Anteriormente estudiamos qué son los números naturales y qué propiedades existen para poder realizar la resta. Este artículo presenta las reglas básicas que nos ayudarán a realizar la resta. números naturales. Para que la información sea clara y se recuerde rápidamente, hemos proporcionado el material teórico con ejercicios detallados y ejemplos típicos.
¿Cómo se relacionan la suma y la resta?
La suma y la resta están estrechamente relacionadas. La resta es la inversa de la suma. Para comprender esta información, considere un ejemplo detallado.
Imaginemos que como resultado de agregar objetos C Y b, obtenemos el artículo a. Basándonos en los conceptos básicos de la suma de números naturales, podemos concluir que c + b = a. Si usamos la propiedad conmutativa de la suma, podemos transformar la igualdad resultante como segundo + c = un. Concluimos que si restamos de un b, entonces permanecerá C. Esta igualdad a − b = c se considerará justa. Por analogía, encontramos que al restar el número de un C, entonces permanecerá b, eso es, a − c = segundo.
Gracias al ejemplo que vimos arriba, podemos concluir que si la suma de los números C Y b igual a a, entonces el número C es la diferencia de números naturales b, y el número b– diferencia de números a Y C. Eso es, c = una - segundo Y segundo = un - c, Si c + b = a.
Transformemos esta afirmación y obtengamos una regla importante.
Definición 1
Si la suma de dos números C Y b igual a a, entonces la diferencia a-c igual a b, y la diferencia un - segundo igual a C.
Ahora podemos ver claramente que la suma y la resta están inextricablemente vinculadas. A partir de este hecho, se puede derivar el concepto.
Definición 2
Sustracción es una acción mediante la cual se encuentra un término cuando se conoce la suma y el otro término.
Esta definición se utiliza a menudo en varios ejemplos y tareas.
A menudo se puede utilizar una tabla de suma para encontrar la suma de dos números y encontrar un término si se conocen la suma y el otro término.
Veamos esta afirmación con un ejemplo. Considere un ejercicio en el que necesita encontrar un término desconocido si sabe que el segundo término es igual a 5 , y la suma es igual 8 .
Esto se puede hacer de dos formas. Usemos una ilustración gráfica en la que los números conocidos están resaltados en rojo y los números encontrados en azul.
Consideremos varias formas.
Primera manera. Es necesario encontrar una fila en la tabla, el término conocido se encuentra en la celda más a la izquierda (tomar numero conocido 5). Después de esto, necesitas encontrar la columna que se cruza con la fila encontrada en la celda. Esta línea debe contener una cantidad conocida (según el ejemplo, el número 8 ). El número que necesitamos encontrar se encuentra en la celda superior de la columna encontrada. Concluimos que el número 3 – eh entonces este es el término requerido.
Segunda vía. Es necesario encontrar una columna en la tabla de suma en cuya celda superior se encuentre el término conocido. Encontramos una línea que se cruza con una columna conocida en una celda que corresponde a una cantidad conocida. Concluimos que el término que es necesario encontrar se encuentra en la celda más a la izquierda de esta fila.
Como sabemos que la suma y la resta están estrechamente relacionadas, esta tabla también se puede utilizar para encontrar la diferencia de números naturales. Veamos esta teoría en detalle usando un ejemplo.
Imagina que necesitas restar el número 7 del número 16 . Concluimos que la resta se reduce a encontrar el número que suma el número 7 dará un número 16 . Usemos la tabla usada arriba.
Restando del número 16 número 7 , obtenemos la diferencia requerida 9 .
Para utilizar esta tabla, le recomendamos que memorice la información y lleve el proceso de búsqueda de números de la tabla al automatismo.
Cómo restar dígitos de números
Usando la tabla de suma que comentamos anteriormente, puedes restar decenas de decenas, centenas de centenas, miles de miles. Así como podemos trabajar fácilmente con números primos, también, por analogía, podemos restar decenas y centenas. Por ejemplo, 6cientos menos 2 centenas son iguales 4 cientos, es decir, 600 − 200 = 400 . También podemos utilizar la tabla en otros casos.
Si recordamos que cien son 10 decenas, mil son 10 centenas, entonces podemos calcular la diferencia de decenas, centenas, millares y otros números.
Veamos un ejemplo.
Ejemplo 2
100 − 70 .
Convierte números en decenas. Obtenemos diez decenas y siete decenas. De la tabla de sumas obtenemos 10 − 7 = 3 , entonces la diferencia 10 decenas y 7 decenas es igual 3 docenas, es decir, 100 − 70 = 30 .
Ejemplo 3
Es necesario calcular la diferencia. 100 000 − 80 000 .
Porque 100 000 - Este 10 decenas de miles, y 80.000 es 8 decenas de miles y 10 − 8 = 2 . lo entendemos 100 000 − 80 000 = 20 000 .
Restar un número natural de una suma de números
Para encontrar la diferencia entre la suma de dos números y un número, primero debes calcular la suma de la cual se resta el número. Para simplificar el proceso de resta, puedes utilizar una determinada propiedad de la resta. Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo 4
Hay que restarle la cantidad 50 + 8 número natural 20 .
Suma 50 + 8 – esta es la cantidad términos de bits números 58 . Estamos buscando soluciones. Usamos la regla de resta anterior: desde 20 < 50 , entonces la igualdad es verdadera (50 + 8) − 20 = (50 − 20) + 8 . Podemos concluir que 50 − 20 = 30 ( 5 decenas – 2 decenas), entonces (50 − 20) + 8 = 30 + 8 . El número requerido es 38.
La solución se puede representar como una cadena de igualdades: (50 + 8) − 20 = (50 − 20) + 8 = 30 + 8 = 38 .
