Ekvationer

Hur löser man ekvationer?

I det här avsnittet kommer vi att minnas (eller studera - som någon gillar) de mest elementära ekvationerna. Så vad är en ekvation? På mänskliga termer är detta någon form av matematiskt uttryck, där det finns ett likhetstecken och ett okänt. Vilket brukar betecknas med bokstaven "X". lösa ekvationenär att hitta sådana x-värden som, vid substitution i original- uttryck, kommer att ge oss den korrekta identiteten. Låt mig påminna dig om att identitet är ett uttryck som inte väcker tvivel även för en person som absolut inte är belastad med matematisk kunskap. Som 2=2, 0=0, ab=ab osv. Så hur löser man ekvationer? Låt oss ta reda på det.

Det finns alla möjliga ekvationer (jag blev förvånad, eller hur?). Men all deras oändliga variation kan delas in i bara fyra typer.

4. Övrig.)

Alla de andra, naturligtvis, mest av allt, ja ...) Detta inkluderar kubisk och exponentiell, och logaritmisk och trigonometrisk och alla möjliga andra. Vi kommer att arbeta nära dem i de relevanta avsnitten.

Jag måste genast säga att ibland är ekvationerna för de tre första typerna så avvecklade att du inte känner igen dem ... Ingenting. Vi kommer att lära oss att varva ner dem.

Och varför behöver vi dessa fyra typer? Och sen då linjära ekvationer löst på ett sätt fyrkant andra bråkrationell - den tredje, a resten inte löst alls! Tja, det är inte så att de inte bestämmer alls, jag förolämpade matematiken förgäves.) Det är bara det att de har sina egna speciella tekniker och metoder.

Men för alla (jag upprepar - för några!) ekvationer är en pålitlig och problemfri grund för att lösa. Fungerar överallt och alltid. Den här basen - Låter läskigt, men saken är väldigt enkel. Och väldigt (mycket!) Viktig.

Egentligen består lösningen av ekvationen av samma transformationer. På 99%. Svar på frågan: " Hur löser man ekvationer?" ligger, bara i dessa omvandlingar. Är antydan tydlig?)

Identitetstransformationer av ekvationer.

PÅ några ekvationer för att hitta det okända är det nödvändigt att transformera och förenkla det ursprungliga exemplet. Dessutom så att när du ändrar utseendet essensen av ekvationen har inte förändrats. Sådana transformationer kallas identisk eller likvärdig.

Observera att dessa transformationer är bara för ekvationerna. Inom matematiken finns det fortfarande identiska transformationer uttryck. Det här är ett annat ämne.

Nu ska vi upprepa allt-allt-allt grundläggande identiska transformationer av ekvationer.

Grundläggande eftersom de kan appliceras på några ekvationer - linjära, kvadratiska, bråkdelar, trigonometriska, exponentiella, logaritmiska, etc. etc.

Första identiska transformationen: båda sidor av alla ekvationer kan adderas (subtraheras) några(men samma!) ett tal eller ett uttryck (inklusive ett uttryck med ett okänt!). Ekvationens väsen förändras inte.

Du använde förresten hela tiden denna transformation, du trodde bara att du överförde vissa termer från en del av ekvationen till en annan med ett teckenbyte. Typ:

Saken är bekant, vi flyttar tvåan till höger och vi får:

Egentligen du borttagen från båda sidor av ekvationen deuce. Resultatet är detsamma:

x+2 - 2 = 3 - 2

Överföringen av termer till vänster-höger med byte av tecken är helt enkelt en förkortad version av den första identiska transformationen. Och varför behöver vi så djup kunskap? - du frågar. Inget i ekvationerna. Flytta den, för guds skull. Glöm bara inte att byta skylt. Men i ojämlikheter kan vanan att överföra leda till en återvändsgränd ...

Andra identitetsförvandlingen: båda sidor av ekvationen kan multipliceras (divideras) med samma icke-noll tal eller uttryck. En förståelig begränsning dyker redan upp här: det är dumt att multiplicera med noll, men det är omöjligt att dividera alls. Det här är förvandlingen du använder när du bestämmer dig för något coolt som

Förstående, X= 2. Men hur hittade du det? Urval? Eller bara lyser upp? För att inte ta upp och vänta på insikt måste du förstå att du är rättvis dividera båda sidor av ekvationen med 5. När den vänstra sidan dividerades (5x), reducerades de fem, vilket lämnade ett rent X. Vilket är vad vi behövde. Och när man dividerade högra sidan av (10) med fem, blev det förstås en tvåa.

