Доказать что плоскости параллельны. Отклонения и допуски расположения поверхностей. Обозначение допусков формы и расположения на чертежах

Первая помощь - это комплекс срочных мер, направленных на спасение жизни человека. Несчастный случай, резкий приступ заболевания, отравление - в этих и других чрезвычайных ситуациях необходима грамотная первая помощь.

Согласно закону, первая помощь не является медицинской - она оказывается до прибытия медиков или доставки пострадавшего в больницу. Первую помощь может оказать любой человек, находящийся в критический момент рядом с пострадавшим. Для некоторых категорий граждан оказание первой помощи - служебная обязанность. Речь идёт о полицейских, сотрудниках ГИБДД и МЧС, военнослужащих, пожарных.

Умение оказать первую помощь - элементарный, но очень важный навык. В он может спасти чью-то жизнь. Представляем вашему вниманию 10 базовых навыков оказания первой помощи.

Алгоритм оказания первой помощи

Чтобы не растеряться и грамотно оказать первую помощь, важно соблюдать следующую последовательность действий:

1. Убедиться, что при оказании первой помощи вам ничего не угрожает и вы не подвергаете себя опасности.
2. Обеспечить безопасность пострадавшему и окружающим (например, извлечь пострадавшего из горящего автомобиля).
3. Проверить наличие у пострадавшего признаков жизни (пульс, дыхание, реакция зрачков на свет) и сознания. Для проверки дыхания необходимо запрокинуть голову пострадавшего, наклониться к его рту и носу и попытаться услышать или почувствовать дыхание. Для обнаружения пульса необходимо приложить подушечки пальцев к сонной артерии пострадавшего. Для оценки сознания необходимо (по возможности) взять пострадавшего за плечи, аккуратно встряхнуть и задать какой-либо вопрос.
4. Вызвать специалистов: , с городского - 03 (скорая) или 01 (спасатели).
5. Оказать неотложную первую помощь. В зависимости от ситуации это может быть:
   • восстановление проходимости дыхательных путей;
   • сердечно-лёгочная реанимация;
   • остановка кровотечения и другие мероприятия.
6. Обеспечить пострадавшему физический и психологический комфорт, дождаться прибытия специалистов.

Искусственное дыхание

Искусственная вентиляция лёгких (ИВЛ) - это введение воздуха (либо кислорода) в дыхательные пути человека с целью восстановления естественной вентиляции лёгких. Относится к элементарным реанимационным мероприятиям.

Типичные ситуации, требующие ИВЛ:

• автомобильная авария;
• происшествие на воде;
• удар током и другие.

Существуют различные способы ИВЛ. Наиболее эффективным при оказании первой помощи неспециалистом считается искусственное дыхание рот в рот и рот в нос.

Если при осмотре пострадавшего естественное дыхание не обнаружено, необходимо немедленно провести искусственную вентиляцию легких.

Техника искусственного дыхания рот в рот

1. Обеспечьте проходимость верхних дыхательных путей. Поверните голову пострадавшего набок и пальцем удалите из полости рта слизь, кровь, инородные предметы. Проверьте носовые ходы пострадавшего, при необходимости очистите их.
2. Запрокиньте голову пострадавшего, удерживая шею одной рукой.
   

   Не меняйте положение головы пострадавшего при травме позвоночника!

3. Положите на рот пострадавшего салфетку, платок, кусок ткани или марли, чтобы защитить себя от инфекций. Зажмите нос пострадавшего большим и указательным пальцем. Глубоко вдохните, плотно прижмитесь губами ко рту пострадавшего. Сделайте выдох в лёгкие пострадавшего.
   

   Первые 5–10 выдохов должны быть быстрыми (за 20–30 секунд), затем - 12–15 выдохов в минуту.

4. Следите за движением грудной клетки пострадавшего. Если грудь пострадавшего при вдохе воздуха поднимается, значит, вы всё делаете правильно.

Непрямой массаж сердца

Если вместе с дыханием отсутствует пульс, необходимо сделать непрямой массаж сердца.

Непрямой (закрытый) массаж сердца, или компрессия грудной клетки, - это сжатие мышц сердца между грудиной и позвоночником в целях поддержания кровообращения человека при остановке сердца. Относится к элементарным реанимационным мероприятиям.

Внимание! Нельзя проводить закрытый массаж сердца при наличии пульса.

