प्रथम प्रकार के अनुचित अभिन्न अंग।संक्षेप में, यह वही निश्चित अभिन्न अंग है, लेकिन ऐसे मामलों में जहां अभिन्नों में एकीकरण की अनंत ऊपरी या निचली सीमाएं होती हैं, या एकीकरण की दोनों सीमाएं अनंत होती हैं।

दूसरे प्रकार के अनुचित अभिन्न अंग।संक्षेप में, यह वही निश्चित अभिन्न अंग है, लेकिन ऐसे मामलों में जहां अभिन्न कार्यों को असीमित कार्यों से लिया जाता है, बिंदुओं की एक सीमित संख्या में एकीकृत में एकीकरण का एक सीमित खंड नहीं होता है, जो अनंत में बदल जाता है।

तुलना के लिए।एक निश्चित अभिन्न की अवधारणा को प्रस्तुत करते समय, यह माना गया कि कार्य एफ(एक्स) अंतराल पर निरंतर है [ ए, बी], और एकीकरण खंड परिमित है, अर्थात, यह संख्याओं द्वारा सीमित है, अनंत द्वारा नहीं। कुछ कार्यों के लिए इन प्रतिबंधों को त्यागने की आवश्यकता होती है। इस प्रकार अनुचित अभिन्न अंग प्रकट होते हैं।

अनुचित समाकलन का ज्यामितीय अर्थयह काफी सरलता से पता चलता है. उस स्थिति में जब किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ य = एफ(एक्स) अक्ष के ऊपर है बैल, निश्चित समाकलन एक वक्र से घिरे वक्ररेखीय समलम्बाकार क्षेत्र को व्यक्त करता है य = एफ(एक्स) , एक्स-अक्ष और निर्देशांक एक्स = ए , एक्स = बी. बदले में, अनुचित अभिन्न अंग रेखाओं के बीच घिरे एक असीमित (अनंत) घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र को व्यक्त करता है य = एफ(एक्स) (नीचे चित्र में - लाल), एक्स = एऔर भुज अक्ष.

अन्य अनंत अंतरालों के लिए अनुचित अभिन्नों को इसी तरह परिभाषित किया गया है:

एक अनंत घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्र एक सीमित संख्या हो सकता है, इस स्थिति में अनुचित अभिन्न अंग को अभिसरण कहा जाता है। क्षेत्रफल अनन्त भी हो सकता है और इस स्थिति में अनुचित समाकलन को अपसारी कहा जाता है।

अनुचित पूर्णांक के स्थान पर पूर्णांक की सीमा का उपयोग करना।अनुचित समाकलन का मूल्यांकन करने के लिए, आपको निश्चित समाकलन की सीमा का उपयोग करने की आवश्यकता है। यदि यह सीमा मौजूद है और परिमित है (अनंत के बराबर नहीं), तो अनुचित अभिन्न को अभिसरण कहा जाता है, और अन्यथा - अपसारी। सीमा चिन्ह के अंतर्गत एक चर की प्रवृत्ति किस ओर होती है यह इस बात पर निर्भर करता है कि हम पहले प्रकार के अनुचित अभिन्न अंग से निपट रहे हैं या दूसरे प्रकार के। आइये अब इसके बारे में जानते हैं.

पहले प्रकार के अनुचित अभिन्न अंग - अनंत सीमाओं और उनके अभिसरण के साथ

अनंत ऊपरी सीमा के साथ अनुचित अभिन्न अंग

इसलिए, एक अनुचित समाकलन लिखना सामान्य निश्चित समाकलन से इस मायने में भिन्न है कि एकीकरण की ऊपरी सीमा अनंत है।

परिभाषा। एक सतत फ़ंक्शन के एकीकरण की अनंत ऊपरी सीमा के साथ एक अनुचित अभिन्न अंग एफ(एक्स) से अंतराल में ए पहले ∞ एकीकरण की ऊपरी सीमा के साथ इस फ़ंक्शन के अभिन्न अंग की सीमा को कहा जाता है बी और एकीकरण की निचली सीमा ए बशर्ते कि एकीकरण की ऊपरी सीमा बिना किसी सीमा के बढ़ती हो, अर्थात।

.

यदि यह सीमा मौजूद है और अनंत के बजाय किसी संख्या के बराबर है, तो एक अनुचित अभिन्न अंग को अभिसरण कहा जाता है, और जिस संख्या की सीमा बराबर होती है उसे उसके मान के रूप में लिया जाता है। अन्यथा एक अनुचित समाकलन को अपसारी कहा जाता हैऔर इसका कोई अर्थ नहीं बताया गया है।

उदाहरण 1. अनुचित समाकलन की गणना करें(यदि यह अभिसरण होता है)।

समाधान। अनुचित अभिन्न की परिभाषा के आधार पर, हम पाते हैं

चूँकि सीमा मौजूद है और 1 के बराबर है, तो यह अनुचित अभिन्न अभिसरणऔर 1 के बराबर है.