Det är allt.

Det är roligt, men dessa två (endast två!) identiska transformationer ligger till grund för lösningen alla matematikens ekvationer. Hur! Det är vettigt att titta på exempel på vad och hur, eller hur?)

Exempel på identiska transformationer av ekvationer. Huvudproblem.

Låt oss börja med först identisk transformation. Flytta vänster-höger.

Ett exempel för de små.)

Låt oss säga att vi måste lösa följande ekvation:

3-2x=5-3x

Låt oss komma ihåg besvärjelsen: "med X - till vänster, utan X - till höger!" Denna besvärjelse är en instruktion för att tillämpa den första identitetstransformationen.) Vad är uttrycket med x-et till höger? 3x? Svaret är fel! På vår högra sida - 3x! Minus tre x! Därför, när du växlar till vänster, kommer tecknet att ändras till ett plus. Skaffa sig:

3-2x+3x=5

Så, X:en sattes ihop. Låt oss göra siffrorna. Tre till vänster. Vilket tecken? Svaret "med ingen" accepteras inte!) Framför trippeln dras faktiskt ingenting. Och detta betyder att framför trippeln är ett plus. Så matematikerna höll med. Inget är skrivet, alltså ett plus. Därför kommer trippeln att överföras till höger sida med ett minus. Vi får:

-2x+3x=5-3

Det finns tomma platser kvar. Till vänster - ge liknande, till höger - räkna. Svaret är omedelbart:

I det här exemplet räckte en identisk transformation. Den andra behövdes inte. Tja, okej.)

Ett exempel för de äldre.)

Om du gillar den här sidan...

Förresten, jag har ytterligare ett par intressanta webbplatser för dig.)

Du kan träna på att lösa exempel och ta reda på din nivå. Testning med omedelbar verifiering. Lär dig - med intresse!)

du kan bekanta dig med funktioner och derivator.

Vi kommer att analysera två typer av lösande ekvationssystem:

1. Lösning av systemet genom substitutionsmetoden.
2. Lösning av systemet genom term-för-term addition (subtraktion) av systemets ekvationer.

För att lösa ekvationssystemet substitutionsmetod du måste följa en enkel algoritm:
1. Vi uttrycker. Från vilken ekvation som helst uttrycker vi en variabel.
2. Ersättare. Vi ersätter det resulterande värdet i en annan ekvation istället för den uttryckta variabeln.
3. Vi löser den resulterande ekvationen med en variabel. Vi hittar en lösning på systemet.

Att lösa system genom term-för-term addition (subtraktion) behöver:
1. Välj en variabel som vi ska göra samma koefficienter för.
2. Vi adderar eller subtraherar ekvationerna, som ett resultat får vi en ekvation med en variabel.
3. Vi löser den resulterande linjära ekvationen. Vi hittar en lösning på systemet.

Systemets lösning är skärningspunkterna för funktionens grafer.

Låt oss i detalj överväga lösningen av system med hjälp av exempel.

Exempel #1:

Låt oss lösa genom substitutionsmetoden

Lösa ekvationssystemet med substitutionsmetoden

2x+5y=1 (1 ekvation)
x-10y=3 (andra ekvationen)

1. Express
Man kan se att i den andra ekvationen finns en variabel x med koefficienten 1, därav visar det sig att det är lättast att uttrycka variabeln x från den andra ekvationen.
x=3+10y

2. Efter att ha uttryckt ersätter vi 3 + 10y i den första ekvationen istället för variabeln x.
2(3+10y)+5y=1

3. Vi löser den resulterande ekvationen med en variabel.
2(3+10y)+5y=1 (öppna parenteser)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Lösningen av ekvationssystemet är skärningspunkterna för graferna, därför måste vi hitta x och y, eftersom skärningspunkten består av x och y. Låt oss hitta x, i det första stycket där vi uttryckte ersätter vi y där.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Det är vanligt att skriva poäng i första hand, vi skriver variabeln x, och i andra hand variabeln y.
Svar: (1; -0,2)

Exempel #2:

Låt oss lösa med term-för-term addition (subtraktion).

