Differential x. Differentiell funktion. Den geometriska betydelsen av differentialen för en funktion

Skillnaden mellan ett argument är dess ökning dx = ∆ x .

Differentialen för en funktion är produkten av derivatan och ökningen av argumentet dy = f ′( x )∙∆ x eller dy = f ′( x )∙ dx .

Kommentar:

Jämförelse av en inkrementell differential.

Låt vara ∆ y och ∆x är av samma storleksordning.

Dy och ∆x är av samma storleksordning, d.v.s. dy och ∆y är av samma storleksordning.

α ∙ ∆x är infinitesimal av en högre storleksordning av litenhet än ∆x.

.Differentialen är huvuddelen av ökningen av funktionen .

Differentialen för en funktion skiljer sig från ökningen av en funktion med en infinitesimal

av en högre ordning än ökningen av argumentet.

Den geometriska betydelsen av differentialen för en funktion.

dy = f ′ (x) ∙ ∆x = tgφ ∙ ∆x = NT.

Differentialen är lika med inkrementet av tangentens ordinata.

Differentiella egenskaper.

Summans differens är lika med summan av differenserna.

d ( u + v) = du + dv.

Differentiell produkt d ( u v ) = du ∙ v + u dv .

Differential av en komplex funktion.

y = f (u), u = φ (x), dy = y ′ x dx =

dy = f ′( u ) du - invarians av differentialens form.

Differentialer av högre ordning.

dy = f ′(x)∙ dx, härifrån

Hyperboliska funktioner.

I många tillämpningar av matematisk analys finns det kombinationer av exponentialfunktioner.

Definitioner.

Från definitionerna av hyperboliska funktioner följer följande relationer:

ch 2 x – sh 2 x = 1, sh2x = 2shx ∙ chx, ch2x = ch 2 x + sh 2 x, sh (α ± β) = shαchβ ± chαshβ. Derivat av hyperboliska funktioner.

Rolles sats.

Om funktionen f ( x ) är definierad och kontinuerlig på det stängda intervallet [ a , b ], har en derivata vid alla interna punkter i detta intervall och tar lika värden i slutet av intervallet, sedan inom intervallet finns det minst en sådan punktx = ξ så att f ′(ξ) = 0.

Geometrisk betydelse.

y

f(a) = f(b), k cas = 0.

ACBPå en slät båge [a, b] det finns en sådan poäng

f(a) f(b) C, där tangenten är parallell med ackordet.

a ξ b x

Lagranges teorem (1736-1813, Frankrike).

Om funktionen är definierad och kontinuerlig på det stängda intervallet [ a , b ] och har en derivata vid alla inre punkter i detta intervall, så finns det inom detta intervall minst en punkt x = ξ så attf ( b ) – f ( a ) = f ′(ξ)∙( b – a ).

Den geometriska betydelsen av Lagranges sats.

OCH Vi ritar en slät båge AB.

På en slät båge AB finns en punkt C där tangentlinjen är parallell med ackordet AB.

Bevis. Tänk på funktionen F(x) = f(x) – λ x. Vi väljer λ så att villkoren för Rolles sats är uppfyllda.

F (x) - är definierad och kontinuerlig på [ a, b], eftersom funktionen f(x),.

F′(x) = f ′(x) – λ - existerar,

Vi väljer λ så att villkoren F(a) = F(b), de där. f(a) – λ a = f(b) – λ b,

Enligt Rolles teorem finns det en sådan poäng x = ξЄ( a, b), Vad F′(ξ) = 0, dvs.

Ökar och minskar funktioner.

Funktionen kallas ökande, om det större värdet på argumentet motsvarar det större värdet på funktionen.

Om funktionen differentierbar vid punkten , då kan dess ökning representeras som summan av två termer

... Dessa termer är infinitesimala funktioner för
Den första termen är linjär med avseende på
, den andra är oändligt liten av högre ordning än
.Verkligen,

.

Således, den andra termen för
tenderar att nollställas snabbare och när man hittar ökningen av funktionen
den första termen spelar huvudrollen
eller (sedan
)
.

