Положение точки в пространстве может быть задано двумя её ортогональными проекциями, например, горизонтальной и фронтальной, фронтальной и профильной. Сочетание любых двух ортогональных проекций позволяет узнать значение всех координат точки, построить третью проекцию, определить октант, в котором она находится. Рассмотрим несколько типичных задач из курса начертательной геометрии.
По заданному комплексному чертежу точек A и B необходимо:
Определим сначала координаты т. A, которые можно записать в виде A (x, y, z). Горизонтальная проекция т. A – точка A", имеющая координаты x, y. Проведем из т. A" перпендикуляры к осям x, y и найдем соответственно A х, A у. Координата х для т. A равна длине отрезка A х O со знаком плюс, так как A х лежит в области положительных значений оси х. С учетом масштаба чертежа находим х = 10. Координата у равна длине отрезка A у O со знаком минус, так как т. A у лежит в области отрицательных значений оси у. С учетом масштаба чертежа у = –30. Фронтальная проекция т. A – т. A"" имеет координаты х и z. Опустим перпендикуляр из A"" на ось z и найдем A z . Координата z точки A равна длине отрезка A z O со знаком минус, так как A z лежит в области отрицательных значений оси z. С учетом масштаба чертежа z = –10. Таким образом, координаты т. A (10, –30, –10).
Координаты т. B можно записать в виде B (x, y, z). Рассмотрим горизонтальную проекцию точки B – т. В". Так как она лежит на оси х, то B x = B" и координата B у = 0. Абсцисса x точки B равна длине отрезка B х O со знаком плюс. С учетом масштаба чертежа x = 30. Фронтальная проекция точки B – т. B˝ имеет координаты х, z. Проведем перпендикуляр из B"" к оси z, таким образом найдем B z . Аппликата z точки B равна длине отрезка B z O со знаком минус, так как B z лежит в области отрицательных значений оси z. С учетом масштаба чертежа определим значение z = –20. Таким образом, координаты B (30, 0, -20). Все необходимые построения представлены на рисунке ниже.
Построение проекций точек
Точки A и B в плоскости П 3 имеют следующие координаты: A""" (y, z); B""" (y, z). При этом A"" и A""" лежат одном перпендикуляре к оси z, так как координата z у них общая. Точно также на общем перпендикуляре к оси z лежат B"" и B""". Чтобы найти профильную проекцию т. A, отложим по оси у значение соответствующей координаты, найденное ранее. На рисунке это сделано с помощью дуги окружности радиуса A у O. После этого проведем перпендикуляр из A у до пересечения с перпендикуляром, восстановленным из точки A"" к оси z. Точка пересечения этих двух перпендикуляров определяет положение A""".
Точка B""" лежит на оси z, так как ордината y этой точки равна нулю. Для нахождения профильной проекции т. B в данной задаче необходимо лишь провести перпендикуляр из B"" к оси z. Точка пересечении этого перпендикуляра с осью z есть B""".
Определение положения точек в пространстве
Наглядно представляя себе пространственный макет, составленный из плоскостей проекций П 1 , П 2 и П 3 , расположение октантов , а также порядок трансформации макета в эпюр, можно непосредственно определить, что т. A расположена в III октанте, а т. B лежит в плоскости П 2 .
Другим вариантом решения данной задачи является метод исключений. Например, координаты точки A (10, -30, -10). Положительная абсцисса x позволяет судить о том, что точка расположена в первых четырех октантах. Отрицательная ордината y говорит о том, что точка находится во втором или третьем октантах. Наконец, отрицательная аппликата z указывает на то, что т. A расположена в третьем октанте. Приведенные рассуждения наглядно иллюстрирует следующая таблица.
| Октанты | Знаки координат | ||
| x | y | z | |
| 1 | + | + | + |
| 2 | + | – | + |
| 3 | + | – | – |
| 4 | + | + | – |
| 5 | – | + | + |
| 6 | – | – | + |
| 7 | – | – | – |
| 8 | – | + | – |
Координаты точки B (30, 0, -20). Поскольку ордината т. B равна нулю, эта точка расположена в плоскости проекций П 2 . Положительная абсцисса и отрицательная аппликата т. B указывают на то, что она расположена на границе третьего и четвертого октантов.
