Vad är alla intilliggande vinklar lika med? Hur hittar jag ett intilliggande hörn? Sambandet mellan matematik och musik

Geometri är en mycket mångfacetterad vetenskap. Hon utvecklar logik, fantasi och intelligens. Naturligtvis, på grund av dess komplexitet och ett stort antal teorem och axiom, gillar skolbarn det inte alltid. Dessutom finns det ett behov av att ständigt bevisa dina slutsatser med hjälp av allmänt accepterade standarder och regler.

Intilliggande och vertikala hörn är integrerade med geometrin. Säkert avgudar många skolbarn dem helt enkelt av den anledningen att deras egenskaper är tydliga och lätta att bevisa.

Formar hörn

Vilken vinkel som helst bildas genom skärningen av två räta linjer eller genom att rita två strålar från en punkt. De kan kallas antingen en bokstav eller tre, som i följd betecknar hörnets konstruktionspunkter.

Vinklar mäts i grader och kan (beroende på deras värde) kallas olika. Så det finns en rät vinkel, spetsig, trubbig och ovikt. Vart och ett av namnen motsvarar ett visst gradmått eller dess intervall.

En vinkel kallas spets, vars mått inte överstiger 90 grader.

En trubbig vinkel är mer än 90 grader.

En vinkel kallas rätt när dess gradmått är 90.

I fallet när den bildas av en heldragen linje, och dess gradmått är 180, kallas det ovikt.

Vinklar som har en gemensam sida, vars andra sida fortsätter varandra, kallas angränsande. De kan vara antingen vassa eller trubbiga. En linjeskärning bildar angränsande hörn. Deras egenskaper är följande:

1. Summan av dessa vinklar kommer att vara lika med 180 grader (det finns en sats som bevisar detta). Därför kan en av dem lätt beräknas om den andra är känd.
2. Av den första punkten följer att intilliggande hörn inte kan bildas av två trubbiga eller två spetsiga hörn.

Tack vare dessa egenskaper kan du alltid beräkna gradmåttet för en vinkel, med värdet av en annan vinkel, eller åtminstone förhållandet mellan dem.

Vertikala hörn

Vinklar, vars sidor är en fortsättning på varandra, kallas vertikala. Vilken som helst av deras sorter kan fungera som ett sådant par. De vertikala vinklarna är alltid lika med varandra.

De bildas i skärningspunkten mellan raka linjer. Intilliggande hörn är alltid närvarande tillsammans med dem. En vinkel kan samtidigt vara intill den ena och vertikal till den andra.

När man korsar en godtycklig linje övervägs även flera fler typer av vinklar. En sådan linje kallas sekant, och den bildar motsvarande, ensidiga och kors-korsande vinklar. De är lika. De kan ses i ljuset av de egenskaper som vertikala och angränsande vinklar har.

Därför verkar ämnet vinklar vara ganska enkelt och okomplicerat. Alla deras egenskaper är lätta att komma ihåg och bevisa. Att lösa problem är inte svårt så länge vinklarna motsvarar ett numeriskt värde. Redan vidare, när studiet av synd och cos börjar, måste du memorera många komplexa formler, deras slutsatser och konsekvenser. Fram till dess kan du bara njuta av enkla uppgifter där du behöver hitta intilliggande hörn.

Vinklar där en sida är gemensam och de andra sidorna ligger på en rät linje (i figuren ligger vinklarna 1 och 2 intill). Ris. till art. Intilliggande hörn... Stor sovjetisk uppslagsbok

KONTINUERLIGA HÖRN- vinklar som har en gemensam vertex och en gemensam sida, och deras andra två sidor ligger på samma räta linje ... Big Polytechnic Encyclopedia

Se vinkel... Stor encyklopedisk ordbok

INSTÄLLANDE VINKLAR, två vinklar som summerar till 180°. Vart och ett av dessa hörn kompletterar det andra till en platt vinkel ... Vetenskaplig och teknisk encyklopedisk ordbok

Se Vinkel. * * * INSTÄLLANDE HÖRN INSTÄLLANDE VINKLAR, se Vinkel (se VINKEL) ... encyklopedisk ordbok

- (vinklar intill) är de som har en gemensam vertex och en gemensam sida. Övervägande betyder detta namn sådana S. vinklar, av vilka de andra två sidorna ligger i motsatta riktningar av en rät linje dragen genom vertexet ... Encyclopedic Dictionary of F.A. Brockhaus och I.A. Efron

