Discurso introductorio del profesor:
Un poco de trasfondo histórico: Muchos científicos han sido aficionados a los problemas de corte desde la antigüedad. Los antiguos griegos, los chinos, encontraron soluciones a muchos problemas simples de corte, pero el primer tratado sistemático sobre este tema pertenece a la pluma de Abul-Vef. Los geómetras comenzaron a abordar seriamente el problema de cortar figuras en el menor número de piezas y luego construir otra figura a principios del siglo XX. Uno de los fundadores de esta sección fue el famoso creador de rompecabezas Henry E. Dudeney.
Hoy en día, a los amantes de los rompecabezas les gusta resolver problemas de corte primero porque no existe un método universal para resolver tales problemas, y todos los que se comprometen a resolverlos pueden mostrar completamente su ingenio, intuición y capacidad para pensar creativamente. (En la lección, indicaremos solo uno de los posibles ejemplos de corte. Se puede suponer que los estudiantes pueden obtener alguna otra combinación correcta; no tenga miedo de esto).
Se supone que esta lección debe llevarse a cabo en forma de una lección práctica. Divida a los participantes del círculo en grupos de 2-3 personas. Proporcionar a cada grupo figuras preparadas previamente por el profesor. Los estudiantes tienen una regla (con divisiones), un lápiz, tijeras. Solo se permiten cortes rectos con tijeras. Habiendo cortado alguna figura en partes, es necesario componer otra figura a partir de las mismas partes.
Tareas de corte:
1). Intenta cortar la figura que se muestra en la figura en 3 partes iguales:
Pista: Las formas pequeñas son muy similares a la letra T.
2). Ahora corta esta figura en 4 partes iguales:
Sugerencia: es fácil adivinar que las figuras pequeñas consistirán en 3 celdas, y no hay tantas figuras de tres celdas. Sólo hay dos tipos: esquina y rectángulo.
3). Divida la figura en dos partes idénticas y doble el tablero de ajedrez de las partes resultantes.
Pista: Ofrece comenzar la tarea desde la segunda parte, cómo obtener un tablero de ajedrez. Recuerda qué forma tiene un tablero de ajedrez (cuadrado). Cuente el número de celdas en largo, ancho. (Recordar que debe haber 8 celdas).
4). Pruebe con tres golpes de cuchillo para cortar el queso en ocho piezas iguales.
Consejo: intenta cortar el queso a lo largo.
Tareas para solución independiente:
1). Recorta un cuadrado de papel y haz lo siguiente:
· corte en esas 4 partes, a partir de las cuales puede hacer dos cuadrados iguales más pequeños.
córtalos en cinco partes, cuatro triángulos isósceles y un cuadrado, y dóblalos para obtener tres cuadrados.
a) Corta un triángulo arbitrario en varios pedazos para que se puedan doblar en un rectángulo.
b) Corta un rectángulo arbitrario en varios pedazos para que se puedan doblar en un cuadrado.
c) Cortar dos cuadrados arbitrarios en varias piezas para que se pueda doblar un cuadrado grande.
Pista 1
b) Primero, construya a partir de un rectángulo arbitrario un rectángulo tal, la proporción del lado mayor del cual al menor no exceda de cuatro.
c) Utilizar el teorema de Pitágoras.
Pista 2
a) Dibujar una altura o línea media.
b) Coloque un rectángulo en el cuadrado que desea obtener y dibuje una "diagonal".
c) Una los cuadrados entre sí, en el lado del cuadrado más grande, mida un segmento igual a la longitud del cuadrado más pequeño y luego conéctelo a los vértices "opuestos" de cada uno de los cuadrados (ver Fig. 1) .
Solución
a) Sea dado un triángulo arbitrario A B C. Dibujar la línea media Minnesota paralelo al lado AB, y en el triángulo resultante CMN bajemos la altura discos compactos. Además, bajamos directamente Minnesota perpendiculares Alaska Y licenciado en Derecho. Entonces es fácil ver que ∆ AKM = ∆MDL y ∆ BLN = ∆CDN como triángulos rectángulos con el par de lados y el par de ángulos correspondientes iguales.