निम्नलिखित उदाहरण में, इंटीग्रैंड लगभग उदाहरण 1 जैसा ही है, केवल डिग्री x दो नहीं है, बल्कि अक्षर अल्फा है, और कार्य अभिसरण के लिए अनुचित इंटीग्रल का अध्ययन करना है। अर्थात्, इस प्रश्न का उत्तर दिया जाना बाकी है: यह अनुचित अभिन्न अंग अल्फ़ा के किन मूल्यों पर अभिसरण करता है, और किन मूल्यों पर इसका विचलन होता है?

उदाहरण 2. अभिसरण के लिए अनुचित अभिन्न अंग की जांच करें(एकीकरण की निचली सीमा शून्य से अधिक है)।

समाधान। आइए पहले यह मान लें कि, फिर

परिणामी अभिव्यक्ति में, हम इस सीमा पर जाते हैं:

यह देखना आसान है कि दाईं ओर की सीमा मौजूद है और शून्य के बराबर है जब, यानी, और जब, यानी, तब मौजूद नहीं होती है।

पहले मामले में, वह है, जब . तो अगर और अस्तित्व में नहीं है.

हमारे अध्ययन का निष्कर्ष इस प्रकार है: यह अनुचित अभिन्न अभिसरणपर और विचलनपर ।

अध्ययन किए जा रहे अनुचित अभिन्न अंग के प्रकार पर न्यूटन-लीबनिज सूत्र को लागू करना , आप निम्न सूत्र प्राप्त कर सकते हैं, जो इसके समान है:

.

यह एक सामान्यीकृत न्यूटन-लीबनिज सूत्र है।

उदाहरण 3. अनुचित समाकलन की गणना करें(यदि यह अभिसरण होता है)।

इस अभिन्न की सीमा मौजूद है:

दूसरा अभिन्न, मूल अभिन्न को व्यक्त करने वाला योग बनाता है:

इस अभिन्न की सीमा भी मौजूद है:

.

हम दो अभिन्नों का योग पाते हैं, जो दो अनंत सीमाओं के साथ मूल अनुचित अभिन्न का मूल्य भी है:

दूसरे प्रकार के अनुचित अभिन्न अंग - असीमित कार्यों और उनके अभिसरण से

कार्य करने दो एफ(एक्स) से खंड पर दिया गया है ए पहले बी और इस पर असीमित है. मान लीजिए कि फ़ंक्शन बिंदु पर अनंत तक जाता है बी , जबकि खंड के अन्य सभी बिंदुओं पर यह निरंतर है।

परिभाषा। किसी फ़ंक्शन का अनुचित अभिन्न अंग एफ(एक्स) से खंड पर ए पहले बी एकीकरण की ऊपरी सीमा के साथ इस फ़ंक्शन के अभिन्न अंग की सीमा को कहा जाता है सी , यदि प्रयास करते समय सी को बी फ़ंक्शन बिना किसी सीमा के और बिंदु पर बढ़ता है एक्स = बी फ़ंक्शन परिभाषित नहीं है, अर्थात।

.

यदि यह सीमा विद्यमान हो तो दूसरे प्रकार का अनुचित समाकलन अभिसारी कहलाता है, अन्यथा अपसारी कहलाता है।

न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं।

अनुचित अभिन्न अंग

Lk5.6(4h)

यह अवधारणा इस धारणा के तहत पेश की गई थी कि:

1) एकीकरण अंतराल परिमित है (खंड [ ए;बी]),

2) कार्य एफ(एक्स) तक सीमित है [ ए;बी].

ऐसे निश्चित समाकलन को कहते हैं अपना("अपना" शब्द हटा दिया गया है)। यदि इनमें से कोई भी शर्त पूरी नहीं होती है, तो निश्चित अभिन्न अंग कहा जाता है तुम्हारा अपना नहीं. पहले और दूसरे प्रकार के अनुचित अभिन्न अंग हैं।

1. प्रथम प्रकार के अनुचित समाकलन की परिभाषा

आइए हम एक अनंत अंतराल के लिए एक निश्चित अभिन्न अंग की अवधारणा को सामान्यीकृत करें। होने देना एफ(एक्स) अंतराल पर परिभाषित किया गया है [ ए;+¥) और इसके प्रत्येक परिमित भाग में पूर्णांक है, अर्थात। इस मामले में एक अभिन्न अंग है. यह स्पष्ट है कि एक फ़ंक्शन परिभाषित है [ ए;+¥). चलो गौर करते हैं। यह सीमा मौजूद हो भी सकती है और नहीं भी, लेकिन इसकी परवाह किए बिना इसे कहा जाता है प्रथम प्रकार का अनुचित अभिन्न अंगऔर नामित किया गया है.

परिभाषा।यदि अस्तित्व है और परिमित है, तो अनुचित अभिन्न अंग कहा जाता है संमिलित, और इस सीमा का मान अनुचित अभिन्न का मान है। . यदि अस्तित्व में नहीं है या ¥ के बराबर है, तो अनुचित अभिन्न अंग कहा जाता है विभिन्न.

