Universidad Nacional de Investigaciones

Departamento de Geología Aplicada

Resumen en matemáticas superiores

Sobre el tema: "Funciones elementales básicas,

sus propiedades y gráficos "

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profesor

Definición. La función dada por la fórmula y = ax (donde a> 0, a ≠ 1) se llama función exponencial con base a.

Formulemos las principales propiedades de la función exponencial:

1. Dominio de definición: el conjunto (R) de todos los números reales.

2. Rango de valores: el conjunto (R +) de todos los números reales positivos.

3. Para a> 1, la función aumenta en la recta numérica entera; en 0<а<1 функция убывает.

4. Es una función general.

, en el intervalo xÎ [-3; 3], en el intervalo xÎ [-3; 3]

Una función de la forma y (x) = x n, donde n es un número ÎR, se llama función de potencia. El número n puede tomar diferentes valores: tanto enteros como fraccionarios, pares e impares. Dependiendo de esto, la función de potencia tendrá una forma diferente. Considere casos especiales que son funciones de potencia y reflejan las propiedades principales de este tipo de curvas en el siguiente orden: función de potencia y = x² (función con exponente par es una parábola), función de potencia y = x³ (función con exponente impar es parábola cúbica ) y función y = √x (x al ½ grado) (función con exponente fraccionario), función con exponente entero negativo (hipérbola).

Función de potencia y = x²

1. D (x) = R - la función está definida en todos los ejes numéricos;

2.E (y) = y aumenta en el intervalo

Función de potencia y = x³

1. La gráfica de la función y = x³ se llama parábola cúbica. La función de potencia y = x³ tiene las siguientes propiedades:

2. D (x) = R - la función está definida en todos los ejes numéricos;

3. E (y) = (- ∞; ∞) - la función toma todos los valores en su dominio de definición;

4. En x = 0 y = 0, la función pasa por el origen de las coordenadas O (0; 0).

5. La función aumenta en todo el dominio de definición.

6. La función es impar (simétrica con respecto al origen).

, en el intervalo xÎ [-3; 3]

Dependiendo del factor numérico delante de x³, la función puede ser pronunciada / suave y aumentar / disminuir.

Función de potencia con exponente entero negativo:

Si el exponente n es impar, entonces la gráfica de dicha función de potencia se llama hipérbola. Una función de potencia con un exponente entero negativo tiene las siguientes propiedades:

1. D (x) = (- ∞; 0) U (0; ∞) para cualquier n;

2. E (y) = (- ∞; 0) U (0; ∞) si n es un número impar; E (y) = (0; ∞) si n es un número par;

3. La función disminuye en todo el dominio de definición, si n es un número impar; la función aumenta en el intervalo (-∞; 0) y disminuye en el intervalo (0; ∞), si n es un número par.

4. La función es impar (simétrica con respecto al origen) si n es un número impar; la función es par si n es un número par.

5. La función pasa por los puntos (1; 1) y (-1; -1) si n es un número impar y por los puntos (1; 1) y (-1; 1) si n es un número par.

, en el intervalo xÎ [-3; 3]

Función de exponente fraccionario

Una función de potencia con un exponente fraccionario de la forma (imagen) tiene un gráfico de función que se muestra en la figura. Una función de potencia con un exponente fraccionario tiene las siguientes propiedades: (imagen)

1. D (x) ÎR, si n es un número impar y D (x) =, en el intervalo xÎ, en el intervalo xÎ [-3; 3]

La función logarítmica y = log a x tiene las siguientes propiedades:

1. Dominio de definición D (x) Î (0; + ∞).

2. Rango de valores E (y) Î (- ∞; + ∞)

3. La función no es ni par ni impar (general).

4. La función aumenta en el intervalo (0; + ∞) para a> 1, disminuye en (0; + ∞) para 0< а < 1.

La gráfica de la función y = log a x se puede obtener a partir de la gráfica de la función y = a x utilizando una transformación de simetría con respecto a la recta y = x. En la Figura 9, se traza una gráfica de la función logarítmica para a> 1, y en la Figura 10 - para 0< a < 1.

; en el intervalo xÎ; en el intervalo xÎ

Las funciones y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = ctg x se denominan funciones trigonométricas.

Las funciones y = sin x, y = tan x, y = ctg x son impares y la función y = cos x es par.

Función y = sin (x).

1. Dominio de definición D (x) ÎR.

2. Rango de valores E (y) Î [- 1; 1].

3. La función es periódica; el período principal es 2π.

4. La función es extraña.

5. La función aumenta en los intervalos [-π / 2 + 2πn; π / 2 + 2πn] y disminuye en los intervalos [π / 2 + 2πn; 3π / 2 + 2πn], n Î Z.