Lösa ett ekvationssystem med additionsmetoden

3x-2y=1 (1 ekvation)
2x-3y=-10 (andra ekvationen)

1. Välj en variabel, låt oss säga att vi väljer x. I den första ekvationen har variabeln x koefficienten 3, i den andra - 2. Vi måste göra koefficienterna lika, för detta har vi rätt att multiplicera ekvationerna eller dividera med valfritt tal. Vi multiplicerar den första ekvationen med 2 och den andra med 3 och får en total koefficient på 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Subtrahera den andra från den första ekvationen för att bli av med variabeln x. Lös den linjära ekvationen.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Hitta x. Vi ersätter det hittade y i någon av ekvationerna, låt oss säga i den första ekvationen.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Skärningspunkten kommer att vara x=4,6; y=6,4
Svar: (4.6; 6.4)

Vill du förbereda dig för prov gratis? Handledare online är gratis. Ingen skojar.

Mål:

1. Att systematisera och generalisera kunskaper och färdigheter i ämnet: Lösningar av ekvationer av tredje och fjärde graden.
2. Att fördjupa kunskapen genom att utföra en rad uppgifter, varav några inte är bekanta vare sig i sin typ eller i sättet att lösa.
3. Bildande av intresse för matematik genom studier av nya kapitel i matematik, utbildning av grafisk kultur genom konstruktion av grafer av ekvationer.

Lektionstyp: kombinerat.

Utrustning: grafprojektor.

Synlighet: tabell "Vietas sats".

Under lektionerna

1. Mentalkonto

a) Vad är återstoden av divisionen av polynomet p n (x) \u003d a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0 med binomet x-a?

b) Hur många rötter kan en kubikekvation ha?

c) Med vilken hjälp löser vi ekvationerna för tredje och fjärde graden?

d) Om b är ett jämnt tal i andragradsekvationen, vad är då D och x 1; x 2

2. Självständigt arbete (i grupp)

Gör en ekvation om rötterna är kända (svar på uppgifter är kodade) Använd "Vieta-teorem"

1 grupp

Rötter: x 1 = 1; x 2 \u003d -2; x 3 \u003d -3; x 4 = 6

Skriv en ekvation:

B=1-2-3+6=2; b=-2

c=-2-3+6+6-12-18=-23; c= -23

d=6-12+36-18=12; d=-12

e=1(-2)(-3)6=36

x 4 -2 x 3 - 23 x 2 - 12 x + 36 = 0(denna ekvation löses sedan av grupp 2 på tavlan)

Lösning . Vi letar efter heltalsrötter bland divisorerna för talet 36.

p = ±1; ±2; ±3; ±4; ±6...

p 4 (1)=1-2-23-12+36=0 Talet 1 uppfyller ekvationen, därför är =1 roten till ekvationen. Horners plan

p3(x) = x3-x2-24x -36

p 3 (-2) \u003d -8 -4 +48 -36 \u003d 0, x 2 \u003d -2

p 2 (x) \u003d x 2 -3x -18 \u003d 0

x 3 \u003d -3, x 4 \u003d 6

Svar: 1; -2; -3; 6 summan av rötterna 2 (P)

2 grupp

Rötter: x 1 \u003d -1; x 2 = x 3 = 2; x 4 \u003d 5

Skriv en ekvation:

B=-1+2+2+5-8; b= -8

c=2(-1)+4+10-2-5+10=15; c=15

D=-4-10+20-10=-4; d=4

e=2(-1)2*5=-20; e=-20

8 + 15 + 4x-20 \u003d 0 (grupp 3 löser denna ekvation på tavlan)

p = ±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20.

p 4 (1)=1-8+15+4-20=-8

p 4 (-1)=1+8+15-4-20=0

p 3 (x) \u003d x 3 -9x 2 + 24x -20

p 3 (2) \u003d 8 -36 + 48 -20 \u003d 0

p 2 (x) \u003d x 2 -7x + 10 \u003d 0 x 1 \u003d 2; x 2 \u003d 5

Svar: -1;2;2;5 summan av rötter 8(P)

