Развитите математически способности са свързани с психологията. Математически способности на детето. Използвайте степенуване

"Не нито едното един дете не способен, посредствен. важно, да се това ум, това талант да стане основа успех v преподаване, да се нито едното един студент не изучава По-долу техен възможности" (Сухомлински V.A.)

Какво е математически способности? Или те не са нищо друго освен качествена специализация на общи психични процеси и личностни черти, тоест общи интелектуални способности, развити във връзка с математическата дейност? Дали математическата способност е единно или интегрално свойство? В последния случай можем да говорим за структурата на математическите способности, за компонентите на това сложно образование. Психолозите и педагозите търсят отговори на тези въпроси от началото на века, но все още няма единен поглед върху проблема с математическите способности. Нека се опитаме да разберем тези въпроси, като анализираме работата на някои от водещите експерти, работили по този проблем.

Голямо значение в психологията се придава на проблема за способностите като цяло и на проблема за способностите на учениците в частност. Редица изследвания на психолози са насочени към разкриване на структурата на способностите на учениците за различни видове дейности.

В науката, по-специално в психологията, продължава дискусията за самата същност на способностите, тяхната структура, произход и развитие. Без да навлизаме в детайли на традиционните и новите подходи към проблема за способностите, ще посочим някои от основните противоречиви точки от различните гледни точки на психолозите за способностите. Сред тях обаче няма единен подход към този проблем.

Разликата в разбирането на същността на способностите се открива преди всичко в това дали те се разглеждат като социално придобити свойства или се признават за естествени. Някои автори разбират способностите като комплекс от индивидуални психологически характеристики на личността, които отговарят на изискванията на тази дейност и са условие за успешното й осъществяване, които не се свеждат до подготвеност, до съществуващи знания, умения и способности. Тук трябва да обърнете внимание на няколко факта. Първо, способностите са индивидуални характеристики, тоест това, което отличава един човек от друг. Второ, това не са просто характеристики, а психологически особености. И накрая, способностите не са всички индивидуални психологически характеристики, а само тези, които отговарят на изискванията на определена дейност.

С различен подход, най-силно изразен при К.К. Платонов, всяко качество на "динамичната функционална структура на личността" се счита за способност, ако осигурява успешното развитие и извършване на дейностите. Въпреки това, както отбелязва V.D. Шадриков, „с този подход към способностите се пренася онтологичният аспект на проблема заложби, които се разбират като анатомични и физиологични характеристики на човек, които формират основата за развитие на способностите. Решението на психофизиологичния проблем доведе до задънена улица в контекста на способностите като такива, тъй като способностите като психологическа категория не се разглеждаха като свойство на мозъка. Знакът за успех не е по-продуктивен, тъй като успехът на дадена дейност се определя от целта, мотивацията и много други фактори. „Според неговата теория за способностите е възможно продуктивно да се определят способностите като характеристики само във връзка с техните индивидуални и универсални.

Универсален (общ) за всяка способност на V.D. Шадриков назовава свойството, въз основа на което се реализира конкретна психична функция. Всяко свойство е съществена характеристика на една функционална система. Именно за да се реализира това свойство, в процеса на еволюционното развитие на човека се формира специфична функционална система, например свойството да отразява адекватно обективния свят (възприятие) или свойството да улавя външни влияния (памет) и т.н. . Свойството се проявява в процеса на дейност. Така вече е възможно да се дефинират способностите от гледна точка на универсалното като свойство на функционална система, която реализира индивидуални психични функции.

Има два вида свойства: тези, които нямат интензитет и следователно не могат да го променят, и тези, които имат интензитет, тоест могат да бъдат повече или по-малко. Хуманитарните науки се занимават основно със свойствата на първия вид, природните науки със свойствата на втория вид. Психичните функции се характеризират със свойства, които имат интензивност, мярка за тежест. Това ви позволява да определите способността от гледна точка на единичен (отделен, индивидуален). Единичен ще бъде представен от мярка за тежестта на имуществото;

По този начин, според представената по-горе теория, способностите могат да бъдат определени като свойства на функционални системи, които реализират отделни психични функции, които имат индивидуална мярка за тежест, проявяваща се в успеха и качествената оригиналност на развитието и изпълнението на дейностите. При оценка на индивидуална мярка за тежестта на способностите е препоръчително да се използват същите параметри, както при характеризиране на всяка дейност: производителност, качество и надеждност (по отношение на разглежданата умствена функция).

Един от инициаторите за изучаване на математическите способности на учениците е изключителният френски математик А. Поанкаре. Той посочи спецификата на творческите математически способности и открои най-важния им компонент - математическата интуиция. Оттогава започва изучаването на този проблем. Впоследствие психолозите идентифицират три вида математически способности – аритметични, алгебрични и геометрични. В същото време въпросът за наличието на математически способности остава неразрешим.

На свой ред изследователите У. Хекер и Т. Зиген идентифицираха четири основни сложни компонента: пространствен, логически, числов, символичен, които са „ядрото“ на математическите способности. В тези компоненти те правят разлика между разбиране, запаметяване и действие.

Наред с основния компонент на математическото мислене – способността за избирателно мислене, за дедуктивно разсъждение в числовата и символната сфера, способността за абстрактно мислене, А. Блекуел изтъква и способността за манипулиране на пространствени обекти. Той също така отбелязва вербалната способност и способността да се съхраняват данни в техния точен и строг ред и значение в паметта.

Значителна част от тях представляват интерес днес. В книгата, която първоначално се наричаше "Психологията на алгебрата", Е. Торндайк за първи път формулира са често срещани математически възможности: способността да се борави със символи, да избира и установява връзки, да обобщава и систематизира, да избира съществени елементи и данни по определен начин, да въвежда идеи и умения в система. Той също така подчертава специален алгебрични възможности: способност за разбиране и съставяне на формули, изразяване на количествени отношения като формула, преобразуване на формули, писане на уравнения, изразяващи дадени количествени отношения, решаване на уравнения, извършване на идентични алгебрични трансформации, графично изразяване на функционалната зависимост на две величини и др.

Едно от най-значимите изследвания на математическите способности след публикуването на трудовете на Е. Торндайк принадлежи на шведския психолог И. Верделин. Той дава много широка дефиниция на математическата способност, която отразява репродуктивните и продуктивните аспекти, разбирането и приложението, но се фокусира върху най-важния от тези аспекти – продуктивния, който изследва в процеса на решаване на задачи. Ученият смята, че методът на преподаване може да повлияе на природата на математическите способности.

Водещият швейцарски психолог Ж. Пиаже отдава голямо значение на умствените операции, като разграничава в онтогенетичното развитие на интелекта етапа на слабо формализираните специфични операции, свързани с конкретни данни, и етапа на обобщените формализирани операции, когато се организират операторни структури. Той съпоставя последното с трите основни математически структури, идентифицирани от Н. Бурбаки: алгебрични, порядкови структури и топологични. Ж. Пиаже открива всички видове тези структури в развитието на аритметичните и геометричните операции в съзнанието на детето и в особеностите на логическите операции. Оттук се прави изводът за необходимостта от синтез на математически структури и операторни структури на мисленето в процеса на обучение по математика.

В психологията V.A. Крутецки. В книгата си "Психология на математическите способности на учениците" той дава следната обща схема на структурата на математическите способности на учениците. Първо, получаването на математическа информация е способността да се формализира възприятието на математическия материал, като се схване структурата на проблема. Второ, обработката на математическа информация е способността за логическо мислене в областта на количествените и пространствените отношения, числовата и символната символика, способността да се мисли в математически символи, способността за бързо и широко обобщаване на математически обекти, взаимоотношения и действия, способност за ограничаване на процеса на математически разсъждения и системата на подходящи действия, способност за мислене в сгънати структури. Освен това изисква гъвкавост на мисловните процеси в математическата дейност, желание за яснота, простота, икономичност и рационалност на решенията. Съществена роля тук играе способността бързо и свободно да се преструктурира посоката на мисловния процес, да се превключва от директния към обратния ход на мисълта (обратимостта на мисловния процес в математическите разсъждения). На трето място, съхранението на математическа информация е математическата памет (обобщена памет за математически отношения, типични характеристики, разсъждения и доказателствени схеми, методи за решаване на проблеми и принципи за подход към тях). И накрая, общият синтетичен компонент е математическата ориентация на ума. Всички цитирани по-горе изследвания ни позволяват да заявим, че факторът на общите математически разсъждения е в основата на общите умствени способности, а математическите способности имат обща интелектуална основа.

От различно разбиране за същността на способностите следва различен подход към разкриването на тяхната структура, която за различните автори се явява като съвкупност от различни качества, класифицирани по различни признаци и в различни пропорции.

