Olimpiadat Matematikore dhe Problemet e Olimpiadës

Objektivi 1:

Gjeni të gjitha trefishat e numrave jozero a, b dhe c që formojnë një progresion aritmetik dhe të tillë që nga numrat mund të bëni edhe një progresion aritmetik.

Zgjidhja: Nga vetia e progresionit aritmetik, kemi a + c = 2b dhe një nga ekuacionet e mëposhtme

Rasti i parë çon në ekuacionin b² = 2ac, i cili nuk ka zgjidhje për a + c = 2b; dy të tjerat çojnë në të njëjtën përgjigje: të gjitha treshe të formës - 2t, - 0,5t, t, ku t ≠ 0.

Përgjigje: - 2t, - 0,5t dhe t në t ≠ 0.

Detyra 2:

Gjeni treshe të numrave a, b dhe c, të cilët janë fuqi të pesës me numra të plotë jo negativë, të tillë që duke i atribuar paraqitjen dhjetore të njërit prej tyre në paraqitjen dhjetore të tjetrit, të marrim numrin e tretë.

Zgjidhja: Le të a = 5 n, b = 5 m, c = 5 k dhe në numrin b, saktësisht t shifra dhjetore. Kemi ekuacionin: 5 n • 10 t + 5 m = 5 k. Natyrisht, m< k. Сократив уравнение на 5 в наибольшей степени, получим либо 2 t + 5 m - n - t = 5 k - t , либо 5 n - m + t • 2 t + 1 = 5 k - m . Первое уравнение имеет единственное решение в целых числах t = 2, m - n - t = 0, k - t = 1, откуда b = 25, m = 2, n = 0, k = 3 и искомые числа - 1, 25, 125. Второе уравнение выполняется только при n - m + t = 0, что приводит к предыдущему случаю.

Përgjigje: 1, 25 dhe 125.

Objektivi 3:

Zerot shkruhen në kulmet dhe pikat e kryqëzimit të diagonaleve të një pesëkëndëshi të rregullt. Me një lëvizje, lejohet të shtoni + 1 ose - 1 njëkohësisht për të gjithë numrat e vendosur në cilëndo nga diagonalet e pesëkëndëshit. Cili nga pesëkëndëshat e treguar në figura mund të merret pas disa lëvizjeve?

0,5 mm em: gjerësia e vijës 0,4 pt 0,4 pt

((Propozuar nga S.E. Nokhrin.))

Zgjidhja: Le të numërojmë diagonalet e pesëkëndëshit me numrat nga 1 në 5 dhe le të jetë x i numri i njësive të shtuara në diagonalen e i-të. Numri në çdo kulm (pika e prerjes së diagonaleve) është i barabartë me shumën e numrave x i mbi të gjithë i ashtu që diagonalja e i-të të kalojë nëpër këtë kulm (pika e kryqëzimit të diagonaleve). Kemi një sistem prej dhjetë ekuacionesh me pesë të panjohura, i cili rezulton të jetë jokonsistent në të gjitha rastet e paraqitura në figura.

Përgjigje: nuk mund të merret asnjë pesëkëndësh.

Detyra 4:

Në një trekëndësh me kënd akut vizatohen lartësitë ABC: AH, BK dhe CL. Gjeni perimetrin e trekëndëshit HKL nëse dihet lartësia AH = h dhe këndi ∠ BAC = α.

((Propozuar nga V.N. Ushakov.))

Zgjidhja: Vijat KL, KH dhe HL (shih fig.) Pritini trekëndëshat e ngjashëm me ∆ ABC nga ∆ ABC. Në të vërtetë, ∆ CHA ∽ ∆ CKB sipas kriterit I të ngjashmërisë së trekëndëshave (2 kënde të barabarta). Nga këtu. Por atëherë ∆ KHC ∽ ∆ BAC sipas kriterit II të ngjashmërisë së trekëndëshave (proporcionaliteti i brinjëve dhe barazia e këndeve ndërmjet këtyre brinjëve). Ngjashëm mund të vërtetohet se ∆ AKL ∽ ∆ ABC dhe ∆ BHL ∽ ∆ ABC. Pra, kemi ∠ HLB = ∠ ALK = ∠ C, ∠ AKL = ∠ CKH = ∠ B. Pastaj pikat H ′ dhe H ″, simetrike me pikën H në lidhje me drejtëzat AB dhe AC, përkatësisht, shtrihen në vijë. KL. Në të vërtetë, ∠ HLB = ∠ H′LB (pasi ∆ HLO ′ = ∆ H′LO ′), por ∠ HLB = ∠ ALK, pra ∠ ALK = ∠ H′LB, dhe kështu pikat K, L, H ′ shtrihen në një vijë të drejtë. Në mënyrë të ngjashme, vërtetohet se H ″, K, L janë kolineare. Segmenti H ″ H ′ është i barabartë me perimetrin ∆ KLH (KH = KH ″, dhe LH = LH ′). Konsideroni tani ∆ H ″ AH ″. Ai është dykëndor sepse AH ′ = AH = AH ", dhe ∠ H ″ AH ′ = 2 • (∠ CAH + ∠ BAH) = \ = 2 α. Prandaj H ″ H ′ = 2AH ′ sin \, α. Kështu, perimetri i ∆ KLH është 2h sin \, α.