Техника непрямого массажа сердца

1. Уложите пострадавшего на плоскую твёрдую поверхность. На кровати и других мягких поверхностях проводить компрессию грудной клетки нельзя.
2. Определите расположение у пострадавшего мечевидного отростка. Мечевидный отросток - это самая короткая и узкая часть грудины, её окончание.
3. Отмерьте 2–4 см вверх от мечевидного отростка - это точка компрессии.
4. Положите основание ладони на точку компрессии. При этом большой палец должен указывать либо на подбородок, либо на живот пострадавшего, в зависимости от местоположения лица, осуществляющего реанимацию. Поверх одной руки положите вторую ладонь, пальцы сложите в замок. Надавливания проводятся строго основанием ладони - ваши пальцы не должны соприкасаться с грудиной пострадавшего.
5. Осуществляйте ритмичные толчки грудной клетки сильно, плавно, строго вертикально, тяжестью верхней половины вашего тела. Частота - 100–110 надавливаний в минуту. При этом грудная клетка должна прогибаться на 3–4 см.
   

   Грудным детям непрямой массаж сердца производится указательным и средним пальцем одной руки. Подросткам - ладонью одной руки.

Если одновременно с закрытым массажем сердца проводится ИВЛ, каждые два вдоха должны чередоваться с 30 надавливаниями на грудную клетку.

Если во время проведения реанимационных мероприятий у пострадавшего восстановилось дыхание или появился пульс, прекратите оказание первой помощи и уложите человека на бок, положив ладонь под голову. Следите за его состоянием до прибытия медиков.

Приём Геймлиха

При попадании пищи или инородных тел в трахею, она закупоривается (полностью или частично) - человек задыхается.

Признаки закупоривания дыхательных путей:

• Отсутствие полноценного дыхания. Если дыхательное горло закупорено не полностью, человек кашляет; если полностью - держится за горло.
• Неспособность говорить.
• Посинение кожи лица, набухание сосудов шеи.

Очистку дыхательных путей чаще всего проводят по методу Геймлиха.

1. Встаньте позади пострадавшего.
2. Обхватите его руками, сцепив их в замок, чуть выше пупка, под рёберной дугой.
3. Сильно надавите на живот пострадавшего, резко сгибая руки в локтях.
   

   Не сдавливайте грудь пострадавшего, за исключением беременных женщин, которым надавливания осуществляются в нижнем отделе грудной клетки.

4. Повторите приём несколько раз, пока дыхательные пути не освободятся.

Если пострадавший потерял сознание и упал, положите его на спину, сядьте ему на бёдра и обеими руками надавите на рёберные дуги.

Для удаления инородных тел из дыхательных путей ребёнка необходимо повернуть его на живот и похлопать 2–3 раза между лопатками. Будьте очень осторожны. Даже если малыш быстро откашлялся, обратитесь к врачу для медицинского осмотра.

Кровотечение

Остановка кровотечения - это меры, направленные на остановку потери крови. При оказании первой помощи речь идёт об остановке наружного кровотечения. В зависимости от типа сосуда выделяют капиллярное, венозное и артериальное кровотечения.

Остановка капиллярного кровотечения осуществляется путём наложения асептической повязки, а также, если ранены руки или ноги, поднятием конечностей выше уровня туловища.

При венозном кровотечении накладывается давящая повязка. Для этого выполняется тампонада раны: на рану накладывается марля, поверх неё укладывается несколько слоёв ваты (если нет ваты - чистое полотенце), туго бинтуется. Сдавленные такой повязкой вены быстро тромбируются, и кровотечение прекращается. Если давящая повязка промокает, сильно надавите на неё ладонью.

Чтобы остановить артериальное кровотечение, артерию необходимо пережать.

Техника пережатия артерии: сильно прижмите артерию пальцами или кулаком к подлежащим костным образованиям.

Артерии легкодоступны для пальпации, поэтому данный способ весьма эффективен. Однако он требует от лица, оказывающего первую помощь, физической силы.

Если кровотечение не остановилось после наложения тугой повязки и прижатия артерии, примените жгут. Помните, что это крайняя мера, когда другие способы не помогают.

Техника наложения кровоостанавливающего жгута

1. Наложите жгут на одежду или мягкую подкладку чуть выше раны.
2. Затяните жгут и проверьте пульсацию сосудов: кровотечение должно прекратиться, а кожа ниже жгута - побледнеть.
3. Наложите повязку на рану.
4. Запишите точное время, когда наложен жгут.

Жгут на конечности можно накладывать максимум на 1 час. По его истечении жгут необходимо ослабить на 10–15 минут. При необходимости можно затянуть вновь, но не более чем на 20 минут.

Переломы

Перелом - нарушение целостности кости. Перелом сопровождается сильной болью, иногда - обмороком или шоком, кровотечением. Различают открытые и закрытые переломы. Первый сопровождается ранением мягких тканей, в ране иногда заметны обломки кости.

