उदाहरणों के साथ विस्तृत सिद्धांत (2019)। एक अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों का योग। अंकगणितीय प्रगति। औसत स्तर

तो चलिए बैठ जाते हैं और कुछ नंबर लिखना शुरू करते हैं। उदाहरण के लिए:
आप कोई भी संख्या लिख ​​सकते हैं, और जितने चाहें उतने हो सकते हैं (हमारे मामले में, उन्हें)। हम चाहे कितनी भी संख्याएँ लिख लें, हम हमेशा कह सकते हैं कि कौन सा पहला है, कौन सा दूसरा है, और इसी तरह आखिरी तक, यानी हम उन्हें संख्या दे सकते हैं। यह एक संख्या अनुक्रम का एक उदाहरण है:

संख्या क्रम
उदाहरण के लिए, हमारे अनुक्रम के लिए:

निर्दिष्ट संख्या अनुक्रम में केवल एक संख्या के लिए विशिष्ट है। दूसरे शब्दों में, अनुक्रम में तीन सेकंड की संख्या नहीं है। दूसरा नंबर (जैसे -th नंबर) हमेशा एक होता है।
संख्या वाली संख्या को अनुक्रम का वां सदस्य कहा जाता है।

हम आम तौर पर पूरे अनुक्रम को कुछ अक्षर कहते हैं (उदाहरण के लिए,), और इस अनुक्रम का प्रत्येक सदस्य एक ही अक्षर है जिसमें इस सदस्य की संख्या के बराबर सूचकांक होता है:।

हमारे मामले में:

मान लीजिए कि हमारे पास एक संख्यात्मक अनुक्रम है जिसमें आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर समान और बराबर है।
उदाहरण के लिए:

आदि।
इस संख्या अनुक्रम को अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है।
शब्द "प्रगति" 6 वीं शताब्दी में रोमन लेखक बोथियस द्वारा पेश किया गया था और इसे व्यापक अर्थों में एक अंतहीन संख्या अनुक्रम के रूप में समझा गया था। "अंकगणित" नाम निरंतर अनुपात के सिद्धांत से लिया गया था, जिस पर प्राचीन यूनानियों का कब्जा था।

यह एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसका प्रत्येक सदस्य पिछले एक के बराबर है, उसी संख्या में जोड़ा जाता है। इस संख्या को अंकगणितीय प्रगति का अंतर कहा जाता है और इसे इसके द्वारा दर्शाया जाता है।

यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि कौन से संख्या अनुक्रम अंकगणितीय प्रगति हैं और कौन से नहीं हैं:

ए)
बी)
सी)
डी)

समझा? आइए हमारे उत्तरों की तुलना करें:
एकअंकगणितीय प्रगति - बी, सी।
नहीं हैअंकगणितीय प्रगति - ए, डी।

आइए दी गई प्रगति () पर लौटते हैं और इसके वें सदस्य का मान ज्ञात करने का प्रयास करते हैं। मौजूद दोइसे खोजने का तरीका।

1. विधि

हम प्रगति की संख्या के पिछले मान में तब तक जोड़ सकते हैं जब तक हम प्रगति के वें पद तक नहीं पहुंच जाते। यह अच्छा है कि हमारे पास योग करने के लिए बहुत कुछ नहीं बचा है - केवल तीन मान:

तो, वर्णित अंकगणितीय प्रगति का वां सदस्य बराबर है।

2. विधि

क्या होगा यदि हमें प्रगति में वें पद का मान ज्ञात करना है? सारांश में हमें एक घंटे से अधिक का समय लगेगा, और यह एक तथ्य नहीं है कि संख्याओं को जोड़ते समय हमसे गलती नहीं होगी।
बेशक, गणितज्ञ एक ऐसा तरीका लेकर आए हैं जिसमें आपको अंकगणितीय प्रगति के अंतर को पिछले मान से जोड़ने की आवश्यकता नहीं है। खींची गई तस्वीर पर करीब से नज़र डालें ... निश्चित रूप से आप पहले से ही एक निश्चित पैटर्न पर ध्यान दे चुके हैं, अर्थात्:

उदाहरण के लिए, आइए देखें कि इस अंकगणितीय प्रगति के वें सदस्य का मान कैसे जोड़ा जाता है:


दूसरे शब्दों में:

किसी दिए गए अंकगणितीय प्रगति के सदस्य के मूल्य को स्वतंत्र रूप से इस तरह से खोजने का प्रयास करें।

परिकलित? अपने नोट्स की तुलना उत्तर से करें:

कृपया ध्यान दें कि आपको ठीक वैसी ही संख्या मिली है जैसी पिछली पद्धति में थी, जब हमने अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों को पिछले मान में क्रमिक रूप से जोड़ा था।
आइए इस सूत्र को "प्रतिरूपित" करने का प्रयास करें - हम इसे एक सामान्य रूप में लाते हैं और प्राप्त करते हैं:

अंकगणितीय प्रगति समीकरण।

अंकगणित की प्रगति आरोही और कभी-कभी घट रही है।

आरोही- प्रगति जिसमें सदस्यों का प्रत्येक बाद का मूल्य पिछले एक से अधिक होता है।
उदाहरण के लिए:

घटाना- प्रगति जिसमें सदस्यों का प्रत्येक बाद का मूल्य पिछले एक से कम है।
उदाहरण के लिए:

व्युत्पन्न सूत्र का उपयोग अंकगणितीय प्रगति के बढ़ते और घटते दोनों पदों में पदों की गणना में किया जाता है।
आइए इसे व्यवहार में देखें।
हमें निम्नलिखित संख्याओं से मिलकर एक अंकगणितीय प्रगति दी गई है: आइए देखें कि इस अंकगणितीय प्रगति की संख्या क्या होगी यदि हम इसकी गणना करने के लिए अपने सूत्र का उपयोग करते हैं:

तब से:

इस प्रकार, हमने सुनिश्चित किया कि सूत्र घटती और बढ़ती अंकगणितीय प्रगति दोनों में काम करता है।
इस अंकगणितीय प्रगति के वें और वें पदों को स्वयं खोजने का प्रयास करें।

आइए प्राप्त परिणामों की तुलना करें:

अंकगणितीय प्रगति संपत्ति

आइए कार्य को जटिल करें - हम अंकगणितीय प्रगति की संपत्ति प्राप्त करेंगे।
मान लीजिए कि हमें निम्नलिखित शर्त दी गई है:
- अंकगणितीय प्रगति, मान ज्ञात कीजिए।
आसान, आप कहते हैं और उस सूत्र के अनुसार गिनना शुरू करें जिसे आप पहले से जानते हैं:

चलो, ए, फिर:

बिल्कुल सही। यह पता चला है कि हम पहले पाते हैं, फिर हम इसे पहले नंबर में जोड़ते हैं और हम जो खोज रहे हैं उसे प्राप्त करते हैं। यदि प्रगति को छोटे मूल्यों द्वारा दर्शाया जाता है, तो इसमें कुछ भी जटिल नहीं है, लेकिन यदि हमें इस स्थिति में संख्याएँ दी जाती हैं? इसे स्वीकार करें, गणना में गलती होने की संभावना है।
अब सोचो, क्या किसी सूत्र का उपयोग करके इस समस्या को एक क्रिया में हल करना संभव है? बेशक, हाँ, और यह वह है जिसे हम अब वापस लेने का प्रयास करेंगे।

आइए अंकगणितीय प्रगति के आवश्यक पद को निरूपित करें, जैसा कि हम इसे खोजने के लिए सूत्र जानते हैं - यह वही सूत्र है जिसे हमने शुरुआत में प्राप्त किया था:
, फिर:

• प्रगति का पिछला सदस्य है:
• प्रगति का अगला सदस्य है:

आइए प्रगति के पिछले और बाद के सदस्यों को संक्षेप में प्रस्तुत करें:

यह पता चला है कि प्रगति के पिछले और बाद के सदस्यों का योग उनके बीच स्थित प्रगति के सदस्य का दोगुना मूल्य है। दूसरे शब्दों में, ज्ञात पिछले और लगातार मूल्यों के साथ प्रगति के सदस्य के मूल्य को खोजने के लिए, उन्हें जोड़ना और विभाजित करना आवश्यक है।

यह सही है, हमें वही नंबर मिला है। आइए सामग्री को ठीक करें। प्रगति के लिए मूल्य की गणना स्वयं करें, क्योंकि यह बिल्कुल भी कठिन नहीं है।

बहुत बढ़िया! आप प्रगति के बारे में लगभग सब कुछ जानते हैं! सीखने के लिए केवल एक ही सूत्र बचा है, जो कि किंवदंती के अनुसार, सभी समय के महानतम गणितज्ञों में से एक, "गणितज्ञों के राजा" - कार्ल गॉस ...

जब कार्ल गॉस 9 वर्ष के थे, तो अन्य ग्रेड में छात्रों के काम की जाँच में लगे एक शिक्षक ने पाठ में निम्नलिखित कार्य पूछा: "सभी प्राकृतिक संख्याओं के योग की गणना करें (अन्य स्रोतों के अनुसार) समावेशी।" शिक्षक के आश्चर्य की कल्पना कीजिए जब उनके एक छात्र (वह कार्ल गॉस थे) ने एक मिनट में समस्या का सही उत्तर दिया, जबकि डेयरडेविल के अधिकांश सहपाठियों ने, लंबी गणना के बाद, गलत परिणाम प्राप्त किया ...

यंग कार्ल गॉस ने एक निश्चित पैटर्न देखा जिसे आप आसानी से देख सकते हैं।
मान लीजिए कि हमारे पास -वें सदस्यों से मिलकर एक अंकगणितीय प्रगति है: हमें अंकगणितीय प्रगति के दिए गए सदस्यों का योग ज्ञात करना है। बेशक, हम सभी मूल्यों को मैन्युअल रूप से जोड़ सकते हैं, लेकिन क्या होगा यदि कार्य में इसके सदस्यों का योग खोजना आवश्यक है, जैसा कि गॉस ढूंढ रहा था?