Ejemplo 5
Hay que restarle la cantidad 21 + 8 número 3 . Al igual que 3 < 21 Y 3 < 8 , entonces las igualdades (21 + 8) − 3 = (21 − 3) + 8 y (21 + 8) − 3 = 21 + (8 − 3) son válidas.
Elijamos la opción de cálculo más adecuada. Resta del número menor. en el ejemplo 8 < 21 . Entonces, (21 + 8) − 3 = 21 + (8 − 3) = 21 + 5 = 26 .
Compliquemos el ejemplo. Es necesario calcular la diferencia del número. 20 de la cantidad 20 000 + 6 000 + 300 + 50 + 1 . Usemos la propiedad de la resta que aprendimos anteriormente.
Calcular la diferencia es bastante fácil: (20.000 + 6.000 + 300 + 50 + 1) − 20 = 20.000 + 6.000 + 300 + (50 − 20) + 1 = = 20.000 + 6.000 + 300 + 30 + 1 = 26.331.
Veamos la solución a otro ejemplo: (107 + 42 + 9) − 3 = 107 + 42 + (9 − 3) = 107 + 42 + 6 = 155 .
Restar la suma de números de un número natural
Definición 2para restar la cantidad dos números de un número natural, es necesario calcular la suma y luego realizar la resta.
Puede utilizar la propiedad de resta proporcionada anteriormente. Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo 6
Es necesario restar del número. 100 cantidad 90 + 8 .
Según la propiedad obtenemos: 100 − (90 + 8) = (100 − 90) − 8 . Encontramos 100 − 90 = 10 .
Imaginemos el cálculo como: (100 − 90) − 8 = 10 − 8 = 2 .
Ejemplo 7
Es necesario encontrar la diferencia del número. 17 y sumas de números 8 Y 4 .
Obtenemos eso: 17 − (8 + 4) = (17 − 8) − 4 . Usamos la tabla y encontramos que 17 − 8 = 9, entonces (17 − 8) − 4 = 9 − 4 = 5 . La solución se puede escribir brevemente como: 17 − (8 + 4) = (17 − 8) − 4 = 9 − 4 = 5 .
El lado derecho de la igualdad a − (b + c) = (a − b) - c a veces escrito como un - (segundo + c) = un - segundo - c. En este caso se da a entender que a − b − c = (a − b) − c. Diferencia 15 − (7 + 2) uno puede imaginarse como 15 − 7 − 2 . Calcula la diferencia: resta el número de 15 7. Sustraer 2 del resultado obtenido.
De este modo, 15 − (7 + 2) = 15 − 7 − 2 = 8 − 2 = 6 .
Usando la propiedad de la resta y la propiedad combinatoria de la suma, puedes encontrar la diferencia entre la suma de dos, tres o más números.
Ejemplo 8
Necesitas restar de un número. 1 000 suma de tres números de la forma 900 + 90 + 1 .
Cantidad 900 + 90 + 1 imaginemos como 900 Y 90 + 1 , es decir, 900 + 90 + 1 = 900 + (90 + 1) (consulte la sección correspondiente para una mejor comprensión). Usamos la propiedad de resta aprendida anteriormente: 1 000 − (900 + (90 + 1)) = (1 000 − 900) − (90 + 1) . Dado que 1000 − 900 = 100, entonces (1000 − 900) − (90 + 1) = 100 − (90 + 1). Reste la cantidad del número: 100 − (90 + 1) = (100 − 90) − 1 = 10 − 1 = 9 .
Una versión corta de la solución es: 1000 − (900 + 90 + 1) = (1000 − 900) − (90 + 1) = 100 − (90 + 1) = (100 − 90) − 1 = 10 − 1 = 9
Diferencia 1 000 − (900 + 90 + 1) también puede parecer ((1 000 − 900) − 90) − 1 . Otra forma de escribir esto es como 1 000 − 900 − 90 − 1 . En estos casos, primero se encuentra la diferencia de los dos primeros números, luego se resta el tercer número al resultado obtenido, y así sucesivamente.
Ejemplo 9
Es necesario restar del número. 20 la suma de los números 10, 4, 3 y 1 . Obtenemos eso: 20 − (10 + 4 + 3 + 1) = 20 − 10 − 4 − 3 − 1 = 10 − 4 − 3 − 1 = 6 − 3 − 1 = 3 − 1 = 2 .
Restar unidades de decenas, centenas y miles.
Del numero 10 cualquier número de 1 antes 9 . Usamos la tabla presentada arriba. ¿Pero qué hacer en otros casos? Es necesario representar el minuendo como la suma de dos términos, uno de los cuales es igual 10 , luego réstalo de la cantidad. Consolidemos nuestro conocimiento del material con un ejemplo:
Ejemplo 10
Debe restarse de 60 número 5 .
Número 60 representarlo como la suma de dos números, uno de los cuales es igual 10 . Hallamos el segundo número restando de 60 número 10 . Porque 60 − 10 = 50 , Eso 60 = 50 + 10 . reemplazaremos 60 cantidad 50 + 10 , obteniendo 60 − 5 = (50 + 10) − 5 . Obtenemos eso: (50 + 10) − 5 = 50 + (10 − 5) = 50 + 5 = 55 .
Habiendo visto cómo restar unidades de decenas, pasemos a restar unidades de centenas.
a desde 100 restar un número de 1 antes 10 Necesitar 100 imagina como 90+10 90 + 10 y usa la regla.
