Конспект урока "Распространение колебаний в среде. Характеристики волн". Распространение колебаний в среде. Волны. Продольные и поперечные волны

Повторяющиеся движения или изменения состояния называют колебаниями (переменный электрический ток, движение маятника, работа сердца и т.п.). Всем колебаниям независимо от их природы присущи некоторые общие закономерности. Колебания распространяются в среде в виде волн. В данной главе рассматриваются механические колебания и волны.

7.1. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Среди различных видов колебаний наиболее простой формой является гармоническое колебание, т.е. такое, при котором колеблющаяся величина изменяется в зависимости от времени по закону синуса или косинуса.

Пусть, например, материальная точка массой т подвешена на пружине (рис. 7.1, а). В этом положении упругая сила F 1 уравновешивает силу тяжести mg. Если оттянуть пружину на расстояние х (рис. 7.1, б), то на материальную точку будет действовать большая упругая сила. Изменение упругой силы, согласно закону Гука, пропорционально изменению длины пружины или смещению х точки:

F = -кх, (7.1)

где к - жесткость пружины; знак минус показывает, что сила всегда направлена в сторону положения равновесия: F < 0 при х > 0, F > 0 при х < 0.

Другой пример.

Математический маятник отклонен от положения равновесия на небольшой угол α (рис. 7.2). Тогда траекторию движения маятника можно считать прямой линией, совпадающей с осью ОХ. В этом случае выполняется приближенное равенство

где х - смещение материальной точки относительно положения равновесия; l - длина нити маятника.

На материальную точку (см. рис. 7.2) действуют сила натяжения F H нити и сила тяжести mg. Их равнодействующая равна:

Сравнивая (7.2) и (7.1), видим, что в этом примере равнодействующая сила подобна упругой, так как пропорциональна смещению материальной точки и направлена к положению равновесия. Такие силы, неупругие по природе, но аналогичные по свойствам силам, возникающим при мальж деформациях упругих тел, называют квазиупругими.

Таким образом, материальная точка, подвешенная на пружине (пружинный маятник) или нити (математический маятник), совершает гармонические колебания.

7.2. КИНЕТИЧЕСКАЯ И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИИ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Кинетическую энергию колеблющейся материальной точки можно вычислить по известной формуле, используя выражение (7.10):

7.3. СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

Материальная точка может одновременно участвовать в нескольких колебаниях. В этом случае, чтобы найти уравнение и траекторию результирующего движения, следует сложить колебания. Наиболее просто выполняется сложение гармонических колебаний.

Рассмотрим две такие задачи.

Сложение гармонических колебаний, направленных по одной прямой.

Пусть материальная точка одновременно участвует в двух колебаниях, происходящих вдоль одной линии. Аналитически такие колебания выражаются следующими уравнениями:

т.е. амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд слагаемых колебаний, если разность начальных фаз равна четному числу π (рис. 7.8, а);

т.е. амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд слагаемых колебаний, если разность начальных фаз равна нечетному числу π (рис. 7.8, б). В частности, при А 1 = А 2 имеем А = 0, т.е. колебания нет (рис. 7.8, в).

Это достаточно очевидно: если материальная точка участвует одновременно в двух колебаниях, имеющих одинаковую амплитуду и совершающихся в противофазе, точка неподвижна. Если частоты складываемых колебаний не одинаковы, то сложное колебание уже не будет гармоническим.

Интересен случай, когда частоты слагаемых колебаний мало отличаются друг от друга: ω 01 и ω 02

Результирующее колебание при этом подобно гармоническому, но с медленно изменяющейся амплитудой (амплитудная модуляция). Такие колебания называются биениями (рис. 7.9).

Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний. Пусть материальная точка одновременно участвует в двух колебаниях: одно направлено вдоль оси ОХ, другое - вдоль оси OY. Колебания заданы следующими уравнениями:

Уравнения (7.25) задают траекторию движения материальной точки в параметрической форме. Если в эти уравнения подставлять разные значения t, можно определить координаты х и у, а совокупность координат и есть траектория.

Таким образом, при одновременном участии в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях одинаковой частоты материальная точка движется по эллиптической траектории (рис. 7.10).

Из выражения (7.26) вытекают некоторые частные случаи:

7.4. СЛОЖНОЕ КОЛЕБАНИЕ. ГАРМОНИЧЕСКИЙ СПЕКТР СЛОЖНОГО КОЛЕБАНИЯ

Как видно из 7.3, сложение колебаний приводит к более сложным формам колебаний. Для практических целей бывает необходимой противоположная операция: разложение сложного колебания на простые, обычно гармонические, колебания.