Построение наглядного изображения точек в системе плоскостей П 1 , П 2 , П 3
Используя фронтальную изометрическую проекцию, мы построили пространственный макет III октанта. Он представляет собой прямоугольный трехгранник, у которого гранями являются плоскости П 1 , П 2 , П 3 , а угол (-y0x) равен 45 º. В этой системе отрезки по осям x, y, z будут откладываться в натуральную величину без искажений.
Построение наглядного изображения т. A (10, -30, -10) начнем с её горизонтальной проекции A". Отложив по оси абсцисс и ординат соответствующие координаты, найдем точки A х и A у. Пересечение перпендикуляров, восстановленных из A х и A у соответственно к осям x и y определяет положение т. A". Отложив от A" параллельно оси z в сторону её отрицательных значений отрезок AA", длина которого равна 10, находим положение точки A.
Наглядное изображение т. B (30, 0, -20) строится аналогично – в плоскости П 2 по осям x и z нужно отложить соответствующие координаты. Пересечение перпендикуляров, восстановленных из B х и B z , определит положение точки B.
Продолжительность
: 1урок (45 минут).
Класс
: 6 класс
Технологии
:
- мультимедийная презентация Microsoft Office PowerPoint, Notebook;
- применение интеративной доски;
- раздаточный материала для учащихся созданный с помощью Microsoft Office Word и Microsoft Office Excel .
Аннотация
:
На тему «Координаты» в тематическом планировании отводится 6 часов. Это четвёртый урок по теме «Координаты». На момент проведения урока учащиеся уже познакомились с понятием «координатная плоскость» и правилами построения точки. Актуализация знаний проводится в форме фронтального опроса. На уроках повторения все ученики включены в различные виды деятельности. При этом используются все каналы восприятия и воспроизведения материала.
Усвоение теории проверяется также в ходе устной работы (задание разгадай кроссворд, в какой четверти находится точка). Для сильных учеников предусмотрены дополнительные задания.
На уроке используется мультимедийное оборудование и интерактивная доска для демонстрации презентации и заданий в Microsoft Office PowerPoint и Notebook. Для создания тестовых заданий и раздаточного материала были использованы: Microsoft Office Excel, Microsoft Office Word.
Использование интерактивной доски расширяет возможности подачи материала. В программе Notebook ученики могут самостоятельно передвигать объекты в нужное место. В программе Microsoft Office PowerPoint есть возможность задать движение объектам, поэтому предусмотрено проведение физминутки для глаз.
На уроке используются:
- проверка домашнего задания;
- фронтальная работа;
- индивидуальная работа учащихся;
- представление доклада обучающегося;
- выполнение устных и письменных упражнений;
- работа обучающихся с интерактивной доской;
- самостоятельная работа.
Конспект урока.
Цель:
закрепить навыки нахождения координат отмеченных точек и строить точки по заданным координатам.
Задачи урока:
образовательные:
- обобщение знаний и умений учащихся по теме «Координатная плоскость»;
- промежуточный контроль знаний и умений учащихся;
развивающие:
- развитие коммуникативной компетенции учащихся;
- развитие вычислительных навыков обучающихся;
- развитие логического мышления;
- развитие интереса учащихся к предмету посредством нетрадиционной формы ведения урока;
- развитие математически грамотной речи, кругозора учащихся;
- развитие умения самостоятельной работы с учебником и дополнительной литературой;
- развитие эстетических чувств учащихся;
воспитательные:
- воспитание дисциплинированности при организации работы на уроке;
- воспитание познавательной активности, чувства ответственности, культуры общения;
- воспитание аккуратности при выполнении построений.
