Objetivos de la lección:
Didáctico:
- Nivel 1: enseñar a resolver las desigualdades logarítmicas más simples utilizando la definición del logaritmo, las propiedades de los logaritmos;
- Nivel 2: resuelve desigualdades logarítmicas eligiendo un método de solución por tu cuenta;
- Nivel 3: ser capaz de aplicar conocimientos y habilidades en situaciones no estándar.
Desarrollando: Desarrollar la memoria, la atención, el pensamiento lógico, las habilidades de comparación, ser capaz de generalizar y sacar conclusiones.
Educativo: traer a colación la precisión, la responsabilidad por la tarea realizada, la asistencia mutua.
Métodos de enseñanza: verbal , pictórico , práctico , búsqueda parcial , autogobierno , control.
Formas de organizar la actividad cognitiva de los estudiantes: frontal , individual , trabajo en parejas.
Equipo: un conjunto de elementos de prueba, notas de antecedentes, hojas en blanco para encontrar soluciones.
Tipo de lección: aprender nuevo material.
Durante las clases
1. Momento organizacional. Se anuncian el tema y los objetivos de la lección, el esquema de la lección: a cada estudiante se le entrega una hoja de evaluación, que el estudiante llena durante la lección; para cada par de estudiantes: materiales impresos con asignaciones, las asignaciones deben completarse en parejas; hojas en blanco para soluciones; hojas de soporte: definición del logaritmo; gráfico de una función logarítmica, sus propiedades; propiedades de los logaritmos; algoritmo para resolver desigualdades logarítmicas.
Todas las decisiones después de la autoevaluación se envían al maestro.
Hoja de calificaciones del estudiante
2. Actualización de conocimientos.
Instrucciones del maestro. Recuerda la definición de un logaritmo, la gráfica de una función logarítmica y sus propiedades. Para ello, lea el texto de las páginas 88–90, 98–101 del libro de texto “Álgebra y los comienzos del análisis 10–11”, editado por Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin y otros.
Los alumnos reciben hojas en las que se escribe: la definición del logaritmo; muestra un gráfico de una función logarítmica, sus propiedades; propiedades de los logaritmos; un algoritmo para resolver desigualdades logarítmicas, un ejemplo de resolución de una desigualdad logarítmica que se reduce a un cuadrado.
3. Aprendizaje de material nuevo.
La solución a las desigualdades logarítmicas se basa en la monotonicidad de la función logarítmica.
Algoritmo para resolver desigualdades logarítmicas:
A) Encuentra el dominio de la desigualdad (la expresión sublogarítmica es mayor que cero).
B) Presente (si es posible) los lados izquierdo y derecho de la desigualdad en forma de logaritmos en la misma base.
C) Determine si la función logarítmica aumenta o disminuye: si t> 1, entonces aumenta; si 0
D) Pasar a una desigualdad más simple (expresiones sublogarítmicas), teniendo en cuenta que el signo de desigualdad permanecerá si la función aumenta y cambiará si disminuye.
Elemento de aprendizaje n. ° 1.
Propósito: arreglar la solución de las desigualdades logarítmicas más simples
La forma de organizar la actividad cognitiva de los estudiantes: trabajo individual.
Tareas de autoaprendizaje durante 10 minutos. Para cada desigualdad, hay varias opciones de respuesta, debe elegir la correcta y verificar por clave.
CLAVE: 13321, número máximo de puntos - 6 pts.
Elemento de aprendizaje n. ° 2.
Propósito: corregir la solución de desigualdades logarítmicas, aplicando las propiedades de los logaritmos.
Instrucciones del maestro. Recuerda las propiedades básicas de los logaritmos. Para hacer esto, lea el texto del libro de texto en las páginas 92, 103-104.
Tareas de autoaprendizaje durante 10 minutos.
CLAVE: 2113, número máximo de puntos - 8 ptos.
Elemento de aprendizaje n. ° 3.
Objetivo: estudiar la solución de desigualdades logarítmicas por el método de reducción al cuadrado.
Instrucciones del profesor: el método para reducir la desigualdad a un cuadrado es que necesitas transformar la desigualdad a una forma tal que alguna función logarítmica sea designada por una nueva variable, obteniendo así una desigualdad cuadrada con respecto a esta variable.
Apliquemos el método de espaciado.
Has superado el primer nivel de asimilación del material. Ahora tendrá que elegir de forma independiente un método para resolver ecuaciones logarítmicas, utilizando todos sus conocimientos y capacidades.
Elemento de aprendizaje n. ° 4.
Propósito: consolidar la solución de desigualdades logarítmicas eligiendo una solución racional por sí mismas.
Tareas de autoaprendizaje durante 10 minutos
Elemento de aprendizaje n. ° 5.
Instrucciones del maestro. ¡Bien hecho! Ha dominado la resolución de ecuaciones del segundo nivel de dificultad. El propósito de su trabajo posterior es aplicar sus conocimientos y habilidades en situaciones más complejas y atípicas.
