դիֆերենցիալ x. Ֆունկցիայի դիֆերենցիալ: Ֆունկցիայի դիֆերենցիալի երկրաչափական նշանակությունը

Փաստարկի դիֆերենցիալը նրա աճն է dx = ∆ x .

Ֆունկցիայի դիֆերենցիալը ածանցյալի և փաստարկի աճի արտադրյալն է դի = զ ′( x )∙∆ x կամ դի = զ ′( x )∙ dx .

Մեկնաբանություն:

Համեմատեք աճող դիֆերենցիալը:

Թող լինի ∆ y-ը և ∆x-ը փոքրության նույն կարգի են:

Dy-ը և ∆x-ը փոքրության նույն կարգի են, այսինքն՝ dy-ն և ∆y-ն փոքրության նույն կարգի են:

α∙∆x-ը փոքրության ավելի բարձր կարգի անվերջ փոքր է, քան ∆x-ը:

.Դիֆերենցիալը ֆունկցիայի ավելացման հիմնական մասն է .

Ֆունկցիայի դիֆերենցիալը տարբերվում է ֆունկցիայի անվերջ փոքրությամբ մեծացումից

ավելի բարձր կարգ, քան փաստարկի աճը:

Ֆունկցիայի դիֆերենցիալի երկրաչափական նշանակությունը:

dy =f′(x)∙∆x=tgφ∙∆x=NT.

Դիֆերենցիալը հավասար է շոշափողի օրդինատի աճին:

դիֆերենցիալ հատկություններ.

Գումարի դիֆերենցիալը հավասար է դիֆերենցիալների գումարին։

դ ( u + v) = du + dv.

արտադրանքի դիֆերենցիալ դ ( u v ) = դու ∙ v + u dv .

Բարդ ֆունկցիայի դիֆերենցիալ:

y = f(u), u = φ(x), dy = y′ x dx=

դի = զ ′( u ) դու դիֆերենցիալի ձևի անփոփոխությունն է։

Ավելի բարձր կարգի դիֆերենցիալներ.

դի = զ ′(x)∙ dx, հետևաբար

Հիպերբոլիկ գործառույթներ.

Մաթեմատիկական վերլուծության բազմաթիվ կիրառություններում կան էքսպոնենցիալ ֆունկցիաների համակցություններ։

Սահմանումներ.

Հիպերբոլիկ ֆունկցիաների սահմանումներից բխում են հետևյալ հարաբերությունները.

ch 2 x–sh 2 x= 1,sh2x= 2shx∙chx,ch2x=ch 2 x+sh 2 x,sh(α±β) =shαchβ±chαshβ. Հիպերբոլիկ ֆունկցիաների ածանցյալներ.

Ռոլի թեորեմա.

Եթե ​​ֆունկցիան զ ( x ) սահմանված և շարունակական է փակ միջակայքում [ ա , բ ], ունի ածանցյալ այս միջակայքի բոլոր ներքին կետերում և ընդունում է հավասար արժեքներ միջակայքի ծայրերում, ապա միջակայքի ներսում կա առնվազն մեկ այդպիսի կետx = ξ, որը զ ′(ξ) = 0.

երկրաչափական իմաստ.

y

զ(ա) = զ(բ), կ կաս = 0.

ԱԳԲՀարթ աղեղի վրա [ա, բ] կա այդպիսի կետ

զ(ա) զ(բ) C, որի շոշափողը զուգահեռ է ակորդին:

ա ξ բ x

Լագրանժի թեորեմ (1736-1813, Ֆրանսիա).

Եթե ​​ֆունկցիան սահմանված և շարունակական է փակ միջակայքում [ ա , բ ] և ունի ածանցյալ այս միջակայքի բոլոր ներքին կետերում, ապա այս ինտերվալի ներսում կա առնվազն մեկ կետ x = ξ այնպիսին, որզ ( բ ) – զ ( ա ) = զ ′(ξ)∙( բ – ա ).

Լագրանժի թեորեմի երկրաչափական իմաստը.

ԵՎ մենք հարթ աղեղ ենք պատրաստում AB:

AB հարթ աղեղի վրա կա C կետ, որտեղ շոշափողը զուգահեռ է AB ակորդին:

Ապացույց.Դիտարկենք գործառույթը Ֆ(x) = զ(x) – λ x. Ընտրենք λ, որպեսզի Ռոլի թեորեմի պայմանները բավարարվեն։

F(x)-ը սահմանված և շարունակական է [ ա, բ], որովհետեւ սահմանված և շարունակական գործառույթ զ(x),.

Ֆ′(x) = զ ′(x) – λ - գոյություն ունի,

Եկեք ընտրենք λ այնպես, որ պայմանները Ֆ(ա) = Ֆ(բ), դրանք. զ(ա) – λ ա = զ(բ) – λ բ,

Ռոլլի թեորեմով կա այդպիսի կետ x = ξЄ( ա, բ), ինչ Ֆ′(ξ) = 0, այսինքն.