Definition . Huvuddelen av inkrementfunktionen
vid punkten , linjär med avseende på
,kallas differential funktioner vid denna tidpunkt och betecknasdyellerdf(x)

. (2)

Därför kan vi dra slutsatsen: differentialen för den oberoende variabeln sammanfaller med dess inkrement, det vill säga
.

Relation (2) tar nu formen

(3)

Kommentar ... För korthetens skull skrivs formel (3) ofta som

(4)

Den geometriska betydelsen av differentialen

Betrakta grafen för den differentierbara funktionen
... Poäng
och tillhör funktionsgrafiken. Vid punkten M ritad tangent TILL till grafen för funktionen, vars vinkel med axelns positiva riktning
beteckna med
... Låt oss rita rakt MN parallellt med axeln Oxe och
parallellt med axeln Oj... Ökningen av funktionen är lika med längden på segmentet
... Från en rätvinklig triangel
, i vilken
, vi får

Ovanstående resonemang låter oss dra slutsatsen:

Differentiell funktion
vid punkten avbildas genom att öka ordinatan för tangenten till grafen för denna funktion vid dess motsvarande punkt
.

Differential-derivatanslutning

Tänk på formeln (4)

.

Vi delar båda sidor av denna jämlikhet med dx, då

.

Således, derivatan av en funktion är lika med förhållandet mellan dess differential och differentialen för den oberoende variabeln.

Ofta denna attityd betraktas helt enkelt som en symbol som anger derivatan av en funktion på genom argument NS.

Bekväm derivatnotation är också:

,
etc.

Records används också

,
,

speciellt praktiskt när en derivata av ett komplext uttryck tas.

2. Differential av summa, produkt och kvot.

Eftersom differentialen erhålls från derivatan genom att multiplicera den med differentialen för den oberoende variabeln, då man känner till derivatorna av grundläggande elementära funktioner, liksom reglerna för att hitta derivator, kan man komma till liknande regler för att hitta differentialer.

1 0 . Differenskonstanten är noll

.

2 0 . Differentialen för den algebraiska summan av ett ändligt antal differentierbara funktioner är lika med den algebraiska summan av differentialerna för dessa funktioner

3 0 . Differentialen för produkten av två differentierbara funktioner är lika med summan av produkterna av den första funktionen med differentialen för den andra och den andra funktionen med differentialen för den första

.

Följd. En konstant multiplikator kan tas ut ur differentialtecknet

.

Exempel... Hitta differentialen för funktionen.

Lösning: Låt oss skriva denna funktion som

,

då får vi

.

4. Funktioner givna parametriskt, deras differentiering.

Definition . Fungera
kallas parametriskt givet om båda variablerna NS och på var och en definieras separat som envärdiga funktioner av samma hjälpvariabel - parameternt:

vartvarierar inom
.

Kommentar ... Parametrisk inställning av funktioner används i stor utsträckning inom teoretisk mekanik, där parametern t betecknar tid och ekvationerna
representerar förändringens lagar i projektionerna av en rörlig punkt
på axeln
och
.

Kommentar ... Låt oss ge de parametriska ekvationerna för en cirkel och en ellips.

a) En cirkel med ett centrum i origo och en radie r har parametriska ekvationer:

var
.

b) Låt oss skriva de parametriska ekvationerna för ellipsen:

var
.

Genom att utesluta parametern t från de parametriska ekvationerna för de övervägda linjerna kan man komma till deras kanoniska ekvationer.

Sats ... Om funktionen y från argument x ges parametriskt av ekvationerna
, var
och
differentierbar medtfunktioner och
, då

.

Exempel... Hitta derivatan av en funktion på från NS ges av parametriska ekvationer.

Lösning.
.

