuo atveju jie sako, kad šios linijos susikerta stačiu kampu ir vadinamos statmenomis (arba viena kitai statmenomis). Tiesių AC ir BD statmena žymima taip: AC ⊥ BD.

Atkarpai statmenas vidurio taškas yra tiesi linija, statmena šiai atkarpai ir einanti per jos vidurio tašką.

AH – statmena tiesei

Apsvarstykite tiesę a ir tašką A, kuris nėra joje (4 pav.). Sujungkime tašką A su atkarpa su tašku H tiesėje a. Atkarpa AH vadinama statmenu, nubrėžtu iš taško A į tiesę a, jei tiesės AH ir a yra statmenos. Taškas H vadinamas statmens pagrindu.

Kvadrato piešimas

Ši teorema yra teisinga.

3 teorema. Iš bet kurio taško, esančio ne ant tiesės, galima nubrėžti statmeną šiai tiesei, o be to tik vieną.

Norėdami nubrėžti statmeną nuo taško iki tiesės brėžinyje, naudokite piešimo kvadratą (5 pav.).

komentuoti. Teoremos teiginys paprastai susideda iš dviejų dalių. Viena dalis kalba apie tai, kas duota. Ši dalis vadinama teoremos sąlyga. Kita dalis kalba apie tai, ką reikia įrodyti. Ši dalis vadinama teoremos išvada. Pavyzdžiui, 2 teoremos sąlyga yra ta, kad kampai yra vertikalūs; išvada – šie kampai lygūs.

Bet kurią teoremą galima detaliai išreikšti žodžiais, kad jos sąlyga prasidėtų žodžiu „jei“, o išvada – žodžiu „tada“. Pavyzdžiui, 2 teorema gali būti išsamiai išdėstyta taip: „Jei du kampai yra vertikalūs, tada jie yra lygūs“.

1 pavyzdys. Vienas iš gretimų kampų yra 44 °. Kam tas kitas lygus?

Sprendimas. Kito kampo laipsnio matą pažymime x, tada pagal 1 teoremą.
44 ° + x = 180 °.
Išspręsdami gautą lygtį, nustatome, kad x = 136 °. Todėl kitas kampas yra 136 °.

2 pavyzdys. Tegul COD kampas 21 paveiksle yra 45 °. Kokie yra kampai AOB ir AOC?

Sprendimas. COD ir AOB kampai yra vertikalūs, todėl pagal 1.2 teoremą jie yra lygūs, tai yra, ∠ AOB = 45 °. Kampas AOC yra greta kampo COD, taigi pagal 1 teoremą.
∠ AOC = 180 ° - ∠ COD = 180 ° - 45 ° = 135 °.

3 pavyzdys. Raskite gretimus kampus, jei vienas iš jų yra 3 kartus didesnis už kitą.

Sprendimas. Pažymime mažesnio kampo laipsnio matą per x. Tada didesnio kampo laipsnio matas bus Zx. Kadangi gretimų kampų suma yra 180 ° (1 teorema), tai x + 3x = 180 °, iš kur x = 45 °.
Tai reiškia, kad gretimi kampai yra 45 ° ir 135 °.

4 pavyzdys. Dviejų vertikalių kampų suma yra 100 °. Raskite kiekvieno iš keturių kampų dydį.

Sprendimas. Tegul uždavinio sąlygą atitinka 2 pav. COD ir AOB vertikalūs kampai yra lygūs (2 teorema), taigi ir jų laipsnio matai yra lygūs. Todėl ∠ COD = ∠ AOB = 50 ° (jų suma pagal sąlygą yra 100 °). BOD kampas (taip pat AOC kampas) yra greta COD kampo, todėl pagal 1 teoremą
∠ BDS = ∠ AOC = 180 ° - 50 ° = 130 °.

I SKYRIUS.

PAGRINDINĖS SĄVOKOS.

§vienuolika. GRETIMAS IR VERTIKALŪS KAMPAI.