Техника оказания первой помощи при переломе

1. Оцените тяжесть состояния пострадавшего, определите локализацию перелома.
2. При наличии кровотечения остановите его.
3. Определите, возможно ли перемещение пострадавшего до прибытия специалистов.
   

   Не переносите пострадавшего и не меняйте его положения при травмах позвоночника!

4. Обеспечьте неподвижность кости в области перелома - проведите иммобилизацию. Для этого необходимо обездвижить суставы, расположенные выше и ниже перелома.
5. Наложите шину. В качестве шины можно использовать плоские палки, доски, линейки, прутья и прочее. Шину необходимо плотно, но не туго зафиксировать бинтами или пластырем.

При закрытом переломе иммобилизация производится поверх одежды. При открытом переломе нельзя прикладывать шину к местам, где кость выступает наружу.

Ожоги

Ожог - это повреждение тканей организма под действием высоких температур или химических веществ. Ожоги различаются по степеням, а также по типам повреждения. По последнему основанию выделяют ожоги:

• термические (пламя, горячая жидкость, пар, раскалённые предметы);
• химические (щёлочи, кислоты);
• электрические;
• лучевые (световое и ионизирующее излучение);
• комбинированные.

При ожогах первым делом необходимо устранить действие поражающего фактора (огня, электрического тока, кипятка и так далее).

Затем, при термических ожогах, поражённый участок следует освободить от одежды (аккуратно, не отдирая, а обрезая вокруг раны прилипшую ткань) и в целях дезинфекции и обезболивания оросить его водоспиртовым раствором (1/1) или водкой.

Не используйте масляные мази и жирные кремы - жиры и масла не уменьшают боль, не дезинфицируют ожог и не способствуют заживлению.

После оросите рану холодной водой, наложите стерильную повязку и приложите холод. Кроме того, дайте пострадавшему тёплой подсоленной воды.

Для ускорения заживления лёгких ожогов используйте спреи с декспантенолом. Если ожог занимает площадь больше одной ладони, обязательно обратитесь к врачу.

Обморок

Обморок - это внезапная потеря сознания, обусловленная временным нарушением мозгового кровотока. Иными словами, это сигнал мозга о том, что ему не хватает кислорода.

Важно отличать обычный и эпилептический обморок. Первому, как правило, предшествуют тошнота и головокружение.

Предобморочное состояние характеризуется тем, что человек закатывает глаза, покрывается холодным потом, у него слабеет пульс, холодеют конечности.

Типичные ситуации наступления обморока:

• испуг,
• волнение,
• духота и другие.

Если человек упал в обморок, придайте ему удобное горизонтальное положение и обеспечьте приток свежего воздуха (расстегните одежду, ослабьте ремень, откройте окна и двери). Брызните на лицо пострадавшего холодной водой, похлопайте его по щекам. При наличии под рукой аптечки дайте понюхать ватный тампон, смоченный нашатырным спиртом.

Если сознание не возвращается 3–5 минут, немедленно вызывайте скорую.

Когда пострадавший придёт в себя, дайте ему крепкого чая или кофе.

Утопление и солнечный удар

Утопление - это проникновение воды в лёгкие и дыхательные пути, которое может привести к смерти.

Первая помощь при утоплении

1. Извлеките пострадавшего из воды.
   

   Тонущий человек хватается за всё, что попадётся под руку. Будьте осторожны: подплывайте к нему сзади, держите за волосы или подмышки, держа лицо над поверхностью воды.

2. Положите пострадавшего животом на колено, чтобы голова была внизу.
3. Очистите ротовую полость от инородных тел (слизь, рвотные массы, водоросли).
4. Проверьте наличие признаков жизни.
5. При отсутствии пульса и дыхания немедленно приступайте к ИВЛ и непрямому массажу сердца.
6. После восстановления дыхания и сердечной деятельности положите пострадавшего набок, укройте его и обеспечивайте комфорт до прибытия медиков.

В летний период опасность представляют также солнечные удары. Солнечный удар - это расстройство работы головного мозга, вызванное длительным пребыванием на солнце.

Симптомы:

• головная боль,
• слабость,
• шум в ушах,
• тошнота,
• рвота.

Если пострадавший по-прежнему остаётся на солнце, у него поднимается температура, появляется одышка, иногда он даже теряет сознание.

Поэтому при оказании первой помощи прежде всего необходимо перенести пострадавшего в прохладное проветриваемое место. Затем освободите его от одежды, ослабьте ремень, разуйте. Положите ему на голову и шею холодное мокрое полотенце. Дайте понюхать нашатырный спирт. При необходимости сделайте искусственное дыхание.

