मुक्त अप्रकाशित हार्मोनिक कंपन का समीकरण। हार्मोनिक समीकरण वोल्टेज हार्मोनिक समीकरण

सर्किट में दोलनों को उत्तेजित करने के लिए, संधारित्र को पहले से चार्ज किया जाता है, इसकी प्लेटों को चार्ज प्रदान करता है ± क्यू... फिर समय के प्रारंभिक क्षण में टी = 0 (अंजीर। 19, ए)संधारित्र की प्लेटों के बीच एक विद्युत क्षेत्र दिखाई देगा। यदि आप संधारित्र को प्रारंभ करनेवाला को बंद करते हैं, तो संधारित्र निर्वहन करना शुरू कर देगा, और सर्किट में एक बढ़ती हुई धारा प्रवाहित होगी। मैं... जब संधारित्र पूरी तरह से डिस्चार्ज हो जाता है, तो संधारित्र के विद्युत क्षेत्र की ऊर्जा पूरी तरह से कुंडल के चुंबकीय क्षेत्र की ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है (चित्र 19, बी) इस क्षण से, सर्किट में करंट कम हो जाएगा, और इसलिए, कॉइल का चुंबकीय क्षेत्र कमजोर होना शुरू हो जाएगा, फिर इसमें फैराडे के नियम के अनुसार एक करंट प्रेरित होता है, जो उसी में लेनज़ के नियम के अनुसार बहता है। संधारित्र निर्वहन धारा के रूप में दिशा। संधारित्र रिचार्ज करना शुरू कर देगा, एक विद्युत क्षेत्र दिखाई देगा, जो वर्तमान को कमजोर करने के लिए प्रवृत्त होगा, जो अंत में गायब हो जाएगा, और संधारित्र प्लेटों पर चार्ज अधिकतम तक पहुंच जाएगा (चित्र। 19, वी) इसके अलावा, वही प्रक्रियाएं विपरीत दिशा में आगे बढ़ना शुरू हो जाएंगी (चित्र 19, जी), और उस समय की प्रणाली टी = टी (टी- दोलन अवधि) अपनी मूल स्थिति में वापस आ जाएगी (चित्र 19, ए) उसके बाद, संधारित्र के निर्वहन और चार्जिंग के विचार चक्र की पुनरावृत्ति शुरू हो जाएगी, यानी चार्ज के मूल्य में आवधिक निरंतर उतार-चढ़ाव शुरू हो जाएगा। क्यूसंधारित्र प्लेटों पर, वोल्टेज यू सीसंधारित्र और एम्परेज पर मैंप्रारंभ करनेवाला के माध्यम से बह रहा है। फैराडे के नियम के अनुसार वोल्टेज यू सीसंधारित्र पर आदर्श परिपथ के प्रारंभ करनेवाला में धारा के परिवर्तन की दर से निर्धारित होता है, अर्थात्:

इस तथ्य के आधार पर कि यू सी = क्यू / सी, ए मैं = डीक्यू / डीटी,हम पाते हैं मुक्त अप्रकाशित हार्मोनिक दोलनों का अंतर समीकरणचार्ज परिमाण क्यूसंधारित्र प्लेटों पर:

या .

इस अवकल समीकरण का हल फलन है क्यू(टी), अर्थात् मुक्त अप्रकाशित हार्मोनिक दोलनों का समीकरणचार्ज परिमाण क्यूसंधारित्र प्लेटों पर:

कहाँ पे क्यू(टीटी;

क्यू 0 - संधारित्र प्लेटों पर आवेश दोलनों का आयाम;

- परिपत्र (या चक्रीय) कंपन आवृत्ति ();

2 /टी(टी- दोलन अवधि, –थॉमसन का सूत्र);

- समय के क्षण में दोलनों का चरण टी;

- दोलनों का प्रारंभिक चरण, अर्थात् समय के समय दोलनों का चरण टी=0.