आइए एक दी गई प्रगति बनाएं। हाइलाइट की गई संख्याओं को ध्यान से देखें और उनके साथ विभिन्न गणितीय संक्रियाओं को करने का प्रयास करें।


या तुमने कोशिश की? आपने क्या गौर किया? सही! उनकी राशि बराबर है

अब मुझे बताओ, दी गई प्रगति में ऐसे कितने जोड़े हैं? बेशक, सभी संख्याओं का ठीक आधा, यानी।
इस तथ्य के आधार पर कि समांतर श्रेणी के दो सदस्यों का योग समान है, और समान समान युग्म हैं, हम पाते हैं कि कुल योग है:
.
इस प्रकार, किसी समांतर श्रेणी के प्रथम पदों के योग का सूत्र इस प्रकार होगा:

कुछ समस्याओं में, हम वें पद को नहीं जानते हैं, लेकिन हम प्रगति में अंतर जानते हैं। योग के सूत्र में, वें पद के सूत्र को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करें।
तुमने क्या किया?

बहुत बढ़िया! अब आइए उस समस्या पर लौटते हैं जो कार्ल गॉस को दी गई थी: स्वयं की गणना करें कि -वें से शुरू होने वाली संख्याओं का योग क्या है, और -वें से शुरू होने वाली संख्याओं का योग क्या है।

आपको कितना मिला?
गॉस ने पाया कि सदस्यों का योग बराबर होता है और सदस्यों का योग। क्या आपने ऐसा फैसला किया?

वास्तव में, अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों के योग का सूत्र प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक डायोफैंटस द्वारा तीसरी शताब्दी में सिद्ध किया गया था, और इस समय के दौरान, मजाकिया लोग अंकगणितीय प्रगति के गुणों का उपयोग शक्ति और मुख्य के साथ कर रहे थे।
उदाहरण के लिए, प्राचीन मिस्र और उस समय के सबसे महत्वाकांक्षी निर्माण स्थल की कल्पना करें - पिरामिड का निर्माण ... चित्र इसका एक पक्ष दिखाता है।

आप कहते हैं कि यहां प्रगति कहां है? बारीकी से देखें और पिरामिड की दीवार की प्रत्येक पंक्ति में रेत के ब्लॉकों की संख्या में एक पैटर्न खोजें।


क्या यह एक अंकगणितीय प्रगति नहीं है? गणना करें कि एक दीवार बनाने के लिए कितने ब्लॉकों की आवश्यकता है यदि ब्लॉक ईंटों को आधार में रखा गया है। मुझे आशा है कि आप मॉनिटर पर अपनी उंगली चलाकर गिनती नहीं करेंगे, क्या आपको अंतिम सूत्र और अंकगणितीय प्रगति के बारे में हमने जो कुछ कहा है वह सब कुछ याद है?

इस मामले में, प्रगति इस तरह दिखती है:।
अंकगणितीय प्रगति का अंतर।
अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों की संख्या।
आइए अपने डेटा को अंतिम फ़ार्मुलों में बदलें (हम 2 तरीकों से ब्लॉक की संख्या की गणना करेंगे)।

विधि 1।

विधि 2।

और अब आप मॉनिटर पर गणना कर सकते हैं: प्राप्त मूल्यों की तुलना हमारे पिरामिड में मौजूद ब्लॉकों की संख्या से करें। क्या यह एक साथ आया? अच्छा किया, आपने अंकगणितीय प्रगति की शर्तों के योग में महारत हासिल कर ली है।
बेशक, आप आधार पर ब्लॉक से पिरामिड नहीं बना सकते हैं, लेकिन कहां से? इस स्थिति के साथ दीवार बनाने के लिए कितनी रेत ईंटों की आवश्यकता है, इसकी गणना करने का प्रयास करें।
क्या आप संभाल पाओगे?
सही उत्तर ब्लॉक है:

व्यायाम

कार्य:

1. गर्मियों तक माशा आकार में आ रहा है। वह हर दिन स्क्वैट्स की संख्या में वृद्धि करती है। माशा हफ्तों में कितनी बार स्क्वाट करेगी, अगर पहली कसरत में उसने स्क्वाट किया।
2. में निहित सभी विषम संख्याओं का योग क्या है?
3. लॉग को स्टोर करते समय, लंबरजैक उन्हें इस तरह से स्टैक करते हैं कि प्रत्येक शीर्ष परत में पिछले वाले की तुलना में एक लॉग कम होता है। एक चिनाई में कितने लॉग होते हैं, यदि लॉग चिनाई के आधार के रूप में काम करते हैं।

उत्तर:

1. आइए अंकगणितीय प्रगति के मापदंडों को परिभाषित करें। इस मामले में
   (सप्ताह = दिन)।

   उत्तर:दो सप्ताह के बाद, माशा को दिन में एक बार बैठना चाहिए।

2. पहली विषम संख्या, अंतिम संख्या।
   अंकगणितीय प्रगति का अंतर।
   में विषम संख्याओं की संख्या आधी है, तथापि, हम एक अंकगणितीय प्रगति का -वाँ पद ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करके इस तथ्य की जाँच करेंगे:

   संख्याओं में विषम संख्याएँ होती हैं।
   उपलब्ध डेटा को सूत्र में बदलें:

   उत्तर:इसमें निहित सभी विषम संख्याओं का योग बराबर होता है।

3. आइए पिरामिड समस्या को याद करें। हमारे मामले के लिए, ए, चूंकि प्रत्येक शीर्ष परत एक लॉग से कम हो जाती है, फिर केवल परतों के एक समूह में, यानी।
   आइए डेटा को सूत्र में बदलें:

   उत्तर:चिनाई में लॉग हैं।

आइए संक्षेप करें

1. - एक संख्यात्मक अनुक्रम जिसमें आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर समान और बराबर होता है। यह आरोही और घट सकता है।
2. सूत्र ढूँढनाअंकगणितीय प्रगति का -वाँ सदस्य सूत्र द्वारा लिखा जाता है -, प्रगति में संख्याओं की संख्या कहाँ है।
3. एक समान्तर श्रेणी के सदस्यों की संपत्ति- - प्रगति में संख्याओं की संख्या कहाँ है।
4. एक समान्तर श्रेणी के सदस्यों का योगदो तरह से पाया जा सकता है:
   
   , जहां मूल्यों की संख्या है।

अंकगणितीय प्रगति। औसत स्तर

संख्या क्रम

आइए बैठें और कुछ संख्याएँ लिखना शुरू करें। उदाहरण के लिए:

आप कोई भी संख्या लिख ​​सकते हैं, और जितने चाहें उतने हो सकते हैं। लेकिन आप हमेशा कह सकते हैं कि कौन सा पहला है, दूसरा कौन सा है, और इसी तरह, हम उन्हें नंबर दे सकते हैं। यह एक संख्या अनुक्रम का एक उदाहरण है।

संख्या क्रमसंख्याओं का एक समूह है, जिनमें से प्रत्येक को एक अद्वितीय संख्या सौंपी जा सकती है।

दूसरे शब्दों में, प्रत्येक संख्या को एक निश्चित प्राकृतिक संख्या से जोड़ा जा सकता है, और केवल एक ही। और हम इस नंबर को इस सेट से किसी अन्य नंबर को असाइन नहीं करेंगे।

संख्या वाली संख्या को अनुक्रम का वां सदस्य कहा जाता है।

हम आम तौर पर पूरे अनुक्रम को कुछ अक्षर कहते हैं (उदाहरण के लिए,), और इस अनुक्रम का प्रत्येक सदस्य एक ही अक्षर है जिसमें इस सदस्य की संख्या के बराबर सूचकांक होता है:।

यह बहुत सुविधाजनक है यदि अनुक्रम का वां पद किसी सूत्र द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सूत्र

अनुक्रम निर्दिष्ट करता है:

और सूत्र निम्नलिखित अनुक्रम है:

उदाहरण के लिए, एक अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम है (यहां पहला शब्द बराबर है, और अंतर)। या (, अंतर)।

वां टर्म फॉर्मूला

हम आवर्तक एक सूत्र कहते हैं जिसमें वें सदस्य का पता लगाने के लिए, आपको पिछले या कई पिछले वाले को जानना होगा:

उदाहरण के लिए, इस तरह के सूत्र का उपयोग करके प्रगति का वां पद खोजने के लिए, हमें पिछले नौ की गणना करनी होगी। उदाहरण के लिए, चलो। फिर:

अच्छा, अब सूत्र क्या है?

प्रत्येक पंक्ति में हम जोड़ते हैं, किसी संख्या से गुणा करते हैं। किस लिए? बहुत आसान: यह वर्तमान सदस्य माइनस की संख्या है:

अब बहुत अधिक सुविधाजनक है, है ना? हम जाँच:

अपने लिए तय करें:

एक समान्तर श्रेणी में, nवें पद का सूत्र ज्ञात कीजिए और सौवाँ पद ज्ञात कीजिए।

समाधान:

पहला पद बराबर है। क्या अंतर है? और यहाँ क्या है:

(ऐसा इसलिए है क्योंकि इसे अंतर कहा जाता है, जो प्रगति के लगातार सदस्यों के अंतर के बराबर है)।

तो सूत्र है:

तो सौवाँ पद है:

से सभी प्राकृत संख्याओं का योग क्या है?

किंवदंती के अनुसार, महान गणितज्ञ कार्ल गॉस ने 9 साल का लड़का होने के कारण कुछ ही मिनटों में इस राशि की गणना की। उन्होंने देखा कि पहली और आखिरी संख्याओं का योग बराबर है, दूसरी और आखिरी का योग है लेकिन एक समान है, अंत से तीसरे और तीसरे का योग समान है, और इसी तरह आगे भी। ऐसे कितने जोड़े होंगे? यह सही है, सभी संख्याओं की आधी संख्या, यानी। इसलिए,

किसी भी अंकगणितीय प्रगति के पहले पदों के योग का सामान्य सूत्र होगा:

उदाहरण:
सभी दो अंकों के गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।

समाधान:

ऐसी पहली संख्या है। प्रत्येक अगला पिछली संख्या में जोड़कर प्राप्त किया जाता है। इस प्रकार, जिन संख्याओं में हम रुचि रखते हैं, वे पहले पद और अंतर के साथ एक अंकगणितीय प्रगति बनाते हैं।

इस प्रगति का वां पद सूत्र है:

कितने सदस्य प्रगति में हैं यदि उन सभी को दोहरे अंक में होना है?

