Matematiska olympiader och olympiadproblem

Mål 1:

Hitta alla trippel av icke-nolltal a, b och c som bildar en aritmetisk progression och sådana att du från siffror också kan göra en aritmetisk progression.

Lösning: Genom egenskapen för den aritmetiska progressionen har vi a + c = 2b och en av följande ekvationer

Det första fallet leder till ekvationen b² = 2ac, som inte har några lösningar för a + c = 2b; de andra två leder till samma svar: alla trippel av formen - 2t, - 0,5t, t, där t ≠ 0.

Svar: - 2t, - 0,5t och t vid t ≠ 0.

Mål 2:

Hitta tripplar av talen a, b och c, som är fempotenser med icke-negativa heltal, så att genom att tillskriva decimalrepresentationen av en av dem till decimalrepresentationen av den andra, får vi det tredje talet.

Lösning: Låt a = 5 n, b = 5 m, c = 5 k och i talet b, exakt t decimaler. Vi har ekvationen: 5 n • 10 t + 5 m = 5 k. Uppenbarligen, m< k. Сократив уравнение на 5 в наибольшей степени, получим либо 2 t + 5 m - n - t = 5 k - t , либо 5 n - m + t • 2 t + 1 = 5 k - m . Первое уравнение имеет единственное решение в целых числах t = 2, m - n - t = 0, k - t = 1, откуда b = 25, m = 2, n = 0, k = 3 и искомые числа - 1, 25, 125. Второе уравнение выполняется только при n - m + t = 0, что приводит к предыдущему случаю.

Svar: 1, 25 och 125.

Mål 3:

Nollor skrivs vid hörn och skärningspunkter för diagonalerna i en vanlig femhörning. I ett drag är det tillåtet att lägga till + 1 eller - 1 samtidigt till alla tal som finns på någon av femhörningens diagonaler. Vilka av de femhörningar som anges i figurerna kan erhållas efter flera drag?

0,5 mm em: linjebredd 0,4 pt 0,4 pt

((Föreslagen av S.E. Nokhrin.))

Lösning: Låt oss numrera femhörningens diagonaler med siffror från 1 till 5, och låt x i vara antalet enheter som adderas till den i:te diagonalen. Talet vid valfri vertex (diagonalernas skärningspunkt) är lika med summan av talen x i över allt i så att den i:te diagonalen passerar genom denna vertex (diagonalernas skärningspunkt). Vi har ett system med tio ekvationer med fem okända, vilket visar sig vara inkonsekvent i alla fall som visas i figurerna.

Svar: ingen femhörning kan erhållas.

Uppgift 4:

I en spetsvinklad triangel ABC ritas höjderna: AH, BK och CL. Hitta omkretsen för triangeln HKL om höjden AH = h och vinkeln ∠ BAC = α är kända.

((Föreslagen av V.N. Ushakov.))

Lösning: Linjerna KL, KH och HL (se fig.) Skär av trianglar liknande ∆ ABC från ∆ ABC. Faktum är att ∆ CHA ∽ ∆ CKB enligt I-kriteriet för likhet mellan trianglar (2 lika vinklar). Härifrån. Men då ∆ KHC ∽ ∆ BAC enligt II-tecknet för likhet av trianglar (proportionalitet av sidorna och likhet mellan vinklarna mellan dessa sidor). Det kan på liknande sätt bevisas att ∆ AKL ∽ ∆ ABC och ∆ BHL ∽ ∆ ABC. Så vi har ∠ HLB = ∠ ALK = ∠ C, ∠ AKL = ∠ CKH = ∠ B. Då ligger punkterna H ′ och H ″, symmetriska med punkten H med avseende på linjerna AB respektive AC, på linjen KL. Ja, ∠ HLB = ∠ H′LB (eftersom ∆ HLO ′ = ∆ H′LO ′), men ∠ HLB = ∠ ALK, därav ∠ ALK = ∠ H′LB, och därmed punkterna K, L, H ∠ en rak linje. Det kan på liknande sätt bevisas att H″, K, L är kolinjära. Segmentet H ″ H ′ är lika med omkretsen ∆ KLH (KH = KH ″ och LH = LH ′). Betrakta nu ∆ H ″ AH ′. Den är likbent pga AH ′ = AH = AH ", och ∠ H ″ AH ′ = 2 • (∠ CAH + ∠ BAH) = \ = 2 α. Därför H ″ H ′ = 2AH ′ sin \, α. Således är omkretsen av ∆ KLH är 2h sin \, α.

