Integrale të pahijshme të llojit të parë. Në thelb, ky është i njëjti integral i caktuar, por në rastet kur integralet kanë kufijtë e sipërm ose të poshtëm të pafundëm të integrimit, ose të dy kufijtë e integrimit janë të pafund.

Integrale të pahijshme të llojit të dytë. Në thelb, ky është i njëjti integral i caktuar, por në rastet kur integrali merret nga funksione të pakufizuara, integrani në një numër të kufizuar pikash nuk ka një segment të fundëm integrimi, duke u kthyer në pafundësi.

Per krahasim. Gjatë prezantimit të konceptit të një integrali të caktuar, u supozua se funksioni f(x) është e vazhdueshme në intervalin [ a, b], dhe segmenti i integrimit është i fundëm, domethënë është i kufizuar nga numrat dhe jo nga pafundësia. Disa detyra çojnë në nevojën për të braktisur këto kufizime. Kështu shfaqen integralet e pahijshme.

Kuptimi gjeometrik i integralit jo të duhur Rezulton mjaft thjesht. Në rastin kur grafiku i një funksioni y = f(x) është mbi bosht kau integrali i caktuar shpreh sipërfaqen e një trapezi lakor të kufizuar nga një kurbë y = f(x) , boshti x dhe ordinatat x = a , x = b. Nga ana tjetër, integrali i papërshtatshëm shpreh sipërfaqen e një trapezi lakor të pakufizuar (të pafund) të mbyllur midis vijave y = f(x) (në foton më poshtë - e kuqe), x = a dhe boshti i abshisave.

Integralet e pahijshme përcaktohen në mënyrë të ngjashme për intervalet e tjera të pafundme:

Zona e një trapezi të lakuar të pafund mund të jetë një numër i fundëm, në këtë rast integrali i gabuar quhet konvergjent. Zona gjithashtu mund të jetë pafundësi, dhe në këtë rast integrali i papërshtatshëm quhet divergjent.

Përdorimi i kufirit të një integrali në vend të vetë integralit të papërshtatshëm. Për të vlerësuar integralin e papërshtatshëm, duhet të përdorni kufirin e integralit të caktuar. Nëse ky kufi ekziston dhe është i fundëm (jo i barabartë me pafundësinë), atëherë integrali i papërshtatshëm quhet konvergjent, dhe përndryshe - divergjent. Se çfarë priret një variabël nën shenjën e kufirit varet nëse kemi të bëjmë me një integral të papërshtatshëm të llojit të parë apo të llojit të dytë. Le të zbulojmë për këtë tani.

Integrale të pahijshme të llojit të parë - me kufij të pafund dhe konvergjencë të tyre

Integrale të pahijshme me kufi të sipërm të pafund

Pra, shkrimi i një integrali jo të duhur ndryshon nga integrali i zakonshëm i caktuar në atë që kufiri i sipërm i integrimit është i pafund.

Përkufizimi. Një integral jo i duhur me një kufi të sipërm të pafund të integrimit të një funksioni të vazhdueshëm f(x) në intervalin nga a përpara ∞ quhet kufiri i integralit të këtij funksioni me kufirin e sipërm të integrimit b dhe kufiri i poshtëm i integrimit a me kusht që kufiri i sipërm i integrimit të rritet pa kufi, d.m.th.

.

Nëse ky kufi ekziston dhe është i barabartë me një numër dhe jo me pafundësi, atëherë një integral i gabuar quhet konvergjent, dhe si vlerë merret numri me të cilin kufiri është i barabartë. Përndryshe një integral i gabuar quhet divergjent dhe nuk i atribuohet asnjë kuptim.

Shembull 1. Llogaritni integralin jo të duhur(nëse konvergon).

Zgjidhje. Bazuar në përkufizimin e integralit jo të duhur, gjejmë

Meqenëse kufiri ekziston dhe është i barabartë me 1, atëherë kjo integral i papërshtatshëm konvergjon dhe është e barabartë me 1.

Në shembullin e mëposhtëm, integrani është pothuajse i njëjtë me shembullin 1, vetëm shkalla x nuk është dy, por shkronja alfa, dhe detyra është të studiohet integrali i papërshtatshëm për konvergjencë. Kjo do të thotë, pyetja mbetet për t'u përgjigjur: në cilat vlera të alfa konvergon ky integral i pahijshëm dhe në cilat vlera ndryshon?

Shembulli 2. Shqyrtoni integralin e papërshtatshëm për konvergjencë(kufiri i poshtëm i integrimit është më i madh se zero).