Tareas para una solución independiente:
Instrucciones del maestro. Es genial si ha hecho frente a toda la tarea. ¡Bien hecho!
La calificación de toda la lección depende de la cantidad de puntos obtenidos para todos los elementos educativos:
- si N ≥ 20, obtiene la calificación "5",
- a 16 ≤ N ≤ 19 - calificación "4",
- a 8 ≤ N ≤ 15 - grado "3",
- en N< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).
Pase la evaluación de los zorros al profesor.
5. Tarea: si no obtuvo más de 15 p - complete el trabajo sobre los errores (las soluciones se pueden tomar del profesor), si obtuvo más de 15 p - complete la tarea creativa sobre el tema “Desigualdades logarítmicas”.
Están dentro de los logaritmos.
Ejemplos:
\ (\ log_3x≥ \ log_39 \)
\ (\ log_3 ((x ^ 2-3))< \log_3{(2x)}\)
\ (\ log_ (x + 1) ((x ^ 2 + 3x-7))> 2 \)
\ (\ lg ^ 2 ((x + 1)) + 10≤11 \ lg ((x + 1)) \)
Cómo resolver desigualdades logarítmicas:
Cualquier desigualdad logarítmica debe reducirse a la forma \ (\ log_a (f (x)) ˅ \ log_a (g (x)) \) (el símbolo \ (˅ \) significa cualquiera de). Esta forma le permite deshacerse de los logaritmos y sus bases haciendo la transición a la desigualdad de expresiones bajo los logaritmos, es decir, a la forma \ (f (x) ˅ g (x) \).
Pero hay una sutileza muy importante al realizar esta transición:
\ (- \) si es un número y es mayor que 1, el signo de desigualdad permanece igual durante la transición,
\ (- \) si la base es un número mayor que 0, pero menor que 1 (se encuentra entre cero y uno), entonces el signo de la desigualdad debe invertirse, es decir
|
\ (\ log_2 ((8-x))<1\) Solución: |
\ (\ log \) \ (_ (0,5) \) \ ((2x-4) \) ≥ \ (\ log \) \ (_ (0,5) \) \ (((x + 1)) \) Solución: |
¡Muy importante! En cualquier desigualdad, la transición de la forma \ (\ log_a (f (x)) ˅ \ log_a (g (x)) \) a la comparación de expresiones bajo logaritmos se puede hacer solo si:
Ejemplo ... Resolver desigualdad: \ (\ log \) \ (≤-1 \)
Solución:
|
\ (\ Iniciar sesión \) \ (_ (\ frac (1) (3)) (\ frac (3x-2) (2x-3)) \)\(≤-1\) |
Escribamos ODZ. |
|
ODZ: \ (\ frac (3x-2) (2x-3) \) \ (> 0 \) |
|
|
\ ( \ frac (3x-2-3 (2x-3)) (2x-3) \)\(≥\) \(0\) |
Abrimos los corchetes, damos. |
|
\ ( \ frac (-3x + 7) (2x-3) \) \ (≥ \) \ (0 \) |
Multiplicamos la desigualdad por \ (- 1 \), sin olvidarnos de invertir el signo de comparación. |
|
\ ( \ frac (3x-7) (2x-3) \) \ (≤ \) \ (0 \) |
|
|
\ ( \ frac (3 (x- \ frac (7) (3))) (2 (x- \ frac (3) (2))) \)\(≤\) \(0\) |
Construyamos un eje numérico y marquemos los puntos \ (\ frac (7) (3) \) y \ (\ frac (3) (2) \ en él. Tenga en cuenta que el punto del denominador está perforado, a pesar de que la desigualdad no es estricta. El caso es que este punto no será una solución, ya que al ser sustituido por la desigualdad, nos llevará a la división por cero. |
|
|
Ahora, en el mismo eje numérico, trazamos la ODZ y escribimos en respuesta el intervalo que cae dentro de la ODZ. |
|
|
Escribimos la respuesta final. |
Ejemplo ... Resuelve la desigualdad: \ (\ log ^ 2_3x- \ log_3x-2> 0 \)
Solución:
|
\ (\ log ^ 2_3x- \ log_3x-2> 0 \) |
Escribamos ODZ. |
|
ODZ: \ (x> 0 \) |
Vayamos a la solución. |
|
Solución: \ (\ log ^ 2_3x- \ log_3x-2> 0 \) |
Tenemos ante nosotros una desigualdad típica logarítmica al cuadrado. Nosotros lo hacemos. |
|
\ (t = \ log_3x \) |
Expande el lado izquierdo de la desigualdad en. |
|
\ (D = 1 + 8 = 9 \) |
|
|
Ahora necesitas volver a la variable original - x. Para hacer esto, vaya a uno que tenga la misma solución y realice el reemplazo inverso. |
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\ (\ left [\ begin (reunido) t> 2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3x>2 \\ \ log_3x<-1 \end{gathered} \right.\) |
Convierte \ (2 = \ log_39 \), \ (- 1 = \ log_3 \ frac (1) (3) \). |
|
\ (\ left [\ begin (reunido) \ log_3x> \ log_39 \\ \ log_3x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
Hacemos la transición a la comparación de argumentos. Las bases de los logaritmos son mayores que \ (1 \), por lo que el signo de las desigualdades no cambia. |
|
\ (\ left [\ begin (reunido) x> 9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
Combinemos la solución de la desigualdad y la EDS en una figura. |
|
|
Anotemos la respuesta. |
DESIGUALDADES LOGARITMICAS EN EL USO
Sechin Mikhail Alexandrovich
Pequeña Academia de Ciencias de jóvenes estudiantes de la República de Kazajstán "Buscador"
MBOU "Escuela secundaria n ° 1 de Sovetskaya", grado 11, ciudad. Distrito de Sovetsky Sovetsky
Gunko Lyudmila Dmitrievna, profesor de MBOU "Escuela soviética №1"
Distrito soviético
Objeto del trabajo: investigación del mecanismo para resolver las desigualdades logarítmicas C3 utilizando métodos no estándar, revelando datos interesantes del logaritmo.