La gráfica de la función y = sin (x) se muestra en la Figura 11.

Los escolares se enfrentan a la tarea de trazar un gráfico de funciones al comienzo del estudio del álgebra y continúan construyéndolo año tras año. Partiendo de la gráfica de una función lineal, para cuya construcción necesita conocer solo dos puntos, hasta una parábola, para la cual ya necesita 6 puntos, una hipérbola y una sinusoide. Cada año las funciones se vuelven cada vez más complejas y ya no es posible construir sus gráficos según una plantilla, es necesario realizar estudios más complejos utilizando derivadas y límites.

Veamos cómo encontrar la gráfica de una función. Para hacer esto, comencemos con las funciones más simples, cuyas gráficas están trazadas por puntos, y luego consideremos un plan para construir funciones más complejas.

Trazar una función lineal

Para construir los gráficos más simples, se usa una tabla de valores de función. La gráfica de una función lineal es una línea recta. Intentemos encontrar los puntos de la gráfica de la función y = 4x + 5.

1. Para hacer esto, tome dos valores arbitrarios de la variable x, sustitúyalos uno por uno en la función, encuentre el valor de la variable y e ingrese todo en la tabla.
2. Tomamos el valor x = 0 y lo sustituimos en la función en lugar de x - 0. Obtenemos: y = 4 * 0 + 5, es decir, y = 5 escribimos este valor en la tabla debajo de 0. De manera similar, tomamos x = 0 obtenemos y = 4 * 1 + 5, y = 9.
3. Ahora, para construir una gráfica de la función, necesitas trazar estos puntos en el plano de coordenadas. Entonces necesitas dibujar una línea recta.

Trazar una función cuadrática

Una función cuadrática es una función de la forma y = ax 2 + bx + c, donde x es una variable, a, b, c son números (a no es igual a 0). Por ejemplo: y = x 2, y = x 2 +5, y = (x-3) 2, y = 2x 2 + 3x + 5.

Para construir la función cuadrática más simple y = x 2, generalmente se toman 5-7 puntos. Tomemos los valores de la variable x: -2, -1, 0, 1, 2 y encontremos los valores de y de la misma manera que cuando trazamos la primera gráfica.

La gráfica de una función cuadrática se llama parábola. Después de construir gráficos de una función, los estudiantes tienen nuevas tareas relacionadas con el gráfico.

Ejemplo 1: encuentra la abscisa del punto de la gráfica de la función y = x 2, si la ordenada es 9. Para resolver el problema, necesitas sustituir 9 en la función en lugar de y. Obtenemos 9 = x 2 y resuelve esta ecuación. x = 3 y x = -3. Esto también se puede ver en el gráfico de funciones.

Examinar una función y graficarla

Para construir gráficos de funciones más complejas, debe seguir varios pasos destinados a estudiarlo. Esto requiere:

1. Encuentra el dominio de la función. El alcance son todos los valores que puede tomar la variable x. Del dominio de definición es necesario excluir aquellos puntos en los que el denominador se vuelve 0 o la expresión radical se vuelve negativa.
2. Configure la función para que sea par o impar. Recuerde que par es la función que cumple la condición f (-x) = f (x). Su gráfica es simétrica con respecto a Oy. La función será impar si cumple la condición f (-x) = - f (x). En este caso, la gráfica es simétrica con respecto al origen.
3. Encuentra los puntos de intersección con los ejes de coordenadas. Para encontrar la abscisa del punto de intersección con el eje Ox, es necesario resolver la ecuación f (x) = 0 (la ordenada es igual a 0). Para encontrar la ordenada del punto de intersección con el eje Oy, es necesario sustituir 0 en la función en lugar de la variable x (la abscisa es igual a 0).
4. Encuentra las asíntotas de la función. Un asyptoto es una línea recta a la que la gráfica se acerca sin cesar, pero nunca la cruza. Veamos cómo encontrar las asíntotas de la gráfica de una función.
   • Recta asíntota vertical de la forma x = a
   • La asíntota horizontal es una línea recta de la forma y = a
   • La asíntota oblicua es una línea recta de la forma y = kx + b
5. Encuentre los puntos extremos de la función, los intervalos de aumento y disminución de la función. Encontremos los puntos extremos de la función. Para hacer esto, es necesario encontrar la primera derivada y equipararla a 0. Es en estos puntos donde la función puede cambiar de creciente a decreciente. Determinemos el signo de la derivada en cada intervalo. Si la derivada es positiva, entonces la gráfica de la función aumenta, si es negativa, disminuye.
6. Encuentra los puntos de inflexión de la gráfica de la función, los intervalos de convexidad hacia arriba y hacia abajo.