Ansökan

Lösa differentialekvationer online på webbplatsen för att eleverna ska konsolidera det godkända materialet. Och träna upp dina praktiska färdigheter. Differentialekvationer online. Difura online, lösa matematik online. Steg-för-steg lösning av matematiska problem online. Ordningen eller graden av en differentialekvation är den högsta ordningen av de derivator som ingår i den. Differentialekvationer online. Processen att lösa en differentialekvation kallas integration. Problemet med att integrera en differentialekvation anses löst om upptäckten av den okända funktionen kan reduceras till kvadratur, oavsett om den resulterande integralen uttrycks i en finit form i termer av kända funktioner eller inte. Steg-för-steg-lösning av differentialekvationer online. Alla differentialekvationer kan delas in i vanliga (ODE), som bara inkluderar funktioner (och deras derivator) från ett argument, och partiella differentialekvationer (PDE), där de inkommande funktionerna beror på många variabler. Differentialekvationer online. Det finns också stokastiska differentialekvationer (SDE) som inkluderar stokastiska processer. Steg-för-steg-lösning av differentialekvationer online. Beroende på kombinationerna av derivator, funktioner, oberoende variabler, delas differentialekvationer in i linjära och olinjära, med konstanta eller variabla koefficienter, homogena eller inhomogena. I samband med betydelsen av tillämpningar separeras kvaslinjära (linjära med avseende på de högsta derivatorna) partiella differentialekvationer i en separat klass. Differentialekvationslösningar är uppdelade i allmänna och särskilda lösningar. Differentialekvationer online. Allmänna lösningar inkluderar obestämda konstanter, och för partiella differentialekvationer - godtyckliga funktioner av oberoende variabler, som kan förfinas från ytterligare integrationsvillkor (initialvillkor för vanliga differentialekvationer, initiala och randvillkor för partiella differentialekvationer). Steg-för-steg-lösning av differentialekvationer online. Efter att ha bestämt formen för de angivna konstanta och obestämda funktionerna blir lösningarna privata. Sökandet efter lösningar på vanliga differentialekvationer ledde till upprättandet av en klass av specialfunktioner - funktioner som ofta finns i applikationer som inte uttrycks i termer av kända elementära funktioner. Differentialekvationer online. Deras egenskaper studerades i detalj, värdetabeller sammanställdes, ömsesidiga relationer bestämdes, etc. ... Uppsättningen av uppräknade siffror kan undersökas. Det bästa svaret på uppgiften. Hur man i den första approximationen hittar den utgående vektorn till konvergensområdet kring differentialekvationer utan att ta reda på den övre gränsen som hittats. Valet är självklart för att öka matematiska funktioner. Det finns en progressiv metod över forskningsnivån. Att anpassa lösningen av differentialen enligt problemets initiala tillstånd kommer att hjälpa till att hitta ett entydigt valt värde. Det kan vara så att han omedelbart kan identifiera det okända. Liksom i föregående exempel för att indikera en lösning för ett matematiskt problem, är linjära differentialekvationer svaret på ett specifikt problem inom en specificerad tidsram. Upprätthållandet av forskningsförfarandet är inte lokalt definierat. Det kommer att vara så att ett exempel hittas för varje elev och lösningen av differentialekvationerna kommer att bestämmas av den tilldelade chefen från minst två värden. Ta funktionen av det totala värdet på ett visst segment och varna längs vilken axel det kommer att finnas ett gap. Efter att ha studerat differentialekvationerna online är det möjligt att entydigt visa hur viktigt resultatet är, om det förutses från de initiala förutsättningarna. Att skära ut regionen från funktionsdefinitionen är omöjligt, eftersom det inte finns någon definition för uppgiften lokalt. Efter att ha hittats från ett ekvationssystem innehåller svaret en variabel som kan beräknas i generell mening, men det kommer naturligtvis att vara möjligt att lösa differentialekvationen online utan denna åtgärd genom att definiera nämnda villkor. Bredvid segmentets intervall kan du se hur att lösa differentialekvationer online kan flytta forskningsresultatet i en positiv riktning vid tidpunkten för elevens kunskapssnitt. Det bästa är inte alltid resultatet av ett gemensamt accepterat förhållningssätt till affärer. På 2x förstoringsnivån kan du med fördel se alla nödvändiga linjära differentialekvationer i naturlig representation, men förmågan att beräkna det numeriska värdet kommer att leda till bättre kunskap. För alla tekniker inom matematik finns differentialekvationer som presenteras i olika uttryck, som homogena eller komplexa. Efter att ha genomfört en allmän analys av studien av funktionen kommer det att stå klart att lösningen av differential som en uppsättning möjligheter är ett tydligt fel i värdena. Sanningen i det ligger i utrymmet ovanför abskisslinjerna. Någonstans i en komplex funktions domän, någon gång i dess definition, kommer linjära differentialekvationer att kunna presentera svaret i analytisk form. det vill säga i allmänna termer som essensen. Ingenting kommer att förändras när variabeln ersätts. Du måste dock titta på svaret med särskilt intresse. Faktum är att räknaren ändrar förhållandet till slut, det vill säga hur lösningen av differentialekvationer i proportion till det globala värdet indikeras inom den önskade lösningen. I vissa fall är en varning om ett massfel oundviklig. Differentialekvationer online implementerar en allmän uppfattning om problemet, men i slutändan är det nödvändigt att föreställa sig de positiva aspekterna av korsprodukten så snart som möjligt. Inom matematik är det inte ovanligt med fall av fel i talteorin. Verifiering kommer definitivt att behövas. Naturligtvis är det