Se construyó una parábola en una hoja de papel: un gráfico de la función y=ax 2 +bx+c para a>0, b>0 y c>0, y se borraron los ejes de coordenadas. ¿Cómo podrían estar ubicados? (Dibuje cualquier ejemplo correspondiente a los signos indicados de los coeficientes, sin cambiar la posición de la parábola).
Responder: ver fig. 10.1.
Decisión
Como a>0, las ramas de la parábola se “abren” a lo largo de la dirección positiva del eje y. Como c>0, el punto de intersección de la gráfica con el eje de ordenadas tiene ordenada negativa. Desde -b/2a<0, то вершина параболы находится в полуплоскости x<0.
Criterios de verificación
- “+” - la cifra correcta se da sin explicaciones, o la cifra correcta con explicaciones correctas
- "±": se muestra la figura correcta, a la que se dan explicaciones que contienen errores
- “±”: se muestra una figura correcta sin explicaciones, o una figura correcta con explicaciones correctas, pero se cambia la orientación del sistema de coordenadas (la rotación del haz OX al haz OY se realiza en el sentido de las agujas del reloj)
- “ ” - se muestra la figura correcta, pero se ha cambiado la posición de la parábola (está al revés)
- “ ” - la figura es incorrecta, pero el eje y está correctamente dirigido
Tarea 2
La suma de dos números enteros es igual a S . Masha multiplicó el número de la izquierda por un entero a, el de la derecha por un entero b, sumó estos productos y descubrió que la suma resultante es divisible por S. Alyosha, por el contrario, multiplicó el número de la izquierda por b y el de la derecha por a. Demuestre que su suma también es divisible por S .
Decisión
Sea x el número de la izquierda e y el número de la derecha; por condición: x+y=S. Luego, Masha obtuvo el número ax+by y Alyosha obtuvo el número bx+ay. La suma de estos números es ax+by+bx+ay=(a+b)(x+y)=(a+b)S, es decir, es divisible por S . Dado que uno de los dos términos (el número de Masha) es divisible por S, el otro (el número de Alyosha) también es divisible por S, según se requiera.
Criterios de verificación
- “–” – problema no resuelto o resuelto incorrectamente
Tarea 3
El zoológico tiene 10 elefantes y una enorme pesa. Se sabe que si cuatro elefantes se paran en el cuenco izquierdo y tres en el derecho, el cuenco izquierdo pesará más. Tres elefantes se pararon en el cuenco izquierdo y dos en el derecho. ¿El tazón izquierdo necesariamente pesa más?
Responder : necesariamente.
Decisión
primera forma
Deje que tres elefantes se paren en el platillo izquierdo de la balanza, y dos en el derecho, y al mismo tiempo el platillo izquierdo no supere al derecho. Pidamos entonces al más ligero de los cinco elefantes que no están sobre la balanza que se pare en el cuenco izquierdo, y al más pesado en el derecho. En este caso, el tazón izquierdo aún no puede pesar más que el derecho, lo que contradice la condición. Por lo tanto, el cuenco izquierdo definitivamente tendrá más peso.
segunda forma
Escribamos las masas de los elefantes en orden ascendente: m1 ≤ m2 ≤ … ≤ m10. Por condición: m1 + m2 + m3 + m4 > m8 + m9 + m10. Como m4 ≤ m8, entonces m1 + m2 + m3 > m9 + m10. Por lo tanto, los tres elefantes más livianos son más pesados que los dos más pesados, por lo tanto, tres elefantes cualesquiera son más pesados que dos cualesquiera de los restantes.
Criterios de verificación
- “+” – se da una solución justificada completa (por cualquier medio)
- “±”: generalmente se da un razonamiento correcto, que contiene lagunas o inexactitudes menores
- “–” – solo se consideran casos especiales o ejemplos específicos
- “–” – problema no resuelto o resuelto incorrectamente
Tarea 4
Desde el vértice del ángulo obtuso A del triángulo ABC se baja la altura AD. Se dibuja una circunferencia de centro D y radio DA, que corta por segunda vez a los lados AB y AC en los puntos M y N, respectivamente. Encuentre AC si AB = c, AM = m y AN = n.