De aquí sigue el método de cortar este triángulo y luego reorganizar las piezas. Es decir, dibujaremos cortes a lo largo de los segmentos. Minnesota Y discos compactos. Después de eso, vamos a mover los triángulos. MDL Y CDN en lugar de triangulos AKM Y BLN respectivamente, como se muestra en la Fig. 2. Tenemos un rectángulo AKLB, según lo requiera la tarea.
Tenga en cuenta que este método no funcionará si una de las esquinas TAXI o CBA- estúpido. Esto se debe a que en este caso la altura discos compactos no está dentro del triángulo CMN. Pero esto no da demasiado miedo: si dibujamos la línea media paralela al lado más largo del triángulo original, entonces en el triángulo cortado bajaremos la altura desde el ángulo obtuso, y ciertamente estará dentro del triángulo.
b) Sea un rectángulo dado A B C D, cuyos lados ANUNCIO Y AB igual a Y B respectivamente, y a > B. Entonces el área del cuadrado que queremos obtener como resultado debe ser igual a abdominales. Por lo tanto, la longitud del lado del cuadrado es √ abdominales, que es menor que ANUNCIO, pero más que AB.
Construyamos un cuadrado APQR, igual a la deseada, de modo que el punto B acostarse en el borde punto de acceso, y el punto R- en el segmento ANUNCIO. Permitir PD cruza segmentos antes de Cristo Y código QR en puntos METRO Y norte respectivamente. Entonces es fácil ver que los triángulos PBM, ALMOHADILLA Y NRD similar, y además PA = (√abdominales – B) Y RD = (a – √abdominales). Medio,
Por lo tanto, ∆ PBM = ∆NRD en dos lados y el ángulo entre ellos. También es fácil derivar las igualdades PQ = MC Y NQ = discos compactos, lo que significa que ∆ PQN = ∆MCD también en dos lados y el ángulo entre ellos.
De todo el razonamiento anterior se sigue el método de corte. Así es, primero despegamos por los lados ANUNCIO Y antes de Cristo segmentos Arkansas Y CM, cuyas longitudes son √ abdominales(sobre cómo construir segmentos de la forma √ abdominales, vea el problema "Polígonos regulares" - barra lateral en la sección "Solución"). A continuación, restablezca la perpendicular al segmento. ANUNCIO en el punto R. Ahora solo queda cortar los triángulos. MCD Y NRD y colóquelos como se muestra en la Fig. 3.
Tenga en cuenta que para utilizar este método, se requiere que el punto METRO estaba dentro del segmento BK(de lo contrario, no todo el triángulo NRD contenido dentro de un rectángulo A B C D). Es decir, es necesario que
Si no se cumple esta condición, primero debe hacer que el rectángulo dado sea más ancho y menos largo. Para hacer esto, simplemente córtelo por la mitad y mueva las piezas como se muestra en la Fig. 4. Está claro que después de tal operación, la relación entre el lado más grande y el más pequeño se reducirá cuatro veces. Entonces, haciéndolo una cantidad suficientemente grande de veces, al final obtenemos un rectángulo al que se le corta el corte de la Fig. 3.
c) Considere dos cuadrados dados A B C D Y DPQR, uniéndolos entre sí para que se crucen a lo largo del lado discos compactos cuadrado más pequeño y tenía un vértice común D. Asumiremos que PD = a Y AB = B y, como ya hemos señalado, a > B. luego por el lado DR cuadrado más grande, podemos considerar tal punto METRO, qué SRES = AB. Según el teorema de Pitágoras.
Que las rectas pasen por los puntos B Y q paralelas a rectas mq Y BM respectivamente, se cortan en el punto norte. Entonces el cuadrilátero BMQN es un paralelogramo, y como todos sus lados son iguales, es un rombo. pero ∆ BAM = ∆MRQ en tres lados, de donde se sigue (considerando que los ángulos BAM Y MRQ líneas rectas) que . De este modo, BMQN- cuadrado. Como su área es ( a 2 + B 2), entonces este es exactamente el cuadrado que necesitamos obtener.
Para proceder al corte, resta señalar que ∆ BAM = ∆MRQ = ∆bcn = ∆NPQ. Después de eso, lo que hay que hacer se vuelve obvio: es necesario cortar los triángulos. BAM Y MRQ y colóquelos como se muestra en la Fig. cinco.