Tema de estudio:
3) Aprenda a resolver desigualdades logarítmicas específicas C3 utilizando métodos no estándar.
Resultados:
Contenido
Introducción ……………………………………………………………………… .4
Capítulo 1. Antecedentes ………………………………………………… ... 5
Capítulo 2. Colección de desigualdades logarítmicas ………………………… 7
2.1. Transiciones equivalentes y método generalizado de intervalos …………… 7
2.2. Método de racionalización ………………………………………………… 15
2.3. Sustitución no estándar ……………… ........................................ .. ..... 22
2.4. Misiones de trampas ………………………………………………… 27
Conclusión ………………………………………………………………… 30
Literatura……………………………………………………………………. 31
Introducción
Estoy en el 11 ° grado y planeo ingresar a una universidad donde las matemáticas son una asignatura especializada. Por lo tanto, trabajo mucho con los problemas de la parte C. En la tarea C3, necesitas resolver una desigualdad no estándar o un sistema de desigualdades, generalmente asociado con logaritmos. Mientras me preparaba para el examen, me enfrenté al problema de la falta de métodos y técnicas para resolver las desigualdades logarítmicas del examen, que se ofrecen en C3. Los métodos que se estudian en el currículo escolar sobre este tema no proporcionan una base para la resolución de las tareas C3. La profesora de matemáticas me invitó a trabajar con las tareas de C3 por mi cuenta, bajo su guía. Además, me interesaba la pregunta: ¿ocurren los logaritmos en nuestra vida?
Con esto en mente, se eligió el tema:
"Desigualdades logarítmicas en el examen"
Objeto del trabajo: investigación del mecanismo de resolución de problemas C3 utilizando métodos no estándar, revelando datos interesantes del logaritmo.
Tema de estudio:
1) Encuentra la información necesaria sobre métodos no estándar para resolver desigualdades logarítmicas.
2) Encuentre más información sobre logaritmos.
3) Aprenda a resolver problemas específicos de C3 utilizando métodos no estándar.
Resultados:
La importancia práctica radica en la expansión del aparato para resolver problemas C3. Este material se puede utilizar en algunas lecciones, para círculos, actividades extracurriculares en matemáticas.
El producto del proyecto será la colección “Desigualdades logarítmicas C3 con soluciones”.
Capítulo 1. Antecedentes
Durante el siglo XVI, el número de cálculos aproximados aumentó rápidamente, principalmente en astronomía. La mejora de los instrumentos, el estudio de los movimientos planetarios y otros trabajos requirieron cálculos colosales, a veces muchos años. La astronomía estaba en peligro real de ahogarse en cálculos incumplidos. Surgieron dificultades en otras áreas, por ejemplo, en el negocio de seguros, se necesitaban tablas de interés compuesto para varios valores de interés. La principal dificultad estuvo representada por la multiplicación, división de números de varios dígitos, especialmente cantidades trigonométricas.
El descubrimiento de los logaritmos se basó en las conocidas propiedades de las progresiones a finales del siglo XVI. Arquímedes habló sobre la conexión entre los miembros de la progresión geométrica q, q2, q3, ... y la progresión aritmética de sus exponentes 1, 2, 3, ... Otro requisito previo fue la extensión del concepto de grado a indicadores negativos y fraccionarios. Muchos autores han señalado que la multiplicación, la división, la elevación a una potencia y la extracción de una raíz se corresponden exponencialmente en aritmética - en el mismo orden - suma, resta, multiplicación y división.
Esta fue la idea detrás del logaritmo como exponente.
Han pasado varias etapas en la historia del desarrollo de la doctrina de los logaritmos.