∙Responder: mc/n.
Decisión
Probemos que AM∙AB = AN∙AC. Esto se puede hacer de diferentes maneras.
primera forma
En los triángulos rectángulos ADB y ADC, dibujamos las alturas DP y DQ, respectivamente (ver Fig. 10.4a). Entonces АР∙AB = AD2 = AQ∙AC. Como los triángulos ADM y ADN son isósceles, AP = 12AM y AQ = 12AN.
Reemplazando АР y АQ en la igualdad АР∙AB = AQ∙AC, obtenemos lo requerido.
segunda forma
Demostremos que el cuadrilátero BMNC es un cuadrilátero inscrito, entonces la igualdad requerida se seguirá del teorema del segmento secante aplicado al punto A y el círculo circunscrito alrededor del cuadrilátero BMNC (ver Fig. 10.4b).
Sea ∠ANM = α, luego ∠AOM = 2α (ángulos inscrito y central basados en el mismo arco). Además, del triángulo isósceles ADM: ∠MAD = 90° - α, entonces ∠ABC = α. De la igualdad ∠ABC = ∠ANM se sigue que BMNC es inscrito.
Después de probar la igualdad indicada, basta con sustituir los datos de la condición del problema y obtener la respuesta.
tercera vía
Deje que este círculo se interseque con los segmentos BD y CD en los puntos K y L, respectivamente, y su radio sea igual a R (vea la figura 10.4c). Entonces, según el teorema del segmento secante: BA∙BM = BL∙BK, es decir, c(c – m) = BK(BK + 2R). Del triángulo ABD por el teorema de Pitágoras: с2 = (BK + R)2 + R2 = 2R2 + BK2 +2BK∙R. Por lo tanto, c(c – m) = с2 – 2R2, de donde c∙m = 2R2.
Realizando un argumento similar para el lado AC, obtenemos que AC∙n = 2R2. Entonces AC = mcn.
Tenga en cuenta que con este método de solución, en lugar del teorema de Pitágoras, se puede aplicar el teorema del coseno para el triángulo BAK.
Criterios de verificación
- "+" - se da una solución justificada completa
- “±”: generalmente se da un razonamiento correcto, que contiene lagunas o inexactitudes menores (por ejemplo, m y n se mezclan)
- “±”: el plan de solución es correcto y se ha obtenido la respuesta correcta, pero algunos de los hechos utilizados no se han probado (por ejemplo, se ha utilizado, pero no probado, que el cuadrilátero BMNC está inscrito)
- “±”: el plan de solución es correcto, pero la solución en sí contiene errores o no está completa
- “±” - no hay un plan de solución claro, pero se fundamentan algunos hechos significativos a partir de los cuales se puede obtener una solución
- “–” - solo se da la respuesta
- “–” – problema no resuelto o resuelto incorrectamente
Tarea 5
Vasya ha desmantelado el marco de una pirámide triangular en el aula de matemáticas y quiere hacer dos triángulos a partir de sus seis aristas, de modo que cada arista sea un lado de exactamente un triángulo. ¿Vasya siempre podrá hacer esto?
Responder: siempre.
Decisión
Tenga en cuenta que si Vasya logra doblar un triángulo fuera de los bordes que salen de un vértice del tetraedro, entonces el segundo triángulo ya está doblado y el problema está resuelto.
Sea AB la arista más larga del tetraedro DABC (vea la figura 10.5).
Supongamos que ni del triple de aristas con un vértice común A, ni del triple de aristas con un vértice común B, Vasya puede formar un triángulo. Esto significa que AB ≥ AC + AD y AB ≥ BC + BD. Entonces 2AB ≥ AC + AD + BC + BD.
