Եթե հետևում եք սահմանմանը, ապա մի կետում ֆունկցիայի ածանցյալը Δ ֆունկցիայի աճի հարաբերակցության սահմանն է։ yփաստարկի ավելացման Δ x:
Ամեն ինչ կարծես պարզ է. Բայց փորձեք այս բանաձևով հաշվարկել, ասենք, ֆունկցիայի ածանցյալը զ(x) = x 2 + (2x+ 3) · ե xմեղք x. Եթե ամեն ինչ անում եք ըստ սահմանման, ապա մի երկու էջ հաշվարկներից հետո դուք պարզապես կքնեք։ Հետեւաբար, կան ավելի պարզ եւ արդյունավետ ուղիներ:
Սկզբից մենք նշում ենք, որ գործառույթների ամբողջ բազմազանությունից մենք կարող ենք առանձնացնել այսպես կոչված տարրական գործառույթները: Սրանք համեմատաբար պարզ արտահայտություններ են, որոնց ածանցյալները վաղուց հաշվարկված ու աղյուսակավորված են։ Նման գործառույթները բավականին հեշտ է հիշել՝ դրանց ածանցյալների հետ միասին:
Տարրական ֆունկցիաների ածանցյալներ
Տարրական գործառույթները բոլորն են, որոնք թվարկված են ստորև: Այս ֆունկցիաների ածանցյալները պետք է անգիր հայտնի լինեն։ Ավելին, դրանք անգիր անելն ամենևին էլ դժվար չէ, դրա համար էլ տարրական են։
Այսպիսով, ածանցյալներ տարրական գործառույթներ:
| Անուն | Գործառույթ | Ածանցյալ |
| Մշտական | զ(x) = Գ, Գ ∈ Ռ | 0 (այո, զրո!) |
| Հզորությունը ռացիոնալ ցուցիչով | զ(x) = x n | n · x n − 1 |
| Սինուս | զ(x) = մեղք x | cos x |
| Կոսինուս | զ(x) = cos x | − մեղք x(մինուս սինուս) |
| Շոշափող | զ(x) = տգ x | 1/co 2 x |
| Կոտանգենս | զ(x) = ctg x | − 1/մեղք 2 x |
| Բնական լոգարիթմ | զ(x) = գերան x | 1/x |
| Կամայական լոգարիթմ | զ(x) = գերան ա x | 1/(x ln ա) |
| Էքսպոնենցիալ ֆունկցիա | զ(x) = ե x | ե x(ոչինչ չի փոխվել) |
Եթե տարրական ֆունկցիան բազմապատկվում է կամայական հաստատունով, ապա նոր ֆունկցիայի ածանցյալը նույնպես հեշտությամբ հաշվարկվում է.
(Գ · զ)’ = Գ · զ ’.
Ընդհանրապես հաստատունները կարելի է հանել ածանցյալի նշանից։ Օրինակ:
(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .
Ակնհայտ է, որ տարրական գործառույթները կարելի է ավելացնել միմյանց, բազմապատկել, բաժանել և շատ ավելին: Այսպես կհայտնվեն նոր գործառույթներ, որոնք այլևս առանձնապես տարրական չեն, բայց նաև տարբերվող որոշակի կանոններ. Այս կանոնները քննարկվում են ստորև:
Գումարի և տարբերության ածանցյալ
Թող տրվեն գործառույթները զ(x) Եվ է(x), որի ածանցյալները մեզ հայտնի են։ Օրինակ, կարող եք վերցնել վերը քննարկված տարրական գործառույթները: Այնուհետև կարող եք գտնել այս ֆունկցիաների գումարի և տարբերության ածանցյալը.
- (զ + է)’ = զ ’ + է ’
- (զ − է)’ = զ ’ − է ’
Այսպիսով, երկու ֆունկցիաների գումարի (տարբերության) ածանցյալը հավասար է ածանցյալների գումարին (տարբերությանը): Կարող են լինել ավելի շատ ժամկետներ: Օրինակ, ( զ + է + հ)’ = զ ’ + է ’ + հ ’.
Խիստ ասած, հանրահաշվում «հանում» հասկացություն չկա: Գոյություն ունի «բացասական տարր» հասկացություն։ Հետևաբար տարբերությունը զ − էկարող է վերագրվել որպես գումար զ+ (−1) է, և հետո մնում է միայն մեկ բանաձև՝ գումարի ածանցյալը։
զ(x) = x 2 + մեղք x; է(x) = x 4 + 2x 2 − 3.
Գործառույթ զ(x) երկու տարրական ֆունկցիաների գումարն է, հետևաբար.
