Ämne: Egenskaper för logaritmer.
Mål: 1. Utbildning: bildandet av förmågan att utföra identiska transformationer,
med hjälp av logaritmers egenskaper.
2. Utvecklingsmål: utveckling av självständigt tänkande, färdigheter
motivera ditt beslut.
3. Utbildningsmål: att bidra till utbildningen av det kognitiva behovet
eleverna genom att skapa en problemsituation.
Grundläggande begrepp: logaritm för produkten,
logaritm för kvoten, logaritm för graden.
Studenternas oberoende aktivitet: lösa problem på ämnet "Logarithms egenskaper"
Grundläggande fråga: Är det möjligt utan dem?
Problemfråga:
Aktualisering.(3 minuter.)
Den franske författaren Anatole France (1844-1924) anmärkte: ”Lärande kan bara vara roligt. För att smälta kunskap måste man ta till sig den med aptit.
Låt oss följa författarens råd: vi kommer att vara aktiva i lektionen, uppmärksamma, vi kommer att "absorbera" kunskap med stor lust.
Uppgiften är denna: lära sig att lösa logaritmiska uttryck med hjälp av logaritmernas egenskaper.
1. Diskussion nr 180(3) från hus. Uppgifter
log 0,2 log 2 (2x+3)
log 0,2 log 2 (2x+3)log 0,2 5
log 2 (2x+3) log 2 32
Beräkna:
a) log 1/3 1/3 c) log 1/3 1/9 e) log 1/3 9
b) stock 1/3 3 d) log 1/3 1 f) stock 1/3
3. Ange omfattningen av funktionen:
a) y=log 3 x c) y=log 3 |x|
b) y=log 3 (x-1) d) y=log 3 (-x)
4. Bestäm typen av monotoniteten hos funktionen:
a) y=log 3 x b) y=log 1/3 x c) y= -log 5 x
Att lära sig nytt material.(10 minuter.)
Problemfråga:
Hur härleder man egenskaperna hos logaritmer med hjälp av potensernas egenskaper?
a x=b x=log a b
och y=c y=log a c
c=a x b y = a log a b a log a c = a log a b+ log a c
log a (bc)=log a b+log a c
På samma sätt kan du få logaritmen för kvoten och graden:
log a b/c= log a b - log a c
log a b p = p log a b
Övergång till en logaritm med en ny bas.
log a b = x , a x = b (logaritm)
log c a x = log c b
x log c a = log c b
x= log c b / log c a
log a p b = 1 /p log a b(exponentexponent)
(Formler skrivs in i tabellen)
| Egenskaper för logaritmer | Fastighetens namn och formulering |
| Produktens logaritm är lika med summan av logaritmerna |
|
| Logaritmen för kvoten är lika med skillnaden mellan logaritmerna |
|
| log a b p = p log a b | Gradens logaritm är lika med produkten av exponenten exponent per logaritm av basen för den exponenten |
Eleverna kopierar tabellen i sina anteckningsböcker.
| Logaritmer med samma grunder | logaritmer med olika grunder |
| log a (bc) = log a b + log a c log a b / c = log a b - log a c log a b p =p log a b | log a b= log c b/ log c a log a p b=1/p log a b |
III. Ansökan. (20 minuter.)
nr 182 (1-5) (eleverna analyserar uppgifter för möjligheten att använda
egenskaper hos logaritmer)
log 6 2+ log 6 3
log 1/15 25 + log 1/15 9
log 3 12 – log 3 4
log 2 12+ log 0,5 3
log 3 18 + log 1/3 2
Frågor för det här problemet:
Är baserna för logaritmerna i uppgiften desamma?
Vilken del av bordet kommer du att arbeta med?
Vilken formel från tabellen kommer att gälla?
Vad får du som resultat?
Skriv ner beräkningarna.
motsvarande formel, namnge de resulterande uttrycken och dess
menande.
Nr 183 (1.2) - frontalt.
Att veta att log 6 2=a express genom uttrycket 1) log 6 16
nr 183 (3.4) - självständigt.