Por otro lado, según la desigualdad triangular para las caras ABD y ABC, obtenemos: AB< AD + BD и АВ < AC + BC. Тогда 2АВ < AC + AD + BC + BD – противоречие.
Criterios de verificación
- "+" - se da una solución justificada completa
- “ ” – hay una idea correcta de la solución, pero no se ha completado o se ha cometido un error
- “–”: solo se analizan algunos casos especiales (por ejemplo, se considera un tetraedro regular)
- “–” – problema no resuelto o resuelto incorrectamente
Tarea 6
100 linternas encendidas y 100 apagadas se colocan al azar en dos cajas. Cada linterna tiene un botón, al presionarlo se apaga la linterna encendida y se enciende la apagada.
Tienes los ojos vendados y no puedes ver si la linterna está encendida. Pero puede cambiar las linternas de una caja a otra y presionar los botones en ellas. Piense en una manera de asegurarse de que las lámparas encendidas en las cajas se distribuyan uniformemente.
Decisión
Primero, muevamos todas las linternas a la casilla de la derecha sin tocar los interruptores. A continuación, cambiamos del cuadro de la derecha al de la izquierda cien linternas, cambiando cada una al mismo tiempo, y se logrará el objetivo. Demostrémoslo.
Al cambiar (al cambiar) una linterna, la diferencia entre el número de linternas encendidas a la derecha y a la izquierda disminuye en 1. De hecho, si tomamos una linterna que no estaba encendida, la encendimos y la cambiamos a la izquierda, entonces el número de linternas encendidas a la derecha no cambió, y a la izquierda aumentó en 1. Si tomamos una linterna encendida, la apagamos y la desplazamos hacia la izquierda, entonces el número de linternas encendidas a la derecha disminuyó en 1, y en la izquierda seguía igual. En ese momento, cuando todas las linternas estaban en el cuadro correcto, la diferencia considerada es 100, lo que significa que después de cien turnos será igual a cero, lo que se requiere.
Hay otros algoritmos de acciones.
Criterios de verificación
- "+" - se da una solución justificada completa
- "±": se proporciona el algoritmo correcto, pero su justificación es incompleta (por ejemplo, se dice que la diferencia entre las linternas encendidas disminuirá en 1, pero no se explica por qué
- “±” - solo se da el algoritmo correcto sin ninguna explicación
- “–” – problema no resuelto o resuelto incorrectamente
ÁLGEBRA-8
Lección de taller
TEMA: "Función
y \u003d hacha 2 + b x + c "
La lección se llevó a cabo usando una clase de computadora móvil.
Lección - práctica.
"Dibujo con gráficas de funciones".
(Soportado por programa de computadora Avanzado graficador .)
En la escuela, en las lecciones de matemáticas, se utilizan mucho tareas en las que los estudiantes construyen puntos según coordenadas y los conectan en serie, mientras reciben un dibujo de un objeto. A los niños les encantan estas actividades. Diversifican las actividades de los estudiantes durante el período de desarrollo del conocimiento, introducen un elemento de entretenimiento en la lección y perfeccionan la habilidad.
Se puede hacer un trabajo similar en el 8º grado, pero usando los gráficos de una función cuadrática dada en segmentos. El tema es muy adecuado para este trabajo:"Función".
METAS:
Esta lección pretende ser la lección final sobre este tema.
La lección consta de 6 etapas.
Equipo para la lección:
programa de computadora Avanzadograficador, con la ayuda de la cual se lleva a cabo el estudio del tema de esta lección.
Proyector.
Pantalla.
Folleto (tarjetas con tareas individuales).
Descripción detallada de cada etapa.
Introducción a la interfaz del programa Advanced Grapher.
El botón + se muestra en la barra de herramientas F - Añadir gráfico. Usaremos este botón cada vez que empecemos a trabajar con una nueva función. Haga clic en este botón. En el cuadro de diálogo abierto Propiedades del gráfico podemos configurar la función que le interesa, así como configurar la apariencia del gráfico futuro (grosor, color de línea, etc.).