bättre att ge denna rätt till proffs inom sitt område och det är de som kommer att hjälpa till att lösa differentialekvationen online, eftersom deras erfarenhet är kolossal och positiv. Skillnaden på ytorna på figurerna och arean är sådan att om du inte löser differentialekvationerna online kan du se, men uppsättningen av icke-korsande objekt är sådan att linjen är parallell med axeln. Som ett resultat kan du få dubbelt så många värden. Inte explicit, vår idé om riktigheten av den formella notationen ger linjära differentialekvationer både i visningsområdet och i förhållande till avsiktlig överskattning av kvaliteten på resultatet. Flera gånger publiceras en diskussion om ett ämne som är intressant för alla elever i recensionen. Under hela studiet av hela föreläsningsförloppet kommer vi att fokusera vår uppmärksamhet på differentialekvationer och relaterade områden för studier av vetenskap, om detta inte motsäger sanningen. Många etapper kan undvikas i början av resan. Om lösningen av differential fortfarande i grunden är något nytt för eleverna, så glöms det gamla inte alls bort, utan går framåt i framtiden med hög utvecklingstakt. Till en början skiljer sig förutsättningarna för problemet i matematik, men detta anges i stycket till höger. Efter utgången av den per definition fastställda tiden utesluts inte möjligheten till ett proportionellt beroende utfall på olika plan för vektorrörelse. Ett sådant enkelt fall korrigeras, liksom linjära differentialekvationer beskrivs på en miniräknare i allmän form, så det blir snabbare och offsetberäkningar kommer inte att leda till en felaktig åsikt. Endast fem fall namngivna enligt teorin kan tänja på gränserna för vad som händer. Vår lösning av differentialekvationer hjälper till att manuellt beräkna värdet i siffror redan vid de första stadierna av nedbrytningen av det funktionella rummet. På rätt ställen är det nödvändigt att representera kontaktpunkten för de fyra linjerna i en allmän betydelse. Men om du måste ersätta uppgiften blir det lätt att likställa komplexiteten. De initiala uppgifterna räcker för att designa det intilliggande benet och online-differentialekvationerna ser ut justerade till vänster och den ensidiga ytan är riktad mot vektorrotorn. Över den övre gränsen är numeriska värden som överstiger det angivna villkoret möjliga. Det är möjligt att ta hänsyn till den matematiska formeln och lösa differentialekvationen online på bekostnad av tre okända i proportionens totala värde. Den lokala beräkningsmetoden är giltig. Koordinatsystemet är rektangulärt i planets relativa rörelse. Den allmänna lösningen av differentialekvationer online tillåter oss att entydigt dra en slutsats till förmån för det beräknade svepet genom matrisdefinitionerna på hela den raka linjen ovanför grafen för en explicit given funktion. Lösningen är synlig genom och igenom om du applicerar en rörelsevektor till kontaktpunkten för de tre hemisfärerna. En cylinder erhålls genom att rotera en rektangel runt en sida och linjära differentialekvationer kommer att kunna visa en punkts rörelseriktning enligt de givna uttrycken för dess rörelselag. De initiala uppgifterna är korrekta och problemet i matematik är utbytbart under ett enkelt villkor. Men på grund av omständigheterna, med tanke på komplexiteten i det formulerade delproblemet, förenklar differentialekvationer processen att beräkna numeriska rum på nivån av tredimensionellt rymd. Det är lätt att bevisa motsatsen, men det går att undvika det, som i exemplet ovan. I högre matematik ges följande punkter: när ett problem reduceras till en förenklad form, bör så mycket ansträngning som möjligt från elevernas sida utvidgas till det. Överlagrade linjer sätts av. Pro differentiallösning förnyar fortfarande fördelen med nämnda metod på en krökt linje. Om du först känner igen fel, kommer den matematiska formeln att utgöra den nya betydelsen av uttrycket. Målet är det optimala tillvägagångssättet för att lösa de uppgifter som professorn ställt. Antag inte att linjära differentialekvationer i en förenklad form kommer att överstiga det förväntade resultatet. Vi kommer att placera tre vektorer på den färdiga ytan. ortogonala mot varandra. Låt oss beräkna produkten. Låt oss lägga till fler symboler och skriva ut alla variabler för funktionen från det resulterande uttrycket. Det finns en andel. Flera åtgärder som föregår slutet av beräkningen, ett entydigt svar på lösningen av differentialekvationer kommer inte att ges omedelbart, utan först efter att den tilldelade tiden på ordinatan har förflutit. Till vänster om diskontinuitetspunkten, givet implicit från funktionen, rita en axel ortogonal mot den bäst ökande vektorn och placera online-differentialekvationerna längs det minsta gränsvärdet för den nedre gränsen för det matematiska objektet. Vi bifogar det extra argumentet i funktionsgapet. Till höger om punkterna där den krökta linjen är belägen, kommer att lösa differentialekvationen online hjälpa reduktionsformlerna vi har skrivit till den gemensamma nämnaren. Vi kommer att ta det enda korrekta tillvägagångssättet som kommer att belysa olösta problem från teori till praktik, i det allmänna fallet, entydigt. Linjerna i riktningen för koordinaterna för de givna punkterna har aldrig stängt kvadratens extrema position, men att lösa differentialekvationer online kommer att hjälpa till att studera matematik både för studenter och för oss, och helt enkelt för nybörjare inom detta område . Vi talar om möjligheten att ersätta värdeargumentet i alla värden som är signifikanta under raderna i ett fält. I princip, som man skulle förvänta sig, är våra linjära differentialekvationer något isolerat till ett enda koncept av den givna betydelsen. För att hjälpa studenter, en av de bästa miniräknare bland liknande tjänster. Genomför alla kurser och välj den bästa för dig själv.