զ ’(x) = (x 2 + մեղք x)’ = (x 2)’ + (մեղ x)’ = 2x+ cos x;
Մենք նմանապես հիմնավորում ենք ֆունկցիայի համար է(x) Միայն կան երեք տերմիններ (հանրահաշվի տեսանկյունից).
է ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).
Պատասխան.
զ ’(x) = 2x+ cos x;
է ’(x) = 4x · ( x
2 + 1).
Արտադրանքի ածանցյալ
Մաթեմատիկան տրամաբանական գիտություն է, ուստի շատերը կարծում են, որ եթե գումարի ածանցյալը հավասար է ածանցյալների գումարին, ապա արտադրանքի ածանցյալը. գործադուլ«>հավասար է ածանցյալների արտադրյալին: Բայց պտտեցե՛ք ձեզ: Արտադրանքի ածանցյալը հաշվարկվում է բոլորովին այլ բանաձևով: Մասնավորապես.
(զ · է) ’ = զ ’ · է + զ · է ’
Բանաձևը պարզ է, բայց հաճախ մոռացվում է. Եվ ոչ միայն դպրոցականներ, այլեւ ուսանողներ։ Արդյունքը սխալ լուծված խնդիրներն են։
Առաջադրանք. Գտեք ֆունկցիաների ածանցյալները. զ(x) = x 3 cos x; է(x) = (x 2 + 7x− 7) · ե x .
Գործառույթ զ(x) երկու տարրական ֆունկցիաների արդյունք է, ուստի ամեն ինչ պարզ է.
զ ’(x) = (x 3 կո x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 կո x + x 3 (− մեղք x) = x 2 (3cos x − xմեղք x)
Գործառույթ է(x) առաջին գործոնը մի փոքր ավելի բարդ է, բայց ընդհանուր սխեմանսա չի փոխվում. Ակնհայտ է, որ ֆունկցիայի առաջին գործոնը է(x) բազմանդամ է և նրա ածանցյալը գումարի ածանցյալն է։ Մենք ունենք:
է ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · ե x)’ = (x 2 + 7x− 7)» · ե x + (x 2 + 7x− 7) · ( ե x)’ = (2x+ 7) · ե x + (x 2 + 7x− 7) · ե x = ե x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · ե x = x(x+ 9) · ե x .
Պատասխան.
զ ’(x) = x 2 (3cos x − xմեղք x);
է ’(x) = x(x+ 9) · ե
x
.
Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ վերջին քայլում ածանցյալը գործոնացվում է: Ֆորմալ կերպով դա պետք չէ անել, բայց ածանցյալների մեծ մասը հաշվարկվում է ոչ թե ինքնուրույն, այլ ֆունկցիան ուսումնասիրելու համար: Սա նշանակում է, որ հետագայում ածանցյալը կհավասարեցվի զրոյի, կորոշվեն նրա նշանները և այլն։ Նման դեպքի համար ավելի լավ է արտահայտությունը ֆակտորիզացված լինի։
Եթե կան երկու գործառույթ զ(x) Եվ է(x), և է(x) ≠ 0 մեզ հետաքրքրող բազմության վրա, կարող ենք սահմանել նոր առանձնահատկություն հ(x) = զ(x)/է(x) Նման ֆունկցիայի համար կարող եք նաև գտնել ածանցյալը.
Թույլ չէ, հա՞: Որտեղի՞ց եկավ մինուսը: Ինչո՞ւ է 2? Եվ այսպես. Սա ամենաբարդ բանաձևերից մեկն է. առանց շշի չես կարող հասկանալ: Հետևաբար, ավելի լավ է ուսումնասիրել այն կոնկրետ օրինակներ.
Առաջադրանք. Գտեք ֆունկցիաների ածանցյալները.
Յուրաքանչյուր կոտորակի համարիչն ու հայտարարը պարունակում են տարրական ֆունկցիաներ, ուստի մեզ անհրաժեշտ է գործակիցի ածանցյալի բանաձևը.
Ավանդույթի համաձայն, եկեք ֆակտորիզացնենք համարիչը, սա մեծապես կպարզեցնի պատասխանը.
Բարդ ֆունկցիան պարտադիր չէ, որ կես կիլոմետր երկարությամբ բանաձև լինի: Օրինակ, բավական է վերցնել ֆունկցիան զ(x) = մեղք xև փոխարինել փոփոխականը x, ասենք, վրա x 2 + ln x. Կստացվի զ(x) = մեղք ( x 2 + ln x) - սա բարդ գործառույթ է: Այն ունի նաև ածանցյալ, բայց այն հնարավոր չի լինի գտնել՝ օգտագործելով վերը քննարկված կանոնները։
Ինչ պետք է անեմ? Նման դեպքերում բարդ ֆունկցիայի ածանցյալի փոփոխականի և բանաձևի փոխարինումը օգնում է.