Al mostrar una pestaña Propiedades adicionales marque la casilla de intervalo. Ahora puede establecer el alcance de la función.
EN 
boton de uso -Propiedades del documento.O con el comandográficos
Propiedades del documento enllamar al cuadro de diálogoPropiedades del documento.
En la ventana abiertaa la izquierda, en el árbol, puede seleccionar una de las propiedades que le interesan para configurar(Construcción, Ejes, Leyenda, Cuadrícula).Haga clic en la pestaña Construir. Aquí puede establecer los intervalos máximo y mínimo para cada uno de los ejes por separado. Esto puede ser útil cuando se construyen aquellos gráficos en los que el desplazamiento de los vértices a lo largo de los ejes es significativo.
Al hacer clic en el botón Lista de gráficos, tendrá acceso a cualquier función que haya utilizado anteriormente.
encuesta teórica.
Gráfico de función 
es la parábola obtenida al desplazar la parábola 
a lo largo de los ejes de coordenadas.
Trabajo colectivo sobre la creación de una imagen a partir de parábolas. ("Sombrilla")
Cada niño recibe una tarjeta con una lista de funciones cuadráticas de la forma .
Al trabajar con cada una de las fórmulas de lista, los niños responden las siguientes preguntas:
¿Cuál es la gráfica de esta función?
¿Cómo se dirigen las ramas de la parábola?
¿Cuáles son las coordenadas del vértice de la parábola?
Los estudiantes abren el cuadro de diálogo Agregar gráfico e ingresan la fórmula. Al hacer clic en el botón OK se obtiene la imagen de la gráfica de la función.
¿Qué se debe tener en cuenta al trazar un gráfico de función? (sobre el alcance de una función)
Al hacer doble clic en la función que le interesa actualmente en la ventana Lista de gráficos, tendrá acceso a cualquier función que haya utilizado anteriormente, es decir, volverá al cuadro de diálogo. Propiedades del gráfico. Al mostrar la pestaña Propiedades adicionales, marque la casilla de intervalo y especifique el dominio de definición requerido por la condición para esta función. Después de realizar los ajustes necesarios, haga clic en el botón Aceptar. La gráfica de la función cambiará su apariencia de acuerdo con el dominio de definición.
T 
Cómo se discute cada función siguiente. Las construcciones se realizan en paralelo en los ordenadores de los alumnos y en el portátil del profesor conectado al proyector.
Al analizar la forma futura del gráfico, los niños tienen la oportunidad de verificar inmediatamente la exactitud de sus juicios. Una visión holística de la imagen convencerá al estudiante que duda de la corrección de las acciones realizadas por él.
Trabajo independiente.
Los estudiantes reciben varias tarjetas con una lista de funciones. Cada niño construye su dibujo por su cuenta, recibiendo una evaluación al final de la lección.
Opciones de tarjeta.
« 
Vasos"
"Ballena"
« 
Rey del ajedrez"
« 
Rana"
Resumir y calificar.
¿Qué aprendiste en clase hoy?
El criterio para vuestra asimilación del material será el dibujo creado por cada uno de vosotros.
"Excelente": la tarea se llevó a cabo de forma independiente. El dibujo está terminado. No hay comentarios sobre los gráficos. Los dominios para cada gráfico están configurados correctamente.
"OK" - El dibujo está terminado. Hay algunos comentarios sobre cómo encontrar el dominio de la definición, o el estudiante recurrió al maestro en busca de ayuda durante el trabajo independiente.
“Satisfactorio” - El dibujo tiene fallas. El estudiante no estaba seguro de su conocimiento, constantemente recurría al maestro en busca de ayuda.
Para comprender lo que se escribirá aquí, debe saber bien qué es una función cuadrática y con qué se come. Si te consideras un profesional en funciones cuadráticas, bienvenido. Pero si no, deberías leer el hilo.
Comencemos con un pequeño cheques:
- ¿Cómo se ve una función cuadrática en forma general (fórmula)?