इसी प्रकार परिभाषित,

उदाहरण 1।अभिन्न के अभिसरण की जांच करें।

D निरंतर है [ ए;+¥) .

यदि , तब , और Þ अभिन्न अभिसरण करते हैं।

यदि, तो अभिन्न विचलन करता है।

इसलिए, पर अभिसरण तथा ;

.D पर विचलन करता है

2. प्रथम प्रकार के अनुचित समाकलन के गुण

चूंकि अनुचित इंटीग्रल को रीमैन इंटीग्रल की सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है, तो सीमा तक पारित होने के दौरान संरक्षित सभी गुण अनुचित इंटीग्रल में स्थानांतरित हो जाते हैं, यानी गुण 1-8 संतुष्ट हैं। माध्य मान प्रमेय का कोई अर्थ नहीं है।

3. न्यूटन-लीबनिज सूत्र

कार्य करने दो एफनिरंतर है [ ए;+¥), एफ- प्रतिअवकलनात्मक है और अस्तित्व में है। तब न्यूटन-लीबनिज सूत्र मान्य है:

वास्तव में,

उदाहरण 2.डी। डी

प्रथम प्रकार के अनुचित समाकलन का ज्यामितीय अर्थ

कार्य करने दो एफगैर-नकारात्मक और निरंतर है [ ए;+¥) और अनुचित अभिन्न अभिसरण होता है। आधार के साथ एक घुमावदार समलंब के क्षेत्रफल के बराबर [ ए;बी], और आधार वाले क्षेत्रफल के बराबर है [ ए;+¥).

4. गैर-नकारात्मक कार्यों का अनुचित अभिन्न अंग

प्रमेय 1.होने देना एफ(एक्स)³0 पर [ ए;+¥) और पर पूर्णांकित [ ए;बी] "बी>ए. एक अनुचित अभिन्न के अभिसरण के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि अभिन्नों का सेट ऊपर से घिरा हो, और।

सबूत।

फ़ंक्शन पर विचार करें, ए£ बी. क्योंकि एफ(एक्स)³0, फिर एफवास्तव में घटता नहीं है, " बी 1 , बी 2: ए£ बी 1 <बी 2 इस तथ्य के कारण कि, पूरा हो गया है

परिभाषा के अनुसार, एक अनुचित अभिन्न अभिसरण केवल तभी होता है जब कोई परिमित हो। क्योंकि एफ(बी) घटता नहीं है, तो यह सीमा मौजूद है यदि और केवल यदि फ़ंक्शन एफ(बी) ऊपर से घिरा हुआ है, यानी, $ एम>0: "बी>ए. जिसमें

अनुचित समाकलन के विचलन का अर्थ है, अर्थात्।

प्रमेय 2.चलो कार्य करें एफऔर जीपर गैर-नकारात्मक ए;+¥) और पर पूर्णांकित [ ए;बी] "बी>ए. पर चलो [ ए;+¥) हो गया

1) अभिन्न (2) के अभिसरण से अभिन्न (3) का अभिसरण होता है;

2) अभिन्न (3) के विचलन से अभिन्न (2) का विचलन होता है।

सबूत।

1 से) " बी>ए.

1) अभिन्न (2) को अभिसरित होने दें। प्रमेय 1 के अनुसार, समुच्चय परिबद्ध, परिबद्ध, परिबद्ध है। प्रमेय 1 के अनुसार यह अभिसरण होता है।

2) उन्हें तितर-बितर होने दो। आइए हम सिद्ध करें कि अभिन्न (2) विचलन करता है। विपरीत से. आइए मान लें कि अभिन्न (2) अभिसरण करता है, लेकिन फिर, प्रमेय के पहले भाग से, अभिन्न (3) अभिसरण करता है - स्थिति के साथ एक विरोधाभास।

प्रमेय 3.चलो कार्य करें एफऔर जीपर गैर-नकारात्मक ए;+¥) और पर पूर्णांकित [ ए;बी] "बी>ए. यदि मौजूद है (0£ क£¥), फिर

1) अभिन्न के अभिसरण से क<¥ следует сходимость интеграла ,

2) अभिन्न के विचलन से क>0 अभिन्न के विचलन का अनुसरण करता है।

सबूत।

1) चलो क<¥ и сходится.

क्योंकि यह अभिसरण करता है, यह अभिसरण करता है, इसका मतलब यह है कि यह अभिसरण करता है। फिर, (4) के आधार पर अभिसरण होता है। यहीं से यह एकत्रित होता है।

2) चलो क>0 और विचलन करता है। इस मामले में - एक सीमित संख्या. यदि हम इसके विपरीत मान लें - कि अभिन्न अभिसरण करता है, तो बिंदु 1 में जो सिद्ध किया गया था उससे हम पाएंगे कि यह भी अभिसरण करता है, और यह स्थिति का खंडन करता है। इसलिए, जो धारणा बनाई गई है वह गलत और भिन्न है। पूर्णतः अभिसरण होता है, फिर परिभाषा के अनुसार यह अभिसरण होता है। तो यह फिट बैठता है. लेकिन यह फिट बैठता है.