Ejemplo 11
Necesitamos encontrar la diferencia 100 − 7 .
imaginemos 100 Cómo 90 + 10 y ejecutar: 100 − 7 = (90 + 10) − 7 = 90 + (10 − 7) = 90 + 3 = 93 . Compliquemos el ejemplo. Restar del número 500 número 3 . Imaginemos 500 como suma. Segundo término = 500 − 100, es decir, 400 . Tenemos 500 = 400 + 100 . 100 = 90 + 10 , 500 = 400 + 90 + 10 .
De este modo, 500 − 3 = (400 + 90 + 10) − 3 .
Terminemos el cálculo: (400 + 90 + 10) − 3 = 400 + 90 + (10 − 3) = 400 + 90 + 7 = 497.
Pasemos a restar unidades de miles.
Ejemplo 12
Es necesario calcular la diferencia 1000 − 8.
Porque 1 000 = 900 + 100 , A 100 = 90 + 10 , Eso 1 000 = 900 + 90 + 10 .
Entonces 1 000 − 8 = (900 + 90 + 10) − 8 = 900 + 90 + (10 − 8) = 900 + 90 + 2 = 992 .
Ejemplo 13
Debe restarse de 7 000 unidad.
7 000 escribámoslo como 7 000 = 6 000 + 1 000 = 6 000 + 900 + 100 = 6 000 + 900 + 90 + 10 .
Concluimos:
7 000 − 1 = (6 000 + 900 + 90 + 10) − 1 = 6 000 + 900 + 90 + (10 − 1) = 6 000 + 900 + 90 + 9 = 6 999
.
Ejemplo 14
Es necesario calcular la diferencia. 100 000 − 4 .
Porque
100 000 = 90 000 + 10 000 = 90 000 + 9 000 + 1 000 = = 90 000 + 9 000 + 900 + 100 = 90 000 + 9 000 + 900 + 90 + 10
Eso
100 000 − 4 = (90 000 + 9 000 + 900 + 90 + 10) − 4 = = 90 000 + 9 000 + 900 + 90 + (10 − 4) = 90 000 + 9 000 + 900 + 90 + 6 = 99 996 .
Ejemplo 15
Debe restarse de 4 000 000 número 5 .
Porque
4 000 000 = 3 000 000 + 1 000 000 = 3 000 000 + 900 000 + 100 000 = = 3 000 000 + 900 000 + 90 000 + 10 000 = 3 000 000 + 900 000 + 90 000 + 9 000 + 1 000 = = 3 000 000 + 900 000 + 90 000 + 9 000 + 900 + 100 = = 3 000 000 + 900 000 + 90 000 + 9 000 + 900 + 90 + 10
Eso
4 000 000 − 5 = (3 000 000 + 900 000 + 90 000 + 9 000 + 900 + 90 + 10) − 5 = = 3 000 000 + 900 000 + 90 000 + 9 000 + 900 + 90 + (10 − 5) = = 3 000 000 + 900 000 + 90 000 + 9 000 + 900 + 90 + 5 = 3 999 995
.
Restar unidades de números arbitrarios
Definición 3
Para restar un número de un solo dígito de dicho número, debe descomponer el minuendo en dígitos y luego restar el número de la suma.
Consideremos ejemplos típicos eso te ayudará a entender el material.
Ejemplo 16
Es necesario determinar la diferencia entre números. 46 Y 2 .
Número 46 presentar como 40 + 6 , Entonces 46 − 2 = (40 + 6) − 2 = 40 + (6 − 2) = 40 + 4 = 44 . Para hacer la tarea más difícil, encontremos la diferencia. 46 Y 8 . Tenemos 46 − 8 = (40 + 6) − 8. Porque 8 más que 6 , Eso: ( 40 + 6) - 8 = (40 - 8) + 6. Calculamos 40 − 8 usando el ejemplo: 40 − 8 = (30 + 10) − 8 = 30 + (10 − 8) = 30 + 2 = 32 . Entonces (40 − 8) + 6 = 32 + 6 = 38 . Ahora restemos de 6 047 número 5 . Disposición 6 047 y restar el número de la suma: 6 047 − 5 = (6 000 + 40 + 7) − 5 = 6 000 + 40 + (7 − 5) = 6 000 + 40 + 2 = 6 042
Reforcemos nuestras habilidades con un ejemplo más.
Ejemplo 17
Es necesario restar del número. 2 503 número 8 .
Ampliamos y obtenemos: 2 503 − 8 = (2 000 + 500 + 3) − 8
. Porque 8
más que 3
, pero menos que 500
, Eso (2 000 + 500 + 3) − 8 = 2 000 + (500 − 8) + 3
. Calculemos la diferencia 500 − 8
, para esto representamos el número 500
como una suma 400 + 100 = 400 + 90 + 10
(si es necesario, volver al párrafo anterior de este artículo) y realizar los cálculos necesarios:
500 − 8 = (400 + 90 + 10) − 8 = 400 + 90 + (10 − 8) = 400 + 90 + 2 = 492 . 2 000 + (500 − 8) + 3 = 2 000 + 492 + 3 = 2 495 .
Resta de números naturales arbitrarios
Para restar decenas y centenas de un número, debes representar el minuendo como una suma y realizar la resta. Veamos este proceso usando varios ejemplos.
Ejemplo 18
Encontremos la diferencia 400 y 70 .
Expandamos 400 como 300 + 100 . Entonces 400 − 70 = (300 + 100) − 70 . Según la propiedad obtenemos: (300 + 100) − 70 = 300 + (100 − 70) = 300 + 30 = 330 . También podemos restar del número. 1 000 número 40 . imaginemos que 1 000 − 40 = (900 + 100) − 40 = 900 + (100 − 40) = 900 + 60 = 960 .
En concordancia con reglas, (7 000 + 900 + 100) − 10 = 7 000 + 900 + (100 − 10) = 7 000 + 900 + 90 = 7 990 .