Фурье показал, что периодическая функция любой сложности может быть представлена в виде суммы гармонических функций, частоты которых кратны частоте сложной периодической функции. Такое разложение периодической функции на гармонические и, следовательно, разложение различных периодических процессов (механические, электрические и т.п.) на гармонические колебания называется гармоническим анализом. Существуют математические выражения, которые позволяют найти составляющие гармонические функции. Автоматически гармонический анализ колебаний, в том числе и для целей медицины, осуществляется специальными приборами - анализаторами.

Совокупность гармонических колебаний, на которые разложено сложное колебание, называется гармоническим спектром сложного колебания.

Гармонический спектр удобно представить как набор частот (или круговых частот) отдельных гармоник совместно с соответствующими им амплитудами. Наиболее наглядно такое представление выполняется графически. В качестве примера на рис. 7.14, а изображены графики сложного колебания (кривая 4) и составляющих его гармонических колебаний (кривые 1, 2 и 3); на рис. 7.14, б показан гармонический спектр, соответствующий этому примеру.

Рис. 7.14, б

Гармонический анализ позволяет достаточно детально описать и проанализировать любой сложный колебательный процесс. Он находит применение в акустике, радиотехнике, электронике и других областях науки и техники.

7.5. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ

При изучении гармонических колебаний не учитывались силы трения и сопротивления, которые существуют в реальных системах. Действие этих сил существенно изменяет характер движения, колебание становится затухающим.

Если в системе кроме квазиупругой силы действуют силы сопротивления среды (силы трения), то второй закон Ньютона можно записать так:

Быстрота убывания амплитуды колебаний определяется коэффициентом затухания: чем больше β, тем сильнее тормозящее действие среды и тем быстрее уменьшается амплитуда. На практике, однако, степень затухания часто характеризуют логарифмическим декрементом затухания, понимая под этим величину, равную натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд колебаний, разделенных интервалом времени, равным периоду колебаний:

При сильном затухании (β 2 >>ω 2 0) из формулы (7.36) видно, что период колебания является мнимой величиной. Движение в этом случае уже называется апериодическим 1 . Возможные апериодические движения представлены в виде графиков на рис. 7.16. Этот случай применительно к электрическим явлениям рассматривается более подробно в гл. 18.

Незатухающие (см. 7.1) и затухающие колебания называют соб-ственнъми или свободнъми. Они возникают вследствие начального смещения или начальной скорости и совершаются при отсутствии внешнего воздействия за счет первоначально накопленной энергии.

7.6. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. РЕЗОНАНС

Вынужденными колебаниями называются колебания, возникающие в системе при участии внешней силы, изменяющейся по периодическому закону.

Предположим, что на материальную точку, кроме квазиупругой силы и силы трения, действует внешняя вынуждающая сила:

1 Заметим, что если некоторая физическая величина принимает мнимые значения, то это означает какую-то необычность, экстраординарность соответствующего явления. В рассмотренном примере экстраординарность заключается в том, что процесс перестает быть периодическим.

Из (7.43) видно, что при отсутствии сопротивления (β=0) амплитуда вынужденных колебаний при резонансе бесконечно большая. При этом из (7.42) следует, что ω рез = ω 0 - резонанс в системе без затухания наступает тогда, когда частота вынуждающей силы совпадает с частотой собственных колебаний. Графическая зависимость амплитуды вынужденных колебаний от круговой частоты вынуждающей силы при разных значениях коэффициента затухания показана на рис. 7.18.

Механический резонанс может быть как полезным, так и вредным явлением. Вредное действие резонанса связано главным образом с разрушением, которое он может вызвать. Так, в технике, учитывая разные вибрации, необходимо предусматривать возможное возникновение резонансных условий, в противном случае могут быть разрушения и катастрофы. Тела обычно имеют несколько собственных частот колебаний и, соответственно, несколько резонансных частот.

Если коэффициент затухания внутренних органов человека был бы невелик, то резонансные явления, возникшие в этих органах под воздействием внешних вибраций или звуковых волн, могли бы привести к трагическим последствиям: разрыву органов, повреждению связок и т.п. Однако такие явления при умеренных внешних воздействиях практически не наблюдаются, так как коэффициент затухания биологических систем достаточно велик. Тем не менее резонансные явления при действии внешних механических колебаний происходят во внутренних органах. В этом, видимо, одна из причин отрицательного воздействия инфразвуковых колебаний и вибраций на организм человека (см. 8.7 и 8.8).

7.7. АВТОКОЛЕБАНИЯ

Как было показано в 7.6, колебания могут поддерживаться в системе даже при наличии сил сопротивления, если на систему периодически оказывается внешнее воздействие (вынужденные колебания). Это внешнее воздействие не зависит от самой колеблющейся системы, в то время как амплитуда и частота вынужденных колебаний зависят от этого внешнего воздействия.