मुक्त नम हार्मोनिक दोलनों का समीकरण।एक वास्तविक ऑसिलेटरी सर्किट में, यह ध्यान में रखा जाता है कि, इंडक्शन कॉइल के अलावा एल,संधारित्र क्षमता साथ, सर्किट में प्रतिरोध के साथ एक रोकनेवाला भी होता है आर, शून्य के अलावा, जो वास्तविक दोलक परिपथ में दोलनों के अवमंदन का कारण है। मुफ़्त नम दोलन- दोलन, जिसका आयाम वास्तविक दोलन प्रणाली द्वारा ऊर्जा हानि के कारण समय के साथ घटता जाता है।

एक श्रृंखला से जुड़े संधारित्र पर एक क्षमता के साथ एक वास्तविक ऑसिलेटरी वोल्टेज सर्किट के सर्किट के लिए साथऔर प्रतिरोधी प्रतिरोध आरजोड़ें। फिर, वास्तविक दोलकीय परिपथ के परिपथ के लिए फैराडे के नियम को ध्यान में रखते हुए, हम लिख सकते हैं:

,

कॉइल में स्व-प्रेरण का इलेक्ट्रोमोटिव बल कहां है;

यू सी- संधारित्र में वोल्टेज ( यू सी = क्यू / सी);

आईआर- रोकनेवाला भर में वोल्टेज।

इस तथ्य के आधार पर कि मैं = डीक्यू / डीटी,हम पाते हैं मुक्त नम हार्मोनिक दोलनों का अंतर समीकरणचार्ज परिमाण क्यूसंधारित्र प्लेटों पर:

या ,

दोलनों () का अवमंदन गुणांक कहाँ है।

क्यू(टी), अर्थात् मुक्त नम हार्मोनिक दोलनों का समीकरणचार्ज परिमाण क्यूसंधारित्र प्लेटों पर:

कहाँ पे क्यू(टी) समय के क्षण में संधारित्र प्लेटों पर आवेश की मात्रा है टी;

समय के क्षण में आवेश के अवमंद दोलनों का आयाम है टी;

क्यू 0 - नम आवेश दोलनों का प्रारंभिक आयाम;

- वृत्ताकार (या चक्रीय) कंपन आवृत्ति ( );

- समय के क्षण में भीगने वाले दोलनों का चरण टी;

- नम दोलनों का प्रारंभिक चरण।

एक वास्तविक दोलन सर्किट में मुक्त नम दोलनों की अवधि:

.

मजबूर विद्युत चुम्बकीय दोलन... एक वास्तविक दोलन प्रणाली में निरंतर दोलन प्राप्त करने के लिए, दोलनों की प्रक्रिया में ऊर्जा के नुकसान की भरपाई करना आवश्यक है। एक वास्तविक ऑसिलेटरी सर्किट में ऐसा मुआवजा एक बाहरी वैकल्पिक वोल्टेज की मदद से संभव है जो समय-समय पर हार्मोनिक कानून के अनुसार बदलता रहता है यू(टी):

.

इस मामले में मजबूर विद्युत चुम्बकीय दोलनों का अंतर समीकरणफॉर्म लेगा:

या .

परिणामी अवकल समीकरण का हल फलन है क्यू(टी):

स्थिर अवस्था में, बलपूर्वक दोलन आवृत्ति के साथ होते हैं वूऔर हार्मोनिक हैं, और दोलनों का आयाम और चरण निम्नलिखित अभिव्यक्तियों द्वारा निर्धारित किया जाता है:

; .

इससे यह निम्नानुसार है कि आवेश के परिमाण में उतार-चढ़ाव का आयाम बाहरी स्रोत की गुंजयमान आवृत्ति पर अधिकतम होता है:

.

मजबूर दोलनों के आयाम में तेज वृद्धि की घटना जब मजबूर प्रत्यावर्ती वोल्टेज की आवृत्ति आवृत्ति के करीब आवृत्ति के करीब पहुंचती है, कहलाती है प्रतिध्वनि।

विषय 10. विद्युत चुम्बकीय तरंगें

मैक्सवेल के सिद्धांत के अनुसार, विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र विद्युत चुम्बकीय तरंगों के रूप में मौजूद हो सकते हैं, चरण वेग जिसका वितरण अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है:

,

जहां और क्रमशः विद्युत और चुंबकीय स्थिरांक हैं,

इतथा एम- क्रमशः, माध्यम की विद्युत और चुंबकीय पारगम्यता,

साथनिर्वात में प्रकाश की गति है ()।

निर्वात में ( इ= 1, एम= एल) विद्युत चुम्बकीय तरंगों के प्रसार की गति प्रकाश की गति के साथ मेल खाती है ( साथ), जो मैक्सवेल के सिद्धांत के अनुरूप है कि

वह प्रकाश विद्युत चुम्बकीय तरंगें हैं।

मैक्सवेल के सिद्धांत के अनुसार विद्युतचुम्बकीय तरंगेंहैं अनुप्रस्थ,अर्थात्, विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र के सदिश और शक्तियाँ परस्पर लंबवत हैं और सदिश के लंबवत समतल में स्थित हैं

तरंग प्रसार वेग, और वैक्टर , और एक दाहिने हाथ की प्रणाली बनाते हैं (चित्र 20)।

यह मैक्सवेल के सिद्धांत का भी अनुसरण करता है कि एक विद्युत चुम्बकीय तरंग में वैक्टर और समान चरणों में दोलन करते हैं (चित्र 20), यानी तीव्रता के मान इतथा एनविद्युत और चुंबकीय क्षेत्र एक साथ अधिकतम तक पहुंच जाते हैं और एक साथ गायब हो जाते हैं, और तात्कालिक मान इतथा एनअनुपात से संबंधित: .

एक समतल मोनोक्रोमैटिक विद्युत चुम्बकीय तरंग का समीकरण(सूचकांक परतथा जेडपर इतथा एनकेवल इस बात पर जोर दें कि वैक्टर और अंजीर के अनुसार परस्पर लंबवत अक्षों के साथ निर्देशित हैं। बीस)।

उतार चढ़ावउन आंदोलनों या प्रक्रियाओं को कहा जाता है जिन्हें समय में एक निश्चित दोहराव की विशेषता होती है। ऑसिलेटरी प्रक्रियाएं प्रकृति और प्रौद्योगिकी में व्यापक हैं, उदाहरण के लिए, एक घड़ी के पेंडुलम का स्विंग, वैकल्पिक विद्युत प्रवाह, आदि। पेंडुलम के ऑसिलेटरी मूवमेंट के दौरान, इसके द्रव्यमान परिवर्तन के केंद्र का समन्वय; प्रत्यावर्ती धारा के मामले में, सर्किट में वोल्टेज और करंट में उतार-चढ़ाव होता है। दोलनों की भौतिक प्रकृति भिन्न हो सकती है, इसलिए, वे यांत्रिक, विद्युत चुम्बकीय, आदि दोलनों के बीच अंतर करते हैं। हालाँकि, विभिन्न दोलन प्रक्रियाओं को समान विशेषताओं और समान समीकरणों द्वारा वर्णित किया जाता है। इसलिए समीचीनता एकीकृत दृष्टिकोणकंपन के अध्ययन के लिए विभिन्न भौतिक प्रकृति के।

दोलन कहलाते हैं नि: शुल्क, यदि वे केवल प्रणाली के तत्वों के बीच अभिनय करने वाले आंतरिक बलों के प्रभाव में किए जाते हैं, तो सिस्टम को बाहरी बलों द्वारा संतुलन की स्थिति से बाहर निकालने के बाद और खुद को छोड़ दिया जाता है। हमेशा मुक्त कंपन नम दोलन , क्योंकि वास्तविक प्रणालियों में, ऊर्जा हानियां अपरिहार्य हैं। ऊर्जा हानि के बिना एक प्रणाली के आदर्श मामले में, मुक्त दोलन (जब तक आप चाहें तब तक जारी) कहलाते हैं अपना.