=

Definition av differentialen

Betrakta funktionen \ (y = f \ vänster (x \ höger), \) som är kontinuerlig i intervallet \ (\ vänster [(a, b) \ höger]. \) Antag att vid någon punkt \ ((x_0) \ i \ vänster [(a, b) \ höger] \) den oberoende variabeln inkrementeras \ (\ Delta x. \) Funktionen inkrementera \ (\ Delta y, \) som motsvarar en sådan förändring i argument \ (\ Delta x, \) uttrycks med formeln \ [\ Delta y = \ Delta f \ vänster (((x_0)) \ höger) = f \ vänster (((x_0) + \ Delta x) \ höger) - f \ vänster (((x_0)) \ höger) . \] För vilken som helst differentierbar funktion kan inkrementet \ (\ Delta y \) representeras som summan av två termer: \ [\ Delta y = A \ Delta x + \ omicron \ vänster ((\ Delta x) \ höger), \] där den första termen (den så kallade. huvudsak inkrement) beror linjärt på inkrementet \ (\ Delta x, \) och den andra termen har en högre litenhetsordning i förhållande till \ (\ Delta x. \) Uttryck \ (A \ Delta x \) kallas differentialfunktion och betecknas med \ (dy \) eller \ (df \ vänster (((x_0)) \ höger). \)