1. Gretimi kampai.

Jei kurio nors kampo kraštinę pratęsime už jo viršūnės, gausime du kampus (72 pav.): / A BC ir / CBD, kurioje viena BC pusė yra bendra, o kitos dvi AB ir BD yra tiesioje linijoje.

Du kampai, kurių viena pusė yra bendra, o kiti du sudaro tiesią liniją, vadinami gretimais kampais.

Gretimus kampus galima gauti tokiu būdu: jei nubrėžiame spindulį iš kurio nors tiesės taško (ne gulint ant šios tiesės), tai gauname gretimus kampus.
Pavyzdžiui, / ADF ir / FDВ - gretimi kampai (73 pav.).

Gretimi kampai gali turėti įvairiausių padėčių (74 pav.).

Gretimi kampai sudaro plokščią kampą, todėl su dviejų gretimų kampų umma yra 2d.

Iš čia stačiasis kampas gali būti apibrėžtas kaip kampas, lygus jo gretimam kampui.

Žinodami vieno iš gretimų kampų dydį, galime rasti kito gretimo kampo dydį.

Pavyzdžiui, jei vienas iš gretimų kampų yra 3/5 d, tada antrasis kampas bus:

2d- 3 / 5 d= l 2/5 d.

2. Vertikalūs kampai.

Jei pratęsime kampo šonus už jo viršūnės, gausime vertikalius kampus. 75 brėžinyje kampai EOF ir AOC yra vertikalūs; kampai AOE ir COF taip pat vertikalūs.

Sakoma, kad du kampai yra vertikalūs, jei vieno kampo kraštinės yra kito kampo kraštų tęsinys.

Leisti būti / 1 = 7 / 8 d(76 pav.). Šalia jo / 2 bus lygus 2 d- 7 / 8 d, ty 1 1/8 d.

Tuo pačiu būdu galite apskaičiuoti, kas yra / 3 ir / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(77 pav.).

Mes tai matome / 1 = / 3 ir / 2 = / 4.

Galite išspręsti dar keletą tų pačių problemų ir kiekvieną kartą gausite tą patį rezultatą: vertikalūs kampai yra lygūs vienas kitam.

Tačiau norint įsitikinti, kad vertikalūs kampai visada yra lygūs vienas kitam, neužtenka atsižvelgti į atskirus skaitinius pavyzdžius, nes iš konkrečių pavyzdžių padarytos išvados kartais gali būti klaidingos.

Vertikalių kampų savybės pagrįstumą būtina patikrinti samprotavimu, įrodinėjimo būdu.

Įrodymas gali būti atliktas taip (78 pav.):

/ a +/ c = 2d;
/ b +/ c = 2d;

(nes gretimų kampų suma lygi 2 d).

/ a +/ c = / b +/ c

(kadangi kairioji šios lygybės pusė yra 2 d, o jo dešinė pusė taip pat lygi 2 d).

Ši lygybė apima tą patį kampą su.

Jei iš vienodų reikšmių atimsime vienodai, tai liks vienodai. Rezultatas bus: / a = / b, tai yra, vertikalūs kampai yra lygūs vienas kitam.

Svarstydami vertikalių kampų klausimą, pirmiausia paaiškinome, kurie kampai vadinami vertikaliais, tai yra, pateikti apibrėžimas vertikalūs kampai.

Tada išsakėme sprendimą (teiginį) apie vertikalių kampų lygybę ir šio sprendimo pagrįstumu įsitikinome įrodymais. Tokie sprendimai, kurių pagrįstumas turi būti įrodytas, yra vadinami teoremos... Taigi, šiame skyriuje pateikėme vertikalių kampų apibrėžimą, taip pat išreiškėme ir įrodėme teoremą apie jų savybę.

Ateityje studijuodami geometriją nuolat turėsime susidurti su teoremų apibrėžimais ir įrodymais.

3. Kampų, turinčių bendrą viršūnę, suma.

79 brėžinys / 1, / 2, / 3 ir / 4 yra vienoje tiesios linijos pusėje ir turi bendrą šios tiesios viršūnę. Iš viso šie kampai sudaro išplėstinį kampą, t.y.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d.