(Svar: i 3) 7.5a; i 4) -4a)
Nr 183 (5) - frontalt
log 2 6= log 6 6 / log 6 2=1/a
(Elever bör lägga märke till att denna logaritm har en annan bas och använda resultatet av denna uppgift för att få en annan formel log a b= 1/log b a)
Läroboksarbete: exempel nr 1.
log 2 x = 3-4log 2 + 3log 2 3
3- 4 log 2 + 3 log 2 3 = log 2 2 3 – log 2 () 4 + log 2 3 3 = log 2 2 3 3 3 /() 4 = log 2 8* 3 3 /3 2 =
Logg 2 (8*3)=logg 2 24
log 2 x= log 2 24, x=24
Från det övervägda exemplet får eleverna bekanta sig med den nya termen "potentiering" - att hitta ett tal med en känd logaritm.
nr 185 (2) - självständigt
(Svar: a=20.25)
IV. Läxa: Klausul 11 (Ex. 1); (1 minut.)
Nr 181(1) - härledning av formeln för kvotens logaritm
№ 182 (3,5,7 *)
V. Lektionssammanfattning: (1 minut)
Slutsats: - vilket ämne togs upp?
Vad var uppgiften på lektionen?
Vilka egenskaper hos logaritmer känner du till?
Vad är logaritmen för produkten?
Vad är logaritmen för kvoten?
Vad är logaritmen för graden?
Betyg med förklaring.
VI. Informationsresurser:
G.K. Muravina, O.V. Muravina
Algebra och början av analys.
G.K. Muravina, O.V. Muravina
Algebra och början av analys. Lärobok 10kl. Moskva: Bustard, 2004
A. Ya Simonov och andra.
Systemet med träningsuppgifter och övningar i matematik. Moskva: Upplysning, 1998
v. Korsnummer. (översatt från engelska - korsnummer) - en av typerna
antal pussel.
Lektionsämne: Logaritmer och deras egenskaper.
Syftet med lektionen:
- pedagogisk- att bilda begreppet logaritm, studera logaritmers grundläggande egenskaper och främja bildningen av förmågan att tillämpa logaritmers egenskaper vid uppgiftslösning.
- Pedagogisk - utveckla logiskt tänkande; beräkningsteknik; förmågan att arbeta rationellt.
- Pedagogisk - att främja utbildning av intresse för matematik, att odla en känsla av självkontroll, ansvar.
Lektionstyp : En lektion i studier och primär konsolidering av ny kunskap.
Utrustning: dator, multimediaprojektor, presentation "Logaritmer och deras egenskaper", utdelat material.
Lärobok: Algebra och den matematiska analysens början, 10-11. Sh. A. Alimov, Yu. M. Kolyagin et al., Education, 2014.
Under lektionerna:
1. Organisatoriskt ögonblick:kontrollera elevernas beredskap för lektionen.
2. Upprepning av det täckta materialet.
Lärarens frågor:
1) Definiera graden. Vad är bas och exponent? (Den n:te roten av talet a ett tal kallas vars n:te potens är lika med a . 3 4 = 81.)
2) Formulera examens egenskaper.
3. Att lära sig ett nytt ämne.
Ämnet för dagens lektion är logaritmer och deras egenskaper (öppna anteckningsböcker och skriv ner datum och ämne).
I den här lektionen kommer vi att bekanta oss med begreppet "logaritm", vi kommer också att överväga egenskaperna hos logaritmer.
Låt oss ställa en fråga:
1) Till vilken makt måste 5 höjas för att få 25? Uppenbarligen den andra. Exponenten som du behöver höja siffran 5 till för att få 25 är 2.
2) Till vilken makt måste 3 höjas för att få 27? Självklart den tredje. Exponenten som du behöver höja siffran 3 till för att få 27 är 3.
I samtliga fall letade vi efter en indikator på i vilken grad något måste höjas för att få något. Exponenten till vilken något måste höjas kallas en logaritm och betecknas med log.
Antalet som vi höjer till en potens, dvs. gradens bas kallas basen för logaritmen och skrivs i en nedsänkt skrift. Sedan skrivs numret som vi får, d.v.s. numret vi letar efter: log 5 25=2
Den här posten lyder: "Logaritm av talet 25 till bas 5." Logaritmen för talet 25 till bas 5 är exponenten till vilken du måste höja 5 för att få 25. Denna exponent är 2.
Låt oss analysera det andra exemplet på ett liknande sätt.
Vi ger definitionen av logaritmen.
Definition . Logaritmen för ett tal b>0 bas a>0, a ≠ 1 är exponenten till vilken talet måste höjas en, för att få ett nummer b.