1. Zgjidheni enigmën e numrave.

2. Ignat tani është katër herë më i madh se motra e tij kur ajo ishte gjysma e moshës së tij. Sa vjeç është tani Ignat, nëse pas 15 vitesh ai dhe motra e tij do të jenë bashkë për 100 vjet?

3. Fëmijët në çift largohen nga pylli ku kanë mbledhur arrat. Çdo palë përfshin një djalë dhe një vajzë, dhe djali ka dy herë më shumë ose gjysmën e arra se vajza. A mund të jetë që ata të gjithë kanë arra 2011?

4. Pritini drejtkëndëshin me brinjët 4 dhe 9 në numrin më të vogël të pjesëve në mënyrë që të bëni një katror.

5. Në ishullin O ka kalorës që thonë gjithmonë të vërtetën dhe gënjeshtarë që gënjejnë gjithmonë. Udhëtari takoi dy vendas - A dhe B. Vendasja A tha frazën:

Të paktën njëri prej nesh (A ose B) është gënjeshtar.

A mund të thoni kush është A dhe kush është B (kalorës apo gënjeshtar)?

Detyrat e Olimpiadës faza komunale matematikë

1. Gjeni të gjithë numrat treshifrorë që shuma e shifrave të numrit është 11 herë më e vogël se vetë numri https://pandia.ru/text/78/035/images/image003_105.gif "width =" 27 "height =" 17 "> pikat katrore merren në mënyrë që vija e drejtë të kalojë anën në pikë, vija e drejtë kalon anën në pikë dhe https://pandia.ru/text/78/035/images/image013_32 .gif "width =" 104 "height =" 21 ">.

https://pandia.ru/text/78/035/images/image015_30.gif "width =" 96 "height =" 24">

5. Në inspektimin e trupave të ishullit të gënjeshtarëve dhe kalorësve (gënjeshtarët gjithmonë gënjejnë, kalorësit gjithmonë thonë të vërtetën), udhëheqësi rreshtoi të gjithë luftëtarët. Secili nga ushtarët në rresht tha: "Fqinjët e mi në rresht janë gënjeshtarë". (Luftëtarët në fund të rreshtit thanë: "Fqinji im në rresht është gënjeshtar.") Cili është numri më i madh i kalorësve që mund të ishin në një rresht nëse do të ishin të ekspozuar luftëtarët e 2011-ës?

Detyrat e Olimpiadës faza komunale Olimpiada Gjith-Ruse për nxënësit e shkollave matematikë

1. Vasya shkroi disa numra të plotë në tabelë. Petya nënshkroi sheshin e tij nën secilin nga numrat e Vasya. Pastaj Masha shtoi të gjithë numrat e shkruar në tabelë dhe mori 2011. Provoni se njëri nga djemtë kishte gabuar.

2. Kooperativa merr lëng molle dhe rrushi në të njëjtat kanaçe dhe prodhon një pije mollë-rrushi në të njëjtat kanaçe. Një kanaçe me lëng molle është e mjaftueshme për saktësisht 6 kanaçe pije dhe një kanaçe me lëng rrushi është saktësisht 10. Kur u ndryshua receta e pijes, një kuti lëng molle mjaftonte për saktësisht 5 kanaçe pije. Sa kanaçe pije mjaftojnë tani për një kanaçe me lëng rrushi? (Pija nuk mund të hollohet me ujë.)