Encontrar puntos de inflexión ahora es más fácil que nunca. Solo necesitas encontrar la segunda derivada, luego igualarla a cero. A continuación, encontramos el signo de la segunda derivada en cada intervalo. Si es positivo, entonces la gráfica de la función es convexa hacia abajo, si es negativa, es hacia arriba.

Este material metodológico es solo de referencia y se refiere a una amplia gama de temas. El artículo proporciona una descripción general de los gráficos de las principales funciones elementales y considera el tema más importante: cómo construir una gráfica correcta y RÁPIDAMENTE... En el curso de estudiar matemáticas superiores sin conocer las gráficas de las principales funciones elementales, será difícil, por lo que es muy importante recordar cómo se ven las gráficas de una parábola, hipérbola, seno, coseno, etc., para recordar algunos valores de las funciones. También hablaremos de algunas de las propiedades de las funciones principales.

No pretendo la integridad y minuciosidad científica de los materiales, el énfasis se hará, en primer lugar, en la práctica, aquellas cosas con las que uno tiene que tratar literalmente en cada paso, en cualquier tema de matemáticas superiores... ¿Gráficos para tontos? Se puede decir así.

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E inmediatamente comenzamos:

¿Cómo trazar correctamente los ejes de coordenadas?

En la práctica, los estudiantes casi siempre redactan las pruebas en cuadernos separados, alineados en una jaula. ¿Por qué necesitas líneas a cuadros? Después de todo, el trabajo, en principio, se puede realizar en hojas A4. Y la jaula es necesaria solo para un diseño de dibujos preciso y de alta calidad.

Cualquier dibujo de una gráfica de una función comienza con ejes de coordenadas.

Los dibujos están disponibles en 2D y 3D.

Considere primero el caso bidimensional sistema de coordenadas rectangulares cartesianas:

1) Dibujamos los ejes de coordenadas. El eje se llama abscisa y el eje es eje y ... Siempre tratamos de dibujarlos ordenado y no torcido... Las flechas tampoco deben parecerse a la barba de Papa Carlo.

2) Firmamos los ejes con letras mayúsculas "X" e "Y". No olvides firmar los ejes.

3) Establezca la escala a lo largo de los ejes: dibujar cero y dos unos... Al realizar un dibujo, la escala más conveniente y común es: 1 unidad = 2 celdas (dibujo a la izquierda); si es posible, apéguese a ella. Sin embargo, de vez en cuando sucede que el dibujo no cabe en la hoja del cuaderno, luego reducimos la escala: 1 unidad = 1 celda (dibujo a la derecha). Rara vez, pero sucede que la escala del dibujo debe reducirse (o aumentarse) aún más.

NO NECESITA "garabatear con una ametralladora" ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Porque el plano de coordenadas no es un monumento a Descartes, y el estudiante no es una paloma. Nosotros ponemos cero y dos unidades a lo largo de los ejes... Algunas veces en lugar de unidades, es conveniente "marcar" otros valores, por ejemplo, "dos" en la abscisa y "tres" en la ordenada, y este sistema (0, 2 y 3) también establecerá de forma única la cuadrícula de coordenadas.

Es mejor estimar las dimensiones estimadas del dibujo ANTES de que se construya el dibujo.... Entonces, por ejemplo, si la tarea requiere que dibuje un triángulo con vértices ,,, entonces está bastante claro que la escala popular de 1 unidad = 2 celdas no funcionará. ¿Por qué? Veamos el punto: aquí hay que medir quince centímetros hacia abajo y, obviamente, el dibujo no cabe (o apenas cabe) en una hoja de cuaderno. Por lo tanto, seleccionamos inmediatamente una escala más pequeña de 1 unidad = 1 celda.

Por cierto, sobre centímetros y celdas de cuaderno. ¿Es cierto que 30 celdas de tétrada contienen 15 centímetros? Mida en un cuaderno de interés 15 centímetros con una regla. En la URSS, quizás esto era cierto ... ¡Es interesante notar que si mides estos mismos centímetros horizontal y verticalmente, los resultados (en celdas) serán diferentes! Estrictamente hablando, los cuadernos modernos no son a cuadros, sino rectangulares. Quizás esto parezca una tontería, pero dibujar, por ejemplo, un círculo con una brújula en tales diseños es muy inconveniente. Para ser honesto, en esos momentos uno comienza a pensar en la corrección del camarada Stalin, quien fue enviado a campamentos para realizar trabajos de piratería en la producción, sin mencionar la industria automotriz nacional, la caída de aviones o la explosión de plantas de energía.