Няма еднозначен отговор на въпроса за произхода и развитието на способностите, връзката им с дейността. Наред с твърдението, че способностите в тяхната родова форма съществуват у човека преди дейността като предпоставка за нейното осъществяване. Беше изразена и друга, противоречива гледна точка: способностите не съществуват преди дейността на Б.М. Термичен. Последната разпоредба води до задънена улица, тъй като не е ясно как дейността започва да се извършва без възможността за това. Реално способностите на определено ниво на тяхното развитие съществуват преди дейността и с нейното начало се проявяват и след това се развиват в дейност, ако тя предявява все по-високи изисквания към човека.

Това обаче не разкрива съотношението на уменията и способностите. Решението на този проблем е предложено от V.D. Шадриков. Той смята, че същността на онтологичните различия между способности и умения е следната: една способност се описва от функционална система, един от нейните съществени елементи е естествен компонент, който представлява функционалните механизми на способностите, а уменията се описват от изоморфна система, един от основните й компоненти са способности, изпълняващи в тази система онези функции, които в системата от способности реализират функционални механизми. Така функционалната система от умения като че ли израства от системата от способности. Това е система от вторично ниво на интеграция (ако приемем системата от способности като първична).

Говорейки за способностите като цяло, трябва да се отбележи, че способностите са на различни нива, образователни и творчески. Способностите за учене са свързани с усвояването на вече познати начини за извършване на дейности, усвояването на знания, умения и способности. Креативността се свързва със създаването на нов, оригинален продукт, с намирането на нови начини за извършване на дейности. От тази гледна точка има например способността за усвояване, изучаване на математика и творчески математически способности. Но, както пише Дж. Адамар, „между работата на ученик, решаващ проблем... и творческата работа, разликата е само в нивото, тъй като и двете произведения са от сходно естество“ .

Естествените предпоставки обаче са от значение, те всъщност не са способности, а наклонности. Самите наклонности не означават, че човек ще развие съответните способности. Развитието на способностите зависи от много социални условия (възпитание, потребност от общуване, образователна система).

Видове способности:

1. Естествени (естествени) способности.

Общи са за хората и животните: възприятие, памет, способност за елементарна комуникация. Тези способности са пряко свързани с вродените наклонности. Въз основа на тези наклонности човек, при наличието на елементарен житейски опит, чрез механизмите на учене, развива специфични способности.

2. Специфични способности.

Общо: определяне на успеха на човек в различни дейности (мислещи способности, реч, точност на ръчните движения).

Специални: определят успеха на човек в конкретни дейности, чието изпълнение изисква заложби от специален вид и тяхното развитие (музикални, математически, езикови, технически, художествени способности).

Освен това способностите са разделени на теоретични и практически. Теоретичните предопределят склонността на човека към абстрактно-теоретични разсъждения, а практическите - към конкретни практически действия. Най-често теоретичните и практическите способности не се комбинират помежду си. Повечето хора имат или единия, или другия тип способности. Заедно те са изключително редки.

Има и разделение на образователни и творчески способности. Първите определят успеха на обучението, усвояването на знания, умения, а вторите определят възможността за открития и изобретения, създаване на нови предмети на материалната и духовна култура.

3. Творчески способности.

Това е на първо място способността на човек да намира специален поглед към познати и ежедневни неща или задачи. Това умение е пряко зависимо от хоризонтите на човек. Колкото повече знае, толкова по-лесно му е да погледне на изследваната тема от различни ъгли. Творческият човек непрекъснато се стреми да научи повече за света около себе си, не само в областта на основната си дейност, но и в свързани индустрии. В повечето случаи креативната личност е преди всичко оригинално мислеща личност, способна на нестандартни решения.

Нива на развитие на способностите:

• 1) Наклонности - естествени предпоставки за способности;
• 2) Способности - сложно, интегрално, умствено образувание, вид синтез на свойства и компоненти;
• 3) Надареност – вид комбинация от способности, която предоставя на човек възможността да извършва успешно всяка дейност;
• 4) Майсторство - отлични постижения в определен вид дейност;
• 5) Талант - високо ниво на развитие на специални способности (това е определена комбинация от високо развити способности, тъй като изолирана способност, дори много високо развита, не може да се нарече талант);
• 6) Гений - най-високото ниво на развитие на способностите (в цялата история на цивилизацията е имало не повече от 400 гении).

Чести са психически възможности- това са способностите, които са необходими за извършване на не една, а много видове дейности. Общите умствени способности включват например такива качества на ума като умствена активност, критичност, систематично, съсредоточено внимание. Човекът е естествено надарен с общи способности. Всяка дейност се овладява въз основа на общите способности, които се развиват в тази дейност.

Както В.Д. Шадриков", специален способности"има общи способности, които са придобили чертите на ефективност под влияние на изискванията на дейността. „Специалните способности са способностите, които са необходими за успешното овладяване на всяка една конкретна дейност. Тези способности представляват и единството на индивидуалните частни способности. Например, в състава математически способностиматематическата памет играе важна роля; способност за логическо мислене в областта на количествените и пространствените отношения; бързо и широко обобщаване на математическия материал; лесно и свободно превключване от една умствена операция към друга; стремеж към яснота, икономичност, рационалност на разсъжденията и т.н. Всички специфични способности са обединени от основната способност на математическата ориентация на ума (която се разбира като тенденция към изолиране на пространствени и количествени отношения, функционални зависимости по време на възприятието), свързана с необходимостта от математическа дейност.

А. Поанкаре стига до извода, че най-важното място в математическите способности заема умението да се изгради логически верига от операции, които да доведат до решаването на даден проблем. Освен това не е достатъчно математикът да има добра памет и внимание. Според Поанкаре хората, способни на математика, се отличават със способността да схващат реда, в който трябва да бъдат разположени елементите, необходими за математическото доказателство. Наличието на този вид интуиция е основният елемент на математическото творчество.

Ел Ей Венгер отнася към математическите способности такива характеристики на умствената дейност като обобщаване на математически обекти, отношения и действия, тоест способността да се вижда общото в различни специфични изрази и задачи; способността да се мисли в "сключени", големи единици и "икономично", без твърде много детайли; способност за превключване от директна към обратна мисъл.

За да разберат какви други качества са необходими за постигане на успех в математиката, изследователите анализираха математическата дейност: процеса на решаване на задачи, методи на доказване, логическо разсъждение, характеристики на математическата памет. Този анализ доведе до създаването на различни варианти на структурите на математическите способности, сложни по своя компонентен състав. В същото време мненията на повечето изследователи се съгласуваха с едно нещо: това, което не е и не може да бъде, единствената изразена математическа способност е кумулативна характеристика, която отразява характеристиките на различни психични процеси: възприятие, мислене, памет, въображение.

Изборът на най-важните компоненти на математическите способности е показан на фигура 1:

Снимка 1

Някои изследователи също така отделят като самостоятелен компонент математическата памет за схеми на разсъждения и доказателства, методи за решаване на проблеми и начини за подход към тях. Един от тях е В.А. Крутецки. Той дефинира математическите способности по следния начин: „Под способността за изучаване на математика имаме предвид индивидуални психологически характеристики (предимно характеристиките на умствената дейност), които отговарят на изискванията на учебната математическа дейност и определят, при други равни условия, успеха на творческото овладяване на математиката като учебен предмет, в частност относително бързо, лесно и задълбочено овладяване на знания, умения и способности в областта на математиката“.

В нашата работа ще разчитаме основно на изследванията на този психолог, тъй като неговите изследвания по този проблем все още са най-глобални, а заключенията му са най-експериментално обосновани.

Така, V.A. Крутецки отличава девет компоненти математически способности:

• 1. Способността за формализиране на математическия материал, за отделяне на формата от съдържанието, за абстрахиране от конкретни количествени отношения и пространствени форми и за опериране с формални структури, структури на отношения и връзки;
• 2. Способността за обобщаване на математическия материал, изолиране на основното, отклоняване от несъщественото, виждане на общото във външно различно;
• 3. Умение за работа с цифрови и символни символи;
• 4. Способността за „последователно, правилно разделено логично разсъждение“, свързано с необходимостта от доказателства, обосновка, изводи;
• 5. Способността да се съкращава процеса на разсъждение, да се мисли в сгънати структури;
• 6. Способността за обратимост на мисловния процес (към преход от директна към обратна мисъл);
• 7. Гъвкавост на мисленето, способност за превключване от една мисловна операция към друга, свобода от ограничаващото влияние на шаблони и шаблони;
• 8. Математическа памет. Може да се предположи, че неговите характерни черти произтичат и от особеностите на математическата наука, че е памет за обобщения, формализирани структури, логически схеми;
• 9. Способността за пространствени представяния, която е пряко свързана с наличието на такъв клон на математиката като геометрията.