Однако существуют и такие колебательные системы, которые сами регулируют периодическое восполнение растраченной энергии и поэтому могут колебаться длительное время.

Незатухающие колебания, существующие в какой-либо системе при отсутствии переменного внешнего воздействия, называются автоколебаниями, а сами системы - автоколебательными.

Амплитуда и частота автоколебаний зависят от свойств самой автоколебательной системы, в отличие от вынужденных колебаний они не определяются внешними воздействиями.

Во многих случаях автоколебательные системы можно представить тремя основными элементами:

1) собственно колебательная система;

2) источник энергии;

3) регулятор поступления энергии в собственно колебательную систему.

Колебательная система каналом обратной связи (рис. 7.19) воздействует на регулятор, информируя регулятор о состоянии этой системы.

Классическим примером механической автоколебательной системы являются часы, в которых маятник или баланс являются колебательной системой, пружина или поднятая гиря - источником энергии, а анкер - регулятором поступления энергии от источника в колебательную систему.

Многие биологические системы (сердце, легкие и др.) являются автоколебательными. Характерный пример электромагнитной автоколебательной системы - генераторы электромагнитных колебаний (см. гл. 23).

7.8. УРАВНЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВОЛН

Механической волной называют механические возмущения, распространяющиеся в пространстве и несущие энергию.

Различают два основных вида механических волн: упругие волны - распространение упругих деформаций - и волны на поверхности жидкости.

Упругие волны возникают благодаря связям, существующим между частицами среды: перемещение одной частицы от положения равновесия приводит к перемещению соседних частиц. Этот процесс распространяется в пространстве с конечной скоростью.

Уравнение волны выражает зависимость смещения s колеблющейся точки, участвующей в волновом процессе, от координаты ее равновесного положения и времени.

Для волны, распространяющейся вдоль некоторого направления ОХ, эта зависимость записывается в общем виде:

Если s и х направлены вдоль одной прямой, то волна продольная, если они взаимно перпендикулярны, то волна поперечная.

Выведем уравнение плоской волны. Пусть волна распространяется вдоль оси Х (рис. 7.20) без затухания так, что амплитуды колебаний всех точек одинаковы и равны А. Зададим колебание точки с координатой х = 0 (источник колебаний) уравнением

Решение уравнений с частными производными выходит за пределы данного курса. Одно из решений (7.45) известно. Однако важно отметить следующее. Если изменение какой-либо физической величины: механической, тепловой, электрической, магнитной и т.д., - отвечает уравнению (7.49), то это означает, что соответствующая физическая величина распространяется в виде волны со скоростью υ.

7.9. ПОТОК ЭНЕРГИИ ВОЛН. ВЕКТОР УМОВА

Волновой процесс связан с переносом энергии. Количественной характеристикой перенесенной энергии является поток энергии.

Поток энергии волн равен отношению энергии, переносимой волнами через некоторую поверхность, к времени, в течение которого эта энергия перенесена:

Единицей потока энергии волн является ватт (Вт). Найдем связь потока энергии волн с энергией колеблющихся точек и скоростью распространения волны.

Выделим объем среды, в которой распространяется волна, в виде прямоугольного параллелепипеда (рис. 7.21), площадь поперечного сечения которого S, а длина ребра численно равна скорости υ и совпадает с направлением распространения волны. В соответствии с этим за 1 с сквозь площадку S пройдет та энергия, которой обладают колеблющиеся частицы в объеме параллелепипеда Sυ. Это и есть поток энергии волн:

7.10. УДАРНЫЕ ВОЛНЫ

Один из распространенных примеров механической волны - звуковая волна (см. гл. 8). В этом случае максимальная скорость колебаний отдельной молекулы воздуха составляет несколько сантиметров в секунду даже для достаточно большой интенсивности, т.е. она значительно меньше скорости волны (скорость звука в воздухе около 300 м/с). Это соответствует, как принято говорить, малым возмущениям среды.

Однако при больших возмущениях (взрыв, сверхзвуковое движение тел, мощный электрический разряд и т.п.) скорость колеблющихся частиц среды может уже стать сравнимой со скоростью звука, возникает ударная волна.

При взрыве высоконагретые продукты, обладающие большой плотностью, расширяются и сжимают слои окружающего воздуха. С течением времени объем сжатого воздуха возрастает. Поверхность, которая отделяет сжатый воздух от невозмущенного, в физике называют ударной волной. Схематично скачок плотности газа при распространении в нем ударной волны показан на рис. 7.22, а. Для сравнения на этом же рисунке показано изменение плотности среды при прохождении звуковой волны (рис. 7.22, б).