Աճող և նվազող գործառույթ:

Ֆունկցիան կոչվում է աճող եթե արգումենտի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի ավելի մեծ արժեքին:

Եթե ​​ֆունկցիան տարբերվող մի կետում , ապա դրա աճը կարող է ներկայացվել որպես երկու անդամի գումար

. Այս տերմինները անսահման փոքր ֆունկցիաներ են
.Առաջին անդամը գծային է
, երկրորդը անվերջ փոքր ավելի բարձր կարգ է, քան
.Իսկապես,

.

Այսպիսով, երկրորդ ժամկետը ժամը
հակված է զրոյի ավելի արագ և ֆունկցիայի աճը գտնելիս
առաջին տերմինը գլխավոր դերն է խաղում
կամ (որովհետև
)
.

Սահմանում . Ֆունկցիայի ավելացման հիմնական մասը
կետում , գծային նկատմամբ
,կոչվում է դիֆերենցիալ գործառույթները այս կետում և նշվում էդիկամԴ Ֆ(x)

. (2)

Այսպիսով, մենք կարող ենք եզրակացնել. անկախ փոփոխականի դիֆերենցիալը համընկնում է դրա աճի հետ, այսինքն
.

Հարաբերությունը (2) այժմ ձևավորվում է

(3)

Մեկնաբանություն . Հակիրճության համար բանաձևը (3) հաճախ գրվում է ձևով

(4)

Դիֆերենցիալի երկրաչափական նշանակությունը

Դիտարկենք դիֆերենցիալ ֆունկցիայի գրաֆիկը
. միավորներ
և պատկանում են ֆունկցիայի գրաֆիկին։ Կետում Մմի շոշափող TOայն ֆունկցիայի գրաֆիկին, որի անկյունը առանցքի դրական ուղղության հետ
նշելով
. Եկեք ուղիղ նկարենք MN առանցքին զուգահեռ Եզ Եվ
առանցքին զուգահեռ Օյ. Ֆունկցիայի աճը հավասար է հատվածի երկարությանը
. Ուղղանկյուն եռանկյունից
, որի մեջ
, ստանում ենք

Վերոնշյալ պատճառաբանությունը թույլ է տալիս եզրակացնել.

Ֆունկցիայի դիֆերենցիալ
կետում ներկայացված է այս ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի օրդինատի աճով նրա համապատասխան կետում
.

Դիֆերենցիալի և ածանցյալի հարաբերությունը

Դիտարկենք բանաձևը (4)

.

Այս հավասարության երկու կողմերն էլ բաժանում ենք dx, ապա

.

Այս կերպ, ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է նրա դիֆերենցիալի և անկախ փոփոխականի դիֆերենցիալի հարաբերությանը.

Հաճախ այս վերաբերմունքը վերաբերվում է պարզապես որպես ֆունկցիայի ածանցյալը նշանակող խորհրդանիշ ժամըփաստարկով X.

Ածանցյալի համար հարմար նշում է նաև.

,
և այլն:

Օգտագործվում են նաև գրառումներ

,
,

հատկապես հարմար է, երբ վերցվում է բարդ արտահայտության ածանցյալը։

2. Գումարի, արտադրյալի և քանորդի դիֆերենցիալ:

Քանի որ դիֆերենցիալը ստացվում է ածանցյալից՝ բազմապատկելով այն անկախ փոփոխականի դիֆերենցիալով, ապա, իմանալով հիմնական տարրական ֆունկցիաների ածանցյալները, ինչպես նաև ածանցյալներ գտնելու կանոնները, կարելի է գալ դիֆերենցիալ գտնելու նմանատիպ կանոնների։

1 0 . հաստատունի դիֆերենցիալը զրո է

.

2 0 . Վերջավոր թվով տարբերվող ֆունկցիաների հանրահաշվական գումարի դիֆերենցիալը հավասար է այս ֆունկցիաների դիֆերենցիալների հանրահաշվական գումարին.

3 0 . Երկու դիֆերենցիալ ֆունկցիաների արտադրյալի դիֆերենցիալը հավասար է առաջին ֆունկցիայի արտադրյալների գումարին և երկրորդ և երկրորդ ֆունկցիայի դիֆերենցիալին և առաջինի դիֆերենցիալին։

.

Հետևանք. Մշտական ​​գործոնը կարելի է դուրս բերել դիֆերենցիալի նշանից

.

Օրինակ. Գտեք ֆունկցիայի դիֆերենցիալը:

Լուծում.Այս ֆունկցիան գրում ենք ձևով

,

ապա մենք ստանում ենք

.

4. Պարամետրականորեն տրված ֆունկցիաները, դրանց տարբերակումը.