В допълнение към изброените има и такива компоненти, чието присъствие в структурата на математическите способности, макар и полезно, не е необходимо. Учителят, преди да определи ученика като способен или неспособен по математика, трябва да вземе предвид това. Следните компоненти не са задължителни в структурата на математическия талант:

• 1. Скоростта на мисловните процеси като времева характеристика.
• 2. Индивидуалното темпо на работа не е критично. Ученикът може да мисли бавно, бавно, но задълбочено и дълбоко.
• 3. Способност за бързи и точни изчисления (в частност в ума). Всъщност изчислителните способности далеч не винаги са свързани с формирането на истински математически (творчески) способности.
• 4. Памет за числа, числа, формули. Както академик A.N. Колмогоров, много изключителни математици не са имали изключителна памет от този вид.

Повечето психолози и учители, говорейки за математическите способности, разчитат точно на тази структура на V.A. Крутецки. Въпреки това, в процеса на различни изследвания на математическата дейност на ученици, които показват способности за този учебен предмет, някои психолози са идентифицирали други компоненти на математическите способности. По-специално, ние се интересувахме от резултатите от изследователската работа на Z.P. Горелченко. Той отбеляза следните особености на учениците, способни на математика. Първо, той изясни и разшири компонента на структурата на математическите способности, наречен в съвременната психологическа литература "обобщение на математическите понятия" и изрази идеята за единството на две противоположни тенденции на мисленето на ученика към обобщаване и "стесняване" на математически понятия. В този компонент може да се види отражение на единството на индуктивния и дедуктивния метод за изучаване на нови неща по математика от учениците. На второ място, диалектическите зачатки в мисленето на учениците по време на усвояването на нови математически знания. Това се проявява във факта, че в почти всеки отделен математически факт най-способните ученици са склонни да видят, да разберат противоположния факт или поне да разгледат граничния случай на изследваното явление. На трето място, той отбеляза специално повишено внимание към възникващите нови математически модели, които са противоположни на установените преди това.

Един от характерните признаци за повишени математически способности на учениците и прехода им към зряло математическо мислене може да се счита за сравнително ранно разбиране на необходимостта от аксиоми като начални истини в доказателствата. Достъпното изучаване на аксиомите и аксиоматичния метод в голяма степен допринася за ускоряването на развитието на дедуктивното мислене на учениците. Отбелязано е също, че естетическото чувство в математическата работа се проявява по различен начин при различните ученици. По различни начини различните ученици отговарят и на опит да възпитат и развият у тях естетическо чувство, което съответства на тяхното математическо мислене. В допълнение към посочените компоненти на математическите способности, които могат и трябва да се развиват, е необходимо да се вземе предвид и фактът, че успехът на математическата дейност е производно на определена комбинация от качества: активно положително отношение към математиката, интерес в него желанието да се занимаваш с него, превръщайки се в страстен такъв на високо ниво на развитие.страст. Можете да подчертаете и редица характерни черти като: трудолюбие, организираност, независимост, целеустременост, постоянство, както и стабилни интелектуални качества, чувство на удовлетвореност от упорита умствена работа, радост от творчеството, откритието и т.н.

Наличието във времето на изпълнение на дейности, благоприятни за извършване на психични състояния, например състояние на интерес, концентрация, добро "психично" благополучие и др. Определен фонд от знания, умения и способности в съответната област. Определени индивидуални психологически характеристики в сетивната и психическата сфера, отговарящи на изискванията на тази дейност.

Най-способните към математика ученици се отличават със специален естетически склад на математическо мислене. Позволява им относително лесно да разберат някои теоретични тънкости в математиката, да уловят безупречната логика и красотата на математическите разсъждения, да фиксират най-малката грапавост, неточност в логическата структура на математическите понятия. Самостоятелен постоянен стремеж към оригинално, неконвенционално, елегантно решение на математически проблем, към хармонично единство на формалните и семантични компоненти на решението на задача, блестящи догадки, понякога изпреварващи логически алгоритми, понякога трудни за превод на езика на символи, свидетелстват за наличието в мисленето на усет за добре развита математическа прозорливост, което е един от аспектите на естетическото мислене в математиката. Повишените естетически емоции по време на математическото мислене са присъщи преди всичко на учениците със силно развити математически способности и, заедно с естетическия склад на математическото мислене, могат да служат като значим знак за наличието на математически способности у учениците.

Със сигурност сте срещали хора, които сякаш са се родили с пързалка в ръцете си. До каква степен математическите способности са предопределени от природата?

Всички имаме вроден математически усет - именно това ни позволява грубо да оценим и сравняваме броя на обектите, без да прибягваме до точно броене. С това усещане автоматично избираме най-късата линия на касата в супермаркета, без да броим хората.

Но някои хора имат по-добър математически усет от други. Няколко проучвания, публикувани през 2013 г., предполагат, че тази вродена способност, която е основата за по-нататъшно успешно изучаване на математика, може да бъде силно развита чрез практика и обучение.

Изследователите открили структурни особености в мозъците на деца, които са били най-успешни при решаването на математически проблеми. В крайна сметка тези нови открития могат да помогнат за намирането на най-ефективните начини за преподаване на математика, казва психологът Елизабет Бранън от университета Дюк.

Как беше направено изследването?

Възможно ли е да се развие математически усет?

Но вродените способности изобщо не ни налагат ограничения. Бранън и нейният колега Джунку Парк набират 52 възрастни доброволци да участват в малък експеримент. По време на експеримента участниците трябваше да решат няколко аритметични примера с двуцифрени числа. След това половината от групата преминаха през 10 тренировки, в които мислено оцениха броя на точките върху картите. Контролната група не е била подложена на такава серия от тестове. След това и двете групи бяха помолени да решат аритметични примери отново. Установено е, че резултатите на участниците, преминали обучение, са значително по-добри от тези на контролната група.

Тези две малки проучвания показват, че вроденият усет по математика и придобитите математически умения са неразривно свързани; работата върху едно качество неминуемо ще доведе до подобряване на друго. Детските игри, насочени към обучение на математически способности, наистина играят голяма роля в последващото изучаване на математика.

Друго публикувано проучване помага да се обясни защо някои деца учат по-добре от други. Учени от Станфордския университет обучаваха 24 третокласници по специална учебна програма с математически пристрастия в продължение на 8 седмици. Нивото на подобрение в математическите умения на тази група деца варира от 8% до 198% и не зависи от резултатите от тестове за интелектуално развитие, ниво на памет и когнитивни способности.

Родителите, които искат да научат детето си на математика, са изправени пред въпроса – какво точно трябва да се преподава на детето. Какви способности могат и трябва да се развиват в предучилищна възраст, за да се гарантира успешното усвояване на училищната програма.

Какви способности са свързани с математиката при деца под 7 години

Не мислете, че математическите способности означават само способността за бързо и точно броене. Това е заблуда. Математическите способности включват цял ​​набор от умения, насочени към креативност, логика и броене.

Скоростта на броене, способността за запомняне на голям набор от числа и данни не са истински математически способности, тъй като дори бавно и задълбочено дете, което е внимателно ангажирано, може успешно да разбере математиката.

Математическите умения включват:

1. Умение за обобщаване на математическия материал.
2. Способността да виждаме общи неща.
3. Способността да намерите основното в голямо количество различна информация и да изключите ненужното.
4. Използвайте цифри и знаци.
5. Логично мислене.
6. Способността на детето да мисли в абстрактни структури. Способността да се отклони вниманието от решавания проблем и да се види получената картина като цяло.
7. Мислете както напред, така и назад.
8. Способността да мислите самостоятелно без използване на шаблони.
9. Развита математическа памет. Умение за прилагане на придобитите знания в различни ситуации.
10. Пространствено мислене - уверено използване на понятията "нагоре", "надолу", "надясно" и "ляво".

Как се формират математическите способности?

Всички способности, включително математическите, не са предварително зададено умение. Те се формират и развиват чрез обучение и се подсилват с практика. Ето защо е важно не само да се развие тази или онази способност, но и да се подобри чрез практически упражнения, като се доведе до автоматизация.

Всяка способност преминава през няколко етапа в своето развитие:

1. Познание. Детето се запознава с предмета и усвоява необходимия материал;
2. Приложение. Прилага нови знания в самостоятелна игра;
3. Консолидация. Връща се към класове и повтаря научените по-рано;
4. Приложение. Използване на фиксиран материал по време на самостоятелна игра;
5. Удължаване. Има разширяване на знанията за даден предмет или способност;
6. Приложение. Детето допълва самостоятелната игра с нови знания;
7. Адаптиране. Знанието се пренася от игровата ситуация в живота.

Всяко ново знание трябва да премине през етапа на прилагане няколко пъти. Дайте на детето възможност да използва получените данни в самостоятелна игра. Децата се нуждаят от известно време, за да разберат и консолидират всяка малка промяна в знанията.

В случай, че детето не може да овладее придобитото умение или знание чрез самостоятелна игра, има голяма вероятност то да не бъде затвърдено. Затова след всеки урок оставяйте бебето да играе или се разсейвайте, играйте с него. По време на играта покажете как да използвате нови знания.