Usamos esta regla en casos similares.
Ejemplo 19
Lo encontraremos 400 000 − 70 .
400 000
ampliémoslo como 300 000 + 90 000 + 9 000 + 900 + 100
, Entonces
400 000 − 70 = (300 000 + 90 000 + 9 000 + 900 + 100) − 70 = 300 000 + 90 000 + 9 000 + + 900 + (100 − 70) = 300 000 + 90 000 + 9 000 + 900 + 30 = 399 993
Usemos principios similares para calcular cientos, miles y otros.
Ejemplo 20
Lo encontraremos 5 000 − 800 .
imaginemos 5 000 Cómo 4 000 + 1 000 . Entonces 5 000 − 800 = (4 000 + 1 000) − 800 . Usamos la propiedad: (4 000 + 1 000) − 800 = 4 000 + (1 000 − 800) . Como mil son diezcientos, entonces 1 000 − 800 = 200 . Por lo tanto, 4000 + (1000 − 800) = 4000 + 200 = 4200.
Esta regla se puede utilizar para los cálculos. Recuérdalo, te será útil más de una vez.
Ejemplo 21
Encontremos la diferencia 140 y 40 .
Porque 140 = 100 + 40 , Eso 140 − 40 = (100 + 40) − 40 . Obtenemos: (100 + 40) − 40 = 100 + (40 − 40) = 100 + 0 = 100 (40 − 40) = 0 debido a las propiedades, y 100 + 0 = 100 .
Lo encontraremos 140 – 60 . Tenemos 140 − 60 = (100 + 40) − 60 . Ya que 60 es más que 40 , Eso: (100 + 40) − 60 = (100 − 60) + 40 = 40 + 40 = 80 .
Restar números arbitrarios
Consideremos la regla cuando el sustraendo se descompone en dígitos. Después de representar un número como una suma de términos de dígitos, se utiliza la propiedad de resta descrita anteriormente. La resta comienza con unidades, luego decenas, centenas, etc.
Ejemplo 22
calculemos 45 − 32 .
Dividamos 32 en dígitos: 32 = 30 + 2 . Tenemos 45 − 32 = 45 − (30 + 2) . Imaginemos como 45 − (30 + 2) = 45 − (2 + 30) . Ahora aplicamos la propiedad de restar una suma a un número: 45 − (2 + 30) = (45 − 2) − 30 . queda por calcular 45 − 2 , luego resta el número 30 .
Una vez que hayas dominado las reglas anteriores, podrás hacerlo fácilmente.
Entonces, 45 − 2 = (40 + 5) − 2 = 40 + (5 − 2) = 40 + 3 = 43 . Entonces (45 − 2) − 30 = 43 − 30 . Queda por representar el minuendo como una suma de términos de bits y completar los cálculos: 43 − 30 = (40 + 3) − 30 = (40 − 30) + 3 = 10 + 3 = 13
Es conveniente escribir la solución completa en forma de cadena de igualdades:
45 − 32 = 45 − (2 + 30) = (45 − 2) − 30 = ((40 + 5) − 2) − 30 = = (40 + (5 − 2)) − 30 = (40 + 3) − 30 = (40 − 30) + 3 = 10 + 3 = 13
Compliquemos un poco el ejemplo.
Resta el número de 85 18 .
Clasificamos el número en dígitos. 18
, y obtenemos 18 = 10 + 8
. Intercambia los términos: 10 + 8 = 8 + 10. Ahora restamos la suma resultante de términos de bits del número 85
y aplicar la propiedad de restar una suma a un número: 85 − 18 = 85 − (8 + 10) = (85 − 8) − 10
. Calculamos la diferencia entre paréntesis:
85 − 8 = (80 + 5) − 8 = (80 − 8) + 5 = ((70 + 10) − 8) + 5 = (70 + (10 − 8)) + 5 = (70 + 2) + 5 = 70 + 7 = 77
Entonces (85 − 8) − 10 = 77 − 10 = (70 + 7) − 10 = (70 − 10) + 7 = 60 + 7 = 67
Para consolidar el material, analizaremos la solución con otro ejemplo.
Ejemplo 23
Restar del número 23 555 número 715 .
Porque 715 = 700 + 10 + 5 = 5 + 10 + 700 = 5 + (10 + 700) , entonces 23,555 − 715 = 23,555 − (5 + 10 + 700). Reste la cantidad del número de la siguiente manera: 23 555 − (5 + (10 + 700)) = (23 555 − 5) − (10 + 700) .
Calculemos la diferencia entre paréntesis:
23 555 − 5 = (20 000 + 3 000 + 500 + 50 + 5) − 5 = 20 000 + 3 000 + 500 + 50 + (5 − 5) = = 20 000 + 3 000 + 500 + 50 + 0 = 20 000 + 3 000 + 500 + 50 = 23 550 .
Entonces (23 555 − 5) − (10 + 700) = 23 550 − (10 + 700) .
Una vez más pasamos a la propiedad de restar un número natural de una suma: 23 550 − (10 + 700) = (23 550 − 10) − 700
.
(23 550 − 10) − 700 = 23 540 − 700 = (20 000 + 3 000 + 500 + 40) − 700 = = 20 000 + (3 000 − 700) + 500 + 40
Resta 700 de 3000 y: 3 000 − 700 = (2 000 + 1 000) − 700 = 2 000 + (1 000 − 700) = 2 000 + 300 = 2 300 , Entonces 20 000 + (3 000 − 700) + 500 + 40 = 20 000 + 2 300 + 500 + 40 = 22 840 .