Ход урока.
- Организационный момент.
Приветствие учащихся.Сообщение темы и цели урока. Проверка готовности класса к уроку. Ставится задача: повторить, обобщить, систематизировать знания по объявленной теме.
2. Актуализация знаний.
Устный счёт.
1) Индивидуальная работа: несколько человек выполняют работу на карточках.
2) Работа с классом: вычисли примеры и составь слово. Таблица на экране интерактивной доски, буквы вписываются в таблицу электронным маркером от интерактивной доски.
Ученики поочерёдно выходят к доске и записывают буквы. Получается слово «Прометей». Один из учащихся, заранее подготовивший доклад, рассказывает, что обозначает это слово. (Древнегреческий астроном Клавдий Птолемей, пользовавшийся широтой и долготой в качестве координат уже во II веке.)
Фронтальная работа .
Задание «Разгадай кроссворд» поможет вспомнить основные понятия по теме «Координатная плоскость».
Учитель показывает на экране интерактивной доски кроссворд и предлагает учащимся решить его. Ученики с помощью электронных маркеров записывают слова в кроссворд.
1. Две координатные прямые образуют координатную ….
2. Координатные прямые - это координатные….
3. Какой угол образуется при пересечении координатных прямых?
4. Как называется пара чисел, определяющих положение точки на плоскости?
5. Как называется первое число?
6. Как называется второе число?
7. Как называется отрезок от 0 до 1?
8. На сколько частей делится координатная плоскость координатными прямыми?
3. Закрепление умений и навыков строить геометрическую фигуру по заданным координатам её вершин.
Построение геометрических фигур. Работа с учебником в тетрадях.
- №1054а «Постройте треугольник, если известны координаты его вершин: А(0;-3), В(6:2), С(5:2). Укажите координаты точек, в которых стороны треугольника пересекают ось х».
- Построить четырёхугольник АВСD, если А(-3;1), В(1;1), С(1;-2),D(-3;-2). Определить вид четырёхугольника. Найти координаты пересечения диагоналей.
4. Физминутка для глаз.
На слайде учащиеся должны следить глазами за передвижениями объекта. В конце физминутки задаётся вопрос о геометрических фигурах, полученных в результате передвижения глаз.
5. Контроль за умениями строить точки на координатной плоскости по заданным координатам.
Самостоятельная работа. Конкурс художников.
На слайде записаны координаты точек. Также карточки распечатаны для каждого ученика. Если верно отметить точки на координатной плоскости и последовательно соединить их, то получиться рисунок. Каждый ученик выполняет задание самостоятельно. После выполнения работы, открывается правильный рисунок на экране. Каждый ученик получает оценку за самостоятельную работу.
6. Домашнее задание.
- №1054б, №1057а.
- Творческое задание: нарисовать на координатной плоскости рисунок по точкам и записать координаты этих точек.
7. Подведение итогов урока.
Вопросы учащимся:
- Что такое координатная плоскость?
- Как называются координатные оси ОХ и ОУ?
- Какой угол образуется при пересечении координатных прямых?
- Как называется пара чисел, определяющих положение точки на плоскости?
- Как называется первое число?
- Как называется второе число?
Литература и ресурсы:
- Г.В. Дорофеев, С.Б.Суворова, И.Ф.Шарыгин “Математика. 6кл”
- Математика. 6 класс: Поурочные планы (по учебнику Г.В. Дорофеева и др.)
- http://www.pereplet.ru/nauka/almagest/alm-cat/Ptolemy.htm
При построении точки по заданным координатам, необходимо помнить, что в соответствии с правилами черчения масштаб по оси Ох уменьшается в 2 раза в сравнении с масштабом по осями Оу и Оz.
1.Построить точкy: А(2; 1; 3) х А = 2; у A = 1; z A = 3
а) обычно в первую очередь строят проекцию точки на плоскость Оху. Отметить точки х A =2 и у A =1 и провести через них прямые, параллельные осям Ох и Оу. Точка их пересечения имеет координаты (2;1; 0) Построена точка A 1 (2;1; 0.)