Как да развием математическите умения у детето

Трябва да започнете математическото развитие под формата на игра и да използвате неща, които ще заинтересуват бебето. Например играчки и предмети от бита, с които се сблъсква всеки ден.

От момента, в който детето прояви интерес към определен обект, родителят започва да показва на детето, че обектът може не само да се разглежда и докосва, но и да извършва различни действия с него. Фокусирайки се върху някои характеристики на обект (цвят, форма), по ненатрапчив начин, можете да покажете разликата в броя на обектите, да въведете първите понятия за множество и пространствена позиция.

След като детето се научи да разделя обекти на групи, можете да покажете, че те могат да бъдат преброени и сортирани. Обърнете внимание на геометричните елементи.

Развитието на математическите способности трябва да върви едновременно с основите на операциите с числа.

Всяко ново знание трябва да се представя с ясен интерес на детето към ученето. При липса на интерес към предмета и неговото изучаване, детето не трябва да се обучава. Важно е да се постигне баланс в образованието на детето, за да се развие любов към математиката. Почти всички проблеми, свързани с изучаването на основите на тази дисциплина, водят началото си от първоначалната липса на желание да се знае.

Какво да направите, ако детето не се интересува

Ако детето напусне и му омръзне всеки опит да го научи на основите на математиката, тогава трябва:

• Променете представянето на материала. Най-вероятно вашите обяснения са твърде сложни, за да ги разбере детето и не съдържат игрови елементи. Децата в предучилищна възраст не могат да възприемат информация в класическата форма на урок, трябва да им се показва и разказва нов материал по време на играта или забавлението. Сухият текст не се възприема от детето. Приложете в преподаването или се опитайте да включите детето директно в преподаването;
• Проявете интерес към предмета без участието на детето. Малките деца се интересуват от всичко, което е интересно за техните родители. Те обичат да имитират и копират възрастните. Ако детето не проявява интерес към никаква дейност, опитайте се да започнете да играете с избраните предмети пред детето. Говорете на глас за това, което правите. Покажете интереса си към процеса на играта. Детето ще види интереса ви и ще се присъедини;
• Ако детето все пак бързо загуби интерес към предмета, трябва да проверите дали знанията и уменията, които искате да му внушите, са твърде сложни или лесни;
• Имайте предвид продължителността на часовете за различните възрасти. Ако дете под 4 години е загубило интерес към даден предмет след 5 минути, това е нормално. Тъй като на тази възраст му е трудно да се концентрира дълго време върху една тема.
• Опитайте се да въведете един по един елемент в урока. За деца на възраст 5-7 години продължителността на занятията не трябва да надвишава 30 минути.
• Не се разстройвайте, ако детето не иска да учи в определен ден. Трябва да се опитате да го включите в тренировките след известно време.

Основното нещо, което трябва да запомните:

1. Материалът трябва да бъде адаптиран към възрастта на детето;
2. Родителят трябва да прояви интерес към материала и резултатите на детето;
3. Детето трябва да е готово за тръгване.

Как да развием математическото мислене

Редът за обучение на детето да мисли математически е поредица от свързани дейности, които са представени в ред на нарастваща сложност на материала.

1. Трябва да започнете да учите с понятията за пространственото разположение на обектите

Детето трябва да разбере къде е ляво дясно. Какво е "отгоре", "отдолу", "преди" и "за". Наличието на това умение ви позволява да възприемате по-лесно всички следващи класове. Ориентацията в пространството е фундаментално знание не само за развитието на математическите способности, но и за обучение на детето да чете и пише.

Можете да предложите на детето следната игра. Вземете някои от любимите му играчки и ги поставете пред него на различни разстояния. Помолете го да покаже коя играчка е по-близо, коя е по-далеч, коя е вляво и т.н. Ако имате затруднения при избора, кажете ми правилния отговор. Използвайте в тази игра различни варианти на думи, които определят местоположението на предметите спрямо бебето.

Използвайте този подход за изучаване и повторение не само в класната стая, но и в ежедневието. Например, помолете детето си да определи пространственото разположение на предметите на детската площадка. По-често в обикновения живот поискайте да подадете нещо, като ориентирате бебето в пространството.

Успоредно с пространственото мислене те преподават обобщение и класификация на обектите според външните им признаци и функционална принадлежност.

2. Научете концепцията за множество елементи

Детето трябва да прави разлика между понятията много – малко, едно – много, повече – по-малко и еднакво. Предлагайте играчки от различни видове в различни количества. Предложете да ги преброите и кажете много от тях или малко, кои играчки са по-малко и обратно, също показват равенството на играчките.

Добра игра за подсилване на концепцията за комплект е „Какво има в кутията“. На детето се предлагат две кутии или кутии, съдържащи различен брой артикули. Премествайки предмети между кутиите, детето се приканва да направи броя на обектите повече или по-малко, да изравни. На възраст под 3 години броят на предметите не трябва да е голям, за да може детето визуално да оцени разликата в предметите, без да брои.

3. Важно е да научите детето на прости геометрични форми в ранна детска възраст.

Научете детето си да ги вижда в света около тях. Добре е да се използват приложения от математически форми за развитие на знанията за геометричните форми. Покажете на детето рисунка на обект с ясни контури (къща, кола). Предложете да направите изображение на обект от подготвените триъгълници, квадрати и кръгове.

Покажете и обяснете какъв е ъгълът на фигурите, поканете детето да отгатне защо „триъгълникът“ има такова име. Предложете на детето да запознае фигурата с голям брой ъгли.

Затвърдете геометричните знания чрез рисуване на изучавания материал, сгъване на различни форми от други предмети (пръчици, камъчета и др.). Пластилин и други материали могат да се използват за създаване на различни форми.

Помолете да нарисувате серия от фигури от различни видове, пребройте ги заедно с детето. Попитайте кои фигури са много и кои са малко.

Когато се разхождате с дете, обърнете внимание на формата на къщите, магазините, колите и т.н. Покажете как могат да се комбинират различни форми за създаване на нови и познати обекти.

4. Способността да се ориентирате в пространството и да класифицирате обекти ви позволява да научите как да измервате размера на обект

Ранното научаване на измерване на дължина с линийка и използване на сантиметри не се препоръчва, тъй като това ще бъде труден за разбиране материал. Опитайте да измерите нещата с детето си, като използвате пръчки, панделки и други подръчни материали. В това обучение не се инвестира самото измерване, а принципът на неговото изпълнение.

Повечето педагози съветват да научите детето си как да измерва с пръчки за броене. Те оправдават това с удобството за детето и обучението му да използва специален материал. Тези пръчки ще ви бъдат полезни при изучаване на единици за броене. Те могат да се използват и като визуален материал при работа с книги (оставете пръчката настрана според броя на знаците), изучаване на геометрични фигури (детето може да изложи желаната фигура с клечки) и др.

5. Количествени измервания

След като научите основните математически понятия, можете да преминете към количествени измервания и изучаване на числата. Изучаването на числата и тяхното писмено обозначение става от ранна възраст по определена система.

6. Събиране и изваждане

Едва след овладяване на количествени измервания и числа трябва да въвеждате събиране и изваждане. Събирането и изваждането се въвеждат на възраст 5-6 години и са най-простите операции за едно действие с малки числа.

7. Раздел

Делението в предучилищна възраст се въвежда само на ниво дялове, когато детето е помолено да раздели обекта на равни дялове. Броят на тези части не трябва да надвишава четири.

Примери за дейности с дете за развитие на математическите способности

За да разрешите този проблем, нямате нужда от сложни методи, просто трябва да направите някои допълнения към обикновения си живот.

• Когато се разхождате по улицата, поканете детето да преброи всякакви предмети или предмети (плочки, коли, дървета). Посочете много обекти, поискайте да намерите обобщаващ знак;
• Поканете детето да решава проблеми, за да намери правилния отговор, като го ориентирате. Например Маша има 3 ябълки, а Катя има 5, Лена има една ябълка повече от Маша и една по-малко от Катя. Проблемът може да бъде опростен, като се попита кое число е между 1 и 3;
• Обяснете на детето си какво е събиране и изваждане. Направете това върху ябълки, играчки или друг предмет. Позволете на детето да усети обектите и да покаже тези прости операции чрез добавяне или изваждане на обекта;
• Попитайте детето за разликата между предметите;
• Покажете какво представляват везните и как работят. Обяснете, че теглото може не само да се усети, като вземете предмет, но може да бъде измерено и в числа;
• Научете се да използвате часовници със стрелки;
• Обърнете специално внимание на пространственото разположение на обектите;
• Формулярите могат да се изучават не само на карти, но и да се търсят в предмети наоколо;
• Покажете на детето си, че математиката е във всичко, което го заобикаля, просто трябва да се вгледате внимателно.