Nivel 1
Los logaritmos fueron inventados a más tardar en 1594 de forma independiente por el barón escocés Napier (1550-1617) y diez años más tarde por el mecánico suizo Burghi (1552-1632). Ambos querían dar un nuevo medio conveniente de cálculos aritméticos, aunque abordaron este problema de diferentes maneras. Neper expresó cinemáticamente la función logarítmica y, así, entró en una nueva área de la teoría de funciones. Burghi se mantuvo sobre la base de considerar progresiones discretas. Sin embargo, la definición del logaritmo para ambos no se parece a la moderna. El término "logaritmo" (logaritmo) pertenece a Napier. Surgió de una combinación de palabras griegas: logos - "relación" y ariqmo - "número", que significa "número de relaciones". Inicialmente, Napier usó un término diferente: numeri artificiales - "números artificiales", en contraposición a numeri naturalts - "números naturales".
En 1615, en una conversación con Henry Briggs (1561-1631), profesor de matemáticas en el Gresch College de Londres, Napier propuso tomar cero para el logaritmo de uno y 100 para el logaritmo de diez, o, que se reduce a la lo mismo, simplemente 1. Así aparecieron los logaritmos decimales y se imprimieron las primeras tablas logarítmicas. Más tarde, el librero y matemático holandés Andrian Flakk (1600-1667) complementó las tablas de Briggs. Napier y Briggs, aunque llegaron a los logaritmos antes que nadie, publicaron sus tablas más tarde que otros, en 1620. Los letreros de troncos y troncos fueron introducidos en 1624 por I. Kepler. El término "logaritmo natural" fue introducido por Mengoli en 1659, seguido por N. Mercator en 1668, y el profesor de Londres John Speidel publicó tablas de logaritmos naturales de números del 1 al 1000 bajo el título "Nuevos logaritmos".
En ruso, las primeras tablas logarítmicas se publicaron en 1703. Pero en todas las tablas logarítmicas se cometieron errores en el cálculo. Las primeras tablas libres de errores se publicaron en 1857 en Berlín, procesadas por el matemático alemán K. Bremiker (1804-1877).
Etapa 2
Un mayor desarrollo de la teoría de los logaritmos se asocia con una aplicación más amplia de la geometría analítica y el cálculo del infinitesimal. El establecimiento de una conexión entre la cuadratura de una hipérbola equilátera y el logaritmo natural se remonta a esa época. La teoría de los logaritmos de este período está asociada con los nombres de varios matemáticos.
El matemático, astrónomo e ingeniero alemán Nikolaus Mercator en la composición
"Logaritmología" (1668) da una serie que da la expansión de ln (x + 1) en
poderes de x:
Esta expresión corresponde exactamente a la línea de su pensamiento, aunque él, por supuesto, no usó los signos d, ..., sino símbolos más engorrosos. Con el descubrimiento de las series logarítmicas, la técnica de cálculo de los logaritmos cambió: se empezaron a determinar mediante series infinitas. En sus conferencias "Matemáticas elementales desde el punto de vista más elevado", dictadas en 1907-1908, F. Klein sugirió usar la fórmula como punto de partida para construir la teoría de los logaritmos.
Etapa 3
Definición de una función logarítmica en función de la inversa
exponencial, logaritmo como indicador del grado de una base dada
no fue formulado de inmediato. Escrito por Leonard Euler (1707-1783)
Una introducción al análisis del infinitesimal (1748) sirvió como un
desarrollo de la teoría de la función logarítmica. Por lo tanto,
Han pasado 134 años desde que se introdujeron por primera vez los logaritmos
(contando desde 1614) antes de que los matemáticos llegaran a la definición
el concepto de logaritmo, que ahora es la base del curso escolar.
Capítulo 2. Colección de desigualdades logarítmicas
2.1. Transiciones equivalentes y método generalizado de intervalos.
Transiciones equivalentes
si a> 1
si 0 <
а <
1
Método de intervalo generalizado
Este método es el más versátil para resolver desigualdades de casi cualquier tipo. El esquema de la solución se ve así:
1. Reducir la desigualdad a la forma donde se encuentra la función en el lado izquierdo 
, y a la derecha 0.
2. Encuentra el dominio de la función .
3. Encuentra los ceros de la función. , es decir, para resolver la ecuación 
(y resolver una ecuación suele ser más fácil que resolver una desigualdad).
4. Dibuja el dominio y los ceros de la función en la recta numérica.
5. Determina los signos de la función. a los intervalos obtenidos.
6. Seleccione los intervalos en los que la función toma los valores requeridos y escriba la respuesta.
Ejemplo 1.
Solución:
Apliquemos el método de espaciado
dónde
Para estos valores, todas las expresiones bajo el signo de los logaritmos son positivas.
Respuesta:
Ejemplo 2.
Solución:
1er camino . ODZ se define por la desigualdad X> 3. Tomando el logaritmo para tal X base 10, obtenemos
La última desigualdad podría resolverse aplicando las reglas de descomposición, es decir comparando los factores a cero. Sin embargo, en este caso, es fácil determinar los intervalos de constancia de la función
por lo tanto, se puede aplicar el método de espaciado.
Función F(X) = 2X(X- 3,5) lgǀ X- 3ǀ es continuo en X> 3 y desaparece en puntos X 1 = 0, X 2 = 3,5, X 3 = 2, X 4 = 4. Así, definimos los intervalos de constancia de la función F(X):
Respuesta:
2do camino . Apliquemos las ideas del método de intervalos directamente a la desigualdad original.