3 grupp

Rötter: x 1 \u003d -1; x2=1; x 3 \u003d -2; x 4 \u003d 3

Skriv en ekvation:

B=-1+1-2+3=1;b=-1

s=-1+2-3-2+3-6=-7, s=-7

D=2+6-3-6=-1; d=1

e=-1*1*(-2)*3=6

x 4 - x 3- 7x 2 + x + 6 = 0(denna ekvation löses senare på tavlan av grupp 4)

Lösning. Vi letar efter heltalsrötter bland divisorerna för talet 6.

p = ±1, ±2, ±3, ±6

p 4 (1)=1-1-7+1+6=0

p 3 (x) = x 3 - 7 x -6

p 3 (-1) \u003d -1 + 7-6 \u003d 0

p2(x) = x2-x-6=0; x 1 \u003d -2; x 2 \u003d 3

Svar: -1; 1; -2; 3 Summan av rötterna 1 (O)

4 grupp

Rötter: x 1 = -2; x 2 \u003d -2; x 3 \u003d -3; x 4 = -3

Skriv en ekvation:

B=-2-2-3+3=-4; b=4

c=4+6-6+6-6-9=-5; c=-5

D=-12+12+18+18=36; d=-36

e=-2*(-2)*(-3)*3=-36; e=-36

x 4+4x 3 - 5x 2 - 36x -36 = 0(denna ekvation löses sedan av grupp 5 på tavlan)

Lösning. Vi letar efter heltalsrötter bland divisorerna för talet -36

p = ±1; ±2; ±3...

p(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72

p 4 (-2) \u003d 16 -32 -20 + 72 -36 \u003d 0

p 3 (x) \u003d x 3 + 2x 2 -9x-18 \u003d 0

p 3 (-2) \u003d -8 + 8 + 18-18 \u003d 0

p2(x) = x2-9 = 0; x=±3

Svar: -2; -2; -3; 3 Summan av rötter-4 (F)

5 grupp

Rötter: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d -2; x 3 \u003d -3; x 4 = -4

Skriv en ekvation

x 4+ 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = 0(denna ekvation löses sedan av den 6:e gruppen på tavlan)

Lösning . Vi letar efter heltalsrötter bland divisorerna för talet 24.

p = ±1, ±2, ±3

p 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0

p 3 (x) \u003d x- 3 + 9x 2 + 26x + 24 \u003d 0

p 3 (-2) \u003d -8 + 36-52 + 24 \u003d O

p 2 (x) \u003d x 2 + 7x + 12 \u003d 0

Svar: -1; -2; -3; -4 summa-10 (I)

6 grupp

Rötter: x 1 = 1; x 2 = 1; x 3 \u003d -3; x 4 = 8

Skriv en ekvation

B=1+1-3+8=7; b=-7

c=1 -3+8-3+8-24= -13

D=-3-24+8-24=-43; d=43

x 4 - 7 x 3- 13x 2 + 43x - 24 = 0 (denna ekvation löses sedan av 1 grupp på tavlan)

Lösning . Vi letar efter heltalsrötter bland divisorerna för talet -24.

p 4 (1)=1-7-13+43-24=0

p 3 (1)=1-6-19+24=0

p 2 (x) \u003d x 2 -5x - 24 \u003d 0

x 3 \u003d -3, x 4 \u003d 8

Svar: 1; 1; -3; 8 summa 7 (L)

3. Lösning av ekvationer med en parameter

1. Lös ekvationen x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0; om en av rötterna är (-1)

Svara i stigande ordning

R=P3(-1)=-1+3-m-15=0

x 3 + 3x 2 -13x - 15 = 0; -1+3+13-15=0

Enligt villkor x 1 = - 1; D=1+15=16

P 2 (x) \u003d x 2 + 2x-15 \u003d 0

x 2 \u003d -1-4 \u003d -5;

x 3 \u003d -1 + 4 \u003d 3;

Svar: - 1; -5; 3

I stigande ordning: -5;-1;3. (b n s)

2. Hitta alla rötter till polynomet x 3 - 3x 2 + ax - 2a + 6, om resten av dess uppdelning i binomial x-1 och x + 2 är lika.