զ ’(x) = զ ’(տ) · տ», Եթե xփոխարինվում է տ(x).
Որպես կանոն, այս բանաձևը հասկանալու հետ կապված իրավիճակը նույնիսկ ավելի տխուր է, քան գործակիցի ածանցյալը: Ուստի ավելի լավ է նաև դա բացատրել կոնկրետ օրինակներով, հետ մանրամասն նկարագրությունամեն քայլափոխի.
Առաջադրանք. Գտեք ֆունկցիաների ածանցյալները. զ(x) = ե 2x + 3 ; է(x) = մեղք ( x 2 + ln x)
Նշենք, որ եթե ֆունկցիայի մեջ զ(x) 2 արտահայտության փոխարեն x+ 3-ը հեշտ կլինի x, ապա ստանում ենք տարրական ֆունկցիա զ(x) = ե x. Հետևաբար, մենք կատարում ենք փոխարինում. թող 2 x + 3 = տ, զ(x) = զ(տ) = ե տ. Մենք փնտրում ենք բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ՝ օգտագործելով բանաձևը.
զ ’(x) = զ ’(տ) · տ ’ = (ե տ)’ · տ ’ = ե տ · տ ’
Եվ հիմա - ուշադրություն: Մենք կատարում ենք հակադարձ փոխարինում. տ = 2x+ 3. Մենք ստանում ենք.
զ ’(x) = ե տ · տ ’ = ե 2x+ 3 (2 x + 3)’ = ե 2x+ 3 2 = 2 ե 2x + 3
Հիմա եկեք նայենք ֆունկցիային է(x) Ակնհայտ է, որ այն պետք է փոխարինվի x 2 + ln x = տ. Մենք ունենք:
է ’(x) = է ’(տ) · տ= (մեղ տ)’ · տ= cos տ · տ ’
Հակադարձ փոխարինում. տ = x 2 + ln x. Ապա.
է ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)’ = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).
Այսքանը: Ինչպես երևում է վերջին արտահայտությունը, ամբողջ խնդիրը կրճատվել է ածանցյալ գումարի հաշվարկով։
Պատասխան.
զ ’(x) = 2 · ե
2x + 3 ;
է ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ln x).
Շատ հաճախ իմ դասերի ժամանակ «ածանցյալ» տերմինի փոխարեն ես օգտագործում եմ «պրիմ» բառը։ Օրինակ, գումարի հարվածը հավասար է հարվածների գումարին: Արդյո՞ք դա ավելի պարզ է: Դե, դա լավ է:
Այսպիսով, ածանցյալի հաշվարկը հանգում է վերը քննարկված կանոնների համաձայն այս նույն հարվածներից ազատվելուն: Ինչպես վերջին օրինակըՎերադառնանք ածանցյալ հզորությանը ռացիոնալ ցուցիչով.
(x n)’ = n · x n − 1
Քչերը գիտեն դա դերում nկարող է լինել կոտորակային թիվ: Օրինակ, արմատն է x 0.5. Իսկ եթե արմատի տակ ինչ-որ շքեղ բան կա: Դարձյալ արդյունքը կլինի բարդ ֆունկցիա՝ նրանք սիրում են նման կոնստրուկցիաներ տալ թեստերև քննություններ։
Առաջադրանք. Գտեք ֆունկցիայի ածանցյալը.
Նախ, եկեք արմատը վերագրենք որպես ռացիոնալ ցուցիչ ունեցող ուժ.
զ(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .
Այժմ մենք փոխարինում ենք. թող x 2 + 8x − 7 = տ. Մենք գտնում ենք ածանցյալը բանաձևով.
զ ’(x) = զ ’(տ) · տ ’ = (տ 0.5)» · տ= 0,5 · տ−0,5 · տ ’.
Եկեք կատարենք հակառակ փոխարինումը. տ = x 2 + 8x− 7. Մենք ունենք.
զ ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .
Վերջապես, վերադառնանք արմատներին.