Рис. 7.22

Ударная волна может обладать значительной энергией, так при ядерном взрыве на образование ударной волны в окружающей среде затрачивается около 50% энергии взрыва. Поэтому ударная волна, достигая биологических и технических объектов, способна причинить смерть, увечья и разрушения.

7.11. ЭФФЕКТ ДОППЛЕРА

Эффектом Допплера называют изменение частоты волн, воспринимаемых наблюдателем (приемником волн), вследствие относительного движения источника волн и наблюдателя.

Тема: Распространение колебаний в среде. Волны.
Физика. 9 класс.
Цель: Познакомить учащихся с волновым движением, рассмотреть его особенности, механизм
распространения волн.
Задачи:
­
обучающие: углубление знаний о видах колебательного движения, использование связи физики
с литературой, историей, математикой; формирование понятий волновое движение,
механической волны, вида волн, распространение их в упругой среде;
развивающие: развитие умений сравнивать, систематизировать, анализировать, делать выводы;
воспитательные: воспитание коммуникативности.
­
­
Дидактический тип урока: Изучение нового материала.
Оборудование: Ноутбук, мультимедийный проектор, видеоролик – волны на пружине, презентация
PowerPoint

К уроку.
Ход урока:
I. Проверка знаний и умений.
1. Ответить на вопросы.
 Внимательно прочитайте словосочетания. Определите, возможны ли свободные колебания:
поплавка на поверхности воды; тела на канале, прорытом сквозь земной шар; птицы на ветке;
шарика на плоской поверхности; шарика в сферической ямке; рук и ног человека; спортсмена на
батуте; иглы в швейной машинке.
 Какой автомобиль, нагруженный или без груза, будет совершать на рессорах более частые
колебания?
 Существует два типа часов. В основе одних – колебания груза на стержне, других – груза на
пружине. Каким образом можно регулировать частоту хода каждых часов?
 При периодических порывах ветра раскачался и рухнул мост Tacoma Narrous в Америке.
Объясните почему?
2. Решение задач.
Учитель предлагает выполнить компетентностно ­ ориентированное задание, структура и содержание
которого представлена ниже.
Стимул: Оценить имеющиеся знания по теме «Механические колебания».
Задачная формулировка: В течение 5 минут, используя приведенный текст, определите частоту и
период сокращения сердца человека. Запишите данные, которые вы не сможете использовать при решении
задач.
Общая длина кровеносных капилляров в организме человека примерно 100 тыс. км, что в 2,5 раза
превышает длину экватора, а общая внутренняя площадь – 2400 м2. Кровеносные капилляры имеют
толщину в 10 раз меньшую, чем волос. В течение минуты сердце выбрасывает в аорту около 4 л
крови, которая затем перемещается во все точки организма. Сердце в среднем сокращается 100 тыс.
раз в сутки. За 70 лет жизни человека сердце сокращается 2 миллиарда 600 миллионов раз и
перекачивает 250 миллионов раз.
Бланк для выполнения задания:
1. Данные необходимые для определения периода и частоты сокращения сердца:
а) ___________; б) _________
Формула для вычисления: ______________
Вычисления _______________
=________; Т=_____________
ν
2. Излишние данные
а) ___________
б) ___________

в) ___________
г) ___________
Модельный ответ:
Данные необходимые для определения периода и частоты сокращения сердца:
а) Число сокращений N=100000; б) Время сокращений t=1 сут.
ν
c­1; T=1/1,16=0,864 c
Формула для вычисления: =ν N/t; T=1/ν
Вычисления =100000/(24*3600)=1,16
=1,16
c­1; Т=0,864 c.
ν
Или а) Число сокращений N=2600000000; б) Время сокращений t=70 лет. – Но эти данные
приводят к более сложным вычислениям, поэтому нерациональны.
Излишние данные
а) Общая длина кровеносных сосудов – 100 тыс. км
б) общая внутренняя площадь – 2400 м2
в) В течение минуты сердце выбрасывает в кровь около 4 л крови.
г) Толщина кровеносных сосудов в 10 раз меньше толщины волоса.
Поле модельных ответов
Выделены данные для определения частоты и периода сокращения сердца.
Приведены формулы для вычисления.
Выполнены вычисления, приведен правильный ответ.
Выделены из текста излишние данные.
Инструмент
оценки
ответа
1
1
1
1
II.
Объяснение нового материала.
Все частицы среды связаны между собой силами взаимного притяжения и отталкивания, т.е.
взаимодействуют друг с другом. Поэтому если хотя бы одну частицу вывести из положения равновесия
(заставить совершать колебания), то она потянет за собой рядом находящуюся частицу(благодаря
взаимодействию между частицами это движение начинает распространяться во все стороны). Таким
образом, колебания будут передаваться от одной частицы к другой. Такое движение называется волновым.
Механической волной (волновым движением) называется распространение колебаний в упругой
среде.
Колебания, распространяющиеся в пространстве со временем, называются волной.
или
В данном определении речь идет о так называемых бегущих волнах.
Основное общее свойство бегущих волн любой природы заключается в том, распространяясь в
пространстве, переносят энергию, но без переноса вещества.
В бегущей волне происходит перенос энергии без переноса вещества.
В данной теме мы будем рассматривать только упругие бегущие волны, частным случаем которых
является звук.
Упругие волны – это механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде.
Иначе говоря, образование упругих волн в среде обусловлено возникновением в ней упругих сил,
вызванных деформацией.