А(2; 1; 3)
0
у A =1
х A =2 у
A 1 (2;1; 0) 0 у A =1 у
х х A =2 A 1 (2;1; 0)
х
б) далее из точки A 1 (2;1; 0) восстанавливают перпендикуляр к плоскости Оху (проводят прямую, параллельную оси Оz ) и откладывают на ней отрезок, равный трем: z A = 3.
2.Построить точкy: B(3; - 2; 1) х B = 3; у B = -2; Z B = 1
z
у B = - 2
B(3; -2; 1) О у
B 1 (3;-2) х B =3
х
3. Построить точку C(-2; 1; 3 ) zC (-2; 1; 3)
Х А = -2; Y A = 1; Z A = 3
х C = - 2 C 1 (-2;1;0)
у A =1 у
4.Дан куб. А...D 1 , ребро которого равно1 . Начало координат совпадает с точкой В, ребра ВА, ВС и ВВ 1 совпадают с положительными лучами осей координат. Назвать координаты всех остальных вершин куба. Вычислить диагональ куба.
z
АВ = ВС = ВВ 1 ВD 1 = =
В 1 (0;0;1) С 1 (0;1;1) = =
А 1 (1;0;1) D 1 (1;1;1)
В(0;0;0) С(0;1;0) у
А(1;0;0) D(1;1;0)
5.Постройте точки А(1;1;-1) и В(1; -1;1). Пересекает ли отрезок ось координат? плоскость координат? проходит ли отрезок через начало координат? Найдите координаты точек пересечения, если они есть. z Точки лежат в плоскости, перпендикулярной оси Ох.
Отрезок пересекает ось Ох
и плоскость хОу
в точке
В(1; -1;1)
0(0;0;0)
С(1;0;0)
А(1;1;-1)
6.Найти расстояние между двумя точками: А(1;2;3) и В(-1;1;1).
а) АВ = = = =3
б) С(3;4;0) и D(3; -1;2).
СD = = =
В пространстве для определения координат середины отрезка вводится третья координата.
В (х В; у В;z B)
С ( ; ; )
А(х А; у А; z A)
7.Найти координаты С середины отрезков: а) АВ, если А(3; – 2; – 7), В(11; – 8; 5),
х М = = 7; у М = = - 5; z М = = - 1; С(7; - 5; - 1)
8. Координаты точки А(х;у;z). Напишите координаты точек, симметричных данной относительно:
б) координатных прямых
в) начала координат
а)
Если точка А 1
симметрична данной относительно координатной плоскости хОу,
то разница в
координатах точек будет только в знаке координаты z: А 1 (х;у;-z).
точка А 2 Охz, тогда А 2 (х; -у;z).
точка А 3 симметрична данной относительно плоскости Оуz, тогда А 2 (-х; у;z).
б)
Если точка А 4
симметрична данной относительно координатной прямой Ох,
то разница в
координатах точек будет только в знаках координат у
и z: А 4 (х; -у;-z).
точка А 5 Оу, тогда А 5 (-х; у; -z).
точка А 6 симметрична данной относительно прямой Оz, тогда А 6 (-х; -у; z).
в) Если точка А 7 симметрична данной относительно начала координат, то А 6 (-х; -у; -z).
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
Переход от одной системы координат в другую называется преобразованием системы координат.
Мы будем рассматривать два случая преобразования системы координат, и выведем формулы зависимости между координатами произвольной точки плоскости в разных системах координат. (Методика преобразованием системы координат аналогична преобразованию графиков).
1.Параллельный перенос . В этом случае меняется положение начала координат, а направление осей и масштаб остаются неизменными.