Zgjidhje. Së pari, le të supozojmë se, atëherë

Në shprehjen që rezulton, ne kalojmë në kufirin në:

Është e lehtë të shihet se kufiri në anën e djathtë ekziston dhe është i barabartë me zero kur , domethënë dhe nuk ekziston kur , domethënë .

Në rastin e parë, pra kur . Nese atehere dhe nuk ekziston.

Përfundimi i studimit tonë është si vijon: kjo integral i papërshtatshëm konvergjon në dhe divergjent në .

Zbatimi i formulës Njuton-Leibniz për llojin e integralit jo të duhur që studiohet , mund të nxirrni formulën e mëposhtme, e cila është shumë e ngjashme me të:

.

Kjo është një formulë e përgjithësuar e Njuton-Leibniz.

Shembulli 3. Llogaritni integralin e gabuar(nëse konvergon).

Kufiri i këtij integrali ekziston:

Integrali i dytë, duke përbërë shumën që shpreh integralin origjinal:

Kufiri i këtij integrali ekziston gjithashtu:

.

Ne gjejmë shumën e dy integraleve, e cila është gjithashtu vlera e integralit të papërshtatshëm origjinal me dy kufij të pafundëm:

Integrale të pahijshme të llojit të dytë - nga funksionet e pakufizuara dhe konvergjenca e tyre

Lëreni funksionin f(x) dhënë në segmentin nga a përpara b dhe është e pakufizuar në të. Supozoni se funksioni shkon në pafundësi në pikë b , ndërsa në të gjitha pikat e tjera të segmentit është i vazhdueshëm.

Përkufizimi. Një integral jo i duhur i një funksioni f(x) në segmentin nga a përpara b quhet kufiri i integralit të këtij funksioni me kufirin e sipërm të integrimit c , nëse kur përpiqet c te b funksioni rritet pa kufi, dhe në pikë x = b funksioni nuk është përcaktuar, d.m.th.

.

Nëse ekziston ky kufi, atëherë integrali i papërshtatshëm i llojit të dytë quhet konvergjent, përndryshe quhet divergjent.

Duke përdorur formulën Newton-Leibniz, ne nxjerrim.

Integrale të pahijshme

5,6 Lk (4 orë)

Koncepti u prezantua me supozimin se:

1) intervali i integrimit është i kufizuar (segmenti [ a;b]),

2) funksion f(x) është i kufizuar në [ a;b].

Një integral i tillë i caktuar quhet vet(fjala "vet" është lënë jashtë). Nëse ndonjë nga këto kushte nuk plotësohet, atëherë thirret integrali i caktuar jo e juaja. Ka integrale të pahijshme të llojit të parë dhe të dytë.

1. Përkufizimi i një integrali të papërshtatshëm të llojit të parë

Le të përgjithësojmë konceptin e një integrali të caktuar në një interval të pafund. Le f(x) është përcaktuar në intervalin [ a;+¥) dhe është i integrueshëm në secilën nga pjesët e tij të fundme, d.m.th. Në këtë rast ekziston një integral. Është e qartë se ekziston një funksion i përcaktuar në [ a;+¥). Le të shqyrtojmë. Ky kufi mund të ekzistojë ose jo, por pavarësisht nga kjo quhet integral i pahijshëm i llojit të parë dhe është caktuar .

Përkufizimi. Nëse ekziston dhe është i fundëm, atëherë quhet integrali i papërshtatshëm konvergjente, dhe vlera e këtij kufiri është vlera e integralit jo të duhur. . Nëse nuk ekziston ose është e barabartë me ¥, atëherë quhet integrali jo i duhur divergjent.

Përcaktuar në mënyrë të ngjashme,

Shembulli 1. Të hetojë konvergjencën e integralit , .

D është i vazhdueshëm në [ a;+¥) .

Nëse , atëherë , dhe Þ integrali konvergon.

Nëse , atëherë integrali ndryshon.

Kështu që, konvergon në dhe ;

divergjent në .D

2. Vetitë e një integrali të papërshtatshëm të llojit të parë

Meqenëse integrali jo i duhur përkufizohet si kufi i integralit të Rimanit, atëherë të gjitha vetitë që ruhen gjatë kalimit në kufi transferohen në integralin e papërshtatshëm, domethënë plotësohen vetitë 1-8. Teorema e vlerës mesatare nuk ka kuptim.