При солнечном ударе пострадавшего необходимо обильно поить прохладной, слегка подсоленной водой (пить часто, но маленькими глотками).

Причины обморожения - высокая влажность, мороз, ветер, неподвижное положение. Усугубляет состояние пострадавшего, как правило, алкогольное опьянение.

Симптомы:

• чувство холода;
• покалывание в обмораживаемой части тела;
• затем - онемение и потеря чувствительности.

Первая помощь при обморожении

1. Поместите пострадавшего в тепло.
2. Снимите с него промёрзшую или мокрую одежду.
3. Не растирайте пострадавшего снегом или тканью - так вы только травмируете кожу.
4. Укутайте обмороженный участок тела.
5. Дайте пострадавшему горячее сладкое питьё или горячую пищу.

Отравление

Отравление - это расстройство жизнедеятельности организма, возникшее из-за попадания в него яда или токсина. В зависимости от вида токсина различают отравления:

• угарным газом,
• ядохимикатами,
• алкоголем,
• лекарствами,
• пищей и другие.

От характера отравления зависят меры оказания первой помощи. Наиболее распространены пищевые отравления, сопровождаемые тошнотой, рвотой, поносом и болями в желудке. Пострадавшему в этом случае рекомендуется принимать по 3–5 граммов активированного угля через каждые 15 минут в течение часа, пить много воды, воздержаться от приёма пищи и обязательно обратиться к врачу.

Кроме того, распространены случайное или намеренное отравление лекарственными препаратами, а также алкогольные интоксикации.

В этих случаях первая помощь состоит из следующих шагов:

1. Промойте пострадавшему желудок. Для этого заставьте его выпить несколько стаканов подсоленной воды (на 1 л - 10 г соли и 5 г соды). После 2–3 стаканов вызовите у пострадавшего рвоту. Повторяйте эти действия, пока рвотные массы не станут «чистыми».
   

   Промывание желудка возможно только в том случае, если пострадавший в сознании.

2. Растворите в стакане воды 10–20 таблеток активированного угля, дайте выпить это пострадавшему.
3. Дождитесь приезда специалистов.

Первая помощь, первая медицинская помощь, термины, понятия, действия.

При оказании различных видов медицинской помощи используется медицинское имущество.

Медицинское имущество - это совокупность специальных материальных средств, предназначенных для:

Оказания медицинской помощи;

Выявления (диагностики), лечения;

Профилактики поражений и заболеваний;

Проведения санитарно - гигиенических и противоэпидемических мероприятий;

Оборудования медицинских учреждений и медицинских формирований.

Виды медицинcкого имущества:

- лекарственные средства,

Иммунологические препараты,

Перевязочные средства,

Шовный материал,

Дезинфекционные, дератизационные и дезинсекционные средства,

Предметы ухода за больными,

Медицинская техника,

Химические реактивы,

Лекарственное растительное сырье,

Минеральные воды.

В состав медицинского имущества, используемого для оказания первой медицинской помощи в очагах поражения, должны входить только специальные материальные средства, которые являются компактными, малогабаритными, не требующие источников энергообеспечения, всегда готовые к использованию.

Первая помощь - срочное выполнение лечебно-профилактических мероприятий, необходимых при несчастных случаях и внезапных заболеваниях, меры срочной помощи раненым или больным людям, предпринимаемые до прибытия врача или до помещения больного в больницу.

Первая медицинская помощь - это комплекс простейших медицинских мероприятий с использованием лекарственных средств, выполняемых человеком с медицинским образованием на месте получения повреждения в порядке само и взаимопомощи, а также участниками аварийно-спасательных работ с использованием табельных и подручных средств.

ПП - первая помощь (без использования лекарств и проведения медицинских манипуляций).

ПМП - первая медицинская помощь (с использованием лекарственных средств).

Задача первой медицинской помощи состоит в том, чтобы путем проведения простейших мероприятий спасти жизнь пострадавшему, уменьшить его страдания, предупредить развития возможных осложнений, облегчить тяжесть учения травмы или заболевании.

Временная остановка кровотечения, наложение стерильной повязки на рану и ожоговую поверхность, искусственное дыхание и непрямой массаж сердца, введение антидотов, дача антибиотиков, введение болеутоляющих (при шоке), тушение горящей одежды, транспортная иммобилизация, согревание, укрытие от жары и холода, надевание противогаза, удаление пораженного из зараженного участка, частичная санитарная обработка.

Оказание первой медицинской помощи в возможно более ранние сроки имеет решающее значение для дальнейшего течения и исхода поражения, а иногда и спасения жизни. При сильном кровотечении, поражении электрическим током, утоплении, прекращении сердечной деятельности и дыхания, и ряде других случаев первая медицинская помощь должна оказаться немедленно.