Logaritmen för ett tal b till bas a betecknas med log a b.
Historik för logaritmen:
Logaritmer introducerades av den skotske matematikern John Napier (1550-1617) och matematikern Jost Burgi (1552-1632).
Bürgi kom till logaritmer tidigare, men publicerade sina tabeller för sent (1620) och först 1614. Napiers verk "Description of the amazing table of logarithms" dök upp.
Ur beräkningspraktikens synvinkel kan uppfinningen av logaritmer säkert placeras sida vid sida med andra, äldre stora uppfinningar - vårt decimala numreringssystem.
Ett dussin år efter uppkomsten av Napiers logaritmer uppfann den engelske vetenskapsmannen Gunter en mycket populär räkneanordning - en skjutregel. Hon hjälpte astronomer och ingenjörer i deras beräkningar, hon gjorde det möjligt att snabbt få ett svar med tillräcklig noggrannhet av tre signifikanta siffror. Nu har miniräknare ersatt det, men varken de första datorerna eller mikrokalkylatorerna skulle ha skapats utan en skjutregel.
Tänk på exempel:
log 3 27=3; log 5 25=2; log 25 5=1/2;
Log 5 1/125 =-3; log-2 (-8) - finns inte; logga 5 1=0; log 4 4=1
Tänk på dessa exempel:
10 . log a 1=0, a>0, a ≠ 1;
20 . log a a=1, a>0, a ≠ 1.
Dessa två formler är egenskaper hos logaritmen. De kan användas för att lösa problem.
Hur går man från logaritmisk till exponentiell? logga a b=c, c – är logaritmen, exponenten till vilken du vill höja a att få b . Därför är a av grad c lika med b: a c = b.
Vi härleder den huvudsakliga logaritmiska identiteten: a logga a b = b. (Beviset ges av läraren på tavlan).
Tänk på ett exempel.
5 log 5 13 =13
Låt oss överväga några viktigare egenskaper hos logaritmer.
Egenskaper för logaritmer:
3°. log a xy = log a x + log a y.
4°. log a x/y = log a x - log a y.
5°. log a x p = p log a x, för alla riktiga p.
Tänk på ett exempel för att kontrollera tre egenskaper:
log 2 8 + log 2 16= log 2 8∙16= log 2 128=7
3 +4 = 7
Tänk på ett exempel för att kontrollera 5 egenskaper:
3 ∙ log 2 8= log 2 8 3 = log 2 512 =9
3∙3 = 9
4. Fixering.
Övning 1. Namnge egenskapen som används vid beräkning av följande logaritmer och beräkna (verbalt):
- logga 6 6
- log 0,5 1
- log 6 3+ log 6 2
- log 3 6 - log 3 2
- logga 4 4 8
Uppgift 2.
Här är 8 lösta exempel, bland vilka det finns korrekta, resten med ett fel. Bestäm den korrekta likheten (namnge dess nummer), rätta till felen i resten.
- log 2 32+ log 2 2= log 2 64=6
- log 5 5 3 = 2;
- log 3 45 - log 3 5 = log 3 40
- 3∙log 2 4 = log 2 (4∙3)
- log 3 15 + log 3 3 = log 3 45;
- 2∙log 5 6 = log 5 12
- 3∙log 2 3 = log 2 27
- log 2 16 2 = 8.
Lektion om ämnet "Logaritm, dess egenskaper."
Chertikhina L.P.
lärare
GB POU "VPT"
"Ta så mycket du kan och vill,
men inte mindre än obligatoriskt.
Lektionens mål:
känna till och kunna skriva ner definitionen av logaritmen, den grundläggande logaritmiska identiteten;
kunna tillämpa definitionen av logaritmen och den grundläggande logaritmiska identiteten vid lösning av övningar;
bekanta dig med egenskaperna hos logaritmer;
lära sig att särskilja logaritmers egenskaper genom deras registrering;
lära dig hur du tillämpar logaritmers egenskaper när du löser uppgifter;
konsolidera datorkunskaper;
fortsätta att arbeta med matematiskt tal.
att bilda färdigheter för självständigt arbete, arbeta med en lärobok, färdigheter för självständigt förvärv av kunskap;
utveckla förmågan att lyfta fram det viktigaste när du arbetar med text;
att bilda tänkandets oberoende, mentala operationer: jämförelse, analys, syntes, generalisering, analogi;
visa eleverna rollen av systematiskt arbete för att fördjupa och förbättra styrkan i kunskap, kulturen för att slutföra uppgifter;
utveckla elevernas kreativitet.
