Уравнения
Как се решават уравнения?
В този раздел ще си припомним (или ще проучим - както всеки обича) най-елементарните уравнения. И така, какво е уравнение? Говорейки по човешки, това е някакъв вид математически израз, където има знак за равенство и неизвестно. Което обикновено се обозначава с буквата "Х". реши уравнениетое да се намерят такива x-стойности, които при заместване в оригиналенизраз, ще ни даде правилната идентичност. Позволете ми да ви напомня, че идентичността е израз, който не предизвиква съмнения дори у човек, който абсолютно не е натоварен с математически познания. Като 2=2, 0=0, ab=ab и т.н. И така, как решавате уравнения?Нека го разберем.
Има всякакви уравнения (бях изненадан, нали?). Но цялото им безкрайно разнообразие може да бъде разделено само на четири вида.
4. Друго.)
Всичко останало, разбира се, най-вече, да ...) Това включва и кубични, и експоненциални, и логаритмични, и тригонометрични и всякакви други. Ще работим в тясно сътрудничество с тях в съответните раздели.
Веднага трябва да кажа, че понякога уравненията на първите три типа са толкова заплетени, че не ги разпознавате ... Нищо. Ще се научим как да ги развием.
И защо са ни необходими тези четири вида? И тогава какво линейни уравнениярешен по един начин квадратдруги дробно рационално - трето,а Почивкаизобщо не е решено! Е, не че те изобщо не решават, напразно обидих математиката.) Просто те имат свои специални техники и методи.
Но за всеки (повтарям - за всякакви!) уравненията е надеждна и безпроблемна основа за решаване. Работи навсякъде и винаги. Тази база - Звучи страшно, но нещата са много прости. И много (много!)важно.
Всъщност решението на уравнението се състои от същите тези трансформации. На 99%. Отговор на въпроса: " Как се решават уравнения?" лъжи, точно в тези трансформации. Ясен ли е намекът?)
Идентични трансформации на уравнения.
AT всякакви уравненияза да се намери неизвестното, е необходимо да се трансформира и опрости оригиналния пример. Освен това, така че при промяна на външния вид същността на уравнението не се е променила.Такива трансформации се наричат идентичниили еквивалентно.
Имайте предвид, че тези трансформации са само за уравненията.В математиката все още има идентични трансформации изрази.Това е друга тема.
Сега ще повторим всичко-всичко-всичко основно идентични трансформации на уравнения.
Основни, защото могат да се прилагат към всякаквиуравнения - линейни, квадратни, дробни, тригонометрични, експоненциални, логаритмични и др. и т.н.
Първа идентична трансформация: двете страни на всяко уравнение могат да се добавят (изваждат) всякакви(но същото!) число или израз (включително израз с неизвестно!). Същността на уравнението не се променя.
Между другото, вие постоянно използвахте тази трансформация, само мислехте, че прехвърляте някои членове от една част на уравнението в друга със смяна на знака. Тип:
Материята е позната, преместваме двойката надясно и получаваме:
Всъщност ти отнетот двете страни на уравнението двойка. Резултатът е същият:
х+2 - 2 = 3 - 2
Прехвърлянето на термините вляво-дясно със смяна на знака е просто съкратена версия на първата идентична трансформация. И защо са ни необходими толкова дълбоки познания? - ти питаш. Нищо в уравненията. Премести го, за бога. Само не забравяйте да смените знака. Но при неравенствата навикът за прехвърляне може да доведе до задънена улица ....
Втора трансформация на идентичността: и двете страни на уравнението могат да бъдат умножени (разделени) по същото ненулевичисло или израз. Тук вече се появява разбираемо ограничение: глупаво е да се умножава по нула, но е невъзможно да се раздели изобщо. Това е трансформацията, която използвате, когато решите нещо готино
разбираемо, х= 2. Но как го намерихте? Избор? Или просто светна? За да не подхващате и чакате прозрението, трябва да разберете, че сте справедливи разделете двете страни на уравнениетос 5. При разделяне на лявата страна (5x), петицата беше намалена, оставяйки чисто X. Което ни трябваше. И при разделянето на дясната страна на (10) на пет, се оказа, разбира се, двойка.
Това е всичко.
Смешно е, но тези две (само две!) идентични трансформации са в основата на решението всички математически уравнения.Как! Има смисъл да разгледаме примери за това какво и как, нали?)
Примери за идентични трансформации на уравнения. Основни проблеми.
Да започнем с първоидентична трансформация. Преместване наляво-надясно.