- ¿Cómo se llama la gráfica de una función cuadrática?
- ¿Cómo afecta el coeficiente principal a la gráfica de una función cuadrática?
Si puede responder estas preguntas de inmediato, siga leyendo. Si al menos una pregunta causó dificultades, vaya a.
Entonces, ya sabes cómo manejar una función cuadrática, analizar su gráfica y construir una gráfica por puntos.
Bueno, aquí está: .
Echemos un vistazo rápido a lo que hacen. posibilidades.
- El coeficiente senior es responsable de la "inclinación" de la parábola, o, en otras palabras, de su ancho: cuanto más grande, más angosta (más empinada) la parábola, y cuanto más pequeña, más ancha (más plana) la parábola.
- El término libre es la coordenada de la intersección de la parábola con el eje y.
- Y el coeficiente es de alguna manera responsable del desplazamiento de la parábola desde el centro de coordenadas. Aquí hay más sobre eso ahora.
¿Por qué siempre empezamos a construir una parábola? ¿Cuál es su punto distintivo?
Este es vértice. Y cómo encontrar las coordenadas del vértice, ¿recuerdas?
La abscisa se busca con la siguiente fórmula:
Así: que más, temas A la izquierda la parte superior de la parábola se mueve.
La ordenada de un vértice se puede encontrar sustituyendo en la función:
Sustitúyase y cuente. ¿Qué sucedió?
Si haces todo bien y simplificas la expresión resultante tanto como sea posible, obtienes:
Resulta que cuanto más módulo, temas más alto será vértice parábolas
Finalmente, pasemos al trazado.
La forma más fácil es construir una parábola comenzando desde arriba.
Ejemplo:
Trazar la función.
Decisión:
Primero, definamos los coeficientes: .
Ahora calculemos las coordenadas del vértice:
Y ahora recuerda: todas las parábolas con el mismo coeficiente principal tienen el mismo aspecto. Entonces, si construimos una parábola y movemos su vértice a un punto, obtenemos el gráfico que necesitamos:
Sencillo, ¿verdad?
Solo queda una pregunta: ¿cómo dibujar rápidamente una parábola? Incluso si dibujamos una parábola con un vértice en el origen, todavía tenemos que construirla punto por punto, lo cual es largo e inconveniente. Pero todas las parábolas se ven iguales, ¿tal vez hay una manera de acelerar su dibujo?
Cuando estaba en la escuela, mi profesor de matemáticas les dijo a todos que cortaran una plantilla en forma de parábola de cartón para que pudieran dibujarla rápidamente. Pero no podrá caminar a todas partes con una plantilla, y no podrán llevarla al examen. Entonces, no usaremos objetos extraños, sino que buscaremos un patrón.
Considere la parábola más simple. Vamos a construirlo por puntos:
La regla aquí es esta. Si nos movemos de arriba a la derecha (a lo largo del eje) a, y hacia arriba (a lo largo del eje) a, entonces llegaremos al punto de la parábola. Además: si desde este punto nos movemos hacia la derecha y hacia arriba, volveremos a llegar al punto de la parábola. Siguiente: a la derecha y arriba. ¿Que sigue? A la derecha y arriba. Y así sucesivamente: muévase a la derecha y el siguiente número impar hacia arriba. Luego hacemos lo mismo con la rama izquierda (después de todo, la parábola es simétrica, es decir, sus ramas se ven iguales):
Genial, esto ayudará a construir cualquier parábola desde el vértice con el coeficiente más alto igual a. Por ejemplo, hemos aprendido que el vértice de una parábola está en un punto. Construye (por tu cuenta, en papel) esta parábola.
¿Construido?
Debería resultar así:
Ahora conectamos los puntos obtenidos:
Eso es todo.
OK, bueno, ahora construye solo parábolas con?
Por supuesto no. Ahora vamos a averiguar qué hacer con ellos, si.
Consideremos algunos casos típicos.
Genial, aprendimos a dibujar una parábola, ahora practiquemos con funciones reales.