Lösning: R \u003d R 3 (1) \u003d R 3 (-2)

P 3 (1) \u003d 1-3 + a- 2a + 6 \u003d 4-a

P 3 (-2) \u003d -8-12-2a-2a + 6 \u003d -14-4a

x 3 -3x 2 -6x + 12 + 6 \u003d x 3 -3x 2 -6x + 18

x 2 (x-3)-6(x-3) = 0

(x-3)(x 2-6) = 0

Produkten av två faktorer är lika med noll om och endast om minst en av dessa faktorer är lika med noll, medan den andra är vettig.

2 grupp. Rötter: -3; -2; ett; 2;

3 grupp. Rötter: -1; 2; 6; tio;

4 grupp. Rötter: -3; 2; 2; 5;

5 grupp. Rötter: -5; -2; 2; fyra;

6 grupp. Rötter: -8; -2; 6; 7.

Vi erbjuder dig en bekväm gratis online-kalkylator för att lösa andragradsekvationer. Du kan snabbt få och förstå hur de löses med hjälp av begripliga exempel.
Att producera lösa andragradsekvationen online, ta först ekvationen till en allmän form:
ax2 + bx + c = 0
Fyll i formulärfälten i enlighet med detta:

Hur man löser en andragradsekvation

Så här löser du en andragradsekvation:	Rottyper:
1. Ta andragradsekvationen till en generell form: Allmän vy av Axe 2 +Bx+C=0 Exempel: 3x - 2x 2 +1=-1 Reducera till -2x 2 +3x+2=0 2. Vi hittar diskriminanten D. D=B2-4*A*C. I vårt exempel är D= 9-(4*(-2)*2)=9+16=25. 3. Vi hittar rötterna till ekvationen. x1 \u003d (-B + D 1/2) / 2A. För vårt fall x1=(-3+5)/(-4)=-0,5 x2=(-B-D 1/2)/2A. För vårt exempel x2=(-3-5)/(-4)=2 Om B är ett jämnt tal, är det bekvämare att beräkna diskriminanten och rötter med hjälp av formlerna: D \u003d K 2 -ac xl=(-K+D 1/2)/A x2 \u003d (-K-D 1/2) / A, Där K=B/2	1. Riktiga rötter. Och. x1 är inte lika med x2 Situationen uppstår när D>0 och A inte är lika med 0. 2. De verkliga rötterna är desamma. x1 är lika med x2 Situationen uppstår när D=0. Däremot får varken A, B eller C vara lika med 0. 3. Två komplexa rötter. xl=d+ei, x2=d-ei, där i=-(1) 1/2 Situationen uppstår när D 4. Ekvationen har en lösning. A=0, B och C är inte lika med noll. Ekvationen blir linjär. 5. Ekvationen har ett oändligt antal lösningar. A=0, B=0, C=0. 6. Ekvationen har inga lösningar. A=0, B=0, C är inte lika med 0.

För att konsolidera algoritmen, här är några fler belysande exempel på lösningar till andragradsekvationer.

Exempel 1. Lösning av en vanlig andragradsekvation med olika reella rötter.
x 2 + 3x -10 = 0
I denna ekvation
A=1, B=3, C=-10
D=B2 -4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
kvadratroten kommer att betecknas som talet 1/2!
x1 \u003d (-B + D 1/2) / 2A \u003d (-3 + 7) / 2 \u003d 2
x2 \u003d (-B-D 1/2) / 2A \u003d (-3-7) / 2 \u003d -5

För att kontrollera, låt oss ersätta:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x - 10 = x2 + 3x -10

Exempel 2. Lösa en andragradsekvation med samma reella rötter.
x 2 - 8x + 16 = 0
A=1, B=-8, C=16
D \u003d k 2 - AC \u003d 16 - 16 \u003d 0
X=-k/A=4

Ersättning
(x-4) * (x-4) \u003d (x-4) 2 \u003d X 2 - 8x + 16

Exempel 3. Lösning av en andragradsekvation med komplexa rötter.
13x 2 - 4x + 1 = 0
A=1, B=-4, C=9
D \u003d b 2 - 4AC \u003d 16 - 4 * 13 * 1 \u003d 16 - 52 \u003d -36
Diskriminanten är negativ – rötterna är komplexa.