1. Lös sifferpusslet.

2. Ignat är nu fyra gånger äldre än hans syster var när hon var halva hans ålder. Hur gammal är Ignat nu, om han och hans syster om 15 år ska vara tillsammans i 100 år?

3. Barn i par lämnar skogen där de samlat nötter. I varje par finns det en pojke och en flicka, och pojken har antingen dubbelt så många eller hälften så många nötter som flickan. Kan det vara så att de alla har 2011 nötter?

4. Skär rektangeln med sidorna 4 och 9 i minsta antal bitar så att det blir en kvadrat.

5. På ön O finns det riddare som alltid säger sanningen, och lögnare som alltid ljuger. Resenären träffade två infödda - A och B. Infödd A sa frasen:

Åtminstone en av oss (A eller B) är en lögnare.

Kan du säga vem A är och vem B är (en riddare eller en lögnare)?

Olympiad uppgifter kommunal scen matematik

1. Hitta alla sådana tresiffriga tal att summan av siffrorna i numret är 11 gånger mindre än själva talet https://pandia.ru/text/78/035/images/image003_105.gif "width =" 27 "height =" 17 "> kvadratiska punkter tas så att den räta linjen korsar sidan vid punkten, den räta linjen korsar sidan vid punkten och https://pandia.ru/text/78/035/images/image013_32 .gif "bredd =" 104 "höjd =" 21 ">.

https://pandia.ru/text/78/035/images/image015_30.gif "width =" 96 "height =" 24 ">

5. Vid inspektionen av trupperna på ön av lögnare och riddare (lögnare ljuger alltid, riddare säger alltid sanningen), ställde ledaren upp alla krigarna. Var och en av soldaterna i raden sa: "Mina grannar i raden är lögnare." (Krigarna i ändarna av raden sa: "Min granne i linjen är en lögnare.") Vilket är det största antalet riddare i en linje om 2011 års soldater var utställda?

Olympiad uppgifter kommunal scen Allryska Olympiaden för skolbarn matematik

1. Vasya skrev flera heltal på tavlan. Petya signerade sin ruta under vart och ett av Vasyas nummer. Sedan la Masha ihop alla siffror på tavlan och fick 2011. Bevisa att en av killarna hade fel.

2. Kooperativet tar emot äppel- och druvjuice i samma burkar och producerar en äppel-druvdryck i samma burkar. En burk äppeljuice räcker till exakt 6 burkar dryck, och en burk druvjuice är exakt 10. När receptet på drycken ändrades räckte en burk äppeljuice till exakt 5 burkar dryck. Hur många burkar dryck räcker till en burk druvjuice nu? (Drycken kan inte spädas ut med vatten.)

3..gif "width =" 43 "height =" 21 src = ">. Gif" width = "64" height = "21 src =">. Gif "width =" 37 "height =" 19 src = "> likbent.

4. Bevisa att för alla positiva https://pandia.ru/text/78/035/images/image023_20.gif "width =" 13 "height =" 15 "> är skillnaden mellan rötterna i ekvationen 3?

3. Givet NS punkter, varav inte fyra tillhör samma plan. Hur många plan kan dras genom de olika trillingarna av dessa punkter?

4..gif "width =" 12 "height =" 15 src = ">, bildar en aritmetisk progression och så att siffrorna och också kan användas för att göra en aritmetisk progression.

5. Parallellogrammets diagonaler möts vid en punkt. Låt och vara skärningspunkterna för cirklarna, varav en går genom punkterna https://pandia.ru/text/78/035/images/image031_14.gif "width =" 16 "height =" 17 src = "> , och den andra genom och https://pandia.ru/text/78/035/images/image002_138.gif "width =" 19 "height =" 19 "> om punkten ligger på linjeavsnittet och inte sammanfaller med dess ändar.

Olympiad uppgifterkommunal scen matematik

7 grader

Åtminstone en av oss (A eller B) är en lögnare.

Kan du säga vem A är och vem B är (en riddare eller en lögnare)?

Olympiad uppgifterkommunal scenAllryska Olympiaden för skolbarn matematik

8: e klass

Olympiad uppgifterkommunal scenAllryska Olympiaden för skolbarn matematik

Årskurs 9

1. Vilka femsiffriga nummer är fler: de med siffror i strikt stigande ordning, eller de med siffror i strikt fallande ordning? (Till exempel inkluderar den första gruppen 12 459, men exkluderar 12 495 och 12 259).