विषयअनुचित इंटीग्रल

"निश्चित अभिन्न" विषय में एक परिमित अंतराल के मामले के लिए एक निश्चित अभिन्न की अवधारणा पर विचार किया गया था
और सीमित कार्य
(§3 से प्रमेय 1 देखें)। आइए अब इस अवधारणा को एक अनंत अंतराल और एक असीमित फ़ंक्शन के मामलों में सामान्यीकृत करें। इस तरह के सामान्यीकरण की आवश्यकता, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित स्थितियों से प्रदर्शित होती है।

1. यदि, चाप की लंबाई के सूत्र का उपयोग करके, एक चौथाई वृत्त की लंबाई की गणना करने का प्रयास करें
,
, तो हम असीमित फ़ंक्शन के अभिन्न अंग पर पहुंचते हैं:

, कहाँ
.

2. शरीर में द्रव्यमान हो
प्रतिरोध बल वाले माध्यम में जड़ता से चलता है
, कहाँ
- शरीर की गति. न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करना (
, कहाँ
त्वरण), हमें समीकरण मिलता है:
, कहाँ
. यह दर्शाना कठिन नहीं है कि इस (अंतर!) समीकरण का हल फलन है
यदि हमें शरीर के पूर्ण विराम पर आने से पहले उसके द्वारा तय किए गए पथ की गणना करने की आवश्यकता है, अर्थात। उस क्षण तक जब तक
, तो हम एक अनंत अंतराल पर अभिन्न पर पहुंचते हैं:

§1. पहली तरह के अनुचित अभिन्न अंग

मैं परिभाषा

कार्य करने दो
अंतराल पर परिभाषित और निरंतर
. फिर किसी के लिए भी
यह अंतराल पर समाकलनीय है
, अर्थात् अभिन्न है
.

परिभाषा 1 . इस अभिन्न की परिमित या अनंत सीमा
फ़ंक्शन के पहले प्रकार का अनुचित अभिन्न अंग कहा जाता है
अंतराल के साथ
और प्रतीक द्वारा निर्दिष्ट किया गया है
. इसके अलावा, यदि निर्दिष्ट सीमा परिमित है, तो अनुचित अभिन्न अंग को अभिसरण कहा जाता है, अन्यथा (
या अस्तित्व में नहीं है) - भिन्न।

तो, परिभाषा के अनुसार

उदाहरण

2.
.

3.
- मौजूद नहीं होना।

उदाहरण 1 से अनुचित समाकलन अभिसरित होता है; उदाहरण 2 और 3 में समाकलन विसरित होता है।

प्रथम प्रकार के अनुचित समाकलन के लिए II न्यूटन-लीबनिज सूत्र

होने देना
- फ़ंक्शन के लिए कुछ एंटीडेरिवेटिव
(मौजूद है
, क्योंकि
- निरंतर)। तब

यहां से यह स्पष्ट है कि अनुचित अभिन्न (1) का अभिसरण एक सीमित सीमा के अस्तित्व के बराबर है
. यदि यह सीमा परिभाषित है
, तो हम इंटीग्रल (1) के लिए न्यूटन-लीबनिज सूत्र लिख सकते हैं:

, कहाँ
.

उदाहरण .

5.
.

6. अधिक जटिल उदाहरण:
. सबसे पहले, आइए प्रतिअवकलन ज्ञात करें:

अब हम अभिन्न को खोज सकते हैं , मान लें कि

:

तृतीय गुण

आइए हम अनुचित अभिन्न (1) के कई गुणों को प्रस्तुत करें, जो सीमा के सामान्य गुणों और निश्चित अभिन्न से अनुसरण करते हैं:

चतुर्थ अन्य परिभाषाएँ

परिभाषा 2 . अगर
निरंतर चालू
, वह

.

परिभाषा 3 . अगर
निरंतर चालू
, तो हम परिभाषा के अनुसार स्वीकार करते हैं

(- मनमाना),

इसके अलावा, बायीं ओर का अनुचित समाकलन तब अभिसरित होता है जब दाहिनी ओर के दोनों समाकलन अभिसरित होते हैं।

इन अभिन्नों के लिए, साथ ही अभिन्न (1) के लिए, कोई संबंधित न्यूटन-लीबनिज सूत्र लिख सकता है।

उदाहरण 7 .

§2. पहली तरह के अनुचित अभिन्न अंग के अभिसरण के लिए परीक्षण

अक्सर, परिभाषा के अनुसार अनुचित अभिन्न की गणना करना असंभव है, इसलिए वे अनुमानित समानता का उपयोग करते हैं

(बड़े के लिए ).