Какви допълнителни материали ще помогнат за обучението на дете по математика

• Карти и картинки с различен брой предмети, с числа и математически знаци, геометрични фигури;
• Магнитна или черна дъска;
• Часовник със стрелка и везна;
• Пръчки за броене;
• Конструктори и пъзели;
• Дама и шах;
• Тото и домино;
• Книги, които имат акаунт и ви позволяват да извършвате математически операции;
• Методически помагала за развитие на логиката и други способности според възрастта на детето.

Съвети за родители, които искат да научат детето си на основите на математиката

1. Насърчавайте детето си да намира отговори. Помогнете му да ги намери чрез разсъждения. Не се карайте за грешки и не се смейте на грешни отговори. Всеки опит на детето да направи извод или да реши проблем тренира способностите му и му позволява да затвърди знанията;

2. Използвайте времето на съвместни игри за развиване на необходимите умения. Съсредоточете се върху наученото по-рано, покажете как нов и вече фиксиран материал може да се използва на практика. Създайте ситуации, в които детето ще трябва да използва знания, за да постигне определен резултат;

3. Не претоварвайте детето с голямо количество нова информация. Дайте му време да разбере знанията, придобити чрез свободна игра;

4. Съчетайте развитието на математическите способности с духовното и физическото развитие. Включете броенето в часовете по физическо възпитание и логиката в четенето и ролевите игри. Разностранно развитие на детето - път към пълноценното развитие на бебето. Физически и духовно развитото дете разбира математиката много по-лесно;

5. Когато обучавате дете, опитайте се да използвате всички канали за усвояване на информация. В допълнение към устната история, покажете я на различни предмети, нека усетим и оценим тежестта и текстурата. Използвайте различни начини за представяне на информация. Покажете как можете да използвате придобитите знания в живота;

6. Всеки материал трябва да бъде под формата на игра, която ще заинтересува детето. Вълнението и участието в процеса допринасят добре за запаметяването. Ако детето не се интересува от материала, спрете. Помислете какво се обърка и го поправете. Всяко дете е индивидуално. Намерете начин, който работи за вашето мъниче и го използвайте;

7. Важна за успешното развитие на математическите основи е способността да се концентрира върху задачата и да се запомнят условията. Задайте въпрос какво е разбрало детето от дадената задача след всяко условие. Работете за подобряване на концентрацията;

8. Преди да поканите детето да решава самостоятелно, покажете пример как да разсъждава и решава. Дори ако детето многократно е извършвало определена изчислителна операция, напомнете му за процедурата. По-добре е да покажете правилния курс на действие, отколкото да позволите на детето да засили грешния подход;

9. Не насилвайте детето да учи, ако не иска. Ако детето иска да играе, тогава му дайте тази възможност. Предложете да тренирате след известно време;

10. Опитайте се да разнообразите знанията в един урок. Би било по-добре, ако през деня обръщате малко внимание на най-разнообразните области на математическите знания, отколкото ако запомняте един и същ тип материал, довеждайки го до автоматизма;

11. Задачата на родителя в предучилищна възраст не е да учи да брои и да прави изчисления, а да развива способности. Ако не научите детето си да сгъва и отнема преди училище, това не е страшно. Ако детето има математическо мислене и знае как да прави изводи, тогава то ще може да разбере всякакви сложни операции бързо и в училище.

Кои книги помагат за развитието на математическите умения

Решаването на проблема с преподаване на математика на дете под 7 години с помощта на книги започва от ранна възраст. Така, например, приказката "Теремок". В него се появява появата на различни знаци с увеличаване на размера им. В този пример можете да научите дете на понятията голямо - малко. Опитайте се да изиграете тази приказка в хартиения театър. Поканете детето да подреди фигурите на героите от приказката в правилния ред и да разкаже историята. Приказката „Ряпа“ също учи детето на понятията за повече и по-малко, но сюжетът й се развива от обратното (от голямо към малко).

От математическа гледна точка ще бъде полезно да се изучава приказката "Три мечки" чрез понятията голям, среден и малък, детето лесно се научава да брои до три.

Когато избирате книги, които да четете на детето си, обърнете внимание на следното:

• Наличието на акаунт в книгата и възможността за сравняване на герои според някои критерии;
• Изображенията в книгата трябва да са големи и интересни. Използвайки ги, можете да покажете на детето кои геометрични фигури се използват за създаване на различни обекти (къщата е триъгълник и квадрат, главата на героя е кръг и т.н.);
• Всеки сюжет трябва да се развива линейно и да съдържа определени заключения в края. Избягвайте книги със сложни сюжети, които не се развиват линейно. Научете детето си, че всяко действие има последствия и как да прави изводи. Този подход ще улесни разбирането на принципите на логическото мислене;
• Книгите трябва да се сортират по възраст.

В продажба има голям брой различни публикации, които ви позволяват да се запознаете с по-голямата част от математическите операции и термини, като използвате примерите за герои. Основното нещо е да обсъдите прочетения материал с детето и да зададете водещи въпроси, които ще стимулират развитието на математическите способности.

Закупете методически книги за развитие на математическите способности на детето според възрастта му. Сега има голям брой различни материали, които съдържат задачи за развитието на математическите способности на детето. Внесете такива публикации в играта. Напомнете на детето си за задачите, които е изпълнявало по-рано в такава публикация, за да реши нови проблеми.

Развиването на математически умения у детето не е лесна задача. Дете под 7 години само търси нови знания и се радва, когато му се поднасят по игрив начин. Намерете занимание, което подхожда на вашето дете, и се насладете на изучаването на основите на математиката.

Сред тях специално място заемат две монографични произведения - "Психологията на музикалните способности" и "Разумът на командира", които са се превърнали в класически пример за психологическо изследване на способностите и са включили универсални принципи на подход към този проблем. , който може и трябва да се използва при изучаването на всякакъв вид способности.

И в двете произведения Б. М. Теплов не само дава брилянтен психологически анализ на конкретни видове дейност, но и, използвайки примерите на изключителни представители на музикалното и военното изкуство, разкрива необходимите компоненти, които съставляват ярки таланти в тези области. Б. М. Теплов обърна специално внимание на въпроса за съотношението на общите и специалните способности, доказвайки, че успехът във всякакъв вид дейност, включително музика и военни дела, зависи не само от специални компоненти (например в музиката - слух, усещане за ритъм), но и върху общите характеристики на вниманието, паметта и интелигентността. В същото време общите умствени способности са неразривно свързани със специалните способности и значително влияят върху нивото на развитие на последните.

Ролята на общите способности е най-ясно демонстрирана в произведението "Разумът на командира". Нека се спрем на основните положения на тази работа, тъй като те могат да се използват при изучаването на други видове способности, свързани с умствената дейност, включително математически способности. След като извърши задълбочено проучване на дейността на командира, Б. М. Теплов показа какво място заемат интелектуалните функции в нея. Те предоставят анализ на сложни военни ситуации, идентифициране на отделни значими детайли, които могат да повлияят на резултата от предстоящите битки. Именно умението за анализ е това, което осигурява първата необходима стъпка за вземане на правилното решение, при изготвянето на план за битка. След аналитичната работа започва етапът на синтез, който прави възможно комбинирането на многообразието от детайли в едно цяло. Според Б. М. Теплов дейността на командира изисква баланс между процесите на анализ и синтез, със задължително високо ниво на тяхното развитие.

Паметта заема важно място в интелектуалната дейност на командира. Не е задължително да е универсален. Много по-важно е той да бъде избирателен, тоест да запази преди всичко необходимите, съществени детайли. Като класически пример за такава памет Б. М. Теплов цитира изказвания за паметта на Наполеон, който си спомня буквално всичко, което е пряко свързано с неговата военна дейност, от номерата на части до лицата на войниците. В същото време Наполеон не беше в състояние да запомни безсмислен материал, но имаше важната характеристика да усвоява моментално това, което подлежи на класификация, определен логически закон.

Б. М. Теплов стига до извода, че „способността за намиране и открояване на същественото и постоянно систематизиране на материала са най-важните условия, които осигуряват единството на анализа и синтеза, баланса между тези аспекти на умствената дейност, които отличават работата на ум на добър командир“ (Б.М. Теплов 1985, с.249). Наред с изключителен ум, командирът трябва да притежава определени лични качества. На първо място, това е смелост, решителност, енергия, тоест това, което по отношение на военното ръководство обикновено се обозначава с понятието „воля“. Също толкова важно лично качество е устойчивостта на стрес. Емоционалността на талантливия командир се проявява в комбинацията от емоцията на бойното вълнение и способността за събиране и концентрация.

Б. М. Теплов отдели специално място в интелектуалната дейност на командира на наличието на такова качество като интуицията. Той анализира това качество на ума на командира, сравнявайки го с интуицията на учен. Между тях има много общо. Основната разлика според Б. М. Теплов е необходимостта командирът да вземе спешно решение, от което може да зависи успехът на операцията, докато ученият не е ограничен във времеви рамки. Но и в двата случая „прозрението” трябва да бъде предшествано от упорита работа, въз основа на която може да се направи единственото истинско решение на проблема.