При оказании первой медицинской помощи используются табельные и подручные средства.

Табельными средствами оказания первой медицинской помощи являются :

Перевязочный материал - бинты, перевязочные пакеты медицинские, большие и малые стерильные повязки и салфетки, вата и др:

Жгуты - ленточные и трубчатые для остановки кровотечения;

Специальные шины - фанерные, лестничные, сетчатые и др. для обездвиживания путем проведения иммобилизации;

Медикаменты — раствор йода спиртовой 5%-ный в ампулах или в флаконе, 1—2%-ный спиртовой раствор бриллиантового зеленого во флаконе, валидол в таблетках, настойка валерианы, нашатырный спирт в ампулах, гидрокарбонат натрия (сода пищевая) в таблетках или порошке, вазелин и др.

Первая медицинская помощь включает:

Временную остановку кровотечения с помощью давящих повязок или жгута (закрутки из подручных средств);

Наложение повязки при повреждении кожи, ранении мягких тканей, ожоге или обморожении;

Устранение подвижности поврежденной или больной части тела (иммобилизация конечностей) при переломах, сдавливании тканей, ушибах;

Восстановление дыхания и сердечной деятельности путем применения искусственного дыхания и непрямого массажа сердца;

Согревание обмороженных участков тела до появления красноты;

Введение обезболивающих средств, антидотов (противоядий) и т.д.

Что человек может сделать в промежуток между обнаружением пострадавшего и приездом “скорой”? Он может не навредить и сделать так, чтобы состояние пострадавшего на момент появления врача не ухудшилось. Как уже было сказано, в основе программы - четкий и понятный алгоритм поведения на месте происшествия, позволяющий быстро оценить угрозы, опасности и состояние потерпевшего. Человек, знающий алгоритм, не тратит время на пустые размышления и не впадает в панику.

На уровне подсознания в голове его забиты простые действия:

а - осмотреть место происшествия, убедиться, что угрожает мне и потом - что угрожает пострадавшему.

б - осмотреть пострадавшего и постараться понять, есть ли угроза его жизни и если да, то от чего он может умереть прямо сейчас.

в - вызвать специалистов.

Оставаться с пострадавшим до приезда специалистов, стараясь сохранить или улучшить его состояние доступными методами.

Первая медицинская помощь пострадавшим оказывается непосредственно на месте поражения. Это достигается двумя путями:

Пораженные оказывают само- и взаимопомощь;

Немедленным привлечением спасателей и медицинских формирований.

Именно в таком порядке и никак иначе. Психологически понять это довольно сложно - такая постановка вопроса не вяжется со всеми понятиями о долге, чести и совести. И тут очень важно довести до понимания слушателя, что, поставив под угрозу собственную жизнь, он в результате не сможет спасти другого. А действия, связанные с риском для жизни - удел специалистов - пожарных, спасателей и т.п.

Оказывающий помощь должен суметь отличить потерю сознания от смерти. При обнаружении минимальных признаков жизни необходимо немедленно приступить к оказанию первой помощи.

Признаками жизни являются:

Наличие сердцебиения (его определяют рукой или ухом на грудной клетке в области левого соска);

Наличие пульса на артериях (его определяют на шее — сонная артерия, в области лучезапястного сустава — лучевая артерия, в паху — бедренная артерия);

Наличие дыхания (его определяют по движению грудной клетки и живота, увлажнению зеркала, приложенного к носу и рту пострадавшего, движению кусочка ваты или бинта, поднесенного к ноздрям;

Наличие реакции зрачков на свет. Если осветить глаз пучком света (например, фонариком), то наблюдается сужение зрачка — положительная реакция зрачка. При дневном свете эту реакцию можно проверить так: на некоторое время закрывают глаз рукой, затем быстро отводят руку в сторону, при этом заметно сужение зрачка.

Следует помнить, что отсутствие сердцебиения, пульса, дыхания и реакции зрачков на свет еще не означает, что пострадавший мертв. Подобный комплекс симптомов может наблюдаться и при клинической смерти, когда пострадавшему также необходимо оказать помощь в полном объеме.

Признаки смерти.

Оказание первой помощи бессмысленно при явных признаках смерти:

Помутнение и высыхание роговицы глаза;

Наличие симптома “кошачий глаз” — при сдавлении глаза зрачок деформируется и напоминает кошачий глаз;

похолодание тела, появление трупных пятен и трупного окоченения.