3. Formula Njuton–Leibniz

Lëreni funksionin fështë e vazhdueshme në [ a;+¥), F- është antiderivativ dhe ekziston. Atëherë formula Njuton-Leibniz është e vlefshme:

Me të vërtetë,

Shembulli 2. D. D

Kuptimi gjeometrik i një integrali të papërshtatshëm të llojit të parë

Lëreni funksionin fështë jo negative dhe e vazhdueshme në [ a;+¥) dhe integrali i papërshtatshëm konvergjon. e barabartë me sipërfaqen e një trapezi të lakuar me bazë [ a;b], dhe është e barabartë me sipërfaqen me bazën [ a;+¥).

4. Integrale të pahijshme të funksioneve jonegative

Teorema 1. Le f(x)³0 në [ a;+¥) dhe i integrueshëm në [ a;b] "b>a. Për konvergjencën e një integrali jo të duhur, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që bashkësia e integraleve të kufizohet nga lart, dhe .

Dëshmi.

Merrni parasysh funksionin, a£ b. Sepse f(x)³0, atëherë F nuk zvogëlohet në të vërtetë, " b 1 , b 2: a£ b 1 <b 2 për faktin se , është përmbushur

Sipas përkufizimit, një integral i papërshtatshëm konvergjon nëse dhe vetëm nëse ka një të fundme. Sepse F(b) nuk zvogëlohet, atëherë ky kufi ekziston nëse dhe vetëm nëse funksioni F(b) është i kufizuar nga lart, domethënë $ M>0: "b>a. Ku

Divergjenca e integralit të pahijshëm do të thotë se d.m.th.

Teorema 2. Lërini funksionet f Dhe g jo negative në [ a;+¥) dhe i integrueshëm në [ a;b] "b>a. le të [ a;+¥) bërë

1) nga konvergjenca e integralit (2) rrjedh konvergjenca e integralit (3);

2) nga divergjenca e integralit (3) vjen divergjenca e integralit (2).

Dëshmi.

Nga (1)" b>a.

1) Le të konvergojë integrali (2). Nga teorema 1, grupi është i kufizuar i kufizuar i kufizuar. Nga teorema 1 ajo konvergon.

2) Lërini të shpërndahen. Le të vërtetojmë se integrali (2) divergjent. Nga e kundërta. Le të supozojmë se integrali (2) konvergon, por më pas, nga pjesa e parë e teoremës, integrali (3) konvergjon - një kontradiktë me kushtin.

Teorema 3. Lërini funksionet f Dhe g jo negative në [ a;+¥) dhe i integrueshëm në [ a;b] "b>a. Nëse ekziston (0 £ k£¥), atëherë

1) nga konvergjenca e integralit në k<¥ следует сходимость интеграла ,

2) nga divergjenca e integralit në k>0 ndjek divergjencën e integralit.

Dëshmi.

1) Le k<¥ и сходится.

Sepse konvergon, konvergon, do të thotë konvergon. Pastaj, në bazë të (4), konvergon. Nga këtu ajo konvergon.

2) Le k>0 dhe divergjent. Në këtë rast - një numër i kufizuar. Nëse supozojmë të kundërtën - që integrali konvergjon, atëherë me atë që u vërtetua në paragrafin 1) do të gjejmë se ai gjithashtu konvergon, dhe kjo bie ndesh me kushtin. Prandaj, supozimi i bërë është i pasaktë dhe divergjent. konvergon absolutisht, pastaj sipas definicionit konvergon. Kështu që përshtatet. Por përshtatet.

SubjektiINTEGRALE TË PAPAKTUARA

Në temën "Integrali i caktuar" u shqyrtua koncepti i një integrali të caktuar për rastin e një intervali të fundëm.
dhe funksion të kufizuar
(shih Teoremën 1 nga §3). Tani le ta përgjithësojmë këtë koncept në rastet e një intervali të pafund dhe një funksioni të pakufizuar. Nevoja për një përgjithësim të tillë demonstrohet, për shembull, nga situatat e mëposhtme.

1. Nëse, duke përdorur formulën për gjatësinë e harkut, përpiquni të llogarisni gjatësinë e një çerek rrethi
,
, atëherë arrijmë në integralin e funksionit të pakufizuar:

, Ku
.

2. Lëreni trupin të ketë masë
lëviz me inerci në një mjedis me një forcë rezistence
, Ku
- shpejtësia e trupit. Duke përdorur ligjin e dytë të Njutonit (
, Ku
nxitimi), marrim ekuacionin:
, Ku
. Nuk është e vështirë të tregohet se zgjidhja e këtij ekuacioni (diferencial!) është funksioni
Nëse duhet të llogarisim rrugën e përshkuar nga trupi para se të ndalet plotësisht, d.m.th. deri në momentin kur
, atëherë arrijmë në integralin në një interval të pafund:

§1. Integrale të pahijshme të llojit të parë

I Përkufizimi

Lëreni funksionin
të përcaktuara dhe të vazhdueshme në interval
. Pastaj për këdo
është i integrueshëm në interval
, pra ka një integrale
.