हालाँकि, यह संबंध केवल अभिसारी अभिन्नों के लिए ही समझ में आता है। परिभाषा को दरकिनार करते हुए अभिन्न के व्यवहार को स्पष्ट करने के तरीकों का होना आवश्यक है।

मैं सकारात्मक कार्यों का अभिन्न अंग

होने देना
पर
. फिर निश्चित अभिन्न
ऊपरी सीमा के एक फलन के रूप में यह एक बढ़ता हुआ फलन है (यह निश्चित समाकलन के सामान्य गुणों से पता चलता है)।

प्रमेय 1 . पहले प्रकार के गैर-ऋणात्मक फलन का एक अनुचित समाकलन यदि और केवल यदि फलन अभिसरण करता है
बढ़ते-बढ़ते सीमित रहता है .

यह प्रमेय मोनोटोन फ़ंक्शंस के सामान्य गुणों का परिणाम है। प्रमेय का लगभग कोई व्यावहारिक अर्थ नहीं है, लेकिन यह हमें तथाकथित प्राप्त करने की अनुमति देता है अभिसरण के संकेत.

प्रमेय 2 (पहला तुलना चिह्न)। चलो कार्य करें
और
के लिए निरंतर
और असमानता को संतुष्ट करें
. तब:

1) यदि अभिन्न
फिर एकत्रित हो जाता है
अभिसरण;

2) यदि अभिन्न
फिर, अलग हो जाता है
विचलन

सबूत . आइए निरूपित करें:
और
. क्योंकि
, वह

. चलो अभिन्न
अभिसरण करता है, फिर (प्रमेय 1 के अनुसार) कार्य
- सीमित। परन्तु फिर
सीमित है, और इसलिए अभिन्न है
अभिसरण भी करता है. प्रमेय का दूसरा भाग भी इसी प्रकार सिद्ध होता है।

यदि अभिन्न भिन्न हो तो यह मानदंड लागू नहीं होता है
या के अभिन्न अंग का अभिसरण
. यह कमी दूसरी तुलना सुविधा में अनुपस्थित है।

प्रमेय 3 (तुलना का दूसरा संकेत)। चलो कार्य करें
और
निरंतर और गैर-नकारात्मक चालू
. तो अगर
पर
, फिर अनुचित अभिन्न अंग
और
एक साथ अभिसरण या विचलन।

सबूत . प्रमेय की शर्तों से हमें समतुल्य कथनों की निम्नलिखित श्रृंखला प्राप्त होती है:

, ,

.

उदाहरण के लिए, चलो
. तब:

आइए हम प्रमेय 2 और गुण 1) को §1 से लागू करें और प्रमेय 3 का कथन प्राप्त करें।

जिस मानक फ़ंक्शन से इसकी तुलना की गई है वह एक पावर फ़ंक्शन है
,
. हम छात्रों को स्वयं को अभिन्न साबित करने के लिए आमंत्रित करते हैं

पर एकत्रित होता है
और पर विचलन करता है
.

उदाहरण . 1.
.

अंतराल पर इंटीग्रैंड पर विचार करें
:

,
.

अभिन्न
अभिसरण, क्योंकि
. दूसरे तुलना मानदंड के आधार पर, अभिन्न भी अभिसरण करता है
, और संपत्ति 2) के कारण §1 से, मूल अभिन्न अंग भी अभिसरण करता है।

2.
.

क्योंकि
, तो अस्तित्व में है
ऐसे कि जब

. ऐसे परिवर्तनीय मानों के लिए:

यह ज्ञात है कि लॉगरिदमिक फ़ंक्शन पावर फ़ंक्शन की तुलना में अधिक धीरे-धीरे बढ़ता है, यानी।

,

जिसका अर्थ है, चर के एक निश्चित मान से शुरू होने पर, यह अंश 1 से कम है

.

अभिन्न संदर्भ के रूप में एकत्रित होता है। पहली तुलना कसौटी के आधार पर, यह अभिसरण करता है और
. दूसरे मानदंड को लागू करने पर, हमें वह अभिन्न प्राप्त होता है
जुटता है. और फिर से संपत्ति 2) §1 से मूल अभिन्न के अभिसरण को साबित करती है।

व्याख्यान 24. अनुचित समाकलन

योजना:

1. अनुचित अभिन्न की अवधारणा
2. प्रथम प्रकार के अनुचित अभिन्न अंग।
3. दूसरे प्रकार के अनुचित अभिन्न अंग।

1. अनुचित अभिन्न की अवधारणा

आइए दोनों प्रकार के अनुचित समाकलनों को खोजने पर विचार करें।

फ़ंक्शन दिया जाए y=f(x), अंतराल पर निरंतर [ ए;+∞). यदि कोई परिमित सीमा हो तो उसे कहा जाता है प्रथम प्रकार का अनुचित अभिन्न अंग और निरूपित करें.

अभिसरण विचलन .

प्रथम प्रकार के अनुचित समाकलन का ज्यामितीय अर्थ इस प्रकार है: यदि अभिसरण होता है (बशर्ते कि एफ(एक्स)≥0), तो यह एक "असीम लंबे" घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है (चित्र 24.1)।

इसी प्रकार, एकीकरण की अनंत निचली सीमा के साथ एक अनुचित अभिन्न की अवधारणा को अंतराल पर एक सतत रेखा के लिए पेश किया जाता है ( -∞ ;बी] कार्य: = .