Մաթեմատիկական ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելը կոչվում է տարբերակում: Մաթեմատիկական ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելը սովորական խնդիր է, որը հանդիպում է բարձրագույն մաթեմատիկայում: Դուք կարող եք խոսել տարբեր ձևերով՝ գտնել ածանցյալը, հաշվարկել ածանցյալը, տարբերակել ֆունկցիան, վերցնել ածանցյալը, բայց սրանք բոլորը նույն հասկացություններն են: Կան, իհարկե, դժվար առաջադրանքներ, որում ածանցյալը գտնելը խնդրի միայն բաղադրիչներից մեկն է։ Մեր կայքի ծառայությունում դուք հնարավորություն ունեք առցանց հաշվարկել ածանցյալը ինչպես տարրական, այնպես էլ բարդ գործառույթներից, որոնք չունեն վերլուծական լուծում: Մեր ծառայության առցանց ածանցյալը կարելի է գտնել գրեթե ցանկացած մաթեմատիկական ֆունկցիայից, նույնիսկ ամենաբարդից, որը այլ ծառայություններ չեն կարողացել լուծել ձեզ համար: Իսկ ստացված պատասխանը միշտ 100%-ով ճիշտ է և վերացնում է սխալները։ Դուք կարող եք տեսնել, թե ինչպես է ածանցյալ գտնելու գործընթացը տեղի ունենում մեր կայքում՝ օգտագործելով կոնկրետ օրինակներ: Օրինակները գտնվում են Լուծման կոճակի աջ կողմում: Ընտրեք ցանկացած գործառույթ օրինակների ցանկից, այն ավտոմատ կերպով կտեղադրվի ֆունկցիայի դաշտում, այնուհետև սեղմեք «Լուծում» կոճակը: Դուք կտեսնեք քայլ առ քայլ լուծում, ձեր ածանցյալը կգտնվի նույն կերպ: Ածանցյալների առցանց լուծման առավելությունները. Նույնիսկ եթե դուք գիտեք, թե ինչպես գտնել ածանցյալներ, գործընթացը կարող է շատ ժամանակ և ջանք խլել: Սպասարկման կայքը ստեղծված է ձեզ փրկելու հոգնեցուցիչ և երկարատև հաշվարկներից, որոնցում կարող եք նաև սխալվել: Մենք հաշվարկում ենք ածանցյալը առցանց՝ «Լուծում» կոճակի մեկ սեղմումով նշված ֆունկցիան մուտքագրելուց հետո: Կայքը կատարյալ է նաև նրանց համար, ովքեր ցանկանում են ստուգել մաթեմատիկական ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու իրենց հմտությունները և համոզվել, որ այն ճիշտ է։ անկախ որոշումկամ գտնել դրա մեջ կատարված սխալը: Դա անելու համար պարզապես անհրաժեշտ է ձեր պատասխանը համեմատել առցանց ծառայության հաշվարկի արդյունքի հետ։ Եթե դուք չեք ցանկանում օգտագործել ածանցյալ աղյուսակներ, որոնց հետ գտնում է պահանջվող գործառույթբավական ժամանակ է պահանջում, այնուհետև օգտագործեք մեր ծառայությունը ածանցյալ աղյուսակների փոխարեն՝ ածանցյալը գտնելու համար: Մեր կայքի հիմնական առավելությունները նմանատիպ այլ ծառայությունների համեմատությամբ այն է, որ հաշվարկը կատարվում է շատ արագ (միջինում 5 վայրկյան) և դրա համար ոչինչ վճարելու կարիք չկա. ծառայությունը բացարձակապես անվճար է: Ձեզանից չի պահանջվի գրանցվել, մուտքագրել էլ. փոստ կամ մուտքագրել ձեր անձնական տվյալները: Ձեզ անհրաժեշտ է միայն մուտքագրել տվյալ ֆունկցիան և սեղմել «Լուծում» կոճակը: Ինչ է ածանցյալը: Ֆունկցիայի ածանցյալը մաթեմատիկայի և մաթեմատիկական վերլուծության հիմնական հասկացությունն է: Այս գործընթացի հակառակ կողմը ինտեգրումն է, այսինքն՝ ֆունկցիա գտնելը հայտնի ածանցյալից: Պարզ ասած՝ տարբերակումը գործողություն է ֆունկցիայի վրա, իսկ ածանցյալը՝ նման գործողության արդյունք։ Որոշակի կետում ֆունկցիայի ածանցյալը հաշվարկելու համար x արգումենտը փոխարինվում է թվային արժեքով և գնահատվում է արտահայտությունը։ Գործառույթի վերևի աջ անկյունում ածանցյալը նշվում է հիմնականով: Կաթվածը կարող է լինել նաև որոշակի ֆունկցիայի նշանակում: Տարրական ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու համար ձեզ հարկավոր