Потвърждение на анализираните и обобщени от Б. М. Теплов положения от психологически позиции могат да бъдат намерени в трудовете на много видни учени, включително математици. И така, в психологическото изследване "Математическо творчество" Анри Поанкаре описва подробно ситуацията, в която успява да направи едно от откритията. Това е предшествано от дълга подготвителна работа, голяма част от която според учения е процесът на несъзнаваното. Етапът на „прозрение” непременно беше последван от втория етап – внимателна съзнателна работа, за да се подреди доказателството и да се провери. А. Поанкаре стига до извода, че най-важното място в математическите способности заема умението да се изгради логически верига от операции, които да доведат до решаването на даден проблем. Изглежда, че това трябва да бъде достъпно за всеки човек, способен на логическо мислене. Въпреки това, не всеки може да оперира с математически символи със същата лекота, както при решаването на логически задачи.

Не е достатъчно математикът да има добра памет и внимание. Според Поанкаре хората, способни на математика, се отличават със способността да схващат реда, в който трябва да бъдат разположени елементите, необходими за математическото доказателство. Наличието на този вид интуиция е основният елемент на математическото творчество. Някои хора не притежават това фино чувство и нямат силна памет и внимание и следователно не са в състояние да разбират математиката. Други имат слаба интуиция, но са надарени с добра памет и способност за интензивно внимание и следователно могат да разбират и прилагат математиката. Други пък имат такава специална интуиция и дори при липса на отлична памет могат не само да разбират математиката, но и да правят математически открития (Poincare A., 1909).

Тук говорим за математическо творчество, достъпно за малцина. Но, както пише Дж. Адамар, „между работата на ученик, решаващ задача по алгебра или геометрия, и творческата работа, разликата е само в нивото, в качеството, тъй като и двете произведения са от сходно естество“ (Хадамард Дж. , стр. 98). За да разберат какви качества все още са необходими за постигане на успех в математиката, изследователите анализират математическата дейност: процеса на решаване на проблеми, методи за доказване, логически разсъждения и характеристики на математическата памет. Този анализ доведе до създаването на различни варианти на структурите на математическите способности, сложни по своя компонентен състав. В същото време мненията на повечето изследователи се обединиха в едно - че няма и не може да има единствената изразена математическа способност - това е кумулативна характеристика, която отразява особеностите на различни психични процеси: възприятие, мислене, памет, въображение.

Сред най-важните компоненти на математическите способности са специфичната способност за обобщаване на математическия материал, способността за пространствени представи, способността за абстрактно мислене. Някои изследователи също така разграничават математическата памет за схеми за разсъждения и доказателства, методи за решаване на проблеми и принципи на подход към тях като самостоятелен компонент на математическите способности. Съветският психолог, който изучава математическите способности на учениците, В. А. Крутецки дава следната дефиниция на математическите способности: условия за успеха на творческото овладяване на математиката като образователен предмет, по-специално сравнително бързо, лесно и задълбочено овладяване на знания, умения и способности в областта на математиката "(Krutetsky VA, 1968).

Изучаването на математическите способности включва и решаването на един от най-важните проблеми – търсенето на естествени предпоставки, или наклонности, на този тип способности. Наклонностите включват вродените анатомични и физиологични особености на индивида, които се считат за благоприятни условия за развитие на способностите. Дълго време наклонностите се разглеждаха като фактор, фатално предопределящ нивото и посоката на развитие на способностите. Класиците на руската психология Б. М. Теплов и С. Л. Рубищайн научно доказаха неправомерността на такова разбиране на наклонностите и показаха, че източникът на развитието на способностите е тясното взаимодействие на външните и вътрешните условия. Тежестта на едно или друго физиологично качество по никакъв начин не показва задължителното развитие на определен вид способност. Това може да бъде само благоприятно условие за това развитие. Типологичните свойства, които съставляват наклонностите и са важна част от тях, отразяват такива индивидуални особености на функционирането на тялото като границата на работоспособността, скоростните характеристики на нервната реакция, способността за преструктуриране на реакцията в отговор на промените. при външни влияния.

Свойствата на нервната система, тясно свързани със свойствата на темперамента, от своя страна влияят върху проявлението на характерните особености на личността (V.S. Merlin, 1986). Б. Г. Ананиев, развивайки представи за общата естествена основа за развитието на характера и способностите, посочи формирането в процеса на дейността на връзките на способностите и характера, водещи до нови психични образувания, обозначавани с термините „талант” и „призвание”. “ (Ананиев БГ, 1980). Така темпераментът, способностите и характерът образуват сякаш верига от взаимосвързани подструктури в структурата на личността и индивидуалността, които имат единна естествена основа (Е.А. Голубева 1993).

Основните принципи на цялостния типологически подход към изследването на способностите и индивидуалността са описани подробно от Е. А. Голубева в съответната глава на тази монография. Един от най-важните принципи е използването, наред с качествения анализ, на измервателни методи за диагностициране на различни личностни характеристики. Въз основа на това изградихме експериментално изследване на математическите способности. Нашата специфична задача включваше диагностициране на свойствата на нервната система, които се считат за заложби на математическите способности, изучаване на личностните характеристики на математически надарените ученици и характеристиките на техния интелект. Експериментите са проведени на базата на училище № 91 в Москва, което има специализирани математически паралелки. В тези класове се приемат гимназисти от цяла Москва, предимно победители в регионални и градски олимпиади, преминали допълнително интервю. Тук се преподава математика по по-задълбочена програма и се преподава допълнителен курс по математически анализ. Изследването е проведено съвместно с Е. П. Гусева и учител-експериментатор В. М. Сапожников.

Всички ученици, с които имахме възможност да работим в 8-10 клас, вече са решили своите интереси и наклонности. По-нататъшното си обучение и работа те свързват с математиката. Успехът им по математика значително надвишава успеха на учениците в нематематическите часове. Но въпреки общия висок успех в тази група ученици, има значителни индивидуални различия. Изследването е структурирано по този начин. Наблюдавахме учениците по време на уроците, анализирахме техните тестови работи с помощта на експерти, предлагахме експериментални задачи за решаване, насочени към идентифициране на някои компоненти на математическите способности. Освен това с учениците бяха проведени поредица от психологически и психофизиологични експерименти. Изследвано е нивото на развитие и оригиналността на интелектуалните функции, разкриват се техните личностни характеристики и типологични особености на нервната система. Общо в продължение на няколко години бяха изследвани 57 ученици със силни математически способности.

резултати

Обективното измерване на нивото на интелектуално развитие с помощта на теста на Векслер при деца с математически надарени показа, че повечето от тях имат много високо ниво на обща интелигентност. Числовите стойности на общата интелигентност на много анкетирани от нас студенти надхвърлиха 130 точки. Според някои нормативни класификации стойности от тази величина се срещат само при 2,2 от населението. Трябва също да се отбележи, че в по-голямата част от случаите наблюдаваме преобладаване на вербалната интелигентност над невербалната. Самият факт за наличието на силно развита обща и вербална интелигентност при деца с изразени математически способности не е неочакван. Много изследователи на математическите способности отбелязват, че високата степен на развитие на вербално-логическите функции е необходимо условие за математическите способности. В случая се интересувахме не само от количествените характеристики на интелигентността, но и от това как тя е свързана с психофизиологичните, природни характеристики на учениците. Индивидуалните особености на нервната система са диагностицирани с помощта на електроенцефалографска техника. Като индикатори за свойствата на нервната система са използвани фонови и реактивни характеристики на електроенцефалограмата, записана на 17-канален енцефалограф. По тези показатели е извършена диагностика на сила, лабилност и активиране на нервната система.

Ние открихме, използвайки статистически методи за анализ, че по-високите нива на вербална и обща интелигентност в тази извадка са тези с по-силна нервна система. Имаха и по-високи оценки по предметите от природния и хуманитарен цикъл. Според други изследователи, получени върху подрастващи гимназисти от общообразователните училища, собствениците на слаба нервна система имат по-високо ниво на интелигентност и по-добро академично представяне (Голубева Е.А. и др. 1974, Кадиров Б.Р. 1977). Причината за това несъответствие вероятно трябва да се търси преди всичко в характера на самата учебна дейност. Учениците в часовете по математика изпитват значително по-голямо учебно натоварване в сравнение с учениците в редовните класове. С тях се провеждат допълнителни избираеми предмети, освен това, освен задължителните домашни и класни задачи, решават много задачи, свързани с подготовката за висши учебни заведения. Интересите на тези момчета са изместени към повишено постоянно умствено натоварване. Такива условия на дейност налагат повишени изисквания за издръжливост, работоспособност и тъй като основната, определяща характеристика на свойството на силата на нервната система е способността да издържа на продължително възбуждане, без да навлиза в състояние на трансцендентално инхибиране, тогава очевидно тези учениците, които имат такива характеристики на нервната система, демонстрират най-голяма ефективност.като издръжливост и производителност.