Veamos qué es la resta desde el punto de vista geométrico. Usamos un haz de coordenadas. Restar el número b de a por rayo coordinado se encuentra así: definimos un punto, la coordenada es a. Reservar en la dirección del punto. oh segmentos individuales en una cantidad determinada por el sustraendo b. Entonces encontraremos un punto en el rayo de coordenadas, la coordenada es igual a la diferencia un - segundo. En otras palabras, se trata de un movimiento hacia la izquierda desde un punto con coordenadas a a una distancia b, golpeando el punto con coordenada un - segundo.
Veamos la resta en un rayo de coordenadas usando una imagen. Entonces llegamos al punto con coordenada 2 tal que 6 − 4 = 2 .
Comprobar el resultado de la resta por suma
Probar el resultado de restar dos números naturales se basa en la relación entre resta y suma. Allí descubrimos que si c + b = a, Eso a − b = c Y a − c = segundo. Si a − b = c, Eso c + b = a; Si a − c = segundo, Eso segundo + c = un. Demostremos la validez de estas igualdades.
Dejemos de lado b, después de lo cual permanece C. Esta acción corresponde a la igualdad a − b = c. volveremos diferido b en su lugar, luego pagamos a. Entonces podemos hablar de la justicia de la igualdad. c + b = a.
Ahora podemos formular una regla que nos permita verificar el resultado de la resta mediante la suma: debemos sumar el sustraendo a la diferencia resultante, y el resultado debe ser un número igual al minuendo. Si el número resultante no es igual al que se está reduciendo, entonces se cometió un error durante la resta.
Solo queda analizar las soluciones de varios ejemplos en los que se comprueba el resultado de la resta mediante la suma.
Ejemplo 24
se restó 50 42 y fue recibido 6 . ¿Se hizo correctamente la resta?
Comprobemos el resultado de la resta resultante. Para hacer esto, agregue el sustraendo a la diferencia resultante: 6 + 42 = 48 (Si es necesario, estudie otros párrafos sobre este tema). Como recibimos un número que no es igual al minuendo 50 , entonces se puede argumentar que la resta se realizó incorrectamente. Fue un error.
Ejemplo 25
Es necesario determinar la diferencia. 1 024 − 11 y comprobar el resultado.
Calculamos la diferencia: 1 024 − 11 = 1 024 − (1 + 10) = (1 024 − 1) − 10 = 1 023 − 10 = 1 013 .
Ahora comprobemos:
1 013 + 11 = (1 000 + 10 + 3) + (10 + 1) = = 1 000 + 10 + 10 + 3 + 1 = 1 000 + 20 + 4 = 1 024
Recibimos un número igual al que se estaba reduciendo, por lo tanto, la diferencia se calculó correctamente. 1 024 − 11 = 1 023 .
Comprobar el resultado de una resta por resta
La exactitud del resultado de restar números naturales se puede verificar no solo mediante la suma, sino también mediante la resta. Para hacer esto, resta la diferencia encontrada del minuendo. Esto debería resultar en un número igual al que se está restando. De lo contrario, se cometió un error en los cálculos.
Consideremos Esta regla más detalles. Esto le permitirá verificar el resultado de restar números mediante resta. Imaginemos que tenemos a frutas, incluidas las manzanas b y C peras Si dejamos de lado las manzanas, sólo nos quedará C peras, y tenemos a − b = c. Si apartamos todas las peras, sólo nos quedarían b manzanas, mientras a − c = segundo.
Ejemplo 26
Al número 543 se le restó un número 343 , el resultado fue el número 200 .
Realiza la prueba.
Recordemos la conexión entre resta y suma: 200 + 343 = 543 . Del minuendo 543 restamos la diferencia 200 , obtenemos 543 − 200 = (500 + 43) − 200 = (500 − 200) + 43 = 30 + 43 = 343 .
Este número es igual al que se está restando, la resta se hace correctamente.
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Si la suma se asocia con la combinación de dos conjuntos en uno, entonces la resta se asocia con la separación de un conjunto dado en dos o más conjuntos. Supongamos que tenemos una determinada cantidad de salchichas de plástico en un plato. Tomemos uno o más plásticos de este set y dejémoslo a un lado, o mejor aún, comámoslo. Quitamos, es decir, quitamos varios plásticos del conjunto inicial de plásticos para salchichas, y el resultado en el plato cambió hacia abajo. Este es el significado de la resta.
Esquemáticamente, restar dos números naturales se ve así:
minuendo − sustraendo = diferencia.
Para indicar la resta por escrito, utilice el signo menos “-”.
Primero escribe el minuendo, luego el signo menos y luego el sustraendo. Por ejemplo, escribir 9 − 5 significa que 5 se resta de 9.
minuendo es el número del que se resta. En nuestro ejemplo este es el número "9"
Sustraendo es el número que se resta del minuendo. En nuestro ejemplo este es el número "5".
Diferencia es el número que es el resultado de la resta.
Frases "encuentra la diferencia", "calcular la diferencia", “restar el número 9 al número natural 86” se entiende de la siguiente manera: es necesario determinar el número que es el resultado de restar estos números naturales.
PROPIEDADES DE LA RESTA DE NÚMEROS NATURALES
Propiedad 1. La diferencia de dos números naturales iguales es cero.
a − a = 0, donde a es cualquier número natural.
Propiedad 2. La resta de números naturales NO tiene la propiedad conmutativa.
Si a y b son números naturales desiguales, entonces a − b ≠ b − a
45 − 20 ≠ 20 − 45.
Propiedad 3. Restar una suma dada de dos números naturales de un número natural dado es lo mismo que restar el primer término de una suma dada de un número natural dado y luego restar el segundo término de la diferencia resultante.
a − (b + c) = (a − b) − c, donde a, byc son algunos números naturales y se satisfacen las condiciones a > b + c o a = b+c.