Låt oss överväga denna idé att dela upp funktionsökningen \ (\ Delta y \) i två delar med ett enkelt exempel. Låt en kvadrat med en sida \ ((x_0) = 1 \, \ text (m) \, \) (figur \ (1 \)) ges. Dess area är uppenbarligen \ [(S_0) = x_0 ^ 2 = 1 \, \ text (m) ^ 2. \] Om sidan av kvadraten ökas med \ (\ Delta x = 1 \, \ text (cm) , \ ) då blir det exakta värdet på arean av den förstorade kvadraten \ dvs. areaökningen \ (\ Delta S \) är lika med \ [(\ Delta S = S - (S_0) = 1,0201 - 1 = 0,0201 \, \ text (m) ^ 2) = (201 \, \ text ( cm) ^ 2.) \] Nu representerar vi detta inkrement \ (\ Delta S \) enligt följande: \ [\ kräver (avbryt) (\ Delta S = S - (S_0) = (\ vänster (((x_0) + \ Delta x ) \ höger) ^ 2) - x_0 ^ 2) = (\ avbryt (x_0 ^ 2) + 2 (x_0) \ Delta x + (\ vänster ((\ Delta x) \ höger) ^ 2) - \ avbryt (x_0) ^ 2)) = (2 (x_0) \ Delta x + (\ vänster ((\ Delta x) \ höger) ^ 2)) = (A \ Delta x + \ omicron \ vänster ((\ Delta x) \ höger) ) = (dy + o \ vänster ((\ Delta x) \ höger).) \] Så, ökningen av funktionen \ (\ Delta S \) består av huvuddelen (funktionens differential), vilket är proportionell mot \ (\ Delta x \) och är lika med \ och en term av högre storleksordning, i sin tur lika med \ [\ omicron \ vänster ((\ Delta x) \ höger) = (\ vänster ((\ Delta) x) \ höger) ^ 2) = (0,01 ^ 2) = 0,0001 \, \ text (m) ^ 2 = 1 \, \ text (cm) ^ 2. \] Tillsammans utgör båda dessa termer det totala inkrementet av kvadratens area, lika med \ (200 + 1 = 201 \, \ text (cm) ^ 2. \)

Observera att i det här exemplet är koefficienten \ (A \) lika med värdet av derivatan av funktionen \ (S \) vid punkten \ ((x_0): \) \ Det visar sig att för varje differentierbar funktion följande rymmer: sats :

Koefficienten \ (A \) för huvuddelen av ökningen av funktionen i punkten \ ((x_0) \) är lika med värdet av derivatan \ (f "\ vänster (((x_0)) \ höger) \) vid denna punkt, det vill säga ökningen \ ( \ Delta y \) uttrycks med formeln \ [(\ Delta y = A \ Delta x + \ omicron \ vänster ((\ Delta x) \ höger)) = (f "\ vänster (((x_0)) \ höger) \ Delta x + \ omicron \ vänster ((\ Delta x) \ höger).) \] Dela båda sidor av denna likhet med \ (\ Delta x \ ne 0 , \) vi har \ [(\ frac ((\ Delta y)) ( (\ Delta x)) = A + \ frac ((\ omicron \ vänster ((\ Delta x) \ höger))) ((\ Delta x))) = (f "\ vänster (((x_0)) \ höger ) + \ frac ((\ omicron \ vänster ((\ Delta x) \ höger))) ((\ Delta x)).) \] I gränsen som \ (\ Delta x \ till 0 \), får vi värdet av derivatan vid punkten \ ((x_0): \) \ [(y "\ vänster (((x_0)) \ höger) = \ lim \ limits _ (\ Delta x \ till 0) \ frac ((\ Delta y)) ((\ Delta x))) = (A = f "\ vänster (((x_0)) \ höger).) \ ] Här tog vi hänsyn till att för ett litet värde \ (\ omicron \ vänster ((\ Delta x) \ höger) \) av en högre storleksordning än \ (\ Delta x, \) är gränsen \ [\ lim \ begränsar _ (\ Delta x \ till 0) \ frac ((\ omicron \ vänster ((\ Delta x) \ höger))) ( (\ Delta x)) = 0. \] Om vi ​​antar det differential för den oberoende variabeln \ (dx \) är lika med dess inkrement \ (\ Delta x: \) \ sedan av relationen \ följer att \ d.v.s. derivatan av en funktion kan representeras som förhållandet mellan två differentialer.