मुक्त निरंतर दोलनों का सबसे सरल प्रकार है हार्मोनिक कंपन -उतार-चढ़ाव जिसमें उतार-चढ़ाव मूल्य समय के साथ साइन (कोसाइन) कानून के अनुसार बदलता है। प्रकृति और प्रौद्योगिकी में पाए जाने वाले दोलनों का चरित्र अक्सर सामंजस्यपूर्ण होता है।

हार्मोनिक कंपन को एक समीकरण द्वारा वर्णित किया जाता है जिसे हार्मोनिक कंपन समीकरण कहा जाता है:

कहाँ पे ए- उतार-चढ़ाव का आयाम, उतार-चढ़ाव की मात्रा का अधिकतम मूल्य एक्स; - परिपत्र (चक्रीय) प्राकृतिक आवृत्ति; - समय के क्षण में दोलन का प्रारंभिक चरण टी= 0; - समय के क्षण में दोलन का चरण टी।दोलन का चरण किसी निश्चित समय पर दोलन मात्रा का मान निर्धारित करता है। चूँकि कोसाइन +1 से -1 तक भिन्न होता है, तो एक्स+ . से मान ले सकते हैं एइससे पहले - ए.

समय टी, जिसके दौरान सिस्टम एक पूर्ण दोलन करता है, कहलाता है उतार-चढ़ाव की अवधि. दौरान टीस्विंग चरण 2 . की वृद्धि प्राप्त करता है π , अर्थात।

कहां । (14.2)

दोलन काल का व्युत्क्रम

यानी प्रति इकाई समय में पूर्ण कंपनों की संख्या को कंपन आवृत्ति कहा जाता है। (14.2) और (14.3) की तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है

आवृत्ति की इकाई हर्ट्ज़ (हर्ट्ज) है: 1 हर्ट्ज वह आवृत्ति है जिस पर 1 एस में एक पूर्ण दोलन होता है।

वे तंत्र जिनमें मुक्त कंपन हो सकते हैं, कहलाते हैं दोलन . मुक्त दोलनों में उत्पन्न होने के लिए एक प्रणाली के पास कौन से गुण होने चाहिए? यांत्रिक प्रणाली में होना चाहिए स्थिर संतुलन, जिससे बाहर निकलने पर प्रकट होता है संतुलन की स्थिति की ओर बल बहाल करना... जैसा कि ज्ञात है, यह स्थिति सिस्टम की न्यूनतम संभावित ऊर्जा से मेल खाती है। सूचीबद्ध गुणों को संतुष्ट करने वाले कई दोलन प्रणालियों पर विचार करें।

साइन या कोसाइन के नियमों का उपयोग करके किसी भी मात्रा में परिवर्तन का वर्णन किया जाता है, तो ऐसे दोलनों को हार्मोनिक कहा जाता है। एक संधारित्र (जो सर्किट से कनेक्ट होने से पहले चार्ज किया गया था) और एक प्रारंभ करनेवाला (छवि 1) से मिलकर एक सर्किट पर विचार करें।

चित्र 1।

हार्मोनिक कंपन समीकरण निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

$ q = q_0cos ((\ ओमेगा) _0t + (\ अल्फा) _0) $ (1)

जहां $ t $ समय है; $ q $ शुल्क, $ q_0 $ परिवर्तन के दौरान अपने औसत (शून्य) मान से शुल्क का अधिकतम विचलन है; $ (\ ओमेगा) _0t + (\ अल्फा) _0 $ - दोलन चरण; $ (\ अल्फा) _0 $ - प्रारंभिक चरण; $ (\ ओमेगा) _0 $ - चक्रीय आवृत्ति। अवधि के दौरान, चरण $ 2 \ pi $ से बदल जाता है।

फॉर्म का समीकरण:

एक थरथरानवाला सर्किट के लिए अंतर रूप में हार्मोनिक दोलनों का समीकरण जिसमें सक्रिय प्रतिरोध नहीं होगा।

किसी भी प्रकार के आवधिक दोलनों को हार्मोनिक दोलनों के योग के रूप में सटीक रूप से दर्शाया जा सकता है, तथाकथित हार्मोनिक श्रृंखला।

सर्किट की दोलन अवधि के लिए, जिसमें एक कॉइल और एक कैपेसिटर होता है, हमें थॉमसन फॉर्मूला मिलता है:

यदि हम समय के संबंध में अभिव्यक्ति (1) को अलग करते हैं, तो हम $ I (t) $ फ़ंक्शन के लिए सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:

संधारित्र के पार वोल्टेज इस प्रकार पाया जा सकता है:

सूत्रों (5) और (6) से यह निम्नानुसार है कि वर्तमान ताकत संधारित्र के पार वोल्टेज से $ \ frac (\ pi) (2) से आगे है। $