Se vinkel... Naturvetenskap. encyklopedisk ordbok

De två linjerna skär varandra och skapar ett par vertikala hörn. Det ena paret består av vinklarna A och B, det andra av C och D. Inom geometri kallas två vinklar vertikala om de skapas genom skärningspunkten mellan två ... Wikipedia

Ett par komplementära vinklar som kompletterar varandra upp till 90 grader Komplementära vinklar är ett par vinklar som kompletterar varandra upp till 90 grader. Om två komplementära hörn är intill varandra (dvs. har en gemensam vertex och endast är åtskilda ... ... Wikipedia

Ett par komplementära vinklar som kompletterar varandra upp till 90 grader Komplementära vinklar är ett par vinklar som kompletterar varandra upp till 90 grader. Om två kompletterande hörn är från ... Wikipedia

Böcker

• Om bevis i geometri, Fetisov AI .. En gång, i början av läsåret, var jag tvungen att höra ett samtal mellan två tjejer. Den äldsta av dem flyttade till sjätte klass, den yngsta till femma. Flickorna delade med sig av sina intryck av lektionerna, ...
• Geometri. 7 grader. Komplex anteckningsbok för kunskapskontroll, I. S. Markova, S. P. Babenko. Manualen presenterar styr- och mätmaterial (CMM) på geometri för den aktuella, tematiska och slutliga kontrollen av kunskapskvaliteten hos elever i 7:e klass. Innehållet i manualen...

Varje vinkel, beroende på dess storlek, har sitt eget namn:

Vinkelvy	Storlek i grader	Exempel
Kryddad	Mindre än 90°
Hetero	Lika med 90°. På ritningen betecknas en rät vinkel vanligtvis med en symbol som ritas från ena sidan av hörnet till den andra.
Dum	Mer än 90° men mindre än 180°
Utvikt	Lika 180° En platt vinkel är lika med summan av två räta vinklar och en rät vinkel är hälften av en platt vinkel.
Konvex	Mer än 180 ° men mindre än 360 °
Full	Lika med 360°

De två hörnen kallas intilliggande om de har en sida gemensam och de andra två sidorna bildar en rak linje:

Hörn MOPP och PON angränsande sedan strålen OP- gemensamma sidan och de andra två sidorna - OM och PÅ gör upp en rak linje.

Den gemensamma sidan av intilliggande hörn kallas lutande mot en rak linje, på vilka två andra sidor ligga, endast om de intilliggande vinklarna inte är lika med varandra. Om angränsande vinklar är lika, kommer deras gemensamma sida att vara det vinkelrät.

Summan av intilliggande vinklar är 180°.

De två hörnen kallas vertikal om sidorna av ett hörn kompletterar sidorna av det andra hörnet till raka linjer:

Hörn 1 och 3 samt hörn 2 och 4 är vertikala.

De vertikala vinklarna är lika.

Låt oss bevisa att de vertikala vinklarna är lika:

Summan av ∠1 och ∠2 är den utvikta vinkeln. Och summan av ∠3 och ∠2 är den utvikta vinkeln. Därför är dessa två summor lika:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

I denna jämlikhet har vänster och höger samma term - ∠2. Jämställdheten kränks inte om denna term till vänster och höger utelämnas. Då får vi.

Vad är ett intilliggande hörn

InjektionÄr en geometrisk figur (fig. 1) bildad av två strålar OA och OB (sidorna av hörnet), som utgår från en punkt O (vinkelns spets).

KONTINUERLIGA HÖRN- två vinklar, vars summa är 180°. Vart och ett av dessa hörn kompletterar det andra till ett tillplattat hörn.

Intilliggande hörn- (Agles adjacets) är de som har en gemensam vertex och en gemensam sida. Övervägande under detta namn menas sådana vinklar, som de två andra sidorna ligga i motsatta riktningar av en rät linje genomdragen.

Två hörn kallas angränsande om de har en sida gemensam, och de andra sidorna av dessa hörn är ytterligare halvlinjer.

ris. 2

I figur 2 ligger vinklarna alb och a2b intill varandra. De har en gemensam sida b, och sidorna a1, a2 är ytterligare halvlinjer.

ris. 3

Figur 3 visar linje AB, punkt C ligger mellan punkterna A och B. Punkt D är en punkt som inte ligger på linje AB. Det visar sig att hörnen BCD och ACD ligger intill. De har en gemensam sido-CD, och sidorna CA och CB är ytterligare halvlinjer av den räta linjen AB, eftersom punkterna A, B är åtskilda av startpunkten C.

