Matematikos olimpiados ir olimpiados uždaviniai

1 tikslas:

Raskite visus nulinių skaičių a, b ir c trigubus, kurie sudaro aritmetinę progresiją ir kad iš skaičių taip pat galėtumėte atlikti aritmetinę progresiją.

Sprendimas: Pagal aritmetinės progresijos savybę turime a + c = 2b ir vieną iš šių lygčių

Pirmuoju atveju gaunama lygtis b² = 2ac, kuri neturi a + c = 2b sprendinių; kiti du veda į tą patį atsakymą: visi formos trigubai - 2t, - 0,5t, t, kur t ≠ 0.

Atsakymas: - 2t, - 0,5t ir t, kai t ≠ 0.

2 tikslas:

Raskite skaičių a, b ir c trigubus, kurie yra penkių laipsniai su neneigiamais sveikaisiais skaičiais, kad vieno iš jų dešimtainę reprezentaciją priskirdami kito skaičiaus po kablelio, gautume trečiąjį skaičių.

Sprendimas: Tegu a = 5 n, b = 5 m, c = 5 k, o skaičiuje b lygiai t skaitmenų po kablelio. Turime lygtį: 5 n • 10 t + 5 m = 5 k. Akivaizdu, kad m< k. Сократив уравнение на 5 в наибольшей степени, получим либо 2 t + 5 m - n - t = 5 k - t , либо 5 n - m + t • 2 t + 1 = 5 k - m . Первое уравнение имеет единственное решение в целых числах t = 2, m - n - t = 0, k - t = 1, откуда b = 25, m = 2, n = 0, k = 3 и искомые числа - 1, 25, 125. Второе уравнение выполняется только при n - m + t = 0, что приводит к предыдущему случаю.

Atsakymas: 1, 25 ir 125.

3 tikslas:

Taisyklingo penkiakampio įstrižainių viršūnėse ir susikirtimo taškuose rašomi nuliai. Vienu judesiu prie visų skaičių, esančių bet kurioje penkiakampio įstrižainėje, vienu metu leidžiama pridėti + 1 arba - 1. Kurį iš paveiksluose nurodytų penkiakampių galima gauti atlikus kelis judesius?

0,5 mm em: linijos plotis 0,4 pt 0,4 pt

((Pasiūlė S.E. Nokhrin.))

Sprendimas: Penkiakampio įstrižaines sunumeruokime skaičiais nuo 1 iki 5, o x i – vienetų, pridėtų prie i-osios įstrižainės, skaičių. Skaičius bet kurioje viršūnėje (įstrižainių susikirtimo taškas) yra lygus skaičių x i sumai per visus i taip, kad i-oji įstrižainė eina per šią viršūnę (įstrižainių susikirtimo tašką). Turime dešimties lygčių su penkiais nežinomaisiais sistemą, kuri pasirodo nenuosekli visais paveiksluose parodytais atvejais.

Atsakymas: negalima gauti penkiakampio.

4 užduotis:

Smailiame trikampyje ABC nubrėžtos aukščiai: AH, BK ir CL. Raskite trikampio HKL perimetrą, jei žinomas aukštis AH = h ir kampas ∠ BAC = α.

((Pasiūlė V.N. Ušakovas.))

Sprendimas: Tiesės KL, KH ir HL (žr. pav.) Iš ∆ ABC nupjaukite trikampius, panašius į ∆ ABC. Išties, ∆ CHA ∽ ∆ CKB pagal I trikampių panašumo kriterijų (2 vienodi kampai). Iš čia. Bet tada ∆ KHC ∽ ∆ BAC pagal II trikampių panašumo ženklą (kraštinių proporcingumas ir kampų lygybė tarp šių kraštinių). Panašiai galima įrodyti, kad ∆ AKL ∽ ∆ ABC ir ∆ BHL ∽ ∆ ABC. Taigi, turime ∠ HLB = ∠ ALK = ∠ C, ∠ AKL = ∠ CKH = ∠ B. Tada taškai H ′ ir H ″, simetriški taškui H tiesių AB ir AC atžvilgiu, atitinkamai, yra tiesėje. KL. Iš tiesų, ∠ HLB = ∠ H′LB (kadangi ∆ HLO ′ = ∆ H′LO ′), bet ∠ HLB = ∠ ALK, taigi ∠ ALK = ∠ H′LB, taigi taškai K, L, H yra viena tiesi linija. Panašiai galima įrodyti, kad H ″, K, L yra kolinearūs. Atkarpa H ″ H ′ yra lygi perimetrui ∆ KLH (KH = KH ″, o LH = LH ′). Dabar apsvarstykite ∆ H ″ AH ′. Jis yra lygiašonis, nes AH ′ = AH = AH ", ir ∠ H ″ AH ′ = 2 • (∠ CAH + ∠ BAH) = \ = 2 α. Taigi H ″ H ′ = 2AH ′ sin \, α. Taigi KLH ′ perimetras yra 2h sin \, α.

1. Išspręskite skaičių galvosūkį.

2. Ignatas dabar keturis kartus vyresnis nei jo sesuo, kai buvo perpus jaunesnė. Kiek Ignatui dabar metų, jei po 15 metų jis su seserimi bus kartu 100 metų?

3. Vaikai poromis išeina iš miško, kur rinko riešutus. Kiekvienoje poroje yra berniukas ir mergaitė, o berniukas turi dvigubai arba perpus mažiau riešutų nei mergaitė. Ar gali būti, kad jie visi turi 2011 m. riešutus?

4. Stačiakampį su 4 ir 9 kraštinėmis supjaustykite į mažiausią skaičių gabalėlių, kad susidarytumėte kvadratą.

5. O saloje yra riteriai, kurie visada sako tiesą, ir melagiai, kurie visada meluoja. Keliautojas sutiko du vietinius – A ir B. Gimtoji A pasakė frazę:

Bent vienas iš mūsų (A arba B) yra melagis.

Ar galite pasakyti, kas yra A, o kas B (riteris ar melagis)?

Olimpiados užduotys savivaldybės etapas matematika

1. Raskite visus tokius triženklius skaičius, kurių skaičiaus skaitmenų suma yra 11 kartų mažesnė už patį skaičių https://pandia.ru/text/78/035/images/image003_105.gif "width =" 27 "height =" 17 "> kvadratiniai taškai paimami taip, kad tiesi linija kerta kraštą taške, tiesi kerta kraštą taške ir https://pandia.ru/text/78/035/images/image013_32 .gif "width =" 104 "height =" 21 ">.

https://pandia.ru/text/78/035/images/image015_30.gif "width =" 96 "height =" 24">

5. Melagių ir riterių salos kariuomenės apžiūros metu (melagiai visada meluoja, riteriai visada sako tiesą) vadas išrikiavo visus karius. Kiekvienas iš rikiuotės karių pasakė: „Mano kaimynai eilėje yra melagiai“. (Kariai rikiuotės galuose pasakė: „Mano kaimynas eilėje yra melagis.“) Koks yra didžiausias riterių skaičius, kuris galėtų būti rikiuotėje, jei būtų rodomi 2011 m. kariai?

Olimpiados užduotys savivaldybės etapas Visos Rusijos moksleivių olimpiada matematika

1. Vasja lentoje užrašė kelis sveikuosius skaičius. Petya pasirašė savo kvadratą po kiekvienu Vasios numeriu. Tada Maša susumavo visus lentos skaičius ir gavo 2011. Įrodykite, kad vienas iš vaikinų klydo.

2. Kooperatyvas obuolių ir vynuogių sultis gauna tose pačiose skardinėse ir tose pačiose skardinėse gamina obuolių-vynuogių gėrimą. Vienos skardinės obuolių sulčių užtenka lygiai 6 skardinėms gėrimo, o vienos skardinės vynuogių sulčių – lygiai 10. Pakeitus gėrimo receptą, vienos skardinės obuolių sulčių užteko lygiai 5 skardinėms gėrimo. Kiek skardinių gėrimo dabar užtenka vienai skardinei vynuogių sulčių? (Gėrimo negalima skiesti vandeniu.)

3..gif "width =" 43 "height =" 21 src = ">. Gif" plotis = "64" aukštis = "21 src =">. Gif "width =" 37 "height =" 19 src = "> lygiašoniai.

4. Įrodykite, kad visų teigiamų https://pandia.ru/text/78/035/images/image023_20.gif "width =" 13 "height =" 15 "> atveju skirtumas tarp lygties šaknų yra 3?

3. Duota P taškai, iš kurių nė vienas nepriklauso tai pačiai plokštumai. Kiek plokštumų galima nubrėžti per įvairius šių taškų trejetus?

4..gif "width =" 12 "height =" 15 src = ">, sudaro aritmetinę progresiją ir taip, kad skaičiai ir taip pat gali būti naudojami aritmetinei progresijai atlikti.

5. Lygiagretainio įstrižainės susikerta taške. Tegu ir yra apskritimų, kurių vienas eina per taškus https://pandia.ru/text/78/035/images/image031_14.gif "width =" 16 "height =" 17 src = ">, susikirtimo taškai , o kitas per ir https://pandia.ru/text/78/035/images/image002_138.gif "width =" 19 "height =" 19 ">, jei taškas yra tiesės atkarpoje ir nesutampa su jo galais.

Olimpiados užduotyssavivaldybės etapas matematika

7 klasė

Bent vienas iš mūsų (A arba B) yra melagis.

Ar galite pasakyti, kas yra A, o kas B (riteris ar melagis)?

Olimpiados užduotyssavivaldybės etapasVisos Rusijos moksleivių olimpiada matematika

8 klasė

Olimpiados užduotyssavivaldybės etapasVisos Rusijos moksleivių olimpiada matematika

9 klasė

1. Kurių penkiaženklių skaičių yra daugiau: tų, kurių skaičiai yra griežtai didėjančia tvarka, ar tų, kurių skaičiai yra griežtai mažėjančia tvarka? (Pavyzdžiui, pirmoji grupė apima 12 459, bet neįtraukia 12 495 ir 12 259).

Olimpiados užduotyssavivaldybės etapasVisos Rusijos moksleivių olimpiada matematika

10 klasė

1. Iš eilės rašomi skaičiai nuo 21 iki 30. Ar galima tarp jų dėti ženklus „+“ ir „-“, kad gautos išraiškos reikšmė būtų lygi nuliui?
2. Kokiomis vertybėmislygties šaknų skirtumas yra lygus 3?
3. Atsižvelgiant į n taškai, iš kurių nė vienas nepriklauso tai pačiai plokštumai. Kiek plokštumų galima nubrėžti per įvairius šių taškų trejetus?
4. Raskite visus skaičių, kurie skiriasi nuo nulio, trigubus ir sudarydami aritmetinę progresiją ir tokią, kad skaičiai ir taip pat galite atlikti aritmetinę progresiją.
5. Lygiagretainės įstrižainėssusikerta taške... Leiskite jums - apskritimų susikirtimo taškai, iš kurių vienas eina per taškus ir, o kitas per ir ... Raskite taškų vietą jei taškas guli ant segmentoir nesutampa su jo galais.

Olimpiados užduotyssavivaldybės etapasVisos Rusijos moksleivių olimpiada matematika

11 klasė

1. Kas yra mažiausias natūralus ar tai dalijasi iš 770?
2. Įrodykite, kad jei, tada lygtis
3. Rasti jei; ; ,,.
4. Taisyklingos piramidės pagrinde yra daugiakampis su nelyginiu kraštinių skaičiumi. Ar galima šios piramidės kraštuose išdėstyti rodykles (po vieną kiekviename krašte) taip, kad gautų vektorių suma būtų lygi?

1. Klasėje mokosi 20 mokinių. Kiekvienas draugauja su mažiausiai 10 kitų. Įrodykite, kad šioje klasėje galima pasirinkti du mokinių trejetukus taip, kad bet kuris mokinys iš vieno trejeto draugautų su bet kuriuo mokiniu iš kito trejeto.

Peržiūra:

7 klasė (sprendimai ir atsakymai)

Atsakymai ir problemų sprendimaisavivaldybės etapasVisos Rusijos moksleivių olimpiada matematika

1. Atsakymas: 2222 – 999 + 11 – 0 = 1234.
2. Atsakymas: 40 metų.

Sprendimas: Norėdami išspręsti problemą, naudokime lentelę.

Lygtis: ... Dabar Ignatui 40 metų.

1. Atsakymas: negalėjo.

Sprendimas: Atkreipkite dėmesį, kad kiekvienos vaikų poros riešutų skaičius dalijasi iš 3. Tai reiškia, kad bendras riešutų skaičius turi dalytis iš 3. Tačiau 2011 m. nesidalina iš 3.

1. Sprendimas:

1. Atsakymas: A yra riteris, B yra melagis.

Sprendimas: Jei A yra melagis, tai jo teiginys yra klaidingas, t.y. abu turi būti riteriai. Prieštaravimas. Taigi A yra riteris. Tada jo teiginys yra teisingas, o B yra melagis.

8 klasė (sprendimai ir atsakymai)

Atsakymai ir problemų sprendimaisavivaldybės etapasVisos Rusijos moksleivių olimpiada matematika

1. Atsakymas: 198.

Sprendimas: Triženklis skaičiusgali būti parašytas kaip... Iš būklės seka tuo ... Dešinėje yra dviženklis (vieno skaitmens, jei c = 0) skaičius, kuris dalijasi iš 89, o tai reiškia... Bet tada

1. Atsakymas: skersmens apskritimo dalis OP

Sprendimas: leiskite O - šio apskritimo centras, M - stygos vidurio taškas, nukirstas nuo tiesės, einančios per tašką, apskritimo P. Tada PMO = 90 o ... Todėl norimas rinkinys yra skersmens apskritimo dalis OP gulinčio nurodyto apskritimo viduje.

Sprendimas: Sąlyga reiškia trikampių lygybę), kur ... Be to, ... Todėl trikampiaiyra lygūs, todėl.

1. Atsakymas: 3111 14

Sprendimas:

1. Atsakymas: 1006 riteriai

Sprendimas: Atkreipkite dėmesį, kad du vienas šalia kito stovintys kariai negalėjo būti riteriais. Iš tiesų, jei jie abu būtų riteriai, jie abu meluotų. Kairėje pasirinkite karį ir likusių 2010 m. karių eilę suskirstykite į 1005 grupes iš dviejų vienas šalia kito stovinčių karių. Kiekvienoje tokioje grupėje yra ne daugiau kaip vienas riteris, t.y. tarp laikomų 2010 metų karių ne daugiau kaip 1005 riteriai, t.y. iš viso eilutėje ne daugiau 1005 + 1 = 1006 riteriai.

Apsvarstykite eilutę RRLRL ... RRLRL. Tokioje eilėje yra lygiai 1006 riteriai.

9 klasė (sprendimai ir atsakymai)

Atsakymai ir problemų sprendimaisavivaldybės etapasVisos Rusijos moksleivių olimpiada matematika

1. Atsakymas: daugiau nei su skaičiais mažėjančia tvarka.

Sprendimas: 1) Parašykime pirmosios grupės numerį atvirkštine tvarka. Gausime antros grupės numerį, o iš skirtingų pirmosios grupės skaičių gaunami skirtingi antrosios grupės skaičiai. Tuo pačiu metu antrosios grupės numeriai, kurie baigiasi 0, pavyzdžiui, 98 760, negalėjo būti gauti „perversmu“ iš pirmosios grupės skaičių (skaičius 06789 = 6789 nėra penkiaženklis). Tai reiškia, kad antroje grupėje yra daugiau skaičių.

2) Pirmos grupės skaičiai gaunami iš skaičiaus 123 456 789, nubraukus keturis skaitmenis, t.y. jų, o antros grupės numeriai - iš numerio 9 876 543 210 išbraukus penkis skaitmenis, t.y. jų.

10 klasė (sprendimai ir atsakymai)

Atsakymai ir problemų sprendimaisavivaldybės etapasVisos Rusijos moksleivių olimpiada matematika

Išreikšdamas ir iš (1) ir (3) lygčių ir pakeisdami į (2) lygtį, supaprastinus gauname lygtį... Išspręsdami, rasime.

1. Atsakymas:, kur. Sprendimas: pagal sąlygą ir viena iš lygybių galioja:, arba ... Pirmuoju atveju išsprendę sistemą,, mes gauname ... Antruoju atveju gauname arba , ... Trečiasis atvejis panašus į antrąjį.
2. Atsakymas: segmentas be jo galų, kur taškas guli ant sijos ir.

Sprendimas: Leiskite - apskritimas, einantis per taškus ir ir susikerta taške ... Tada pagal įbrėžtų kampų savybę, todėl taškai,,, gulėti ant to paties apskritimo; jeiguguli ant segmento, tada jei yra už šio segmento ribų (taškasant paveikslėlio). Šiuo būdu, kadangi abu , t.y. apskritimas, einantis per taškus ir ... Taigi, mes parodėme, kad esmėturėtų gulėti ant segmento... Dabar parodykime, kad bet kuris šio segmento taškas, išskyrus ir , yra įtrauktas į reikiamą taškų vietą. Tikrai, tegul... Tada pasirenkant tašką taigi, mes gauname tą ir.

11 klasė (sprendimai ir atsakymai)

Atsakymai ir problemų sprendimaisavivaldybės etapasVisos Rusijos moksleivių olimpiada matematika

Panagrinėkime pirmąjį atvejį. Nes, tada formule pateiktos parabolės šakosnukreiptas į viršų. Ir nuo tada, tada yra parabolės taškai, esantys žemiau ašies... Vadinasi, parabolė kerta ašį2 taškais. Todėl lygtisturi dvi galiojančias šaknis.

Antruoju atveju parabolės šakos nukreiptos žemyn, ir, taigi parabolė kerta ašį2 taškais. Tada lygtisvėl turi dvi tikras šaknis.

2 būdas. Apsvarstykite nelygybę... Išplėskite skliaustus kairėje, padauginkite nelygybę iš -4, tada pridėkite prie abiejų nelygybės pusių, mes gauname: ... Šią nelygybę transformuojame į formą:... Nuo tada ... Todėl lygtisturi 2 tikras šaknis.

Sprendimas: Akivaizdūs sprendimai, , ... Akivaizdu, kad kiti skaičių tripletai su nuliniais komponentais nėra šios sistemos sprendiniai. Belieka svarstyti atvejį, kai... Tada aišku- stačiakampio trikampio su kojelėmis kampai (- natūralus). Todėl trigubas- dar vienas sprendimas.

4. Atsakymas: Tai neįmanoma.

Sprendimas: Tegul rodyklės kažkaip dedamos. Projektuokite visus gautus vektorius ant linijos, kurioje yra aukštis TAIP piramidės. Pagrindo plokštumoje esančių vektorių projekcijos yra lygios, o ant šoninių briaunų gulinčių vektorių projekcijos lygios arba - ... Kadangi vektorių, esančių ant šoninių kraštų, skaičius yra nelyginis, tai reiškia, kad jų projekcijų suma negali būti lygi, todėl negali lygiuotisir visų gautų vektorių suma.

5 ... Suskaičiuokime visus klasės mokinius natūraliaisiais skaičiais nuo 1 iki 20 ir pažymėkimebendrų draugų skaičius ir mokinių ir visų tokių skaičių suma skersai ... Tada, norint įrodyti problemos teiginį, kai kuriems užtenka tai parodyti ir nelygybė galioja.

Bendras skaičius bus ... Kadangi kiekvienas mokinys klasėje turi bent 10 draugų, skaičiuojant skaičiųį kiekvieną mokinį atsižvelgiame bent kartų todėl.

Taigi 1140 sveikųjų skaičių suma yra ne mažesnė kaip 2400, taigi vienas iš skaičiųbent 3, jei reikia.