Para hacer esto, recuerde que las expresiones a B - a c y ( a - 1)(B- 1) tener un letrero. Entonces nuestra desigualdad para X> 3 es equivalente a la desigualdad
o
La última desigualdad se resuelve mediante el método de intervalos.
Respuesta:
Ejemplo 3.
Solución:
Apliquemos el método de espaciado
Respuesta:
Ejemplo 4.
Solución:
Desde 2 X 2 - 3X+ 3> 0 para todo real X, luego
Para resolver la segunda desigualdad, usamos el método de intervalos
En la primera desigualdad, hacemos el reemplazo
luego llegamos a la desigualdad 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y que satisfacen la desigualdad -0.5< y < 1.
Donde, desde
obtenemos la desigualdad
que se lleva a cabo con aquellos X para los cuales 2 X 2 - 3X - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Ahora, teniendo en cuenta la solución de la segunda desigualdad del sistema, finalmente obtenemos
Respuesta:
Ejemplo 5.
Solución:
La desigualdad es equivalente a un conjunto de sistemas
o
Apliquemos el método de intervalos o
Respuesta:
Ejemplo 6.
Solución:
La desigualdad es equivalente al sistema
Permitir
luego y > 0,
y la primera desigualdad
el sistema toma la forma
o expandiendo
trinomio cuadrado por factores,
Aplicando el método de intervalos a la última desigualdad,
vemos que sus soluciones satisfacen la condición y> 0 será todo y > 4.
Por tanto, la desigualdad original es equivalente al sistema:
Entonces, las soluciones a la desigualdad son todas
2.2. Método de racionalización.
Anteriormente, el método de racionalización de la desigualdad no se resolvía, no se conocía. Este es "un nuevo método moderno y efectivo para resolver desigualdades exponenciales y logarítmicas" (cita del libro de S. I. Kolesnikova)
E incluso si el maestro lo conocía, había aprensión: ¿el examinador lo conoce y por qué no se le da en la escuela? Hubo situaciones en las que el maestro le dijo al alumno: "¿Dónde lo conseguiste? Siéntate - 2."
El método ahora se promueve ampliamente. Y para los expertos existen pautas asociadas a este método, y en las "Ediciones más completas de las opciones estándar ..." en la solución C3 se utiliza este método.
¡MÉTODO MARAVILLOSO!
"Mesa mágica"
En otras fuentes
si a> 1 y b> 1, entonces log a b> 0 y (a -1) (b -1)> 0;
si a> 1 y 0 si 0<a<1 и b
>1, luego registre a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
si 0<a<1 и 00 y (a -1) (b -1)> 0. El razonamiento anterior es simple, pero simplifica notablemente la solución de desigualdades logarítmicas. Ejemplo 4.
log x (x 2-3)<0
Solución:
Ejemplo 5.
log 2 x (2x 2 -4x +6) ≤ log 2 x (x 2 + x) Solución: Ejemplo 6.
Para resolver esta desigualdad, en lugar del denominador, escribiremos (x-1-1) (x-1), y en lugar del numerador, escribiremos el producto (x-1) (x-3-9 + x ). Ejemplo 7.
Ejemplo 8.
2.3. Sustitución no estándar. Ejemplo 1.
Ejemplo 2.
Ejemplo 3.
Ejemplo 4.
Ejemplo 5.
Ejemplo 6.
Ejemplo 7.
log 4 (3 x -1) log 0,25 Hagamos la sustitución y = 3 x -1; entonces esta desigualdad toma la forma Log 4 log 0,25 Porque log 0,25 Hacemos el cambio t = log 4 y y obtenemos la desigualdad t 2 -2t + ≥0, cuya solución son los intervalos - Por lo tanto, para encontrar los valores de y, tenemos un conjunto de dos desigualdades más simples Por lo tanto, la desigualdad original es equivalente a la colección de dos desigualdades exponenciales, La solución a la primera desigualdad de este conjunto es el intervalo 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Ejemplo 8.
Solución:
La desigualdad es equivalente al sistema La solución a la segunda desigualdad, que determina la DHS, será el conjunto de aquellos X,
para cual X > 0.
Para resolver la primera desigualdad, hacemos la sustitución Entonces obtenemos la desigualdad o El conjunto de soluciones de la última desigualdad se encuentra mediante el método intervalos: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной X, obtenemos o Muchos de esos X que satisfacen la última desigualdad pertenece a ODZ ( X> 0), por lo tanto, es una solución al sistema y de ahí la desigualdad original. Respuesta: 2.4. Tareas con trampas. Ejemplo 1.
Solución. Las desigualdades de ODZ son todas x que satisfacen la condición 0 Ejemplo 2.
log 2 (2 x + 1-x 2)> log 2 (2 x-1 + 1-x) +1.
Respuesta... (0; 0,5) U.
Respuesta :
(3;6)
.