Intilliggande vinkelsats

Sats: summan av intilliggande vinklar är 180°

Bevis:
Vinklarna a1b och a2b är intill varandra (se fig. 2) Balken b passerar mellan sidorna a1 och a2 av den förlängda vinkeln. Därför är summan av vinklarna a1b och a2b lika med den utvikta vinkeln, det vill säga 180°. Teoremet är bevisat.

En vinkel lika med 90° kallas rät vinkel. Av satsen om summan av intilliggande vinklar följer att en vinkel intill en rät vinkel också är en rät vinkel. En vinkel mindre än 90° kallas spetsig och en vinkel större än 90° kallas trubbig. Eftersom summan av intilliggande vinklar är 180°, är vinkeln intill en spetsig vinkel en trubbig vinkel. Och en vinkel intill en trubbig vinkel är en spetsig vinkel.

Intilliggande hörn- två hörn med en gemensam vertex, vars ena sidor är gemensam, och de återstående sidorna ligger på en rak linje (inte sammanfallande). Summan av intilliggande vinklar är 180°.

Definition 1. En vinkel är den del av planet som begränsas av två strålar med ett gemensamt ursprung.

Definition 1.1. En vinkel är en figur som består av en punkt - vinkelns spets - och två olika halvlinjer som utgår från denna punkt - vinkelns sidor.
Till exempel, VOS-vinkeln i Fig. 1 Betrakta de två första skärande räta linjerna. Raka linjer bildar hörn när de skär varandra. Det finns speciella fall:

Definition 2. Om hörnets sidor är ytterligare halvlinjer av en rak linje, kallas vinkeln ovikt.

Definition 3. En rät vinkel är en vinkel på 90 grader.

Definition 4. En vinkel mindre än 90 grader kallas spetsig vinkel.

Definition 5. En vinkel större än 90 grader och mindre än 180 grader kallas trubbig vinkel.
korsande räta linjer.

Definition 6. Två hörn, vars ena sida är gemensam, och de andra sidorna ligger på en rak linje, kallas intilliggande.

Definition 7. Vinklar vars sidor sträcker ut varandra kallas vertikala vinklar.
Figur 1:
intill: 1 och 2; 2 och 3; 3 och 4; 4 och 1
vertikal: 1 och 3; 2 och 4
Sats 1. Summan av intilliggande vinklar är 180 grader.
För bevis, överväg i fig. 4 angränsande hörn AOB och BIM. Deras summa är den utplacerade vinkelns AOC. Därför är summan av dessa intilliggande vinklar 180 grader.

ris. 4

Sambandet mellan matematik och musik

"När jag tänkte på konst och vetenskap, på deras ömsesidiga kopplingar och motsägelser, kom jag till slutsatsen att matematik och musik är på den mänskliga andens yttersta poler, att dessa två antipoder begränsar och bestämmer all kreativ andlig aktivitet hos en person och att allt ligger mellan dem, vad mänskligheten har skapat inom vetenskap och konst."
G. Neuhaus
Det verkar som att konst är ett mycket abstrakt område från matematiken. Sambandet mellan matematik och musik bestäms dock både historiskt och internt, trots att matematik är den mest abstrakta av vetenskaperna, och musik är den mest abstrakta konstformen.
Konsonans definierar ljudet av en sträng som är tilltalande för örat
Detta musiksystem var baserat på två lagar som bär namnen på två stora vetenskapsmän - Pythagoras och Archytas. Dessa lagar är:
1. Två klingande strängar bestämmer konsonans om deras längder är relaterade till heltal som bildar ett triangulärt tal 10 = 1 + 2 + 3 + 4, dvs. som 1:2, 2:3, 3:4. Ju mindre talet n är i förhållande till n: (n + 1) (n = 1,2,3), desto mer konsonant blir det resulterande intervallet.
2. Den klingande strängens oscillationsfrekvens w är omvänt proportionell mot dess längd l.
w = a: l,
där a är en koefficient som kännetecknar strängens fysiska egenskaper.

Jag kommer också att erbjuda dig en rolig parodi om en tvist mellan två matematiker =)

Geometri omkring oss

Geometri är av stor betydelse i vårt liv. På grund av det faktum att när du ser dig omkring kommer det inte att vara svårt att märka att vi är omgivna av olika geometriska former. Vi möter dem överallt: på gatan, i klassrummet, hemma, i parken, på gymmet, i skolans cafeterian, i princip, var vi än är. Men ämnet för dagens lektion är relaterade kol. Så låt oss se oss omkring och försöka hitta hörn i den här miljön. Tittar man noga ut genom fönstret kan man se att några av trädgrenarna bildar intilliggande hörn och i skiljeväggarna på porten kan man se många vertikala hörn. Ge dina exempel på närliggande hörn som du ser i din miljö.