Трупные пятна сине-фиолетового или багрово-красного цвета выступают на коже при положении трупа на спине в области лопаток, поясницы, а при положении на животе — на лице, шее, груди, животе.

Трупное окоченение — этот бесспорный признак смерти - начинает появляться через 2-4 ч после смерти.

Все пораженные, независимо от тяжести поражения, после оказания первой медицинской помощи направляются в медицинские формирования и лечебные учреждения для осмотра врачами и определения характера дальнейшей медицинской помощи (первая врачебная помощь пораженным в ЧС).

Легко пораженные могут следовать пешим порядком (предпочтительно небольшими группами).

Тяжело пораженные вывозятся транспортными средствами.

Первая врачебная помощь пораженным в ЧС оказывается врачами формирований ЭМП, развернутых в зонах ЧС и сохранившихся лечебных учреждениях.

В данной статье будут изучены вопросы параллельности плоскостей. Дадим определение плоскостям, которые параллельны между собой; обозначим признаки и достаточные условия параллельности; рассмотрим теорию на иллюстрациях и практических примерах.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1

Параллельные плоскости – плоскости, не имеющие общих точек.

Чтобы обозначить параллельность применяют такой символ: ∥ . Если заданы две плоскости: α и β , являющиеся параллельными, краткая запись об этом будет выглядеть так: α ‖ β .

На чертеже, как правило, плоскости, параллельные друг другу, отображаются как два равных параллелограмма, имеющих смещение относительно друг друга.

В речи параллельность можно обозначить так: плоскости α и β параллельны, а также – плоскость α параллельна плоскости β или плоскость β параллельна плоскости α .

Параллельность плоскостей: признак и условия параллельности

В процессе решения геометрических задач зачастую возникает вопрос: а параллельны ли заданные плоскости между собой? Для получения ответа на этот вопрос используют признак параллельности, который также является достаточным условием параллельности плоскостей. Запишем его как теорему.

Теорема 1

Плоскости являются параллельными, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Доказательство этой теоремы приводится в программе геометрии за 10 - 11 класс.

В практике для доказательства параллельности, в том числе, применяют две следующие теоремы.

Теорема 2

Если одна из параллельных плоскостей параллельна третьей плоскости, то другая плоскость или также параллельна этой плоскости, или совпадает с ней.

Теорема 3

Если две несовпадающие плоскости перпендикулярны некоторой прямой, то они параллельны.

На основе этих теорем и самого признака параллельности доказывается факт параллельности любых двух плоскостей.

Рассмотрим подробнее необходимое и достаточное условие параллельности плоскостей α и β , заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Допустим, что в некоторой прямоугольной системе координат задана плоскость α, которой соответствует общее уравнение A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 , а также задана плоскость β , которую определяет общее уравнение вида A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .

Теорема 4

Для параллельности заданных плоскостей α и β необходимо и достаточно, чтобы система линейных уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 не имела решения (являлась несовместной).

Доказательство

Предположим, что заданные плоскости, определяемые уравнениями A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 являются параллельными, а значит не имеют общих точек. Таким образом, не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, координаты которой отвечали бы условиям одновременно обоих уравнений плоскостей, т.е. система A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 не имеет решения. Если указанная система не имеет решений, тогда не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, чьи координаты одновременно отвечали бы условиям обоих уравнений системы. Следовательно, плоскости, заданные уравнениями A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 не имеют ни одной общей точки, т.е. они параллельны.

Разберем использование необходимого и достаточного условия параллельности плоскостей.

Пример 1

Заданы две плоскости: 2 x + 3 y + z - 1 = 0 и 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0 . Необходимо определить, являются ли они параллельными.

Решение

Запишем систему уравнений из заданных условий:

2 x + 3 y + z - 1 = 0 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0

Проверим, возможно ли решить полученную систему линейных уравнений.

Ранг матрицы 2 3 1 2 3 1 1 3 равен одному, поскольку миноры второго порядка равны нулю. Ранг матрицы 2 3 1 1 2 3 1 1 3 - 4 равен двум, поскольку минор 2 1 2 3 - 4 отличен от нуля. Таким образом, ранг основной матрицы системы уравнений меньше, чем ранг расширенной матрицы системы.

Совместно с этим, из теоремы Кронекера-Капелли следует: система уравнений 2 x + 3 y + z - 1 = 0 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0 не имеет решений. Этим фактом доказывается, что плоскости 2 x + 3 y + z - 1 = 0 и 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0 являются параллельными.

Отметим, что, если бы мы применили для решения системы линейных уравнений метод Гаусса, это дало бы тот же результат.

Ответ: заданные плоскости параллельны.

Необходимое и достаточное условие параллельности плоскостей возможно описать по-другому.