է իմանալ ածանցյալ աղյուսակը կամ միշտ ունենալ այն ձեռքի տակ, ինչը կարող է շատ հարմար չլինել, ինչպես նաև իմանալ տարբերակման կանոնները, ուստի խորհուրդ ենք տալիս օգտագործել մեր ծառայությունը, որտեղ ածանցյալն է։ հաշվարկված առցանց, պարզապես անհրաժեշտ է մուտքագրել գործառույթը դրա համար նախատեսված դաշտում: Փաստարկը պետք է լինի x փոփոխականը, քանի որ տարբերակումը կատարվում է դրա նկատմամբ: Եթե Ձեզ անհրաժեշտ է հաշվարկել երկրորդ ածանցյալը, կարող եք տարբերակել ստացված պատասխանը: Ինչպես հաշվարկել ածանցյալը առցանց: Տարրական ֆունկցիաների ածանցյալների աղյուսակները վաղուց ստեղծվել են, և դրանք հեշտությամբ կարելի է գտնել, ուստի տարրական (պարզ) մաթեմատիկական ֆունկցիայի ածանցյալը հաշվարկելը բավականին պարզ խնդիր է։ Այնուամենայնիվ, երբ դուք պետք է գտնեք բարդ մաթեմատիկական ֆունկցիայի ածանցյալը, սա այլևս աննշան խնդիր չէ և մեծ ջանք ու ժամանակ կպահանջի: Դուք կարող եք ազատվել անիմաստ և երկարատև հաշվարկներից, եթե օգտվեք մեր առցանց ծառայություն. Դրա շնորհիվ ածանցյալը կհաշվարկվի վայրկյանների ընթացքում։
Մաթեմատիկայում ֆիզիկական խնդիրների կամ օրինակների լուծումը լիովին անհնար է առանց ածանցյալի և դրա հաշվարկման մեթոդների իմացության: Ածանցյալը մաթեմատիկական վերլուծության ամենակարեւոր հասկացություններից մեկն է: Մենք որոշեցինք այսօրվա հոդվածը նվիրել այս հիմնարար թեմային: Ինչ է ածանցյալը, որն է նրա ֆիզիկական և երկրաչափական իմաստԻնչպե՞ս հաշվարկել ֆունկցիայի ածանցյալը: Այս բոլոր հարցերը կարելի է միավորել մեկի մեջ՝ ինչպե՞ս հասկանալ ածանցյալը:
Ածանցյալի երկրաչափական և ֆիզիկական նշանակությունը
Թող ֆունկցիա լինի f(x) , նշված է որոշակի ընդմիջումով (ա, բ) . Այս միջակայքին են պատկանում x և x0 կետերը: Երբ x-ը փոխվում է, ֆունկցիան ինքնին փոխվում է: Փաստարկի փոփոխություն՝ դրա արժեքների տարբերությունը x-x0 . Այս տարբերությունը գրված է այսպես դելտա x և կոչվում է արգումենտի ավելացում։ Ֆունկցիայի փոփոխությունը կամ աճը երկու կետում ֆունկցիայի արժեքների տարբերությունն է: Ածանցյալի սահմանում.
Մի կետում ֆունկցիայի ածանցյալը տվյալ կետում ֆունկցիայի աճի հարաբերության սահմանն է փաստարկի աճին, երբ վերջինս հակված է զրոյի:
Հակառակ դեպքում կարելի է գրել այսպես.
Ի՞նչ իմաստ ունի նման սահման գտնելը: Եվ ահա թե ինչ է դա.
Կետում ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է OX առանցքի և տվյալ կետում ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափող անկյան շոշափմանը:
Ածանցյալի ֆիզիկական նշանակությունը. ուղու ածանցյալը ժամանակի նկատմամբ հավասար է ուղղագիծ շարժման արագությանը։
Իսկապես, դպրոցական օրերից բոլորը գիտեն, որ արագությունը որոշակի ճանապարհ է x=f(t) և ժամանակ տ . Միջին արագությունը որոշակի ժամանակահատվածում.
Ժամանակի ընթացքում շարժման արագությունը պարզելու համար t0 Դուք պետք է հաշվարկեք սահմանը.
Կանոն առաջին. սահմանել հաստատուն
Հաստատունը կարելի է հանել ածանցյալ նշանից։ Ավելին, դա պետք է արվի։ Մաթեմատիկայում օրինակներ լուծելիս ընդունեք որպես կանոն. Եթե դուք կարող եք պարզեցնել արտահայտությունը, համոզվեք, որ այն պարզեցրեք .
Օրինակ. Եկեք հաշվարկենք ածանցյալը.
Կանոն երկրորդ՝ ֆունկցիաների գումարի ածանցյալ
Երկու ֆունկցիաների գումարի ածանցյալը հավասար է այս ֆունկցիաների ածանցյալների գումարին։ Նույնը վերաբերում է ֆունկցիաների տարբերության ածանցյալին։
Մենք չենք տա այս թեորեմի ապացույցը, այլ ավելի շուտ կդիտարկենք գործնական օրինակ:
Գտեք ֆունկցիայի ածանցյալը.