Пример за най-малките.)
Да кажем, че трябва да решим следното уравнение:
3-2x=5-3x
Нека си спомним заклинанието: "с X - наляво, без X - вдясно!"Това заклинание е инструкция за прилагане на първата трансформация на идентичността.) Какъв е изразът с x вдясно? 3x? Отговорът е грешен! От дясната ни страна - 3x! Минустри х! Следователно, когато се премести наляво, знакът ще се промени на плюс. Вземете:
3-2x+3x=5
И така, Х-тата бяха събрани. Нека направим числата. Три отляво. Какъв знак? Отговорът "с нито един" не се приема!) Пред тройката наистина нищо не е нарисувано. А това означава, че пред тройката е плюс.Така че математиците се съгласиха. Нищо не е написано, значи плюс.Следователно тройката ще бъде прехвърлена в дясната страна с минус.Получаваме:
-2x+3x=5-3
Остават празни места. Отляво - дайте подобни, отдясно - пребройте. Отговорът е веднага:
В този пример беше достатъчна една идентична трансформация. Второто не беше необходимо. Ми добре.)
Пример за по-възрастните.)
Ако харесвате този сайт...
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Можете да практикувате решаването на примери и да разберете нивото си. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)
можете да се запознаете с функции и производни.
Ще анализираме два вида системи за решаване на уравнения:
1. Решение на системата по метода на заместване.
2. Решение на системата чрез почленно събиране (изваждане) на уравненията на системата.
За да се реши системата от уравнения метод на заместванетрябва да следвате прост алгоритъм:
1. Ние изразяваме. От всяко уравнение изразяваме една променлива.
2. Заместител. Заместваме в друго уравнение вместо изразената променлива получената стойност.
3. Решаваме полученото уравнение с една променлива. Намираме решение на системата.
Разрешавам система чрез събиране (изваждане) член по члентрябва:
1. Изберете променлива, за която ще направим същите коефициенти.
2. Събираме или изваждаме уравненията, като в резултат получаваме уравнение с една променлива.
3. Решаваме полученото линейно уравнение. Намираме решение на системата.
Решението на системата са пресечните точки на графиките на функцията.
Нека разгледаме подробно решението на системи с помощта на примери.
Пример №1:
Нека решим по метода на заместване
Решаване на системата от уравнения по метода на заместване2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2-ро уравнение)
1. Експрес
Вижда се, че във второто уравнение има променлива x с коефициент 1, следователно се оказва, че най-лесно е да се изрази променливата x от второто уравнение.
x=3+10y
2. След като изразим, заместваме 3 + 10y в първото уравнение вместо променливата x.
2(3+10y)+5y=1
3. Решаваме полученото уравнение с една променлива.
2(3+10y)+5y=1 (отворени скоби)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
у=-5:25
y=-0,2
Решението на системата от уравнения е пресечните точки на графиките, следователно трябва да намерим x и y, тъй като пресечната точка се състои от x и y. Нека намерим x, в първия параграф, където изразихме, заместваме y там.
x=3+10y
х=3+10*(-0,2)=1
Обичайно е да пишем точки на първо място, пишем променливата x, а на второ място променливата y.
Отговор: (1; -0,2)
Пример №2:
Нека решим чрез събиране (изваждане) член по член.
Решаване на система от уравнения по метода на събиране3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2-ро уравнение)
1. Изберете променлива, да кажем, че избираме x. В първото уравнение променливата x има коефициент 3, във второто - 2. Трябва да направим коефициентите еднакви, за това имаме право да умножим уравненията или да разделим на произволно число. Умножаваме първото уравнение по 2, а второто по 3 и получаваме общ коефициент 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. От първото уравнение извадете второто, за да се отървете от променливата x. Решете линейното уравнение.
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6,4
3. Намерете x. Заместваме намереното y в някое от уравненията, да речем в първото уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3х-12,8=1
3x=1+12.8
3x=13,8 |:3
х=4,6
Точката на пресичане ще бъде x=4,6; y=6,4
Отговор: (4.6; 6.4)
Искате ли да се подготвите за изпити безплатно? Учител онлайн е свободен. Без майтап.
цели:
- Систематизират и обобщят знанията и уменията по темата: Решения на уравнения от трета и четвърта степен.
- Задълбочаване на знанията чрез изпълнение на поредица от задачи, някои от които не са познати нито по вида си, нито по начина на решаване.
- Формиране на интерес към математиката чрез изучаване на нови глави от математиката, възпитание на графична култура чрез изграждане на графики от уравнения.