Hablando de calidad, o una breve recomendación de material de oficina. Hoy en día, la mayoría de los cuadernos están a la venta, por no decir malas palabras, llenos de homosexualidad. Por la razón que se mojan, y no solo de los bolígrafos de gel, ¡sino también de los bolígrafos! Ahorran en papel. Para el registro de pruebas, recomiendo usar los cuadernos del Arkhangelsk PPM (18 hojas, caja) o "Pyaterochka", sin embargo, es más caro. Es recomendable elegir un bolígrafo de gel, incluso el recambio de gel chino más barato es mucho mejor que un bolígrafo que mancha o rasga el papel. El único bolígrafo "competitivo" en mi memoria es "Erich Krause". Escribe de forma clara, hermosa y estable, ya sea con un núcleo completo o con uno casi vacío.

Adicionalmente: Ver un sistema de coordenadas rectangulares a través de los ojos de la geometría analítica se trata en el artículo. Dependencia (no) lineal de vectores. Base de vectores, se puede encontrar información detallada sobre los cuartos de coordenadas en el segundo párrafo de la lección Desigualdades lineales.

Caso tridimensional

Es casi lo mismo aquí.

1) Dibujamos los ejes de coordenadas. Estándar: aplicación de eje - dirigido hacia arriba, eje - dirigido a la derecha, eje - izquierda y hacia abajo estrictamente en un ángulo de 45 grados.

2) Firmamos los ejes.

3) Establezca la escala a lo largo de los ejes. Escala del eje: la mitad de la escala en otros ejes... También observe que en el dibujo de la derecha he usado un "serif" no estándar a lo largo del eje (esta posibilidad ya se ha mencionado anteriormente)... Desde mi punto de vista, esto es más preciso, más rápido y más agradable desde el punto de vista estético: no hay necesidad de buscar el centro de una celda bajo un microscopio y "esculpir" una unidad justo al lado del origen.

Cuando vuelva a dibujar en 3D, dé prioridad a la escala
1 unidad = 2 celdas (dibujo a la izquierda).

¿Para qué son todas estas reglas? Las reglas están para romperlas. Qué voy a hacer ahora. El hecho es que los dibujos posteriores del artículo los haré yo en Excel, y los ejes de coordenadas se verán incorrectos desde el punto de vista del diseño correcto. Podría dibujar todos los gráficos a mano, pero dibujarlos es realmente terrible, ya que Excel los dibujará con mucha más precisión.

Gráficos y propiedades básicas de funciones elementales

La función lineal viene dada por la ecuación. La gráfica de funciones lineales es derecho... Para construir una línea recta, basta con conocer dos puntos.

Ejemplo 1

Grafique la función. Busquemos dos puntos. Es ventajoso elegir cero como uno de los puntos.

Si entonces

Tome algún otro punto, por ejemplo, 1.

Si entonces

Al completar tareas, las coordenadas de los puntos generalmente se resumen en una tabla:

Y los valores mismos se calculan oralmente o en un borrador, calculadora.

Se encuentran dos puntos, ejecutemos el dibujo:

Al hacer un dibujo, siempre firmamos gráficos..

No será superfluo recordar casos especiales de una función lineal:

Fíjate cómo he ordenado las firmas, Las firmas no deben permitir discrepancias al estudiar el dibujo.... En este caso, era muy indeseable colocar una firma cerca del punto de intersección de las líneas o en la parte inferior derecha entre los gráficos.

1) Una función lineal de la forma () se llama proporcionalidad directa. Por ejemplo, . El gráfico proporcional directo siempre pasa por el origen. Por lo tanto, la construcción de una línea recta se simplifica: basta con encontrar un solo punto.

2) La ecuación de la forma establece una línea recta paralela al eje, en particular, el eje en sí es establecido por la ecuación. El gráfico de la función se construye inmediatamente, sin encontrar ningún punto. Es decir, el registro debe entenderse de la siguiente manera: "el juego siempre es igual a –4, para cualquier valor de x".

3) La ecuación de la forma establece una línea recta paralela al eje, en particular, el eje en sí está establecido por la ecuación. El gráfico de funciones también se construye inmediatamente. La notación debe entenderse como sigue: "x es siempre, para cualquier valor de y, es igual a 1".

Algunos preguntarán, ¿por qué recordar el sexto grado? Así es, tal vez así, solo a lo largo de los años de práctica, conocí a una docena de estudiantes que estaban perplejos ante la tarea de construir un gráfico como o.

Dibujar una línea recta es el paso más común en el dibujo.

La línea recta se considera en detalle en el curso de geometría analítica, y quienes lo deseen pueden consultar el artículo. Ecuación de una línea recta en un plano.