80 brėžinys / 1, / 2, / 3, / 4 ir / 5 turi bendrą viršų. Kartu šie kampai sudaro visą kampą, t.y. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.

Pratimai.

1. Vienas iš gretimų kampų yra 0,72 d. Apskaičiuokite kampą, kurį sudaro šių gretimų kampų pusiausvyros.

2. Įrodykite, kad dviejų gretimų kampų pusiausvyros sudaro statųjį kampą.

3. Įrodykite, kad jei du kampai yra lygūs, tai ir gretimi jų kampai yra lygūs.

4. Kiek porų gretimų kampų yra 81 brėžinyje?

5. Ar gretimų kampų pora gali būti sudaryta iš dviejų aštrių kampų? iš dviejų buko kampų? stačiu ir buku kampu? stačiu ir smailiu kampu?

6. Jei vienas iš gretimų kampų yra tiesus, ką galite pasakyti apie gretimo kampo vertę?

7. Jei dviejų tiesių sankirtoje vienas tiesės kampas, tai ką galite pasakyti apie kitų trijų kampų vertę?

Geometrija yra labai daugialypis mokslas. Ji lavina logiką, vaizduotę ir intelektą. Žinoma, dėl savo sudėtingumo ir daugybės teoremų bei aksiomų tai ne visada patinka moksleiviams. Be to, reikia nuolat įrodyti savo išvadas naudojant visuotinai priimtus standartus ir taisykles.

Gretimi ir vertikalūs kampai yra neatsiejami nuo geometrijos. Žinoma, daugelis moksleivių juos tiesiog dievina dėl to, kad jų savybės yra aiškios ir lengvai įrodomos.

Kampų formavimas

Bet koks kampas susidaro susikirtus dviem tiesioms linijoms arba nubrėžus du spindulius iš vieno taško. Jie gali būti vadinami viena arba trimis raidėmis, kurios iš eilės nurodo kampo konstrukcijos taškus.

Kampai matuojami laipsniais ir (priklausomai nuo jų vertės) gali būti vadinami skirtingai. Taigi, yra stačiu kampu, smailu, buku ir neišskleista. Kiekvienas iš pavadinimų atitinka tam tikro laipsnio matą arba jo intervalą.

Ūminiu vadinamas kampas, kurio matas neviršija 90 laipsnių.

Bukas kampas yra didesnis nei 90 laipsnių.

Kampas vadinamas dešiniuoju, kai jo laipsnio matas yra 90.

Tuo atveju, kai jis sudarytas iš vienos ištisinės linijos, o jos laipsnio matas yra 180, jis vadinamas neišlenktu.

Kampai, turintys bendrą kraštinę, kurios kita pusė tęsiasi viena kitą, vadinami gretimais. Jie gali būti aštrūs arba buki. Linijos susikirtimas sudaro gretimus kampus. Jų savybės yra šios:

1. Šių kampų suma bus lygi 180 laipsnių (yra tai įrodanti teorema). Todėl vieną iš jų galima nesunkiai apskaičiuoti, jei kitas žinomas.
2. Iš pirmojo taško matyti, kad gretimų kampų negali sudaryti du buki arba du aštrūs kampai.

Dėl šių savybių visada galite apskaičiuoti kampo laipsnio matą, turėdami kito kampo reikšmę arba bent jau santykį tarp jų.

Vertikalūs kampai

Kampai, kurių kraštinės yra vienas kito tęsinys, vadinami vertikaliais. Bet kuri iš jų veislių gali veikti kaip tokia pora. Vertikalūs kampai visada yra lygūs vienas kitam.

Jie susidaro tiesių linijų sankirtoje. Kartu su jais visada yra ir gretimų kampų. Kampas vienu metu gali būti greta vieno ir vertikalus prie kito.

Kertant savavališką liniją, atsižvelgiama ir į dar kelis kampų tipus. Tokia linija vadinama sekantu ir sudaro atitinkamus, vienpusius ir kryžminius kampus. Jie yra lygūs. Į juos galima žiūrėti atsižvelgiant į vertikalių ir gretimų kampų savybes.