Lektionstyp: förmedling av ny kunskap.
Tidsåtgång: 1,5 timme
Utrustning:
log egenskapstabell
uppgiftskort;
Lärardator, multimediaprojektor;
LektionsplaneringAtt organisera tid. 1 min.
Målsättning. 1 min.
Granskning av tidigare inlärt material 5 min
Introduktion till begreppet logaritm.
Definition av en logaritm. 5 minuter
6. Historisk bakgrund 10 min
Grundläggande logaritmisk identitet. 10 minuter
Grundläggande egenskaper hos logaritmer 10 min
Generalisering och systematisering av kunskap. 7 min.
Läxa. 1 min.
Kreativ tillämpning av kunskaper, färdigheter och förmågor. 25 min.
Sammanfattande. 5 minuter.
Killar, idag på lektionen måste ni testa förmågan att lösa de enklaste exponentialekvationerna så att ni kan introducera ett nytt koncept för er, sedan ska vi bekanta oss med det nya konceptets egenskaper; du måste lära dig att särskilja dessa egenskaper genom att skriva dem; lär dig hur du använder dessa egenskaper för att lösa problem.
Var samlad, uppmärksam och observant. Lycka till!
Kontrollera tidigare studerat material.Eleverna uppmanas att bestämma ämnet för lektionen genom att lösa ekvationer
2 x =; 3 x =; 5 x \u003d 1/125; 2 x \u003d 1/4;
2 x = 4; 3 x = 81; 7 x \u003d 1/7; 3 x = 1/81
- Nämn det nya konceptet som vi kommer att bekanta oss med:
- Ämnet för vår lektion är "Logaritm och dess egenskaper". Försök hitta roten till ekvationen 2 x = 5. Vi kan skriva svaret på denna ekvation med ett nytt begrepp. Läs texten på bilden och skriv ner roten till ekvationen.
4.1. Definition av logaritm(bilder 5-7)Logaritmen för ett positivt tal b till basen a, där a0, a ≠ 1, är exponenten till vilken a måste höjas för att få talet b.
1) log 10 100 = 2, eftersom 10 2 \u003d 100 (definition av logaritmen och gradens egenskaper),
2) log 5 5 3 = 3, eftersom 5 3 = 5 3 (…),
3) log 4 = –1, eftersom 4 -1 = (...).
I inspelning b=at siffra aär grunden för examen, t- indikator, b- grad. siffra t -är exponenten till vilken basen a måste höjas för att få talet b. Följaktligen, tär talets logaritm b av skäl a: t=log
a
b
.
Ersättande i jämlikhet t=logab uttryck b i form av en examen får vi ytterligare en identitet:
logga a a t =t .
Vi kan säga att formlerna at=b och t=logabär ekvivalenta uttrycker de samma förhållande mellan tal a, b och t(på a0, a1, b0). siffra t- godtyckligt sätts inga restriktioner på exponenten.
Substituera till jämlikhet at=b nummerinmatning t i form av en logaritm får vi en likhet som kallas grundläggande logaritmisk identitet
:
=b
.
1) (3 2) log 3 7 = (3 log 3 7) 2 = 7 2 = 49 (gradstyrka, grundläggande logaritmisk identitet, definition av grad),
2) 7 2 log 7 3 = (7 log 7 3) 2 = 3 2 = 9 (…),
3) 10 3 log 10 5 = (10 log 10 5) 3 = 5 3 = 125 (…),
4) 0,1 2 log 0,1 10 = (0,1 log 0,1 10) 2 = 10 2 = 100 (…).
Du gjorde ett bra jobb med exemplen. Beräkna nu följande uppgifter skrivna på tavlan:
a) log 15 3 + log 15 5 = ...,
b) log 15 45 – log 15 3 = …,
c) log 4 8 =…,
d) 7 = ... .
Vad tror du att vi behöver veta för att utföra operationer med logaritmer?