Тип урок: комбиниран.
Оборудване:графичен проектор.
Видимост:таблица "Теорема на Виета".
По време на занятията
1. Психична сметка
а) Какъв е остатъкът от деленето на полинома p n (x) \u003d a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0 от бинома x-a?
б) Колко корена може да има едно кубично уравнение?
в) С каква помощ решаваме уравнението от трета и четвърта степен?
г) Ако b е четно число в квадратното уравнение, тогава какво е D и x 1; x 2
2. Самостоятелна работа (в групи)
Направете уравнение, ако корените са известни (отговорите на задачите са кодирани) Използвайте "теоремата на Виета"
1 група
Корени: x 1 = 1; x 2 \u003d -2; x 3 \u003d -3; х 4 = 6
Напишете уравнение:
B=1-2-3+6=2; b=-2
c=-2-3+6+6-12-18=-23; c= -23
d=6-12+36-18=12; d=-12
e=1(-2)(-3)6=36
х 4 -2 x 3 - 23 x 2 - 12 x + 36 = 0(това уравнение се решава от група 2 на дъската)
Решение . Търсим цели корени сред делителите на числото 36.
p = ±1; ±2; ±3; ±4; ±6…
p 4 (1)=1-2-23-12+36=0 Числото 1 удовлетворява уравнението, следователно =1 е коренът на уравнението. Схемата на Хорнер
p 3 (x) = x 3 -x 2 -24x -36
p 3 (-2) \u003d -8 -4 +48 -36 = 0, x 2 = -2
p 2 (x) \u003d x 2 -3x -18 = 0
x 3 = -3, x 4 = 6
Отговор: 1; -2; -3; 6 сумата от корените 2 (P)
2 група
Корени: x 1 \u003d -1; х 2 = х 3 = 2; х 4 \u003d 5
Напишете уравнение:
B=-1+2+2+5-8; b=-8
c=2(-1)+4+10-2-5+10=15; c=15
D=-4-10+20-10=-4; d=4
e=2(-1)2*5=-20;e=-20
8 + 15 + 4x-20 \u003d 0 (група 3 решава това уравнение на дъската)
p = ±1; ±2; ±4; ±5; ±10; ±20.
р 4 (1)=1-8+15+4-20=-8
p 4 (-1)=1+8+15-4-20=0
p 3 (x) \u003d x 3 -9x 2 + 24x -20
p 3 (2) = 8 -36 + 48 -20 = 0
p 2 (x) \u003d x 2 -7x + 10 \u003d 0 x 1 = 2; х 2 \u003d 5
Отговор: -1;2;2;5 сбор от корени 8(P)
3 група
Корени: x 1 \u003d -1; х 2 = 1; x 3 \u003d -2; х 4 \u003d 3
Напишете уравнение:
B=-1+1-2+3=1; b=-1
s=-1+2-3-2+3-6=-7; s=-7
D=2+6-3-6=-1; d=1
e=-1*1*(-2)*3=6
х 4 - х 3- 7x 2 + x + 6 = 0(това уравнение се решава по-късно на дъската от група 4)
Решение. Търсим цели корени сред делителите на числото 6.
p = ±1; ±2; ±3; ±6
p 4 (1)=1-1-7+1+6=0
p 3 (x) = x 3 - 7x -6
p 3 (-1) \u003d -1 + 7-6 = 0
p 2 (x) = x 2 -x -6=0; x 1 \u003d -2; х 2 \u003d 3
Отговор: -1; 1; -2; 3 Сборът от корените 1 (O)
4 група
Корени: x 1 = -2; x 2 \u003d -2; x 3 \u003d -3; х 4 = -3
Напишете уравнение:
B=-2-2-3+3=-4; b=4
c=4+6-6+6-6-9=-5; c=-5
D=-12+12+18+18=36; d=-36
e=-2*(-2)*(-3)*3=-36; e=-36
х 4+4x 3 - 5x 2 - 36x -36 = 0(това уравнение се решава от група 5 на дъската)
Решение. Търсим цели корени сред делителите на числото -36
p = ±1; ±2; ±3…
p(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72
p 4 (-2) \u003d 16 -32 -20 + 72 -36 = 0
p 3 (x) \u003d x 3 + 2x 2 -9x-18 \u003d 0
p 3 (-2) \u003d -8 + 8 + 18-18 = 0
p 2 (x) = x 2 -9 = 0; x=±3
Отговор: -2; -2; -3; 3 Сбор от корени-4 (F)
5 група
Корени: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d -2; x 3 \u003d -3; х 4 = -4
Напишете уравнение
х 4+ 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = 0(това уравнение се решава от 6-та група на дъската)
Решение . Търсим цели корени сред делителите на числото 24.