Olympiad uppgifterkommunal scenAllryska Olympiaden för skolbarn matematik

Årskurs 10

1. Siffror från 21 till 30 skrivs i rad. Är det möjligt att placera tecknen "+" och "-" mellan dem så att värdet på det resulterande uttrycket var lika med noll?
2. Till vilka värdenskillnaden mellan ekvationens rötterär lika med 3?
3. Givet n punkter, varav inte fyra tillhör samma plan. Hur många plan kan dras genom de olika trillingarna av dessa punkter?
4. Hitta alla trippel av icke-nolltal och bildar en aritmetisk progression och sådan att talen och du kan också göra en aritmetisk progression.
5. Parallelogram diagonalerskära vid punkten... Låt dig - skärningspunkter för cirklar, varav en går genom punkterna och, och den andra genom och ... Hitta punkternas plats om punkt ligger på segmentetoch sammanfaller inte med dess ändar.

Olympiad uppgifterkommunal scenAllryska Olympiaden för skolbarn matematik

Årskurs 11

1. Vad är det minsta naturligaär det delbart med 770?
2. Bevisa att om, sedan ekvationen
3. Hitta om; ; ,,.
4. I basen av en vanlig pyramid finns en polygon med ett udda antal sidor. Är det möjligt att arrangera pilar på kanterna av denna pyramid (en på varje kant) så att summan av de erhållna vektorerna är lika med?

1. Det är 20 elever i klassen. Var och en är vän med minst 10 andra. Bevisa att det i den här klassen är möjligt att välja två treor av elever så att varje elev från en trippel är vän med vilken elev som helst från den andra trippeln.

Förhandsvisning:

Betyg 7 (lösningar och svar)

Svar och lösningar på problemkommunal scenAllryska Olympiaden för skolbarn matematik

1. Svar: 2222 – 999 + 11 – 0 = 1234.
2. Svar: 40 år gammal.

Lösning: Låt oss använda tabellen för att lösa problemet.

Ekvationen: ... Nu är Ignat 40 år.

1. Svar: det kunde det inte.

Lösning: Observera att antalet nötter för varje par barn är delbart med 3. Det betyder att det totala antalet nötter måste vara delbart med 3. 2011 är dock inte delbart med 3.

1. Lösning:

1. Svar: A är en riddare, B är en lögnare.

Lösning: Om A är en lögnare, så är hans uttalande falskt, d.v.s. båda måste vara riddare. Motsägelse. Så A är en riddare. Då är hans uttalande sant och B är en lögnare.

Betyg 8 (lösningar och svar)

Svar och lösningar på problemkommunal scenAllryska Olympiaden för skolbarn matematik

1. Svar: 198.

Lösning: Tresiffrigt nummerkan skrivas som... Från tillståndet följer det ... Till höger finns ett tvåsiffrigt (ensiffrigt, om c = 0) tal, som är delbart med 89, vilket betyder... Men då

1. Svar: del av en cirkel med en diameter OP

Lösning: Låt O - mitten av denna cirkel, M - ackordets mittpunkt avskuren från cirkeln av den räta linjen som går genom punkten P. Då PMO = 90 o ... Därför är den önskade uppsättningen en del av en cirkel med en diameter OP ligger innanför den givna cirkeln.

Lösning: Villkoret innebär att trianglarna är lika), var ... Förutom, ... Därför trianglarnaär lika, och därför.

1. Svar: 31 11 14

Lösning:

1. Svar: 1006 riddare

Lösning: Observera att de två krigarna som stod bredvid varandra inte kunde vara riddare. Ja, om de båda var riddare, skulle de båda ljuga. Välj krigaren till vänster och dela upp raden med de återstående 2010 krigarna i 1005 grupper om två krigare som står sida vid sida. Varje sådan grupp innehåller inte mer än en riddare, d.v.s. bland de ansedda 2010-krigarna inte mer än 1005 riddare, d.v.s. totalt i en rad högst 1005 + 1 = 1006 riddare.

Tänk på raden RRLRL ... RRLRL. Det finns exakt 1006 riddare i en sådan linje.