Кроме упругих волн существуют и другие виды волн, например волны на поверхности жидкости,
электромагнитные волны.
Волновые процессы встречаются почти во всех областях физических явлений, поэтому их изучение
имеет большое значение.
Волновое движение бывает двух видов: поперечное и продольное.
Поперечная волна – частицы колеблются (движутся) перпендикулярно (поперек) скорости
распространения волны.
Примеры: волна от брошенного камня…
Продольная волна – частицы колеблются (движутся) параллельно скорости распространения
волны.
Примеры: звуковые волны, цунами…
Механические волны
Шнур Пружина
поперечные
продольные
Поперечные волны.
Продольные волны.
Возникает упругая деформация сдвига.
Объем тела
не меняется.
Силы упругости стремятся вернуть тело в
исходное положение. Эти силы и вызывают
колебания среды.
Сдвиг слоев друг относительно друга в
жидкости и газе не приводит к появлению
сил упругости, следовательно возникают
только в твердых телах.
Возникают при деформации сжатия.
Силы упругости возникают в твердых
телах, жидкостях и газах. Эти силы
вызывают колебания отдельных участков
среды, поэтому распространяются во всех
средах.
В твердых телах скорость распространения
больше.
III.
Закрепление:
1. Интересные задачи.
а) В 1883г. При печально известном извержении индонезийского вулкана Кракатау воздушные ударные
волны, рожденные подземными взрывами, трижды обошли земной шар.
К какому виду волн можно отнести ударную волну? (К продольным волнам).
б) Цунами – грозный попутчик землетрясений. Родилось такое название в Японии и означает
гигантскую волну. Когда она накатывает на берег, создается впечатление, что это не волна вовсе, а
море, разъяренное, неукротимое, кидается на берег. Ничего нет удивительного в том, что цунами
производят на нем опустошения. Во время землетрясения 1960 г. На побережье Чили бросались

волны высотой до шести метров. Море отступало и наступало несколько раз в течение второй
половины дня.
К какому виду волн относятся цунами? Чему равна амплитуда цунами 1960 года, обрушившаяся на
Чили?(Цунами относятся к
волны равна 3 м).
(иллюстрация цунами:
продольным волнам. Амплитуда
http://ru.wikipedia.org/wiki/Изображение:2004_Indian_Ocean_earthquake_Maldives_tsunami_wave.jpg
в) Рифели – это знаки мелкой волновой ряби. Они существуют на земле со времен появления сыпучих
сред – снега и песка. Их отпечатки встречаются в древних геологических пластах (иногда вместе со
следами динозавров). Первые научные наблюдения над рифелями были сделаны Леонардо да Винчи. В
пустынях расстояние между соседними гребнями волновой ряби измеряется от 1­12 см (чаще 3­8см)
при глубине впадин между гребнями в среднем 0,3­1 см.
Предположив, что рифели – это волна, определите амплитуду волны (0,15­0,5 см).
Иллюстрация рифели:
http://rusnauka.narod.ru/lib/phisic/destroy/gl7/image246.gif
2. Физический опыт. Индивидуальная работа.
Учитель предлагает учащимся выполнить компетентностно – ориентированное задание, структура и
содержание которого представлена ниже
Стимул: оценить приобретенные знания по теме «Волновое движение».
Задачная формулировка: используя выданные приборы и знания, полученные на уроке,
определить:
­ какие волны образуются на поверхности волны;
­ какую форму имеет фронт волны от точечного источника;
­ перемещаются ли частицы волны в направлении распространения волны?
­ сделайте вывод об особенности волнового движения.