Gráfica de función cuadrática, cúbica, gráfica polinomial

Parábola. Gráfico de función cuadrática () es una parábola. Considere el famoso caso:

Recordemos algunas de las propiedades de la función.

Entonces, la solución a nuestra ecuación: - es en este punto donde se ubica el vértice de la parábola. Por qué esto es así, puede averiguarlo en el artículo teórico sobre la derivada y la lección sobre los extremos de una función. Mientras tanto, calculamos el valor correspondiente del "juego":

Entonces el vértice está en el punto

Ahora encontramos otros puntos, mientras usamos descaradamente la simetría de la parábola. Cabe señalar que la función – ni siquiera es, pero, sin embargo, la simetría de la parábola no se ha cancelado.

En qué orden encontrar el resto de los puntos, creo, quedará claro en la mesa final:

Este algoritmo de construcción puede denominarse en sentido figurado "lanzadera" o el principio de "ida y vuelta" con Anfisa Chekhova.

Ejecutemos el dibujo:

Un signo más útil me viene a la mente de los gráficos examinados:

Para una función cuadrática () lo siguiente es cierto:

Si, entonces las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba..

Si, entonces las ramas de la parábola se dirigen hacia abajo..

Se puede obtener un conocimiento profundo de la curva en la lección Hipérbola y Parábola.

Una parábola cúbica viene dada por una función. Aquí hay un dibujo familiar de la escuela:

Hagamos una lista de las principales propiedades de la función.

Gráfico de funciones

Representa una de las ramas de la parábola. Ejecutemos el dibujo:

Las principales propiedades de la función:

En este caso, el eje es asíntota vertical para el gráfico de la hipérbola en.

Será un GRAN error si no permite la intersección de la gráfica con la asíntota al realizar el dibujo.

También los límites unilaterales nos dicen que la hipérbola no limitado desde arriba y no limitado desde abajo.

Examinemos la función en el infinito: es decir, si comenzamos a movernos a lo largo del eje hacia la izquierda (o hacia la derecha) hasta el infinito, entonces los "juegos" serán infinitamente cerca se acercan a cero, y, en consecuencia, las ramas de la hipérbola infinitamente cerca acercarse al eje.

Entonces el eje es asíntota horizontal para la gráfica de la función, si "x" tiende a más o menos infinito.

La función es impar y, por tanto, la hipérbola es simétrica con respecto al origen. Este hecho es obvio en el dibujo, además, se verifica fácilmente analíticamente: .

La gráfica de una función de la forma () representa dos ramas de la hipérbola.

Si, entonces la hipérbola está ubicada en el primer y tercer trimestre de coordenadas.(vea la imagen de arriba).

Si, entonces la hipérbola está ubicada en los cuartos de coordenadas segundo y cuarto..

La regularidad indicada del lugar de residencia de la hipérbola es fácil de analizar desde el punto de vista de las transformaciones geométricas de los gráficos.

Ejemplo 3

Construye la rama derecha de la hipérbola.

Usamos el método de construcción punto por punto, mientras que es ventajoso seleccionar los valores para que se divida por completo:

Ejecutemos el dibujo:

No será difícil construir la rama izquierda de la hipérbola, aquí la función extraña simplemente ayudará. En términos generales, en la tabla de construcción punto por punto, agregue mentalmente un menos a cada número, coloque los puntos correspondientes y dibuje una segunda rama.

Se puede encontrar información geométrica detallada sobre la línea considerada en el artículo Hipérbola y parábola.

Gráfico de función exponencial

En esta sección, consideraré inmediatamente la función exponencial, ya que en problemas de matemáticas superiores en el 95% de los casos es la exponencial la que se encuentra.

Permítanme recordarles que, este es un número irracional: esto será necesario al crear un horario, que, de hecho, construiré sin ceremonia. Probablemente tres puntos sean suficientes:

Dejemos el gráfico de funciones solo por ahora, más sobre eso más adelante.

Las principales propiedades de la función:

En principio, las gráficas de funciones tienen el mismo aspecto, etc.

Debo decir que el segundo caso es menos común en la práctica, pero ocurre, por lo que consideré necesario incluirlo en este artículo.

Gráfico de función logarítmica

Considere una función con logaritmo natural.
Ejecutemos un dibujo punto por punto:

Si ha olvidado qué es un logaritmo, consulte los libros de texto de su escuela.

Las principales propiedades de la función:

Dominio:

Rango de valores:.

La función no está limitada desde arriba: , aunque lentamente, pero la rama del logaritmo sube hasta el infinito.
Examinemos el comportamiento de la función cerca de cero a la derecha: ... Entonces el eje es asíntota vertical para la gráfica de la función con "x" tendiendo a cero a la derecha.