В. А. Крутецки, изучавайки математическата дейност на ученици, способни на математика, обърна внимание на тяхната характерна особеност - способността да се поддържа напрежение за дълго време, когато ученикът може да учи дълго време и с концентрация, без да разкрива умора. Тези наблюдения му позволяват да предположи, че такова свойство като силата на нервната система може да бъде една от естествените предпоставки, които благоприятстват развитието на математическите способности. Отношенията, които получихме, отчасти потвърждават това предположение. Защо само частично? Намаляването на умората в процеса на правене на математика е отбелязано от много изследователи при ученици, способни на математика, в сравнение с тези, които не са способни на това. Разгледахме извадката, която се състоеше само от способни ученици. Сред тях обаче бяха не само собствениците на силна нервна система, но и тези, които се характеризираха със слаба нервна система. Това означава, че не само високото цялостно представяне, което е благоприятна естествена основа за успех в този вид дейност, може да осигури развитието на математическите способности.

Анализът на личностните черти показа, че като цяло за група ученици с по-слаба нервна система се оказват такива личностни черти като разумност, предпазливост, постоянство (J+ фактор), както и независимост, независимост (Q2+ фактор) по-характерни. Хората с високи резултати по фактор J обръщат много внимание на планирането на поведението, анализират грешките си, като същевременно показват „предпазлив индивидуализъм“. Високи резултати по фактор Q2 са хората, които са склонни към самостоятелно вземане на решения и са в състояние да носят отговорност за тях. Този фактор се нарича „интроверсия на мислене“. Вероятно собствениците на слаба нервна система постигат успех в този вид дейност, включително чрез формиране на такива качества като планиране на действията, независимост.

Може също да се предположи, че различните полюси на това свойство на нервната система могат да бъдат свързани с различни компоненти на математическите способности. Така че е известно, че свойството на слабост на нервната система се характеризира с повишена чувствителност. Именно тя може да лежи в основата на способността за интуитивно, внезапно разбиране на истината, „прозрение“ или предположение, което е един от важните компоненти на математическите способности. И въпреки че това е само предположение, но неговото потвърждение може да се намери в конкретни примери сред математически надарените ученици. Даваме само два от най-ярките примера за това. Въз основа на резултатите от обективната психофизиологична диагностика Дима може да бъде класифициран като представител на силния тип нервна система. Той е "звездата от първа величина" в часа по математика. Важно е да се отбележи, че той постига блестящ успех без видими усилия, с лекота. Никога не се оплаква от умора. Уроците, уроците по математика са за него необходима постоянна умствена гимнастика. Особено предпочитание се дава на решаването на нестандартни, сложни задачи, които изискват напрежение на мисълта, задълбочен анализ и строга логическа последователност. Дима не допуска неточности в поднасянето на материала. Дори ако учителят прави логически пропуски, когато обяснява, Дима определено ще обърне внимание на това. Отличава се с висока интелектуална култура. Това се потвърждава и от резултатите от теста. Дима има най-висок показател за обща интелигентност в изследваната група - 149 конвенционални единици.

Антон е един от най-ярките представители на слабия тип нервна система, когото случайно наблюдавахме сред математически надарените деца. Той се уморява много бързо в час, не е в състояние да работи дълго и концентрирано, често оставя някои неща, за да поеме други, без достатъчно обмисляне. Случва се да откаже да реши проблем, ако предвиди, че това ще изисква големи усилия. Въпреки това, въпреки тези характеристики, учителите високо оценяват неговите математически способности. Факт е, че той има отлична математическа интуиция. Често се случва той да е първият, който решава най-трудните задачи, като дава крайния резултат и пропуска всички междинни етапи на решението. Характеризира се със способността за "просветяване". Той не се притеснява да обяснява защо е избрано такова решение, но при проверка се оказва оптимално и оригинално.

Математическите способности са много сложни и многостранни по своята структура. Въпреки това се разграничават два основни типа хора с тяхното проявление - това са "геометри" и "аналитици". В историята на математиката ярки примери за това могат да бъдат имена като Питагор и Евклид (най-големите геометри), Ковалевская и Клайн (аналитици, създатели на теорията на функциите). Това разделение се основава преди всичко на индивидуалните характеристики на възприемането на реалността, включително математическия материал. Тя не се определя от предмета, по който работи математикът: анализаторите остават анализатори в геометрията, докато геометрите предпочитат да възприемат всяка математическа реалност образно. В тази връзка е уместно да се цитира изявлението на А. Поанкаре: „В никакъв случай въпросът, който те обсъждат, ги принуждава да използват един или друг метод, когато се занимават с въпроси на геометрията, докато други са геометри, дори и да се занимават с чист анализ. (цит. от Ж. Адамар, стр. 102).

В училищната практика при работа с надарени ученици тези различия се проявяват не само в различна успеваемост при овладяване на различни раздели от математиката, но и в преференциално отношение към принципите на решаване на проблеми. Някои ученици се стремят да решават всякакви задачи с помощта на формули, логически разсъждения, докато други, ако е възможно, използват пространствени представи. Освен това тези разлики са много стабилни. Разбира се, сред студентите има и такива, които имат определен баланс на тези характеристики. Те владеят еднакво всички раздели на математиката, като използват различни принципи на подход към решаването на различни задачи. Индивидуалните различия между учениците в подходите за решаване на проблеми и методите за решаването им бяха разкрити от нас не само чрез наблюдение на учениците по време на работа в класната стая, но и експериментално. За да анализира отделните компоненти на математическите способности, учителят-експериментатор В. М. Сапожников разработи серия от специални експериментални задачи. Анализът на резултатите от решаването на задачи от тази серия позволи да се получи обективна представа за естеството на умствената дейност на учениците и за връзката между фигуративните и аналитичните компоненти на математическото мислене.

Бяха идентифицирани ученици, които са по-добри в решаването на алгебрични задачи, както и тези, които са по-добри в решаването на геометрични задачи. Експериментът показа, че сред учениците има представители на аналитичния тип математическо мислене, които се характеризират с ясно преобладаване на вербално-логическия компонент. Те нямат нужда от визуални схеми, предпочитат да оперират с емблематични символи. Мисленето на учениците, които предпочитат геометрични задачи, се характеризира с по-голяма тежест на визуално-образния компонент. Тези ученици изпитват нужда от визуално представяне и интерпретация при изразяване на математически връзки и зависимости.

От общия брой на математически надарените ученици, взели участие в експериментите, бяха отделени най-ярките „аналитици“ и „геометри“, които съставиха двете крайни групи. Групата на „аналитиците“ включваше 11 души, най-изявените представители на словесно-логическото мислене. Групата „геометри“ се състоеше от 5 души, с ярък визуално-образен тип мислене. Фактът, че в групата на изявените представители на „геометрите” бяха избрани много по-малко ученици, според нас може да се обясни със следното обстоятелство. При провеждането на математически състезания и олимпиади ролята на визуално-образните компоненти на мисленето не се отчита достатъчно. В състезателните задачи делът на задачите по геометрия е нисък - от 4-5 задачи, в най-добрия случай, една е насочена към идентифициране на пространствени представи у учениците. Така по време на селекцията сякаш се „отрязват“ потенциално способни математици-геометри с ярък визуално-фигуративен тип мислене. Допълнителен анализ беше извършен с помощта на статистическия метод за сравняване на груповите различия (t-тест на Студент) за всички психофизиологични и психологически показатели, с които разполагаме.

Известно е, че типологичната концепция на И. П. Павлов, в допълнение към физиологичната теория за свойствата на нервната система, включва класификацията на специално човешки типове висша нервна дейност, различаващи се в съотношението на сигналните системи. Това са "художници", с преобладаване на първата сигнална система, "мислители", с преобладаване на втората сигнална система, и среден тип, с баланс на двете системи. За „мислителите“ най-характерен е абстрактно-логическият начин на обработка на информацията, докато „художниците“ имат ярко образно цялостно възприемане на действителността. Разбира се, тези различия не са абсолютни, а отразяват само преобладаващите форми на отговор. Същите принципи са в основата на разликите между "аналитици" и "геометри". Първите предпочитат аналитични методи за решаване на всякакви математически проблеми, тоест те са по-близо до "мислителите" по вид. „Геометрите“ са склонни да изолират фигуративните компоненти в проблемите, като по този начин действат по начин, типичен за „художниците“.