Përkufizimi 1 . Kufiri i fundëm ose i pafundëm i këtij integrali në
quhet një integral i papërshtatshëm i llojit të parë të funksionit
përgjatë intervalit
dhe shënohet nga simboli
. Për më tepër, nëse kufiri i specifikuar është i fundëm, atëherë integrali i papërshtatshëm quhet konvergjent, përndryshe (
ose nuk ekziston) – divergjente.

Pra, sipas përkufizimit

Shembuj

2.
.

3.
- nuk ekziston.

Integrali i papërshtatshëm nga Shembulli 1 konvergon në Shembujt 2 dhe 3 integralet ndryshojnë;

Formula II Njuton-Leibniz për një integral të papërshtatshëm të llojit të parë

Le
- disa antiderivativë për funksionin
(ekziston në
, sepse
- e vazhdueshme). Pastaj

Nga këtu është e qartë se konvergjenca e integralit të papërshtatshëm (1) është ekuivalente me ekzistencën e një kufiri të fundëm
. Nëse ky kufi është i përcaktuar
, atëherë mund të shkruajmë formulën e Newton-Leibniz për integralin (1):

, Ku
.

Shembuj .

5.
.

6. Shembull më kompleks:
. Së pari, le të gjejmë antiderivativin:

Tani mund të gjejmë integralin , duke pasur parasysh se

:

III Vetitë

Le të paraqesim një sërë veçorish të integralit të papërshtatshëm (1), të cilat rrjedhin nga vetitë e përgjithshme të kufijve dhe integrali i caktuar:

IV Përkufizime të tjera

Përkufizimi 2 . Nëse
i vazhdueshëm në
, Kjo

.

Përkufizimi 3 . Nëse
i vazhdueshëm në
, atëherë ne e pranojmë me përkufizim

(- arbitrare),

Për më tepër, integrali i papërshtatshëm në anën e majtë konvergjon nëse vetëm të dy integralet në anën e djathtë konvergjojnë.

Për këto integrale, si dhe për integralin (1), mund të shkruhen formulat përkatëse Njuton-Leibniz.

Shembulli 7 .

§2. Testet për konvergjencën e një integrali jo të duhur të llojit të parë

Më shpesh, është e pamundur të llogaritet një integral i gabuar sipas përkufizimit, kështu që ata përdorin barazinë e përafërt

(për të mëdha ).

Megjithatë, kjo lidhje ka kuptim vetëm për integrale konvergjente. Është e nevojshme të kemi metoda për të qartësuar sjelljen e integralit duke anashkaluar përkufizimin.

I Integrale të funksioneve pozitive

Le
në
. Pastaj integrali i caktuar
në funksion të kufirit të sipërm është një funksion rritës (kjo rrjedh nga vetitë e përgjithshme të integralit të caktuar).

Teorema 1 . Një integral jo i duhur i llojit të parë të një funksioni jonegativ konvergjon nëse dhe vetëm nëse funksioni
mbetet i kufizuar me rritje .

Kjo teoremë është pasojë e vetive të përgjithshme të funksioneve monotone. Teorema nuk ka pothuajse asnjë kuptim praktik, por na lejon të marrim të ashtuquajturën shenjat e konvergjencës.

Teorema 2 (shenja e parë e krahasimit). Lërini funksionet
Dhe
të vazhdueshme për
dhe plotësojnë pabarazinë
. Pastaj:

1) nëse integrali
konvergon, atëherë
konvergon;

2) nëse integrali
divergon, atëherë
divergjent.

Dëshmi . Le të shënojmë:
Dhe
. Sepse
, Kjo

. Lëreni integralin
konvergon, pastaj (nga teorema 1) funksioni
- i kufizuar. Por pastaj
është i kufizuar, dhe për këtë arsye integrali
gjithashtu konvergon. Pjesa e dytë e teoremës vërtetohet në mënyrë të ngjashme.

Ky kriter nuk është i zbatueshëm nëse integrali ndryshon nga
ose konvergjenca e integralit të
. Ky pengesë mungon në veçorinë e dytë të krahasimit.

Teorema 3 (shenja e dytë e krahasimit). Lërini funksionet
Dhe
e vazhdueshme dhe jo negative mbi
. Atëherë nëse
në
, pastaj integralet e pahijshme
Dhe
konvergojnë ose ndryshojnë në të njëjtën kohë.