Övning 1.

1. Här är en bok på ett bord på ett bokställ. Vilken vinkel bildar den?
2. Men studenten arbetar på en bärbar dator. Vilken vinkel ser du här?
3. Vilken vinkel har fotoramen på stativet?
4. Tror du att det är möjligt att två intilliggande hörn är lika?

Uppgift 2.

Framför dig är en geometrisk figur. Vad är den här figuren, namnge den? Namnge nu alla intilliggande hörn du kan se på denna geometriska form.

Uppgift 3.

Här är en bild på en teckning och en målning. Beakta dem noga och berätta för mig vilka typer av fångster du ser på bilden och vilka vinklar på bilden.

Lösa problem

1) Två vinklar ges, relaterade till varandra som 1:2, och intill dem som 7:5. Du måste hitta dessa vinklar.
2) Det är känt att en av de intilliggande vinklarna är 4 gånger större än den andra. Vilka är de intilliggande vinklarna?
3) Det är nödvändigt att hitta intilliggande vinklar, förutsatt att en av dem är 10 grader större från den andra.

Matematisk diktering om upprepning av tidigare inlärt material

1) Slutför ritningen: raka linjer a I b skär i punkt A. Markera det minsta av de formade hörnen med siffran 1 och de återstående hörnen - i tur och ordning med siffrorna 2,3,4; de komplementära strålarna av den räta linjen a till a1 och a2, och den räta linjen b genom b1 i b2.
2) Använd den färdiga bilden, ange önskade värden och förklaringar i mellanrummen i luckorna i texten:
a) vinkel 1 och vinkel…. intill eftersom...
b) vinkel 1 och vinkel…. vertikal eftersom ...
c) om vinkel 1 = 60 °, då vinkel 2 = ..., eftersom ...
d) om vinkel 1 = 60 °, då vinkel 3 = ..., eftersom ...

Lös uppgifterna:

1. Kan summan av 3 vinklar som bildas vid skärningspunkten mellan 2 linjer vara lika med 100°? 370°?
2. På bilden hittar du alla par av intilliggande hörn. Och nu de vertikala hörnen. Namnge dessa hörn.

3. Det är nödvändigt att hitta en vinkel när den är tre gånger större än den som gränsar till den.
4. Två raka linjer korsade varandra. Som ett resultat av denna korsning bildades fyra hörn. Bestäm värdet på någon av dem, förutsatt att:

a) summan av 2 vinklar av fyra 84°;
b) skillnaden mellan 2 vinklar av dem är lika med 45 °;
c) en vinkel är 4 gånger mindre än den andra;
d) summan av tre av dessa vinklar är 290°.

Lektionssammanfattning

1. Vilka vinklar bildas vid skärningspunkten mellan 2 linjer?
2. Namnge alla möjliga par av vinklar i bilden och definiera deras utseende.

Läxa:

1. Hitta förhållandet mellan gradmåtten för intilliggande vinklar när en av dem är 54 ° större än den andra.
2. Hitta de vinklar som bildas i skärningspunkten mellan 2 räta linjer, förutsatt att en av vinklarna är lika med summan av 2 andra vinklar intill den.
3. Det är nödvändigt att hitta intilliggande vinklar när bisekturen för en av dem gör en vinkel med sidan av den andra, som är 60 ° större än den andra vinkeln.
4. Skillnaden mellan 2 angränsande vinklar är lika med en tredjedel av summan av dessa två vinklar. Bestäm värdena för 2 intilliggande hörn.
5. Skillnaden och summan av 2 intilliggande vinklar är relaterade till 1:5, respektive. Hitta intilliggande hörn.
6. Skillnaden mellan två intilliggande är 25 % av deras belopp. Hur hänger magnituden av 2 angränsande vinklar ihop? Bestäm värdena för 2 intilliggande hörn.

Frågor:

1. Vad är en vinkel?
2. Vilka typer av vinklar finns det?
3. Vad är speciellt med intilliggande hörn?

Ämnen> Matematik> Årskurs 7 Matematik

KAPITEL I.

GRUNDLÄGGANDE KONCEPT.

§elva. INSTÄNDANDE OCH VERTIKALA VINKLAR.

1. Intilliggande hörn.

Om vi ​​förlänger sidan av något hörn utanför dess vertex får vi två hörn (bild 72): / En BC och / CBD, där en sida av BC är gemensam, och de andra två AB och BD är i en rak linje.