Es imperativo conocer y recordar el valor típico del logaritmo.: .

En principio, la gráfica del logaritmo base tiene el mismo aspecto: ,, (logaritmo decimal en base 10), etc. Además, cuanto más grande sea la base, más plano será el gráfico.

No consideraremos el caso, por alguna razón no recuerdo la última vez que construí un gráfico con esa base. Y el logaritmo parece ser un invitado muy raro en los problemas de matemáticas superiores.

Al final del párrafo, diré sobre un hecho más: Función exponencial y función logarítmicaSon dos funciones mutuamente inversas... Si miras de cerca la gráfica del logaritmo, puedes ver que este es el mismo exponente, es solo que está ubicado un poco diferente.

Gráficos de funciones trigonométricas

¿Cómo comienza el tormento trigonométrico en la escuela? Derecha. Desde el seno

Grafiquemos la función

Esta línea se llama sinusoide.

Permítanme recordarles que "pi" es un número irracional: y en trigonometría deslumbra a los ojos.

Las principales propiedades de la función:

Esta función es periódico con un punto. ¿Qué significa? Veamos el segmento. A la izquierda y a la derecha, se repite sin cesar exactamente la misma parte del gráfico.

Dominio:, es decir, para cualquier valor de "x" hay un valor de seno.

Rango de valores:. La función es limitado:, es decir, todos los "jugadores" se sientan estrictamente en el segmento.
Esto no sucede: o, más precisamente, sucede, pero estas ecuaciones no tienen solución.

Elija un sistema de coordenadas rectangular en el plano y grafiquemos los valores del argumento en el eje de abscisas. NS, y en ordenadas - los valores de la función y = f (x).

Gráfico de funciones y = f (x) es el conjunto de todos los puntos cuyas abscisas pertenecen al dominio de la función, y las ordenadas son iguales a los valores correspondientes de la función.

En otras palabras, la gráfica de la función y = f (x) es el conjunto de todos los puntos del plano, coordenadas NS, a que satisfacen la relación y = f (x).

En la Fig. 45 y 46 son gráficas de funciones y = 2x + 1 y y = x 2 - 2x.

Estrictamente hablando, se debe distinguir entre el gráfico de la función (cuya definición matemática exacta se dio anteriormente) y la curva dibujada, que siempre da solo un bosquejo más o menos preciso del gráfico (e incluso entonces, como regla, no todo el gráfico, sino solo su parte ubicada en la parte final del plano). Sin embargo, en lo que sigue, normalmente diremos "gráfico" en lugar de "gráfico esquemático".

Usando la gráfica, puedes encontrar el valor de una función en un punto. Es decir, si el punto x = a pertenece al dominio de la función y = f (x), luego para encontrar el número f (a)(es decir, los valores de la función en el punto x = a) usted debe hacer esto. Es necesario a través de un punto con abscisa. x = a dibuja una línea recta paralela a la ordenada; esta línea intersecará la gráfica de la función y = f (x) en un punto; la ordenada de este punto será, en virtud de la definición del gráfico, igual a f (a)(figura 47).

Por ejemplo, para la función f (x) = x 2 - 2x usando la gráfica (Fig.46) encontramos f (-1) = 3, f (0) = 0, f (1) = -l, f (2) = 0, etc.

El gráfico de funciones ilustra claramente el comportamiento y las propiedades de una función. Por ejemplo, considerando la Fig. 46 está claro que la función y = x 2 - 2x toma valores positivos en NS< 0 y en x> 2, negativo - en 0< x < 2; наименьшее значение функция y = x 2 - 2x toma en x = 1.

Para trazar la función f (x) necesitas encontrar todos los puntos del plano, coordenadas NS,a que satisfacen la ecuación y = f (x)... En la mayoría de los casos, esto no se puede hacer, ya que hay infinitos puntos de este tipo. Por lo tanto, el gráfico de la función se representa de forma aproximada, con mayor o menor precisión. El más simple es el método de gráficos multipunto. Consiste en el hecho de que el argumento NS dar un número finito de valores - digamos, x 1, x 2, x 3, ..., x k y hacer una tabla que contenga los valores seleccionados de la función.

La tabla se ve así:

Habiendo compilado dicha tabla, podemos delinear varios puntos del gráfico de la función y = f (x)... Luego, conectando estos puntos con una línea suave, obtenemos una vista aproximada de la gráfica de la función y = f (x).

Sin embargo, cabe señalar que el método de trazado multipunto es muy poco fiable. De hecho, se desconoce el comportamiento de la gráfica entre los puntos designados y su comportamiento fuera del segmento entre el extremo de los puntos tomados.