Оборудование: стакан от калориметра, пипетка или бюретка, стеклянная трубка, спичка.
Волны, образующиеся на поверхности воды, являются __________
Волны на поверхности воды имеют форму _________
Спичка, помещенная на поверхность воды при распространении волны, ___________
Бланк для выполнения задания
Особенность волнового движения _________________
Поле модельных ответов
Инструмент оценки
ответа
Волны, образующиеся на поверхности воды, являются поперечными.
Волны на поверхности воды имеют форму окружности.
Спичка, помещенная на поверхность воды при распространении волны, не
перемещается.
Особенность волнового движения – при волновом движении не происходит
смещения вещества вдоль направления распространения волны.
Всего
III.
Домашнее задание: §31, 32
1
1
1
2
5
http://school­collection.edu.ru/catalog/rubr/8f5d7210­86a6­11da­a72b­0800200c9a66/21674/

Начнем с определения упругой среды. Как можно заключить из названия упругая среда это такая среда в которой действуют силы упругости. Применительно к нашим целям, добавим, что при любом возмущении этой среды (не эмоциональной бурной реакции, а отклонении параметров среды в каком то месте от равновесных) в ней возникают силы, стремящиеся вернуть нашу среду в первоначальное равновесное состояние. При этом мы будем рассматривать протяженные среды. Насколько протяженные это мы уточним в дальнейшем, а пока будем считать, что этого достаточно. Например представим себе длинную пружину, закрепленную с обоих концов. Если в некотором месте пружины сжать несколько витков, то сжатые витки будут стремиться расжаться, а соседние витки, которые оказались растянутыми, будут стремиться сжаться. Таким образом наша упругая среда – пружина будет стараться придти в первоначальное спокойное (невозмущенное) состояние.

Газы, жидкости, твердые тела представляют собой упругие среды. Важным в предыдущем примере является то обстоятельство, что сжатый участок пружины действует на соседние участки, или по ученому говоря, передает возмущение. Похожим образом и в газе, создавая в каком то месте например область пониженного давления, соседние области, стремясь выровнять давление, будут передавать возмущение уже своим соседям, те в свою очередь своим и так далее.

Пара слов о физических величинах. В термодинамике как правило состояние тела определяется общими для всего тела параметрами, давлением газа, его температурой и плотностью. Теперь же нас будет интересовать локальное распределение этих величин.

Если колеблющееся тело (струна, мембрана и т. д.) находится в упругой среде (газ как мы уже знаем это упругая среда), то оно приводит в колебательное движение соприкасающиеся с ним частицы среды. Вследствие этого в прилегающих к телу элементах среды возникают периодические деформации (например, сжатия и разряжения). При этих деформациях в среде появляются упругие силы, стремящиеся вернуть элементы среды к первоначальным состояниям равновесия; благодаря взаимодействию соседних элементов среды упругие деформации будут передаваться от одних участков среды к другим, более удаленным от колеблющегося тела.

Таким образом, периодические деформации, вызванные в каком-нибудь месте упругой среды, будут распространяться в среде с некоторой скоростью, зависящей от ее физических свойств. При этом частицы среды совершают колебательные движения около положений равновесия; от одних участков среды к другим передается только состояние деформации.

Когда рыба «клюет» (дергает за крючок), то от поплавка по поверхности воды разбегаются круги. Вместе с поплавком смещаются соприкасающиеся с ним частицы воды, которые вовлекают в движение ближайшие к ним другие частицы и так далее.

Такое же явление происходит с частицами натянутого резинового шнура, если один его конец привести в колебание (рис. 1.1).

Распространение колебаний в среде называют волновым движением Рассмотрим подробнее, как возникает волна на шнуре. Если зафиксировать положения шнура через каждые 1/4 Т (Т - это период, с которым на рис.1.1 колеблется рука) после начала колебаний его первой точки, то получится картина, показанная на рис. 1.2, б-д. Положение а соответствует началу колебаний первой точки шнура. Десять его точек помечены цифрами, а пунктирные прямые показывают, где находятся одни и те же точки шнура в разные моменты времени.

Через 1/4 Т после начала колебания точка 1 занимает крайнее верхнее положение, а точка 2 только начинает свое движение. Поскольку каждая последующая точка шнура начинает свое движение позже предыдущей, то в промежутке 1-2 точки располагаются, как показано на рис. 1.2, б. Еще через 1/4 Т точка 1 займет положение равновесия и будет двигаться вниз, а верхнее положение займет точка 2 (положение в). Точка 3 в этот момент только начинает свое движение.

За целый период колебания распространяются до точки 5 шнура (положение д). По окончании периода Т точка 1, двигаясь вверх, начнет свое второе колебание. Одновременно с ней начнет двигаться вверх и точка 5, совершая свое первое колебание. В дальнейшем эти точки будут иметь одинаковые фазы колебаний. Совокупность точек шнура в интервале 1-5 образует волну. Когда точка 1 закончит второе колебание, на шнуре вовлекутся в движение еще точки 5-10, т. е. образуется вторая волна.