9 klass (lösningar och svar)

Svar och lösningar på problemkommunal scenAllryska Olympiaden för skolbarn matematik

1. Svar: fler än de med siffror i fallande ordning.

Lösning: 1) Låt oss skriva numret på den första gruppen i omvänd ordning. Vi kommer att få numret på den andra gruppen, och olika nummer i den andra gruppen erhålls från olika nummer i den första gruppen. Samtidigt kunde numren för den andra gruppen som slutar på 0, till exempel 98 760, inte erhållas genom en "kupp" från numren för den första gruppen (talet 06789 = 6789 är inte femsiffrigt). Det betyder att det finns fler nummer i den andra gruppen.

2) Den första gruppens nummer erhålls från numret 123 456 789 genom att stryka ut fyra siffror, d.v.s. deras, och numren för den andra gruppen - från numret 9 876 543 210 genom att radera fem siffror, dvs. deras.

Betyg 10 (lösningar och svar)

Svar och lösningar på problemkommunal scenAllryska Olympiaden för skolbarn matematik

Att uttrycka och från ekvationerna (1) och (3) och genom att ersätta ekvation (2) får vi, efter förenkling, ekvationen... Att lösa det kommer vi att hitta.

1. Svar:,, var. Lösning: Efter tillstånd och en av jämlikheterna gäller:, eller ... I det första fallet, efter att ha löst systemet,, vi får ... I det andra fallet får vi eller , ... Det tredje fallet liknar det andra.
2. Svar: segment utan dess ändar, var är poängen ligger på balken och.

Lösning: Låt - en cirkel som går genom punkterna och och skär vid punkten ... Sedan, enligt egenskapen av inskrivna vinklar, därför punkterna,,, ligga på samma cirkel; omligger på segmentet, sedan om ligger utanför detta segment (punktpå bilden). Således, eftersom båda , dvs. cirkel som går genom punkterna och ... Så vi har visat att poängenska ligga på ett segment... Låt oss nu visa att någon punkt i detta segment, utom och , ingår i det erforderliga läget för punkter. Verkligen, låt... Sedan väljer du punkten så att, vi får det och.

Årskurs 11 (lösningar och svar)

Svar och lösningar på problemkommunal scenAllryska Olympiaden för skolbarn matematik

Låt oss överväga det första fallet. Eftersom, sedan grenarna av parabeln som ges av formelnpekar uppåt. Och sedan, så finns det punkter på parabeln som ligger under axeln... Därför korsar parabeln axelnpå 2 poäng. Därför ekvationenhar två giltiga rötter.

I det andra fallet är parabelns grenar riktade nedåt, och, så parabeln korsar axelnpå 2 poäng. Sedan ekvationenhar återigen två riktiga rötter.

Metod 2. Tänk på ojämlikheten... Expandera parenteserna till vänster, multiplicera olikheten med -4, lägg sedan till båda sidorna av olikheten, vi får: ... Vi omvandlar denna ojämlikhet till formen:... Sedan dess ... Därför ekvationenhar 2 riktiga rötter.

Lösning: Självklara lösningar, , ... Det är tydligt att andra tripletter av tal med noll komponenter inte är lösningar för detta system. Det återstår att överväga fallet när... Då uppenbarligen- hörn av en rätvinklig triangel med ben (- naturligt). Därför trippeln- ytterligare en lösning.

4. Svar: Det är omöjligt.

Lösning: Låt pilarna placeras på något sätt. Projicera alla resulterande vektorer på linjen som innehåller höjden SÅ pyramider. Projektionerna av vektorer som ligger i basens plan är lika, och projektionerna av vektorerna som ligger på sidokanterna är lika med eller - ... Eftersom antalet vektorer som ligger på sidokanterna är udda, följer det att summan av deras projektioner inte kan vara lika med, kan därför inte vara likaoch summan av alla erhållna vektorer.

5 ... Låt oss numrera alla elever i klassen med naturliga tal från 1 till 20 och beteckna medantal gemensamma vänner och eleverna och summan av alla sådana tal tvärs över ... Sedan, för att bevisa påståendet om problemet, räcker det att visa det för vissa och ojämlikheten håller.

Totalt antal kommer att vara ... Eftersom varje elev har minst 10 kompisar i klassen, när man räknar antaletvarje elev tar vi hänsyn till åtminstone gånger därför.

Alltså är summan av 1140 heltal minst 2400, så ett av talenminst 3 efter behov.