p = ±1; ±2; ±3
p 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0
p 3 (x) \u003d x- 3 + 9x 2 + 26x + 24 = 0
p 3 (-2) \u003d -8 + 36-52 + 24 = O
p 2 (x) \u003d x 2 + 7x + 12 = 0
Отговор: -1; -2; -3; -4 сбор-10 (I)
6 група
Корени: x 1 = 1; х 2 = 1; x 3 \u003d -3; х 4 = 8
Напишете уравнение
B=1+1-3+8=7; b=-7
c=1 -3+8-3+8-24= -13
D=-3-24+8-24=-43; d=43
х 4 - 7 х 3- 13x 2 + 43х - 24 = 0 (това уравнение се решава от 1 група на дъската)
Решение . Търсим цели корени сред делителите на числото -24.
р 4 (1)=1-7-13+43-24=0
p 3 (1)=1-6-19+24=0
p 2 (x) \u003d x 2 -5x - 24 \u003d 0
x 3 = -3, x 4 = 8
Отговор: 1; 1; -3; 8 сбор 7 (L)
3. Решение на уравнения с параметър
1. Решете уравнението x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0; ако един от корените е (-1)
Отговорете във възходящ ред
R=P3(-1)=-1+3-m-15=0
x 3 + 3x 2 -13x - 15 = 0; -1+3+13-15=0
По условие x 1 = - 1; D=1+15=16
P 2 (x) \u003d x 2 + 2x-15 \u003d 0
x 2 \u003d -1-4 = -5;
x 3 = -1 + 4 = 3;
Отговор: - 1; -5; 3
Във възходящ ред: -5;-1;3. (b n s)
2. Намерете всички корени на полинома x 3 - 3x 2 + ax - 2a + 6, ако остатъците от неговото деление на биноми x-1 и x + 2 са равни.
Решение: R = R 3 (1) = R 3 (-2)
P 3 (1) = 1-3 + a- 2a + 6 \u003d 4-a
P 3 (-2) \u003d -8-12-2a-2a + 6 \u003d -14-4a
x 3 -3x 2 -6x + 12 + 6 \u003d x 3 -3x 2 -6x + 18
x 2 (x-3)-6(x-3) = 0
(x-3)(x 2-6) = 0
Произведението на два фактора е равно на нула, ако и само ако поне един от тези фактори е равен на нула, докато другият има смисъл.
2 група. Корени: -3; -2; един; 2;3 група. Корени: -1; 2; 6; десет;
4 група. Корени: -3; 2; 2; 5;
5 група. Корени: -5; -2; 2; четири;
6 група. Корени: -8; -2; 6; 7.
Ние ви предлагаме удобно безплатно онлайн калкулатор за решаване на квадратни уравнения.Можете бързо да получите и разберете как са решени, като използвате разбираеми примери.
Да произвежда решаване на квадратно уравнение онлайн, първо приведете уравнението до общ вид:
ax2 + bx + c = 0
Попълнете съответно полетата на формуляра:
Как да решим квадратно уравнение
| Как да решим квадратно уравнение: | Типове корени: |
|
1.
Приведете квадратното уравнение до общ вид: Общ изглед на Ax 2 +Bx+C=0 Пример: 3x - 2x 2 +1=-1 Намалете до -2x 2 +3x+2=0 2.
Намираме дискриминанта D. 3.
Намираме корените на уравнението. |
1.
Истински корени. И. x1 не е равно на x2 Ситуацията възниква, когато D>0 и A не е равно на 0. 2.
Истинските корени са едни и същи. x1 е равно на x2 3.
Два сложни корена. x1=d+ei, x2=d-ei, където i=-(1) 1/2 5.
Уравнението има безкраен брой решения. 6.
Уравнението няма решения. |
За да консолидирате алгоритъма, ето още няколко илюстративни примери за решения на квадратни уравнения.