Entonces, dibuja gráficos de tales funciones:
Respuestas:
3. Arriba: .
¿Recuerdas qué hacer si el coeficiente senior es menor?
Nos fijamos en el denominador de la fracción: es igual. Así que nos moveremos así:
- hasta
- hasta
- hasta
y también a la izquierda:
4. Arriba: .
¿Qué hacer con eso? ¿Cómo medir las celdas si el vértice está en algún lugar entre las líneas?..
Y hacemos trampa. Primero, dibujemos una parábola, y luego muevamos su vértice a un punto. Ni siquiera, hagámoslo aún más complicado: Dibujemos una parábola, y luego mover ejes:- sobre el abajo, un - en derecho:
Esta técnica es muy conveniente en el caso de cualquier parábola, recuérdala.
Déjame recordarte que podemos representar la función de esta forma:
Por ejemplo: .
¿Qué nos da esto?
El hecho es que el número que se resta entre paréntesis () es la abscisa del vértice de la parábola, y el término fuera de los paréntesis () es la ordenada del vértice.
Esto significa que, habiendo construido una parábola, solo necesitas mover el eje hacia la izquierda y el eje hacia abajo.
Ejemplo: tracemos un gráfico de función.
Seleccionemos un cuadrado completo:
Qué número sustraído entre paréntesis? Esto (y no cómo se puede decidir sin pensar).
Entonces, construimos una parábola:
Ahora desplazamos el eje hacia abajo, es decir, hacia arriba:
Y ahora, a la izquierda, es decir, a la derecha:
Eso es todo. Esto es lo mismo que mover una parábola con su vértice desde el origen hasta un punto, solo que el eje recto es mucho más fácil de mover que una parábola torcida.
Ahora, como siempre, yo mismo:
¡Y no te olvides de borrar los ejes viejos con una goma de borrar!
Soy como respuestas para verificación, te escribiré las ordenadas de los vértices de estas parábolas:
¿Todo encajaba?
Si es así, ¡entonces eres genial! Saber manejar una parábola es muy importante y útil, y aquí hemos comprobado que no es nada difícil.
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA. BREVEMENTE SOBRE LOS PRINCIPALES
función cuadrática es una función de la forma, donde, y son números (coeficientes), es un miembro libre.
La gráfica de una función cuadrática es una parábola.
Parte superior de la parábola:
, es decir. cuanto más grande es \displaystyle b , más a la izquierda se mueve la parte superior de la parábola.
Sustituir en la función y obtener:
, es decir. cuanto mayor \displaystyle b modulo , más alta será la parte superior de la parábola
El término libre es la coordenada de la intersección de la parábola con el eje y.
Bueno, el tema ha terminado. Si estás leyendo estas líneas, entonces eres muy chévere.
Porque solo el 5% de las personas son capaces de dominar algo por su cuenta. Y si has leído hasta el final, ¡estás en el 5%!
Ahora lo más importante.
Has descubierto la teoría sobre este tema. Y, repito, es... ¡es genial! Ya eres mejor que la gran mayoría de tus compañeros.
El problema es que esto puede no ser suficiente...
¿Para qué?
Para aprobar con éxito el examen, para la admisión al instituto en el presupuesto y, LO MÁS IMPORTANTE, de por vida.
No te convenceré de nada, solo diré una cosa...
Las personas que han recibido una buena educación ganan mucho más que las que no la han recibido. Esto es estadística.
Pero esto no es lo principal.
Lo principal es que son MÁS FELICES (existen tales estudios). ¿Quizás porque se abren muchas más oportunidades ante ellos y la vida se vuelve más brillante? no sé...
Pero piensa por ti mismo...
¿Qué se necesita para estar seguro de ser mejor que los demás en el examen y ser finalmente... más feliz?
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En conclusión...
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“Entendido” y “Sé cómo resolver” son habilidades completamente diferentes. Necesitas ambos.
¡Encuentre problemas y resuélvalos!