Om elever har svårigheter, ställ då frågan: "Vad behöver du veta för att utföra åtgärder med grader?" (Svar: "Examens egenskaper"). Gå tillbaka till den ursprungliga frågan. (Logaritmers egenskaper)
Här är en tabell med logaritmers egenskaper. Det är nödvändigt att ge ett namn till varje fastighet och korrekt formulera dem.
| Namnet på egenskapen för logaritmer | Egenskaper för logaritmer |
|
| enhetslogaritm. | log a 1 = 0, a 0, a 1. |
|
| baslogaritm. | log a a = 1, a 0, a 1. |
|
glida 2
Lektionens mål:
Utbildning: Gå igenom definitionen av logaritmen; bekanta dig med egenskaperna hos logaritmer; lära dig att tillämpa logaritmers egenskaper när du löser övningar.
glida 3
Definition av logaritm
Logaritmen för ett positivt tal b till basen a, där a > 0 och a ≠ 1, är exponenten till vilken du måste höja talet a för att få talet b. Grundläggande logaritmisk identitet alogab=b (där a>0, a≠1, b>0)
glida 4
Historien om uppkomsten av logaritmer
Ordet logaritm kommer från två grekiska ord och det översätts som ett förhållande mellan tal. Under sextonde århundradet volymen av arbete i samband med att utföra ungefärliga beräkningar under loppet av att lösa olika problem, och först och främst astronomiproblem, som har direkt praktisk tillämpning (vid bestämning av fartygens position från stjärnorna och solen), har kraftigt ökat . De största problemen uppstod när man utförde multiplikations- och divisionsoperationer. Försök att delvis förenkla dessa operationer genom att reducera dem till addition gav inte mycket framgång.
glida 5
Logaritmer kom ovanligt snabbt i praktik. Uppfinnarna av logaritmerna begränsade sig inte till utvecklingen av en ny teori. Ett praktiskt verktyg skapades - tabeller över logaritmer - som dramatiskt ökade produktiviteten hos miniräknare. Vi tillägger att redan 1623, d.v.s. bara 9 år efter publiceringen av de första tabellerna uppfann den engelske matematikern D. Gunter den första linjalen, som blev ett arbetsredskap i många generationer. De första logaritmtabellerna sammanställdes oberoende av den skotske matematikern J. Napier (1550 - 1617) och schweizaren I. Burgi (1552 - 1632). Napiers tabeller inkluderade värdena för logaritmerna för sinus, cosinus och tangenter för vinklar från 0 till 900 i steg om 1 minut. Burgi förberedde sina tabeller med logaritmer av tal, men de publicerades 1620, efter publiceringen av Napiers tabeller, och gick därför obemärkt förbi. Napier John (1550-1617)
glida 6
Uppfinningen av logaritmer, efter att ha minskat astronomens arbete, förlängde hans liv. PS Laplace Därför förlängde upptäckten av logaritmer, som reducerar multiplikationen och divisionen av tal till addition och subtraktion av deras logaritmer, enligt Laplace, räknarens livslängd.
Bild 7
examensegenskaper
ax ay = ax + y = ax –y (x)y = ax y
Bild 8
Beräkna:
Bild 9
Kontrollera:
Bild 10
LOGARITMS EGENSKAPER
glida 11
Tillämpning av det studerade materialet
a) log 153 + log 155 = log 15(3 5) = log 1515 = 1, b) log 1545 - log 153 = log 15 = log 1515 = 1 c) log 243 = log 226 = 6 log 22 = 6, d ) log 7494 = log 7(72)4 = log 7 78 = 8 log 77 = 8. 93; #290 291 - 294, 296* (udda exempel)
glida 12
Hitta den andra halvan av formeln
glida 13
Kontrollera:
Bild 14
Läxor: 1. Lär dig logaritmers egenskaper 2. Lärobok: § 16 s. 92-93; 3. Uppgiftsbok: nr 290 291 296 (jämna exempel)
glida 15
Fortsätt frasen: "I dag på lektionen lärde jag mig ..." "I dag på lektionen lärde jag mig ..." "Idag på lektionen träffade jag ..." "Idag på lektionen upprepade jag ..." "Idag på lektionen fixade jag ...” Lektionen är över!
glida 16
Begagnade läroböcker och läromedel: Mordkovich A.G. Algebra och början av analys. Årskurs 11: lärobok på profilnivå / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov och andra - M.: Mnemozina, 2007. Mordkovich A.G. Algebra och början av analys. Årskurs 11: problembok på profilnivån / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov och andra - M.: Mnemozina, 2007. Metodlitteratur som används: Mordkovich A.G. Algebra. 10-11: lärarhandledning. - M.: Mnemosyne, 2000 (Kaliningrad: Amber Tale, GIPP). Matematik. Veckobilaga till tidningen "Den första september".