Напоследък се появяват редица произведения, в които се правят опити да се съчетае учението за основните свойства на нервната система с идеи за специално човешки типове - "художници" и "мислители". Установено е, че притежателите на силна, лабилна и активирана нервна система гравитират към "артистичния" тип, а слабата, инертна и инактивирана нервна система към "мислещия" тип (Печенков В.В., 1989). В нашата работа от показателите за различни свойства на нервната система най-информативната психофизиологична характеристика при диагностицирането на видовете математическо мислене се оказа характеристиката на свойството сила-слабост на нервната система. Групата на "аналитиците" включваше собствениците на относително по-слаба нервна система в сравнение с групата на "геометрите". Тоест идентифицираните от нас разлики между групите по отношение на свойството сила-слабост на нервната система се оказаха в съответствие с получените по-рано резултати. За другите две свойства на нервната система (лабилност, активиране) не открихме статистически значими разлики, въпреки факта, че възникващите тенденции не противоречат на първоначалните предположения.

Извършен е и сравнителен анализ на резултатите от диагностицирането на личностни черти, получени с помощта на въпросника на Cattell. Статистически значими разлики между групите са установени от два фактора – H и J. Според фактора H групата на „аналитиците“ най-общо може да се характеризира като относително по-сдържана, с ограничен кръг от интереси (H-). Обикновено хората с ниски резултати по този фактор са затворени, не търсят допълнителни контакти с хора. Групата "геометри" има големи стойности (H+) според този личен фактор и се отличава в него с известна небрежност, общителност. Такива хора не изпитват затруднения в общуването, създават много и желаещи контакти, не се губят при неочаквани обстоятелства. Те са артистични, способни да издържат на значителен емоционален стрес. Според J фактора, който по принцип характеризира такава личностна черта като индивидуализъм, групата на „аналитиците“ има високи средни групови стойности. Това означава, че те се отличават с разумност, предпазливост, постоянство. Хората, които имат голяма тежест върху този фактор, обръщат много внимание на планирането на поведението си, като същевременно остават затворени и действат индивидуално.

За разлика от тях, момчетата от групата на "геометрите" са енергични и изразителни. Те обичат съвместните действия, готови са да се включат в групови интереси и същевременно да проявят своята активност. Очертаващите се различия показват, че изследваните групи от математически надарени ученици се различават най-много по два фактора, които, от една страна, характеризират определена емоционална ориентация (сдържаност, предпазливост - небрежност, изразителност), от друга страна, особености в междуличностните отношения ( затвореност - общителност). Интересното е, че описанието на тези черти до голяма степен съвпада с описанието на типовете екстроверти-интроверти, предложени от Айзенк. От своя страна тези типове имат определена психофизиологична интерпретация. Екстровертите са силни, лабилни, активирани, интровертите са слаби, инертни, инактивирани. Същият набор от психофизиологични характеристики е получен за специално човешки типове висша нервна дейност - "художници" и "мислители".

Резултатите ни позволяват да изградим определени синдроми на връзката на психофизиологичните, психологическите признаци и видовете математическо мислене.

"аналитици" "геометри" (абстрактно-логически тип мислене) (визуално-фигуративен тип мислене)

Слаба н.с. силен н.с.
благоразумие небрежност
изолация общителност
интроверти екстроверти

По този начин нашето цялостно изследване на математически надарени ученици позволи експериментално да се потвърди наличието на определена комбинация от психологически и психофизиологични фактори, които съставляват благоприятна основа за развитието на математическите способности. Това се отнася както за общите, така и за специалните моменти в проявата на този тип способности.

Изследване на математическите способности на учениците //Мониторинг на образователната система на съвременно училище: Учебник / В. А. Антипова, Г. С. Лаптева, Д. М. Земницки, С. Ф. Хлебунова, А. А. Кряжевски. - Ростов н / Д .: Издателство - в RO IPK и PRO, 1999. - С. 84 - 90.

Като основа за изучаване на математическите способности на учениците може да се използва специално изследване на структурата на математическите способности (MS) на учениците, проведено от V.A. Krutetsky. Под способността за изучаване на математика той разбира индивидуалните психологически способности, отговарящи на изискванията на учебната математическа дейност, които при равни други условия определят успеха на творческото овладяване на математиката като учебен предмет. В структурата на математическите способности (наричана по-долу структура на MS) се разграничават следните основни компоненти:

1. Способността за формализиране на възприемането на математическия материал, разбиране на формалната структура на задачата.

2. Способността за бързо и широко обобщаване на математически обекти, връзки и действия.

3. Способността да се ограничават математическите разсъждения или свързаните с тях действия. Способността за разбиране на сгънати структури.

4. Гъвкавост на мисловните процеси при изпълнение на задачи по математика.

5. Способността за бързо и свободно препроектиране на мисловните процеси, превключването им в обратна посока.

6. Стремеж към яснота, простота, икономичност и рационалност на решението.

7. Математическа памет (обобщена памет, проявяваща се в структурирането на математически схеми, разсъждения, доказване на методи за решаване на задачи и техния анализ).

Методология на изследването.Основният метод на изследване е анализът на процеса на решаване от студенти на експериментални задачи от констативен и учебен характер, насочени към идентифициране на техните индивидуални психологически способности, проявени в математическа дейност. Има 3 комплекта задачи, всяка от които включва до 10 задачи с различна степен на сложност и насочена диагностика.

Задачи първи компонентнасочени към дефиниране на т.нар нивото на остатъчните знания на учениците по математика;изпълнението на задачите от учениците ни позволява да направим първите предположения за тяхното математическо развитие (т. 6, 7 от структурата на МС).

Втори компонентсъдържа диагностика на гъвкавостта на мисленето, способността за обобщаване на материала, оригиналността на математическата памет на ученика, което в същото време дава възможност да се открият особеностите на възприемането на учениците за условията на задачи с прекомерни и липсващи знания, или с неформулирано състояние. Отчитането на възрастовите характеристики на учениците се извършва на ниво съдържание (задачи от комплекта от параграфи 1 - 4 от структурата на MS).

Трети компонентсъдържа задачи, които ви позволяват да разберете способността на ученика да анализира предложения материал, да идентифицира модели, да формулира правила въз основа на математически анализ, включително индивидуален; тук се дублират задачите за изследване на гъвкавостта на мисленето и контрола на математическата памет на учениците. Коментарите към съдържанието са същите като при задачите на втория компонент (т. 3-7 от структурата на МС).

Организация на изследването.За решаване на въпроси, свързани с формирането на класове със задълбочено изучаване на математиката, базирано на изучаване на математическите способности на учениците, се провеждат експериментални часове с ученици от 3 и 7 клас през учебната година. Тези часове ви позволяват да опознаете самите ученици, да получите предварителни субективни данни за естеството на техните способности да преподават математика. Така например се извършват целенасочени наблюдения на поведението на ученика в класната стая, анализират се качеството и стилът на писмена работа, характеристиките на ученика се вземат предвид от учителите в началното училище и други учебни дисциплини в основното училище, разговори се провеждат с ученици, се използват специални диагностични скали, за да се идентифицират индивидуалните му интереси. Изпълнението на набори от задачи се извършва под формата на експериментални часове, но в учебни часове, в нормалния работен режим на урока. Учителят планира да изпълнява такива диагностични задачи от 25 до 40 минути. Обикновено учителите подготвят специален набор от карти със задачи за тази цел (E.A. Zadorozhnaya).

Ето примери за набори от задачи за ученици от 3 клас.

Комплект No1.Вариант I

1. Решение на уравнението:

а) X + 467 = 1500; б) 510 - X= 143; в) 31 X = 341; г) y: 14 = 35.

2. Следвайте стъпките:

а) 60 - 3 8 + 5 9; б) (35 - 6) (21-19); в) 64 - 64: (32 - 24);

г) 1000 - 57 11.

Вариант 2.

1. Решете уравнението:

а) у + 384 = 1200; б) X - 214 = 515; в) 26 А=546; г) X: 13 = 37.

2. Следвайте стъпките:

а) 40 + 6 8 - 4 7; б) (25-13) (32 + 7); в) 75 - 74: (41 - 4);

г) 1200 - 56 12.

Комплект No2. Опция 1.

1. Решете проблема и запишете „допълнителните“ данни:

Когато отидох в магазина, имах 1000 рубли. Купих 5 тетрадки за 30 рубли. бройка, 1 владетел за 100 рубли, 2 гумени ленти за 40 рубли, химикалка и книга. Остават ми 100 рубли. Колко пари похарчих?

2. Формулирайте и напишете въпрос, който трябва да бъде поставен към предложеното условие на задачата:

Корабът измина разстоянието между градовете за 2 часа, а връщането за 3 часа? _______________________________________________________________

3. Попълнете условията на проблема, така че да има достатъчно данни за решаването му:

4. Измислете задача, която може да бъде решена с помощта на уравнение, и запишете нейното условие: X + 17 + (17 - 6) = 34.

Вариант 2.

1. Решете задачата и запишете „допълнителните“ данни: в завода работят 5647 души, от които 2537 жени. В заваръчния цех работят 1312 души, в бояджийския - 911, в довършителния - 2499, а останалите са администрацията на завода. Колко мъже работят във фабриката?________________________________________________________________