Två hörn där en sida är gemensam och de andra två bildar en rak linje kallas intilliggande hörn.

Närliggande vinklar kan erhållas på detta sätt: om vi ritar en stråle från någon punkt på en rät linje (som inte ligger på denna räta linje), så får vi intilliggande vinklar.
Till exempel, / ADF och / FDВ - intilliggande hörn (Fig. 73).

Intilliggande hörn kan ha många olika positioner (bild 74).

Intilliggande vinklar summerar till en platt vinkel, så med umma av två intilliggande hörn är 2d.

Härifrån kan en rät vinkel definieras som en vinkel lika med dess intilliggande vinkel.

Genom att känna till storleken på en av de intilliggande vinklarna kan vi hitta storleken på den andra intilliggande vinkeln.

Till exempel, om ett av de intilliggande hörnen är 3/5 d, då blir den andra vinkeln:

2d- 3 / 5 d= l 2/5 d.

2. Vertikala vinklar.

Om vi ​​förlänger hörnets sidor utanför dess vertex får vi vertikala hörn. På ritning 75 är vinklarna EOF och AOC vertikala; vinklarna AOE och COF är också vertikala.

Två hörn sägs vara vertikala om sidorna av ett hörn är förlängningar av sidorna av det andra hörnet.

Låt vara / 1 = 7 / 8 d(Fig. 76). Intill honom / 2 blir lika med 2 d- 7 / 8 d dvs 1 1/8 d.

På samma sätt kan du räkna ut vad som är / 3 och / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(Fig. 77).

Vi ser det / 1 = / 3 och / 2 = / 4.

Du kan lösa flera fler av samma problem, och varje gång får du samma resultat: de vertikala vinklarna är lika med varandra.

Men för att säkerställa att de vertikala vinklarna alltid är lika med varandra räcker det inte att ta hänsyn till enskilda sifferexempel, eftersom slutsatser som dras från vissa exempel ibland kan vara felaktiga.

Det är nödvändigt att verifiera giltigheten av egenskapen vertikala vinklar genom resonemang, som bevis.

Beviset kan utföras enligt följande (bild 78):

/ ett +/ c = 2d;
/ b +/ c = 2d;

(eftersom summan av intilliggande vinklar är 2 d).

/ ett +/ c = / b +/ c

(eftersom den vänstra sidan av denna likhet är 2 d, och dess högra sida är också lika med 2 d).

Denna jämlikhet omfattar samma vinkel med.

Om vi ​​subtraherar lika från lika värden, kommer det att förbli lika. Resultatet blir: / a = / b, det vill säga de vertikala vinklarna är lika med varandra.

När vi övervägde frågan om vertikala vinklar förklarade vi först vilka vinklar som kallas vertikala, det vill säga givna definition vertikala hörn.

Sedan uttryckte vi en bedömning (påstående) om jämlikheten mellan vertikala vinklar och vi var övertygade om giltigheten av denna dom genom bevis. Sådana domar, vars giltighet måste bevisas, kallas satser... I detta avsnitt har vi alltså gett en definition av vertikala vinklar och även uttryckt och bevisat en sats om deras egenskap.

I framtiden, när vi studerar geometri, kommer vi ständigt att behöva stöta på definitioner och bevis på teorem.

3. Summan av de vinklar som har en gemensam vertex.

Ritning 79 / 1, / 2, / 3 och / 4 är belägna på ena sidan av en rät linje och har en gemensam vertex på denna räta linje. Totalt utgör dessa vinklar den förlängda vinkeln, d.v.s.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d.

Ritning 80 / 1, / 2, / 3, / 4 och / 5 har en gemensam topp. Tillsammans utgör dessa vinklar hela vinkeln, d.v.s. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.

Övningar.

1. En av de intilliggande vinklarna är 0,72 d. Beräkna vinkeln som utgörs av halveringslinjerna för dessa intilliggande vinklar.

2. Bevisa att halvledarna för två intilliggande vinklar bildar en rät vinkel.

3. Bevisa att om två vinklar är lika, så är deras intilliggande vinklar också lika.

4. Hur många par intilliggande hörn finns på ritning 81?

5. Kan ett par intilliggande hörn bestå av två vassa hörn? från två trubbiga hörn? från rätt och trubbig vinkel? från rät och spetsig vinkel?

6. Om en av de intilliggande vinklarna är rak, vad kan du då säga om värdet på den intilliggande vinkeln?

7. Om i skärningspunkten mellan två räta linjer ett hörn av en rät linje, vad kan du då säga om värdet av de andra tre vinklarna?