Теорема 5

Чтобы две несовпадающие плоскости α и β были параллельны друг другу необходимо и достаточно, чтобы нормальные векторы плоскостей α и β являлись коллинеарными.

Доказательство сформулированного условия базируется на определении нормального вектора плоскости.

Допустим, что n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) и n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) являются нормальными векторами плоскостей α и β соответственно. Запишем условие коллинеарности данных векторов:

n 1 → = t · n 2 ⇀ ⇔ A 1 = t · A 2 B 1 = t · B 2 C 1 = t · C 2 , где t – некое действительное число.

Таким образом, чтобы несовпадающие плоскости α и β с заданными выше нормальными векторами были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы имело место действительное число t , для которого верно равенство:

n 1 → = t · n 2 ⇀ ⇔ A 1 = t · A 2 B 1 = t · B 2 C 1 = t · C 2

Пример 2

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства заданы плоскости α и β . Плоскость α проходит через точки: A (0 , 1 , 0) , B (- 3 , 1 , 1) , C (- 2 , 2 , - 2) . Плоскость β описывается уравнением x 12 + y 3 2 + z 4 = 1 Необходимо доказать параллельность заданных плоскостей.

Решение

Удостоверимся, что заданные плоскости не совпадают. Действительно, так и есть, поскольку координаты точки A не соответствуют уравнению плоскости β .

Следующим шагом определим координаты нормальных векторов n 1 → и n 2 → , соответствующие плоскостям α и β . Также проверим условие коллинеарности этих векторов.

Вектор n 1 → можно задать, взяв векторное произведение векторов A B → и A C → . Их координаты соответственно: (- 3 , 0 , 1) и (- 2 , 2 , - 2) . Тогда:

n 1 → = A B → × A C → = i → j → k → - 3 0 1 - 2 1 - 2 = - i → - 8 j → - 3 k → ⇔ n 1 → = (- 1 , - 8 , - 3)

Для получения координат нормального вектора плоскости x 12 + y 3 2 + z 4 = 1 приведем это уравнение к общему уравнению плоскости:

x 12 + y 3 2 + z 4 = 1 ⇔ 1 12 x + 2 3 y + 1 4 z - 1 = 0

Таким образом: n 2 → = 1 12 , 2 3 , 1 4 .

Осуществим проверку, выполняется ли условие коллинеарности векторов n 1 → = (- 1 , - 8 , - 3) и n 2 → = 1 12 , 2 3 , 1 4

Так как - 1 = t · 1 12 - 8 = t · 2 3 - 3 = t · 1 4 ⇔ t = - 12 , то векторы n 1 → и n 2 → связаны равенством n 1 → = - 12 · n 2 → , т.е. являются коллинеарными.

Ответ : плоскости α и β не совпадают; их нормальные векторы коллинеарные. Таким образом, плоскости α и β параллельны.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Классическое определение

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Свойства и признаки

• Если плоскость α параллельна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в другой плоскости β, то эти плоскости параллельны
• Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны
• Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну
• Отрезки параллельных прямых, ограниченные двумя параллельными плоскостями, равны
• Два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны и лежат в параллельных плоскостях

Аналитическое определение

параллельны, то нормальные векторы и коллинеарны (и обратно). Поэтому условие

Есть необходимое и достаточное условие параллельности или совпадения.

Пример 1

Плоскости и параллельны, так как

Пример 2

Плоскости и непараллельны так как , а
Замечание . Если не только коэффициенты при координатах, но и свободные члены пропорциональны, то есть если
то плоскости совпадают. Так уравнения и представляют одну и ту же плоскость.

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Параллельность плоскостей" в других словарях:

Отношение между прямыми. Определяется немного по разному в различных разделах геометрии. Содержание 1 В евклидовой геометрии 1.1 Свойства … Википедия

1) равное отстояние: такое положение линий или плоскостей, при котором они отстоят во всех точках одинако одна от другой. 2) сходство, напр. некоторых отдельных мест в Св. Писании. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка.… …

Параллельность осей вращения шпинделей - 2.6. Параллельность осей вращения шпинделей Допуск на расстоянии L = 150 мм 25 мкм. Параллельность осей вращения шпинделей рассчитывают по результатам измерения перпендикулярности (параллельности) шпинделей относительно измерительной базы по пп.… …