10 - (2+1) = (10 - 2) - 1 = 7
Propiedad 4. Restar un número natural dado de una suma dada de dos números es lo mismo que restar un número dado de uno de los términos y luego sumar la diferencia resultante y el otro término. Cabe señalar que el número que se resta NO debe ser mayor que el término al que se le resta este número.
En esta lección aprenderás qué líneas rectas y acciones inversas en matemáticas. El profesor hablará sobre todos los componentes de la resta y también mostrará dos formas de restar una suma a un número.
En la vida nos enfrentamos constantemente a acciones directas y opuestas. Puedes verter agua en una taza o puedes verter agua. Puedes entrar a la casa y luego salir de ella. Hay muchos ejemplos de este tipo.
En matemáticas, también podemos encontrar fácilmente un par de acciones opuestas. Esto es suma y resta.
Arroz. 1. Ilustración de la suma
Resta: había 5 manzanas, se quitaron 2, quedaron 3. El resultado fue la resta (Fig. 2).
Arroz. 2. Resta
Está claro que sumar y restar son acciones opuestas, por lo tanto, la suma y la resta son acciones mutuamente opuestas.
Para realizar sumas o restas no tomamos objetos que nos ayuden y no los amontonamos. Resolvemos este problema de manera abstracta, usando números y operaciones opuestas.
Por ejemplo, para restar 2 de 5, debemos entender lo que queda.
Y para hacer esto necesitamos imaginar 5 como la suma de dos partes.
Y entendemos que si restamos 2, queda 3.
La misma cantidad se puede representar y escribir. diferentes caminos. Todos estos métodos son equivalentes: . Siempre podemos utilizar el que nos convenga en este caso. Ahora nos conviene imaginar que 5 es la suma de 3 y 2. Por tanto, si quitamos, restamos una parte (2), quedará la segunda (3).
¿Cómo restar 7 de 15?
Inmediatamente nos lo imaginamos. Esto significa que después de restar 7, queda 8.
Queda claro que restar es encontrar un número de expansión desconocido.
Veamos el ejemplo nuevamente. Para restar 2 del número 5, debes representar 5 como dos términos y encontrar el término desconocido. Este será el resultado de la resta.
Si necesitas restar un número de un número:
Esto significa que el número debe representarse como dos términos y.
Un término nos resulta desconocido. Necesitamos encontrarlo. Este es el resultado de la resta.
Está claro qué sacar del jarrón. más manzanas lo que había allí es imposible. Por tanto, cuando hablamos de restar números naturales, no podemos restar un número mayor de un número menor. Entonces habrá otros números, no sólo los naturales, y será posible restar un número mayor de un número menor.
O he aquí otro razonamiento: restar significa presentarlo en forma de dos términos, pero los términos, las partes, no pueden ser mayores que el todo.
Pero por ahora el acuerdo es el siguiente: al número le restamos el número , sólo si no es menor que . El resultado será un nuevo número.
Arroz. 3. Nombres de los componentes al restar.
La palabra "diferencia" es muy similar a la palabra "diferencia". De hecho, ¿cuál es la diferencia, qué tan diferente es el número 15 del número 7, 15 manzanas de 7 manzanas? Para 8 manzanas. Es decir, la diferencia entre los números 15 y 7 es la diferencia entre ellos.
Así, por un lado, la diferencia es el resultado de la resta de más menos. Por otro lado, esto es lo que difiere un número de otro, la diferencia entre ellos.
Papá tiene 36 años y mamá es 2 años menor. ¿Cuántos años tiene mamá?
Resta 2 de 36.
Este es el primer tipo de problema que resolvemos usando la resta: conocemos un número, necesitamos encontrar un segundo que sea menor en una cantidad conocida. Es decir, conocemos inmediatamente el minuendo y el sustraendo, los números y .
Hay 25 personas en la clase, 14 de ellas son niñas. ¿Cuantos chicos hay en la clase?
Está claro que sólo hay 25 niñas y niños. Hay 14 niñas y un número desconocido de niños.
Necesitamos encontrar el término desconocido. Y buscar un término desconocido ya es una tarea de resta. De 25 necesitas restar 14.
Hay 11 niños en la clase.
Este es el segundo tipo de problema, cuando se suman dos números, uno de ellos se conoce y el otro no. Pero el resultado, la cantidad, se sabe.
Conocidos y están resaltados en azul. Es necesario encontrar el término desconocido. Pero buscar un término desconocido es una resta.
La hermana tiene 12 años y el hermano 9. ¿Cuántos años tiene la hermana mayor que el hermano?
Mi hermana es 3 años mayor que mi hermano.
Este es el tercer tipo de tarea: la tarea de comparación.
Había 17 manzanas en el jarrón. Petya tomó 4 manzanas, Masha tomó 3. ¿Cuántas manzanas quedan en el jarrón?
Solución
Petya tomó 4, Masha - 3, tomaron un total de manzanas. Para saber cuánto queda, resta:
Si lo escribes en una línea:
Contemos cuántas manzanas quedaron cada vez que Petya y Masha tomaron manzanas. Petya tomó 4, se fue. Masha tomó 3 más y se fue.
O, en una línea, .
Quedan 10 manzanas en el jarrón.
Ambos métodos son equivalentes, la respuesta es la misma. Es decir, restar una cantidad es lo mismo que restar cada término de esa cantidad por separado.
La operación de resta entre números naturales cualesquiera tiene una serie de características llamadas propiedades. En este artículo veremos las propiedades básicas de los números naturales y daremos ejemplos explicativos.
Propiedad de restar números naturales iguales.