= -log 4 = - (log 4 y -log 4 16) = 2-log 4 y, luego reescribe la última desigualdad como 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
La solución a este conjunto son los intervalos 0<у≤2 и 8≤у<+.
es decir, los agregados 
... Por lo tanto, la desigualdad original se cumple para todos los valores de x de los intervalos 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
... Por tanto, toda x del intervalo 0
Conclusión
No fue fácil encontrar métodos especiales para resolver problemas C3 a partir de la gran abundancia de diferentes fuentes educativas. En el curso del trabajo realizado, pude estudiar métodos no estándar para resolver desigualdades logarítmicas complejas. Estos son: transiciones equivalentes y el método generalizado de intervalos, el método de racionalización , sustitución no estándar , tareas con trampas en la ODZ. Estos métodos están ausentes en el plan de estudios de la escuela.
Utilizando diferentes métodos, resolví 27 desigualdades propuestas en el examen en la parte C, a saber, C3. Estas desigualdades con soluciones por métodos formaron la base de la colección "Desigualdades logarítmicas C3 con soluciones", que se convirtió en un proyecto producto de mi trabajo. Se confirmó la hipótesis que planteé al inicio del proyecto: las tareas del C3 se pueden resolver eficazmente, conociendo estos métodos.
Además, encontré datos interesantes sobre logaritmos. Fue interesante para mí hacerlo. Mis productos de diseño serán útiles tanto para estudiantes como para profesores.
Conclusiones:
Por lo tanto, se ha logrado el objetivo establecido del proyecto, se ha resuelto el problema. Y obtuve la experiencia más completa y versátil en actividades de proyectos en todas las etapas del trabajo. En el curso del trabajo en el proyecto, mi principal impacto en el desarrollo fue la competencia mental, las actividades relacionadas con las operaciones mentales lógicas, el desarrollo de la competencia creativa, la iniciativa personal, la responsabilidad, la perseverancia, la actividad.
Una garantía de éxito a la hora de crear un proyecto de investigación para Me he convertido en: experiencia escolar significativa, la capacidad de extraer información de diversas fuentes, verificar su confiabilidad, clasificarla por importancia.
Además del conocimiento directo de la asignatura en matemáticas, amplió sus habilidades prácticas en el campo de la informática, adquirió nuevos conocimientos y experiencia en el campo de la psicología, estableció contactos con compañeros de clase y aprendió a cooperar con adultos. En el transcurso de las actividades del proyecto, se desarrollaron habilidades y destrezas educativas generales organizativas, intelectuales y comunicativas.
Literatura
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Sistemas de desigualdades con una variable (tareas típicas C3).
2. Malkova A. G. Preparación para el examen de matemáticas.
3. Samarova SS Solución de desigualdades logarítmicas.
4. Matemáticas. Colección de trabajos de formación editada por A.L. Semyonova e I.V. Yashchenko. -M.: MTsNMO, 2009 .-- 72 p. -
Entre toda la variedad de desigualdades logarítmicas, las desigualdades con base variable se estudian por separado. Se resuelven usando una fórmula especial, que por alguna razón rara vez se dice en la escuela:
log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) - g (x)) (k (x) - 1) ∨ 0
En lugar de la casilla de verificación "∨", puede poner cualquier signo de desigualdad: más o menos. Lo principal es que en ambas desigualdades los signos son los mismos.
Entonces nos deshacemos de los logaritmos y reducimos el problema a la desigualdad racional. Este último es mucho más fácil de resolver, pero al eliminar logaritmos, pueden aparecer raíces innecesarias. Para cortarlos, basta con encontrar el rango de valores aceptables. Si ha olvidado el ODZ del logaritmo, le recomiendo encarecidamente que lo repita; consulte "Qué es un logaritmo".
Todo lo relacionado con el rango de valores permitidos debe escribirse y resolverse por separado:
f (x)> 0; g (x)> 0; k (x)> 0; k (x) ≠ 1.
Estas cuatro desigualdades constituyen un sistema y deben cumplirse simultáneamente. Cuando se encuentra el rango de valores aceptables, queda cruzarlo con la solución de la desigualdad racional, y la respuesta está lista.
Tarea. Resuelve la desigualdad:
Primero, escribamos el ODZ del logaritmo:
Las dos primeras desigualdades se cumplen de forma automática, y será necesario describir la última. Dado que el cuadrado de un número es cero si y solo si el número en sí es cero, tenemos:
x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.
Resulta que la ODZ del logaritmo son todos los números excepto cero: x ∈ (−∞ 0) ∪ (0; + ∞). Ahora resolvemos la principal desigualdad:
Realizamos la transición de una desigualdad logarítmica a una racional. En la desigualdad original hay un signo "menos", lo que significa que la desigualdad resultante también debe tener un signo "menos". Tenemos:
(10 - (x 2 + 1)) (x 2 + 1 - 1)< 0;
(9 - x 2) x 2< 0;
(3 - x) (3 + x) x 2< 0.