Metodisk utveckling av en lektion i matematik
"Logaritmer och deras egenskaper"
Syftet med lektionen:
pedagogisk- introducera begreppet logaritm, studera logaritmers grundläggande egenskaper och bidra till bildandet av förmågan att tillämpa logaritmers egenskaper vid uppgiftslösning.
Pedagogisk- utveckla matematiskt tänkande; beräkningsteknik; förmågan att tänka logiskt och arbeta rationellt; att främja utvecklingen av självkontroll hos elever.
Pedagogisk- att främja utbildning av intresse för ämnet, att odla en känsla av självkontroll, ansvar.
Lektionens mål:
Att hos elever utveckla förmågan att jämföra, jämföra, analysera, dra självständiga slutsatser.
Kärnkompetenser: förmågan att självständigt söka, extrahera, systematisera, analysera och välja information som behövs för att lösa utbildningsproblem; förmågan att självständigt bemästra de kunskaper och färdigheter som krävs för att lösa problemet.
Lektionstyp: En lektion i studier och primär konsolidering av ny kunskap.
Utrustning: dator, multimediaprojektor, presentation "Logaritmer och deras egenskaper", utdelat material.
Nyckelord: logaritm; egenskaper hos logaritmen.
programvara: MS power point.
Kommunikation mellan ämne: historia.
Kommunikation inom ämnet: "Roten till n:e graden och deras egenskaper".
Lektionsplanering
Att organisera tid.
Upprepning av det täckta materialet.
Förklaring av nytt material.
Konsolidering.
Självständigt arbete.
Läxa. Sammanfattning av lektionen.
Under lektionerna:
- Organiseringsögonblick: kontrollera elevernas beredskap för lektionen; officersrapport .
God eftermiddag studenter.
Jag vill börja den här lektionen med orden av A.N. Krylova: "Förr eller senare finner varje korrekt matematisk idé tillämpning i den eller den saken."
Upprepning av det täckta materialet.
Eleverna uppmanas att komma ihåg:
Vad är grad, bas och exponent.
n:te roten av ett tal a ett tal kallas vars n:te potens är lika med a. 3 4 = 81.
2) Grundläggande egenskaper hos grader.
3. Lägg upp ett nytt ämne.
Låt oss nu gå vidare till ett nytt ämne. Ämnet för dagens lektion är logaritmen och dess egenskaper (öppna anteckningsböcker och skriv ner datum och ämne).
I den här lektionen kommer vi att bekanta oss med begreppet "logaritm", vi kommer också att överväga egenskaperna hos logaritmer. Detta ämne är relevant, eftersom. logaritmen finns alltid på den slutliga certifieringen i matematik.
Låt oss ställa en fråga:
1) Till vilken makt måste 3 höjas för att få 9? Uppenbarligen den andra. Exponenten som du behöver höja siffran 3 till för att få 9 är 2.
2) Till vilken makt måste 2 höjas för att få 8? Uppenbarligen den andra. Exponenten som du behöver höja siffran 2 till för att få 8 är 3.
I samtliga fall letade vi efter en indikator på i vilken grad något måste höjas för att få något. Exponenten till vilken något måste höjas kallas en logaritm och betecknas med log.
Antalet som vi höjer till en potens, dvs. gradens bas kallas basen för logaritmen och skrivs i en nedsänkt skrift. Sedan skrivs numret som vi får, d.v.s. numret vi letar efter: log 3 9=2
Den här posten lyder: "Logaritm av talet 9 till bas 3." Bas 3-logaritmen av 9 är exponenten till vilken du måste höja 3 för att få 9. Denna exponent är 2.
Likaså det andra exemplet.
Vi ger definitionen av logaritmen.
Definition. Logaritmen för ett tal b>0 av skäl a>0, a ≠ 1 är exponenten till vilken talet måste höjasen, för att få ett nummerb .
Logaritmen för ett tal b av skäl a betecknas log a b.
Historik för logaritmen:
Logaritmer introducerades av den skotske matematikern John Napier (1550-1617) och matematikern Jost Burgi (1552-1632).