Propiedad de restar dos números naturales igualesPara dos números naturales iguales, su diferencia es cero. Si a es cualquier número natural, entonces a - a = 0.
Esta es la propiedad más simple. El número cero indica la ausencia de algo. Si restas el mismo conjunto de objetos de un conjunto de algunos objetos, obtienes cero. Por ejemplo, Petya tenía 15 manzanas, decidió tratar a Masha y le dio las 15 piezas. Ahora Petya no tiene manzanas.
Ley conmutativa (no válida para resta)
Se sabe que al sumar números, cambiar los lugares de los términos no cambia la suma. Al igual que con la multiplicación, el producto no cambia cuando se reordenan los factores. Esta característica se llama ley conmutativa o conmutativa. Sin embargo, al restar, la ley conmutativa solo funciona en un caso: cuando el número que se resta es igual al número que se reduce.
En los casos en que el número que se reduce es menor que el número que se resta, se pierde el significado mismo de restar números naturales. Por ejemplo:
38 - 21 obviamente no es igual a 21 - 38
EN vista general puedes escribirlo así: a - b ≠ b - a.
Propiedades de la resta de números naturales.
Para la operación de restar números naturales, ¡no se aplica la ley conmutativa!
Restar la suma de dos números a un número natural
Formulemos la propiedad y luego consideremos un ejemplo que brindará una comprensión profunda y ayudará a comprender lo que se ha dicho.
La propiedad de restar la suma de dos números a un número natural.
Restar la suma de dos números naturales de otro número natural equivale a restar secuencialmente del número primero un término de la suma y luego el otro.
Matemáticamente se escribirá así:
a - (b + c) = (a - b) - c
Veamos un ejemplo. Petya y Vasya tenían 8 monedas cada uno. Petya inmediatamente compró una bebida por dos monedas y un caramelo por una moneda. Vasya primero compró una bebida, luego pensó en ello y también compró dulces. Como resultado, a ambos les quedaron cinco monedas. Las operaciones con monedas de Petya y Vasya se pueden escribir de la siguiente manera:
8 - (2 + 1) = 5 (8 - 2) - 1 = 5
Es importante tener en cuenta que esta operacion para los números naturales, solo tiene sentido si el número que se reduce es mayor o igual a la suma de los números que se le restan.
De acuerdo con la propiedad considerada y la ley de combinación, es posible restar de un número natural la suma de dos, tres o más números.
Restar un número de una suma
Imaginemos que Rodion tiene 3 caramelos en un bolsillo y 5 caramelos en el otro. Prometió darle 2 dulces a Zukhra. ¿De qué manera puede Rodion darle dulces a Zuhra?
En primer lugar, puedes poner todos los dulces en un bolsillo y sacar 2 piezas de allí. Caramelos restantes: 3 + 5 - 2.
En segundo lugar, puedes sacar inmediatamente dos caramelos del primer bolsillo. Caramelos restantes: 3 + 5 - 2.
Finalmente, en tercer lugar, puedes sacar dos caramelos del segundo bolsillo. Como resultado tenemos: 5 + (3 - 2).
En última instancia, el número de dulces permanece sin cambios y las igualdades son válidas:
3 + 5 - 2 = 5 + (3 - 2) = (3 + 5) - 2 .
Ahora podemos formular una regla para restar un número de la suma de otros números naturales.
La propiedad de restar un número natural de la suma de dos números.
Restar un número natural de la suma de otros números naturales equivale a restar secuencialmente un número dado de un término y sumar la diferencia resultante a otro término.
En forma literal, la propiedad se ve así:
(a + b) - c = (a - c) + b
Si se cumple la condición b ≥ c, podemos escribir (a + b) - c = a + (b - c).
Para a ≥ c y b ≥ c, ambas igualdades se pueden reescribir como (a + b) - c = (a - c) + b = a + (b - c).
La propiedad de restar un número natural de la suma de tres o más números se formula de manera similar y se deriva de la propiedad de restar un número de la suma de dos números.
Veamos un ejemplo.
Ejemplo. Restar un número de una suma
a, b, c, d son algunos números naturales.
Si a ≥ d entonces a + b + c - d = (a - d) + b + c.
Si b ≥ d entonces a + b + c - d = a + (b - d) + c.
Si c ≥ d entonces a + b + c - d = a + b + (c - d).
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Entonces, V caso general restar números naturales NO tiene la propiedad conmutativa. Escribamos esta declaración usando letras. Si a y b son números naturales desiguales, entonces a−b≠b−a. Por ejemplo, 45−21≠21−45.
Propiedad de restar la suma de dos números a un número natural.
La siguiente propiedad está relacionada con restar la suma de dos números a un número natural. Veamos un ejemplo que nos permitirá comprender esta propiedad.
Imaginemos que tenemos 7 monedas en nuestras manos. Primero decidimos quedarnos con 2 monedas, pero pensando que esto no será suficiente, decidimos quedarnos con otra moneda. Basado en el significado de sumar números naturales, se puede argumentar que en este caso decidimos ahorrar el número de monedas, que está determinado por la suma 2+1. Entonces, tomamos dos monedas, les agregamos otra moneda y las ponemos en la alcancía. En este caso, el número de monedas que quedan en nuestras manos está determinado por la diferencia 7−(2+1) .
Ahora imagina que tenemos 7 monedas y ponemos 2 monedas en la alcancía, y luego otra moneda. Matemáticamente, este proceso se describe mediante la siguiente expresión numérica: (7−2)−1.
Si contamos las monedas que quedan en nuestras manos, entonces tanto en el primer como en el segundo caso tenemos 4 monedas. Es decir, 7−(2+1)=4 y (7−2)−1=4, por lo tanto, 7−(2+1)=(7−2)−1.