Если проследить за положением точек, имеющих одинаковую фазу, то будет видно, что фаза как бы переходит от точки к точке и движется вправо. Действительно, если в положении б фазу 1/4 имеет точка 1, то в положении в эту же фазу имеет точка 2 и т. д.

Волны, в которых происходит перемещение фазы с определенной скоростью, называют бегущими. При наблюдении за волнами видно именно распространение фазы, например движение гребня волны. Отметим, что все точки среды в волне колеблются около своего положения равновесия и вместе с фазой не перемещаются.

Процесс распространения колебательного движения в среде называется волновым процессом или просто волной .

В зависимости от характера возникающих при этом упругих деформаций различают волны продольные и поперечные . В продольных волнах частицы среды колеблются вдоль линии, совпадающей с направлением распространения колебаний. В поперечных волнах частицы среды колеблются перпендикулярно к направлению распространения волны. На рис. 1.3 показано расположение частиц среды (условно изображенных в виде черточек) в продольных (а) и поперечных (б) волнах.

Жидкие и газообразные среды не имеют упругости сдвига и поэтому в них возбуждаются только продольные волны, распространяющиеся в виде чередующихся сжатий и разрежений среды. Волны, возбуждаемые на поверхности поды, являются поперечными: они обязаны своим существованием земному тяготению. В твердых телах могут быть вызваны и продольные и поперечные волны; частным видом поперечных воли являются крутильные, возбуждаемые в упругих стержнях, к которым приложены крутильные колебания.

Предположим, что точечный источник волны начал возбуждать в среде колебания в момент времени t = 0; по истечении времени t это колебание распространится по различным направлениям на расстоянии r i =c i t , где с i - скорость волны в данном направлении.

Поверхность, до которой доходит колебание в некоторый момент времени, называется фронтом волны.

Понятно, что фронт волны (волновой фронт) перемещается со временем в пространстве.

Форма фронта волны определяется конфигурацией источника колебаний и свойствами среды. В однородных средах скорость распространения волны везде одинакова. Среда называется изотропной , если эта скорость одинакова по всем направлениям. Фронт волны от точечного источника колебаний в однородном и изотропной среде имеет вид сферы; такие волны называются сферическими .

В неоднородной и не изотропной (анизотропной ) среде, а также от неточечных источников колебаний фронт волны имеет сложную форму. Если фронт волны представляет собой плоскость и эта форма сохраняется по мере распространения колебаний в среде, то волну называют плоской . Малые участки фронта волны сложной формы можно считать плоской волной (если только рассматривать небольшие расстояния, проходимые этой волной).

При описании волновых процессов выделяют поверхности, в которых все частицы колеблются в одинаковой фазе; эти «поверхности одинаковой фазы» называются волновыми, или фазовыми.

Ясно, что фронт волны представляет собой переднюю волновую поверхность, т.е. наиболее удаленную от источника, создающего волны, и волновые поверхности также могут быть сферическими, плоскими или иметь сложную форму в зависимости от конфигурации источника колебаний и свойств среды. На рис. 1.4 условно показаны: I - сферическая волна от точечного источника, II – волна от колеблющейся пластинки, III - эллиптическая волна от точечного источника в анизотропной среде, в которой скорость распространения волны с плавно изменяется по мере возрастания угла α, достигая максимума вдоль направления АА и минимума вдоль ВВ.

Механические колебания, распространяющиеся в упругой среде (твердой, жидкой или газообразной), называются механическими или упругими волнами .

Процесс распространения колебаний в сплошной среде называется волновым процессом или волной. Частицы среды, в которой распро-страняется волна, не вовлекаются волной в поступательное движение. Они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице среды передаются лишь со-стояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества .

В зависимости от направления колебаний частиц по отношению

к направлению, в котором распространяется волна, различают про-

дольные и поперечные волны.

Упругая волна называется продольной , если колебания частиц среды происходят в направлении распространения волны. Продоль-ные волны связаны с объемной деформацией растяжения − сжатия среды, поэтому они могут распространяться как в твердых телах, так и

в жидкостях и газообразных средах.

x ляться деформации сдвига. Этим свойст-вом обладают только твердые тела.

λ На рис. 6.1.1 представлена гармони-

висимость смещения всех частиц среды от расстояния до источника колебаний в данный момент времени. Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны. Длина волны также равна тому расстоянию,на которое рас-пространяется определенная фаза колебания за период колебаний

Колеблются не только частицы, расположенные вдоль оси 0х , а совокупность частиц, заключенных в некотором объеме. Геометриче-ское место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t , называется фронтом волны . Фронт волны представляет собой ту по-верхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, назы-вается волновой поверхностью . Волновую поверхность можно провес-ти через любую точку пространства, охваченного волновым процес-сом. Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно вол-на в этих случаях называется плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют собой множество парал-лельных друг другу плоскостей, а в сферической − множество концен-трических сфер.