Ejemplo 1... Para trazar la función y = f (x) alguien hizo una tabla de valores de argumentos y funciones:

Los cinco puntos correspondientes se muestran en la Fig. 48.

Con base en la ubicación de estos puntos, concluyó que la gráfica de la función es una línea recta (mostrada en la Fig. 48 con una línea de puntos). ¿Puede esta conclusión considerarse confiable? Si no hay consideraciones adicionales para apoyar esta conclusión, difícilmente puede considerarse confiable. de confianza.

Para fundamentar nuestra afirmación, considere la función

.

Los cálculos muestran que los valores de esta función en los puntos -2, -1, 0, 1, 2 se describen en la tabla anterior. Sin embargo, la gráfica de esta función no es en absoluto una línea recta (se muestra en la Fig. 49). Otro ejemplo es la función y = x + l + senπx; sus valores también se describen en la tabla anterior.

Estos ejemplos muestran que el método de gráficos multipunto puro no es confiable. Por lo tanto, para construir un gráfico de una función dada, como regla, proceda de la siguiente manera. Primero, estudiamos las propiedades de esta función, con la que puedes construir un boceto de la gráfica. Luego, calculando los valores de la función en varios puntos (cuya elección depende de las propiedades establecidas de la función), se encuentran los puntos correspondientes del gráfico. Y, finalmente, se dibuja una curva a través de los puntos construidos utilizando las propiedades de esta función.

Algunas propiedades (las más simples y de uso frecuente) de las funciones utilizadas para encontrar un bosquejo de un gráfico, las consideraremos más adelante, y ahora analizaremos algunos de los métodos de trazado más utilizados.

La gráfica de la función y = | f (x) |.

A menudo tienes que trazar una función y = | f (x)|, donde f (x) - función dada. Recordemos cómo se hace esto. Por la definición del valor absoluto de un número, puede escribir

Esto significa que la gráfica de la función y = | f (x) | se puede obtener del gráfico, función y = f (x) de la siguiente manera: todos los puntos de la gráfica de la función y = f (x) para los que las ordenadas no son negativas, deben dejarse sin cambios; además, en lugar de los puntos de la gráfica de la función y = f (x) con coordenadas negativas, debes construir los puntos correspondientes de la gráfica de la función y = -f (x)(es decir, parte de la gráfica de la función
y = f (x) que se encuentra debajo del eje NS, debe reflejarse simétricamente sobre el eje NS).

Ejemplo 2. Función de gráfico y = | x |.

Tomamos la gráfica de la función y = x(Fig.50, a) y parte de este gráfico en NS< 0 (acostado debajo del eje NS) reflejan simétricamente sobre el eje NS... Como resultado, obtenemos la gráfica de la función y = | x |(Figura 50, b).

Ejemplo 3... Función de gráfico y = | x 2 - 2x |.

Primero, grafiquemos la función y = x 2 - 2x. La gráfica de esta función es una parábola, cuyas ramas están dirigidas hacia arriba, el vértice de la parábola tiene coordenadas (1; -1), su gráfica interseca el eje de abscisas en los puntos 0 y 2. En el intervalo (0; 2 ), la función toma valores negativos, por lo tanto, esta parte del gráfico se refleja simétricamente sobre el eje de abscisas. La figura 51 muestra la gráfica de la función y = | x 2 -2x | basado en la gráfica de la función y = x 2 - 2x

Gráfica de la función y = f (x) + g (x)

Considere el problema de graficar la función y = f (x) + g (x). si se dan gráficas de funciones y = f (x) y y = g (x).

Tenga en cuenta que el dominio de la función y = | f (x) + g (x) | es el conjunto de todos aquellos valores de x para los que se definen ambas funciones y = f (x) e y = g (x), es decir, este dominio es la intersección de los dominios, funciones f (x) y g ( X).

Deja los puntos (x 0, y 1) y (x 0, y 2) pertenecen respectivamente a los gráficos de funciones y = f (x) y y = g (x), es decir, y 1 = f (x 0), y 2 = g (x 0). Entonces el punto (x0;. Y1 + y2) pertenece a la gráfica de la función y = f (x) + g (x)(por f (x 0) + g (x 0) = y 1 + y2),. y cualquier punto en la gráfica de la función y = f (x) + g (x) se puede obtener de esta manera. Por tanto, la gráfica de la función y = f (x) + g (x) se puede obtener a partir de gráficos de funciones y = f (x)... y y = g (x) reemplazando cada punto ( x n, y 1) gráficos de funciones y = f (x) punto (x n, y 1 + y 2), dónde y 2 = g (x n), es decir, por el desplazamiento de cada punto ( x n, y 1) gráfico de funciones y = f (x) a lo largo del eje a por la cantidad y 1 = g (x n). En este caso, solo se consideran tales puntos NS n para el que se definen ambas funciones y = f (x) y y = g (x).