Los ceros de esta expresión: x = 3; x = −3; x = 0. Además, x = 0 es una raíz de la segunda multiplicidad, lo que significa que al pasar por ella, el signo de la función no cambia. Tenemos:
Obtenemos x ∈ (−∞ −3) ∪ (3; + ∞). Este conjunto está completamente contenido en la ODZ del logaritmo, lo que significa que esta es la respuesta.
Transformación de desigualdades logarítmicas
A menudo, la desigualdad original difiere de la anterior. Es fácil solucionarlo de acuerdo con las reglas estándar para trabajar con logaritmos; consulte "Propiedades básicas de los logaritmos". A saber:
- Cualquier número puede representarse como un logaritmo con una base determinada;
- La suma y la diferencia de logaritmos con las mismas bases se pueden reemplazar con un logaritmo.
También me gustaría recordarles el rango de valores aceptables. Dado que la desigualdad original puede contener varios logaritmos, es necesario encontrar el ODV para cada uno de ellos. Por tanto, el esquema general para resolver desigualdades logarítmicas es el siguiente:
- Encuentre el ODV de cada logaritmo incluido en la desigualdad;
- Reducir la desigualdad a la estándar según las fórmulas de suma y resta de logaritmos;
- Resuelva la desigualdad resultante de acuerdo con el esquema anterior.
Tarea. Resuelve la desigualdad:
Encontremos el dominio de definición (ODZ) del primer logaritmo:
Resolvemos por el método de intervalos. Encuentra los ceros del numerador:
3x - 2 = 0;
x = 2/3.
Entonces - los ceros del denominador:
x - 1 = 0;
x = 1.
Marcamos los ceros y los signos en la flecha de coordenadas:
Obtenemos x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; + ∞). El segundo logaritmo de ODV será el mismo. Si no lo cree, puede comprobarlo. Ahora transformamos el segundo logaritmo para que haya un dos en la base:
Como puede ver, los tripletes en la base y delante del logaritmo se han contraído. Recibió dos logaritmos con la misma base. Los agregamos:
log 2 (x - 1) 2< 2;
log 2 (x - 1) 2< log 2 2 2 .
Recibió la desigualdad logarítmica estándar. Eliminamos los logaritmos mediante la fórmula. Dado que la desigualdad original contiene un signo menor que, la expresión racional resultante también debe ser menor que cero. Tenemos:
(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2) (2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x - 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).
Tenemos dos juegos:
- ODZ: x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; + ∞);
- Respuesta del candidato: x ∈ (−1; 3).
Queda por cruzar estos conjuntos, obtenemos la respuesta real:
Estamos interesados en la intersección de conjuntos, así que seleccione los intervalos rellenados en ambas flechas. Obtenemos x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) - todos los puntos están perforados.
Resolviendo desigualdades logarítmicas, usamos la propiedad de monotonicidad de la función logarítmica. También usamos la definición de un logaritmo y fórmulas logarítmicas básicas.
Recapitulemos qué son los logaritmos:
Logaritmo un número base positivo es un indicador del grado en el que necesitas subir para poder conseguirlo.
Donde
Identidad logarítmica básica:
Fórmulas básicas para logaritmos:
(El logaritmo del producto es igual a la suma de los logaritmos)
(El logaritmo del cociente es igual a la diferencia entre los logaritmos)
(Fórmula para el logaritmo de potencia)
La fórmula para la transición a una nueva base:
Algoritmo para resolver desigualdades logarítmicas
Podemos decir que las desigualdades logarítmicas se resuelven según un determinado algoritmo. Necesitamos escribir el rango de valores aceptables (ADV) de la desigualdad. Reducir la desigualdad a la forma El signo aquí puede ser cualquiera: Es importante que la izquierda y la derecha en la desigualdad sean los logaritmos en la misma base.
¡Y después de eso "descartamos" los logaritmos! Además, si la base es el grado, el signo de desigualdad sigue siendo el mismo. Si la base es tal que el signo de desigualdad se invierte.
Por supuesto, no simplemente "descartamos" los logaritmos. Usamos la propiedad de monotonicidad de la función logarítmica. Si la base del logaritmo es mayor que uno, la función logarítmica aumenta monótonamente, y luego un valor mayor de x corresponde a un valor mayor de la expresión.
Si la base es mayor que cero y menor que uno, la función logarítmica disminuye monótonamente. Un valor mayor del argumento x corresponderá a un valor menor
Nota importante: es mejor escribir la solución como una cadena de transiciones equivalentes.
Pasemos a la práctica. Como siempre, comencemos con las desigualdades más simples.
1. Considere la desigualdad log 3 x> log 3 5.
Dado que los logaritmos solo se definen para números positivos, x debe ser positivo. La condición x> 0 se denomina rango de valores admisibles (ADV) de esta desigualdad. Solo para tal x tiene sentido la desigualdad.
Bueno, esta redacción suena elegante y fácil de recordar. Pero, ¿por qué podemos hacerlo de todos modos?
Somos seres humanos, tenemos inteligencia. Nuestra mente está diseñada de tal manera que todo lo que es lógico, comprensible y tiene una estructura interna se recuerda y se aplica mucho mejor que los hechos aleatorios y no relacionados. Por eso es importante no memorizar mecánicamente las reglas, como un perro matemático adiestrado, sino actuar conscientemente.