Սահմանում . Գործառույթ
կոչվում է պարամետրականորեն տրված, եթե երկու փոփոխականներն էլ X Եվ ժամը սահմանվում են յուրաքանչյուրը առանձին որպես նույն օժանդակ փոփոխականի՝ պարամետրի միարժեք ֆունկցիաներտ:

որտեղտտատանվում է ներսում
.

Մեկնաբանություն . Ֆունկցիաների պարամետրային նշանակումը լայնորեն կիրառվում է տեսական մեխանիկայում, որտեղ պարամետր տ նշանակում է ժամանակը և հավասարումները
շարժվող կետի պրոյեկցիաների փոփոխության օրենքներն են
առանցքի վրա
Եվ
.

Մեկնաբանություն . Ներկայացնում ենք շրջանագծի և էլիպսի պարամետրային հավասարումները.

ա) Շրջան՝ կենտրոնացած սկզբնաղբյուրում և շառավղով r ունի պարամետրային հավասարումներ.

որտեղ
.

բ) Գրենք էլիպսի պարամետրային հավասարումները.

որտեղ
.

Պարամետրը բացառելով տ Դիտարկված ուղիղների պարամետրային հավասարումներից կարելի է հանգել դրանց կանոնական հավասարումներին։

Թեորեմ . Եթե ​​ֆունկցիան y փաստարկից x-ը պարամետրորեն տրված է հավասարումներով
, որտեղ
Եվ
տարբերակելի ըստտգործառույթներ և
, ապա

.

Օրինակ. Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը ժամը-ից Xտրված է պարամետրային հավասարումներով։

Լուծում.
.

Հավելված

Կայքում առցանց դիֆերենցիալ հավասարումների լուծում ուսանողների համար՝ իրենց ուսումնասիրած նյութը համախմբելու համար: Եվ կիրառեք ձեր գործնական հմտությունները: Դիֆերենցիալ հավասարումներ առցանց. Difuras առցանց, առցանց մաթեմատիկական լուծում: Մաթեմատիկական խնդիրների քայլ առ քայլ լուծում առցանց։ Դիֆերենցիալ հավասարման կարգը կամ աստիճանը դրանում ներառված ածանցյալների ամենաբարձր կարգն է։ Դիֆերենցիալ հավասարումներ առցանց. Դիֆերենցիալ հավասարման լուծման գործընթացը կոչվում է ինտեգրացիա: Դիֆերենցիալ հավասարման ինտեգրման խնդիրը համարվում է լուծված, եթե անհայտ ֆունկցիայի հայտնաբերումը կարելի է հասցնել քառակուսի, անկախ նրանից ստացված ինտեգրալը վերջնական ձևով արտահայտված է հայտնի ֆունկցիաներով, թե ոչ։ Դիֆերենցիալ հավասարումների քայլ առ քայլ լուծում առցանց: Բոլոր դիֆերենցիալ հավասարումները կարելի է բաժանել սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների (ODE), որոնք ներառում են միայն մեկ արգումենտի ֆունկցիաները (և դրանց ածանցյալները) և մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումների (PDE), որոնցում մուտքային ֆունկցիաները կախված են բազմաթիվ փոփոխականներից։ Դիֆերենցիալ հավասարումներ առցանց. Կան նաև պատահական գործընթացներ ներառող ստոխաստիկ դիֆերենցիալ հավասարումներ (SDEs): Դիֆերենցիալ հավասարումների քայլ առ քայլ լուծում առցանց: Կախված ածանցյալների, ֆունկցիաների, անկախ փոփոխականների համակցություններից՝ դիֆերենցիալ հավասարումները բաժանվում են գծային և ոչ գծային՝ հաստատուն կամ փոփոխական գործակիցներով՝ միատարր կամ ոչ միատարր։ Կիրառումների կարևորությունից ելնելով, առանձին դասում առանձնացվում են քվազիգծային (գծային՝ ավելի բարձր ածանցյալների նկատմամբ) մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումները։ Դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումները բաժանվում են ընդհանուր և առանձին լուծումների։ Դիֆերենցիալ հավասարումներ առցանց. Ընդհանուր լուծումները ներառում են չսահմանված հաստատուններ, իսկ մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումների համար՝ անկախ փոփոխականների կամայական ֆունկցիաներ, որոնք կարող են զտվել լրացուցիչ ինտեգրման պայմաններից (սկզբնական պայմանները սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների համար, սկզբնական և սահմանային պայմանները մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումների համար): Դիֆերենցիալ հավասարումների քայլ առ քայլ լուծում առցանց: Այս հաստատուն և անորոշ ֆունկցիաների ձևը որոշելուց հետո լուծումները դառնում են առանձնահատուկ։ Սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումների որոնումը հանգեցրեց հատուկ գործառույթների դասի ստեղծմանը. գործառույթներ, որոնք հաճախ հանդիպում են կիրառություններում, որոնք չեն արտահայտվում հայտնի տարրական գործառույթներով: Դիֆերենցիալ հավասարումներ առցանց. Մանրամասն ուսումնասիրվել են դրանց հատկությունները, կազմվել են արժեքների աղյուսակներ, որոշվել են փոխկապակցվածությունները և այլն։ . Թվարկված թվերի բազմությունը կարելի է ուսումնասիրել։ Լավագույն պատասխանը տրված խնդրին. Ինչպես գտնել առաջին մոտավորմամբ ելքային վեկտորը դեպի դիֆերենցիալ հավասարումների կոնվերգենցիայի շրջան՝ առանց պարզաբանելու հայտնաբերված վերին սահմանը: Ընտրությունն ակնհայտ է մաթեմատիկական ֆունկցիաների մեծացման համար։ Հետազոտության մակարդակից բարձր առաջադեմ մեթոդ կա։ Խնդրի սկզբնական վիճակին համապատասխանեցնելու համար դիֆերենցիալի լուծումը կօգնի գտնել մեկ արժեքով ընտրված արժեք: Հնարավոր է, որ նա կարող է անմիջապես որոշել անհայտը: Ինչպես մաթեմատիկական խնդրի լուծումը ցույց տալու նախորդ օրինակում, գծային դիֆերենցիալ հավասարումները որոշակի խնդրի պատասխանն են սահմանված ժամկետում: Ուսումնասիրության ընթացակարգի պահպանումը տեղայնորեն սահմանված չէ: Այնպես կլինի, որ յուրաքանչյուր ուսանողի համար լինի օրինակ, և դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումը որոշի պատասխանատու կատարողին առնվազն երկու արժեքից։ Վերցրեք ընդհանուր արժեքի ֆունկցիա որոշակի հատվածի վրա և զգուշացրեք, թե որ առանցքի երկայնքով բաց կլինի: Դիֆերենցիալ հավասարումները առցանց ուսումնասիրելով՝ կարելի է միանշանակ ցույց տալ, թե որքան կարևոր է արդյունքը, եթե այն ապահովված է նախնական պայմաններից։ Տարածաշրջանը ֆունկցիայի սահմանումից դուրս հանելը անհնար է, քանի որ լոկալ առաջադրանքների սահմանում չկա: Գտնվելով հավասարումների համակարգից՝ պատասխանը պարունակում է փոփոխական, որը կարելի է հաշվարկել ընդհանուր իմաստով, բայց բնականաբար հնարավոր կլինի լուծել դիֆերենցիալ հավասարումը առցանց՝ առանց այդ գործողության՝ նշված պայմանը որոշելու համար: Հատվածի միջակայքին մոտ երևում է, թե ինչպես է առցանց դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումը կարողանում ուսանողների գիտելիքների կտրման պահին հետազոտության արդյունքը առաջ տանել դրական ուղղությամբ: Լավագույնը միշտ չէ, որ ձեռք է բերվում բիզնեսի նկատմամբ ընդհանուր ընդունված մոտեցմամբ: 2x մակարդակում կարելի է օգտակար դիտել բոլոր անհրաժեշտ բնական գծային դիֆերենցիալ հավասարումները, սակայն թվային արժեքը հաշվարկելու ունակությունը կհանգեցնի գիտելիքների ավելացման: Համաձայն մաթեմատիկայի ցանկացած տեխնիկայի, կան դիֆերենցիալ հավասարումներ, որոնք ներկայացված են էապես տարբեր արտահայտություններով, օրինակ՝ միատարր կամ բարդ: Գործառույթի ուսումնասիրության ընդհանուր վերլուծությունից հետո պարզ կդառնա, որ դիֆերենցիալի լուծումը որպես հնարավորությունների մի շարք ներկայացնում է արժեքների ակնհայտ սխալ: Դրանում ճշմարտությունը գտնվում է աբսցիսայի գծերի վերևում գտնվող տարածության մեջ: Ինչ-որ տեղ բարդ ֆունկցիայի տիրույթում, դրա սահմանման ինչ-որ կետում, գծային դիֆերենցիալ հավասարումները կկարողանան պատասխանը ներկայացնել վերլուծական տեսքով: այսինքն՝ ընդհանուր առմամբ, որպես էություն։ Փոփոխականը փոխելիս ոչինչ չի փոխվի։ Այնուամենայնիվ, անհրաժեշտ է հատուկ հետաքրքրությամբ դիտարկել պատասխանը։ Փաստորեն, հաշվիչը վերջում փոխում է հարաբերակցությունը, այսինքն, թե ինչպես է դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումը համաչափ գլոբալ արժեքին, նշված է ցանկալի լուծման մեջ։ Որոշ դեպքերում զանգվածային սխալի նախազգուշացումն անխուսափելի է: Դիֆերենցիալ հավասարումները առցանց իրականացնում են խնդրի ընդհանուր պատկերացում, բայց, ի վերջո, պետք է հնարավորինս շուտ ապահովել խաչաձև արտադրանքի դրական կողմերը: Մաթեմատիկայի մեջ թվերի տեսության մեջ սխալվելու դեպքերը հազվադեպ չեն: Անպայման պետք է ստուգել։ Բնականաբար, ավելի լավ է այդ իրավունքը տալ իրենց ոլորտի մասնագետներին, և հենց նրանք էլ կօգնեն առցանց լուծել դիֆերենցիալ հավասարումը, քանի որ նրանց փորձը հսկայական է և դրական: Նկարների մակերևույթների և տարածքի տարբերությունն այնպիսին է, որ ոչ թե առցանց դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումը թույլ կտա տեսնել, այլ չհատվող առարկաների բազմությունն այնպիսին է, որ ուղիղը զուգահեռ է առանցքին: Արդյունքում, դուք կարող եք ստանալ երկու անգամ ավելի շատ արժեքներ: Լինելով անուղղակի, պաշտոնական նշման ճիշտության մեր գաղափարը նախատեսում է գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ ինչպես դիտման տարածքում, այնպես էլ արդյունքի որակի կանխամտածված գերագնահատման հետ կապված: Գրախոսությունում մի քանի անգամ հրապարակվում է քննարկում բոլոր ուսանողների համար հետաքրքիր թեմայով: Դասախոսությունների ամբողջական դասընթացի ուսումնասիրության ընթացքում մենք մեր ուշադրությունը կկենտրոնացնենք դիֆերենցիալ հավասարումների և գիտության ուսումնասիրության հարակից ոլորտների վրա, եթե դա չի հակասում ճշմարտությանը: Շատ փուլերից կարելի է խուսափել ճանապարհորդության սկզբում: Եթե ​​դիֆերենցիալ լուծումը դեռևս սկզբունքորեն նոր բան է ուսանողների համար, ապա հինն ընդհանրապես չի մոռացվում, այլ զարգացման բարձր տեմպերով առաջ է շարժվում դեպի ապագա: Սկզբում մաթեմատիկայի խնդրի պայմանները տարբերվում են, բայց դա նշված է աջ մասում: Սահմանմամբ նշված ժամանակի ավարտից հետո չի բացառվում վեկտորի շարժման տարբեր հարթություններում համամասնական կախված ելքի հնարավորությունը։ Նման պարզ դեպքը ուղղվում է այնպես, ինչպես գծային դիֆերենցիալ հավասարումները նկարագրված են հաշվիչի վրա ընդհանուր ձևով, այնպես որ այն ավելի արագ կլինի, և հաշվարկների փոխհատուցումը չի հանգեցնի սխալ կարծիքի: Տեսության համաձայն անվանված միայն հինգ դեպք կարող է անցնել տեղի ունեցողի սահմանները։ Դիֆերենցիալ հավասարումների