बहुत आसान: ।

प्रगति में अंतिम पद बराबर होगा। फिर योग:

उत्तर: ।

अब आप स्वयं निर्णय लें:

1. हर दिन, एथलीट पिछले दिन की तुलना में अधिक मीटर दौड़ता है। यदि वह पहले दिन किमी मी दौड़ता है तो वह सप्ताहों में कितने किलोमीटर दौड़ेगा?
2. एक साइकिल चालक हर दिन पिछले वाले की तुलना में अधिक किलोमीटर ड्राइव करता है। पहले दिन उन्होंने किमी. किमी को तय करने के लिए उसे कितने दिनों की यात्रा करने की आवश्यकता है? यात्रा के अंतिम दिन में वह कितने किलोमीटर की यात्रा करेगा?
3. एक स्टोर में एक रेफ्रिजरेटर की कीमत हर साल उतनी ही कम हो जाती है। निर्धारित करें कि हर साल रेफ्रिजरेटर की कीमत कितनी कम हो गई है, अगर, रूबल के लिए बिक्री के लिए रखा गया है, तो छह साल बाद इसे रूबल के लिए बेचा गया था।

उत्तर:

1. यहां सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि अंकगणितीय प्रगति को पहचानना और उसके मापदंडों को निर्धारित करना है। इस मामले में, (सप्ताह = दिन)। आपको इस प्रगति के पहले सदस्यों का योग निर्धारित करने की आवश्यकता है:
   .
   उत्तर:
2. यह यहाँ दिया गया है: इसे खोजना आवश्यक है।
   जाहिर है, आपको पिछली समस्या के समान योग सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:
   .
   मानों को प्रतिस्थापित करें:

   जड़ स्पष्ट रूप से फिट नहीं है, तो जवाब है।
   आइए th टर्म फॉर्मूला का उपयोग करके अंतिम दिन के लिए तय की गई दूरी की गणना करें:
   (किमी)।
   उत्तर:

3. दिया गया:। पाना: ।
   यह आसान नहीं हो सकता:
   (रगड़)।
   उत्तर:

अंकगणितीय प्रगति। संक्षेप में मुख्य के बारे में

यह एक संख्यात्मक अनुक्रम है जिसमें आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर समान और बराबर होता है।

अंकगणितीय प्रगति आरोही () और घटती () हो सकती है।

उदाहरण के लिए:

समांतर श्रेणी का n-वाँ पद ज्ञात करने का सूत्र

सूत्र द्वारा लिखा गया है, जहां प्रगति में संख्याओं की संख्या है।

एक समान्तर श्रेणी के सदस्यों की संपत्ति

यह आपको प्रगति के सदस्य को आसानी से खोजने की अनुमति देता है यदि उसके पड़ोसी सदस्य ज्ञात हों - प्रगति में संख्याओं की संख्या कहां है।

एक समान्तर श्रेणी के सदस्यों का योग

राशि खोजने के दो तरीके हैं:

मूल्यों की संख्या कहां है।

मूल्यों की संख्या कहां है।

खैर, विषय समाप्त हो गया है। अगर आप इन पंक्तियों को पढ़ रहे हैं, तो आप बहुत मस्त हैं।

क्योंकि केवल 5% लोग ही अपने दम पर किसी चीज में महारत हासिल कर पाते हैं। और अगर आप अंत तक पढ़ते हैं, तो आप उस 5% में हैं!

अब सबसे महत्वपूर्ण बात आती है।

आपने इस विषय पर सिद्धांत का पता लगाया। और, फिर से, यह है ... यह सिर्फ सुपर है! आप अपने अधिकांश साथियों से पहले से ही बेहतर हैं।

समस्या यह है कि यह पर्याप्त नहीं हो सकता है ...

किस लिए?

परीक्षा में सफल उत्तीर्ण होने के लिए, बजट पर संस्थान में प्रवेश के लिए और, सबसे महत्वपूर्ण, जीवन भर के लिए।

मैं तुम्हें किसी बात के लिए नहीं मनाऊँगा, बस एक बात कहूँगा...

जिन लोगों ने अच्छी शिक्षा प्राप्त की है, वे उन लोगों की तुलना में बहुत अधिक कमाते हैं जिन्होंने इसे प्राप्त नहीं किया है। ये आँकड़े हैं।

लेकिन यह भी मुख्य बात नहीं है।

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"समझ गया" और "मैं हल करने में सक्षम हूं" पूरी तरह से अलग कौशल हैं। आपको दोनों की जरूरत है।

समस्याओं का पता लगाएं और हल करें!

सामान्य शिक्षा विद्यालय (ग्रेड 9) में बीजगणित का अध्ययन करते समय, महत्वपूर्ण विषयों में से एक संख्यात्मक अनुक्रमों का अध्ययन है, जिसमें प्रगति शामिल है - ज्यामितीय और अंकगणित। इस लेख में, हम अंकगणितीय प्रगति और समाधानों के साथ उदाहरणों पर विचार करेंगे।

एक अंकगणितीय प्रगति क्या है?