Entonces, ¿por qué estamos “descartando logaritmos” de todos modos?
La respuesta es simple: si la base es mayor que uno (como en nuestro caso), la función logarítmica aumenta monótonamente, lo que significa que un valor mayor de x corresponde a un valor mayor de y, y de la desigualdad log 3 x 1> log 3 x 2 se sigue que x 1> x 2. 
Tenga en cuenta que hemos pasado a una desigualdad algebraica y el signo de desigualdad sigue siendo el mismo.
Entonces x> 5.
La siguiente desigualdad logarítmica también es simple.
2.log 5 (15 + 3x)> log 5 2x
Comencemos con el rango de valores válidos. Los logaritmos solo se definen para números positivos, por lo que
Resolviendo este sistema, obtenemos: x> 0.
Ahora pasaremos de la desigualdad logarítmica a la algebraica - "descartaremos" los logaritmos. Dado que la base del logaritmo es mayor que uno, se conserva el signo de la desigualdad.
15 + 3x> 2x.
Obtenemos: x> −15.
Respuesta: x> 0.
¿Qué sucede si la base del logaritmo es menor que uno? Es fácil adivinar que en este caso, al pasar a una desigualdad algebraica, el signo de la desigualdad cambiará.
Pongamos un ejemplo.
Anotemos la ODZ. Las expresiones de las que se toman los logaritmos deben ser positivas, es decir,
Resolviendo este sistema, obtenemos: x> 4.5.
Dado que, la función logarítmica con la base disminuye monótonamente. Esto significa que un valor mayor de la función corresponde a un valor menor del argumento: 
Y si entonces
2x - 9 ≤ x.
Obtenemos x ≤ 9.
Considerando que x> 4.5, escribimos la respuesta:
En el siguiente problema, la desigualdad exponencial se reduce al cuadrado. Por eso recomendamos repetir el tema "desigualdades cuadradas".
Ahora para desigualdades más complejas:
4. Resuelve la desigualdad
5. Resuelve la desigualdad
Si, entonces. ¡Fuimos suertudos! Sabemos que la base del logaritmo es mayor que uno para todos los valores de x incluidos en el ODV.
Hagamos un reemplazo
Tenga en cuenta que primero resolvemos completamente la desigualdad con respecto a la nueva variable t. Y solo después de eso volvemos a la variable x. ¡Recuerda esto y no cometas errores en el examen!
Recordemos la regla: si la ecuación o desigualdad contiene raíces, fracciones o logaritmos, la solución debe iniciarse desde el rango de valores permitidos. Dado que la base del logaritmo debe ser positiva y no igual a uno, obtenemos un sistema de condiciones:
Simplifiquemos este sistema:
Este es el rango de valores válidos para la desigualdad.
Vemos que la variable está contenida en la base del logaritmo. Pasemos a la base permanente. Recordar que
En este caso conviene pasar a la base 4.
Hagamos un reemplazo
Simplifiquemos la desigualdad y resolvamos por el método de intervalos:
Volvamos a la variable X:
Hemos agregado la condición X> 0 (de ODZ).
7. El siguiente problema también se resuelve utilizando el método de intervalos.
Como siempre, comenzamos a resolver la desigualdad logarítmica a partir del rango de valores admisibles. En este caso
Esta condición debe cumplirse y volveremos a ella. Considere por ahora la desigualdad en sí. Escribamos el lado izquierdo como logaritmo en base 3:
El lado derecho también se puede escribir como un logaritmo de base 3, y luego ir a la desigualdad algebraica:
Vemos que la condición (es decir, ODZ) ahora se cumple automáticamente. Bueno, eso hace que sea más fácil resolver la desigualdad.
Resolvemos la desigualdad usando el método de intervalo:
Respuesta:
¿Sucedió? Bueno, aumentamos el nivel de dificultad:
8. Resuelve la desigualdad:
La desigualdad es equivalente al sistema:
9. Resuelve la desigualdad:
Expresión 5 - X 2 se repite de manera intrusiva en el enunciado del problema. Esto significa que puede hacer un reemplazo:
Dado que la función exponencial solo toma valores positivos, t> 0. Entonces
La desigualdad tomará la forma:
Mejor ahora. Encontremos el rango de valores admisibles de la desigualdad. Ya hemos dicho que t> 0. Además, ( t- 3) (5 9 t − 1) > 0
Si se cumple esta condición, el cociente también será positivo.
Y también la expresión debajo del logaritmo en el lado derecho de la desigualdad debe ser positiva, es decir, (625 t − 2) 2 .
Esto significa que 625 t- 2 ≠ 0, es decir
Escribiremos cuidadosamente el ODZ
y resuelva el sistema resultante utilizando el método de intervalos.
Entonces,
Bueno, la mitad de la batalla ha terminado, nos hemos ocupado de la ODZ. Resolviendo la desigualdad en sí. La suma de los logaritmos del lado izquierdo se representa como el logaritmo del producto.