Dëshmi . Nga kushtet e teoremës marrim zinxhirin e mëposhtëm të pohimeve ekuivalente:

, ,

.

Le, për shembull,
. Pastaj:

Le të zbatojmë teoremën 2 dhe vetinë 1) nga §1 dhe të marrim deklaratën e teoremës 3.

Funksioni standard me të cilin krahasohet ky është një funksion fuqie
,
. Ftojmë studentët të vërtetojnë vetë se integrali

konvergon në
dhe ndryshon në
.

Shembuj . 1.
.

Le të shqyrtojmë integrandin në interval
:

,
.

Integrale
konvergon, sepse
. Bazuar në kriterin e 2-të të krahasimit, integrali konvergjon gjithashtu
, dhe për shkak të vetive 2) nga §1, integrali origjinal konvergjon gjithashtu.

2.
.

Sepse
, atëherë ekziston
e tillë që kur

. Për vlera të tilla të ndryshueshme:

Dihet se funksioni logaritmik rritet më ngadalë se funksioni i fuqisë, d.m.th.

,

që do të thotë duke u nisur nga një vlerë e caktuar e ndryshores kjo thyesë është më e vogël se 1. Prandaj

.

Integrale konvergon si referencë. Në bazë të kriterit të parë të krahasimit, ai konvergon dhe
. Duke zbatuar kriterin e dytë, marrim se integrali
konvergon. Dhe përsëri vetia 2) nga §1 vërteton konvergjencën e integralit origjinal.

Leksioni 24. INTEGRALET E PAPAKTUARA

Plani:

1. Koncepti i një integrali jo të duhur
2. Integrale të pahijshme të llojit të parë.
3. Integrale të pahijshme të llojit të dytë.

1. Koncepti i një integrali jo të duhur

Le të shqyrtojmë gjetjen e të dy llojeve të integraleve jo të duhura.

Le të jepet funksioni y=f(x), e vazhdueshme në intervalin [ a;+∞). Nëse ka një kufi të fundëm, atëherë ai quhet integral i pahijshëm i llojit të parë dhe shënoni .

konvergon divergjent .

Kuptimi gjeometrik i një integrali të papërshtatshëm të llojit të parë është si më poshtë: nëse konvergon (me kusht që f(x)≥0), atëherë përfaqëson zonën e një trapezi të lakuar "pafundësisht të gjatë" (Fig. 24.1).

Në mënyrë të ngjashme, koncepti i një integrali të papërshtatshëm me një kufi të poshtëm të pafund të integrimit prezantohet për një vijë të vazhdueshme në interval ( -∞ ;b] funksionet: = .

Një integral i papërshtatshëm me dy kufij të pafund të integrimit përcaktohet nga formula: = + , ku Me– numër arbitrar.

Le të shqyrtojmë shembuj të gjetjes së integraleve të papërshtatshme të llojit të parë.

Shembulli 24.1.

Zgjidhje. Për të gjetur një integral të papërshtatshëm me një kufi të sipërm të pafund të një funksioni të vazhdueshëm, ne përdorim formulën: = . Pastaj = . Së pari, le të llogarisim integralin e e x:

= = = =∞. Ne zbuluam se integrali i papërshtatshëm ndryshon.

Përgjigju: divergjent.

Shembulli 24.2. Njehsoni integralin e gabuar ose përcaktoni divergjencën e tij: .

Zgjidhje. Integrandi është i vazhdueshëm në intervalin ( -∞ ;- 1]. Për të gjetur një integral të papërshtatshëm të llojit të parë me një kufi të poshtëm të pafund, përdorim formulën: = . Pastaj = . Le të llogarisim integralin që gjendet nën shenjën kufitare: = . Le të heqim qafe shenjën minus duke ndërruar kufijtë e integrimit:

1. Ne zbuluam se integrali i papërshtatshëm në shqyrtim konvergjon.

Përgjigju: =1.

1. Integrale të pahijshme të llojit të dytë.

Le të jepet funksioni y=f(x), e vazhdueshme në intervalin [ a;b). Le b– pika e ndërprerjes së llojit të dytë. Nëse ka një kufi të fundëm, atëherë ai quhet integral i pahijshëm i llojit të dytë dhe shënoni .

Kështu, sipas përkufizimit = .

Nëse kufiri i gjetur është i barabartë me një numër të fundëm, atëherë thuhet se është integrali i gabuar konvergon . Nëse kufiri i specifikuar nuk ekziston ose është i pafund, atëherë integrali thuhet se është divergjent .