इसे समझने के लिए, मानी गई प्रगति की परिभाषा देना आवश्यक है, साथ ही उन बुनियादी सूत्रों को भी देना है जिनका उपयोग आगे समस्याओं को हल करने में किया जाएगा।

यह ज्ञात है कि कुछ बीजीय प्रगति में पहला पद 6 के बराबर है, और 7 वां पद 18 के बराबर है। अंतर को खोजना और इस क्रम को 7 वें पद पर पुनर्स्थापित करना आवश्यक है।

आइए अज्ञात शब्द निर्धारित करने के लिए सूत्र का उपयोग करें: a n = (n - 1) * d + a 1. हम इसमें ज्ञात डेटा को स्थिति से प्रतिस्थापित करते हैं, अर्थात संख्याएँ a 1 और a 7, हमारे पास है: 18 = 6 + 6 * d। इस व्यंजक से, आप आसानी से अंतर की गणना कर सकते हैं: d = (18 - 6) / 6 = 2। इस प्रकार, हमने समस्या के पहले भाग का उत्तर दिया है।

7 शब्दों तक के अनुक्रम को पुनर्स्थापित करने के लिए, आपको एक बीजीय प्रगति की परिभाषा का उपयोग करना चाहिए, अर्थात, 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, और इसी तरह। नतीजतन, हम पूरे अनुक्रम को पुनर्स्थापित करते हैं: ए 1 = 6, ए 2 = 6 + 2 = 8, ए 3 = 8 + 2 = 10, ए 4 = 10 + 2 = 12, ए 5 = 12 + 2 = 14 , एक 6 = 14 + 2 = 16, ए 7 = 18।

उदाहरण # 3: प्रगति करना

आइए समस्या की स्थिति को और भी जटिल करें। अब इस प्रश्न का उत्तर देना आवश्यक है कि अंकगणितीय प्रगति कैसे ज्ञात की जाए। आप निम्नलिखित उदाहरण दे सकते हैं: दो संख्याएँ दी गई हैं, उदाहरण के लिए - 4 और 5। बीजगणितीय प्रगति करना आवश्यक है ताकि इनके बीच तीन और शब्द फिट हों।

इस समस्या को हल करने से पहले, यह समझना आवश्यक है कि भविष्य की प्रगति में दी गई संख्याएं किस स्थान पर होंगी। चूँकि उनके बीच तीन और पद होंगे, तो a 1 = -4 और a 5 = 5। इसे स्थापित करने के बाद, हम समस्या पर आगे बढ़ते हैं, जो पिछले वाले के समान है। फिर से, n-वें पद के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं, हमें प्राप्त होता है: a 5 = a 1 + 4 * d। कहां से: डी = (ए 5 - ए 1) / 4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25। यहां हमें अंतर का पूर्णांक मान नहीं मिला, लेकिन यह एक परिमेय संख्या है, इसलिए बीजगणितीय प्रगति के सूत्र समान रहते हैं।

अब पाया गया अंतर 1 में जोड़ें और प्रगति के लापता सदस्यों को पुनर्स्थापित करें। हम पाते हैं: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, जो कि समस्या की स्थिति के साथ।

उदाहरण # 4: प्रगति का पहला पद

हम हल के साथ अंकगणितीय प्रगति के उदाहरण देना जारी रखेंगे। पिछली सभी समस्याओं में, बीजीय प्रगति की पहली संख्या ज्ञात थी। अब एक अलग प्रकार की समस्या पर विचार करें: दो संख्याएँ दी गई हैं, जहाँ एक 15 = 50 और एक 43 = 37 है। उस संख्या को खोजना आवश्यक है जिससे यह क्रम शुरू होता है।

अब तक प्रयुक्त सूत्र 1 और d का ज्ञान ग्रहण करते हैं। समस्या विवरण में इन संख्याओं के बारे में कुछ भी ज्ञात नहीं है। फिर भी, हम प्रत्येक सदस्य के लिए ऐसे व्यंजक लिखते हैं जिनके बारे में जानकारी है: a 15 = a 1 + 14 * d और a 43 = a 1 + 42 * d। दो समीकरण प्राप्त हुए, जिसमें 2 अज्ञात मात्राएँ (a 1 और d) हैं। इसका मतलब है कि समस्या रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए कम हो गई है।

इस प्रणाली को हल करने का सबसे आसान तरीका प्रत्येक समीकरण में 1 व्यक्त करना है, और फिर परिणामी अभिव्यक्तियों की तुलना करना है। पहला समीकरण: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; दूसरा समीकरण: ए 1 = ए 43 - 42 * डी = 37 - 42 * डी। इन व्यंजकों की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, जहाँ से अंतर d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (केवल 3 दशमलव स्थान दिए गए हैं)।

d को जानने के बाद, आप उपरोक्त 2 में से किसी एक का उपयोग 1 के लिए कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, पहला: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496।

यदि परिणाम के बारे में संदेह है, तो आप इसकी जांच कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, प्रगति की 43 अवधि निर्धारित करें, जो कि शर्त में निर्दिष्ट है। हम पाते हैं: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008। एक छोटी सी त्रुटि इस तथ्य के कारण है कि गणना का उपयोग हजारवें हिस्से तक किया जाता है।

उदाहरण # 5: राशि

अब आइए अंकगणितीय प्रगति के योग के समाधान के साथ कुछ उदाहरण देखें।

मान लीजिए कि निम्नलिखित रूप की संख्यात्मक प्रगति दी गई है: 1, 2, 3, 4, ...,। आप इन 100 संख्याओं के योग की गणना कैसे करते हैं?