Este método de graficar una función y = f (x) + g (x) se llama la suma de las gráficas de las funciones y = f (x) y y = g (x)

Ejemplo 4... En la figura, al agregar gráficos, se traza un gráfico de la función
y = x + senx.

Al trazar la función y = x + senx creímos que f (x) = x, a g (x) = senx. Para trazar el gráfico de la función, seleccione puntos con abscisas -1.5π, -, -0.5, 0, 0.5 ,, 1.5, 2. Valores f (x) = x, g (x) = senx, y = x + senx calcular en los puntos seleccionados y colocar los resultados en la tabla.

Veamos cómo explorar una función usando un gráfico. Resulta que, mirando el gráfico, puedes descubrir todo lo que nos interesa, a saber:

• dominio de función
• rango de función
• ceros de función
• intervalos de aumento y disminución
• puntos máximos y mínimos
• el valor más grande y más pequeño de la función en el segmento.

Aclaremos la terminología:

Abscisa es la coordenada horizontal del punto.
Ordenado es la coordenada vertical.
Eje de abscisas- un eje horizontal, más a menudo llamado eje.
Eje Y- eje vertical o eje.

Argumento es la variable independiente de la que dependen los valores de la función. Indicado con mayor frecuencia.
En otras palabras, nosotros mismos elegimos, sustituimos funciones en la fórmula y obtenemos.

Dominio funciones: el conjunto de esos (y solo esos) valores del argumento para el que existe la función.
Está indicado por: o.

En nuestra figura, el dominio de la función es un segmento. Es en este segmento donde se dibuja la gráfica de la función. Solo aquí existe esta función.

Rango de función es el conjunto de valores que toma una variable. En nuestra imagen, este es un segmento, desde el valor más bajo hasta el más alto.

Ceros de función- puntos donde el valor de la función es igual a cero, es decir. En nuestra figura, estos son puntos y.

Los valores de la función son positivos dónde . En nuestra figura, estos son vacíos y.
Los valores de la función son negativos dónde . Tenemos este intervalo (o intervalo) de a.

Los conceptos más importantes son función creciente y decreciente en algún set. Como conjunto, puede tomar un segmento, un intervalo, una unión de intervalos o la recta numérica completa.

Función esta incrementando

En otras palabras, cuanto más, más, es decir, el gráfico va hacia la derecha y hacia arriba.

Función disminuye sobre un conjunto si, para cualquiera y perteneciente al conjunto, la desigualdad se sigue de la desigualdad.

Para una función decreciente, un valor mayor corresponde a un valor menor. El gráfico va hacia la derecha y hacia abajo.

En nuestra figura, la función aumenta en el intervalo y disminuye en los intervalos y.

Definamos lo que es puntos máximos y mínimos de la función.

Punto máximo es un punto interno del dominio de definición, de modo que el valor de la función en él es mayor que en todos los puntos suficientemente cercanos a él.
En otras palabras, el punto máximo es tal punto, el valor de la función en la que más que en los vecinos. Este es un "montículo" local en el gráfico.

En nuestra figura, el punto máximo.

Punto mínimo- un punto interior del dominio de definición, tal que el valor de la función en él es menor que en todos los puntos suficientemente cercanos a él.
Es decir, el punto mínimo es tal que el valor de la función en él es menor que en las vecinas. Este es un "agujero" local en el gráfico.

En nuestra imagen, el punto mínimo.

El punto es el límite. No es un punto interno del dominio de definición y por lo tanto no se ajusta a la definición de un punto máximo. Después de todo, ella no tiene vecinos a la izquierda. Del mismo modo, no puede ser un punto mínimo en nuestro gráfico.

Los puntos máximos y mínimos se denominan colectivamente puntos extremos de la función... En nuestro caso, esto es y.

Y qué hacer si necesita buscar, por ejemplo, función mínima en el segmento? En este caso, la respuesta es. porque función mínima es su valor en el punto mínimo.

Asimismo, el máximo de nuestra función es. Se llega en un punto.

Podemos decir que los extremos de la función son iguales ay.

A veces en tareas necesitas encontrar valores de función más grandes y más pequeños en un segmento dado. No coinciden necesariamente con los extremos.

En nuestro caso valor de función más pequeño en el segmento es igual y coincide con el mínimo de la función. Pero su mayor valor en este segmento es igual a. Se alcanza en el extremo izquierdo del segmento de línea.

En cualquier caso, los valores más grande y más pequeño de una función continua en un segmento se logran en los puntos extremos o en los extremos del segmento.