Уравнение плоской волны

Уравнением плоской волны называется выражение, которое да-ет смещение колеблющейся частицы как функцию ее координат x , y , z и времени t

S = S (x , y , z ,t ).

(6.2.1)

Эта функция должна быть периодической как относительно времени t , так и относительно координат x , y , z . Периодичность по времени вытекает из того, что смещение S описывает колебания час-тицы с координатами x , y , z , а периодичность по координатам следует из того, что точки, отстоящие друг от друга на расстоянии, равном длине волны, колеблются одинаковым образом.

Предположим, что колебания носят гармонический характер, а ось 0х совпадает с направлением распространения волны. Тогда вол-новые поверхности будут перпендикулярны оси 0х и, поскольку все

точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение S бу-дет зависеть только от координаты х и времени t

Найдем вид колебания точек в плоскости, соответствующей произвольному значению х . Для того, чтобы пройти путь от плоско-сти х = 0 до плоскости х , волне требуется время τ = x /υ. Следователь-но, колебания частиц, лежащих в плоскости х , будут отставать по времени на τ от колебаний частиц в плоскости х = 0 и описываться уравнением

S ( x ; t )= A cosω( t − τ)+ϕ		= A cos	ω t −	x		+ϕ		. (6.2.4)
						υ

где А − амплитуда волны; ϕ 0 − начальная фаза волны (определяется выбором начал отсчета х и t ).

Зафиксируем какое-либо значение фазы ω(t − x υ) +ϕ 0 = const .

Это выражение определяет связь между временем t и тем местом х , в котором фаза имеет фиксированное значение. Продифференцировав данное выражение, получим

Придадим уравнению плоской волны симметричный относи-

тельно х и t вид. Для этого введем величину k = 2 λ π , которая называ-

ется волновым числом , которое можно представить в виде

Мы предполагали, что амплитуда колебаний не зависит от х . Для плоской волны это наблюдается в том случае, когда энергия вол-ны не поглощается средой. При распространении в поглощающей энергию среде интенсивность волны с удалением от источника коле-баний постепенно уменьшается, т. е. наблюдается затухание волны. В однородной среде такое затухание происходит по экспоненциальному

закону A = A 0 e −β x . Тогда уравнение плоской волны для поглощающей среды имеет вид

где r r − радиус-вектор, точки волны; k = k ⋅n r − волновой вектор ; n r − единичный вектор нормали к волновой поверхности.

Волновой вектор −это вектор,равный по модулю волновомучислу k и имеющий направление нормали к волновой поверхности на-

зывается.
Перейдем от радиус-вектора точки к ее координатам x , y , z
r	r	(6.3.2)
k	⋅ r = k x x + k y y + k z z .
Тогда уравнение (6.3.1) примет вид
S (x , y , z ; t )= A cos(ω t − k x x − k y y − k z z +ϕ 0).	(6.3.3)

Установим вид волнового уравнения. Для этого найдем вторые частные производные по координатам и времени выражение (6.3.3)

∂ 2 S

r

r

∂t

= −ω A cos

(ωt − k ⋅ r

+ϕ 0) = −ω S ;

∂ 2 S

r

r

∂x

= − k x A cos(ω t − k

⋅ r

+ϕ 0) = −k x S

.

(6.3.4)

∂ 2 S

r

r

∂y

= − k y A cos

(ωt − k ⋅ r

+ϕ 0) = −k y S ;

∂ 2 S

r

r

∂z

= − k z A cos(ω t − k

⋅ r

+ϕ 0) = −k z S

Сложив производные по координатам, и с учетом производной

по времени, получим

∂

2

2

∂

2

∂

2

S 2

+ ∂

S 2

+

S 2

= − (k x 2 + k y 2 + k z 2)S

= − k 2 S =

k

S 2 .

(6.3.5)

∂t

∂x

∂y

∂z

ω

2

Произведем замену

k

=

ω 2

=

и получим волновое уравнение

ω

υ

ω

υ

∂ 2 S

+

∂ 2 S

+

∂ 2 S

=

1 ∂ 2 S

или

S =

1 ∂ 2 S

,

(6.3.6)

∂x 2

∂y 2

∂z 2

υ 2 ∂t 2

υ 2 ∂t 2

где =

∂ 2

+

∂ 2

+

∂ 2

− оператор Лапласа.

∂x 2

∂y 2

∂z 2