Если начало координат переходит в точку 0 1 с координатами 0 1 (х 0 ; у 0), то для точки М(х;у) связь между координатами системы х0у и х 0 0у 0 выражена формулами:
х = х 0 + х"
у = у 0 + у"
Полученные формулы позволяют найти старые координаты по известным новым х" и у" и наоборот.
у М(х;у) М(х"; у")
0 1 (х 0 ; у 0),х"
х 0 х"
2.Поворот осей координат
. В этом случае обе оси поворачиваются на один и тот же угол , а начало координат и масштаб остаются неизменными.
М(х;у)
у 1 х 1
Координаты точки М в старой системе М(х;у) и М(х"; у") - в новой. Тогда полярный радиус в обеих системах одинаков, а полярные углы соответственно равны + и , где - полярный угол в новой системе координат.
По формулам перехода от полярных координат к прямоугольным имеем:
x = rcos( + ) x = rcos · cos - rsin ·sin
y = rsin(+ ) y = rcos · sin + rsin · cos
Но rcos = х" и rsin = у" , поэтому
x = х"· cos - у"·sin
y = х"· sin + у"· cos
Письменно ответьте на вопросы:
- Что называется прямоугольной системой координат на плоскости? в пространстве?
- Какая ось называется осью аппликат? Ординат? Абсцисс?
- Каково обозначение единичных векторов на осях координат?
- Что называется ортом?
- Как вычисляется в прямоугольной системе координат длина отрезка, заданного координатами своих концов?
- Как вычисляются координаты середины отрезка, заданного координатами своих концов?
- Что называется полярной системой координат?
- Какова связь между координатами точки в прямоугольной и полярной системах координат?
Выполните задания:
1. На каком расстоянии от координатных плоскостей находится точка А(1; -2; 3)
2. На каком расстоянии находится точка А(1; -2; 3) от координатных прямых а) Оу; б) Оу; в) Оz;
3. Какому условию удовлетворяют координаты точек пространства, одинаково удаленных:
а) от двух координатных плоскостей Оху и Оуz; АВ
б) от всех трех координатных плоскостей
4. Найдите координаты точки М середины отрезка АВ, А(-2; -4; 1); В(0; -1; 2) и назовите точку, симметричную точки М, относительно а) оси Ох
б) оси Оу
в) оси Оz.
5. Дана точка В(4; - 3; - 4). Найдите координаты оснований перпендикуляров, опущенных из точки на оси координат и координатные плоскости.
6.На оси Оу найти точку, равноудаленную от двух точек А(1; 2; - 1) и В(-2; 3; 1).
7. В плоскости Охz найдите точку, равноудаленную от трех точек А(2; 1; 0); В(-1; 2; 3) и С(0;3;1).
8. Найдите длины сторон треугольника АВС и его площадь, если координаты вершин: А(-2; 0; 1), В(8; - 4; 9), С(-1;2; 3).
9. Найдите координаты проекций точек А(2; -3; 5); В (3;-5; ); С(- ; - ; - ).
10. Даны точки А(1; -1; 0) и В(-3; - 1; 2). Вычислите расстояние от начала координат до данных точек.
ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Все величины, с которыми имеют дело в физике, технике, обыденной жизни разделяют на две группы. Первые полностью характеризуются своим численным значением: температура, длина, масса, площадь, работа. Такие величины называются скалярными.
Другие величины, например, сила, скорость, перемещение, ускорение и т.д. определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Называются такие величины векторными , или векторами. Векторная величина геометрически изображается в виде вектора.
Вектор
-это направленный прямолинейный отрезок, т.е. отрезок, имеющий
определенную длину и направление.
Построить комплексные чертежи точек: А (15,30,0), В (30,25,15), С (30,10,15), D (15,30,20)
Решение задачи разделим на четыре этапа.
1. А (15,30,0); x A = 15 мм; y A = 30мм; z A = 0.
Как Вы думаете, если у точки А координата z A =0, то какое положение она занимает в пространстве?