Kuptimi gjeometrik i një integrali të pasaktë të llojit të dytë, Ku b- pika e ndërprerjes së llojit të dytë, f(x)≥0, është si më poshtë: nëse konvergon, atëherë përfaqëson zonën e një trapezi të lakuar "pafundësisht të lartë" (Fig. 24.2).

Në mënyrë të ngjashme, koncepti i një integrali të papërshtatshëm të llojit të dytë prezantohet për një vijë të vazhdueshme në intervalin ( a;b]funksionet me kusht që A– pika e ndërprerjes së llojit të dytë: = .

Shembulli 24.3. Njehsoni integralin e pasaktë të llojit të dytë: .

Zgjidhje. Integrandi është i vazhdueshëm në intervalin (0;1], dhe x= 0 - pika e ndërprerjes së llojit të dytë (). Për të llogaritur integralin e gabuar, përdorim formulën: = . Ne e kuptojmë atë

= = = = = = ∞. Shohim që integrali i papërshtatshëm i llojit të dytë divergjent.

Përgjigju: divergjent.

Pyetjet e kontrollit:

1. Si quhet një integral jo i duhur?
2. Cilat integrale quhen integrale të papërshtatshme të llojit të parë?
3. Cili është kuptimi gjeometrik i një integrali të papërshtatshëm të llojit të parë?
4. Cilët integrale të parregullta quhen konvergjente dhe cilat divergjente?
5. Cilat integrale quhen integrale të papërshtatshme të llojit të dytë?
6. Cili është kuptimi gjeometrik i një integrali të pasaktë të llojit të dytë?

BIBLIOGRAFI:

1. Abdrakhmanova I.V. Elementet e matematikës së lartë: tekst shkollor. manual – M.: Qendra për teknologjitë intensive arsimore, 2003. – 186 f.

2. Algjebra dhe fillimet e analizës (Pjesa 1, Pjesa 2): Libër mësuesi për institucionet arsimore të mesme / bot. G.N.Yakovleva. – M.: Nauka, 1981.

3. Aleksandrova N.V. Termat matematikore. Drejtori.- M.: Më e lartë. shkollë, 1978. - 190 f.

4. Valutse I.I., Diligul G.D. Matematika për shkollat ​​teknike me bazë shkollat ​​e mesme: Proc. kompensim. – M.: Nauka, 1989. – 576 f.

5. Grigoriev V.P., Dubinsky Yu.A. Elementet e matematikës së lartë: Teksti mësimor. për studentët institucionet e arsimit profesional. - M.: Qendra botuese “Akademia”, 2004. – 320 f.

6. Lisichkin V.T., Soloveichik I.L. Matematika: tekst shkollor. manual për shkollat ​​teknike. - M.: Më e lartë. shkollë, 1991. – 480 f.

7. Lukankin G.L., Martynov N.N., Shadrin G.A., Yakovlev G.N. Matematika e lartë: tekst shkollor. manual për studentët e pedagogjisë. institucionet. – M.: Arsimi, 1988. – 431 f.

8. Shkruar D.T. Shënime leksioni për matematikën e lartë: Pjesa 1. – M.:Iris-press, 2006.- 288 f.

9. Filimonova E.V. Matematika: tekst shkollor. kompensim për kolegjet. – Rostov n/d: Phoenix, 2003. – 384 f.

10. Shipaçev V.S. Matematika e lartë: tekst shkollor për universitetet. – M.: Shkolla e lartë, 2003. – 479 f.

11. Shipaçev V.S. Lënda e matematikës së lartë: arsimi i lartë. - M.: PROYUL M.A. Zakharov, 2002. - 600 f.

12. Enciklopedi për fëmijë. T.11. Matematikë / Ch. ed. M.V.Aksenova. - M.: Avanta+, 2000.- 688 f.

Nëse integrandi ka një ndërprerje të llojit të dytë në intervalin (finit) të integrimit, flasim për një integral të papërshtatshëm të llojit të dytë.

10.2.1 Përkufizimi dhe vetitë themelore

Le të shënojmë intervalin e integrimit me $\left[ a, \, b \right ]$ që të dy këta numra supozohen të jenë të fundëm. Nëse ka vetëm 1 ndërprerje, ai mund të vendoset ose në pikën $a$, ose në pikën $b$, ose brenda intervalit $(a,\,b)$. Le të shqyrtojmë fillimisht rastin kur ka një ndërprerje të llojit të dytë në pikën $a$, dhe në pika të tjera funksioni integrand është i vazhdueshëm. Pra, ne po diskutojmë integralin

\fillimi(ekuacioni) I=\int _a^b f(x)\,dx, (22) \label(intr2) \end(ekuacioni)

dhe $f(x) \rightarrow \infty $ kur $x \rightarrow a+0$. Si më parë, gjëja e parë që duhet bërë është t'i jepni kuptim kësaj shprehjeje. Për ta bërë këtë, merrni parasysh integralin

\[ I(\epsilon)=\int _(a+\epsilon)^b f(x)\,dx. \]

Përkufizimi.