एकीकरण की दो अनंत सीमाओं के साथ एक अनुचित अभिन्न को सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है: = +, जहां साथ- मनमानी संख्या.

आइए पहले प्रकार के अनुचित समाकलन खोजने के उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 24.1.

समाधान. किसी सतत फलन की अनंत ऊपरी सीमा के साथ एक अनुचित समाकलन खोजने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं: =। फिर = . सबसे पहले, आइए के अभिन्न अंग की गणना करें पूर्व:

= = = =∞. हमने पाया कि अनुचित अभिन्न विचलन करता है।

उत्तर: विचलन.

उदाहरण 24.2.अनुचित समाकलन की गणना करें या उसका विचलन स्थापित करें: .

समाधान. इंटीग्रैंड अंतराल पर निरंतर है ( -∞ ;- 1]. अनंत निचली सीमा के साथ पहली तरह का अनुचित अभिन्न अंग खोजने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं: =। फिर = . आइए सीमा चिह्न के अंतर्गत निहित अभिन्न की गणना करें: =। आइए एकीकरण की सीमाओं की अदला-बदली करके ऋण चिह्न से छुटकारा पाएं:

1. हमने पाया कि विचाराधीन अनुचित अभिन्न अभिसरण करता है।

उत्तर: =1.

1. दूसरे प्रकार के अनुचित अभिन्न अंग।

फ़ंक्शन दिया जाए y=f(x), अंतराल पर निरंतर [ ए;बी). होने देना बी- दूसरे प्रकार का असंततता बिंदु। यदि कोई परिमित सीमा हो तो उसे कहा जाता है दूसरे प्रकार का अनुचित अभिन्न अंग और निरूपित करें.

इस प्रकार, परिभाषा के अनुसार = .

यदि पाई गई सीमा एक परिमित संख्या के बराबर है, तो अनुचित अभिन्न अंग कहा जाता है अभिसरण . यदि निर्दिष्ट सीमा अस्तित्व में नहीं है या अनंत है, तो अभिन्न कहा जाता है विचलन .

दूसरे प्रकार के अनुचित समाकलन का ज्यामितीय अर्थ, कहाँ बी- दूसरे प्रकार का असंततता बिंदु, एफ(एक्स)≥0, इस प्रकार है: यदि यह अभिसरण करता है, तो यह एक "असीम उच्च" घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड (छवि 24.2) के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है।

इसी प्रकार, अंतराल पर एक सतत रेखा के लिए दूसरे प्रकार के अनुचित अभिन्न अंग की अवधारणा पेश की जाती है ( ए;बी]फ़ंक्शंस ने यह प्रदान किया ए– दूसरे प्रकार का असंततता बिंदु: = .

उदाहरण 24.3.दूसरे प्रकार के अनुचित समाकलन की गणना करें: .

समाधान. इंटीग्रैंड अंतराल (0;1], और पर निरंतर है एक्स= 0 - दूसरे प्रकार के असंततता का बिंदु ()। अनुचित समाकलन की गणना करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं: =। हमें वह मिल गया

= = = = = ∞. हम देखते हैं कि दूसरे प्रकार का अनुचित अभिन्न अंग भिन्न हो जाता है।

उत्तर: विचलन.

नियंत्रण प्रश्न:

1. अनुचित समाकलन किसे कहते हैं?
2. किन समाकलनों को प्रथम प्रकार का अनुचित समाकलन कहा जाता है?
3. प्रथम प्रकार के अनुचित समाकलन का ज्यामितीय अर्थ क्या है?
4. कौन से अनुचित अभिन्न अंग अभिसारी कहलाते हैं और कौन से अभिन्न अंग अपसारी कहलाते हैं?
5. किन समाकलनों को दूसरे प्रकार का अनुचित समाकलन कहा जाता है?
6. दूसरे प्रकार के अनुचित समाकलन का ज्यामितीय अर्थ क्या है?

ग्रंथ सूची:

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यदि एकीकरण के (परिमित) अंतराल पर इंटीग्रैंड में दूसरे प्रकार का असंततता है, तो हम दूसरे प्रकार के अनुचित इंटीग्रल की बात करते हैं।

10.2.1 परिभाषा और बुनियादी गुण

आइए एकीकरण अंतराल को $\left[ a, \, b \right ]$ से निरूपित करें, इन दोनों संख्याओं को नीचे परिमित माना गया है। यदि केवल 1 असंततता है, तो यह या तो बिंदु $a$ पर, या बिंदु $b$ पर, या अंतराल $(a,\,b)$ के अंदर स्थित हो सकता है। आइए पहले उस मामले पर विचार करें जब बिंदु $a$ पर दूसरी तरह की असंततता होती है, और अन्य बिंदुओं पर इंटीग्रैंड फ़ंक्शन निरंतर होता है। इसलिए हम अभिन्न पर चर्चा कर रहे हैं

\begin(समीकरण) I=\int _a^b f(x)\,dx, (22) \label(intr2) \end(समीकरण)