Так выглядит комплексный чертеж точки А построенный по заданным координатам
Если у точки одна координата равна нулю, то точка принадлежит одной из плоскостей проекции. В данном случае у точки нет высоты: z = 0, следовательно точка А лежит в плоскости П 1 .
На комплексном чертеже оригинал (т.е. сама точка А ) не изображается, есть только ее проекции.
2. В (30,25,15) и С (30,10,15).
На втором этапе объединим построение двух точек.
x B = 30мм; x C = 30мм
y B = 35мм; y C = 10мм
z B = 15мм; z C = 15мм
У точек В и С : x B = x C = 30мм, z B = z C = 15мм
а) Координаты х точек одинаковы, следовательно, в системе П 1 – П 2 проекции точек лежат на одной линии связи (рис. 1.2),
б) Координаты z точек совпадают, (обе точки одинаково удалены от П 1 на 15мм,) т.е. они расположены на одной высоте, следовательно на П 2 проекции точек совпадают: В 2 = (С 2).
в) Для определения видимости относительно П 2 смотрим на рис. 1.3. Наблюдатель видит точку В , которая закрывает собой точку С , т.е. точка В расположена ближе к наблюдателю, поэтому на П 2 она видима. (См. М1 - 13 и 16).
В системе П 2 П 3 проекции точек также лежат на одной линии связи и видимость определяется по стрелке (рис. 1.2).
Точки В и С - называются фронтально конкурирующими.
3. D (15,30,20); x D = 15мм; y D = 30мм; z D = 20мм.
а) На этом комплексном чертеже (рис. 1.4) построены три проекции точки D (D 1 , D 2 , D 3).
Все три координаты имеют числовые значения, отличные от нуля, поэтому точка не принадлежит ни одной плоскости проекций.
б) Совместим пространственное изображение А и D (рис. 1.5). В системе П 1 -П 2 проекции точек А и D лежат на одной линии связи, только точка D выше точки А , следовательно D - видима, а А - невидима (видима на П 1 та точка, которая расположена выше)
На четвертом, завершающем этапе, соединим все три фрагмента комплексных чертежей точек А,В,С, D в один общий.
Точки А и D - называются горизонтально конкурирующими.
Построить следы плоскости, заданной ∆BCD, и определить расстояние от точки А до заданной плоскости методом прямоугольного треугольника (координаты точек А, В, С и D см. в Таблице 1 раздела Задания);
1.2. Пример выполнения задания № 1
Первое задание представляет комплекс задач по темам:
1. Ортогональное проецирование, эпюр Монжа, точка, прямая, плоскость : по известным координатам трех точек B, C, D построить горизонтальную и фронтальную проекции плоскости, заданной ∆BCD ;
2. Следы прямой, следы плоскости, свойства принадлежности прямой плоскости : построить следы плоскости, заданной ∆BCD ;
3. Плоскости общего и частного положения, пересечение прямой и плоскости, перпендикулярность прямой и плоскости, пересечение плоскостей, метод прямоугольного треугольника : определить расстояние от точки А до плоскости ∆BCD .
1.2.1. По известным координатам трех точек B, C, D построим горизонтальную и фронтальную проекции плоскости, заданной ∆BCD (Рисунок 1.1), для чего необходимо построить горизонтальные и фронтальные проекции вершин ∆BCD , а затем одноименные проекции вершин соединить.
Известно, что следом плоскости называется прямая, полученная в результате пересечения заданной плоскости с плоскостью проекций.
У плоскости общего положения 3 следа: горизонтальный, фронтальный и профильный .
Для того чтобы построить следы плоскости, достаточно построить следы (горизонтальный и фронтальный) любых двух прямых, лежащих в этой плоскости, и соединить их между собой. Таким образом, след плоскости (горизонтальный или фронтальный) будет однозначно определен, поскольку через две точки на плоскости (в данном случае этими точками будут следы прямых) можно провести прямую, и при том, только одну.
Основанием для такого построения служит свойство принадлежности прямой плоскости : если прямая принадлежит заданной плоскости, то ее следы лежат на одноименных следах этой плоскости.