Le të ketë një kufi të kufizuar

\[ A=\lim _(\epsilon \rightarrow +0)I(\epsilon)=\lim _(\epsilon \rightarrow +0)\int _(a+\epsilon)^b f(x)\,dx. \]

Pastaj thuhet se integrali i papërshtatshëm i llojit të dytë (22) konvergohet dhe vlera $A$ i caktohet atij vetë funksioni $f(x)$ thuhet se është i integrueshëm në intervalin $\left[a, \; , b\djathtas]$.

Merrni parasysh integralin

\[ I=\int ^1_0\frac(dx)(\sqrt(x)). \]

Funksioni integrand $1/\sqrt(x)$ në $x \rightarrow +0$ ka një kufi të pafund, kështu që në pikën $x=0$ ka një ndërprerje të llojit të dytë. Le të vendosim

\[ I(\epsilon)=\int ^1_(\epsilon )\frac(dx)(\sqrt(x))\,. \]

Në këtë rast, antiderivati ​​është i njohur,

\[ I(\epsilon)=\int ^1_(\epsilon )\frac(dx)(\sqrt(x))=2\sqrt(x)|^1_(\epsilon)=2(1-\sqrt( \epsilon ))\shigjeta djathtas 2\]

në $\epsilon \rightarrow +0$. Kështu, integrali origjinal është një integral i parregullt konvergjent i llojit të dytë dhe është i barabartë me 2.

Le të shqyrtojmë opsionin kur ka një ndërprerje të llojit të dytë në funksionin integrand në kufirin e sipërm të intervalit të integrimit. Ky rast mund të reduktohet në atë të mëparshëm duke bërë ndryshimin e ndryshores $x=-t$ dhe më pas duke riorganizuar kufijtë e integrimit.

Le të shqyrtojmë opsionin kur funksioni integrand ka një ndërprerje të llojit të dytë brenda intervalit të integrimit, në pikën $c \in (a,\,b)$. Në këtë rast, integrali origjinal

\fillimi(ekuacioni) I=\int _a^bf(x)\,dx (23) \label(intr3) \end(ekuacioni)

paraqitet si shumë

Përkufizimi.

Nëse të dy integralet $I_1, \, I_2$ konvergojnë, atëherë integrali i papërshtatshëm (23) quhet konvergjent dhe i caktohet një vlerë e barabartë me shumën e integraleve $I_1, \, I_2$, funksioni $f(x)$ quhet i integrueshëm në intervalin $\left [a, \, b\right]$. Nëse të paktën një nga integralet $I_1,\, I_2$ është divergjent, integrali i papërshtatshëm (23) quhet divergjent.

Integralet e parregullta konvergjente të llojit të dytë kanë të gjitha vetitë standarde të integraleve të zakonshëm të caktuar.

Pastaj thuhet se integrali i papërshtatshëm i llojit të dytë (22) konvergohet dhe vlera $A$ i caktohet atij vetë funksioni $f(x)$ thuhet se është i integrueshëm në intervalin $\left[a, \; , b\djathtas]$.

1. Nëse $f(x)$, $g(x)$ janë të integrueshme në intervalin $\left[ a, \,b \djathtas ]$, atëherë shuma e tyre $f(x)+g(x)$ është gjithashtu i integrueshëm në këtë interval, dhe \[ \int _a^(b)\left(f(x)+g(x)\right)dx=\int _a^(b)f(x)dx+\int _a^( b)g (x)dx. \] 2. Nëse $f(x)$ është i integrueshëm në intervalin $\left[ a, \, b \right ]$, atëherë për çdo konstante $C$ funksioni $C\cdot f(x)$ është gjithashtu i integrueshëm në këtë interval , dhe \[ \int _a^(b)C\cdot f(x)dx=C \cdot \int _a^(b)f(x)dx. \] 3. Nëse $f(x)$ është i integrueshëm në intervalin $\left[ a, \, b \right ]$, dhe në këtë interval $f(x)>0$, atëherë \[ \int _a^ (b ) f(x)dx\,>\,0. \] 4. Nëse $f(x)$ është i integrueshëm në intervalin $\left[ a, \, b \djathtas ]$, atëherë për çdo $c\in (a, \,b)$ integralet \[ \ int _a^ (c) f(x)dx, \quad \int _c^(b) f(x)dx \] gjithashtu konvergojnë, dhe \[ \int _a^(b)f(x)dx=\int _a ^(c ) f(x)dx+\int _c^(b) f(x)dx \] (aditiviteti i integralit mbi intervalin).