Taigi, kampų tema atrodo gana paprasta ir nesudėtinga. Visas jų savybes lengva prisiminti ir įrodyti. Spręsti uždavinius nėra sunku, kol kampai atitinka skaitinę reikšmę. Jau toliau, kai prasidės nuodėmės ir cos tyrimas, turėsite įsiminti daugybę sudėtingų formulių, jų išvadų ir pasekmių. Iki to laiko galite tiesiog mėgautis lengvomis užduotimis, kuriose jums reikia rasti gretimus kampus.

Studijuojant geometrijos kursą gana dažnai susiduriama su sąvokomis „kampas“, „vertikalūs kampai“, „gretimi kampai“. Kiekvieno termino supratimas padės suprasti užduotį ir teisingai ją išspręsti. Kas yra gretimi kampai ir kaip juos apibrėžti?

Gretimi kampai – sąvokos apibrėžimas

Terminas „gretimi kampai“ apibūdina du kampus, sudarytus iš bendro spindulio ir dviejų papildomų puslinijų, esančių vienoje tiesėje. Visi trys spinduliai išeina iš vieno taško. Bendroji puslinija vienu metu yra ir vieno, ir antrojo kampo pusė.

Gretimi kampai – pagrindinės savybės

1. Remiantis gretimų kampų formuluote, nesunku pastebėti, kad tokių kampų suma visada sudaro išplėstinį kampą, kurio laipsnio matas yra 180 °:

• Jei μ ir η yra gretimi kampai, tai μ + η = 180 °.
• Žinodami vieno iš gretimų kampų vertę (pavyzdžiui, μ), galite lengvai apskaičiuoti antrojo kampo (η) laipsnio matą naudodami išraišką η = 180 ° - μ.

2. Ši kampų savybė leidžia padaryti tokią išvadą: kampas, esantis greta stačiojo kampo, taip pat bus teisingas.

3. Atsižvelgiant į trigonometrines funkcijas (sin, cos, tg, ctg), remiantis gretimų kampų μ ir η redukcijos formulėmis, yra teisinga:

• sinη = nuodėmė (180 ° - μ) = sinμ,
• cosη = cos (180 ° - μ) = -cosμ,
• tgη = tg (180 ° - μ) = -tgμ,
• ctgη ​​​​= ctg (180 ° - μ) = -ctgμ.

Gretimi kampai – pavyzdžiai

1 pavyzdys

Duotas trikampis su viršūnėmis M, P, Q - ΔMPQ. Raskite kampus, esančius šalia kampų ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.

• Išplėskite kiekvieną trikampio kraštą tiesia linija.
• Žinodami, kad gretimi kampai vienas kitą papildo iki pat įrengto kampo, sužinome, kad:

QMP yra šalia LMP,

gretimas ∠MPQ kampas yra ∠SPQ,

PQM yra greta ∠HQP.

2 pavyzdys

Vieno gretimo kampo dydis yra 35 °. Koks antrojo gretimo kampo laipsnio matas?

• Du gretimi kampai sudaro 180 °.
• Jei ∠μ = 35 °, tada gretimas ∠η = 180 ° - 35 ° = 145 °.

3 pavyzdys

Nustatykite gretimų kampų reikšmes, jei žinoma, kad vieno iš dugno laipsnio matas yra tris kartus didesnis nei kito kampo laipsnio matas.

• Vieno (mažesnio) kampo reikšmę pažymėkime per - ∠μ = λ.
• Tada pagal uždavinio sąlygą antrojo kampo reikšmė bus lygi ∠η = 3λ.
• Remiantis pagrindine gretimų kampų savybe, μ + η = 180 °

λ + 3λ = μ + η = 180 °,

λ = 180 ° / 4 = 45 °.

Taigi pirmasis kampas ∠μ = λ = 45 °, o antrasis kampas ∠η = 3λ = 135 °.

Gebėjimas apeliuoti su terminija, taip pat pagrindinių gretimų kampų savybių žinios padės išspręsti daugelį geometrinių problemų.