Ur beräkningspraktikens synvinkel kan uppfinningen av logaritmer, om möjligt, säkert placeras sida vid sida med andra, äldre, stora uppfinningar av hinduerna - vårt decimala numreringssystem.
Ett dussin år efter uppkomsten av Napiers logaritmer uppfann den engelske vetenskapsmannen Gunter en mycket populär räkneanordning - en skjutregel.
Hon hjälpte astronomer och ingenjörer i deras beräkningar, hon gjorde det möjligt att snabbt få ett svar med tillräcklig noggrannhet av tre signifikanta siffror. Nu har miniräknare ersatt den, men utan skjutregeln hade varken de första datorerna eller mikrokalkylatorerna byggts.
Tänk på exempel:
log 3 27=3; log 5 25=2; log 25 5=1/2; log 5 1/125=-3; log -2 -8- finns inte; log 5 1=0; log 4 4=1
Tänk på dessa exempel:
10 . log a 1=0, a>0, a ≠ 1;
20 . log a a=1, a>0, a ≠ 1.
Dessa två formler är egenskaper hos logaritmen. Skriv ner egenskaperna och de måste komma ihåg.
I matematik accepteras följande förkortning:
logga 10 a=lga är decimallogaritmen för talet a(bokstaven "o" hoppas över och basen 10 sätts inte).
logga e a=lnen naturlig logaritm av a."e" är ett sådant irrationellt tal lika med 2,7 (bokstaven "o" utelämnas, och basen "e" sätts inte).
Tänk på exempel:
log 10=1; log 1=0
log e=1 ; log 1=0.
Hur man går från logaritmisk till exponentiell: logga a b\u003d s, s -är logaritmen, exponenten till vilken du vill höja a, För att uppnå b. Följaktligen, a grader Med lika b: a Med = b.
Betrakta fem logaritmiska likheter. Uppgift: att kontrollera deras korrekthet. Dessa exempel innehåller fel. Låt oss använda det här diagrammet för att testa det.
lg 1 = 2 (10 2 =100)- denna ekvation är inte korrekt.
logga 1/2 4 = 2- denna ekvation är inte korrekt.
logga 3 1=1 - denna ekvation är inte korrekt.
logga 1/3 9 = -2 - denna jämlikhet är korrekt.
logga 4 16 = -2- denna ekvation är inte korrekt.
Vi härleder den huvudsakliga logaritmiska identiteten: a log a b = b
Tänk på ett exempel.
5 logga 5 13 =13
Egenskaper för logaritmer:
3°. log a xy = log a x + log a y.
4°. log a x/y = log a x - log a y.
5°. log a x p = p · log a x, för valfritt reellt p.
Tänk på ett exempel för att kontrollera tre egenskaper:
log 2 8 + log 2 32= log 2 8∙32= log 2 256=8
Tänk på ett exempel för att kontrollera 5 egenskaper:
3∙ logga 2 8= logga 2 8 3 = logga 2 512 =9
3∙3 = 9
Formeln för att gå från en bas av en logaritm till en annan bas är:
Denna formel kommer att krävas när du beräknar logaritmen med hjälp av en miniräknare. Låt oss ta ett exempel: logga 3 7 = lg7 / lg3. Kalkylatorn kan bara beräkna decimal och naturlig logaritm. Ange siffran 7 och tryck på "logg"-knappen, ange även siffran 3 och tryck på "logg"-knappen, dela det övre värdet med det nedre och få svaret.
- Konsolidering.
- logga 6 6
Här är 8 lösta exempel, bland vilka det finns korrekta, resten med ett fel. Bestäm den korrekta likheten (namnge dess nummer), rätta till felen i resten.
- log 2 32+ log 2 2= log 2 64=6
log 5 5 3 = 2;
log 3 45 - log 3 5 = log 3 40
3∙log 2 4 = log 2 (4∙3)
log 3 15 + log 3 3 = log 3 45;
2∙log 5 6 = log 5 12
3∙log 2 3 = log 2 27
log 2 16 2 = 8.
- Kontrollera ZUN - självständigt arbete med kort.
- log 4 16 log 25 125 log 8 2 log 6 6
- log 3 27 log 4 8 log 49 7 log 5 5
Sammanfattande. Läxa. Betygsättning.