Երրորդ կանոն՝ ֆունկցիաների արտադրյալի ածանցյալ
Երկու տարբերակելի ֆունկցիաների արտադրյալի ածանցյալը հաշվարկվում է բանաձևով.
Օրինակ՝ գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը.
Լուծում: 
Այստեղ կարևոր է խոսել բարդ ֆունկցիաների ածանցյալների հաշվարկման մասին։ Կոմպլեքս ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է այս ֆունկցիայի ածանցյալի արտադրյալին միջանկյալ փաստարկի նկատմամբ և միջանկյալ փաստարկի ածանցյալին անկախ փոփոխականի նկատմամբ։
Վերոնշյալ օրինակում մենք հանդիպում ենք արտահայտության.
IN այս դեպքումմիջանկյալ արգումենտը 8x է հինգերորդ աստիճանին: Նման արտահայտության ածանցյալը հաշվարկելու համար մենք նախ հաշվարկում ենք արտաքին ֆունկցիայի ածանցյալը միջանկյալ արգումենտի նկատմամբ, այնուհետև բազմապատկում ենք բուն միջանկյալ փաստարկի ածանցյալով անկախ փոփոխականի նկատմամբ։
Չորրորդ կանոն՝ երկու ֆունկցիայի քանորդի ածանցյալ
Երկու ֆունկցիաների քանորդի ածանցյալի որոշման բանաձև.
Մենք փորձեցինք խոսել զրոյից ածանցյալների մասին: Այս թեման այնքան էլ պարզ չէ, որքան թվում է, այնպես որ զգուշացե՛ք. օրինակներում հաճախ են որոգայթներ, ուստի զգույշ եղեք ածանցյալները հաշվարկելիս:
Այս և այլ թեմաների վերաբերյալ ցանկացած հարցով կարող եք կապվել ուսանողական ծառայության հետ: Հետևում կարճաժամկետՄենք կօգնենք ձեզ լուծել ամենադժվար թեստերը և լուծել խնդիրները, նույնիսկ եթե նախկինում երբեք չեք արել ածանցյալ հաշվարկներ:
Ներկայացված է կոսինուսի ածանցյալի՝ cos(x) բանաձևի ապացույցը և ստացումը։ cos 2x, cos 3x, cos nx, կոսինուսի քառակուսի, խորանարդ և n հզորության ածանցյալների հաշվարկման օրինակներ։ n-րդ կարգի կոսինուսի ածանցյալի բանաձևը.
x-ի կոսինուսից x փոփոխականի նկատմամբ ածանցյալը հավասար է հանած x-ի սինուսին.
(cos x)′ = - մեղք x.
Ապացույց
Կոսինուսի ածանցյալի բանաձևը ստանալու համար մենք օգտագործում ենք ածանցյալի սահմանումը.
.
Եկեք վերափոխենք այս արտահայտությունը, որպեսզի այն վերածվի հայտնի մաթեմատիկական օրենքների և կանոնների: Դա անելու համար մենք պետք է իմանանք չորս հատկություն.
1)
Եռանկյունաչափական բանաձևեր. Մեզ անհրաժեշտ կլինի հետևյալ բանաձևը.
(1)
;
2)
Սինուսի ֆունկցիայի շարունակականության հատկությունը.
(2)
;
3)
Առաջին ուշագրավ սահմանի իմաստը.
(3)
;
4)
Երկու ֆունկցիայի արտադրյալի սահմանի հատկությունը.
Եթե և, ապա
(4)
.
Եկեք այս օրենքները կիրառենք մինչև մեր սահմանը։ Նախ փոխակերպում ենք հանրահաշվական արտահայտությունը
.
Դա անելու համար մենք կիրառում ենք բանաձևը
(1)
;
Մեր դեպքում
; . Հետո
;
;
;
.
Եկեք փոխարինում կատարենք. ժամը , . Մենք օգտագործում ենք շարունակականության հատկությունը (2).
.
Կատարենք նույն փոխարինումը և կիրառենք առաջին ուշագրավ սահմանը (3).
.
Քանի որ վերը հաշվարկված սահմանները գոյություն ունեն, մենք կիրառում ենք հատկությունը (4).
.
Այսպիսով, մենք ստացանք կոսինուսի ածանցյալի բանաձևը.
Օրինակներ
Եկեք դիտարկենք պարզ օրինակներգտնել կոսինուս պարունակող ֆունկցիաների ածանցյալներ. Գտնենք հետևյալ ֆունկցիաների ածանցյալները.
y = cos 2x; y = cos 3x; y = cos nx; y = cos 2 x; y = cos 3 xև y = cos n x.
