Առաջին տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալներ.Ըստ էության, սա նույն որոշակի ինտեգրալն է, բայց այն դեպքերում, երբ ինտեգրալներն ունեն ինտեգրման անվերջ վերին կամ ստորին սահմաններ, կամ ինտեգրման երկու սահմաններն էլ անսահման են։

Երկրորդ տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալներ:Ըստ էության, սա նույն որոշակի ինտեգրալն է, բայց այն դեպքերում, երբ ինտեգրալը վերցված է անսահմանափակ ֆունկցիաներից, վերջավոր թվով կետերի ինտեգրալը չունի ինտեգրման վերջավոր հատված՝ վերածվելով անվերջության։

Համեմատության համար.Որոշակի ինտեգրալի հասկացությունը ներմուծելիս ենթադրվում էր, որ ֆունկցիան զ(x) շարունակական է [ ա, բ], իսկ ինտեգրման հատվածը վերջավոր է, այսինքն՝ սահմանափակված է թվերով, այլ ոչ թե անսահմանությամբ։ Որոշ առաջադրանքներ հանգեցնում են այդ սահմանափակումներից հրաժարվելու անհրաժեշտությանը: Այսպես են հայտնվում ոչ պատշաճ ինտեգրալները։

Անպատշաճ ինտեգրալի երկրաչափական նշանակությունըՊարզվում է բավականին պարզ. Այն դեպքում, երբ ֆունկցիայի գրաֆիկը y = զ(x) առանցքից վեր է ԵզՈրոշակի ինտեգրալն արտահայտում է կորագիծ տրապեզիի տարածքը, որը սահմանափակվում է կորով y = զ(x) , x առանցք և օրդինատներ x = ա , x = բ. Իր հերթին, ոչ պատշաճ ինտեգրալն արտահայտում է գծերի միջև պարփակված անսահմանափակ (անսահման) կորագիծ տրապեզիի տարածքը y = զ(x) (ներքևի նկարում - կարմիր), x = աև աբսցիսայի առանցքը:

Անպատշաճ ինտեգրալները սահմանվում են նույն կերպ այլ անսահման միջակայքերի համար.

Անսահման կոր trapezoid-ի մակերեսը կարող է լինել վերջավոր թիվ, որի դեպքում ոչ պատշաճ ինտեգրալը կոչվում է կոնվերգենտ: Տարածքը կարող է լինել նաև անվերջություն, և այս դեպքում ոչ պատշաճ ինտեգրալը կոչվում է դիվերգենտ։

Ինտեգրալի սահմանի օգտագործումը ոչ պատշաճ ինտեգրալի փոխարեն:Անպատշաճ ինտեգրալը գնահատելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել որոշակի ինտեգրալի սահմանը։ Եթե ​​այս սահմանը գոյություն ունի և վերջավոր է (հավասար չէ անվերջությանը), ապա ոչ պատշաճ ինտեգրալը կոչվում է կոնվերգենտ, իսկ հակառակ դեպքում՝ դիվերգենտ։ Թե ինչի է ձգտում փոփոխականը սահմանային նշանի տակ, կախված է նրանից, թե մենք գործ ունենք առաջին տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալի հետ, թե երկրորդ տեսակի: Եկեք պարզենք այս մասին հիմա:

Առաջին տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալներ՝ անսահման սահմաններով և դրանց կոնվերգենցիայով

Սխալ ինտեգրալներ՝ անսահման վերին սահմանով

Այսպիսով, ոչ պատշաճ ինտեգրալ գրելը տարբերվում է սովորական որոշակի ինտեգրալից նրանով, որ ինտեգրման վերին սահմանն անսահման է։

Սահմանում. Ոչ պատշաճ ինտեգրալ՝ շարունակական ֆունկցիայի ինտեգրման անսահման վերին սահմանով զ(x) սկսած միջակայքում ա նախքան ∞ կոչվում է այս ֆունկցիայի ինտեգրալի սահմանը ինտեգրման վերին սահմանի հետ բ և ինտեգրման ստորին սահմանը ա պայմանով, որ ինտեգրման վերին սահմանը աճում է անսահմանափակ, այսինքն.

.

Եթե ​​այս սահմանը գոյություն ունի և հավասար է ինչ-որ թվի, այլ ոչ թե անսահմանության, ապա ոչ պատշաճ ինտեգրալը կոչվում է կոնվերգենտ, և որպես արժեք ընդունվում է այն թիվը, որին հավասար է սահմանը։ Հակառակ դեպքում ոչ պատշաճ ինտեգրալը կոչվում է դիվերգենտև դրան ոչ մի նշանակություն չի վերագրվում։

Օրինակ 1. Հաշվարկել ոչ պատշաճ ինտեգրալը(եթե այն համընկնում է):

Լուծում. Ելնելով ոչ պատշաճ ինտեգրալի սահմանումից՝ մենք գտնում ենք

Քանի որ սահմանը գոյություն ունի և հավասար է 1-ի, ուրեմն սա ոչ պատշաճ ինտեգրալը համընկնում էև հավասար է 1-ի։

Հետևյալ օրինակում ինտեգրանդը գրեթե նույնն է, ինչ օրինակ 1-ում, միայն x աստիճանը երկու չէ, այլ ալֆա տառը, և խնդիր է դրված ուսումնասիրել ոչ պատշաճ ինտեգրալը կոնվերգենցիայի համար: Այսինքն՝ մնում է պատասխանել հարցին՝ ալֆայի ո՞ր արժեքներով է համընկնում այս ոչ պատշաճ ինտեգրալը, և ի՞նչ արժեքներով է այն շեղվում։

Օրինակ 2. Քննեք անհամապատասխան ինտեգրալը կոնվերգենցիայի համար(ինտեգրման ստորին սահմանը զրոյից մեծ է):

Լուծում. Նախ ենթադրենք, որ այնուհետև

Ստացված արտահայտության մեջ մենք շարժվում ենք դեպի սահմանը՝

Հեշտ է տեսնել, որ աջ կողմի սահմանը գոյություն ունի և հավասար է զրոյի, երբ, այսինքն, և գոյություն չունի, երբ, այսինքն.

Առաջին դեպքում, այսինքն, երբ . Եթե, ապա և գոյություն չունի:

Մեր ուսումնասիրության եզրակացությունը հետևյալն է ոչ պատշաճ ինտեգրալը համընկնում էժամը և տարբերվում էժամը .

Նյուտոն-Լայբնից բանաձևի կիրառում ուսումնասիրվող ոչ պատշաճ ինտեգրալի տեսակի վրա , կարող եք դուրս բերել հետևյալ բանաձևը, որը շատ նման է դրան.

.

Սա Նյուտոն-Լայբնից ընդհանրացված բանաձև է։

Օրինակ 3. Հաշվարկել ոչ պատշաճ ինտեգրալը(եթե այն համընկնում է):

Այս ինտեգրալի սահմանը գոյություն ունի.

Երկրորդ ինտեգրալը՝ կազմելով սկզբնական ինտեգրալն արտահայտող գումարը.

Այս ինտեգրալի սահմանը նույնպես գոյություն ունի.

.

Մենք գտնում ենք երկու ինտեգրալների գումարը, որը նաև սկզբնական ոչ պատշաճ ինտեգրալի արժեքն է երկու անսահման սահմաններով.

Երկրորդ տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալներ՝ անսահմանափակ ֆունկցիաներից և դրանց կոնվերգենցիայից

Թող գործառույթը զ(x) տրված հատվածի վրա ա նախքան բ և դրա վրա անսահմանափակ է: Ենթադրենք, որ ֆունկցիան կետում գնում է դեպի անսահմանություն բ , մինչդեռ հատվածի մյուս բոլոր կետերում այն ​​շարունակական է։

Սահմանում. Ֆունկցիայի ոչ պատշաճ ինտեգրալ զ(x) -ից հատվածի վրա ա նախքան բ կոչվում է այս ֆունկցիայի ինտեգրալի սահմանը ինտեգրման վերին սահմանի հետ գ , եթե ձգտելիս գ Դեպի բ ֆունկցիան մեծանում է առանց սահմանի, և կետում x = բ գործառույթը սահմանված չէ, այսինքն.

.

Եթե ​​այս սահմանը գոյություն ունի, ապա երկրորդ տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալը կոչվում է կոնվերգենտ, հակառակ դեպքում՝ դիվերգենտ։

Օգտագործելով Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը, մենք բխում ենք.

Անպատշաճ ինտեգրալներ

Lk5.6 (4ժ)

Հայեցակարգը ներկայացվել է այն ենթադրությամբ, որ.

1) ինտեգրման միջակայքը վերջավոր է (հատված [ ա;բ]),

2) գործառույթ զ(x) սահմանափակվում է [ ա;բ].

Նման որոշակի ինտեգրալը կոչվում է սեփական(«սեփական» բառը բաց է թողնված): Եթե ​​այս պայմաններից որևէ մեկը չի բավարարվում, ապա կոչվում է որոշակի ինտեգրալ ոչ քոնը. Կան առաջին և երկրորդ տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալներ։

1. Առաջին տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալի սահմանում

Եկեք ընդհանրացնենք որոշակի ինտեգրալի հասկացությունը անսահման միջակայքի: Թող զ(x) սահմանվում է միջակայքում [ ա;+¥) և ինտեգրելի է իր վերջավոր մասերից յուրաքանչյուրում, այսինքն. Այս դեպքում կա ինտեգրալ. Հասկանալի է, որ կա ֆունկցիա, որը սահմանված է [ ա;+¥). Եկեք դիտարկենք. Այս սահմանը կարող է լինել կամ չլինել, բայց անկախ սրանից կոչվում է առաջին տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալև նշանակված է.

Սահմանում.Եթե ​​գոյություն ունի և վերջավոր է, ապա կոչվում է ոչ պատշաճ ինտեգրալ կոնվերգենտ, և այս սահմանի արժեքը ոչ պատշաճ ինտեգրալի արժեքն է։ . Եթե ​​գոյություն չունի կամ հավասար է ¥-ի, ապա կոչվում է ոչ պատշաճ ինտեգրալ տարբերվող.

Նմանապես սահմանվում է,

Օրինակ 1.Հետազոտել ինտեգրալի կոնվերգենցիան, .

D-ն շարունակական է [ ա;+¥) .

Եթե ​​, ապա , և Þ ինտեգրալը համընկնում է:

Եթե ​​, ապա ինտեգրալը տարբերվում է:

Այսպիսով, համընկնում է և ;

շեղվում է .D

2. Առաջին տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալի հատկությունները

Քանի որ ոչ պատշաճ ինտեգրալը սահմանվում է որպես Ռիմանի ինտեգրալի սահման, ապա բոլոր հատկությունները, որոնք պահպանվում են դեպի սահման անցնելու ժամանակ, փոխանցվում են ոչ պատշաճ ինտեգրալին, այսինքն՝ բավարարվում են 1-8 հատկությունները։ Միջին արժեքի թեորեմն անիմաստ է:

3. Նյուտոն-Լայբնից բանաձեւ

Թող գործառույթը զշարունակական է [ ա;+¥), Ֆ- հակաածանցյալ է և գոյություն ունի: Այնուհետև Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը վավեր է.

Իսկապես,

Օրինակ 2.Դ. Դ

Առաջին տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալի երկրաչափական նշանակությունը

Թող գործառույթը զոչ բացասական է և շարունակական [ ա;+¥) և սխալ ինտեգրալը համընկնում է: հավասար է կոր trapezoid-ի մակերեսին՝ հիմքով [ ա;բ] և հավասար է [] հիմքով տարածքին ա;+¥).

4. Ոչ բացասական ֆունկցիաների ոչ պատշաճ ինտեգրալներ

Թեորեմ 1.Թող զ(x)³0-ին [ ա;+¥) և ինտեգրելի [ ա;բ] "բ>ա. Անպատշաճ ինտեգրալի կոնվերգենցիայի համար անհրաժեշտ և բավարար է, որ ինտեգրալների բազմությունը սահմանափակված լինի վերևից, և .

Ապացույց.

Դիտարկենք գործառույթը, ա£ բ. Որովհետեւ զ(x)³0, ապա ՖԻսկապես չի նվազում». բ 1 , բ 2: ա£ բ 1 <բ 2 պայմանավորված այն հանգամանքով, որ , կատարվում է

Ըստ սահմանման, ոչ պատշաճ ինտեգրալը համընկնում է, եթե և միայն այն դեպքում, երբ կա վերջավոր: Որովհետեւ Ֆ(բ) չի նվազում, ապա այս սահմանը գոյություն ունի, եթե և միայն այն դեպքում, եթե գործառույթը Ֆ(բ) սահմանափակված է վերեւից, այսինքն՝ $ Մ>0: "բ>ա. Որտեղ

Անպատշաճ ինտեգրալի շեղումը նշանակում է, որ, այսինքն.

Թեորեմ 2.Թողեք գործառույթները զԵվ էոչ բացասական [ ա;+¥) և ինտեգրելի [ ա;բ] "բ>ա. Թող [ ա;+¥) արված է

1) (2) ինտեգրալի սերտաճումից հետևում է (3) ինտեգրալի կոնվերգենցիան.

2) (3) ինտեգրալի շեղումից հետևում է (2) ինտեգրալի դիվերգենցիան։

Ապացույց.

«1-ից» բ>ա.

1) Թող ինտեգրալը (2) համընկնի: Թեորեմ 1-ով բազմությունը սահմանափակված է սահմանափակված: Թեորեմ 1-ով այն համընկնում է:

2) Թող ցրվեն: Եկեք ապացուցենք, որ ինտեգրալը (2) տարբերվում է: Հակառակից. Ենթադրենք, որ ինտեգրալը (2) համընկնում է, բայց հետո, թեորեմի առաջին մասով, ինտեգրալը (3) զուգակցվում է` պայմանի հետ հակասություն:

Թեորեմ 3.Թողեք գործառույթները զԵվ էոչ բացասական [ ա;+¥) և ինտեգրելի [ ա;բ] "բ>ա. Եթե ​​կա (0£ կ£¥), ապա

1) ինտեգրալի կոնվերգենցիայից at կ<¥ следует сходимость интеграла ,

2) ժամը ինտեգրալի շեղումից կ>0-ը հետևում է ինտեգրալի դիվերգենտին:

Ապացույց.

1) Թող կ<¥ и сходится.

Որովհետև այն զուգակցվում է, զուգորդվում է, նշանակում է, որ զուգորդվում է: Այնուհետև (4-ի) ուժով համընկնում է: Այստեղից այն համախմբվում է:

2) Թող կ>0 և շեղվում է: Այս դեպքում՝ վերջավոր թիվ։ Եթե ​​ենթադրենք հակառակը՝ որ ինտեգրալը համընկնում է, ապա 1-ին կետում ապացուցվածով կգտնենք, որ այն նույնպես զուգակցվում է, և դա հակասում է պայմանին։ Հետևաբար, արված ենթադրությունը սխալ է և տարբերվող: համընկնում է բացարձակապես, ապա ըստ սահմանման զուգամիտվում է։ Այսպիսով, այն տեղավորվում է: Բայց դա տեղավորվում է:

ԱռարկաՍՊԱՍՏ ԻՆՏԵԳՐԱԼՆԵՐ

«Հստակ ինտեգրալ» թեմայում դիտարկվել է որոշակի ինտեգրալ հասկացությունը վերջավոր ինտերվալի դեպքում.
և սահմանափակ գործառույթ
(տես Թեորեմ 1 §3-ից): Այժմ ընդհանրացնենք այս հասկացությունը անսահման միջակայքի և անսահմանափակ ֆունկցիայի դեպքերին։ Նման ընդհանրացման անհրաժեշտությունը դրսևորվում է, օրինակ, հետևյալ իրավիճակներով.

1. Եթե օգտագործելով աղեղի երկարության բանաձեւը, փորձեք հաշվարկել քառորդ շրջանի երկարությունը
,
, ապա մենք հասնում ենք անսահմանափակ ֆունկցիայի ինտեգրալին.

, Որտեղ
.

2. Թող մարմինը զանգված ունենա
շարժվում է իներցիայով դիմադրության ուժ ունեցող միջավայրում
, Որտեղ
- մարմնի արագությունը. Օգտագործելով Նյուտոնի երկրորդ օրենքը (
, Որտեղ
արագացում), մենք ստանում ենք հավասարումը.
, Որտեղ
. Դժվար չէ ցույց տալ, որ այս (դիֆերենցիալ!) հավասարման լուծումը ֆունկցիան է
Եթե ​​մենք պետք է հաշվարկենք մարմնի անցած ճանապարհը, մինչև այն ամբողջովին կանգ չառնի, այսինքն. մինչև այն պահը, երբ
, ապա մենք հասնում ենք ինտեգրալին անսահման միջակայքում.

§1. 1-ին տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալներ

I Սահմանում

Թող գործառույթը
սահմանված և շարունակական միջակայքում
. Հետո ցանկացածի համար
այն ինտեգրելի է միջակայքում
, այսինքն՝ կա ինտեգրալ
.

Սահմանում 1 . Այս ինտեգրալի վերջավոր կամ անվերջ սահմանը ժամը
կոչվում է ֆունկցիայի 1-ին տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալ
ընդմիջման երկայնքով
և նշվում է խորհրդանիշով
. Ավելին, եթե նշված սահմանը վերջավոր է, ապա ոչ պատշաճ ինտեգրալը կոչվում է կոնվերգենտ, հակառակ դեպքում (
կամ գոյություն չունի) – տարբերվող:

Այսպիսով, ըստ սահմանման

Օրինակներ

2.
.

3.
- գոյություն չունի.

Օրինակ 1-ի ոչ պատշաճ ինտեգրալը համընկնում է, օրինակ 2-ում և 3-ում ինտեգրալները շեղվում են:

II Նյուտոն-Լայբնից բանաձև առաջին տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալի համար

Թող
- ֆունկցիայի որոշ հակաածանցյալ
(առկա է
, որովհետեւ
- շարունակական): Հետո

Այստեղից պարզ է դառնում, որ ոչ պատշաճ ինտեգրալի (1) կոնվերգենցիան համարժեք է վերջավոր սահմանի գոյությանը.
. Եթե ​​այս սահմանը սահմանված է
, ապա մենք կարող ենք գրել Նյուտոն-Լայբնիցի բանաձևը ինտեգրալի համար (1).

, Որտեղ
.

Օրինակներ .

5.
.

6. Ավելի բարդ օրինակ.
. Նախ, եկեք գտնենք հակաածանցյալը.

Այժմ մենք կարող ենք գտնել ինտեգրալը , հաշվի առնելով, որ

:

III Հատկություններ

Ներկայացնենք ոչ պատշաճ ինտեգրալի (1) մի շարք հատկություններ, որոնք բխում են սահմանների և որոշակի ինտեգրալի ընդհանուր հատկություններից.

IV Այլ սահմանումներ

Սահմանում 2 . Եթե
շարունակական միացված
, Դա

.

Սահմանում 3 . Եթե
շարունակական միացված
, ապա ընդունում ենք ըստ սահմանման

(- կամայական),

Ավելին, ձախ կողմի անպատշաճ ինտեգրալը համընկնում է, եթե միայն աջ կողմի երկու ինտեգրալները համընկնում են:

Այս ինտեգրալների, ինչպես նաև (1) ինտեգրալների համար կարելի է գրել Նյուտոն–Լայբնից համապատասխան բանաձևերը։

Օրինակ 7 .

§2. 1-ին տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալի կոնվերգենցիայի թեստեր

Ամենից հաճախ անհնար է հաշվարկել ոչ պատշաճ ինտեգրալ ըստ սահմանման, ուստի նրանք օգտագործում են մոտավոր հավասարություն

(խոշորների համար ).

Այնուամենայնիվ, այս կապը իմաստ ունի միայն կոնվերգենտ ինտեգրալների համար: Հարկավոր է սահմանումը շրջանցելով ինտեգրալի վարքագիծը պարզաբանելու մեթոդներ։

Ի Դրական ֆունկցիաների ինտեգրալներ

Թող
վրա
. Ապա որոշակի ինտեգրալը
որպես վերին սահմանի ֆունկցիա՝ դա աճող ֆունկցիա է (սա բխում է որոշակի ինտեգրալի ընդհանուր հատկություններից)։

Թեորեմ 1 . Ոչ բացասական ֆունկցիայի առաջին տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալը համընկնում է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե ֆունկցիան
մնում է սահմանափակ՝ աճելով .

Այս թեորեմը միատոն ֆունկցիաների ընդհանուր հատկությունների հետևանք է։ Թեորեմը գրեթե գործնական նշանակություն չունի, սակայն թույլ է տալիս ստանալ այսպես կոչված կոնվերգենցիայի նշաններ.

Թեորեմ 2 (1-ին համեմատության նշան): Թողեք գործառույթները
Եվ
շարունակական համար
և բավարարել անհավասարությունը
. Ապա.

1) եթե ինտեգրալը
համընկնում է, ապա
համընկնում է;

2) եթե ինտեգրալը
շեղվում է, ուրեմն
տարբերվում է.

Ապացույց . Նշենք.
Եվ
. Որովհետեւ
, Դա

. Թող ինտեգրալը
համընկնում է, ապա (թեորեմ 1-ով) ֆունկցիան
- սահմանափակ: Բայց հետո
սահմանափակ է, հետևաբար՝ ինտեգրալը
նույնպես համընկնում է. Նույն կերպ ապացուցված է թեորեմի երկրորդ մասը։

Այս չափանիշը կիրառելի չէ, եթե ինտեգրալը տարբերվում է
կամ ինտեգրալի կոնվերգենցիան
. Այս թերությունը բացակայում է 2-րդ համեմատության հատկանիշում:

Թեորեմ 3 (համեմատության 2-րդ նշան): Թողեք գործառույթները
Եվ
շարունակական և ոչ բացասական վրա
. Հետո եթե
ժամը
, ապա ոչ պատշաճ ինտեգրալները
Եվ
համընկնել կամ շեղվել միաժամանակ.

Ապացույց . Թեորեմի պայմաններից ստանում ենք համարժեք պնդումների հետևյալ շղթան.

, ,

.

Եկեք, օրինակ,
. Ապա.

Եկեք կիրառենք թեորեմ 2-ը և հատկությունը 1) §1-ից և ստանանք 3-րդ թեորեմի դրույթը:

Ստանդարտ ֆունկցիան, որի հետ համեմատվում է այս մեկը, հզորության ֆունկցիան է
,
. Հրավիրում ենք ուսանողներին իրենց համար ապացուցել, որ ինտեգրալը

համընկնում է
և շեղվում է
.

Օրինակներ . 1.
.

Դիտարկենք ինտեգրանդը միջակայքի վրա
:

,
.

Անբաժանելի
համընկնում է, քանի որ
. Համեմատության 2-րդ չափանիշի հիման վրա ինտեգրալը նույնպես համընկնում է
, իսկ հատկության շնորհիվ 2) §1-ից սկզբնական ինտեգրալը նույնպես համընկնում է։

2.
.

Որովհետեւ
, ապա գոյություն ունի
այնպիսին, որ երբ

. Նման փոփոխական արժեքների համար.

Հայտնի է, որ լոգարիթմական ֆունկցիան ավելի դանդաղ է աճում, քան հզորության ֆունկցիան, այսինքն.

,

ինչը նշանակում է, որ փոփոխականի որոշակի արժեքից սկսած այս կոտորակը փոքր է 1-ից։ Հետևաբար

.

Անբաժանելի համընկնում է որպես հղում: Համեմատության 1-ին չափանիշի ուժով այն համընկնում է և
. Կիրառելով 2-րդ չափանիշը՝ մենք ստանում ենք, որ ինտեգրալը
համընկնում է. Եվ կրկին հատկությունը 2) §1-ից ապացուցում է սկզբնական ինտեգրալի սերտաճումը։

Դասախոսություն 24. ՍՊԱՍՏ ԻՆՏԵԳՐԱԼՆԵՐ

Պլան:

1. Անպատշաճ ինտեգրալի հայեցակարգը
2. Առաջին տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալներ.
3. Երկրորդ տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալներ:

1. Անպատշաճ ինտեգրալի հայեցակարգը

Եկեք քննարկենք երկու տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալների հայտնաբերումը:

Թող ֆունկցիան տրվի y=f(x), շարունակական միջակայքում [ ա;+∞) Եթե ​​կա վերջավոր սահման, ապա այն կոչվում է առաջին տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալ և նշել.

համընկնում է տարբերվում է .

Առաջին տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալի երկրաչափական նշանակությունը հետևյալն է՝ եթե համընկնում է (պայմանով, որ f(x)≥0), այնուհետև այն ներկայացնում է «անսահման երկար» կոր trapezoid-ի տարածքը (Նկար 24.1):

Նմանապես, ինտեգրման անսահման ստորին սահմանով ոչ պատշաճ ինտեգրալի հայեցակարգը ներկայացվում է միջակայքի շարունակական գծի համար ( -∞ ;բ] ֆունկցիաները՝ = .

Ինտեգրման երկու անսահման սահմաններով ոչ պատշաճ ինտեգրալը սահմանվում է բանաձևով՝ = + , որտեղ Հետ- կամայական համար:

Դիտարկենք առաջին տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալներ գտնելու օրինակներ։

Օրինակ 24.1.

Լուծում. Շարունակական ֆունկցիայի անվերջ վերին սահմանով ոչ պատշաճ ինտեգրալ գտնելու համար մենք օգտագործում ենք բանաձևը՝ = . Հետո = . Նախ, եկեք հաշվարկենք ինտեգրալը e x:

= = = =∞. Մենք գտանք, որ ոչ պատշաճ ինտեգրալը տարբերվում է:

Պատասխանել: տարբերվում է.

Օրինակ 24.2.Հաշվեք ոչ պատշաճ ինտեգրալը կամ հաստատեք դրա տարբերությունը.

Լուծում. Ինտեգրանդը շարունակական է միջակայքում ( -∞ ;- 1]. Անսահման ստորին սահմանով առաջին տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալ գտնելու համար մենք օգտագործում ենք բանաձևը՝ = . Հետո = . Հաշվարկենք սահմանային նշանի տակ պարունակվող ինտեգրալը՝ = . Եկեք ազատվենք մինուս նշանից՝ փոխանակելով ինտեգրման սահմանները.

1. Մենք գտանք, որ քննարկվող ոչ պատշաճ ինտեգրալը համընկնում է:

Պատասխանել: =1.

1. Երկրորդ տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալներ:

Թող ֆունկցիան տրվի y=f(x), շարունակական միջակայքում [ ա;բ) Թող բ– երկրորդ տեսակի ընդհատման կետ. Եթե ​​կա վերջավոր սահման, ապա այն կոչվում է երկրորդ տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալ և նշել.

Այսպիսով, ըստ սահմանման = .

Եթե ​​գտնված սահմանը հավասար է վերջավոր թվի, ապա սխալ ինտեգրալն ասում են համընկնում է . Եթե ​​նշված սահմանը գոյություն չունի կամ անվերջ է, ապա ինտեգրալը կոչվում է տարբերվում է .

Երկրորդ տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալի երկրաչափական նշանակությունը, Որտեղ բ- երկրորդ տեսակի դադարի կետ, f(x)≥0, հետևյալն է՝ եթե այն համընկնում է, ապա այն ներկայացնում է «անսահման բարձր» կոր trapezoid-ի տարածքը (նկ. 24.2):

Նմանապես, երկրորդ տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալի հասկացությունը ներկայացվում է միջակայքի շարունակական գծի համար ( ա;բ]գործառույթները պայմանով Ա– երկրորդ տեսակի ընդհատման կետ՝ = .

Օրինակ 24.3.Հաշվի՛ր երկրորդ տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալը՝ .

Լուծում. Ինտեգրանդը շարունակական է (0;1] և x= 0 - երկրորդ տեսակի ընդհատման կետ (): Անպատշաճ ինտեգրալը հաշվարկելու համար մենք օգտագործում ենք բանաձևը՝ = . Մենք դա հասկանում ենք

= = = = = = ∞. Մենք տեսնում ենք, որ երկրորդ տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալը տարբերվում է:

Պատասխանել: տարբերվում է.

Վերահսկիչ հարցեր.

1. Ինչպե՞ս է կոչվում ոչ պատշաճ ինտեգրալը:
2. Ո՞ր ինտեգրալներն են կոչվում առաջին տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալներ:
3. Ո՞րն է առաջին տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալի երկրաչափական նշանակությունը:
4. Ո՞ր անպատշաճ ինտեգրալներն են կոչվում կոնվերգենտ, իսկ որո՞նք են դիվերգենտ:
5. Ո՞ր ինտեգրալներն են կոչվում երկրորդ տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալներ:
6. Ո՞րն է երկրորդ տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալի երկրաչափական նշանակությունը:

ՄԱՏԵՆԱԳՐՈՒԹՅՈՒՆ:

1. Աբդրախմանովա Ի.Վ. Բարձրագույն մաթեմատիկայի տարրեր՝ դասագիրք. ձեռնարկ – Մ.: Ինտենսիվ կրթական տեխնոլոգիաների կենտրոն, 2003. – 186 էջ.

2. Հանրահաշիվ և վերլուծության սկիզբ (մաս 1, մաս 2). Դասագիրք հանրակրթական ուսումնական հաստատությունների համար / խմբ. Գ.Ն.Յակովլևա. - Մ.: Նաուկա, 1981:

3. Ալեքսանդրովա Ն.Վ. Մաթեմատիկական տերմիններ. տեղեկատու.- Մ.՝ Բարձր. դպրոց, 1978. - 190 էջ.

4. Վալուցե Ի.Ի., Դիլիգուլ Գ.Դ. Մաթեմատիկա միջնակարգ դպրոցների վրա հիմնված տեխնիկական դպրոցների համար. Պրոց. նպաստ. – M.: Nauka, 1989. – 576 p.

5. Գրիգորիև Վ.Պ., Դուբինսկի Յու.Ա. Բարձրագույն մաթեմատիկայի տարրեր. Դասագիրք. ուսանողների համար մասնագիտական ​​ուսումնական հաստատություններ. - Մ.: «Ակադեմիա» հրատարակչական կենտրոն, 2004. – 320 էջ.

6. Լիսիչկին Վ.Տ., Սոլովեյչիկ Ի.Լ. Մաթեմատիկա՝ դասագիրք. ձեռնարկ տեխնիկական դպրոցների համար. - Մ.: Բարձրագույն: դպրոց, 1991. – 480 с.

7. Լուկանկին Գ.Լ., Մարտինով Ն.Ն., Շադրին Գ.Ա., Յակովլև Գ.Ն. Բարձրագույն մաթեմատիկա՝ դասագիրք. ձեռնարկ մանկավարժության ուսանողների համար. հաստատությունները։ – Մ.: Կրթություն, 1988. – 431 էջ.

8. Գրավոր Դ.Թ. Բարձրագույն մաթեմատիկայի վերաբերյալ դասախոսությունների նշումներ. Մաս 1. – M.:Iris-press, 2006.- 288 p.

9. Ֆիլիմոնովա Է.Վ. Մաթեմատիկա՝ դասագիրք. նպաստ քոլեջների համար. – Ռոստով n/d: Phoenix, 2003. – 384 p.

10. Շիպաչով Վ.Ս. Բարձրագույն մաթեմատիկա. Դասագիրք բուհերի համար. – Մ.: Բարձրագույն դպրոց, 2003. – 479 էջ.

11. Շիպաչով Վ.Ս. Բարձրագույն մաթեմատիկայի դասընթաց՝ բարձրագույն կրթություն. – M.: PROYUL M.A. Zakharov, 2002. – 600 p.

12. Հանրագիտարան երեխաների համար. Տ.11. Մաթեմատիկա / Գլ. խմբ. Մ.Վ.Աքսենովա. - Մ.: Ավանտա+, 2000.- 688 էջ.

Եթե ​​ինտեգրման (վերջավոր) ինտերվալի վրա ինտեգրանդն ունի երկրորդ տեսակի ընդհատում, մենք խոսում ենք երկրորդ տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալի մասին:

10.2.1 Սահմանում և հիմնական հատկություններ

Եկեք նշանակենք ինտեգրման միջակայքը $\left[a, \, b \right ]$-ով, այս երկու թվերն էլ ստորև ենթադրվում են վերջավոր։ Եթե ​​կա միայն 1 ընդհատում, այն կարող է տեղակայվել կամ $a$ կետում, կամ $b$ կետում, կամ $(a,\,b)$ միջակայքի ներսում: Եկեք նախ դիտարկենք այն դեպքը, երբ $a$ կետում կա երկրորդ տեսակի ընդհատում, իսկ մյուս կետերում ինտեգրման ֆունկցիան շարունակական է: Այսպիսով, մենք քննարկում ենք ինտեգրալը

\սկիզբ(հավասարում) I=\int _a^b f(x)\,dx, (22) \label(intr2) \end(հավասարում)

և $f(x) \rightarrow \infty $ երբ $x \rightarrow a+0$: Ինչպես նախկինում, առաջին բանը, որ պետք է անել, այս արտահայտությանը իմաստավորելն է։ Դա անելու համար հաշվի առեք ինտեգրալը

\[ I(\epsilon)=\int _(a+\epsilon)^b f(x)\,dx. \]

Սահմանում. Թող լինի վերջավոր սահման

\[ A=\lim _(\epsilon \rightarrow +0)I(\epsilon)=\lim _(\epsilon \rightarrow +0)\int _(a+\epsilon)^b f(x)\,dx. \]

Այնուհետև ասում են, որ երկրորդ տեսակի (22) ոչ պատշաճ ինտեգրալը համընկնում է և դրան վերագրվում է $A$ արժեքը, իսկ $f(x)$ ֆունկցիան ինքնին ինտեգրելի է $\left[a, \ միջակայքում: , b\right]$.

Դիտարկենք ինտեգրալը

\[ I=\int ^1_0\frac(dx)(\sqrt(x)): \]

Ինտեգրանդի $1/\sqrt(x)$ ֆունկցիան $x-ում \rightarrow +0$-ում ունի անսահման սահման, ուստի $x=0$ կետում այն ​​ունի երկրորդ տեսակի ընդհատում։ դնենք

\[ I(\epsilon)=\int ^1_(\epsilon )\frac(dx)(\sqrt(x))\,. \]

Այս դեպքում հայտնի է հակաածանցյալը.

\[ I(\epsilon)=\int ^1_(\epsilon )\frac(dx)(\sqrt(x))=2\sqrt(x)|^1_(\epsilon)=2(1-\sqrt( \epsilon ))\աջ սլաք 2\]

$\epsilon \rightarrow +0$-ում: Այսպիսով, սկզբնական ինտեգրալը երկրորդ տեսակի կոնվերգենտ ոչ պատշաճ ինտեգրալ է, և այն հավասար է 2-ի։

Եկեք դիտարկենք այն տարբերակը, երբ ինտեգրման ինտերվալի վերին սահմանում ինտեգրման ֆունկցիայի մեջ կա երկրորդ տեսակի ընդհատում: Այս դեպքը կարող է կրճատվել նախորդի վրա՝ կատարելով $x=-t$ փոփոխականի փոփոխություն և այնուհետև վերադասավորելով ինտեգրման սահմանները։

Եկեք դիտարկենք այն տարբերակը, երբ ինտեգրման ֆունկցիան ունի երկրորդ տեսակի ընդհատում ինտեգրման միջակայքում՝ $c \in (a,\,b)$ կետում։ Այս դեպքում բնօրինակ ինտեգրալը

\սկիզբ(հավասարում) I=\int _a^bf(x)\,dx (23) \label(intr3) \end(հավասարում)

ներկայացված է որպես գումար

\[ I=I_1+I_2, \quad I_1=\int _a^cf(x)\,dx +\int _c^df(x)\,dx. \]

Սահմանում. Եթե ​​$I_1, \, I_2$ երկու ինտեգրալները համընկնում են, ապա ոչ պատշաճ ինտեգրալը (23) կոչվում է կոնվերգենտ և նրան վերագրվում է արժեք, որը հավասար է $I_1, \, I_2$ ինտեգրալների գումարին, $f(x)$ ֆունկցիան։ կոչվում է ինտեգրելի $\left [a, \, b\right]$ միջակայքում: Եթե ​​$I_1,\, I_2$ ինտեգրալներից գոնե մեկը դիվերգենտ է, ապա ոչ պատշաճ ինտեգրալը (23) կոչվում է դիվերգենտ:

2-րդ տեսակի կոնվերգենտ ոչ պատշաճ ինտեգրալները ունեն սովորական որոշակի ինտեգրալների բոլոր ստանդարտ հատկությունները:

1. Եթե $f(x)$, $g(x)$ ինտեգրելի են $\left[a, \,b \right ]$ միջակայքում, ապա դրանց գումարը $f(x)+g(x)$ է. նաև ինտեգրելի այս միջակայքում, և \[ \int _a^(b)\left(f(x)+g(x)\right)dx=\int _a^(b)f(x)dx+\int _a^( բ)գ (x)dx. \] 2. Եթե $f(x)$-ը ինտեգրելի է $\left[a, \, b \right ]$ միջակայքում, ապա ցանկացած $C$ հաստատունի համար $C\cdot f(x)$ ֆունկցիան նույնպես. ինտեգրելի այս միջակայքում, և \[ \int _a^(b)C\cdot f(x)dx=C \cdot \int _a^(b)f(x)dx: \] 3. Եթե $f(x)$-ը ինտեգրելի է $\left[ a, \, b \right ]$ միջակայքում և այս միջակայքում $f(x)>0$, ապա \[ \int _a^ (բ ) f(x)dx\,>\,0. \] 4. Եթե $f(x)$-ը ինտեգրելի է $\left[ a, \, b \right ]$ միջակայքում, ապա ցանկացած $c\in (a, \,b)$-ի համար ինտեգրալները \[ \ int _a^ (c) f(x)dx, \quad \int _c^(b) f(x)dx \] նույնպես համընկնում են, և \[ \int _a^(b)f(x)dx=\int _a ^(c ) f(x)dx+\int _c^(b) f(x)dx \] (ինտերվալի վրա ինտեգրալի ավելացում):