X1 \u003d (-B + D 1/2) / 2A \u003d (4 + 6i) / (2 * 13) \u003d 2/13 + 3i / 13
x2 \u003d (-B-D 1/2) / 2A \u003d (4-6i) / (2 * 13) \u003d 2 / 13-3i / 13
, där I är kvadratroten av -1

Här är faktiskt alla möjliga fall för att lösa andragradsekvationer.
Vi hoppas att vår kalkylator online kommer att vara mycket användbar för dig.
Om materialet var till hjälp kan du

2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = 0

Först måste du använda urvalsmetoden för att hitta en rot. Det är vanligtvis divisor för den fria tiden. I det här fallet, talets dividerare 12 är ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Låt oss börja ersätta dem i tur och ordning:

1: 2 + 5 - 11 - 20 + 12 = -12 ⇒ tal 1

-1: 2 - 5 - 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ tal -1 är inte en rot till ett polynom

2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 - 11 ∙ 4 - 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ tal 2 är roten till polynomet

Vi har hittat 1 av polynomets rötter. Roten till polynomet är 2, vilket innebär att det ursprungliga polynomet måste vara delbart med x - 2. För att utföra divisionen av polynom använder vi Horners schema:

	2	5	-11	-20	12
2

Den översta raden innehåller koefficienterna för det ursprungliga polynomet. I den första cellen i den andra raden lägger vi roten vi hittade 2. Den andra raden innehåller koefficienterna för polynomet, som kommer att erhållas som ett resultat av division. De räknar så här:

2 5 -11 -20 12 2 2	Skriv numret i den andra cellen i den andra raden 2, helt enkelt genom att flytta den från motsvarande cell i den första raden.
2 5 -11 -20 12 2 2 9	2 ∙ 2 + 5 = 9
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7	2 ∙ 9 - 11 = 7
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6	2 ∙ 7 - 20 = -6
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0	2 ∙ (-6) + 12 = 0

Den sista siffran är resten av divisionen. Om det är lika med 0, så räknade vi allt korrekt.

2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(2x 3 + 9x 2 + 7x - 6)

Men detta är inte slutet. Du kan försöka expandera polynomet på samma sätt 2x 3 + 9x 2 + 7x - 6.

Återigen letar vi efter roten bland delarna av den fria termen. Nummerdelare -6 är ±1, ±2, ±3, ±6.

1: 2 + 9 + 7 - 6 = 12 ⇒ tal 1 är inte en rot till ett polynom

-1: -2 + 9 - 7 - 6 = -6 ⇒ tal -1 är inte en rot till ett polynom

2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 - 6 = 60 ⇒ tal 2 är inte en rot till ett polynom

-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) - 6 = 0 ⇒ tal -2 är roten till polynomet

Låt oss skriva in den hittade roten i vårt Horner-schema och börja fylla i de tomma cellerna:

2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2	Skriv numret i den andra cellen i den tredje raden 2, helt enkelt genom att flytta den från motsvarande cell i den andra raden.
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5	-2 ∙ 2 + 9 = 5
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3	-2 ∙ 5 + 7 = -3
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0	-2 ∙ (-3) - 6 = 0

Således faktoriserade vi det ursprungliga polynomet:

2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(2x 2 + 5x - 3)

Polynom 2x 2 + 5x - 3 kan också beaktas. För att göra detta kan du lösa andragradsekvationen genom diskriminanten, eller så kan du leta efter roten bland talets divisorer -3. På ett eller annat sätt kommer vi till slutsatsen att roten till detta polynom är talet -3

2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0 -3 2	Skriv numret i den andra cellen på den fjärde raden 2, helt enkelt genom att överföra den från motsvarande cell i den tredje raden.
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0 -3 2 -1	-3 ∙ 2 + 5 = -1
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0 -3 2 -1 0	-3 ∙ (-1) - 3 = 0

Således dekomponerade vi det ursprungliga polynomet i linjära faktorer:

2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(x + 3)(2x - 1)

Och rötterna till ekvationen är.