մեր լուծումը կօգնի ձեռքով հաշվարկել արժեքը թվերով արդեն ֆունկցիոնալ տարածության տարրալուծման առաջին փուլերում: Ճիշտ տեղերում պետք է ընդհանուր իմաստով ներկայացնել չորս գծերի շփման կետը։ Բայց եթե դուք ստիպված լինեք դուրս մղել առաջադրանքը, ապա հեշտ կլինի նույնացնել բարդությունը: Նախնական տվյալները բավարար են հարակից ոտքը նախագծելու համար, և առցանց դիֆերենցիալ հավասարումները ձախակողմյան տեսք ունեն, իսկ միակողմանի մակերեսն ուղղված է դեպի վեկտոր ռոտորը: Վերին սահմանից բարձր թվային արժեքներ հնարավոր են նշված պայմանից ավելի: Հնարավոր է հաշվի առնել մաթեմատիկական բանաձևը և առցանց լուծել դիֆերենցիալ հավասարումը համամասնության ընդհանուր արժեքի երեք անհայտների պատճառով: Տեղական հաշվարկի մեթոդը ճանաչվում է վավեր: Կոորդինատային համակարգը հարթության հարաբերական շարժման մեջ ուղղանկյուն է: Դիֆերենցիալ հավասարումների ընդհանուր առցանց լուծումը հնարավորություն է տալիս միանշանակ եզրակացություն անել՝ հօգուտ մատրիցի սահմանումների հաշվողական մաքրման՝ բացահայտորեն նշված ֆունկցիայի գրաֆիկի վերևում գտնվող ամբողջ ուղիղ գծի վրա: Լուծումը երևում է, եթե շարժման վեկտորը կիրառեք երեք կիսագնդերի շփման կետում: Մխոցը ստացվում է ուղղանկյունը կողքի շուրջը պտտելով և գծային դիֆերենցիալ հավասարումները կարող են ցույց տալ կետի շարժման ուղղությունը՝ ըստ նրա շարժման օրենքի տրված արտահայտությունների։ Սկզբնական տվյալները ճիշտ են, և մաթեմատիկայի խնդիրը փոխարինելի է մեկ պարզ պայմանով։ Այնուամենայնիվ, հանգամանքների բերումով, հաշվի առնելով դրվածքի ենթախնդրի բարդությունը, դիֆերենցիալ հավասարումները պարզեցնում են եռաչափ տարածության մակարդակում հաշվարկված թվային տարածությունների գործընթացը: Հեշտ է ապացուցել հակառակը, բայց հնարավոր է խուսափել դրանից, ինչպես վերը նշված օրինակում: Բարձրագույն մաթեմատիկայի մեջ տրվում են հետևյալ կետերը. երբ խնդիրը վերածվում է պարզեցված ձևի, աշակերտների կողմից հնարավոր առավելագույն ջանքերը պետք է գործադրվեն դրա վրա: Իրար վրա դրված տողերը ընկնում են օֆսեթի մեջ: Pro դիֆերենցիալ լուծումը դեռևս վերսկսում է նշված մեթոդի առավելությունը կոր գծի վրա: Եթե ​​սկզբում ճանաչեք ոչ այն, ինչ ձեզ հարկավոր է, ապա մաթեմատիկական բանաձևը կստեղծի արտահայտության նոր արժեքը: Նպատակը պրոֆեսորի առաջադրած խնդիրների լուծման օպտիմալ մոտեցումն է։ Պետք չէ ենթադրել, որ պարզեցված ձևով գծային դիֆերենցիալ հավասարումները կգերազանցեն ակնկալվող արդյունքը: Մենք երեք վեկտոր ենք դնում վերջավոր կազմված մակերեսի վրա: միմյանց ուղղահայաց: Եկեք հաշվարկենք արտադրանքը. Կատարենք ավելի մեծ թվով նշանների գումարում և ստացված արտահայտությունից դուրս գրենք ֆունկցիայի բոլոր փոփոխականները։ Կա համամասնություն. Հաշվարկի ավարտին նախորդող մի քանի գործողություններ միանշանակ պատասխան չեն տա դիֆերենցիալ հավասարումների լուծմանը անմիջապես, այլ միայն այն բանից հետո, երբ հատկացված ժամանակը լրանա y առանցքի երկայնքով: Անխափանության կետից ձախ, որն անուղղակիորեն տրված է ֆունկցիայից, մենք ուղղահայաց առանցք ենք գծում դեպի լավագույն աճող վեկտորը և տեղադրում առցանց դիֆերենցիալ հավասարումները մաթեմատիկական օբյեկտի ստորին սահմանի նվազագույն սահմանային արժեքի երկայնքով: Եկեք ավելացնենք լրացուցիչ արգումենտ ֆունկցիայի ընդմիջման տարածքում: Կոր գծի կետերից աջ մեր կողմից ընդհանուր հայտարարի կրճատման համար գրված բանաձևերը կօգնեն առցանց լուծել դիֆերենցիալ հավասարումը։ Միակ ճիշտ մոտեցումը այն է, որը տեսությունից մինչև պրակտիկա չլուծված խնդիրների վրա լույս կսփռի, ընդհանուր դեպքում՝ միանշանակ։ Տրված կետերի կոորդինատների ուղղությամբ գծերը երբեք չեն փակել քառակուսու ծայրահեղ դիրքը, սակայն առցանց դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումը կօգնի և՛ ուսանողներին, և՛ մեզ, և հենց այս ոլորտում սկսնակներին, սովորել մաթեմատիկա: Խոսքը արժեքային արգումենտը մեկ դաշտի բոլոր նշանակալի ենթագծերի մեջ փոխարինելու հնարավորության մասին է։ Սկզբունքորեն, ինչպես կարելի էր ակնկալել, մեր գծային դիֆերենցիալ հավասարումները մեկուսացված են կրճատված իմաստի մեկ հայեցակարգում: Ուսանողներին օգնելու համար նմանատիպ ծառայություններից լավագույններից մեկը հաշվիչը է: Անցեք բոլոր դասընթացները և ընտրեք լավագույնը ձեզ համար:

=

Դիֆերենցիալի սահմանում

Դիտարկենք \(y = f\left(x \աջ),\) ֆունկցիան, որը շարունակական է \(\left[ (a,b) \right] միջակայքում:\) Ենթադրենք, որ ինչ-որ պահի \((x_0) \-ում \left[ (a,b) \right]\) անկախ փոփոխականն ավելանում է \(\Delta x.\) \(\Delta y,\) ֆունկցիայի աճը համապատասխանում է \(\) արգումենտի նման փոփոխությանը: Delta x,\) արտահայտվում է \[\Delta y = \Delta f\left(((x_0)) \right) = f\left(((x_0) + \Delta x) \right) - f\ բանաձևով left(((x_0)) \right) .\] Ցանկացած տարբերակելի ֆունկցիայի համար \(\Delta y\) աճը կարող է ներկայացվել որպես երկու անդամի գումար. \[\Delta y = A\Delta x + \omicron \left((\Delta x) \right),\] որտեղ առաջին տերմինը (այսպես կոչված հիմնական մասը աճը) գծայինորեն կախված է \(\Delta x,\) աճից, իսկ երկրորդ անդամը \(\Delta x-ի համեմատ ունի փոքրության ավելի բարձր կարգ:\) \(A\Delta x\) արտահայտությունը կոչվում է. ֆունկցիայի դիֆերենցիալ և նշվում է \(dy\) կամ \(df\left(((x_0)) \աջ):\)-ով:

Դիտարկենք այս գաղափարը՝ պարզ օրինակով օգտագործելով \(\Delta y\) ֆունկցիայի աճը երկու մասի բաժանելու: Թող տրվի քառակուսի \((x_0) = 1 \,\text(m)\,\) կողմով (գծանկար \(1\)): Դրա մակերեսն ակնհայտորեն \[(S_0) = x_0^2 = 1 \,\text(m)^2.\] Եթե քառակուսու կողմը մեծացվի \(\Delta x = 1\,\text(cm)-ով: ,\) ապա մեծացված քառակուսու տարածքի ճշգրիտ արժեքը կլինի \, այսինքն. տարածքի աճը \(\Delta S\) է \[ (\Delta S = S - (S_0) = 1.0201 - 1 = 0.0201\,\text(m)^2) = (201\,\text(cm)^2 .) \] Այժմ ներկայացնենք այս աճը \(\Delta S\) հետևյալ կերպ. \[\require(cancel) (\Delta S = S - (S_0) = (\left((x_0) + \Delta x ) \աջ)^2) - x_0^2 ) = (\չեղարկել(x_0^2) + 2(x_0)\Դելտա x + (\ձախ((\Դելտա x) \աջ)^2) - \ չեղարկել (x_0) ^2) ) = (2(x_0)\Դելտա x + (\ձախ((\Դելտա x) \աջ)^2) ) = (A\Delta x + \omicron\ ձախ ((\Delta x) \աջ) ) = (dy + o\left((\Delta x) \right).) \] x\) և հավասար է \-ի և փոքրության ավելի բարձր կարգի անդամ, իր հերթին հավասար \[\omicron\left( (\Delta x) \աջ) = (\ ձախ ( ^2.\] Այս երկու տերմիններն էլ գումարվում են ընդհանուր քառակուսի մակերեսի աճին, որը հավասար է \(200 + 1 = 201\,\տեքստ (սմ) ^2.\)

Նկատի ունեցեք, որ այս օրինակում \(A\) գործակիցը հավասար է \(S\) ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքին \((x_0):\) \((x_0):\) \ Ստացվում է, որ ցանկացած դեպքում ճիշտ է հետևյալը. տարբերվող ֆունկցիա թեորեմա :

Ֆունկցիայի աճի հիմնական մասի \(A\) գործակիցը \((x_0)\) կետում հավասար է \(f"\left(((x_0)) \right) ածանցյալի արժեքին: \) այս պահին, այսինքն \( \Delta y\) աճը արտահայտվում է \[ (\Delta y = A\Delta x + \omicron\left((\Delta x) \right) ) = (f) "\left(((x_0)) \աջ)\Delta x + \omicron\left((\Delta x) \աջ).) \] (\Delta x)) = A + \frac((\omicron\ձախ ((\Delta x) \աջ)))((\Delta x)) ) = (f"\left(((x_0)) \right ) + \frac((\omicron\left((\Delta x) \ աջ)))((\Delta x)).) \] \((x_0):\) \[ (y"\left(((x_0)) \աջ) = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta y))((\Delta x)) ) = (A = f"\left(((x_0)) \right).) \] փոքրության ավելի բարձր կարգ, քան \(\Delta x-ը ,\) սահմանաչափն է \[\lim\limits_(\Delta x \մինչև 0) \frac((\omicron\left((\Delta x) \աջ)))(\Delta x)) = 0.\] Եթե ենթադրենք, որ անկախ փոփոխական դիֆերենցիալ \(dx\)-ը հավասար է իր աճին \(\Delta x:\) \ ապա \ հարաբերությունից բխում է, որ \ i.e. Ֆունկցիայի ածանցյալը կարող է ներկայացվել որպես երկու դիֆերենցիալների հարաբերակցություն:

Ֆունկցիայի դիֆերենցիալի երկրաչափական նշանակությունը

Նկար \(2\) սխեմատիկորեն ցույց է տալիս \(\Delta y\) ֆունկցիայի աճի տարանջատումը հիմնական մասի \(A\Delta x\) (ֆունկցիայի դիֆերենցիալ) և փոքրության ավելի բարձր կարգի տերմինը \( \omicron\left((\Delta x)\աջ)\):

\(MN\) գծված շոշափողը \(y = f\left(x \աջ)\) ֆունկցիայի կորի վրա \(M\) կետում հայտնի է, որ ունի \(\ալֆա\) թեքություն, որի շոշափողը հավասար է ածանցյալին. \[\tan \alpha = f"\left(((x_0)) \right).\] Երբ արգումենտը փոխվում է \(\Delta x\), շոշափողն ավելանում է \( A\Delta x.\) Սա գծային աճ է, որը ձևավորվում է շոշափողով և հենց ֆունկցիայի դիֆերենցիալն է: Ընդհանուր աճի մնացած մասը \(\Delta y\) (հատվածը \(N(M_1)\) ) համապատասխանում է «ոչ գծային» ավելացմանը՝ \(\Delta x\ ) նկատմամբ փոքրության ավելի բարձր կարգով։

Դիֆերենցիալ հատկություններ

Թող \(u\) և \(v\) լինեն \(x\) փոփոխականի ֆունկցիաները: Դիֆերենցիալն ունի հետևյալ հատկությունները.

1. Հաստատուն գործակիցը կարելի է դուրս բերել դիֆերենցիալի նշանից.

   \(d\left((Cu) \right) = Cdu\), որտեղ \(C\) հաստատուն թիվ է:

2. Գործառույթների դիֆերենցիալ գումարը (տարբերությունը).

   \(d\ ձախ ((u \pm v) \աջ) = du \pm dv.\)

3. Հաստատուն արժեքի դիֆերենցիալը զրո է.

   \(d\ ձախ (C \աջ) = 0.\)

4. \(x\) անկախ փոփոխականի դիֆերենցիալը հավասար է դրա աճին.

   \(dx = \Դելտա x.\)

5. Գծային ֆունկցիայի դիֆերենցիալը հավասար է դրա աճին.

   \(d\ ձախ ((կացին + բ) \աջ) = \Դելտա \ձախ ((կացին + բ) \աջ) = ա\Դելտա x.\)

6. Երկու ֆունկցիաների արտադրյալի դիֆերենցիալ.

   \(d\left((uv) \աջ) = du \cdot v + u \cdot dv.\)

7. Երկու ֆունկցիաների քանորդային դիֆերենցիալ.

   \(d\left((\large\frac(u)(v)\normalsize) \right) = \large\frac((du \cdot v - u \cdot dv))((v^2))) \նորմալ չափս.\)

8. Ֆունկցիայի դիֆերենցիալը հավասար է փաստարկի ածանցյալի և դիֆերենցիալի արտադրյալին.

   \(dy = df \ ձախ (x \աջ) = f" \ ձախ (x \աջ) dx.\)

Ինչպես տեսնում եք, \(dy\) ֆունկցիայի դիֆերենցիալը ածանցյալից տարբերվում է միայն \(dx\) գործակցով։ Օրինակ, \[ (d\left(((x^n)) \right) = n(x^(n - 1))dx,)\;\; (d\left((\ln x) \աջ) = \frac((dx))(x),)\;\; (d\left((\sin x) \right) = \cos x dx) \] և այլն:

Դիֆերենցիալ ձևի անփոփոխություն

Դիտարկենք երկու ֆունկցիաների կազմը \(y = f\left(u \right)\) և \(u = g\left(x \աջ),\) այսինքն. բարդ ֆունկցիա \(y = f\left((g\left(x \right)) \right).\) Դրա ածանցյալը տրված է \[(y"_x) = (y"_u) \cdot (u"-ով: _x) ,\] որտեղ ստորադասիչը նշանակում է այն փոփոխականը, որի նկատմամբ իրականացվում է տարբերակումը:

«Արտաքին» ֆունկցիայի դիֆերենցիալը \(y = f\left(u \right)\) գրված է որպես \ «Ներքին» ֆունկցիայի դիֆերենցիալը \(u = g\left(x \right)\) կարող է լինել. ներկայացված է նմանատիպ ձևով. \ Եթե \ (du \) փոխարինենք նախորդ բանաձևով, ապա կստանանք \ Քանի որ \ ((y "_x) = (y" _u) \ cdot (u "_x), \) ապա \. Կարելի է տեսնել, որ բարդ ֆունկցիայի դեպքում մենք ստացել ենք ֆունկցիայի դիֆերենցիալ արտահայտության նույն ձևը, ինչպես «պարզ» ֆունկցիայի դեպքում։ Այս հատկությունը կոչվում է. դիֆերենցիալ ձևի անփոփոխություն .