Epílogo
Habiendo resuelto los problemas propuestos, muy posiblemente el lector se plantee la siguiente pregunta: ¿cuándo un polígono dado puede ser cortado por líneas rectas en un número finito de tales piezas que forman otro polígono dado? Después de pensarlo un poco, comprenderá que al menos es necesario que las áreas de estos polígonos sean iguales. Así, la pregunta original se convierte en la siguiente: ¿es cierto que si dos polígonos tienen la misma área, entonces uno de ellos se puede cortar en pedazos que forman el segundo (esta propiedad de dos polígonos se llama equiconsistencia)? Resulta que así es, y el teorema de Bolyai-Gervin, probado en los años 30 del siglo XIX, nos lo dice. Más precisamente, su redacción es la siguiente.
Teorema de Bolyai-Gervin. Dos polígonos son iguales si y solo si tienen el mismo tamaño.
La idea detrás de la demostración de este notable resultado es la siguiente. Primero, probaremos no el enunciado del teorema en sí, sino el hecho de que cada uno de los dos polígonos de igual área dados se puede cortar en pedazos que forman un cuadrado de la misma área. Para hacer esto, primero dividimos cada uno de los polígonos en triángulos (dicha partición se llama triangulación). Y luego convertimos cada triángulo en un cuadrado (por ejemplo, usando el método descrito en los párrafos a) yb) de este problema). Queda por agregar un cuadrado grande de una gran cantidad de cuadrados pequeños; podemos hacerlo gracias al punto c).
Una pregunta similar para poliedros es uno de los famosos problemas de David Hilbert (el tercero) presentado por él en un informe en el II Congreso Internacional de Matemáticos en París en 1900. Característicamente, la respuesta resultó ser negativa. Ya una consideración de dos poliedros tan simples como un cubo y un tetraedro regular muestra que ninguno de ellos puede dividirse en un número finito de partes de modo que el otro esté compuesto por ellos. Y esto no es accidental: tal corte simplemente no existe.
La solución al tercer problema de Hilbert la obtuvo uno de sus alumnos, Max Dehn, ya en 1901. Den descubrió una cantidad invariable que no cambiaba al cortar poliedros en pedazos y plegarlos en nuevas figuras. Sin embargo, este valor resultó ser diferente para algunos poliedros (en particular, el cubo y el tetraedro regular). Esta última circunstancia indica claramente el hecho de que estos poliedros no están igualmente compuestos.
Tarea 1: Un rectángulo cuyos lados son números enteros se puede cortar en figuras de la forma (el lado de la celda en la figura es igual a uno). Demuestra que se puede cortar en rectángulos de 1 × 5.
(D.~Karpov)
Solución: El área de este rectángulo es divisible por el área de la figura especificada, es decir, por 5. El área de un rectángulo es igual al producto de las longitudes de los lados. Dado que las longitudes de los lados son números enteros y 5 es un número primo, la longitud de uno de los lados debe ser divisible por 5. Dividimos este lado y el lado opuesto en segmentos de longitud 5, y los otros dos lados en segmentos de longitud 1, después de lo cual conectamos los puntos correspondientes en lados opuestos con líneas rectas. Tarea 2: Resolver Sistema de Ecuaciones en Números Reales(A.~Khrabrov)
Solución: Respuesta: el sistema tiene solución única: a = b = c = d = 0. Sumando las dos ecuaciones del sistema, obtenemos la ecuación 8a² + 9b² + 7c² + 4d² = 16ab + 8cd De las desigualdades 2ab ≤ a² + b² y 2cd ≤ c² + d² se sigue que el lado derecho de esta ecuación no es mayor que el lado izquierdo, y la igualdad solo se puede lograr si b = 0, c = 0, a = b y c = d. Por lo tanto, la única solución posible para este sistema es a = b = c = d = 0.La segunda opción se resuelve de manera similar.
Tarea 3: En el rombo ABCD, en los lados AB y BC, se toman los puntos E y F, respectivamente, tal que CF/BF = BE/AE = 1994 . Resultó que DE = DF. Encuentra el valor del ángulo EDF.