और $f(x) \rightarrow \infty $ जब $x \rightarrow a+0$। पहले की तरह, पहली बात यह है कि इस अभिव्यक्ति को अर्थ देना है। ऐसा करने के लिए, अभिन्न पर विचार करें

\[ I(\epsilon)=\int _(a+\epsilon)^b f(x)\,dx. \]

परिभाषा। एक सीमित सीमा होने दीजिए

\[ A=\lim _(\epsilon \rightarrow +0)I(\epsilon)=\lim _(\epsilon \rightarrow +0)\int _(a+\epsilon)^b f(x)\,dx. \]

फिर दूसरे प्रकार (22) के अनुचित इंटीग्रल को अभिसरण करने के लिए कहा जाता है और मान $A$ को इसे सौंपा जाता है; फ़ंक्शन $f(x)$ को अंतराल $\left[ a, \ पर इंटीग्रेबल कहा जाता है। , बी\दाएं]$.

अभिन्न पर विचार करें

\[ I=\int ^1_0\frac(dx)(\sqrt(x)). \]

इंटीग्रैंड फ़ंक्शन $1/\sqrt(x)$ पर $x \rightarrow +0$ की अनंत सीमा होती है, इसलिए बिंदु $x=0$ पर इसमें दूसरे प्रकार की असंततता होती है। चलो रखो

\[ I(\epsilon)=\int ^1_(\epsilon )\frac(dx)(\sqrt(x))\,. \]

इस मामले में, प्रतिअवकलन ज्ञात है,

\[ I(\epsilon)=\int ^1_(\epsilon )\frac(dx)(\sqrt(x))=2\sqrt(x)|^1_(\epsilon )=2(1-\sqrt( \एप्सिलॉन ))\दायां तीर 2\]

$\epsilon \rightarrow +0$ पर। इस प्रकार, मूल अभिन्न अंग दूसरे प्रकार का एक अभिसरण अनुचित अभिन्न अंग है, और यह 2 के बराबर है।

आइए उस विकल्प पर विचार करें जब एकीकरण अंतराल की ऊपरी सीमा पर इंटीग्रैंड फ़ंक्शन में दूसरी तरह की असंततता होती है। वेरिएबल $x=-t$ में परिवर्तन करके और फिर एकीकरण की सीमाओं को पुनर्व्यवस्थित करके इस मामले को पिछले वाले तक कम किया जा सकता है।

आइए उस विकल्प पर विचार करें जब इंटीग्रैंड फ़ंक्शन में एकीकरण अंतराल के अंदर बिंदु $c \in (a,\,b)$ पर दूसरी तरह की असंततता होती है। इस मामले में, मूल अभिन्न

\begin(समीकरण) I=\int _a^bf(x)\,dx (23) \label(intr3) \end(समीकरण)

योग के रूप में प्रस्तुत किया गया

\[ I=I_1+I_2, \quad I_1=\int _a^cf(x)\,dx +\int _c^df(x)\,dx. \]

परिभाषा। यदि दोनों इंटीग्रल $I_1, \, I_2$ अभिसरण करते हैं, तो अनुचित इंटीग्रल (23) को अभिसरण कहा जाता है और इसे इंटीग्रल $I_1, \, I_2$ के योग के बराबर मान दिया जाता है, फ़ंक्शन $f(x)$ अंतराल $\left [a, \, b\right]$ पर पूर्णांक कहा जाता है। यदि कम से कम एक समाकलन $I_1,\, I_2$ अपसारी है, तो अनुचित समाकलन (23) को अपसारी कहा जाता है।

दूसरे प्रकार के अभिसारी अनुचित समाकलनों में सामान्य निश्चित समाकलों के सभी मानक गुण होते हैं।

1. यदि $f(x)$, $g(x)$ अंतराल $\left[ a, \,b \right ]$ पर पूर्णांक हैं, तो उनका योग $f(x)+g(x)$ है इस अंतराल पर भी समाकलनीय है, और \[ \int _a^(b)\left(f(x)+g(x)\right)dx=\int _a^(b)f(x)dx+\int _a^( बी)जी (एक्स)डीएक्स। \] 2. यदि $f(x)$ अंतराल $\left[ a, \, b \right ]$ पर पूर्णांक है, तो किसी भी स्थिर $C$ के लिए फ़ंक्शन $C\cdot f(x)$ भी है इस अंतराल पर पूर्णांक, और \[ \int _a^(b)C\cdot f(x)dx=C \cdot \int _a^(b)f(x)dx. \] 3. यदि $f(x)$ अंतराल $\left[ a, \, b \right ]$ पर पूर्णांक है, और इस अंतराल $f(x)>0$ पर, तो \[ \int _a^ (बी ) f(x)dx\,>\,0. \] 4. यदि $f(x)$ अंतराल $\left[ a, \, b \right ]$ पर समाकलनीय है, तो किसी भी $c\in (a, \,b)$ के लिए समाकलन \[ \ int _a^ (c) f(x)dx, \quad \int _c^(b) f(x)dx \] भी अभिसरित होते हैं, और \[ \int _a^(b)f(x)dx=\int _a ^(c ) f(x)dx+\int _c^(b) f(x)dx \] (अंतराल पर अभिन्न की योगात्मकता)।