Параллельность линии центров делительной головки направляющим хобота в вертикальной и горизонтальной плоскостях - 3.3.4. Параллельность линии центров делительной головки направляющим хобота в вертикальной и горизонтальной плоскостях Черт. 44 Допуск, мкм, для станков с конусом шпинделя Морзе до 5 на длине L = 150 мм для головок классов точности: П … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Параллельность направляющих хобота оси вращения шпинделя в вертикальной и горизонтальной плоскостях - 1.15. Параллельность направляющих хобота оси вращения шпинделя в вертикальной и горизонтальной плоскостях Черт. 17 Допуск, мкм, на длине перемещения L = 150 мм для станков классов точности: П........................................ 12 В … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

ГОСТ 26016-83: Станки фрезерные широкоуниверсальные инструментальные. Нормы точности - Терминология ГОСТ 26016 83: Станки фрезерные широкоуниверсальные инструментальные. Нормы точности оригинал документа: 1.8. Взаимная перпендикулярность продольного перемещения вертикального стола направлению перемещения шпиндельной бабки Черт. 9… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

N мерная евклидова геометрия обобщение евклидовой геометрии на пространство большего числа измерений. Хотя физическое пространство является трёхмерным, и человеческие органы чувств рассчитаны на восприятие трёх измерений, N мерная… … Википедия

ГОСТ 2110-93: Станки расточные горизонтальные с крестовым столом. Нормы точности - Терминология ГОСТ 2110 93: Станки расточные горизонтальные с крестовым столом. Нормы точности оригинал документа: 4.18 Круглость: а) отверстия d1; б) поверхности 5 … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

ГОСТ 30027-93: Модули гибкие производственные и станки многоцелевые сверлильно-фрезерно-расточные. Нормы точности - Терминология ГОСТ 30027 93: Модули гибкие производственные и станки многоцелевые сверлильно фрезерно расточные. Нормы точности оригинал документа: 4.10 Круглость: а) отверстия d1; б) поверхности 5 … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

1) сравнительное сопоставление каких либо предметов или вопросов; 2) то же, что параллельность, см. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ЛИНИИ. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Павленков Ф., 1907. ПАРАЛЛЕЛИЗМ Сравнит, сопоставление каких… … Словарь иностранных слов русского языка

Книги

• Математика. 10-11 классы. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. Учебник. ФГОС , Бутузов Валентин Федорович , Прасолов Виктор Васильевич , Линия УМК`Бутузов В. Ф. (10-11 классы)`Учебник написан в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом основного общего образования и предназначен как для базового,… Категория: Учебники для школьников Серия: МГУ - школе Издатель: Просвещение , Производитель:

Две плоскости в пространстве могут быть параллельными или могут пересекаться, как показано в следующей таблице.

Две пересекающиеся плоскости

Определение: Две плоскости называют пересекающимися , если они не совпадают , и у них есть общие точки . В случае, когда две плоскости пересекаются, пересечением этих плоскостей является прямая линия .

Две параллельные плоскости

Определение: Две плоскости называют параллельными , если они не имеют общих точек .

Признаки параллельности двух плоскостей

Первый признак параллельности двух плоскостей . Если две пересекающиеся прямые пересекающиеся прямые , лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 1, на котором изображены плоскости α и β

Прямые a и b лежат в плоскости α и пересекаются в точке K . Прямые c и d лежат в плоскости β и параллельны прямым a и b соответственно.

Будем доказывать первый признак параллельности двух плоскостей методом «от противного». Для этого предположим, что плоскости α и β не параллельны. Следовательно, плоскости α и β должны пересекаться, причём пересекаться по некоторой прямой. Обозначим прямую линию, по которой пересекаются плоскости α и β буквой l (рис.2) и воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости .

Плоскость α проходит через прямую a , параллельную прямой c , и пересекает плоскость β по прямой l . Отсюда, в силу , заключаем, что прямые a и l параллельны. В то же время плоскость α проходит через прямую b , параллельную прямой d , и пересекает плоскость β по прямой l . Отсюда, в силу признака параллельности прямой и плоскости , заключаем, что прямые b и l параллельны. Таким образом, мы получили, что на плоскости α через точку K проходят две прямые, а именно, прямые a и b , которые параллельны прямой l . Полученное противоречие с аксиомой о параллельных прямых даёт возможность утверждать, что предположение о том, что плоскости α и β пересекаются, является неверным. Доказательство первого признака параллельности двух плоскостей завершено.

Второй признак параллельности двух плоскостей . Если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 3, на котором изображены плоскости α и β .

На этом рисунке также изображены прямые a и b , которые лежат в плоскости α и пересекаются в точке K. По условию каждая из прямых a и b параллельна плоскости β . Требуется доказать, что плоскости α и β параллельны.

Доказательство этого утверждения аналогично доказательству первого признака параллельности двух плоскостей, и мы его оставляем читателю в качестве полезного упражнения.

На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике .

индивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку