1) Funktionens domän och funktionens domän.
Funktionsomfång är uppsättningen av alla giltiga giltiga argumentvärden x(variabel x) för vilken funktionen y = f (x) definierade. Värdeintervallet för en funktion är mängden av alla verkliga värden y som funktionen accepterar.
I elementär matematik studeras funktioner endast på uppsättningen av reella tal.
2) Funktionsnollor.
Funktion noll är ett argumentvärde där funktionsvärdet är lika med noll.
3) Intervaller för funktionskonstans.
Intervallet med konstant tecken för en funktion är sådana uppsättningar av argumentvärden, där funktionens värden endast är positiva eller endast negativa.
4) Monotonicitet av funktion.
En ökande funktion (i ett visst intervall) är en funktion för vilken ett större värde på argumentet från detta intervall motsvarar ett större värde på funktionen.
Minskande funktion (i ett visst intervall) - en funktion där det större värdet av argumentet från detta intervall motsvarar det mindre värdet på funktionen.
5) Paritet (udda) funktion.
En jämn funktion är en funktion vars definitionsdomän är symmetrisk om ursprunget och för eventuella NS från domänen, jämlikheten f (-x) = f (x)... Grafen för en jämn funktion är symmetrisk kring ordinataaxeln.
En udda funktion är en funktion vars definitionsdomän är symmetrisk om ursprunget och för någon NS definitionsdomänen tillfredsställer jämlikheten f (-x) = - f (x). Grafen för en udda funktion är symmetrisk om ursprunget.
6) Begränsade och obegränsade funktioner.
En funktion kallas bounded om det finns ett positivt tal M så att | f (x) | ≤ M för alla värden på x. Om det inte finns något sådant nummer är funktionen obegränsad.
7) Funktionens periodicitet.
En funktion f (x) är periodisk om det finns ett icke-nolltal T så att för valfritt x från funktionens domän gäller följande: f (x + T) = f (x). Detta minsta tal kallas perioden för funktionen. Alla trigonometriska funktioner är periodiska. (Trigonometriska formler).
19. Grundläggande elementära funktioner, deras egenskaper och grafik. Tillämpning av funktioner inom ekonomi.
Grundläggande elementära funktioner. Deras egenskaper och grafer
1. Linjär funktion.
Linjär funktion kallas en funktion av formen, där x är en variabel, a och b är reella tal.
siffra a kallas lutningen av en rät linje, den är lika med tangenten för lutningsvinkeln för denna räta linje till abskissaxelns positiva riktning. Grafen för en linjär funktion är en rät linje. Den definieras av två punkter.
Linjära funktionsegenskaper
1. Definitionsdomän - mängden av alla reella tal: D (y) = R
2. Värdeuppsättningen är mängden av alla reella tal: E (y) = R
3. Funktionen får ett nollvärde för eller.
4. Funktionen ökar (minskar) över hela definitionsdomänen.
5. Den linjära funktionen är kontinuerlig på hela definitionsområdet, differentierbar och.
2. Kvadratisk funktion.
En funktion av formen, där x är en variabel, koefficienterna a, b, c är reella tal, kallas kvadratisk.
Studiet av funktioners egenskaper och deras grafer tar en betydande plats både i skolmatematiken och i efterföljande kurser. Dessutom inte bara i kurserna för matematisk och funktionell analys, och inte bara i andra avsnitt av högre matematik, utan också i de flesta snävt professionella ämnen. Till exempel inom ekonomi - nyttofunktioner, kostnader, efterfrågan, utbud och konsumtionsfunktioner ..., inom radioteknik - styrfunktioner och svarsfunktioner, i statistik - distributionsfunktioner ... funktioner. För att göra detta, efter att ha studerat följande tabell, rekommenderar jag att du följer länken "Funktionsgraftransformationer".
| Funktionsnamn | Funktionsformel | Funktionsdiagram | Diagramnamn | En kommentar |
|---|---|---|---|---|
| Linjär | y = kx | Hetero | Det enklaste fallet av linjärt beroende är direkt proportionalitet y = kx, var k≠ 0 - proportionalitetskoefficient. Bilden visar ett exempel för k= 1, dvs. i själva verket illustrerar den givna grafen det funktionella beroendet, vilket sätter likheten mellan värdet av funktionen och värdet av argumentet. | |
| Linjär | y = kx + b |  |
Hetero | Allmänt fall av linjärt beroende: koefficienter k och b- eventuella reella tal. Här k = 0.5, b = -1. |
| Kvadratisk | y = x 2 |  |
Parabel | Det enklaste fallet av ett kvadratiskt beroende är en symmetrisk parabel med spets vid origo. |
| Kvadratisk | y = yxa 2 + bx + c |  |
Parabel | Allmänt fall av kvadratiskt beroende: koefficient a- ett godtyckligt reellt tal som inte är lika med noll ( a tillhör R, a ≠ 0), b, c- eventuella reella tal. |
| Kraft | y = x 3 |  |
Kubisk parabel | Det enklaste fallet är för en udda heltalsgrad. Fall med koefficienter studeras i avsnittet "Funktionsgrafernas rörelse". |
| Kraft | y = x 1/2 |  |
Funktionsdiagram y = √x |
Det enklaste fallet för en bråkpotens ( x 1/2 = √x). Fall med koefficienter studeras i avsnittet "Funktionsgrafernas rörelse". |
| Kraft | y = k/x |  |
Hyperbel | Det enklaste fallet för en negativ heltalspotens ( 1 / x = x-1) - omvänt proportionellt förhållande. Här k = 1. |
| Indikativ | y = e x |  |
Utställare | Det exponentiella beroendet kallas exponentialfunktionen för basen e- ett irrationellt tal ungefär lika med 2,7182818284590 ... |
| Indikativ | y = a x |  |
Exponentiell funktionsgraf | a> 0 och a a... Här är ett exempel för y = 2 x (a = 2 > 1). |
| Indikativ | y = a x |  |
Exponentiell funktionsgraf | Exponentialfunktionen är definierad för a> 0 och a≠ 1. Funktionens grafer beror i huvudsak på parameterns värde a... Här är ett exempel för y = 0,5 x (a = 1/2 < 1). |
| Logaritmisk | y= ln x |  |
Graf över den logaritmiska funktionen för basen e(naturlig logaritm) kallas ibland logaritm. | |
| Logaritmisk | y= logg yxa |  |
Logaritmisk funktionsgraf | Logaritmer är definierade för a> 0 och a≠ 1. Funktionens grafer beror i huvudsak på parameterns värde a... Här är ett exempel för y= logg 2 x (a = 2 > 1). |
| Logaritmisk | y = log yxa |  |
Logaritmisk funktionsgraf | Logaritmer är definierade för a> 0 och a≠ 1. Funktionens grafer beror i huvudsak på parameterns värde a... Här är ett exempel för y= log 0,5 x (a = 1/2 < 1). |
| Sinus | y= synd x |  |
Sinusoid | Sinus trigonometrisk funktion. Fall med koefficienter studeras i avsnittet "Funktionsgrafernas rörelse". |
| Cosinus | y= cos x |  |
Cosinus | Trigonometrisk cosinusfunktion. Fall med koefficienter studeras i avsnittet "Funktionsgrafernas rörelse". |
| Tangent | y= tg x |  |
Tangensoid | Trigonometrisk tangentfunktion. Fall med koefficienter studeras i avsnittet "Funktionsgrafernas rörelse". |
| Cotangens | y= ctg x |  |
Cotangensoid | Trigonometrisk cotangensfunktion. Fall med koefficienter studeras i avsnittet "Funktionsgrafernas rörelse". |
| Funktionsnamn | Funktionsformel | Funktionsdiagram | Diagramnamn |
|---|
1. Linjär bråkdelfunktion och dess graf
En funktion av formen y = P (x) / Q (x), där P (x) och Q (x) är polynom, kallas en rationell bråkfunktion.
Du är förmodligen redan bekant med begreppet rationella tal. likaså rationella funktionerÄr funktioner som kan representeras som kvoten av två polynom.
Om en bråkrationell funktion är en kvot av två linjära funktioner - polynom av första graden, d.v.s. formens funktion
y = (ax + b) / (cx + d), då kallas det fraktionell linjär.
Observera att i funktionen y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (annars blir funktionen linjär y = ax / d + b / d) och att a / c ≠ b / d (annars funktion är en konstant). Den linjära bråkfunktionen definieras för alla reella tal utom x = -d / c. Grafer för linjära bråkfunktioner skiljer sig inte i form från den graf du känner till för y = 1 / x. Kurvan som är grafen för funktionen y = 1 / x kallas överdrift... Med en obegränsad ökning av x i absolut värde, minskar funktionen y = 1 / x obegränsat i absolut värde och båda grenarna av grafen närmar sig abskissaxeln: den högra närmar sig ovanifrån och den vänstra - underifrån. De raka linjerna som grenarna av hyperbeln närmar sig kallas dess asymptoter.
Exempel 1.
y = (2x + 1) / (x - 3).
Lösning.
Låt oss välja hela delen: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).
Nu är det lätt att se att grafen för denna funktion erhålls från grafen för funktionen y = 1 / x genom följande transformationer: skiftning med 3 enhetssegment till höger, sträckning längs Oy-axeln 7 gånger och skiftning med 2 enhetssegment upp.
Vilken bråkdel som helst y = (ax + b) / (cx + d) kan skrivas på liknande sätt och markerar "hela delen". Följaktligen är graferna för alla linjär-fraktionella funktioner hyperboler förskjutna på olika sätt längs koordinataxlarna och sträckta längs Oy-axeln.
För att plotta en graf av en godtycklig linjär bråkfunktion är det inte alls nödvändigt att transformera bråket som definierar denna funktion. Eftersom vi vet att grafen är en hyperbel räcker det med att hitta de raka linjerna som dess grenar närmar sig - hyperbelns asymptoter x = -d / c och y = a / c.
Exempel 2.
Hitta asymptoterna i grafen för funktionen y = (3x + 5) / (2x + 2).
Lösning.
Funktionen är odefinierad när x = -1. Följaktligen fungerar linjen x = -1 som en vertikal asymptot. För att hitta den horisontella asymptoten, låt oss ta reda på vad värdena för funktionen y (x) närmar sig när argumentet x ökar i absolut värde.
För att göra detta, dividera täljaren och nämnaren för bråket med x:
y = (3 + 5 / x) / (2 + 2 / x).
Som x → ∞ kommer bråket att tendera till 3/2. Därför är den horisontella asymptoten den räta linjen y = 3/2.
Exempel 3.
Rita funktionen y = (2x + 1) / (x + 1).
Lösning.
Låt oss välja "hela delen" av bråket:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) - 1 / (x + 1) =
2 - 1 / (x + 1).
Nu är det lätt att se att grafen för denna funktion erhålls från grafen för funktionen y = 1 / x genom följande transformationer: en förskjutning med 1 enhet åt vänster, en symmetrisk visning med avseende på Ox, och en förskjutning med 2 enhetssegment upp längs Oy-axeln.
Domän D (y) = (-∞; -1) ᴗ (-1; + ∞).
Värdeintervallet är E (y) = (-∞; 2) ᴗ (2; + ∞).
Skärningspunkter med axlarna: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Funktionen ökar vid vart och ett av definitionsdomänens intervall.
Svar: Bild 1.
2. Bråkdel rationell funktion
Betrakta en bråk-rationell funktion av formen y = P (x) / Q (x), där P (x) och Q (x) är polynom med högre grad än den första.
Exempel på sådana rationella funktioner:
y = (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) eller y = (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
Om funktionen y = P (x) / Q (x) är en kvot av två polynom med högre grad än den första, så kommer dess graf som regel att vara svårare, och det är ibland svårt att plotta den exakt, med alla detaljer är det ibland svårt. Det räcker dock ofta med att tillämpa tekniker som liknar dem som vi redan har träffat ovan.
Låt bråket vara regelbundet (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:
P (x) / Q (x) = A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 +... + A m1 / (x - K 1) +... +
L 1 / (x - K s) ms + L 2 / (x - K s) ms-1 +... + L ms / (x - K s) +... +
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 + p 1 x + q 1) m1 +... + (B m1 x + C m1) / (x 2 + p 1 x + q 1) +... +
+ (M1 x + N1) / (x 2 + p t x + q t) ml +... + (M ml x + N ml) / (x 2 + p t x + q t).
Uppenbarligen kan grafen för en bråk-rationell funktion erhållas som summan av graferna för elementära bråk.
Plotta rationella bråkfunktioner
Låt oss överväga flera sätt att konstruera grafer för en rationell bråkfunktion.
Exempel 4.
Rita funktionen y = 1 / x 2.
Lösning.
Vi använder grafen för funktionen y = x 2 för att rita grafen y = 1 / x 2 och använder tekniken att "dela" graferna.
Domän D (y) = (-∞; 0) ᴗ (0; + ∞).
Värdeintervall E (y) = (0; + ∞).
Det finns inga skärningspunkter med axlarna. Funktionen är jämn. Ökar för alla x från intervallet (-∞; 0), minskar för x från 0 till + ∞.
Svar: Bild 2.
Exempel 5.
Rita funktionen y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).
Lösning.
Domän D (y) = (-∞; 3) ᴗ (3; + ∞).
y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) = (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) = - (x - 1) / 3 = -x / 3 + 1/3.
Här använde vi tricket att faktorisera, avbryta och linjärisera.
Svar: Bild 3.
Exempel 6.
Rita funktionen y = (x 2 - 1) / (x 2 + 1).
Lösning.
Definitionsdomän D (y) = R. Eftersom funktionen är jämn är grafen symmetrisk kring ordinataaxeln. Innan vi bygger grafen, låt oss transformera uttrycket igen och markera hela delen:
y = (x 2 - 1) / (x 2 + 1) = 1 - 2 / (x 2 + 1).
Observera att valet av heltalsdelen i formeln för en bråk-rationell funktion är en av de viktigaste i konstruktionen av grafer.
Om x → ± ∞, då y → 1, dvs. linjen y = 1 är den horisontella asymptoten.
Svar: Bild 4.
Exempel 7.
Betrakta funktionen y = x / (x 2 + 1) och försök hitta dess största värde exakt, d.v.s. den högsta punkten på den högra halvan av grafen. För att korrekt rita denna graf räcker inte dagens kunskap. Uppenbarligen kan vår kurva inte "stiga" särskilt högt, eftersom nämnaren börjar "överta" täljaren ganska snabbt. Låt oss se om värdet på funktionen kan vara lika med 1. För att göra detta måste du lösa ekvationen x 2 + 1 = x, x 2 - x + 1 = 0. Denna ekvation har inga reella rötter. Det betyder att vårt antagande inte är korrekt. För att hitta det största värdet på en funktion måste du ta reda på vid vilket största A ekvationen A = x / (x 2 + 1) kommer att ha en lösning. Ersätt den ursprungliga ekvationen med en kvadratisk: Ax 2 - x + A = 0. Denna ekvation har en lösning när 1 - 4A 2 ≥ 0. Härifrån hittar vi det största värdet A = 1/2. 
Svar: Figur 5, max y (x) = ½.
Har du fortfarande frågor? Är du osäker på hur man ritar funktionsdiagram?
För att få hjälp av en handledare – registrera dig.
Första lektionen är gratis!
webbplats, med hel eller delvis kopiering av materialet, krävs en länk till källan.
Din integritet är viktig för oss. Av denna anledning har vi tagit fram en integritetspolicy som beskriver hur vi använder och lagrar din information. Läs vår integritetspolicy och låt oss veta om du har några frågor.
Insamling och användning av personlig information
Med personuppgifter avses uppgifter som kan användas för att identifiera en specifik person eller kontakta denne.
Du kan bli ombedd att lämna din personliga information när som helst när du kontaktar oss.
Nedan finns några exempel på de typer av personlig information vi kan samla in och hur vi kan använda sådan information.
Vilken personlig information vi samlar in:
- När du lämnar en förfrågan på webbplatsen kan vi samla in olika uppgifter, inklusive ditt namn, telefonnummer, e-postadress, etc.
Hur vi använder din personliga information:
- De personuppgifter vi samlar in gör att vi kan kontakta dig och rapportera unika erbjudanden, kampanjer och andra evenemang och kommande evenemang.
- Då och då kan vi använda din personliga information för att skicka viktiga meddelanden och meddelanden.
- Vi kan också komma att använda personuppgifter för interna ändamål, såsom att utföra revisioner, dataanalyser och olika undersökningar för att förbättra de tjänster vi tillhandahåller och ge dig rekommendationer angående våra tjänster.
- Om du deltar i en prisdragning, tävling eller liknande reklamevenemang kan vi använda informationen du tillhandahåller för att administrera dessa program.
Utlämnande av information till tredje part
Vi lämnar inte ut information från dig till tredje part.
Undantag:
- Om det är nödvändigt - i enlighet med lagen, domstolsbeslut, i domstolsförfaranden och/eller på grundval av offentliga förfrågningar eller förfrågningar från statliga myndigheter på Ryska federationens territorium - att avslöja din personliga information. Vi kan också avslöja information om dig om vi fastställer att ett sådant avslöjande är nödvändigt eller lämpligt av säkerhetsskäl, brottsbekämpning eller andra socialt viktiga skäl.
- I händelse av en omorganisation, sammanslagning eller försäljning kan vi komma att överföra de personuppgifter vi samlar in till lämplig tredje part - den juridiska efterträdaren.