Пример 1. Решение на обикновено квадратно уравнение с различни реални корени.
x 2 + 3x -10 = 0
В това уравнение
A=1, B=3, C=-10
D=B 2 -4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
коренът квадратен ще бъде обозначен като числото 1/2!
x1 = (-B + D 1/2) / 2A \u003d (-3 + 7) / 2 = 2
x2 = (-B-D 1/2) / 2A \u003d (-3-7) / 2 = -5
За да проверим, нека заменим:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x - 10 = x2 + 3x -10
Пример 2. Решаване на квадратно уравнение със същите реални корени.
x 2 - 8x + 16 = 0
A=1, B=-8, C=16
D = k 2 - AC = 16 - 16 \u003d 0
X=-k/A=4
Заместител
(x-4) * (x-4) = (x-4) 2 \u003d X 2 - 8x + 16
Пример 3. Решение на квадратно уравнение с комплексни корени.
13x 2 - 4x + 1 = 0
A=1, B=-4, C=9
D \u003d b 2 - 4AC = 16 - 4 * 13 * 1 = 16 - 52 \u003d -36
Дискриминантът е отрицателен - корените са сложни.
X1 = (-B + D 1/2) / 2A \u003d (4 + 6i) / (2 * 13) = 2/13 + 3i / 13
x2 = (-B-D 1/2) / 2A = (4-6i) / (2 * 13) \u003d 2 / 13-3i / 13
, където I е корен квадратен от -1
Ето всъщност всички възможни случаи на решаване на квадратни уравнения.
Надяваме се, че нашите онлайн калкулаторще ви бъде много полезно.
Ако материалът е бил полезен, можете
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = 0
Първо трябва да използвате метода за избор, за да намерите един корен. Обикновено е делителят на свободния член. В този случай делителите на числото 12 са ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.Нека започнем да ги заместваме на свой ред:
1: 2 + 5 - 11 - 20 + 12 = -12 ⇒ число 1
-1: 2 - 5 - 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ число -1 не е корен от полином
2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 - 11 ∙ 4 - 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ число 2 е коренът на полинома
Намерихме 1 от корените на полинома. Коренът на полинома е 2, което означава, че оригиналният полином трябва да се дели на х - 2. За да извършим разделянето на полиноми, използваме схемата на Хорнер:
| 2 | 5 | -11 | -20 | 12 | |
| 2 |
Горният ред съдържа коефициентите на оригиналния полином. В първата клетка на втория ред поставяме корена, който намерихме 2. На втория ред се записват коефициентите на полинома, които ще се получат в резултат на деление. Броят се така:
|
Във втората клетка на втория ред напишете числото 2, просто като го преместите от съответната клетка на първия ред. | ||||||||||||
|
2 ∙ 2 + 5 = 9 | ||||||||||||
|
2 ∙ 9 - 11 = 7 | ||||||||||||
|
2 ∙ 7 - 20 = -6 | ||||||||||||
|
2 ∙ (-6) + 12 = 0 |
Последното число е остатъкът от делението. Ако е равно на 0, тогава сме преброили всичко правилно.
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(2x 3 + 9x 2 + 7x - 6)
Но това не е краят. Можете да опитате да разширите полинома по същия начин 2x 3 + 9x 2 + 7x - 6.
Отново търсим корена сред делителите на свободния член. Числови делители -6 са ±1, ±2, ±3, ±6.
1: 2 + 9 + 7 - 6 = 12 ⇒ число 1 не е корен от полином
-1: -2 + 9 - 7 - 6 = -6 ⇒ число -1 не е корен от полином
2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 - 6 = 60 ⇒ число 2 не е корен от полином
-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) - 6 = 0 ⇒ число -2 е коренът на полинома
Нека запишем намерения корен в нашата схема на Horner и започнем да попълваме празните клетки:
|
Във втората клетка на третия ред напишете числото 2, просто като го преместите от съответната клетка на втория ред. | ||||||||||||||||||
|
-2 ∙ 2 + 9 = 5 | ||||||||||||||||||
|
-2 ∙ 5 + 7 = -3 | ||||||||||||||||||
|
-2 ∙ (-3) - 6 = 0 |
По този начин, ние разложихме оригиналния полином:
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(2x 2 + 5x - 3)
Полином 2x 2 + 5x - 3също може да се факторизира. За да направите това, можете да решите квадратното уравнение чрез дискриминанта или можете да потърсите корена сред делителите на числото -3. По един или друг начин ще стигнем до извода, че коренът на този полином е числото -3
|
Във втората клетка на четвъртия ред напишете числото 2, просто като го прехвърлите от съответната клетка на третия ред. | ||||||||||||||||||||||||
|
-3 ∙ 2 + 5 = -1 | ||||||||||||||||||||||||
|
-3 ∙ (-1) - 3 = 0 |
Така декомпозирахме оригиналния полином на линейни фактори:
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(x + 3)(2x - 1)
А корените на уравнението са.