हार्मोनिक कंपन को समीकरणों, कार्यों और वेक्टर आरेखों दोनों के रूप में दर्शाया जा सकता है।

समीकरण (1) मुक्त अविच्छिन्न दोलनों का प्रतिनिधित्व करता है।

नम दोलन समीकरण

सर्किट में कैपेसिटर प्लेटों पर चार्ज परिवर्तन ($ q $), प्रतिरोध (छवि 2) को ध्यान में रखते हुए, फॉर्म के अंतर समीकरण द्वारा वर्णित किया जाएगा:

चित्र 2।

यदि प्रतिरोध जो सर्किट का हिस्सा है $ R \

जहाँ $ \ ओमेगा = \ sqrt (\ frac (1) (LC) - \ frac (R ^ 2) (4L ^ 2)) $ चक्रीय दोलन आवृत्ति है। $ \ बीटा = \ फ्रैक (आर) (2 एल) - $ डंपिंग कारक। भीगे हुए दोलनों का आयाम इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

इस घटना में कि $ t = 0 $ पर कैपेसिटर पर चार्ज $ q = q_0 $ के बराबर है, सर्किट में कोई करंट नहीं है, तो $ A_0 $ के लिए आप लिख सकते हैं:

समय के प्रारंभिक क्षण में दोलन चरण ($ (\ alpha) _0 $) के बराबर है:

$ R> 2 \ sqrt (\ frac (L) (C)) $ पर, आवेश परिवर्तन दोलन नहीं है, संधारित्र निर्वहन को एपेरियोडिक कहा जाता है।

उदाहरण 1

व्यायाम:अधिकतम शुल्क मूल्य $ q_0 = 10 \ C $ है। यह $ T = 5 c $ की अवधि के साथ सामंजस्यपूर्ण रूप से बदलता है। अधिकतम संभव एम्परेज निर्धारित करें।

समाधान:

समस्या को हल करने के आधार के रूप में, हम उपयोग करते हैं:

वर्तमान ताकत को खोजने के लिए, अभिव्यक्ति (1.1) को समय में विभेदित किया जाना चाहिए:

जहां वर्तमान ताकत का अधिकतम (आयाम मूल्य) अभिव्यक्ति है:

समस्या की स्थितियों से, हम चार्ज के आयाम मूल्य ($ q_0 = 10 \ Cl $) को जानते हैं। प्राकृतिक कंपन आवृत्ति का पता लगाना आवश्यक है। हम इसे इस प्रकार व्यक्त करते हैं:

\ [(\ ओमेगा) _0 = \ फ्रैक (2 \ पीआई) (टी) \ बाएं (1.4 \ दाएं)। \]

इस मामले में, वांछित मूल्य समीकरणों (1.3) और (1.2) का उपयोग करके पाया जाएगा:

चूंकि एसआई प्रणाली में समस्या की स्थितियों में सभी मात्राएं प्रस्तुत की जाती हैं, इसलिए हम गणना करेंगे:

उत्तर:$ I_0 = 12.56 \ A. $

उदाहरण 2

व्यायाम:सर्किट में दोलन अवधि क्या है, जिसमें प्रारंभ करनेवाला $ L = 1 $ H और संधारित्र होता है, यदि सर्किट में धारा कानून के अनुसार बदलती है: $ I \ बाएँ (t \ दाएँ) = - 0,1sin20 \ pi t \\ बाएँ (A \ दाएँ)? $ संधारित्र की धारिता क्या है?

समाधान:

वर्तमान उतार-चढ़ाव के समीकरण से, जो समस्या की स्थितियों में दिया गया है:

हम देखते हैं कि $ (\ ओमेगा) _0 = 20 \ pi $, इसलिए, हम सूत्र द्वारा दोलन अवधि की गणना कर सकते हैं:

\ \

एक प्रारंभ करनेवाला और एक संधारित्र वाले सर्किट के लिए थॉमसन के सूत्र के अनुसार, हमारे पास है:

आइए क्षमता की गणना करें:

उत्तर:$ टी = 0,1 $ सी, $ सी = 2,5 \ cdot (10) ^ (- 4) एफ। $