3..gif "width =" 43 "height =" 21 src = ">. Gif" width = "64" height = "21 src =">. Gif "width =" 37 "height =" 19 src = "> izosceles.

4. Vërtetoni se për të gjitha pozitivet https://pandia.ru/text/78/035/images/image023_20.gif "width =" 13 "height =" 15"> ndryshimi midis rrënjëve të ekuacionit është 3?

3. E dhënë NS pika, asnjë prej të cilave nuk i përkasin të njëjtit rrafsh. Sa rrafshe mund të vizatohen nëpër treshe të ndryshme të këtyre pikave?

4..gif "width =" 12 "height =" 15 src = ">, duke formuar një progresion aritmetik dhe të tillë që numrat dhe mund të përdoren gjithashtu për të bërë një progresion aritmetik.

5. Diagonalet e paralelogramit takohen në një pikë. Le të jenë pikat e kryqëzimit të rrathëve, njëra prej të cilave kalon nëpër pika https://pandia.ru/text/78/035/images/image031_14.gif "width =" 16 "height =" 17 src = "> , dhe tjetra përmes dhe https://pandia.ru/text/78/035/images/image002_138.gif "width =" 19 "height =" 19 "> nëse pika shtrihet në segmentin e linjës dhe nuk përkon me skajet e saj.

Detyrat e Olimpiadësfaza komunale matematikë

klasën e 7-të

Të paktën njëri prej nesh (A ose B) është gënjeshtar.

A mund të thoni kush është A dhe kush është B (kalorës apo gënjeshtar)?

Detyrat e Olimpiadësfaza komunaleOlimpiada Gjith-Ruse për nxënësit e shkollave matematikë

klasën e 8-të

Detyrat e Olimpiadësfaza komunaleOlimpiada Gjith-Ruse për nxënësit e shkollave matematikë

Klasa 9

1. Cilët numra pesëshifrorë janë më shumë: ata me numra në rend rritës, apo ata me numra në rend zbritës? (Për shembull, grupi i parë përfshin 12,459, por përjashton 12,495 dhe 12,259).

Detyrat e Olimpiadësfaza komunaleOlimpiada Gjith-Ruse për nxënësit e shkollave matematikë

Klasa 10

1. Shkruhen me radhë numrat nga 21 deri në 30. A është e mundur të vendosen shenjat "+" dhe "-" midis tyre në mënyrë që vlera e shprehjes që rezulton të jetë e barabartë me zero?
2. Në çfarë vlerashndryshimi i rrënjëve të ekuacionitështë e barabartë me 3?
3. Duke pasur parasysh n pika, asnjë prej të cilave nuk i përkasin të njëjtit rrafsh. Sa rrafshe mund të vizatohen nëpër treshe të ndryshme të këtyre pikave?
4. Gjeni të gjitha trefishat e numrave jozero dhe duke formuar një progresion aritmetik dhe të tillë që numrat dhe ju gjithashtu mund të bëni një progresion aritmetik.
5. Diagonalet e paralelogramitkryqëzohen në pikë... le ju - pikat e kryqëzimit të rrathëve, njëra prej të cilave kalon nëpër pika dhe, dhe tjetra përmes dhe ... Gjeni vendndodhjen e pikave nëse pika shtrihet në segmentdhe nuk përkon me skajet e tij.

Detyrat e Olimpiadësfaza komunaleOlimpiada Gjith-Ruse për nxënësit e shkollave matematikë

Klasa 11

1. Cila është natyra më e vogël A është i pjesëtueshëm me 770?
2. Vërtetoni se nëse, pastaj ekuacioni
3. Gjeni nëse; ; ,,.
4. Në bazën e një piramide të rregullt është një shumëkëndësh me një numër tek të brinjëve. A është e mundur të vendosen shigjeta në skajet e kësaj piramide (një në secilën skaj) në mënyrë që shuma e vektorëve të marrë të jetë e barabartë me?

1. Në klasë janë 20 nxënës. Secili është mik me të paktën 10 të tjerë. Vërtetoni se në këtë klasë është e mundur të zgjidhen dy treshe nxënës në mënyrë që çdo nxënës nga një treshe të jetë shok me ndonjë nxënës nga treshe tjetër.