Den geometriska betydelsen av differentialen för en funktion

Figur \ (2 \) visar schematiskt uppdelningen av funktionsökningen \ (\ Delta y \) i huvuddelen \ (A \ Delta x \) (funktionsdifferential) och en högre ordningsterm \ (\ omicron \ vänster (( \ Delta x ) \ höger) \).

Tangenten \ (MN \) som dras till kurvan för funktionen \ (y = f \ vänster (x \ höger) \) vid punkten \ (M \) är känd för att ha en lutningsvinkel \ (\ alfa \) , vars tangent är lika med derivatan : \ [\ tan \ alpha = f "\ vänster (((x_0)) \ höger). \] När argumentet ändras till \ (\ Delta x \), är tangenten är inkrementerad \ (A \ Delta x. \) Detta är ett linjärt inkrement som bildas av tangentlinjen är exakt funktionens differential. Resten av det totala inkrementet \ (\ Delta y \) (segment \ (N (M_1)) \)) motsvarar en "icke-linjär" addition med en högre ordningsföljd av litenhet med avseende på \ (\ Delta x \ ).

Differentiella egenskaper

Låt \ (u \) och \ (v \) vara funktioner av variabeln \ (x \). Differentialen har följande egenskaper:

1. Den konstanta koefficienten kan tas utanför differentialtecknet:

   \ (d \ vänster ((Cu) \ höger) = Cdu \), där \ (C \) är ett konstant tal.

2. Differential av summan (skillnaden) av funktioner:

   \ (d \ vänster ((u \ pm v) \ höger) = du \ pm dv. \)

3. Differentialen för ett konstant värde är lika med noll:

   \ (d \ vänster (C \ höger) = 0. \)

4. Differentialen för den oberoende variabeln \ (x \) är lika med dess ökning:

   \ (dx = \ Delta x. \)

5. Differentialen för en linjär funktion är lika med dess inkrement:

   \ (d \ vänster ((ax + b) \ höger) = \ Delta \ vänster ((ax + b) \ höger) = a \ Delta x. \)

6. Skillnaden mellan produkten av två funktioner:

   \ (d \ vänster ((uv) \ höger) = du \ cdot v + u \ cdot dv. \)

7. Kvotskillnaden mellan två funktioner:

   \ (d \ vänster ((\ large \ frac (u) (v) \ normalsize) \ höger) = \ large \ frac ((du \ cdot v - u \ cdot dv)) (((v ^ 2))) \ normal storlek. \)

8. Differentialen för en funktion är lika med produkten av derivatan och differentialen för argumentet:

   \ (dy = df \ vänster (x \ höger) = f "\ vänster (x \ höger) dx. \)

Som du kan se skiljer sig differentialen för funktionen \ (dy \) från derivatan endast med faktorn \ (dx \). Till exempel, \ [(d \ vänster (((x ^ n)) \ höger) = n (x ^ (n - 1)) dx,) \; \; (d \ vänster ((\ ln x) \ höger) = \ frac ((dx)) (x),) \; \; (d \ vänster ((\ sin x) \ höger) = \ cos x dx) \] och så vidare.

Forminvarians av differentialen

Betrakta sammansättningen av två funktioner \ (y = f \ vänster (u \ höger) \) och \ (u = g \ vänster (x \ höger), \) d.v.s. komplex funktion \ (y = f \ vänster ((g \ vänster (x \ höger)) \ höger). \) Dess derivata definieras av uttrycket \ [(y "_x) = (y" _u) \ cdot (u "_x) , \] där nedsänkningen anger variabeln över vilken differentiering görs.

Differentialen för den "yttre" funktionen \ (y = f \ vänster (u \ höger) \) skrivs i formen \ Differentialen för den "inre" funktionen \ (u = g \ vänster (x \ höger) \) kan representeras på ett liknande sätt: \ Om du ersätter \ (du \) i föregående formel, får vi \ Eftersom \ ((y "_x) = (y" _u) \ cdot (u "_x), \) då \ Det kan ses att vi i fallet med en komplex funktion fick samma formuttryck för differentialen av en funktion, som i fallet med en "enkel" funktion. Denna egenskap kallas invariansen av differentialens form .