\fillimi(ekuacioni) I=\int _0^(1)\frac(1)(x^k)\,dx. (24) \label(mod2) \end(ekuacion)

Nëse $k>0$, integrani priret në $\infty$ si $x \rightarrow +0$, kështu që integrali është i papërshtatshëm i llojit të dytë. Le të prezantojmë funksionin

\[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x^k)\,dx. \]

Në këtë rast dihet antiderivati, pra

\[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x^k)\,dx\,=\frac(x^(1-k))(1-k )|_(\epsilon)^1= \frac(1)(1-k)-\frac(\epsilon ^(1-k))(1-k). \]

për $k \neq 1$,

\[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x)\,dx\,=lnx|_(\epsilon)^1= -ln \epsilon. \]

për $k = 1$. Duke marrë parasysh sjelljen në $\epsilon \rightarrow +0$, arrijmë në përfundimin se integrali (20) konvergjon në $k

10.2.2 Testet për konvergjencën e integraleve jo të duhura të llojit të dytë

Teorema (kriteri i dytë i krahasimit). Le të jetë $f(x)$, $g(x)$ e vazhdueshme dhe pozitive për $x\in (a,\,b)$, dhe le të ketë një kufi të fundëm

\[ \theta = \lim_(x \djathtas shigjetë a+0) \frac(f(x))(g(x)), \quad \theta \neq 0, \, +\infty. \]

Pastaj integralet

\[ \int _a^(b)f(x)dx, \quad \int _a^(b)g(x)dx \]

konvergojnë ose ndryshojnë në të njëjtën kohë.

Pastaj thuhet se integrali i papërshtatshëm i llojit të dytë (22) konvergohet dhe vlera $A$ i caktohet atij vetë funksioni $f(x)$ thuhet se është i integrueshëm në intervalin $\left[a, \; , b\djathtas]$.

\[ I=\int _0^(1)\frac(1)(x+\sin x)\,dx. \]

Integrandi është një funksion pozitiv në intervalin e integrimit, integrandi tenton në $\infty$ si $x \rightarrow +0$, kështu që integrali ynë është një integral i papërshtatshëm i llojit të dytë. Më tej, për $x \rightarrow +0$ kemi: nëse $g(x)=1/x$, atëherë

\[ \lim _(x \rightarrow +0)\frac(f(x))(g(x))=\lim _(x \rightarrow +0)\frac(x)(x+\sin x)=\ frac(1)(2) \neq 0,\, \infty \, . \]

Duke zbatuar kriterin e dytë të krahasimit, arrijmë në përfundimin se integrali ynë konvergjon ose divergjent njëkohësisht me integralin

\[ \int _0^(+1)\frac(1)(x)\,dx . \]

Siç u tregua në shembullin e mëparshëm, ky integral ndryshon ($k=1$). Rrjedhimisht, integrali origjinal gjithashtu ndryshon.

Llogaritni integralin e gabuar ose vendosni konvergjencën (divergjencën) e tij.

1. \[ \int _(0)^(1)\frac(dx)(x^3-5x^2)\,. \] 2. \[ \int _(3)^(7)\frac(x\,dx)((x-5)^2)\,. \] 3. \[ \int _(0)^(1)\frac(x\,dx)(\sqrt(1-x^2))\,. \] 4. \[ \int _(0)^(1)\frac(x^3\,dx)(1-x^5)\,. \] 5. \[ \int _(-3)^(2)\frac(dx)((x+3)^2)\,. \] 6. \[ \int _(1)^(2)\frac(x^2\,dx)((x-1)\sqrt(x-1))\,. \] 7. \[ \int _(0)^(1)\frac(dx)(\sqrt(x+x^2))\,. \] 8. \[ \int _(0)^(1/4)\frac(dx)(\sqrt(x-x^2))\,. \] 9. \[ \int _(1)^(2)\frac(dx)(xlnx)\,. \] 10. \[ \int _(1)^(2)\frac(x^3\,dx)(\sqrt(4-x^2))\,. \] 11. \[ \int _(0)^(\pi /4)\frac(dx)(\sin ^4x)\,. \]