Ազատ չխոնավ ներդաշնակ տատանումների հավասարումը. Հարմոնիկ տատանումների հավասարումը Լարման ներդաշնակ տատանումների հավասարումը

Տատանումների միացումում գրգռման համար կոնդենսատորը նախապես լիցքավորվում է, ինչը լիցքավորում է իր թիթեղները ± ք. Այնուհետև սկզբնական ժամանակ t= 0 (նկ. 19, բայց)կոնդենսատորի թիթեղների միջև կհայտնվի էլեկտրական դաշտ: Եթե ​​կոնդենսատորը փակեք ինդուկտորին, կոնդենսատորը կսկսի լիցքաթափվել, և ժամանակի հետ աճող հոսանք կհոսի շղթայում: Ի. Երբ կոնդենսատորն ամբողջությամբ լիցքաթափվի, կոնդենսատորի էլեկտրական դաշտի էներգիան ամբողջությամբ կվերածվի կծիկի մագնիսական դաշտի էներգիայի (նկ. 19, բ): Այս պահից սկսած շղթայում հոսանքը կնվազի, և, հետևաբար, կծիկի մագնիսական դաշտը կսկսի թուլանալ, այնուհետև, Ֆարադեյի օրենքի համաձայն, դրանում առաջանում է հոսանք, որը հոսում է Լենցի կանոնին համապատասխան։ նույն ուղղությամբ, ինչ կոնդենսատորի լիցքաթափման հոսանքը: Կոնդենսատորը կսկսի վերալիցքավորվել, կհայտնվի էլեկտրական դաշտ, որը ձգտում է թուլացնել հոսանքը, որն, ի վերջո, կվերածվի զրոյի, իսկ կոնդենսատորի թիթեղների լիցքը կհասնի առավելագույնի (նկ. 19, մեջ): Այնուհետև, նույն գործընթացները կսկսեն ընթանալ հակառակ ուղղությամբ (նկ. 19, Գ), և համակարգը ըստ ժամանակի t=T (Տ- տատանումների ժամանակաշրջանը) կվերադառնա իր սկզբնական վիճակին (նկ. 19, բայց): Դրանից հետո կսկսվի կոնդենսատորի լիցքաթափման և լիցքավորման դիտարկված ցիկլի կրկնությունը, այսինքն՝ կսկսվեն լիցքավորման արժեքի պարբերական չամրացված տատանումները։ քկոնդենսատորի թիթեղների վրա, լարումը U Cկոնդենսատորի և հոսանքի վրա Իհոսում է ինդուկտորով: Ֆարադեի օրենքի համաձայն, լարումը U Cկոնդենսատորի վրա որոշվում է իդեալական շղթայի ինդուկտորում ընթացիկ ուժի փոփոխության արագությամբ, այսինքն.

Ելնելով այն հանգամանքից, որ U C \u003d q / C, բայց I=dq/dt,մենք ստանում ենք Ազատ անխոնջ ներդաշնակ տատանումների դիֆերենցիալ հավասարումըլիցքավորման մեծությունը քկոնդենսատորի թիթեղների վրա.

կամ .

Այս դիֆերենցիալ հավասարման լուծումը ֆունկցիան է ք(տ), այսինքն ազատ չխոնավ ներդաշնակ տատանումների հավասարումըլիցքավորման մեծությունը քկոնդենսատորի թիթեղների վրա.

որտեղ ք(տտ;

ք 0-ը կոնդենսատորի թիթեղների վրա լիցքավորման տատանումների ամպլիտուդն է.

- շրջանաձև (կամ ցիկլային) տատանումների հաճախականություն ();

2 /Տ(Տտատանումների ժամանակաշրջանն է, –Թոմսոնի բանաձեւը);

ժամանակի պահին տատանումների փուլն է տ;

- տատանումների սկզբնական փուլը, այսինքն՝ ժամանակի տատանումների փուլը տ=0.

Ազատ խոնավացած ներդաշնակ տատանումների հավասարումը.Իրական տատանողական շղթայում հաշվի է առնվում, որ կծիկից բացի, ինդուկտիվությունը. Լկոնդենսատոր ԻՑ, շղթան ունի նաև դիմադրություն ունեցող դիմադրություն Ռ, որը տարբերվում է զրոյից, ինչով էլ պայմանավորված է իրական տատանումների շղթայում տատանումների մարումը։ Անվճար խոնավացած տատանումներ– տատանումներ, որոնց ամպլիտուդը իրական տատանողական համակարգի կողմից էներգիայի կորուստների պատճառով ժամանակի ընթացքում նվազում է:

Իրական տատանողական լարման շղթայի շղթայի համար հզորությամբ շարքային միացված կոնդենսատորի վրա ԻՑև ռեզիստոր Ռգումարել. Այնուհետև, հաշվի առնելով Ֆարադեյի օրենքը իրական տատանողական շղթայի շղթայի համար, կարող ենք գրել.

,

որտեղ է կծիկի մեջ ինքնահոսքի էլեկտրաշարժիչ ուժը.

U Cլարումն է կոնդենսատորի վրայով ( U C \u003d q / C);

IRռեզիստորի վրայի լարումն է։

Ելնելով այն հանգամանքից, որ I=dq/dt,մենք ստանում ենք Ազատ խոնավացած ներդաշնակ տատանումների դիֆերենցիալ հավասարումըլիցքավորման մեծությունը քկոնդենսատորի թիթեղների վրա.

կամ ,

որտեղ է տատանումների մարման գործակիցը () , .

ք(տ), այսինքն ազատ խոնավացած ներդաշնակ տատանումների հավասարումըլիցքավորման մեծությունը քկոնդենսատորի թիթեղների վրա.

որտեղ ք(տ) - կոնդենսատորի թիթեղների լիցքավորման գումարը տվյալ պահին տ;

խամրված լիցքի տատանումների ամպլիտուդն է ժամանակի պահին տ;

ք 0-ը խամրված լիցքի տատանումների սկզբնական ամպլիտուդն է.

շրջանաձև (կամ ցիկլային) տատանումների հաճախականությունն է ( );

Ժամանակի պահի խոնավ տատանումների փուլն է տ;

խոնավացված տատանումների սկզբնական փուլն է։

Իրական տատանողական շղթայում ազատ խոնավացված տատանումների ժամանակաշրջանը.

.

Հարկադիր էլեկտրամագնիսական տատանումներ. Իրական տատանողական համակարգում չխոնարհված տատանումներ ստանալու համար անհրաժեշտ է փոխհատուցել տատանումների գործընթացում էներգիայի կորուստները։ Նման փոխհատուցումը իրական տատանողական շղթայում հնարավոր է արտաքին փոփոխական լարման օգնությամբ, որը պարբերաբար փոփոխվում է ներդաշնակության օրենքի համաձայն: U(տ):

.

Այս դեպքում հարկադիր էլեկտրամագնիսական տատանումների դիֆերենցիալ հավասարումըկընդունի ձևը՝

կամ .

Ստացված դիֆերենցիալ հավասարման լուծումը ֆունկցիան է ք(տ):

Կայուն վիճակում հարկադիր տատանումները տեղի են ունենում հաճախականությամբ wև ներդաշնակ են, և տատանումների ամպլիտուդն ու փուլը որոշվում են հետևյալ արտահայտություններով.

; .

Հետևում է, որ լիցքի տատանումների ամպլիտուդը առավելագույնն է արտաքին աղբյուրի ռեզոնանսային հաճախականության դեպքում.

.

Հարկադիր տատանումների ամպլիտուդի կտրուկ աճի երևույթը, երբ շարժիչ փոփոխական լարման հաճախականությունը մոտենում է հաճախականությանը մոտ հաճախությանը, կոչվում է. ռեզոնանս.

Թեմա 10. Էլեկտրամագնիսական ալիքներ

Մաքսվելի տեսության համաձայն՝ էլեկտրամագնիսական դաշտերը կարող են գոյություն ունենալ էլեկտրամագնիսական ալիքների՝ ֆազային արագության տեսքով։ որի բաշխումը որոշվում է արտահայտությամբ.

,

որտեղ և են համապատասխանաբար էլեկտրական և մագնիսական հաստատունները,

եԵվ մեն միջավայրի էլեկտրական և մագնիսական թափանցելիությունը, համապատասխանաբար,

-ից- լույսի արագությունը վակուումում () .

Վակուումի մեջ ( ե= 1, մ= l) էլեկտրամագնիսական ալիքների տարածման արագությունը համընկնում է լույսի արագության հետ ( -ից), ինչը համահունչ է Մաքսվելի տեսությանը, որ

որ լույսը էլեկտրամագնիսական ալիք է։

Մաքսվելի տեսության համաձայն էլեկտրամագնիսական ալիքներեն լայնակի,այսինքն՝ էլեկտրական և մագնիսական դաշտերի վեկտորները և ուժերը փոխադարձաբար ուղղահայաց են և գտնվում են վեկտորին ուղղահայաց հարթության մեջ։

ալիքի տարածման արագությունը և վեկտորները , և ձևավորել աջ պտուտակային համակարգ (նկ. 20):

Մաքսվելի տեսությունից հետևում է նաև, որ էլեկտրամագնիսական ալիքում վեկտորները և տատանվում են նույն փուլերում (նկ. 20), այսինքն՝ ինտենսիվությունների արժեքները։ ԵԵվ Հէլեկտրական և մագնիսական դաշտերը միաժամանակ հասնում են առավելագույնի և միաժամանակ անհետանում, իսկ ակնթարթային արժեքները ԵԵվ Հհարաբերակցությամբ՝ .

Հարթ մոնոխրոմատիկ էլեկտրամագնիսական ալիքի հավասարում(ինդեքսներ ժամըԵվ զժամը ԵԵվ Հընդգծեք միայն, որ վեկտորները և ուղղված են փոխադարձ ուղղահայաց առանցքներով՝ համաձայն Նկ. քսան):

տատանումներկոչվում են շարժումներ կամ գործընթացներ, որոնք բնութագրվում են ժամանակի որոշակի կրկնությամբ։ Բնության և տեխնիկայի մեջ տարածված են տատանողական պրոցեսները, օրինակ՝ ժամացույցի ճոճանակի ճոճանակը, փոփոխական էլեկտրական հոսանքը և այլն։ Երբ ճոճանակը տատանվում է, նրա զանգվածի կենտրոնի կոորդինատը փոխվում է, փոփոխական հոսանքի դեպքում՝ լարումը և հոսանքը։ միացումում տատանվում են. Տատանումների ֆիզիկական բնույթը կարող է տարբեր լինել, հետևաբար առանձնանում են մեխանիկական, էլեկտրամագնիսական և այլն տատանումները, սակայն տարբեր տատանողական պրոցեսները նկարագրվում են նույն բնութագրերով և նույն հավասարումներով։ Այստեղից է բխում իրագործելիությունը միասնական մոտեցումթրթռումների ուսումնասիրությանը տարբեր ֆիզիկական բնույթ:

Տատանումները կոչվում են անվճար, եթե դրանք կատարվում են միայն համակարգի տարրերի միջև գործող ներքին ուժերի ազդեցությամբ, այն բանից հետո, երբ համակարգը արտաքին ուժերի կողմից դուրս է բերվել հավասարակշռությունից և թողնել ինքն իրեն: Անվճար թրթռումներ միշտ խոնավացած տատանումներ քանի որ իրական համակարգերում էներգիայի կորուստներն անխուսափելի են: Առանց էներգիայի կորստի համակարգի իդեալականացված դեպքում ազատ տատանումները (շարունակվում են այնքան ժամանակ, որքան ցանկանում են) կոչվում են. սեփական.

Ազատ անխոնջ տատանումների ամենապարզ տեսակներն են ներդաշնակ տատանումներ -տատանումներ, որոնցում տատանվող արժեքը ժամանակի հետ փոխվում է սինուսի (կոսինուսի) օրենքի համաձայն: Բնության և տեխնիկայի մեջ հանդիպող տատանումները հաճախ ներդաշնակությանը մոտ բնավորություն ունեն։

Հարմոնիկ թրթռումները նկարագրվում են ներդաշնակ թրթռումների հավասարում կոչվող հավասարմամբ.

որտեղ ԲԱՅՑ- տատանումների ամպլիտուդ, տատանվող արժեքի առավելագույն արժեքը X; - բնական տատանումների շրջանաձև (ցիկլային) հաճախականություն. - տատանումների սկզբնական փուլը որոշակի պահին տ= 0; - ժամանակի պահին տատանումների փուլը տ.Տատանման փուլը որոշում է տատանվող մեծության արժեքը տվյալ պահին։ Քանի որ կոսինուսը տատանվում է +1-ից մինչև -1, ուրեմն Xկարող է արժեքներ վերցնել +-ից Անախքան - ԲԱՅՑ.

Ժամանակը Տ, որի համար համակարգը լրացնում է մեկ ամբողջական տատանում, կոչվում է տատանումների ժամանակաշրջան. ընթացքում Տտատանումների փուլն ավելանում է 2-ով π , այսինքն.

Որտեղ. (14.2)

Տատանումների ժամանակաշրջանի փոխադարձությունը

այսինքն՝ մեկ միավոր ժամանակում ամբողջական տատանումների թիվը կոչվում է տատանումների հաճախականություն։ Համեմատելով (14.2) և (14.3)՝ մենք ստանում ենք

Հաճախականության միավորը հերցն է (Հց): 1 Հց-ն այն հաճախությունն է, որով մեկ ամբողջական տատանում տեղի է ունենում 1 վրկ-ում:

Համակարգերը, որոնցում կարող են առաջանալ ազատ թրթռումներ, կոչվում են oscilators . Ի՞նչ հատկություններ պետք է ունենա համակարգը, որպեսզի նրանում ազատ տատանումներ տեղի ունենան: Մեխանիկական համակարգը պետք է ունենա կայուն հավասարակշռության դիրքը, դուրս գալուց, որը հայտնվում է ուժի վերականգնում դեպի հավասարակշռություն. Այս դիրքը, ինչպես հայտնի է, համապատասխանում է համակարգի պոտենցիալ էներգիայի նվազագույնին։ Դիտարկենք մի քանի տատանողական համակարգեր, որոնք բավարարում են թվարկված հատկությունները։

Քանակի փոփոխությունները նկարագրվում են՝ օգտագործելով սինուսի կամ կոսինուսի օրենքները, ապա այդպիսի տատանումները կոչվում են ներդաշնակ։ Դիտարկենք կոնդենսատորից (որը լիցքավորվել է մինչև շղթայի մեջ ընդգրկվելը) և ինդուկտորից պատրաստված մի շղթա (նկ. 1):

Նկար 1.

Հարմոնիկ տատանումների հավասարումը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

$q=q_0cos((\omega)_0t+(\ալֆա)_0)$ (1)

որտեղ $t$-time; $q$ լիցք, $q_0$-- փոփոխությունների ժամանակ լիցքավորման առավելագույն շեղումը միջին (զրոյական) արժեքից; $(\omega )_0t+(\alpha)_0$- տատանումների փուլ; $(\alpha )_0$ - նախնական փուլ; $(\omega )_0$ - ցիկլային հաճախականություն: Ժամանակահատվածում փուլը փոխվում է $2\pi $-ով:

Տիպի հավասարումը.

հարմոնիկ տատանումների հավասարումը դիֆերենցիալ ձևով տատանողական շղթայի համար, որը չի պարունակի ակտիվ դիմադրություն:

Ցանկացած տեսակի պարբերական տատանումներ կարելի է ճշգրիտ ներկայացնել որպես ներդաշնակ տատանումների գումար, այսպես կոչված, հարմոնիկ շարք:

Կծիկից և կոնդենսատորից բաղկացած շղթայի տատանումների ժամանակաշրջանի համար մենք ստանում ենք Թոմսոնի բանաձևը.

Եթե ​​մենք տարբերակենք (1) արտահայտությունը ժամանակի նկատմամբ, ապա կարող ենք ստանալ $I(t)$ ֆունկցիայի բանաձևը.

Կոնդենսատորի վրա լարումը կարելի է գտնել հետևյալ կերպ.

(5) և (6) բանաձևերից հետևում է, որ ընթացիկ ուժը գերազանցում է կոնդենսատորի լարմանը $\frac(\pi )(2).$-ով։

Հարմոնիկ տատանումները կարող են ներկայացվել ինչպես հավասարումների, այնպես էլ ֆունկցիաների և վեկտորային դիագրամների տեսքով։

Հավասարումը (1) ներկայացնում է ազատ չամրացված տատանումները:

Խոնավ տատանումների հավասարում

Լիցքավորման փոփոխությունը ($ q$) կոնդենսատորի թիթեղների վրա շղթայում, հաշվի առնելով դիմադրությունը (նկ. 2), նկարագրվելու է ձևի դիֆերենցիալ հավասարմամբ.

Նկար 2.

Եթե ​​դիմադրությունը, որը կազմում է շղթայի $R \

որտեղ $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$-ը ցիկլային տատանումների հաճախականությունն է: $\beta =\frac(R)(2L)-$թուլացման գործակից: Խոնավված տատանումների ամպլիտուդը արտահայտվում է հետևյալ կերպ.

Այն դեպքում, երբ $t=0$-ի դեպքում կոնդենսատորի լիցքը հավասար է $q=q_0$-ի, շղթայում հոսանք չկա, ապա $A_0$-ի համար կարող ենք գրել.

Տատանման փուլը ժամանակի սկզբնական պահին ($(\alpha )_0$) հավասար է.

$R >2\sqrt(\frac(L)(C))$-ի դեպքում լիցքի փոփոխությունը տատանում չէ, կոնդենսատորի լիցքաթափումը կոչվում է պարբերական:

Օրինակ 1

Առաջադրանք.Լիցքավորման առավելագույն արժեքը $q_0=10\ C$ է: Այն ներդաշնակորեն փոխվում է $T= 5 c$ ժամանակաշրջանի հետ: Որոշեք առավելագույն հնարավոր հոսանքը:

Լուծում:

Որպես խնդրի լուծման հիմք՝ մենք օգտագործում ենք.

Ընթացիկ ուժը գտնելու համար (1.1) արտահայտությունը պետք է տարբերակել ժամանակի նկատմամբ.

որտեղ ընթացիկ ուժի առավելագույնը (ամպլիտուդի արժեքը) արտահայտությունն է.

Խնդրի պայմաններից մենք գիտենք լիցքի ամպլիտուդային արժեքը ($q_0=10\ Kl$): Դուք պետք է գտնեք տատանումների բնական հաճախականությունը: Եկեք դա արտահայտենք այսպես.

\[(\omega)_0=\frac(2\pi)(T)\ձախ(1.4\աջ):\]

Այս դեպքում ցանկալի արժեքը կգտնվի՝ օգտագործելով (1.3) և (1.2) հավասարումները, ինչպես.

Քանի որ խնդրի պայմաններում բոլոր քանակությունները ներկայացված են SI համակարգում, մենք կիրականացնենք հաշվարկները.

Պատասխան.$I_0=12,56\ A.$

Օրինակ 2

Առաջադրանք.Որքա՞ն է տատանումների շրջանը $L=1$H ինդուկտոր և կոնդենսատոր պարունակող շղթայում, եթե շղթայում հոսանքը փոխվում է օրենքի համաձայն՝ $I\left(t\right)=-0.1sin20\pi t։ \ \left(A \աջ):$ Որքա՞ն է կոնդենսատորի հզորությունը:

Լուծում:

Ընթացիկ տատանումների հավասարումից, որը տրված է խնդրի պայմաններում.

մենք տեսնում ենք, որ $(\omega )_0=20\pi $, հետևաբար մենք կարող ենք հաշվարկել Տատանումների ժամանակաշրջանը՝ օգտագործելով բանաձևը.

\ \

Համաձայն Թոմսոնի բանաձևի մի շղթայի համար, որը պարունակում է ինդուկտոր և կոնդենսատոր, մենք ունենք.

Եկեք հաշվարկենք հզորությունը.

Պատասխան.$T=0.1$ գ, $C=2.5\cdot (10)^(-4)F.$