कंप्यूटर प्रौद्योगिकी के विकास के लिए धन्यवाद, इस समस्या को हल करना संभव है, अर्थात्, सभी संख्याओं को क्रमिक रूप से जोड़ना, जो कंप्यूटर जैसे ही कोई व्यक्ति एंटर कुंजी दबाता है, करेगा। हालाँकि, समस्या को दिमाग में हल किया जा सकता है, यदि हम ध्यान दें कि संख्याओं की प्रस्तुत श्रृंखला एक बीजगणितीय प्रगति है, और इसका अंतर 1 है। योग के सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं: S n = n * (a 1 + ए) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050।

यह ध्यान देने योग्य है कि इस समस्या को "गॉसियन" कहा जाता है, क्योंकि 18 वीं शताब्दी की शुरुआत में प्रसिद्ध जर्मन, जबकि अभी भी केवल 10 वर्ष का था, कुछ ही सेकंड में इसे अपने सिर में हल करने में सक्षम था। लड़के को बीजगणितीय प्रगति के योग का सूत्र नहीं पता था, लेकिन उसने देखा कि यदि आप अनुक्रम के किनारों पर संख्याओं को जोड़े में जोड़ते हैं, तो आपको हमेशा एक परिणाम मिलता है, अर्थात 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., और इन राशियों में से ठीक 50 (100/2) होगी, तो सही उत्तर प्राप्त करने के लिए, यह 50 को 101 से गुणा करने के लिए पर्याप्त है।

उदाहरण # 6: n से m . तक के सदस्यों का योग

अंकगणितीय प्रगति के योग का एक और विशिष्ट उदाहरण निम्नलिखित है: संख्याओं की एक श्रृंखला दी गई है: 3, 7, 11, 15, ..., आपको यह पता लगाना होगा कि इसके सदस्यों का योग 8 से 14 तक क्या होगा।

समस्या का समाधान दो तरह से होता है। उनमें से पहले में 8 से 14 तक अज्ञात शब्दों को खोजना शामिल है, और फिर उनका अनुक्रमिक योग। चूंकि कुछ शब्द हैं, इसलिए यह विधि पर्याप्त श्रमसाध्य नहीं है। फिर भी, इस समस्या को दूसरी विधि द्वारा हल करने का प्रस्ताव है, जो अधिक सार्वभौमिक है।

विचार m और n पदों के बीच बीजगणितीय प्रगति के योग के लिए एक सूत्र प्राप्त करना है, जहां n> m पूर्णांक हैं। आइए हम दोनों स्थितियों के योग के लिए दो व्यंजक लिखें:

1. एस एम = एम * (ए एम + ए 1) / 2।
2. एस एन = एन * (ए एन + ए 1) / 2।

चूंकि n> m, यह स्पष्ट है कि 2 योग में पहला शामिल है। अंतिम निष्कर्ष का अर्थ है कि यदि हम इन योगों के बीच के अंतर को लेते हैं, और इसमें शब्द एम जोड़ते हैं (अंतर लेने के मामले में, इसे योग एस एन से घटाया जाता है), तो हमें समस्या का आवश्यक उत्तर मिलता है। हमारे पास है: एस एमएन = एस एन - एस एम + एम = एन * (ए 1 + ए) / 2 - एम * (ए 1 + एम) / 2 + एम = ए 1 * (एन - एम) / 2 + ए * एन/2 + पूर्वाह्न * (1- मी / 2)। इस व्यंजक में n और m के सूत्रों को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। तब हम प्राप्त करते हैं: एस एमएन = ए 1 * (एन - एम) / 2 + एन * (ए 1 + (एन -1) * डी) / 2 + (ए 1 + (एम -1) * डी) * (1 - एम / 2) = ए 1 * (एन - एम + 1) + डी * एन * (एन -1) / 2 + डी * (3 * एम - एम 2 - 2)/2।

परिणामी सूत्र कुछ बोझिल है; फिर भी, S mn का योग केवल n, m, a 1 और d पर निर्भर करता है। हमारे मामले में, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. इन संख्याओं को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: S mn = 301।

जैसा कि दिए गए समाधानों से देखा जा सकता है, सभी समस्याएँ nवें पद के व्यंजक के ज्ञान और प्रथम पदों के समुच्चय के योग के सूत्र पर आधारित हैं। इनमें से किसी भी समस्या के समाधान के साथ आगे बढ़ने से पहले, शर्त को ध्यान से पढ़ने की सिफारिश की जाती है, स्पष्ट रूप से समझें कि क्या खोजने की आवश्यकता है, और उसके बाद ही समाधान के लिए आगे बढ़ें।

एक और युक्ति सरलता के लिए प्रयास करना है, अर्थात, यदि आप जटिल गणितीय गणनाओं का उपयोग किए बिना किसी प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं, तो आपको बस यही करने की आवश्यकता है, क्योंकि इस मामले में गलती करने की संभावना कम है। उदाहरण के लिए, समाधान # 6 के साथ अंकगणितीय प्रगति के उदाहरण में, कोई सूत्र S mn = n * (a 1 + a) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am, पर रुक सकता है और ब्रेक कर सकता है। अलग-अलग उप-कार्यों में सामान्य समस्या (इस मामले में, पहले सदस्यों को खोजें और मैं)।