अभिन्न पर विचार करें

\begin(समीकरण) I=\int _0^(1)\frac(1)(x^k)\,dx. (24) \लेबल(mod2) \end(समीकरण)

यदि $k>0$, तो इंटीग्रैंड $\infty$ की ओर $x \rightarrow +0$ के रूप में प्रवृत्त होता है, इसलिए इंटीग्रल दूसरे प्रकार का अनुचित है। आइए फ़ंक्शन का परिचय दें

\[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x^k)\,dx. \]

इस मामले में, प्रतिअवकलन ज्ञात है, इसलिए

\[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x^k)\,dx\,=\frac(x^(1-k))(1-k )|_(\epsilon)^1= \frac(1)(1-k)-\frac(\epsilon ^(1-k))(1-k). \]

$k \neq 1$ के लिए,

\[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x)\,dx\,=lnx|_(\epsilon)^1= -ln \epsilon. \]

$k = 1$ के लिए। $\epsilon \rightarrow +0$ पर व्यवहार को ध्यान में रखते हुए, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि इंटीग्रल (20) $k पर अभिसरण करता है

10.2.2 दूसरे प्रकार के अनुचित अभिन्नों के अभिसरण के लिए परीक्षण

प्रमेय (तुलना का पहला संकेत)। मान लीजिए $f(x)$, $g(x)$ $x\in (a,\,b)$, और $0 के लिए निरंतर है 1. यदि अभिन्न \[ \int _a^(b)g(x) dx \] अभिसरण होता है, फिर अभिन्न \[ \int _a^(b)f(x)dx अभिसरण होता है। \] 2. यदि अभिन्न \[ \int _a^(b)f(x)dx \] विचलन करता है, तो अभिन्न \[ \int _a^(b)g(x)dx विचलन करता है। \]

प्रमेय (दूसरा तुलना मानदंड)। मान लीजिए $f(x)$, $g(x)$ $x\in (a,\,b)$ के लिए निरंतर और सकारात्मक है, और एक सीमित सीमा होने दें

\[ \थीटा = \lim_(x \rightarrow a+0) \frac(f(x))(g(x)), \quad \theta \neq 0, \, +\infty. \]

फिर अभिन्न

\[ \int _a^(b)f(x)dx, \quad \int _a^(b)g(x)dx \]

एक साथ अभिसरण या विचलन।

अभिन्न पर विचार करें

\[ I=\int _0^(1)\frac(1)(x+\sin x)\,dx. \]

इंटीग्रैंड एकीकरण अंतराल पर एक सकारात्मक कार्य है, इंटीग्रैंड $\infty$ को $x \rightarrow +0$ के रूप में प्रवृत्त करता है, इसलिए हमारा इंटीग्रल दूसरे प्रकार का एक अनुचित इंटीग्रल है। इसके अलावा, $x \rightarrow +0$ के लिए हमारे पास है: यदि $g(x)=1/x$, तो

\[ \lim _(x \राइटएरो +0)\frac(f(x))(g(x))=\lim _(x \राइटएरो +0)\frac(x)(x+\sin x)=\ frac(1)(2) \neq 0,\, \infty \, . \]

दूसरे तुलना मानदंड को लागू करते हुए, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि हमारा अभिन्न अंग अभिन्न के साथ एक साथ अभिसरण या विचलन करता है

\[ \int _0^(+1)\frac(1)(x)\,dx . \]

जैसा कि पिछले उदाहरण में दिखाया गया था, यह अभिन्न विचलन ($k=1$)। परिणामस्वरूप, मूल अभिन्न भी भिन्न हो जाता है।

अनुचित समाकलन की गणना करें या उसका अभिसरण (विचलन) स्थापित करें।

1. \[ \int _(0)^(1)\frac(dx)(x^3-5x^2)\,. \] 2. \[ \int _(3)^(7)\frac(x\,dx)((x-5)^2)\,. \] 3. \[ \int _(0)^(1)\frac(x\,dx)(\sqrt(1-x^2))\,. \] 4. \[ \int _(0)^(1)\frac(x^3\,dx)(1-x^5)\,. \] 5. \[ \int _(-3)^(2)\frac(dx)((x+3)^2)\,. \] 6. \[ \int _(1)^(2)\frac(x^2\,dx)((x-1)\sqrt(x-1))\,. \] 7. \[ \int _(0)^(1)\frac(dx)(\sqrt(x+x^2))\,. \] 8. \[ \int _(0)^(1/4)\frac(dx)(\sqrt(x-x^2))\,. \] 9. \[ \int _(1)^(2)\frac(dx)(xlnx)\,. \] 10. \[ \int _(1)^(2)\frac(x^3\,dx)(\sqrt(4-x^2))\,. \] 11. \[ \int _(0)^(\pi /4)\frac(dx)(\sin ^4x)\,. \]