Skydd av personlig information
Vi vidtar försiktighetsåtgärder - inklusive administrativa, tekniska och fysiska - för att skydda din personliga information från förlust, stöld och missbruk, såväl som från obehörig åtkomst, avslöjande, ändring och förstörelse.
Respekt för din integritet på företagsnivå
För att säkerställa att din personliga information är säker, ger vi reglerna för sekretess och säkerhet till våra anställda, och övervakar strikt genomförandet av sekretessåtgärder.
Definition: En numerisk funktion är en korrespondens som associerar ett enda nummer y med varje nummer x från en given mängd.
Beteckning:
där x är den oberoende variabeln (argument), y är den beroende variabeln (funktion). Uppsättningen av värden x kallas domänen för funktionen (betecknad med D (f)). Uppsättningen av värden för y kallas värdeintervallet för funktionen (betecknad med E (f)). Grafen för en funktion är uppsättningen av punkter i planet med koordinater (x, f (x))
Metoder för att ställa in funktionen.
- analytisk metod (med hjälp av en matematisk formel);
- tabellform (med hjälp av en tabell);
- ett beskrivande sätt (med hjälp av en verbal beskrivning);
- grafiskt sätt (med hjälp av en graf).
Funktionens huvudsakliga egenskaper.
1. Jämn och udda paritet
En funktion kallas även om
- funktionens domän är symmetrisk med avseende på noll
f (-x) = f (x)
Grafen för en jämn funktion är symmetrisk kring axeln 0y
En funktion kallas udda om
- funktionens domän är symmetrisk med avseende på noll
- för valfritt x från domänen f (-x) = –f (x)
Grafen för en udda funktion är symmetrisk om ursprunget.
2. Periodicitet
En funktion f (x) kallas periodisk med en punkt om för något x från domänen f (x) = f (x + T) = f (x-T) .
Grafen för en periodisk funktion består av oändligt upprepande identiska fragment.
3. Monotoni (öka, minska)
Funktionen f (x) ökar på mängden Р om för någon x 1 och x 2 från denna mängd så att x 1
Funktionen f (x) minskar på mängden Р, om för någon x 1 och x 2 från denna mängd, så att x 1 f (x 2).
4. Extremer
Punkten X max kallas maxpunkten för funktionen f (x) om för alla x från någon grannskap X max, olikheten f (x) f (X max) är uppfylld.
Värdet Y max = f (X max) kallas det maximala för denna funktion.
X max - maxpunkt
Max har max
Punkten X min kallas minimipunkten för funktionen f (x) om för alla x från någon grannskap X min, olikheten f (x) f (X min) är uppfylld.
Värdet Y min = f (X min) kallas minimum för denna funktion.
X min - minimipunkt
Y min - minimum
X min, X max - extrema punkter
Y min, Y max - extrema.
5. Funktionsnollor
Nollan för funktionen y = f (x) är värdet på argumentet x där funktionen försvinner: f (x) = 0.
X 1, X 2, X 3 - nollor för funktionen y = f (x).
Problem och tester på ämnet "En funktions grundläggande egenskaper"
- Funktionsegenskaper - Numeriska funktioner årskurs 9
Lektioner: 2 uppgifter: 11 prov: 1
- Egenskaper för logaritmer
Lektioner: 2 uppgifter: 14 prov: 1
- Kvadratrotsfunktion, egenskaper och graf - Kvadratrotsfunktion. Grad 8 kvadratrot egenskaper
Lektioner: 1 inlämningsuppgifter: 9 prov: 1
- Potensfunktioner, deras egenskaper och grafer – Grader och rötter. Grad 11 kraftfunktioner
Lektioner: 4 uppgifter: 14 prov: 1
- Exponentialfunktion, dess egenskaper och graf - Exponentiella och logaritmiska funktioner årskurs 11
Lektioner: 1 Inlämningsuppgifter: 15 Prov: 1
Efter att ha studerat detta ämne bör du kunna hitta definitionsdomänen för olika funktioner, bestämma med hjälp av grafer intervallen för monotoni för en funktion, undersöka funktioner för jämn och udda paritet. Låt oss överväga lösningen av liknande problem i följande exempel.
Exempel.
1. Hitta funktionens domän.
Lösning: funktionens domän hittas från villkoret
därför är funktionen f (x) jämn.
Svar:även.
D (f) = [-1; 1] - symmetrisk omkring noll.
| 2) |
därför är funktionen varken jämn eller udda.
Svar: varken jämnt eller jämnt.