1. Gretimi kampai.

Jei bet kurio kampo kraštinę pratęsime už jo viršūnės, gausime du kampus (72 pav.): ∠ABS ir ∠СВD, kurių viena kraštinė BC yra bendra, o kitos dvi – AB ir BD – sudaro tiesią liniją.

Du kampai, kurių viena pusė yra bendra, o kiti du sudaro tiesią liniją, vadinami gretimais kampais.

Gretimus kampus galima gauti tokiu būdu: jei nubrėžiame spindulį iš kurio nors tiesės taško (ne gulint ant šios tiesės), tai gauname gretimus kampus.

Pavyzdžiui, ∠ADF ir ∠FDB yra gretimi kampai (73 pav.).

Gretimi kampai gali turėti įvairiausių padėčių (74 pav.).

Gretimi kampai sudaro plokščią kampą, taigi dviejų gretimų kampų suma yra 180 °

Iš čia stačiasis kampas gali būti apibrėžtas kaip kampas, lygus jo gretimam kampui.

Žinodami vieno iš gretimų kampų dydį, galime rasti kito gretimo kampo dydį.

Pavyzdžiui, jei vienas iš gretimų kampų yra 54 °, tada antrasis kampas bus:

180 ° - 54 ° = l26 °.

2. Vertikalūs kampai.

Jei pratęsime kampo šonus už jo viršūnės, gausime vertikalius kampus. 75 paveiksle kampai EOF ir AOC yra vertikalūs; kampai AOE ir COF taip pat vertikalūs.

Sakoma, kad du kampai yra vertikalūs, jei vieno kampo kraštinės yra kito kampo kraštų tęsinys.

Tegul ∠1 = \ (\ frac (7) (8) \) ⋅ 90 ° (76 pav.). Gretima ∠2 bus 180 ° - \ (\ frac (7) (8) \) ⋅ 90 °, tai yra, 1 \ (\ frac (1) (8) \) ⋅ 90 °.

Taip pat galite apskaičiuoti, kam yra lygūs ∠3 ir ∠4.

∠3 = 180 ° - 1 \ (\ frac (1) (8) \) ⋅ 90 ° = \ (\ frac (7) (8) \) ⋅ 90 °;

∠4 = 180 ° - \ (\ frac (7) (8) \) ⋅ 90 ° = 1 \ (\ frac (1) (8) \) ⋅ 90 ° (77 pav.).

Matome, kad ∠1 = ∠3 ir ∠2 = ∠4.

Galite išspręsti dar keletą tų pačių problemų ir kiekvieną kartą gausite tą patį rezultatą: vertikalūs kampai yra lygūs vienas kitam.

Tačiau norint įsitikinti, kad vertikalūs kampai visada yra lygūs vienas kitam, neužtenka atsižvelgti į atskirus skaitinius pavyzdžius, nes iš konkrečių pavyzdžių padarytos išvados kartais gali būti klaidingos.

Vertikalių kampų savybės pagrįstumą būtina patikrinti įrodymu.

Įrodymas gali būti atliktas taip (78 pav.):

∠a +∠c= 180 °;

∠b +∠c= 180 °;

(nes gretimų kampų suma yra 180 °).

∠a +∠c = ∠b +∠c

(kadangi kairioji šios lygybės pusė yra lygi 180 °, o dešinė taip pat lygi 180 °).

Ši lygybė apima tą patį kampą su.

Jei iš vienodų reikšmių atimsime vienodai, tai liks vienodai. Rezultatas bus: ∠a = ∠b, tai yra, vertikalūs kampai yra lygūs vienas kitam.

3. Kampų, turinčių bendrą viršūnę, suma.

Brėžinyje 79 1, ∠2, ∠3 ir ∠4 yra vienoje tiesės pusėje ir turi bendrą šios tiesės viršūnę. Iš viso šie kampai sudaro išplėstinį kampą, t.y.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180 °.

Brėžinyje 80 1, ∠2, ∠3, ∠4 ir ∠5 turi bendrą viršūnę. Šie kampai sudaro bendrą kampą, t. y. ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360 °.

Kitos medžiagos