यदि प्राप्त परिणाम के बारे में संदेह है, तो इसकी जांच करने की सिफारिश की जाती है, जैसा कि दिए गए कुछ उदाहरणों में किया गया था। हमने पता लगाया कि अंकगणितीय प्रगति कैसे प्राप्त करें। यदि आप इसे समझ लेते हैं, तो यह इतना कठिन नहीं है।

अनंत अंकगणितीय प्रगति ए 1 , ए 2 , ..., ए एन, ... भिन्न प्राकृत संख्याओं से मिलकर बना है।

क) क्या ऐसी कोई प्रगति है जिसमें संख्याओं में से ए 1 , ए 2 , ..., ए 7 क्या ठीक तीन संख्याएँ 36 से विभाज्य हैं?

बी) क्या ऐसी कोई प्रगति है जिसमें संख्याओं में से ए 1 , ए 2 , ..., ए 30 क्या ठीक 9 संख्याएँ 36 से विभाज्य हैं?

ग) सबसे बड़ा प्राकृतिक क्या है? एनयह हो सकता है कि संख्याओं के बीच ए 1 , ए 2 , ..., ए 2एनसंख्याओं से 36 के अधिक गुणज ए 2एन + 1 , ए 2एन + 2 , ..., ए 5एन ?

समाधान।

a) एक उपयुक्त उदाहरण पहला पद 18 और अंतर 18 के साथ एक प्रगति है। पहले सात सदस्यों (18, 36, 54, 72, 90, 108, 126) में से ठीक तीन 36 से विभाज्य हैं।

बी) द्वारा निरूपित करें डीअंकगणितीय प्रगति का अंतर ए 1 , ए 2 , ..., ए एन, .... यह इस शर्त से अनुसरण करता है कि डी- प्राकृतिक संख्या। रहने दो एमतथा एन- पूर्णांक, एम > एन, जीसीडी ( डी, 36) संख्याओं के सबसे बड़े सामान्य भाजक को दर्शाता है डीऔर 36. हमारे पास है

इसलिए, अंतर ए एम − ए एन 36 से विभाज्य है यदि और केवल यदि अंतर एम − एनसे विभाज्य है तो, यदि अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों के बीच ए 1 , ए 2 , ..., ए एन, ... 36 के गुणज हैं, तो ये ऐसे पद हैं जिनके रूप की संख्याएँ हैं क्यू- पहले पद की संख्या, a . का गुणज पीसभी गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के माध्यम से चलता है। इसलिए, किसी के बीच क ए 1 , ए 2 , ..., ए एन, ... ठीक एक 36 से विभाज्य होगा। यदि फिर संख्याओं में से ए 1 , ए 2 , ..., ए 30, 36 के कम से कम 10 गुणज होंगे। यदि है तो संख्याओं में से ए 1 , ए 2 , ..., ए 30 36 से विभाज्य 8 से अधिक संख्याएँ नहीं होंगी। इसका अर्थ है कि ऐसी कोई प्रगति नहीं है जिसमें संख्याओं में से ए 1 , ए 2 , ..., ए 30 ठीक 9 संख्याएँ हैं जो 36 से विभाज्य हैं।

ग) द्वारा निरूपित करें [ एक्स] किसी संख्या का पूर्णांक भाग एक्स- सबसे बड़ा पूर्णांक से अधिक नहीं एक्स... जैसा कि बिंदु बी में सिद्ध किया गया है), किसी के बीच में कप्रगति के लगातार सदस्य ए 1 , ए 2 , ..., ए एन, ... ठीक एक 36 से विभाज्य होगा, जहां डी- अंकगणितीय प्रगति का अंतर।

इसलिए, संख्याओं के बीच ए 1 , ए 2 , ..., ए 2एनसंख्या से अधिक कोई 36 का गुणज नहीं होगा। इसी प्रकार, संख्याओं के बीच ए 2एन + 1 , ए 2एन + 2 , ..., ए 5एन 36 का गुणज कम से कम संख्या होगी। असमानता संतुष्ट होती है अगर और केवल अगर इस समानता को संतुष्ट किया जाए। तब संख्याओं और के बीच का अंतर 1 से कम है। हमें वह और साधन मिलता है, और चूंकि संख्या क 36 से अधिक नहीं है, यह इस प्रकार है कि पहले पद 27 और अंतर 1 के साथ एक प्रगति पर विचार करें। फिर संख्याओं के बीच ए 1 , ए 2 , ..., ए 46 ठीक दो 36 से विभाज्य हैं ( ए 10 = 36 और ए 46 = 72)। संख्याओं के बीच ए 47 , ए 48 , ..., ए 115 36 से पूर्णतः एक विभाज्य है ( ए 82 = 108)। यह उदाहरण दिखाता है कि एन 23 के बराबर हो सकता है।

उत्तर: ए) हां, उदाहरण के लिए, प्रगति 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, ...; बी) नहीं; ग) 23.