Pamja paraprake:

Klasa 7 (zgjidhje dhe përgjigje)

Përgjigjet dhe zgjidhjet e problemevefaza komunaleOlimpiada Gjith-Ruse për nxënësit e shkollave matematikë

1. Përgjigje: 2222 – 999 + 11 – 0 = 1234.
2. Përgjigje: 40 vjeç.

Zgjidhja: Le të përdorim tabelën për të zgjidhur problemin.

Ekuacioni: ... Ignat tani është 40 vjeç.

1. Përgjigje: nuk mundi.

Zgjidhja: Vini re se numri i arrave për çdo palë fëmijë është i pjesëtueshëm me 3. Kjo do të thotë se numri i përgjithshëm i arrave duhet të jetë i pjesëtueshëm me 3. Megjithatë, viti 2011 nuk pjesëtohet me 3.

1. Zgjidhja:

1. Përgjigje: A është një kalorës, B është një gënjeshtar.

Zgjidhja: Nëse A është gënjeshtar, atëherë deklarata e tij është e rreme, d.m.th. të dy duhet të jenë kalorës. Kontradikta. Pra, A është një kalorës. Atëherë deklarata e tij është e vërtetë dhe B është gënjeshtar.

Klasa 8 (zgjidhje dhe përgjigje)

Përgjigjet dhe zgjidhjet e problemevefaza komunaleOlimpiada Gjith-Ruse për nxënësit e shkollave matematikë

1. Përgjigje: 198.

Zgjidhja: Numër treshifrormund të shkruhet si... Nga gjendja vijon se ... Në të djathtë është një numër dyshifror (njëshifror, nëse c = 0), i cili pjesëtohet me 89, që do të thotë... Por pastaj

1. Përgjigje: pjesë e një rrethi me diametër OP

Zgjidhja: Le të O - qendra e këtij rrethi, M - mesi i akordit i prerë nga rrethi i vijës së drejtë që kalon nëpër pikë P. Atëherë PMO = 90 o ... Prandaj, grupi i dëshiruar është një pjesë e një rrethi me një diametër OP i shtrirë brenda rrethit të dhënë.

Zgjidhja: Kushti nënkupton barazinë e trekëndëshave), ku ... Përveç kësaj, ... Prandaj, trekëndëshatjanë të barabartë, dhe për këtë arsye.

1. Përgjigje: 31 11 14

Zgjidhja:

1. Përgjigje: 1006 kalorës

Zgjidhja: Vini re se dy luftëtarët që qëndronin pranë njëri-tjetrit nuk mund të ishin kalorës. Në të vërtetë, nëse të dy do të ishin kalorës, të dy do të gënjenin. Zgjidhni luftëtarin në të majtë dhe ndani rreshtin e luftëtarëve të mbetur 2010 në 1005 grupe me dy luftëtarë që qëndrojnë krah për krah. Çdo grup i tillë përmban jo më shumë se një kalorës, d.m.th. ndër luftëtarët e konsideruar të 2010-ës jo më shumë se 1005 kalorës, d.m.th. në total në një rresht jo më shumë se 1005 + 1 = 1006 kalorës.

Konsideroni linjën e RRLRL ... RRLRL. Janë saktësisht 1006 kalorës në një linjë të tillë.

9 klasë (zgjidhje dhe përgjigje)

Përgjigjet dhe zgjidhjet e problemevefaza komunaleOlimpiada Gjith-Ruse për nxënësit e shkollave matematikë

1. Përgjigje: më shumë se ato me numra në rend zbritës.

Zgjidhja: 1) Le të shkruajmë numrin e grupit të parë në rend të kundërt. Do të marrim numrin e grupit të dytë dhe nga numra të ndryshëm të grupit të parë fitohen numra të ndryshëm të grupit të dytë. Në të njëjtën kohë, numrat e grupit të dytë që mbarojnë me 0, për shembull 98 760, nuk mund të merren me "grusht shteti" nga numrat e grupit të parë (numri 06789 = 6789 nuk është pesëshifror). Kjo do të thotë se ka më shumë numra në grupin e dytë.

2) Numrat e grupit të parë fitohen nga numri 123 456 789 duke kryqëzuar katër shifra, d.m.th. e tyre, dhe numrat e grupit të dytë - nga numri 9 876 543 210 duke fshirë pesë shifra, d.m.th. e tyre.