De las condiciones del problema (en ambas variantes) se sigue que BE = CF. En el lado AB, pongamos un segmento AK igual a BE. Los triángulos ADK y CDF son iguales en dos lados y ángulo (AD = CD, AK = CF, ∠ DAK = ∠ DCF). Por tanto, DK = DF = DE, es decir, el triángulo DKE es isósceles. En particular, los ángulos DKE y DEK son iguales en su base. Por lo tanto, los triángulos ADK y BDE son congruentes (en dos lados y un ángulo: AK = BE, DK = DE, ∠DKA = ∠DEB). Por lo tanto, AD \u003d BD, es decir, el triángulo ABD es equilátero. Por lo tanto, ∠ BAD = 60, ∠ ABC = 120.
(A.~Khrabrov)
Solución: Deje que el equipo A venza al equipo B en un partido con estas reglas (quizás asegurando una victoria antes de lo previsto). Esto significa que para cualquier resultado concebible de los penales restantes (no ejecutados), el equipo A habría obtenido una puntuación más alta que el equipo B. Imaginemos que los equipos continuaron lanzando penaltis después del final del partido y ejecutaron todos los penales restantes, con el equipo A no anotó más goles y el equipo B nunca volvió a fallar. Al mismo tiempo, el número total de goles marcados por A seguirá siendo mayor que el de B (esto es exactamente lo que significan las palabras "victoria temprana"). ¿Cuánto más puede ser? Solo por 1 o 2. De hecho, si la diferencia fuera más de dos, entonces la victoria del equipo A se habría vuelto inevitable incluso antes, antes de romper el último par de penales.Además, notamos que durante la continuación del partido que estamos considerando, exactamente la mitad de todos los golpes dan en la portería. Así, de los 129 pares de golpes, exactamente la mitad dio en el blanco, es decir, exactamente 129. Estos 129 goles se reparten entre A y B para que A tenga 1 o 2 más. Esto determina de forma única el número de goles marcados por el equipo A - 65.
Tarea 5: Resuelva la ecuación en números naturales:(D.~Karpov)
Solución: Esta ecuación tiene solución única: x = 2, y = 1, z = 2 (en ambos casos). Que es una solución se sigue de la identidad general a² + (2a + 1) = (a + 1)²\, aplicada en la primera versión a a = 105, y en la segunda a a = 201.No hay otras soluciones, ya que si z > 2, entonces el lado derecho de la ecuación es divisible por 8, pero el lado izquierdo no, ya que 105 x puede dar solo 1 de resto cuando se divide por 8, y 211 y solo puede dar restos 1 y 3. Resta señalar, que para z = 1 tampoco hay soluciones, mientras que para z = 2 los valores y = 1 y x = 2 están determinados unívocamente.
Para la atención de los tutores de matemáticas y docentes de diversas electivas y círculos, se ofrece una selección de entretenidos y desarrollados problemas de corte geométrico. El propósito de usar tales tareas por parte de un tutor en sus clases no es solo interesar al estudiante en combinaciones interesantes y efectivas de celdas y formas, sino también formar en él un sentido de líneas, ángulos y formas. El conjunto de tareas está dirigido principalmente a niños en los grados 4-6, aunque es posible usarlo incluso con estudiantes de secundaria. Los ejercicios requieren que los estudiantes tengan una concentración de atención alta y constante y son excelentes para desarrollar y entrenar la memoria visual. Recomendado para tutores de matemáticas que preparan a los estudiantes para los exámenes de ingreso a escuelas y clases de matemáticas que imponen demandas especiales en el nivel de pensamiento independiente y creatividad del niño. El nivel de tareas corresponde al nivel de las Olimpiadas introductorias en la "segunda escuela" del liceo (segunda escuela matemática), el pequeño Mekhmat de la Universidad Estatal de Moscú, la escuela Kurchatov, etc.
Nota del tutor de matemáticas:
En algunas soluciones de problemas, que puede visualizar haciendo clic en el puntero correspondiente, solo se indica uno de los posibles ejemplos de corte. Admito completamente que puede obtener alguna otra combinación correcta; no tenga miedo de esto. Verifique cuidadosamente la solución de su mouse y si cumple con la condición, siéntase libre de realizar la siguiente tarea.