Օրինակ 1
Գտեք ածանցյալները cos 2x, cos 3xԵվ cosnx.
Լուծում
Բնօրինակ գործառույթներն ունեն նմանատիպ ձև: Հետևաբար մենք կգտնենք ֆունկցիայի ածանցյալը y = cosnx. Այնուհետեւ, որպես ածանցյալ cosnx, փոխարինել n = 2 և n = 3: Եվ այսպես, մենք ստանում ենք բանաձևեր ածանցյալների համար cos 2xԵվ cos 3x .
Այսպիսով, մենք գտնում ենք ֆունկցիայի ածանցյալը
y = cosnx
.
Պատկերացնենք x փոփոխականի այս ֆունկցիան որպես երկու ֆունկցիաներից բաղկացած բարդ ֆունկցիա.
1)
2)
Այնուհետև սկզբնական ֆունկցիան բարդ (կոմպոզիտային) ֆունկցիա է, որը կազմված է ֆունկցիաներից և.
.
Գտնենք ֆունկցիայի ածանցյալը x փոփոխականի նկատմամբ.
.
Գտնենք ֆունկցիայի ածանցյալը փոփոխականի նկատմամբ.
.
Մենք դիմում ենք.
.
Փոխարինենք.
(P1) .
Այժմ, բանաձևում (A1) մենք փոխարինում ենք և.
;
.
Պատասխանել
;
;
.
Օրինակ 2
Գտե՛ք կոսինուսի քառակուսի, կոսինուսի խորանարդի և կոսինուսի ածանցյալները n ուժի նկատմամբ.
y = cos 2 x; y = cos 3 x; y = cos n x.
Լուծում
Այս օրինակում ֆունկցիաները նույնպես ունեն նման տեսք։ Հետևաբար, մենք կգտնենք ամենաընդհանուր ֆունկցիայի ածանցյալը՝ կոսինուսը n ուժի նկատմամբ.
y = cos n x.
Այնուհետև մենք փոխարինում ենք n = 2 և n = 3: Եվ այսպես, մենք ստանում ենք կոսինուսի քառակուսի և կոսինուսի խորանարդի ածանցյալների բանաձևեր:
Այսպիսով, մենք պետք է գտնենք ֆունկցիայի ածանցյալը
.
Եկեք այն վերաշարադրենք ավելի հասկանալի ձևով.
.
Եկեք այս ֆունկցիան պատկերացնենք որպես երկու ֆունկցիաներից բաղկացած բարդ ֆունկցիա.
1)
Գործառույթներ՝ կախված փոփոխականից.
2)
Գործառույթներ՝ կախված փոփոխականից.
Այնուհետև սկզբնական ֆունկցիան բարդ ֆունկցիա է, որը բաղկացած է երկու ֆունկցիաներից և.
.
Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը x փոփոխականի նկատմամբ.
.
Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը փոփոխականի նկատմամբ.
.
Կիրառում ենք բարդ ֆունկցիաների տարբերակման կանոնը.
.
Փոխարինենք.
(P2) .
Հիմա եկեք փոխարինենք և.
;
.
Պատասխանել
;
;
.
Բարձրագույն կարգի ածանցյալներ
Նշենք, որ ածանցյալը cos xառաջին կարգը կարող է արտահայտվել կոսինուսի միջոցով հետևյալ կերպ.
.
Եկեք գտնենք երկրորդ կարգի ածանցյալը՝ օգտագործելով բարդ ֆունկցիայի ածանցյալի բանաձևը.
.
Այստեղ .
Ուշադրություն դարձրեք այդ տարբերակմանը cos xպատճառ է դառնում, որ դրա փաստարկը մեծանա: Այնուհետև n-րդ կարգի ածանցյալն ունի ձև.
(5)
.
Այս բանաձևը կարելի է ապացուցել ավելի խիստ՝ օգտագործելով մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդը։ Սինուսի n-րդ ածանցյալի ապացույցը ներկայացված է «Սինուսի ածանցյալ» էջում։ Կոսինուսի n-րդ ածանցյալի համար ապացույցը ճիշտ նույնն է։ Պարզապես պետք է մեղքը փոխարինել cos-ով բոլոր բանաձեւերում:
Էքսպոնենցիալ (e x հզորության) և էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի (a-ից x հզորության) ածանցյալի բանաձևերի ապացուցում և ածանցում։ e^2x, e^3x և e^nx ածանցյալների հաշվարկման օրինակներ։ Բարձրագույն կարգի ածանցյալների բանաձևեր.
Ցուցանիշի ածանցյալը հավասար է բուն ցուցանիշին (e-ի ածանցյալը x հզորությանը հավասար է e-ին x հզորությանը).