Klasa 10 (zgjidhje dhe përgjigje)

Përgjigjet dhe zgjidhjet e problemevefaza komunaleOlimpiada Gjith-Ruse për nxënësit e shkollave matematikë

Duke shprehur dhe nga ekuacionet (1) dhe (3) dhe duke e zëvendësuar me ekuacionin (2), marrim, pas thjeshtimit, ekuacionin... Duke e zgjidhur atë, ne do ta gjejmë.

1. Përgjigje:,, ku. Zgjidhja: Me kusht dhe një nga barazitë vlen:, ose ... Në rastin e parë, pasi të keni zgjidhur sistemin,, marrim ... Në rastin e dytë, marrim ose , ... Rasti i tretë është i ngjashëm me të dytin.
2. Përgjigje: segment pa skajet e saj, ku është thelbi shtrihet në tra dhe.

Zgjidhja: Le - një rreth që kalon nëpër pika dhe dhe që kryqëzohen në pikë ... Pastaj, sipas vetive të këndeve të brendashkruara, pra pikat,,, shtrihuni në të njëjtin rreth; nëseshtrihet në segment, atëherë nëse shtrihet jashtë këtij segmenti (pikanë imazh). Kështu, pasi që të dyja , d.m.th. rrethi që kalon nëpër pika dhe ... Pra, ne kemi treguar se pikaduhet të shtrihet në një segment... Le të tregojmë tani se çdo pikë e këtij segmenti, përveç dhe , përfshihet në vendin e kërkuar të pikëve. Në të vërtetë, le... Pastaj, duke zgjedhur pikën kështu që, ne marrim atë dhe.

Klasa 11 (zgjidhje dhe përgjigje)

Përgjigjet dhe zgjidhjet e problemevefaza komunaleOlimpiada Gjith-Ruse për nxënësit e shkollave matematikë

Le të shqyrtojmë rastin e parë. Sepse, pastaj degët e parabolës të dhëna me formuladuke treguar lart. Dhe që nga ajo kohë, atëherë ka pika të parabolës që shtrihen nën bosht... Prandaj, parabola kalon boshtinnë 2 pikë. Prandaj ekuacionika dy rrënjë të vlefshme.

Në rastin e dytë, degët e parabolës janë të drejtuara poshtë, dhe, pra parabola kalon boshtinnë 2 pikë. Pastaj ekuacionipërsëri ka dy rrënjë të vërteta.

Metoda 2. Merrni parasysh pabarazinë... Zgjerimi i kllapave në anën e majtë, duke shumëzuar pabarazinë me -4, pastaj shtoni në të dy anët e pabarazisë, marrim: ... Ne e transformojmë këtë pabarazi në formën:... Që atëherë ... Prandaj ekuacionika 2 rrënjë të vërteta.

Zgjidhja: Zgjidhje të dukshme, , ... Është e qartë se treshe të tjera numrash me përbërës zero nuk janë zgjidhje të këtij sistemi. Mbetet të shqyrtohet rasti kur... Pastaj padyshim- qoshet e një trekëndëshi kënddrejtë me këmbë (- natyrale). Prandaj, e trefishta- një zgjidhje tjetër.

4. Përgjigje: Është e pamundur.

Zgjidhja: Lërini shigjetat të vendosen disi. Projektoni të gjithë vektorët që rezultojnë në vijën që përmban lartësinë KËSHTU QË piramidat. Projeksionet e vektorëve që shtrihen në rrafshin e bazës janë të barabarta, dhe projeksionet e vektorëve që shtrihen në skajet anësore janë të barabarta me ose - ... Meqenëse numri i vektorëve që shtrihen në skajet anësore është tek, rrjedh se shuma e projeksioneve të tyre nuk mund të jetë e barabartë, prandaj nuk mund të jetë i barabartëdhe shuma e të gjithë vektorëve të fituar.

5 ... Numërojmë të gjithë nxënësit e klasës duke përdorur numrat natyrorë nga 1 deri në 20 dhe shënojmë menumri i miqve të përbashkët dhe nxënësit dhe shuma e të gjithë këtyre numrave përtej ... Pastaj, për të vërtetuar pohimin e problemit, mjafton të tregohet se për disa dhe qëndron pabarazia.

Numrat total do të jenë ... Meqenëse çdo nxënës ka të paktën 10 shokë në klasë, kur numëron numrinçdo nxënës e marrim parasysh të paktën herë prandaj.

Kështu, shuma e 1140 numrave të plotë është të paktën 2400, pra një nga numrattë paktën 3, sipas nevojës.