Դիտարկենք ինտեգրալը

\սկիզբ(հավասարում) I=\int _0^(1)\frac(1)(x^k)\,dx. (24) \label(mod2) \end(հավասարում)

Եթե ​​$k>0$, ապա ինտեգրանդը հակված է $\infty$-ին որպես $x \rightarrow +0$, ուստի ինտեգրալը երկրորդ տեսակի անպատշաճ է: Ներկայացնենք ֆունկցիան

\[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x^k)\,dx. \]

Այս դեպքում հայտնի է հակաածանցյալը, ուրեմն

\[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x^k)\,dx\,=\frac(x^(1-k))(1-k )|_(\epsilon)^1= \frac(1)(1-k)-\frac(\epsilon ^(1-k))(1-k). \]

$k \neq 1$-ի դիմաց,

\[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x)\,dx\,=lnx|_(\epsilon)^1= -ln \epsilon. \]

$k = 1$-ի համար: Հաշվի առնելով վարքագիծը $\epsilon \rightarrow +0$-ում, մենք գալիս ենք այն եզրակացության, որ ինտեգրալը (20) համընկնում է $k-ում:

10.2.2 2-րդ տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալների կոնվերգենցիայի թեստեր

Թեորեմ (համեմատության առաջին նշանը). Թող $f(x)$, $g(x)$ շարունակական լինեն $x\in (a,\,b)$-ի և $0 1-ի համար: Եթե \[ \int _a^(b)g(x) ինտեգրալը: dx \] համընկնում է, ապա \[ \int _a^(b)f(x)dx ինտեգրալը համընկնում է։ \] 2. Եթե \[ \int _a^(b)f(x)dx \] ինտեգրալը շեղվում է, ապա \[ \int _a^(b)g(x)dx ինտեգրալը շեղվում է։ \]

Թեորեմ (համեմատության երկրորդ չափանիշ). Թող $f(x)$, $g(x)$ լինի շարունակական և դրական $x\in (a,\,b)$-ի համար, և թող լինի վերջավոր սահման

\[ \theta = \lim_(x \աջ սլաք a+0) \frac(f(x))(g(x)), \quad \theta \neq 0, \, +\infty. \]

Հետո ինտեգրալները

\[ \int _a^(b)f(x)dx, \quad \int _a^(b)g(x)dx \]

համընկնել կամ շեղվել միաժամանակ.

Դիտարկենք ինտեգրալը

\[ I=\int _0^(1)\frac(1)(x+\sin x)\,dx. \]

Ինտեգրանդը դրական ֆունկցիա է ինտեգրման միջակայքում, ինտեգրանդը ձգտում է $\infty$-ի, որպես $x \rightarrow +0$, ուստի մեր ինտեգրալը երկրորդ տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալ է։ Ավելին, $x \rightarrow +0$-ի համար մենք ունենք՝ եթե $g(x)=1/x$, ապա

\[ \lim _(x \rightarrow +0)\frac(f(x))(g(x))=\lim _(x \rightarrow +0)\frac(x)(x+\sin x)=\ frac(1)(2) \neq 0,\, \infty \, . \]

Կիրառելով համեմատության երկրորդ չափանիշը՝ մենք գալիս ենք այն եզրակացության, որ մեր ինտեգրալը զուգակցվում կամ շեղվում է ինտեգրալի հետ միաժամանակ.

\[ \int _0^(+1)\frac(1)(x)\,dx: \]

Ինչպես ցույց տրվեց նախորդ օրինակում, այս ինտեգրալը տարբերվում է ($k=1$): Հետևաբար, սկզբնական ինտեգրալը նույնպես տարբերվում է։

Հաշվեք ոչ պատշաճ ինտեգրալը կամ հաստատեք դրա կոնվերգենցիան (դիվերգենցիան):

1. \[ \int _(0)^(1)\frac(dx)(x^3-5x^2)\,. \] 2. \[ \int _(3)^(7)\frac(x\,dx)((x-5)^2)\,. \] 3. \[ \int _(0)^(1)\frac(x\,dx)(\sqrt(1-x^2))\,. \] 4. \[ \int _(0)^(1)\frac(x^3\,dx)(1-x^5)\,. \] 5. \[ \int _(-3)^(2)\frac(dx)((x+3)^2)\,. \] 6. \[ \int _(1)^(2)\frac(x^2\,dx)((x-1)\sqrt(x-1))\,. \] 7. \[ \int _(0)^(1)\frac(dx)(\sqrt(x+x^2))\,. \] 8. \[ \int _(0)^(1/4)\frac(dx)(\sqrt(x-x^2))\,. \] 9. \[ \int _(1)^(2)\frac(dx)(xlnx)\,. \] 10. \[ \int _(1)^(2)\frac(x^3\,dx)(\sqrt(4-x^2))\,. \] 11. \[ \int _(0)^(\pi /4)\frac(dx)(\sin ^4x)\,. \]