Следом прямой называется точка пересечения этой прямой с плоскостью проекций.
Горизонтальный след прямой лежит в горизонтальной плоскости проекций, фронтальный – во фронтальной плоскости проекций.
Рассмотрим построение горизонтального следа прямой DB , для чего необходимо:
1. Продолжить фронтальную проекцию прямой DB до пересечения с осью X , точка пересечения М 2 является фронтальной проекцией горизонтального следа;
2. Из точки М 2 восстановить перпендикуляр (линию проекционной связи) до его пересечения с горизонтальной проекцией прямой DB М 1 и будет являться горизонтальной проекцией горизонтального следа (Рисунок 1.1), которая совпадает с самим следом М .
Аналогично выполняется построение горизонтального следа отрезка СВ прямой: точка М’ .
Чтобы построить фронтальный след отрезка CB прямой, необходимо:
1. Продолжить горизонтальную проекцию прямой CB до пересечения с осью X , точка пересечения N 1 является горизонтальной проекцией фронтального следа;
2. Из точки N 1 восстановить перпендикуляр (линию проекционной связи) до его пересечения с фронтальной проекцией прямой CB или ее продолжением. Точка пересечения N 2 и будет являться фронтальной проекцией фронтального следа, которая совпадает с самим следом N .
Соединив точки M′ 1 и M 1 отрезком прямой, получим горизонтальный след плоскости απ 1 . Точка α x пересечения απ 1 с осью X называется точкой схода следов . Для построения фронтального следа плоскости απ 2 необходимо соединить фронтальный след N 2 с точкой схода следов α x
Рисунок 1.1 — Построение следов плоскости
Алгоритм решения этой задачи может быть представлен следующим образом:
- (D 2 B 2 ∩ OX ) = M 2 ;
- (MM 1 ∩ D 1 B 1) = M 1 = M ;
- (C 2 B 2 ∩ OX ) = M′ 2 ;
- (M′ 2 M′ 1 ∩ C 1 B 1) = M′ 1 = M′ ;
- (CВ ∩ π 2) = N 2 = N ;
- (MM′ ) ≡ απ 1 ;
- (α x N ) ≡ απ 2 .
1.2.2. Для решения второй части первого задания необходимо знать, что:
- расстояние от точки А до плоскости ∆BCD определяется длиной перпендикуляра, восстановленного из этой точки на плоскость;
- любая прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости ;
- на эпюре проекции прямой, перпендикулярной плоскости, перпендикулярны наклонным проекциям горизонтали и фронтали этой плоскости или одноименным следам плоскости (рис. 1.2) (см. в лекциях Теорему о перпендикуляре к плоскости).
Чтобы найти основание перпендикуляра, необходимо решить задачу на пересечение прямой (в данной задаче такой прямой является перпендикуляр к плоскости) с плоскостью:
1. Заключить перпендикуляр во вспомогательную плоскость, в качестве которой следует взять плоскость частного положения (горизонтально-проецирующую или фронтально-проецирующую, в примере в качестве вспомогательной плоскости взята горизонтально-проецирующая γ, то есть перпендикулярная к π 1 , ее горизонтальный след γ 1 совпадает с горизонтальной проекцией перпендикуляра);
2. Найти линию пересечения заданной плоскости ∆BCD со вспомогательной γ (MN на рис. 1.2);
3. Найти точку пересечения линии пересечения плоскостей MN с перпендикуляром (точка К на рис. 1.2).
4. Для определения истинной величины расстояния от точки А до заданной плоскости ∆BCD следует воспользоваться методом прямоугольного треугольника : истинная величина отрезка есть гипотенуза прямоугольного треугольника, одним катетом которого является одна из проекций отрезка, а другим – разность расстояний от его концов до плоскости проекций, в которой ведётся построение .