El ejemplo considerado nos permite formular la propiedad de restar la suma de dos números de un número natural dado. Restar una suma dada de dos números naturales de un número natural dado es lo mismo que restar el primer término de una suma dada de un número natural dado y luego restar el segundo término de la diferencia resultante.
Recordemos que le dimos significado a la resta de números naturales sólo en el caso en que el minuendo es mayor que el sustraendo o igual a él. Por lo tanto, podemos restar una suma dada de un número natural dado sólo si esta suma no es mayor que el número natural que se está reduciendo. Tenga en cuenta que si se cumple esta condición, cada uno de los términos no excede el número natural al que se resta la suma.
Usando letras, la propiedad de restar la suma de dos números a un número natural dado se escribe como igualdad a−(b+c)=(a−b)−c, donde a, byc son algunos números naturales y se cumplen las condiciones a>b+c o a=b+c.
La propiedad considerada, así como la propiedad combinatoria de la suma de números naturales, permiten restar la suma de tres o más números de un número natural dado.
Propiedad de restar un número natural de la suma de dos números.
Pasemos a la siguiente propiedad, que está asociada con restar un número natural dado de una suma dada de dos números naturales. Veamos ejemplos que nos ayudarán a “ver” esta propiedad de restar un número natural de la suma de dos números.
Tengamos 3 caramelos en el primer bolsillo y 5 caramelos en el segundo, y tengamos que regalar 2 caramelos. podemos hacerlo diferentes caminos. Veámoslos uno por uno.
En primer lugar, podemos poner todos los caramelos en un bolsillo, luego sacar 2 caramelos de allí y regalarlos. Describamos estas acciones matemáticamente. Después de poner los caramelos en un bolsillo, su número estará determinado por la suma 3+5. Ahora, del número total de caramelos, regalaremos 2 caramelos, mientras que el número restante de caramelos estará determinado por la siguiente diferencia (3+5)−2.
En segundo lugar, podemos regalar 2 caramelos sacándolos del primer bolsillo. En este caso, la diferencia 3−2 determina el número restante de caramelos en el primer bolsillo, y el número total de caramelos que quedan en nuestro bolsillo estará determinado por la suma (3−2)+5.
En tercer lugar, podemos regalar 2 caramelos del segundo bolsillo. Entonces la diferencia 5−2 corresponderá al número de caramelos restantes en el segundo bolsillo, y el número total de caramelos restantes estará determinado por la suma 3+(5−2).
Está claro que en todos los casos tendremos el mismo numero dulces En consecuencia, las igualdades (3+5)−2=(3−2)+5=3+(5−2) son válidas.
Si tuviéramos que regalar no 2, sino 4 caramelos, entonces podríamos hacerlo de dos formas. Primero, regala 4 caramelos, habiéndolos puesto previamente todos en un bolsillo. En este caso, el número restante de caramelos está determinado por una expresión de la forma (3+5)−4. En segundo lugar, podríamos regalar 4 caramelos del segundo bolsillo. En este caso, el número total de caramelos da la siguiente suma 3+(5−4) . Está claro que tanto en el primer como en el segundo caso tendremos la misma cantidad de caramelos, por lo tanto, la igualdad (3+5)−4=3+(5−4) es cierta.
Habiendo analizado los resultados obtenidos al resolver los ejemplos anteriores, podemos formular la propiedad de restar un número natural dado de una suma dada de dos números. Restar un número natural dado de una suma dada de dos números es lo mismo que restar un número dado de uno de los términos y luego sumar la diferencia resultante y el otro término. Cabe señalar que el número que se resta NO debe ser mayor que el término al que se le resta este número.
Anotemos la propiedad de restar un número natural de una suma usando letras. Sean a, b y c algunos números naturales. Entonces, siempre que a sea mayor o igual que c, la igualdad es verdadera (a+b)−c=(a−c)+b, y si se cumple la condición de que b sea mayor o igual a c, la igualdad es verdadera (a+b)−c=a+(b−c). Si tanto a como b son mayores o iguales que c, entonces las dos últimas igualdades son verdaderas y se pueden escribir de la siguiente manera: (a+b)−c=(a−c)+b= a+(b−c) .
Por analogía, podemos formular la propiedad de restar un número natural de la suma de tres y más números. En este caso, este número natural se puede restar de cualquier término (claro, si es mayor o igual al número que se está restando), y los términos restantes se pueden sumar a la diferencia resultante.
Para visualizar la propiedad sonada, puedes imaginar que tenemos muchos bolsillos y hay caramelos en ellos. Supongamos que necesitamos regalar 1 caramelo. Está claro que podemos regalar 1 caramelo de cualquier bolsillo. Al mismo tiempo, no importa de qué bolsillo lo regalemos, ya que esto no afecta la cantidad de caramelos que nos quedarán.
Pongamos un ejemplo. Sean a, b, cyd algunos números naturales. Si a>d o a=d, entonces la diferencia (a+b+c)−d es igual a la suma (a−d)+b+c. Si b>d o b=d, entonces (a+b+c)−d=a+(b−d)+c. Si c>d o c=d, entonces la igualdad (a+b+c)−d=a+b+(c−d) es verdadera.
Cabe señalar que la propiedad de restar un número natural de la suma de tres o más números no es una propiedad nueva, ya que se deriva de las propiedades de sumar números naturales y de la propiedad de restar un número de la suma de dos números.
Bibliografía.
- Matemáticas. Cualquier libro de texto para 1º, 2º, 3º y 4º grado de instituciones de educación general.
- Matemáticas. Cualquier libro de texto para quinto grado de instituciones de educación general.