1) Intenta cortar la figura que se muestra en la figura en 3 partes iguales:
: Las cifras pequeñas son muy similares a la letra T
2) Ahora corta esta figura en 4 partes iguales:
Sugerencia de tutor de matemáticas: Es fácil adivinar que las figuras pequeñas consistirán en 3 celdas, y no hay tantas figuras de tres celdas. Solo hay dos tipos de ellos: una esquina y un rectángulo de 1 × 3.
3) Corta esta figura en 5 partes iguales:
Halla el número de celdas de que consta cada figura. Estas figuritas se parecen a la letra G.
4) Y ahora necesitas cortar la figura de diez celdas en 4 desigual rectángulo (o cuadrado) entre sí.
Indicación de un tutor en matemáticas: Seleccione un rectángulo y luego intente ingresar tres más en las celdas restantes. Si no funciona, cambie el primer rectángulo y vuelva a intentarlo.
5) La tarea se vuelve más complicada: necesitas cortar la figura en 4 diferente en forma figuras (no necesariamente en rectángulos).
Sugerencia de tutor de matemáticas: primero dibuje por separado todo tipo de formas de diferentes formas (habrá más de cuatro) y repita el método de enumeración de opciones como en la tarea anterior.
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6) Cortar esta figura en 5 figuras de cuatro celdas de diferentes formas de manera que en cada una de ellas solo se llene una celda verde.
Sugerencia del tutor de matemáticas: Intente comenzar a cortar desde el borde superior de esta forma e inmediatamente comprenderá cómo proceder.
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7) Basado en el problema anterior. Encuentra cuántas figuras de varias formas hay, que consisten en exactamente cuatro celdas. Las figuras se pueden torcer, girar, pero es imposible levantar el sostole (desde su superficie), sobre el que se encuentra. Es decir, las dos cifras dadas no se considerarán iguales, ya que no se pueden obtener una de la otra por rotación.
Sugerencia del tutor de matemáticas: Estudia la solución del problema anterior e intenta imaginar las diferentes posiciones de estas figuras al girar. Es fácil adivinar que la respuesta de nuestro problema será el número 5 o más. (De hecho, incluso más de seis). Hay 7 tipos de figuras descritas en total.
8) Corta un cuadrado de 16 celdas en 4 partes iguales para que cada una de las cuatro partes tenga exactamente una celda verde.
Sugerencia de tutor de matemáticas: La apariencia de las figuras pequeñas no es un cuadrado o un rectángulo, y ni siquiera una esquina de cuatro celdas. Entonces, ¿en qué formas debemos tratar de cortar?
9) Corte la figura representada en dos partes para que se pueda doblar un cuadrado de las partes resultantes.
Sugerencia de tutor de matemáticas: En total, hay 16 celdas en la figura, lo que significa que el cuadrado tendrá un tamaño de 4 × 4. Y de alguna manera necesitas llenar la ventana en el medio. ¿Cómo hacerlo? ¿Quizás algún tipo de cambio? Luego, dado que la longitud del rectángulo es igual a un número impar de celdas, el corte no debe hacerse con un corte vertical, sino a lo largo de una línea discontinua. De modo que la parte superior esté cortada por un lado de las celdas intermedias y la parte inferior por el otro.
10) Corta un rectángulo de 4×9 en dos partes para que como resultado puedas agregar un cuadrado a partir de ellas.
Sugerencia de tutor de matemáticas: Hay 36 celdas en el rectángulo. Por lo tanto, el cuadrado tendrá un tamaño de 6 × 6. Dado que el lado largo consta de nueve celdas, es necesario cortar tres de ellas. ¿Cómo irá este corte?
11) La cruz de cinco celdas que se muestra en la figura debe cortarse (puede cortar las celdas mismas) en partes de las que se pueda doblar un cuadrado.
Sugerencia de tutor de matemáticas: Está claro que por más que cortemos por las líneas de las celdas, no obtendremos un cuadrado, ya que solo hay 5 celdas, esta es la única tarea en la que se permite cortar no en las celdas. No obstante, igual sería bueno dejarlas como orientación. por ejemplo, vale la pena señalar que de alguna manera necesitamos eliminar los huecos que tenemos, es decir, en las esquinas internas de nuestra cruz. ¿Como lo harias? Por ejemplo, cortar algunos triángulos que sobresalen de las esquinas exteriores de la cruz...