5. Определите видимость участков перпендикуляра методом конкурирующих точек. На примере — точки N и 3 для определения видимости на π 1 , точки 4 , 5 — для определения видимости на π 2 .
Рисунок 1.2 — Построение перпендикуляра к плоскости
Рисунок 1.3 — Пример оформления контрольного задания №1
Видеопример выполнения задания №1
1.3. Варианты задания 1
| Вариант | Координаты (x, y, z) точек | |||
|---|---|---|---|---|
| А | В | С | D | |
| 1 | 15; 55; 50 | 10; 35; 5 | 20; 10; 30 | 70; 50; 40 |
| 2 | 80; 65; 50 | 50; 10; 55 | 10; 50; 25 | 75; 25; 0 |
| 3 | 95; 45; 60 | 130; 40; 50 | 40; 5; 25 | 80; 30; 5 |
| 4 | 115; 10; 0 | 130; 40; 40 | 40; 5; 25 | 80; 30; 5 |
| 5 | 55; 5; 60 | 85; 45; 60 | 100; 5; 30 | 50; 25; 10 |
| 6 | 55; 5; 60 | 70; 40; 20 | 30; 30; 35 | 30; 10; 10 |
| 7 | 60; 10; 45 | 80; 45; 5 | 35; 0; 15 | 10; 0; 45 |
| 8 | 5; 0; 0 | 35; 0; 25 | 20; 0; 55 | 40; 40; 0 |
| 9 | 50; 5; 45 | 65; 30; 10 | 30; 25; 55 | 20; 0; 20 |
| 10 | 60; 50; 35 | 40; 30; 0 | 30; 15; 30 | 80; 5; 20 |
| 11 | 65; 35; 15 | 50; 0; 30 | 20; 25; 25 | 5; 0; 10 |
| 12 | 75; 65; 50 | 45; 10; 35 | 60; 20; 10 | 10; 65; 0 |
| 13 | 95; 0; 15 | 85; 50; 10 | 10; 10; 10 | 55; 10; 45 |
| 14 | 45; 40; 40 | 80; 50; 10 | 10; 10; 10 | 55; 10; 45 |
| 15 | 80; 20; 30 | 55; 30; 60 | 15; 10; 20 | 70; 65; 30 |
| 16 | 75; 35; 35 | 55; 30; 60 | 25; 10; 20 | 70; 65; 30 |
| 17 | 75; 65; 50 | 45; 5; 55 | 5; 45; 10 | 70; 20; 0 |
| 18 | 65; 15; 20 | 40; 5; 60 | 0; 5; 25 | 60; 60; 20 |
| 19 | 70; 20; 10 | 45; 15; 60 | 5; 10; 20 | 60; 65; 10 |
| 20 | 20; 50; 45 | 10; 20; 10 | 55; 50; 10 | 80; 0; 60 |
| 21 | 0; 5; 50 | 50; 50; 40 | 5; 55; 10 | 45; 5; 0 |
| 22 | 55; 50; 65 | 45; 55; 5 | 0; 10; 45 | 70; 0; 40 |
| 23 | 65; 5; 15 | 40; 60; 10 | 0; 20; 5 | 60; 20; 60 |
| 24 | 50; 20; 45 | 45; 60; 30 | 5; 20; 10 | 60; 30; 5 |
| 25 | 55; 15; 40 | 40; 50; 25 | 5; 15; 10 | 50; 40; 10 |
| 26 | 15; 45; 40 | 10; 25; 5 | 20; 10; 30 | 65; 40; 35 |
| 27 | 70; 30; 30 | 55; 30; 60 | 20; 5; 15 | 65; 60; 25 |
| 28 | 90; 0; 15 | 80; 45; 10 | 10; 10; 10 | 50; 10; 45 |
| 29 | 110; 10; 0 | 120; 35; 30 | 35; 5; 20 | 70; 20; 5 |
| 30 | 45; 40; 40 | 80; 45; 10 | 10; 10; 10 | 55; 10; 40 |