(1)
(e x )′ = e x.
a հիմք ունեցող էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է այն ֆունկցիային, որը բազմապատկվում է a-ի բնական լոգարիթմով.
(2)
.
Էքսպոնենցիալ ածանցյալի բանաձևի ածանցավորումը x հզորությանը
Էքսպոնենցիալը էքսպոնենցիալ ֆունկցիան է, որի հիմքը հավասար է e թվին, որը հետևյալ սահմանն է.
.
Այստեղ այն կարող է լինել ինչպես բնական, այնպես էլ իրական թիվ։ Հաջորդը, մենք բխում ենք (1) բանաձևը էքսպոնենցիալի ածանցյալի համար:
Էքսպոնենցիալ ածանցյալ բանաձևի ստացում
Դիտարկենք էքսպոնենցիալը e x հզորության նկատմամբ.
y = e x.
Այս գործառույթը սահմանված է բոլորի համար: Գտնենք դրա ածանցյալը x փոփոխականի նկատմամբ։ Ըստ սահմանման, ածանցյալը հետևյալ սահմանն է.
(3)
.
Եկեք փոխակերպենք այս արտահայտությունը, որպեսզի այն վերածվի հայտնի մաթեմատիկական հատկությունների և կանոնների: Դա անելու համար մեզ անհրաժեշտ են հետևյալ փաստերը.
Ա)Ցուցանիշ հատկություն.
(4)
;
Բ)Լոգարիթմի հատկությունը.
(5)
;
IN)Լոգարիթմի շարունակականությունը և սահմանաչափերի հատկությունը շարունակական ֆունկցիայի համար.
(6)
.
Ահա մի ֆունկցիա, որն ունի սահման, և այս սահմանը դրական է:
է)Երկրորդ ուշագրավ սահմանի իմաստը.
(7)
.
Եկեք կիրառենք այս փաստերը մեր սահմանին (3): Մենք օգտագործում ենք գույք (4):
;
.
Եկեք փոխարինում կատարենք. Այնուհետև; .
Էքսպոնենցիալության շարունակականության պատճառով,
.
Հետևաբար, երբ, . Արդյունքում մենք ստանում ենք.
.
Եկեք փոխարինում կատարենք. Հետո . ժամը , . Եվ մենք ունենք.
.
Եկեք կիրառենք լոգարիթմի հատկությունը (5).
. Հետո
.
Եկեք կիրառենք գույքը (6): Քանի որ կա դրական սահման, և լոգարիթմը շարունակական է, ուրեմն.
.
Այստեղ մենք օգտագործեցինք նաև երկրորդ ուշագրավ սահմանը (7): Հետո
.
Այսպիսով, մենք ստացանք (1) բանաձևը էքսպոնենցիալի ածանցյալի համար:
Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի ածանցյալի բանաձևի ստացում
Այժմ մենք բխում ենք (2) բանաձևը էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի ածանցյալի համար՝ a աստիճանի հիմքով: Մենք հավատում ենք, որ և. Այնուհետև էքսպոնենցիալ ֆունկցիան
(8)
Սահմանված է բոլորի համար:
Փոխակերպենք բանաձևը (8): Դրա համար մենք կօգտագործենք էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հատկություններըև լոգարիթմ.
;
.
Այսպիսով, մենք (8) բանաձևը վերածեցինք հետևյալ ձևի.
.
e-ի ավելի բարձր կարգի ածանցյալներ x հզորությանը
Այժմ եկեք գտնենք ավելի բարձր կարգերի ածանցյալներ: Եկեք նախ նայենք ցուցիչին.
(14)
.
(1)
.
Մենք տեսնում ենք, որ (14) ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է ինքնին (14) ֆունկցիային։ Տարբերակելով (1)՝ մենք ստանում ենք երկրորդ և երրորդ կարգի ածանցյալներ.
;
.
Սա ցույց է տալիս, որ n-րդ կարգի ածանցյալը նույնպես հավասար է սկզբնական ֆունկցիային.
.
Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի ավելի բարձր կարգի ածանցյալներ
Այժմ դիտարկենք էքսպոնենցիալ ֆունկցիա՝ a աստիճանի հիմքով.
.
Մենք գտանք նրա առաջին կարգի ածանցյալը.
(15)
.
Տարբերակելով (15)՝ մենք ստանում ենք երկրորդ և երրորդ կարգի ածանցյալներ.
;
.
Մենք տեսնում ենք, որ յուրաքանչյուր տարբերակում հանգեցնում է սկզբնական ֆունկցիայի բազմապատկմանը . Այսպիսով, n-րդ կարգի ածանցյալն ունի հետևյալ ձևը.
.
